ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЇ МАТЕМАТИКИ І МЕХАНІКИ

АФАНАСЬЄВА Наталія Валеріївна

УДК 517.95

РЕЖИМИ З ЗАГОСТРЕННЯМ ДЛЯ ДЕЯКИХ КЛАСІВ

ВИРОДНИХ ПАРАБОЛІЧНИХ РІВНЯНЬ

В НЕОБМЕЖЕНИХ ОБЛАСТЯХ

01.01.02 – диференціальні рівняння

втореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Донецьк – 2006

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті прикладної математики і механіки НАН України.

Науковий керівник: | доктор фізико-математичних наук

Тедеєв Анатолій Федорович,

Інститут прикладної математики і механіки НАН України, завідуючий відділом рівнянь математичної фізики

Офіційні опоненти: | доктор фізико-математичних наук, професор

Бородін Михайло Олексійович,

Донецький національний університет, завідуючий кафедри математичної фізики

доктор фізико-математичних наук, професор

Лавренюк Сергій Павлович

Львівський національний університет імені Івана Франка, професор кафедри диференціальних рівнянь

Провідна установа: | Інститут математики НАН України, відділ диференціальних рівнянь з частинними похідними (м. Київ).

Захист відбудеться 15 листопада 2006 р. о 13 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д11.193.01 при Інституті прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 83114, м. Донецьк , вул. Р.Люксембург, 74.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 83114, м. Донецьк , вул. Р.Люксембург, 74.

Автореферат розісланий 12 жовтня 2006 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради |

О. А. Ковалевський

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Численні задачі сучасної фізики, хімії, біології, екології приводять до проблеми встановлення умов існування або неіснування обмежених розв’язків нелінійних еволюційних початково-крайових задач. Останнім часом велику увагу в теорії нелінійних параболічних рівнянь приділяють дослідженню необмежених розв’язків чи, як їх ще називають, режимів з загостренням (фізичний термін). Довгий час такі розв’язки розглядалися, як екзотичні приклади, що демонструють міру оптимальності обмежень, які забезпечують глобальну розв’язність, тобто існування обмеженого розв’язку для будь-якого часу t. Але такі сингулярні за часом розв’язки мають фізичний сенс, наприклад, в задачах, що моделюють тепловий вибух або процеси кумуляції ударних хвиль.

Якщо всі невід’ємні розв’язки нелінійної еволюційної задачі необмежено зростають за кінцевий проміжок часу (“вибухають”), то кажуть, що така задача глобально (за часом) нерозв’язна.

Перші задачі, пов’язані з вивченням режимів із загостренням, було поставлено ще в 40-50-і роки минулого століття у контексті теорії ланцюгової реакції Семенова, теорії адіабатичного вибуху, проблем горіння.

Імпульсу розвитку математичної теорії необмежених розв’язків надала можливість її практичного застосування, наприклад, при вивченні проблеми самофокусування світлових пучків в нелінійному середовищі, або безударного стискання газу.

Перші успішні спроби виведення умов необмеженості розв’язків початково-крайових задач для нелінійних параболічних рівнянь було зроблено ще в 60-ті роки минулого століття С. Капланом, Х. Фуджитою, А. Фрідманом. Запропоновані ними методи виявились дуже ефективними та в подальшому були розвинуті. Істотні результати в цьому напрямку отримали В.О. Галактіонов, С.П. Курдюмов, О.П. Міхайлов, О.А. Самарський, О.С. Калашніков, Ф. Вайсслер, Х. Левін, П. Мейєр, К. Пао, Й.-В. Кві та багато інших авторів.

Особливе місце серед цих досліджень займає робота Х. Фуджити Fujita H. On the blowing up of solutions to the Cauchy problem for ut=u+u1+ // J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect. IA, Math. 1966. V. 13. P. 109-124., що дала початок розвитку цілого напрямку в теорії нелінійних параболічних рівнянь. В ній розглядалася задача Коші для напівлінійного рівняння теплопровідності з джерелом, яке має вигляд степеневої функції

ut= u +ur, x RN, t>0; u(0,x) 0, ,

де показник r > 1. В цій роботі було встановлено залежність існування глобального за часом розв’язку від значення r. Зокрема, Х. Фуджита знайшов критичний показник , такий, що коли 1< r < rc, то всі невід’ємні розв’язки задачі стають необмеженими за кінцевий час (кажуть, що r належить до інтервалу неіснування, або відноситься до випадку режиму з загостренням). Якщо ж показник степеня джерела r > rc, то задача може мати і глобальні за часом розв’язки, і такі що необмежено зростають, в залежності від поведінки початкової функції, а саме, глобальний розв’язок існує, якщо початкова функція достатньо мала. В цьому випадку кажуть, що r належить до інтервалу існування, не дивлячись на те, що для “великих” початкових даних глобальних розв’язків може і не бути.

Питання глобальної розв’язності у випадку, коли r дорівнює критичному показнику було вивчено пізніше в роботах К. Хаякави, К. Кобаяши, Т. Сіаро, Х. Танака та інших авторів. З’ясувалось, що критичний показник належить до режиму з загостренням.

В подальшому результати, що стосуються отримання критичного показника стали називати теоремами типу Фуджити, а сам критичний показник – показником Фуджити.

На протязі останніх років проводилася інтенсивна робота по отриманню результатів типу Х. Фуджити для різноманітних початково-крайових задач з квазілінійними параболічними рівняннями. В цій тематиці можна відзначити декілька напрямків, за якими ведеться робота щодо узагальнення тверджень Фуджити (хоча всі ці напрямки перетинаються і задачі узагальнюються відразу за декількома параметрами).

По-перше, розглядаються більш загальні рівняння з нелінійністю в головній частині (з оператором пористого середовища, р-лапласіаном, з подвійною нелінійністю). Питанням існування або неіснування обмежених розв’язків таких задач займались В.О. Галактіонов, С.П. Курдюмов, О.П. Міхайлов, О.А. Самарський, Х. Левін, Г. Ліберман, Е. Мітідієрі, С.І. Похожаєв, Е. Ді Бенедетто, Д. Андреуччі, А.Ф. Тедеєв, К. Мошизукі, К. Мукаі та інші.

Другий напрямок – це дослідження початкових та початково-крайових задач в області, відмінної від . Еволюційним задачам в необмежених областях присвячено роботи П. Мейєра, К. Бандл и Х. Левіна, Д. Андреуччі та А.Ф. Тедеєва, а також інших авторів. Умови глобальної розв’язності або нерозв’язності в обмежених областях було отримано в роботах М. Цуцумі, В.О. Галактіонова.

До наступного класу належать задачі, в яких розглядаються рівняння з іншою нелінійністю джерела. Наприклад, в роботах К. Бандл, Х. Левіна, П. Мейєра, П. Сакса, Й-В. Кві та ряду інших авторів джерело має вигляд , де , , , .

Задача Коші для напівлінійного рівняння теплопровідності з нелокальним джерелом розглядалася у роботі В.О. Галактіонова та Х. Левіна Galaktionov V. A. and Levine H.A. A general approach to critical Fujita exponents and systems // Nonlinear Anal. TMA, 1998 – V. 34 – P. 1005-1027 , в якій було наведено оцінки критичного показника.

В подальшому з’ясувалося, що якщо початкова функція неінтегровна у всьому просторі, то критичний показник істотно залежить також від її поведінки на нескінченності. Дослідженню задачі з такими початковими даними присвячена робота К. Мошизукі, К. Мукаі та К. Хуанга Mukai K., Mochuzuki K., Huang Q. Large time behavior and life span for quasilinear parabolic equation with slow decay initial values // Nonlinear Anal. 2000, V. 39A, N1, P. 33-45.

Таким чином, виявляються цікавими розглянуті в дисертаційній роботі питання знаходження умов існування та неіснування глобальних розв’язків задачі Коші для вироджених параболічних рівнянь з неінтегровними початковими функціями та задач з нелокальним джерелом.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертації пов'язана з науковими дослідженнями відділу рівнянь математичної фізики ІПММ НАН України. Результати дисертації використані при виконанні державних тем "Задачі з вільними межами, нелінійні вироджені параболічні та еліптичні рівняння, проблеми існування та неіснування розв’язків, властивості сингулярних розв’язків", шифр ІІІ-3-04 (1.1.4.3), номер державної реєстрації № 0104U000860 та "Нелінійні проблеми математичної фізики в областях з вільними межами, регулярність та асимптотичні властивості розв’язків нелінійних еліптичних та параболічних задач", шифр 1.1.4.3, номер державної реєстрації № U001609

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є встановлення умов існування та неіснування глобальних за часом розв’язків задачі Коші для виродних параболічних рівнянь з подвійною нелінійністю в головній частині та з джерелом в необмежених областях.

Задачі дослідження :

- отримати умови існування та неіснування глобальних розв’язків задачі Коші для параболічного рівняння з подвійною нелінійністю у випадку швидкої дифузії з локальним джерелом степеневого вигляду за умови, що початкові функції, не є інтегровними у всьому просторі та належать деякому ваговому простору;

- встановити умови глобальної розв’язності та нерозв’язності задачі Коші для виродного параболічного рівняння з нелокальним джерелом;

- вивести умови глобальної розв’язності задачі Коші для параболічного рівняння з подвійною нелінійністю і для параболічного рівняння з підлінійними коефіцієнтами, якщо джерело містить нелокальний множник з від’ємним показником степеня;

- одержати результати типу Фуджити для задачі Коші з виродним параболічним рівнянням, коли початкові функції повільно прямують до нуля на нескінченності і джерело має нелокальний множник.

Об’єкт дослідження. Задача Коші для виродного параболічного рівняння з джерелом в необмеженій області.

Предмет дослідження. Умови існування та неіснування глобальних розв’язків задачі Коші для виродних параболічних задач з джерелом.

Методи дослідження. Використано метод енергетичних оцінок, запропонований в роботах Е. Де Джорджі і розвинутий в подальшому в роботах О.О. Ладиженської, В.О. Солоннікова, Н.М. Уральцевої Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. – 736с., Е. Ді Бенедетто та інших авторів. Результати, що стосуються глобальної нерозв’язності в цілому за часом, отримані також за допомогою методу множення на спробну функцію з від’ємним показником степеня, що застосовувався в аналогічних цілях в роботах А.Ф. Тедеєва, Д. Андреуччі Andreucci D., Tedeev A.F. Optimal bounds and blow-up phenomena for parabolic problems in narrowing domains // Proceeding of the Royal Soc. of Ed. –1998. – V. 128.6 – P.1163-1180 та З. Джунінга Juning Z. On the Cauchy problem and initial traces for the evolution p-Laplacian equations with strongly nonlinear sources // J. Differ. Equat. – 1995. – V.121 – P. 329-383. .

Наукова новизна одержаних результатів визначається наступними положеннями:

- Отримані умови існування та неіснування глобальних розв’язків задачі Коші для квазілінійного параболічного рівняння у випадку початкових даних, що повільно прямують до нуля та належать до деякого вагового простору.

- Доведено теореми типу Фуджити для виродного параболічного рівняння з нелокальним джерелом.

- Вперше одержано умови існування глобального розв’язку задачі Коші для квазілінійного параболічного рівняння з дивергентною головною частиною з джерелом, що містить нелокальний множник з від’ємним показником степеня. Розглянуто рівняння з подвійною нелінійністю та з підлінійними коефіцієнтами. Ці результати є новими навіть для напівлінійного рівняння.

- Знайдено умови глобальної розв’язності та відсутності обмежених розв’язків задачі Коші для виродного параболічного рівняння з нелокальним джерелом у випадку початкових функцій, що повільно спадають до нуля.

Практичне та теоретичне значення одержаних результатів. Дисертація носить в основному теоретичний характер. Результати можуть бути застосовані в подальших дослідженнях виродних параболічних рівнянь з джерелом.

Особистий внесок здобувача. Всі результати дисертації отримані автором самостійно. У спільних роботах [1, 2, 4] А.Ф. Тедеєву належить постановка задач, схема доведення апріорних оцінок та енергетичних нерівностей, дисертанту належить доведення основних результатів.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались та обговорювались на об’єднаному семінарі відділів рівнянь з частинними похідними, рівнянь математичної фізики та нелінійного аналізу Інституту прикладної математики і механіки НАН України (керівники: доктор фіз. - мат. наук, професор А.Є. Шишков, доктор фіз. - мат. наук А.Ф. Тедеєв, доктор фіз. - мат. наук О.А. Ковалевський); на міжнародних конференціях “Nonlinear Partial Differential Equations” (Алушта, 2003 р., Алушта, 2005 р.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 5 роботах. З них 3 – у наукових виданнях, які входять до переліку ВАК України, 2- у матеріалах конференцій.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається із списку позначень та умовних скорочень, вступу, чотирьох розділів, розбитих на підрозділи, висновків та списку використаних джерел. Загальний обсяг дисертації – 112 сторінок. Список використаних джерел займає 11 сторінок та включає 107 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовується актуальність теми, формулюються мета та задачі дослідження, вказано на зв’язок дисертації з науково-дослідною роботою відділу рівнянь математичної фізики Інституту прикладної математики і механіки НАН України, де вона виконана, відзначено новизну основних результатів, їх практичне значення, а також апробацію.

У першому розділі наведено огляд літератури за темою дисертації.

У другому розділі знайдено умови існування та неіснування невід’ємних розв’язків наступної задача Коші:

, , (1)

u (x,0) = u0(x) ? 0, x RN , (2)

де RN – N-вимірний евклідів простір (N ? 2), , r > 1 та . Початкова функція u0L1,loc(R----N) належить деякому класу функцій, що, взагалі кажучи, не сумуються у всьому просторі. Опишемо цей клас.

Нехай h(s) – неперервна невід’ємна неспадна функція, визначена для s , така, що h(s)  , коли s   та функція – не спадає. Розглядаються початкові функції u0, що задовольняють умову:

, (3)

де –куля радіуса з центром у точці .

Будемо казати, що функція u (x,t) є узагальненим розв’язком задачі (1), (2) в QT, якщо u(x,t) ? 0 майже скрізь в QT,

,

,

,

функція u(x,t) задовольняє інтегральну тотожність

для всякої функції . І крім того, u(,t)  u0, коли t  0 в L1,loc(RN).

Надалі скрізь під розв’язком задачі (1), (2) будемо розуміти узагальнений розв’язок.

Позначимо ще через функцію, обернену до H(s).

Сформулюємо основні результати цього розділу.

Теорема 1. Нехай

. (4)

Тоді існує розв’язок задачі (1), (2), визначений для всіх t 0, за умови, що

,

де та – достатньо мале число. Більше того, знайдеться така додатна стала , що для всіх t 0 вірна оцінка

(5)

Теорема 2. Нехай функція h(s) задовольняє умови:

Існує та додатні числа , такі, що

,

для всіх s > 0,  , > , 0 < і деякої сталої . Крім того, нехай

коли . (6)

Тоді всякий невід’ємний розв’язок задачі (1), (2) “вибухає” за кінцевий час.

Зауваження 3. Друга з умов теореми 2 буде виконана, коли, наприклад, з деякою сталою c > .

Зауваження 4. Вперше умова критичності показника у вигляді збіжності або розбіжності інтегралів типу Діні (аналоги умови (4) теореми 1 та умови (6) теореми 2) була отримана в роботі Д. Андреуччі та А.Ф. Тедеєва Andreucci D., Tedeev A.F. A Fujita type results for degenerate Neumann problem in domains with noncompact boundary // J. of Math. Anal. аnd Appl. 231(2), - 1999. – P. 543-567. В даному випадку умови (4) та (6) виражають залежність глобальної розв’язності задачі не лише від показників нелінійності, але і від характеру спадання початкової функції.

Приклад 5. Якщо початкова функція на нескінченності має вигляд , де 0   < N та a > – деяке достатньо мале число, то очевидно, що в якості h(s) можна взяти функцію h(s) = s , тоді із теорем 1, 2 виходить, що критичний показник Фуджити дорівнює rc= m+ +.

Зауваження 6. Результат, наведений в прикладі 5, для співпадає з результатом роботи К. Мукаі, К. Мошизукі та К. Хуанга Mukai K., Mochuzuki K., Huang Large time behavior and life span for a quasilinear parabolic equation with slow decay initial valuesAnal. 2000, V. 39A №1, P. 33-45., де розглядалися саме такі початкові функції. Але твердження теорем 1 та 2 стосуються більш широкого класу початкових даних. Це демонструється наступним простим прикладом.

Приклад 7. Якщо у прикладі 5 покласти  = N, то можна перевірити, що початкова функція задовольняє умові (3) з , а критичний показник Фуджити залишається таким же, як і у попередньому прикладі. Також легко довести, що критичний показник не змінюється і у випадку початкових функцій, що на нескінченності мають вигляд , де 0   N, a > – достатньо мала стала та l > 0. Якщо l – натуральне число, то простий підрахунок показує, що в якості h(s) можна взяти функцію .

У підрозділі 2.1 доведено теорему 1 про глобальну розв’язність. При цьому було застосовано метод енергетичних оцінок, що використовувався, наприклад, в роботі Д. Андреучі та Е. Ді Бенедетто Andreucci D., Di Benedetto E. On the Cauchy problem and initial traces for a class of evolutions with strongly nonlinear sources // Annali Sc. Normale Sup Pisa. – 18. – 1991. – P. 363-441 .

У підрозділі 2.2 доведена теорема 2 за допомогою методу множення на спробну функцію з від’ємним показником степеня.

У третьому розділі розглядається задача Коші для виродного параболічного рівняння з нелокальним джерелом

,  (7)

, xRN, (8)

де , , , p 0, r  1, , , m > , ,

.

Будемо казати, що функція u (x,t) є узагальненим розв’язком задачі (7), (8) в QT, якщо u(x,t) ? 0 майже скрізь в QT,

,

,

,

функція u(x,t) задовольняє інтегральну тотожність

для всякої обмеженої області QT та всякої функції (x,t) (). І, крім того, , коли t 0 в .

Надалі скрізь під розв’язком задачі (7), (8) будемо розуміти узагальнений розв’язок.

В цьому розділі знайдено умови існування та неіснування глобальних розв’язків задачі (7), (8). Для випадку p > основні результати викладені в наступних двох теоремах.

Теорема 8. Нехай в (7) p > ,, , -N < 0 та початкова функція задовольняє умову

(9)

з достатньо малим >0 та , . Тоді, якщо

(10)

то задача (7), (8) має розв’язок , визначений при всякому . Більше того, знайдеться стала , що залежить лише від N, m, , p, r, q, , така, що u(x,t) для всякого задовольняє нерівність

, (11)

де K = N (m +  – ) + m + 1.

Теорема 9. Нехай в (7) . Якщо p та r такі, що , p1+, ,

m+ < r < r*,

то всякий невід’ємний розв’язок задачі (7), (8) стає необмеженим при деякому .

У випадку доведена теорема про існування глобальних розв’язків задачі (7), (8) .

Теорема . Нехай тепер , , , , та . Припустимо також, що початкова функція задовольняє умову (9) з деяким достатньо малим та  = q, а її носій знаходиться у кулі деякого радіуса 0 >  з центром в початку координат.

Тоді існує глобальний за часом розв’язок задачі (7), (8), для якого з деякою сталою , що залежить лише від N, m, , p, r, , q, виконується нерівність (11).

Аналогічна теорема буде мати місце, якщо замість задачі (7), (8) розглянути задачу Коші для рівняння наступного вигляду

, (12)

u(x,0)=u0(x) > 0, xRN, (13)

де функції , i = 1,…, n, неперервні по , вимірні по (x,t) QT  та з деякими додатними сталими с0 і с1 для будь-яких і з та для майже всіх   задовольняють наступні умови

; (14)

; (15)

, . (16)

Теорема 11. Нехай для задачі (12), (13) , , і виконані умови (14)-(16). Крім того, нехай

,

. Припустимо також, що початкова функція задовольняє умову (9) з деяким достатньо малим та , а її носій міститься в кулі деякого радіуса 0 з центром в початку координат.

Тоді існує глобальний за часом розв’язок задачі (12), (13), для якого з деякою сталою , що залежить лише від N, p, r, , q, , , виконується нерівність

.

Зауваження 12. Висновки теорем 8 та 9 для , співпадають з результатами роботи В.О. Галактіонова та Х. Левіна Galaktionov V. A. and Levine H.A. A general approach to critical Fujita exponents and systems // Nonlinear Anal. TMA, 1998 – V. 34 – P. 1005-1027 , що були отримані за допомогою методу порівняння. Випадок (теореми 10 та 11) раніше не розглядався навіть для напівлінійних рівнянь. У огляді К. Денга та Х. Левіна Deng K., Levine H.A. The role of critical exponents in blow-up theorems: the sequel // J. Math. Anal. and Appl., 2000 – V. 243 – P. 85-126.

було відзначено, що отримати результати розв’язності за такої умови на методами порівняння неможливо, тому що необхідно проводити оцінку зверху нелокального множника, який знаходиться у від’ємному степені.

Дослідження випадку проведено за допомогою методу енергетичних оцінок у підрозділах 3.1 та 3.2, в яких наведено докази теореми 8 про глобальну розв’язність та теореми 9 про умови виникнення режиму з загостренням відповідно.

Підрозділ 3.3. присвячено умовам існування у випадку 0 < . Основна складність при доведенні теорем 10 і 11 полягала в необхідності оцінити знизу нелокальний вираз . Для подолання цієї проблеми отримано оцінку інтеграла розв’язку по зовнішності деякої кулі. У випадку подвійної нелінійності цю мету було досягнуто шляхом оцінювання носія розв’язку для малих значень часу та вагового інтегралу. Для підлінійного рівняння важливу роль відіграє той факт, що за малих значень інтеграл розв’язку по зовнішності кулі має експоненційне спадання. В обох випадках спосіб доведення вимагає додаткової умови – фінітності носія початкової функції.

У четвертому розділі знайдено умови існування та неіснування глобальних розв’язків для задачі Коші з нелокальним джерелом у випадку повільно спадних початкових даних:

,  (17)

u(x,0) =0(x) > 0, xRN, (18)

де QT = RN(0, T), , , p, r  , , m > , , як і раніше -N< <N(q-1). Початкова функція , задовольняє умову (3), з деякою неперервною невід’ємною неспадною функцією h(s), що визначена для всіх s > 0 та така, що , коли . Нехай також – функція, обернена до .

Будемо казати, що функція є узагальненим розв’язком задачі (17), (18) в QT у класі повільно спадних до нуля функцій, якщо u(x,t) ? 0 майже скрізь в QT,

,

,

,

та функція задовольняє інтегральну тотожність

для всякої обмеженої області QT та всякої функції (x,t) (). І, крім того, u(,t)  u0 в L1,loc(RN), коли t 0.

Відзначимо, що задача (17), (18) нова і по постановці. Основні результати четвертого розділу викладено у наступних двох теоремах.

Теорема 13. Нехай 1= , де - куля радіуса з центром в початку координат, і

.

Тоді існує розв’язок задачі (17), (18), визначений для всіх , за умови, що

,

де , та достатньо мале число. Більше того, для всіх має місце оцінка

Теорема 14. Нехай 1=RN і функція задовольняє умову:

коли ,

знайдуться сталі такі, що для всіх > 0 та 0 < c2

де – куля радіуса з центром в початку координат.

Тоді, всякий розв’язок задачі (17), (18) необмежено зростає за кінцевий час.

Приклад 15. Якщо, як і в другому розділі, початкова функція на нескінченності має вигляд a |x|-, де 0   < N та a > – деяке достатньо мале число, то очевидно, що в якості h(s) можна взяти функцію . Тоді з теорем 13, 14 виходить, що критичний показник Фуджити дорівнює  = m+ +, що у випадку p = співпадає з результатами розділу 2. Так само, як і в розділі 2, легко підрахувати, що критичний показник залишається тим самим і для випадку  = N з .

ВИСНОВКИ

Дисертаційна робота присвячена вивченню глобальної розв’язності задачі Коші для виродних параболічних рівнянь з джерелом в необмежених областях.

1. Отримано умови існування та неіснування невід’ємних глобальних розв’язків задачі Коші для квазілінійного параболічного рівняння у випадку початкових даних, що повільно прямують до нуля та належать до деякого вагового простору.

2. Доведено теореми про глобальну розв’язність задачі Коші для виродного параболічного рівняння з нелокальним джерелом, якщо показник джерела більше критичного та початкові функції достатньо малі.

3. Отримано теорему про відсутність глобальних розв’язків задачі Коші для виродного параболічного рівняння з нелокальним джерелом, якщо показник джерела менший за критичний.

4. Одержано умови існування глобального розв’язку задачі Коші для параболічного рівняння з подвійною нелінійністю та джерелом, що містить нелокальний множник з від’ємним показником степеня.

5. Доведено теорему про існування глобальних розв’язків задачі Коші для підлінійного параболічного рівняння з джерелом, що містить нелокальний множник у від’ємному степені.

6. Знайдені умови глобальної розв’язності та відсутності обмежених розв’язків задачі Коші для виродного параболічного рівняння з нелокальним джерелом у випадку початкових функцій, що повільно спадають до нуля.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Афанасьева Н.В., Тедеев А.Ф. Теоремы типа Фуджиты для квазилинейных параболических уравнений в случае медленно стремящихся к нулю начальных данных // Мат. сборник. – 2004. – Т.195. № 4. – С.3-22.

2. Афанасьева Н.В., Тедеев А.Ф. Теоремы существования и не существования решений задачи Коши для вырожденных параболических уравнений с нелокальным источником// Укр. мат. журнал. – 2005. – Т.57, №11. – С.1443-1464.

3. Афанасьева Н.В. Теоремы типа Фуджиты для вырожденных параболических уравнений с нелокальным источником в случае медленно убывающих начальных данных // Нелинейные граничные задачи. – 2005. – Т. 15. – С. 207-217.

4. Afanasieva N.V. and Tedeev A.F. Existence and nonexistence results to the Cauchy problem for degenerate parabolic equations with nonlocal sources // International conference. Nonlinear Partial Differential Equations. Book of abstracts. Alushta, September 15-21, 2003. – P. 5.

5. Afanasieva N.V. Fujita type theorems for degenerate parabolic equations with nonlocal source with slowly decaying initial data // International conference. Nonlinear Partial Differential Equations. Book of abstracts. Alushta, September 17-23, 2005. – P. 5.

АНОТАЦІЇ

Афанасьєва Н.В. Режими з загостренням для деяких класів виродних параболічних рівнянь в необмежених областях – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-матема-тич-них наук за спеціальністю 01.01.02 – диференціальні рівняння. – Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк, 2006.

Дисертаційна робота присвячена вивченню проблеми існування та неіснування глобальних розв’язків задачі Коші для деякого класу двічі виродних параболічних рівнянь з нелінійним джерелом. Розглянуто наступні випадки:

- початкова функція повільно спадає до нуля на нескінченності;

- джерело має нелокальний вигляд та знаходиться в додатному степені;

- нелокальний множник у джерелі має від’ємний показник степеня;

- джерело має нелокальний вигляд та початкова функція повільно спадає до нуля на нескінченності.

Одержано достатні умови існування та відсутності обмежених невід’ємних розв’язків таких задач.

Ключові слова: задача Коші, двічі нелінійні виродні параболічні рівняння, нелінійне джерело, нелокальне джерело, повільно спадні початкові дані, проблема Фуджити, критичний показник.

Афанасьева Н.В. Режимы с обострением для некоторых классов вырождающихся параболических уравнений в неограниченных областях – Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 – дифференциальные уравнения. – Институт прикладной математики и механики НАН Украины, Донецк, 2006.

В диссертации исследована глобальная разрешимость начальных задач для вырождающихся параболических уравнений во всем пространстве. Условия существования и несуществования глобальных решений начальных задач выведены при помощи метода энергетических оценок. Кроме того, для получения условий о неограниченности всякого неотрицательного решения используется метод умножения на пробную функцию в отрицательной степени.

Найдены условия существования глобальных решений задачи Коши для параболического уравнения с двойной нелинейностью в случае медленно убывающих к нулю начальных данных, которые принадлежат некоторому весовому пространству. При этом получена оценка сверху для глобальных решений. Также установлены условия, при которых любое неотрицательное решение задачи Коши неограниченно возрастает на конечном промежутке времени. Условия существования выражаются в виде сходимости интеграла типа Дини, а несуществования – в виде неограниченности на бесконечности некоторой радиальной функции. Эти условия отображают зависимость критического показателя не только от параметров нелинейности задачи, но и от характера убывания начальной функции. В простейших случаях такая запись условий критичности позволяет явно выписать критический показатель.

Исследована начальная задача для вырождающегося параболического уравнения с источником, содержащим нелокальный (интегральный) множитель с неинтегрируемым ядром. Найдены условия глобальной разрешимости и отсутствия глобальных решений в случае положительной степени нелокального множителя.

Впервые рассмотрена задача об установлении достаточных условий существования глобальных неотрицательных решений для уравнений с дивергентной главной частью и источником, содержащим нелокальный множитель в отрицательной степени. Получены теоремы существования для уравнения с двойной нелинейностью и для уравнения подлинейного вида. Основной сложностью при их доказательстве явилась необходимость получения оценки снизу нелокального множителя. Это удалось сделать при дополнительном условии конечности носителя начальной функции.

Установлены условия глобальной разрешимости задачи Коши с нелокальным источником в случае начальных данных, медленно стремящихся к нулю на бесконечности. Найдены также условия неразрешимости в целом по времени такой задачи. По-видимому, эта задача является новой и по постановке. Как и в случае с локальным источником, условия критичности описывают зависимость разрешимости задачи как от характера ее нелинейности, так и от поведения начальной функции на бесконечности.

Ключевые слова: задача Коши, дважды нелинейные врождающинся параболические уравнения, нелинейный источник, нелокальный источник, медленно убывающие начальные данные, проблема Фуджиты, критический показатель

Afanasieva N.V. Blow up for some classes of degenerate parabolic equations in unbounded domains – Manuscript.

Thesis for a candidate degree (physical and mathematical sciences) by speciality 01.01.02 – differential equations. – Institute of Applied Mathematics and Mechanics of National Academy of Sciences of Ukraine, Donetsk, 2006.

The dissertation is devoted to the study of the problem of existence and nonexistence of global solutions of the Cauchy problem for a certain class of doubly degenerate parabolic equations with a nonlinear source. The following cases were considered:

- the initial datum slowly decreases to zero at infinity;

- the source has a nonlocal form with a positive power;

- the exponent of nonlocal multiplier of the source is negative;

- the source has a nonlocal form and the initial datum slowly decreases to zero at infinity.

In these cases the sufficient conditions for existence and nonexistence of bounded non-negative solutions were established.

Keywords: The Cauchy problem, doubly nonlinear degenerate parabolic equations, nonlinear source, nonlocal source, slowly decay initial datum, the Fujita problem, critical exponent.