НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЇ МАТЕМАТИКИ І МЕХАНІКИ

ВОЛЧКОВА Наталія Петрівна

УДК 517.5

ОБЕРНЕННЯ ЛОКАЛЬНОГО ПЕРЕТВОРЕННЯ ПОМПЕЙЮ НА ЕВКЛІДОВИХ ТА ГІПЕРБОЛІЧНИХ ПРОСТОРАХ

01.01.01 – МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Донецьк – 2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Донецькому національному університеті, Міністерство освіти і науки України.

Науковий керівник | доктор фізико-математичних наук, професор Тригуб Роальд Михайлович, Донецький національний університет, професор кафедри математичного аналізу і теорії функцій.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук Коновалов Віктор Миколайович, Інститут математики НАН України, провідний науковий співробітник відділу теорії наближень,

кандидат фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Довгошей Олексій Альфредович, Інститут прикладної математики і механіки НАН України, старший науковий співробітник відділу теорії функцій.

Провідна установа

Харківський національний університет імені Каразіна, кафедра математичного аналізу, Міністерство освіти і науки України, м. Харків.

Захист відбудеться “ 21 ” вересня 2005 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 11.193.02 при Інституті прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 83114, м. Донецьк, вул. Р.Люксембург, 74.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 83114, м. Донецьк, вул. Р. Люксембург, 74.

Автореферат розісланий “ 26 ” липня 2005р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради |

О.С.Чані

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. В роботі досліджується проблема обернення локального перетворення Помпейю для деяких класів розподілів на евклідовому та кватерніонному гіперболічному просторах.

Теорія інтегральних перетворень, що ставлять функціям на многовиді у відповідність їх інтеграли по підмноговидам із будь-якої сім’ї М, займає важливе місце в аналізі та застосуваннях.

Глибокі зв’язки даного напрямку з періодичністю в середньому, теорією гармонічних функцій, рядами експонент, гармонічним аналізом, теорією зображень груп, теорією наближень функцій, мікролокальним аналізом, із оцінками щільності упакувань в комбінаторній геометрії, а також із різними питаннями комплексного аналізу, теорії диференціальних рівнянь, інтегральної геометрії та теорії графів були предметом дослідження багатьох відомих математиків. Отримані результати, перші з яких відносяться до початку двадцятого сторіччя, та в числі яких – роботи Г. Мінковського, П. Функа, І. Радона, Д. Помпейю, Ф. Йона, Д. Дельсарта, І. М. Гельфанда, У. Рудіна, Л. Хьормандера, С. Хелгасона, Л. Зальцмана, К. А. Беренстейна, М. Агра-новського, Л. Айзенберга, Б. Д. Котляра, Р. М. Тригуба, В. П. Заставного, В. В. Волчкова та ін., виявились дуже важливими в багатьох напрямках сучасної математики та конкретних застосуваннях, що пов’язані із створенням комп’ютерної томографії, акустикою, обробкою сигналів і т. д.

Одним із добре відомих інтегрально-геометричних перетворень є перетворення Помпейю, яке визначається наступним чином.

Нехай – скінчена сім’я розподілів з компактними носіями в дійсному евклідовому просторі , - група рухів . При фіксованому розглянемо розподіл , що діє на за правилом

.

Для будь-якої відкритої множини такої, що кожна з множин

,

не є порожньою, перетворення Помпейю відображає в за формулою

, (0.1)

де

Якщо , то називається глобальним перетворенням Помпейю та позначається .

Аналогічно визначається перетворення Помпейю на однорідних просторах із інваріантною мірою.

Оператор (0.1) включає ряд класичних прикладів, перший з яких був фактично розглянутий та вивчений румунським математиком Д. Помпейю в 1929 р. У цьому випадку сім’я є характеристичною функцією (індикатором) однієї відкритої обмеженої множини , , і

.

Для заданих та виникає наступна

Проблема. 1) З’ясувати, чи є ін’єктивним, і якщо ні, то описати його ядро;

2) якщо ін’єктивне, то знайти обернене відображення.

Вже є багато результатів про ін’єктивність перетворення Помпейю. Формули для обернення цього перетворення тільки починають з’являтись. У зв’язку з цим тема дисертації є актуальною.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалась у межах держбюджетної наукової теми Г – 02.40 “Теорія функцій та операторів”.

Мета і задачі дослідження.

1.

2.

3.

Методи дослідження. В роботі використовуються методи гармонічного аналізу, теорії функцій комплексної змінної, а також результати теорії спеціальних функцій.

Наукова новизна одержаних результатів.

I. Отримано розв’язок проблеми про обернення локального перетворення Помпейю на кватерніонному гіперболічному просторі у наступних випадках:

1), де , , – поверхнева дельта-функція геодезичної сфери із , , і сферичні перетворення та не мають спільних нулів.

2), де – індикатор відкритої геодезичної кулі із , , .

3), , і сферичні перетворення та не мають спільних нулів.

II. Перелічені вище результати дозволили отримати :

1) локальні теореми про два радіуси на ;

2) локальну теорему про один радіус на ;

3) нову теорему типу Морери в багатовимірному комплексному аналізі;

4) достатні умови замкненості в просторі , , системи функцій

,

де – група ізометрій ;

5) нову теорему в теорії відображень, що зберігають міру.

Донедавна питання ін’єктивності та обернення локального перетворення Помпейю вивчались лише для простору , дійсного гіперболічного простору та комплексного гіперболічного простору . Зазначимо, що ці простори разом із вичерпують так звані класичні некомпактні симетричні простори рангу один.

III. Отримано розв’язок задачі про обернення локального перетворення Помпейю на у випадку, коли більше діаметру круга, що описаний навколо , а компакт є однією із наступних множин:

1) – трикутник;

2) – рівнобедрена трапеція;

3) – сегмент;

4) – круговий серпок;

5) – сектор розхилу .

Зокрема, коли менше , де – радіус найменшого замкненого круга, що містить , підсилюються відомі результати К. А. Беренстейна, Р. Гея, А. Іжера. Знайдено також деякі узагальнення одержаних теорем на багатовимірний випадок.

Теоретичне значення одержаних результатів. Дисертація має теоретичний характер. Отримані результати можуть бути застосовані при розв’язанні різних задач, що пов’язані з інтегральними середніми, та їх застосуваннями в різних областях аналізу.

Особистий внесок здобувача. Теореми .4.3, 2.5.3 дисертації отримано спільно з Волчковим Віт.В. Волчкову Віт.В. належить формула для перетво-рення Фур’є розподілу (лемма .2.2 дисертації). Автору дисертації належить побудування розподілів , формула для сферичного перетворення розподілів , твердження про функції , а також побудування розподілів . Всі інші результати дисертації отримано автором самостійно.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації були подані на Міжнародних конференціях “Complex analysis and potential theory” (Київ, 2001 р.), “Functional Analysis and its Applications” (Львів, 2002 р.), “Першій літній школі з топологічної алгебри і функціонального аналізу“ (Львів – Козево, 2003 р.), школі – конференції “Геометрический анализ и его приложения” (Волгоград, 2004 р.).

В цілому дисертація доповідалась на Харківському міському семінарі з теорії функцій (керівники: доктор фіз.-мат. наук, професор Гришин А.П., доктор фіз.-мат. наук, професор Фаворов С.Ю.), семінарі професора Р. М. Тригуба (Донецький національний університет, 2000 – 2005 рр.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 10 роботах, з яких 6 – статті в наукових виданнях, 4 – тези доповідей конференцій.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота викладена на 147 сторінках і містить перелік умовних скорочень, вступ, основну частину з трьох розділів, висновки та список літератури, що складається з 89 джерел і розташований на 10 сторінках.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

У вступі обґрунтовується актуальність досліджень, стисло наведено зміст роботи та сформульовано основні її результати.

В першому розділі розглядаються основні етапи розвитку проблеми Помпейю, формулюються деякі відомі результати та нерозв’язані задачі.

В другому розділі розв’язано проблему обернення локального перетворення Помпейю на кватерніонному гіперболічному просторі для наведених вище сімей розподілів.

Розглянемо реалізацію простору у вигляді відкритої одиничної кулі комплексного евклідова простору .

Нехай – оператор Лапласа–Бельтрамі на , . Для цілих , покладемо

де – простір однорідних гармонічних многочленів бістепеня в . Будемо ототожнювати із простором звужень його елементів на одиничну сферу .

Нехай – полярні координати в (для довільного , а якщо , тоді ), , , – фіксований ортонормований базис у просторі . Довільній локально сумовній в функції відповідає ряд Фур’є

де

Нехай , , – фіксовані, – множина нулів функції

де – гіпергеометрична функція. Відзначимо, що при множина .

Позначимо – згортку двох розподілів на .

Теорема 2.4.1. Нехай , і . Тоді для довільних , , і існують розподіли (, ) із наступними властивостями:

1) , , ;

2) для довільної функції виконується рівність

.

Зробимо декілька зауважень. Доведення теореми .4.1 побудовано на розвитку ідей К. А. Беренстейна, Р. Гея та А. Іжера. Явне побудування розподілів наводиться в п. .4 дисертації та опирається на застосування теореми Пелі – Вінера для сферичного перетворення на . Оскільки

де – метрика на , – елемент площі на , то в теоремі .4.1 міститься конструкція відновлення функції за її відомими сферичними середніми на кватерніонному гіперболічному просторі. Відзначимо, що при або перетворення Помпейю не є ін’єктивним.

Теорема 2.4.2. Нехай та . Тоді для довільних , , і існують розподіли (, ) із наступними властивостями:

1) , , ;

2) для довільної функції виконується рівність

.

Метод доведення теорем .4.1, 2.4.2 дозволяє отримати подібні результати для , , . Відмітимо, що в теоремі .4.2 відсутня умова на нулі сферичних перетворень та , оскільки (див. лему .3.1 та формули для та в п. 2.1 дисертації).

Теорема 2.4.3. Нехай , і . Тоді для довільних , , і існують розподіли (, ) із наступними властивостями:

1) , , ;

2) для довільної функції виконується рівність

.

Цей результат встановлений в ]. Близьку формулу для відновлення функції за її відомими кульовими середніми на отримано незалежно М. Беркані, М. Хорше, Р. Геєм. Аналоги теореми .4.3 для , , належать К. А. Беренстейну, Р. Гею, А. Іжеру, М. Хорше.

Перелічені результати дозволяють отримати достатні умови для ін’єктивності відповідного перетворення Помпейю. Для покладемо

.

Теорема 2.5.1. Нехай , і . Тоді, якщо , то в .

Теорема 2.5.2. Нехай і . Тоді, якщо, то в .

Теорема 2.5.3. Нехай , і . Тоді, якщо , то в .

Далі в другому розділі наводяться застосування отриманих результатів в комплексному аналізі, теорії апроксимації та теорії відображень, що зберігають міру.

Розглянемо в диференціальні форми бістепеня виду

де

Теорема 2.5.4. Нехай , та . Тоді, якщо і

,

для всіх замкнених геодезичних куль із радіусами та , то голоморфна в .

Теорема .5.3 дозволяє отримати також точні достатні умови для замкненості в просторі , , системи функцій

, (0.2)

де – група ізометрій простору .

Теорема 2.5.5. Нехай , та . Тоді система функцій.2) замкнена в просторі для довільного .

Зазначимо, що система.2) не є замкненою в просторі ні для якого .

Нехай . Позначимо .

Заключним результатом другого розділу є

Теорема 2.5.6. Нехай , і – - дифеоморфізм на область . Тоді, якщо , і

,

то

для будь-якої вимірної за Лебегом множини .

В третьому розділі розглядається наступна задача.

Нехай , – компакт додатної лебегової міри із , та відомі її інтеграли

,

де – група рухів . Як відновити функцію ? Відомо, що для широкого класу множин ця задача має єдиний розв’язок, якщо , де  – радіус найменшої замкненої кулі, що містить . Для цього ж класу множин при (а для квадрату і при ) К. А. Беренстейн, Р. Гей, А. Іжер отримали конструкцію відновлення функції .

В цьому розділі наводиться розв’язок сформульованої задачі для ряду компактів за умовою , де – діаметр круга, описаного навколо . Наводяться також деякі багатовимірні узагальнення.

Нехай – замкнений трикутник з вершинами в точках . Без обмеження загальності можна вважати, що , , та . Тоді , , , де , .

Покладемо

де при .

Позначимо

, , ,

, , .

Нехай , де .

При розглянемо функції

,

де

– тотожний оператор, – дельта-функція в нулі простору ,  – група обертань , – нормована міра Хаара на групі .

Наступний результат дає відновлення по коефіцієнтів в розкладанні в ряд Фур’є по сферичним гармонікам .

Теорема 3.2.1. Нехай . Тоді для довільного , , існують розподіли (, ) із наступними властивостями:

1) , (, ), , ();

2) для довільної виконуються рівності

,

.

У двовимірному випадку із теореми .2.1 отримуємо відновлення функції при . Зокрема, якщо найбільший кут трикутника задовольняє умові , теорема .2.1 є підсиленням результату К. А. Беренстейна, Р. Гея та А. Іжера.

Якщо множина має криволінійну межу, відновлення функції по є складнішим. Наведемо відповідний результат для сегменту.

Нехай ,  –

сегмент кутової міри .

Покладемо

де

Визначимо диференціальний оператор .

Нехай – радіус найменшого замкненого круга, що містить , ,

де

Позначимо, – простір фінітних нескінченно диференційовних функцій на , – простір розподілів на . Радіалізацією розподілу називається радіальний розподіл , що діє на функцію за формулою

,

де – нормована міра Хаара на групі .

Розглянемо випадок . Позначимо

, де .

Для покладемо

де , , якщо , та , якщо .

Аналогічно, при позначимо

, де .

Для покладемо

де , ,

якщо , та , якщо .

Теорема 3.3.1. Нехай . Тоді для довільних , , і існують розподіли (, ) із наступними властивостями:

1) , , , , ;

2) для довільної функції виконується рівність

.

Як уже відмічалося, при , конструкцію відновлення за отримано К. А. Беренстейном, Р. Геєм, А. Іжером. Леми . . та 3. . , 3. . (див. п. 3. та п. . дисертації) дають формули для обчислення значень функцій , , за відомим перетворенням Помпейю . Тому, вказані вище рівності відновлюють коефіцієнти Фур’є по . Таким чином, в теоремі . . міститься конструкція обернення перетворення Помпейю .

В заключному пункті третього розділу наводяться аналоги теорем . 2. , 3. . для випадку, коли є рівнобедреною трапецією, круговим серпком та сектором розхилу (див. теорему . . дисертації). Із доведення теореми . . неважко отримати подібну конструкцію відновлення за , якщо – сектор розхилу .

ВИСНОВКИ

В дисертації вивчаються питання, пов’язані з відновленням функції за її відомими інтегральними середніми на евклідовому та кватерніонному гіперболічному просторах.

Отримано розв’язок проблеми про обернення локального перетворення Помпейю на кватерніонному гіперболічному просторі в наступних випадках:

1), де , , – поверхнева дельта-функція геодезичної сфери із , , і сферичні перетворення та не мають спільних нулів.

2), де – індикатор відкритої геодезичної кулі із , , .

3), де , і сферичні перетворення та не мають спільних нулів.

Як застосування перелічених вище результатів отримано:

1) локальні теореми про два радіуси на ;

2) локальну теорему про один радіус на ;

3) нову теорему типу Морери в багатовимірному комплексному аналізі;

4) достатні умови замкненості в просторі , , системи функцій

де – група ізометрій ;

5) нову теорему в теорії відображень, що зберігають міру.

Отримано розв’язок задачі про обернення локального перетворення Помпейю на у випадку, коли більше діаметру круга, що описаний навколо , а компакт є однією із наступних множин:

1) – трикутник; 2) – рівнобедрена трапеція; 3) – сегмент; 4) – круговий серпок; 5) – сектор розхилу .

Знайдено також деякі узагальнення одержаних теорем на багатовимірний випадок.

Результати дисертації можуть бути використані при розв’язанні різних задач, що пов’язані з інтегральними середніми, та їх застосуваннями в різних областях аналізу.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

АНОТАЦІЇ

Волчкова Н. П. Обернення локального перетворення Помпейю на евклідових та гіперболічних просторах. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-матема-тич-них наук за спеціальністю 01.01.01 – математичний аналіз. – Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк, 2005.

Дисертацію присвячено питанням обернення локального перетворення Помпейю на евклідових і гіперболічних просторах та застосуванню отриманих результатів в комплексному аналізі, теорії апроксимації та теорії відображень, що зберігають міру.

В дисертації знайдено розв’язок проблеми про обернення локального перетворення Помпейю на кватерніонному гіперболічному просторі для деяких сімей розподілів. Отримані результати дозволили довести локальні теореми про два радіуси на , локальну теорему про один радіус на , нову теорему типу Морери в багатовимірному комплексному аналізі, теорему про апроксимацію в просторі , , індикаторами, нову теорему в теорії відображень, що зберігають міру.

Отримано також нові теореми про обернення локального перетворення Помпейю на . Результати дисертації можуть бути використані при розв’язанні різних задач, що пов’язані з інтегральними середніми, та їх застосуваннями в різних областях аналізу.

Ключові слова: перетворення Помпейю, кватерніонний гіперболічний простір, теорема про два радіуси, розподіл, апроксимація індикаторами, теорема типу Морери.

Volchkova Inversion of the local Pompeiu transform on Euclidean and hyperbolic spaces. – Manuscript.

Thesis for a candidate’s degree (physical and mathematical sciences) by speciality 01.01.01 – mathematical analysis. – Institute of Applied Mathematics and Mechanics of National Academy of Sciences of Ukraine, Donetsk, 2005.

The dissertation is devoted to inversion of the local Pompeiu transform on Euclidean and hyperbolic spaces as well as to application obtained results in complex analysis, approximation theory and measure preserving transformations.

The solution of the problem of inversion of the local Pompeiu transform on quaternion hyperbolic space for some families of distributions is obtained. This results allows us to obtain the local two-radii theorems on , the local

one-radius theorem on , new Morera type theorem in multidimensional complex analysis, theorems about approximation by indicators in , , new theorem in the measure preserving transformation theory.

Theorems about inversion of the local Pompeiu transform in are obtained also.

Key words: Pompeiu transform, quaternion hyperbolic space, two radii theorem, distribution, approximation by indicators, Morera type theorem.

Волчкова Н. П. Обращение локального преобразования Помпейю на евклидовых и гиперболических пространствах. – Рукопись.

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 – математический анализ. – Институт прикладной математики и механики НАН Украины, Донецк, 2005.

Диссертация посвящена вопросам обращения локального преобразования Помпейю на евклидовых и гиперболических пространствах, а также применению полученных результатов в комплексном анализе, теории аппроксимации и теории отображений, сохраняющих меру.

Получено решение проблемы об обращении локального преобразования Помпейю на кватернионном гиперболическом пространстве в следующих случаях:

1) , где , , – поверхностная дельта-функция геодезической сферы из , , и сферические преобразования , не имеют общих нулей.

2) , где – индикатор открытого геодезического шара із , , .

3) , , и сферические преобразования , не имеют общих нулей.

Перечисленные выше результаты позволили получить:

2) локальную теорему об одном радиусе на ;

3) новую теорему типа Мореры в многомерном комплексном анализе;

4) достаточные условия замкнутости в пространстве , , системы функций

,

где – группа изометрий ;

5) новую теорему в теории отображений, сохраняющих меру.

До недавнего времени вопросы инъективности и обращения локального преобразования Помпейю изучались только для пространства , вещественного гиперболического пространства и комплексного гиперболического пространства . Отметим, что эти пространства вместе с исчерпывают так называемые классические некомпактные симметрические пространства ранга один.

В диссертации получено также решение задачи об обращении локального преобразования Помпейю на в случае, когда больше диаметра круга, описанного вокруг , а компакт является одним из следующих множеств:

1) – треугольник;

2) – равнобедренная трапеция;

3) – сегмент;

4) – круговая луночка;

5) – сектор раствора .

В частности, когда меньше , где – радиус наименьшего замкнутого круга, содержащего , усиливаются известные результаты К. А. Беренстейна, Р. Гея, А. Ижера. Найдены также некоторые обобщения полученных теорем на многомерный случай.

Результаты диссертации могут быть использованы при решении различных задач, связанных с интегральными средними и их применением в разных областях анализа, а также в гармоническом анализе и теории аппроксимации.

Ключевые слова: преобразование Помпейю, кватернионное гиперболическое пространство, теорема о двух радиусах, распределение, аппроксимация индикаторами, теорема типа Мореры.