КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА
Яковенко Тетяна Олександрівна
УДК.519.21
Випадкові процеси в функціональних просторах Орлича
01.01.05 – теорія ймовірностей та математична статистика
А В Т О Р Е Ф Е Р А Т
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук
Київ – 2005
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана на кафедрі теорії ймовірностей та математичної статистики Київського національного університету імені Тараса Шевченка.
Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор
КОЗАЧЕНКО Юрій Васильович,
Київський національний університет
імені Тараса Шевченка,
професор кафедри теорії ймовірностей та
математичної статистики.
Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор
ПЕТУНІН Юрій Іванович,
Київський національний університет
імені Тараса Шевченка,
професор кафедри обчислювальної математики.
кандидат фізико-математичних наук,
старший науковий співробітник
ПАШКО Анатолій Олексійович,
Європейський університет (м. Київ),
декан факультету інформаційних систем і технологій.
Провідна установа: Інститут кібернетики ім. В.М.Глушкова
НАН України,
м. Київ.
Захист відбудеться “ 28 ” лютого 2005 р. о 1400_ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д.26.001.37 у Київському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою: 03022, м. Київ-22, просп. Академіка Глушкова, 6, корпус , механіко-математичний факультет.
З дисертацією можна ознайомитися в науковій бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка (01033, м. Київ, вул. Володимирська , 58).
Автореферат розісланий “ 20 ” січня 2005 року.
Вчений секретар
спеціалізованої вченої ради Моклячук М.П.
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. Одним з основних напрямків в теорії випадкових процесів, що зараз інтенсивно розвивається, є вивчення аналітичних властивостей траєкторій випадкових процесів та оцінка розподілу функціоналів від випадкових процесів. Це пояснюється широким застосуванням отриманих результатів при вирішенні задач, що виникають в різних областях наукових досліджень. Теорія випадкових процесів широко використовується в фінансовій математиці, теорії масового обслуговування, біології, медицині, радіотехніці.
Раніше локальні властивості випадкових процесів, оцінки розподілів супремумів та інших функціоналів в основному вивчалися лише для процесів, визначених на компактах. Але за останній час з'явилося багато робіт, в яких досліджується поведінка випадкових процесів, що зустрічаються в фінансовій математиці та теорії масового обслуговування, при зростанні часу до нескінченності. Тому виникла потреба у дослідженні різних властивостей випадкових процесів, що визначені на некомпактній множині. Такі властивості, як вибіркова неперервність випадкових процесів та обмеженість з ймовірністю одиниця, вивчені досить повно, в той час як умови належності випадкових процесів функціональним просторам Орлича та розподіли норм процесів в цих просторах майже не вивчались.
На початку 90-х років XX століття в Західній Європі та Північній Америці почала бурхливо розвиватися нова галузь математики _вейвлет аналіз. Це було зумовлено ефективністю її використання на практиці. Виявилось, наприклад, що запис та збереження інформації за допомогою вейвлетів набагато ефективніший, ніж інші. Розклади випадкових процесів по системам вейвлетів використовуються при моделюванні цих процесів та при збереженні їх траєкторій з метою подальшого відновлення.
Основним завданням роботи є знаходження умов належності з ймовірністю одиниця траєкторій випадкових процесів деяким функціональним просторам, зокрема, _просторам та експоненціальним просторам Орлича, а також застосування отриманих результатів для дослідження швидкості збіжності вейвлет розкладів випадкових процесів
Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана в рамках держбюджетної дослідницької теми № 01БФ03806 “Розвиток теорії випадкових полів та динамічних систем на алгебраїчних структурах”, що виконується на кафедрі теорії ймовірностей та математичної статистики Київського національного університету імені Тараса Шевченка та входить до програми “Побудова та застосування математичних методів дослідження детермінованих та стохастичних еволюційних систем” (номер державної реєстрації № 0101U002472).
Мета та задачі дослідження. Метою роботи є подальший розвиток теорії випадкових процесів з просторів Орлича, а також розширення кола теоретичних і практичних застосувань даної теорії до задач вейвлет аналізу. В роботі вивчаються наступні задачі:
вивчення умов належності з ймовірністю одиниця випадкових процесів з просторів Орлича випадкових величин, що задані на компактній множині, функціональним просторам Орлича та оцінювання розподілу норми Люксембурга цих процесів;
визначення, яким функціональним просторам Орлича належать траєкторії узагальненого та класичного дробового броунівського руху, що розглядаються на компакті, та оцінювання розподілу норм Люксембурга цих процесів;
вивчення умов, за яких випадкові процеси з просторів Орлича випадкових величин, що визначені на некомпактній параметричній множині, належать функціональним просторам Орлича з ймовірністю одиниця;
знаходження умов належності з ймовірністю одиниця траєкторій випадкових процесів з просторів Орлича випадкових величин просторам Соболєва-Орлича;
застосування отриманих результатів для дослідження швидкості збіжності вейвлет розкладів випадкових процесів з просторів Орлича.
Методика дослідження. В роботі використовується аналітичний апарат теорії випадкових процесів з просторів Орлича, функціонального аналізу та теорії вейвлет функцій.
Наукова новизна одержаних результатів. Основними результатами, які визначають наукову новизну, є наступні:
отримано умови належності з ймовірністю одиниця випадкових процесів з просторів Орлича випадкових величин, що визначені на компакті в Rd, функціональним просторам Орлича; знайдено оцінки розподілу норми Люксембурга цих процесів.
введено поняття узагальненого дробового броунівського руху; визначено, яким функціональним просторам Орлича належать узагальнений та класичний дробовий броунівський рух та знайдено оцінки розподілу норм Люксембурга цих процесів в відповідних просторах Орлича.
отримано умови, за яких траєкторії випадкових процесів з просторів Орлича випадкових величин належать просторам Орлича , де _некомпактна множина в Rd, .
знайдено умови належності траєкторій випадкових процесів з просторів Орлича випадкових величин просторам Соболєва-Орлича у випадку компактної та некомпактної параметричної множини в R.
оцінено швидкість збіжності вейвлет розкладів випадкових процесів з просторів Орлича випадкових величин в нормі простору (R).
Практичне значення одержаних результатів. Всі отримані в дисертаційній роботі результати мають теоретичне значення та практичне застосування в фінансовій математиці, стохастичному моделюванні, статистиці та в інших галузях, в яких використовуються випадкові процеси. Зокрема, розклади випадкових процесів по системам вейвлетів використовуються при збереженні траєкторій цих процесів для їх подальшого відновлення та при їх моделюванні.
Особистий внесок здобувача. Всі результати дисертаційної роботи отримані здобувачем самостійно. За результатами дисертації здобувач опублікував вісім робіт, з них три у співавторстві з науковим керівником професором Козаченком Ю.В., в яких Козаченку Ю.В. належить постановка задач та загальне керівництво роботою.
Апробація результатів. Результати дисертації доповідались та обговорювались на:
Міжнародній математичній конференції присвяченій сторіччю від початку роботи Д. О. Граве в Київському університеті. (м. Київ, 2002 р.);
другій Міжнародній науково-практичній конференції студентів, аспірантів і молодих вчених ''Сучасні задачі прикладної статистики, промислової, актуарної та фінансової математики''. (м. Донецьк, 2004 р.);
десятій Міжнародній науковій конференції імені академіка Михайла Кравчука (м. Київ, 2004 р.);
засіданні наукового семінару з теорії ймовірностей та математичної статистики при кафедрі теорії ймовірностей та математичної статистики механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка (м.Київ, 2004 р.).
Публікації. За результатами дисертаційної роботи опубліковано п'ять статей в фахових виданнях та троє тез доповідей на конференціях.
Структура та обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, п'яти розділів, розбитих на підрозділи, висновків та списку використаних джерел. Повний обсяг роботи становить 143 сторінки, з них 132 сторінки основного тексту та 11 сторінок займає список використаних джерел, що включає в себе 98 найменувань.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ
У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, сформульовано мету і задачі дослідження, висвітлено наукову новизну та практичну значущість отриманих результатів.
Перший розділ містить огляд літератури за тематикою дисертаційної роботи та спорідненими питаннями, окреслено основні етапи розвитку теорії випадкових процесів з просторів Орлича і вейвлет аналізу.
Другий розділ присвячений дослідженню випадкових процесів з просторів Орлича випадкових величин, що задані на компакті. В цьому розділі розглядаються процеси, що визначені як на абстрактних компактних параметричних множинах, так і на компактних підмножинах з простору Rd. В останньому випадку прийнято користуватись терміном "випадкове поле", але для зручності в обох випадках будемо користуватися одним терміном _"випадковий процес". На початку розділу наведені необхідні для подальшої роботи означення та твердження, зокрема, означення функцій та просторів Орлича, їх властивості, означення строго Орличевських випадкових величин та процесів. Далі розглядається задача оцінювання розподілу норми Люксембурга випадкових процесів та досліджуються умови належності з ймовірністю одиниця випадкових процесів функціональним просторам Орлича.
Означення .1. Функція , називається S_функцією Орлича, якщо вона парна, неперервна, опукла та і , коли .
Означення .2. Нехай , і _дві S_функції Орлича. Будемо говорити, що підпорядкована (), або мажорує , якщо існують константи і такі, що для всіх .
Розглянемо вимірний простір , де __алгебра борелівських множин на а _скінчена міра.
Означення .4. Нехай _деяка S_функція Орлича. Простір вимірних функцій називається функціональним простором Орлича , що породжений S_функцією , якщо для кожної функції існує константа , така, що
В просторі можна ввести норму
яка називається нормою Люксембурга.
Означення .5. Якщо розглянути імовірнісний простір і деяку S_функцію , то простором Орлича випадкових величин, що породжений функцією , називається простір . Норма Люксембурга у цьому просторі має вигляд:
У випадку, коли , , , простір Орлича, що породжений цією S_функцією, є звичайним простором. Простір Орлича породжений S_функцією, називається простором Орлича експоненціального типу і позначається .
Основними результатами другого розділу є теореми, які містять умови належності з ймовірністю одиниця випадкових процесів з простору , що визначені на компакті, функціональним просторам Орлича у випадках, коли S_функції Орлича і , мають різний характер підпорядкованості, а також оцінки розподілу норми Люксембурга цих процесів.
Нехай _деякий вимірний параметричний простір, де __алгебра борелівських множин, _скінчена міра.
Умова М. Будемо говорити, що для деякої S_функції Орлича виконується умова М відносно параметричного простору , якщо для будь-яких вимірних випадкових процесів з простору , таких, що, випадкова величина належить простору і існує константа така, що .
Умова М виконується для S_функцій, та , відносно будь-якої компактної множини.
Теорема .6. Нехай вимірний випадковий процес належить простору Орлича , при цьому і з константами і . Тоді:
з ймовірністю одиниця процес належить функціональному простору Орлича , що породжений S_функцією ;
якщо для S_функції виконується умова М відносно простору з константою , тоді
;
.
Розглянемо параметричний простір, де, __алгебра борелівських підмножин, _міра Лебега в . Введемо на метрику , .
Теорема .10. Нехай і _дві S_функції Орлича, такі, що функція , R} є опуклою і для виконується умова М відносно параметричного простору з константою . Для сепарабельного вимірного випадкового процесу з простору Орлича , для якого , виконуються наступні умови:
і) , де _неперервна, монотонно неспадна функція, при ;
ii) де , а , , і , _функції обернені до , і .
Тоді належить функціональному простору Орлича з ймовірністю одиниця і для всіх , і для мають місце нерівності:
для будь-яких .
Отримані результати застосовуються для визначення, яким функціональним просторам Орлича належать узагальнений та класичний дробовий броунівський рух, та для знаходження оцінок для розподілу норми Люксембурга цих процесів у відповідних просторах Орлича. Введемо необхідні поняття.
Означення .7. Нехай _деяка S_функція Орлича, така, що . Сім'я випадкових величин , , з простору називається строго Орличевською, якщо існує константа , така, що для будь-якої скінченої множини випадкових величин , і для всіх виконується наступна нерівність:
. (2.1)
Константу будемо називати визначальною для строго Орличевської сім'ї
Означення .10. Випадковий процес з простору будемо називати строго Орличевським, якщо сім'я є строго Орличевською.
Розглянемо процес _стандартний дробовий броунівський рух. Тоді процес можна представити у вигляді
, , (2.19)
де ряд (2.19) рівномірно збігається у середньому квадратичному, _послідовність незалежних гауссових випадкових величин, таких, що для всіх і ;
, _власні значення і , _відповідні власні функції інтегрального рівняння
_коваріаційна функція процесу дробового броунівського руху.
Нехай _послідовність незалежних строго Орличевських випадкових величин з простору , таких, що і для всіх ; . Тоді
, (2.20)_
центрований випадковий процес з коваріаційною функцією . Цей процес є строго Орличевським з деякою визначальною константою і належить простору Орлича , . Будемо називати його узагальненим дробовим броунівським рухом з простору .
Теорема .19. Траєкторії узагальненого дробового броунівського руху з простору , , з ймовірністю одиниця належать наступним функціональним просторам Орлича і для норм даного випадкового процесу в цих просторах справедливі оцінки:
i) Для _просторам , де , і
ii) Для _ просторам , де , а для _просторам , де , і для кожного і буде виконуватись нерівність
iii) Для _просторам , де , і існує деяка константа , така, що для всіх і виконується наступна нерівність
В третьому розділі вивчаються умови належності з ймовірністю одиниця випадкових процесів з просторів Орлича з некомпактною параметричною множиною функціональним просторам Орлича.
Нехай _вимірний параметричний простір, де , __алгебра борелівських підмножин, _міра Лебега і .
Розглянемо розбиття простору на підмножини, такі що
, , , коли .
Теорема .2. Нехай і _дві S_функції Орлича, такі, що функція є опуклою і для виконується умова М відносно кожної з множин з розбиття простору з константами . Випадковий процес є вимірним, сепарабельним, належить простору і для будь-якої множини , виконуються умови:
i)
ii) де _сім'я неперервних, монотонно неспадних функцій, таких, що , коли ;
iii) де , , і , _функції обернені до , і ;
iv) існує деяка послідовність , така, що і , де _оцінка для з теореми 2.10.
Тоді випадковий процес належить функціональному простору Орлича з ймовірністю одиниця.
Розглянуто випадкові процеси з просторів , , що визначені на всій дійсній прямій та випадкові процеси з просторів , , що визначені на промені . Наведемо основні результати.
Теорема .5 Нехай . Розглянемо сепарабельний вимірний випадковий процес з простору , такий, що для будь-яких , :
i) , де , ;
ii) , де , ;
iii) : .
Тоді випадковий процес належить простору з ймовірністю одиниця.
Теорема .9. Нехай . Розглянемо сепарабельний вимірний випадковий процес з простору , такий, що для будь-яких , виконуються умови:
i) де , ;
ii) , де , ;
iii) :
Тоді з ймовірністю одиниця.
Отримані результати застосовуються до стаціонарних в широкому розумінні, строго Орличевських випадкових процесів, що визначені на всій дійсній осі R. Наведемо одну з отриманих теорем.
Теорема .12. Нехай , _центрований, вимірний, сепарабельний, стаціонарний в широкому розумінні, строго Орличевський в випадковий процес з визначальною константою та кореляційною функцією , , такою, що для всіх
Розглянемо функцію .
Тоді випадковий процес належить функціональному простору Орлича з ймовірністю одиниця.
В четвертому розділі дисертації досліджуються умови, за яких траєкторії випадкового процесу з простору Орлича випадкових величин належать з ймовірністю одиниця просторам Соболєва-Орлича. Наведемо основні означення та теореми.
Нехай _вимірний простір, _алгебра борелівських підмножин на , _міра Лебега, і _дві S_функції Орлича.
Означення .4. Випадковий процес називається диференційовним за нормою в просторі в точці , якщо існує така випадкова величина , що .
Процес є диференційовним за нормою в на , якщо він диференційовний в кожній точці цього простору. Тоді процес називається похідною за нормою в процесу .
Означення .9. Простором Соболєва-Орлича N-того порядку називається множина класів еквівалентності функцій з функціонального простору Орлича , що задається наступним чином:
де _узагальнена похідна функції порядку .
Коли S_функція , то простір є класичним простором Соболєва .
Нехай _параметричний простір, _алгебра борелівських множин на , _міра Лебега. Розглянемо числову послідовність , що задає таке розбиття простору R на інтервали , , для якого виконуються наступні умови:
Теорема .8. Нехай і _дві S_функції Орлича, такі, що , є опуклою функцією, і для виконується умова М відносно кожної з множин з константами , _сепарабельний, вимірний, N раз диференційовний за нормою в процес для якого виконуються наступні умови:
1) ;
2) де _сім'я неперервних, монотонно неспадних функцій, таких, що , коли ;
3) ;
4) , де , , , і , _функції обернені до , і ;
5) існують послідовності , , такі, що для
і ,
де _оцінки для з теореми 2.10.
Тоді з ймовірністю одиниця.
У випадку, коли , , а , , має місце наступна теорема.
Теорема .10. Розглянемо числа i , такі, що . Нехай випадковий процес є сепарабельним, вимірним, N раз диференційовним за нормою в і для всіх , таких, що виконуються умови:
1) ; де і _деяке фіксоване число;
2) , де , ;
3) :
Тоді з ймовірністю одиниця.
В п'ятому розділі результати, що були отримані в попередніх розділах, застосовуються для дослідження швидкості збіжності вейвлет розкладів випадкових процесів в нормі .
Наведемо основні відомості з теорії вейвлетів.
Розглянемо деяку комплекснозначну функцію з простору . Позначимо . Накладемо на умови.
Умова 1. Система функцій є ортонормованою системою, тобто , де _символ Кронекера.
Позначимо _це простір функцій таких, що
(5.4)
де ряд (5.4) збігається в нормі простору , тобто . Тоді система буде ортонормованим базисом в .
Визначимо наступний простір: , . Система функцій є ортонормованим базисом в , .
Умова 2. Простори мають властивість : для кожного .
Умова 3. Множина щільна в , тобто .
Означення .3. Якщо для функції виконуються Умови 1-3, то послідовність , що породжується цією функцією, називається багаторівневим аналізом в . При цьому функцію називають f-вейвлетом.
Нехай послідовність є багаторівневим аналізом в . Позначимо, тоді . Отже, в цьому випадку
Для будь-якого f-вейвлета існує функція , така, що система функцій є ортонормованим базисом в , , а система
, ,
є ортонормованим базисом в . Відомо, що f-вейвлет допускає зображення
, (5.5)
де _ періодична функція з простору , _перетворення Фур'є функції . Тоді, функцію , що відповідає вейвлету можна знайти з рівності .
Кожну функцію з простору можна зобразити у вигляді
, (5.6)
де ряд (5.6) збігається в . Розклад (5.6) називається вейвлет розкладом.
Умова S. Нехай _f-вейвлет. Для виконується Умова S, якщо існує монотонно незростаюча функція , , така, що та майже скрізь.
Умова S(N). Для функції виконується Умова S(N), де _деяке ціле число, якщо для виконується Умова S та майже скрізь.
Наведемо два комплекси умов, яким можуть задовольняти f-вейвлети.
K1) Для виконується Умова S(N), належить простору Соболєва , , ;
K2) Для виконується Умова S(N) та одне з чотирьох припущень:
а1) ;
a2) при , де _функція, що визначена в (5.5), ;
a3) , , , де _функція, що відповідає f-вейвлету ;
а4) при , , .
Для випадкового процесу , такого, що належить простору з ймовірністю одиниця і для будь-якої системи вейвлетів має місце розклад:
, (5.10)
де та _випадкові величини, такі, що , .
Ряд (5.10) збігається в з ймовірністю одиниця. Розглянемо наближення випадкового процесу частинною сумою ряду (5.10):
.
Зрозуміло, що збігається до при в нормі простору з ймовірністю одиниця, тобто з ймовірністю одиниця при .
Дослідимо швидкість цієї збіжності в випадку, коли процес належить , .
Теорема .9. Розглянемо числа i , такі, що . Нехай випадковий процес є центрованим, сепарабельним, вимірним, N раз диференційовним за нормою в і виконуються наступні умови:
1) i ,де , _деяке фіксоване число;
2) : де , ;
3) : .
Тоді: b1) якщо для f-вейвлету виконується комплекс умов K1, то з ймовірністю 1 при ;
b2) якщо для f-вейвлету виконується комплекс умов K2 то з ймовірністю 1 при .
В випадку, коли відповідні умови накладаються на кореляційну функцію випадкового процесу.
Теорема .9. Нехай . , _сепарабельний, вимірний процес з простору . Для його кореляційної функції існують неперервні похідні , , і виконуються умови:
1) : i де , _деяке фіксоване число;
2) : i ;
3) : .
Тоді: b1) якщо для f-вейвлету виконується комплекс умов K1, то з ймовірністю одиниця при ;
b2) якщо для f-вейвлету виконується комплекс умов K2 то з ймовірністю одиниця при .
У висновках сформульовані основні результати дисертаційного дослідження.
З А Г А Л Ь Н І В И С Н О В К И
Дисертаційна робота присвячена знаходженню умов належності з ймовірністю одиниця траєкторій випадкових процесів функціональним просторам Орлича. В першому розділі міститься огляд літератури за тематикою дослідження. В другому розділі дисертації отримано умови, за яких випадкові процеси з просторів Орлича випадкових величин, що визначені на компакті, належать з ймовірністю одиниця функціональним просторам Орлича, таким, як _простори та експоненціальні простори Орлича. Знайдено оцінки розподілу норми Люксембурга цих процесів. Також в цьому розділі введено поняття узагальненого дробового броунівського руху та досліджено, яким функціональним просторам Орлича належать траєкторії узагальненого та класичного дробового броунівського руху, що визначені на відрізку та оцінено розподіл норми Люксембурга цих процесів в відповідних просторах Орлича. В третьому розділі дисертаційної роботи отримано умови належності траєкторій випадкових процесів з просторів Орлича випадкових величин просторам Орлича , що визначені на некомпактній множині в Rd. Знайдено відповідні умови для стаціонарних в широкому розумінні строго Орличевських випадкових процесів. В четвертому розділі знайдено умови, за яких траєкторії випадкових процесів з просторів Орлича випадкових величин належать просторам Соболєва-Орлича з ймовірністю одиниця як у випадку компактної параметричної множини, так і в випадку, коли вона не є компактом. На основі отриманих результатів в п’ятому розділі дисертації знайдено оцінки для швидкості збіжності вейвлет розкладів випадкових процесів з просторів Орлича випадкових величин та в нормі простору (R).
Всі одержані в роботі результати є новими та мають теоретичне та практичне значення. Зокрема, практично результати дисертаційної роботи можуть застосовуватись у фінансовій математиці, теорії масового обслуговування та в інших галузях науки, де використовуються випадкові процеси.
СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ
Козаченко Ю.В., Яковенко Т.О. Умови належності випадкових процесів деяким функціональним просторам Орлича // Вісник Київського університету. Сер. фіз.-мат. науки. _2002. _№ 5. _С. 64_.
Яковенко Т.О. Властивості приростів процесів з просторів Орлича // Вісник Київського національного університету імені Тараса Шевченка. Математика. Механіка. _2003. _№ 9_. _С. 142_.
Козаченко Ю.В., Яковенко Т. О. Стохастичні процеси з просторів Орлича // Доповіді Національної академії наук України. _2004. _№3. _С. 7_.
Yakovenko T. Condition under which processes belong to Orlicz spaces in case of noncompact parametric set // Theory of Stochastic Processes. _2004. _Vol. 10(26), issue 1_. _P. 178_.
Яковенко Т.О. Умови належності процесів деяким функціональним просторам Орлича // Вісник Київського університету. Сер. фіз.-мат. науки. _2004. _№ 2. _С. 76_.
Kozachenko Yu. Iakovenko T. Random processes which sampling function belong to Orlicz spaces // The International Mathematical Conference honouring D.A.100th year since the begining of his work at Kyiv University. _Kyiv(Ukraine) _ 2002. _P. _.
Яковенко Т.О. Умови належності випадкових процесів просторам Орлича у випадку, коли параметрична множина не є компактною // Прикладна статистика, актуарна та фінансова математика. _2003. _№ 1_. _С.244_. (Матеріали Другої міжнародної науково-практичної конференції студентів, аспірантів і молодих вчених ''Сучасні задачі прикладної статистики, промислової, актуарної та фінансової математики'', м.Донецьк, 2004)
Яковенко Т.О. Випадкові процеси в функціональних просторах Орлича // Матеріали Десятої міжнародної наукової конференції імені академіка Михайла Кравчука. _м. Київ, 2004. _С. 649.
А Н О Т А Ц І Я
Яковенко Т.О. Випадкові процеси в функціональних просторах Орлича. Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.05 – теорія ймовірностей і математична статистика. Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2004.
Основним завданням дисертаційної роботи є знаходження умов належності з ймовірністю одиниця траєкторій випадкових процесів з просторів Орлича випадкових величин функціональним просторам Орлича, зокрема _просторам та експоненціальним просторам. Отримано відповідні умови в випадку, коли параметрична множина процесу є компактом та знайдено оцінки розподілу норми Люксембурга випадкових процесів. Також в роботі розглянуто випадок, коли параметрична множина не є компактом в Rd та отримано умови, за яких траєкторії випадкових процесів з просторів Орлича випадкових величин належать просторам . Отримані результати застосовуються для дослідження умов, за яких траєкторії випадкових процесів з просторів Орлича випадкових величин належать просторам Соболєва-Орлича в обох випадках: компактної та некомпактної параметричної множини. Це дало змогу оцінити швидкість збіжності вейвлет розкладів випадкових процесів з просторів та в нормі простору (R).
Ключові слова: випадковий процес, простори Орлича випадкових величин, функціональні простори Орлича, норма Люксембурга, простори Соболєва-Орлича, вейвлет розклад.
А Н Н О Т А Ц И Я
Яковенко Т.А. Случайные процессы в функциональных пространствах Орлича. Рукопись.
Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.05 – теория вероятностей и математическая статистика. Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2004.
Одним из интенсивно развивающихся направлений в теории случайных процессов на сегодняшний день есть исследование аналитических свойств траекторий случайных процессов, оценка распределения функционалов от случайных процессов. Это вызвано тем, что полученные результаты часто используются при решении различных задач возникающих в финансовой математике, теории массового обслуживания, биологии, радиотехнике и других отраслях науки.
В диссертационной работе рассматривается задача нахождения условий, при каких траектории случайных процессов с пространств Орлича случайных величин принадлежат с вероятностью единица функциональным пространствам Орлича. Сначала рассмотрен случай, когда случайный процесс определен на компактном параметрическом множестве. Найдены условия принадлежности процессов пространствам и экспоненциальным пространствам Орлича, а также оценено распределение нормы Люксембурга процессов в этих пространствах. В частности, введено понятие обобщенного дробного броуновского движения и исследованы на принадлежность конкретным функциональным пространствам Орлича траектории обобщенного и классического дробного броуновского движения. Оценены распределения нормы этих процессов в соответствующих пространствах Орлича.
В связи с растущим интересом к исследованию поведения случайных процессов при бесконечно возрастающем времени возникла необходимость в исследовании случайных процессов определенных на некомпактном параметрическом множестве. В работе найдены достаточные условия принадлежности с вероятностью единица траекторий случайных процессов, определённых на некомпактном множестве, функциональным пространствам Орлича. В частности, исследованы стационарные в широком смысле строго Орличевские случайные процессы определенные на R. Условия принадлежности с вероятностью единица случайных процессов пространствам Соболева-Орлича найдены в случаях компактного и некомпактного в R параметрического множества.
В начале 90-х годов XX столетия в Западной Европе и Северной Америке начало бурно развиваться новое направление математики _вейвлет анализ. Это было вызвано эффективностью использования полученных результатов на практике. Выяснилось, например, что запись и сохранение информации при помощи вейвлет базисов намного эффективнее, чем при использовании базисов Фурье. Разложения случайных процессов по системам вейвлетов используются при моделировании процессов и при сохранении их траекторий с целью возобновления в будущем. Результаты, полученные в первых разделах диссертационной работы, были использованы для исследования скорости сходимости вейвлет разложений траекторий случайных процессов в норме пространства (R).
Ключевые слова: случайный процесс, пространства Орлича случайных величин, функциональные пространства Орлича, норма Люксембурга, пространства Соболева-Орлича, вейвлет разложение.
A N N O T A T I O N
Yakovenko T.O. Stochastic Processes in the Orlicz Function Spaces. – Manuscript.
The thesis is for obtaining the Candidate of Physical and Mathematical Sciences degree on the specialty 01.01.05 – Probability Theory and Mathematical Statistics. Kyiv National Taras Shevchenko University, 2004.
The main task of the thesis is the determination of conditions under which trajectories of stochastic processes from Orlicz spaces of random variables belong to the functional Orlicz spaces with probability one. Corresponding conditions and estimates for distribution of the Luxemburg norm of the processes are obtained in the case of compact parametric space. The case of noncompact parametric set is also considered. In both this cases obtained results are applied for the investigation conditions under which trajectories of the stochastic processes belong to the Sobolev-Orlicz spaces with probability one. It gives the possibility to estimate the rate of convergence of wavelet expansion in the norm of space(R) for the stochastic processes from and spaces.
Key words: stochastic process, Orlicz spaces of random variables, functional Orlicz spaces, Luxemburg norm, Sobolev-Orlicz spaces, wavelet expansion.
