ХАРКІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ РАДІОЕЛЕКТРОНІКИ

Буц Олексій Вячеславович

УДК 537.86 : 537.877

ПЕРЕХІД ДО ХАОТИЧНОЇ ДИНАМІКИ У ПУЧКОВИХ

СИСТЕМАХ

01.04.03— радіофізика

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико–математичних наук

Харків — 2006

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Харківському національному університеті радіоелектроніки Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор

Чурюмов Геннадій Іванович,

Харківський національний університет радіоелектроніки МОН України, професор кафедри фізичних основ електронної техніки.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор, член-кореспондент НАН України

Ваврів Дмитро Михайлович,

Радіоастрономічний інститут НАН України (м. Харків), начальник відділу електронних НВЧ приладів.

доктор фізико-математичних наук, професор

Нерух Олександр Георгійович,

Харківський національний університет радіоелектроніки МОН України,

завідуючий кафедрою вищої математики.

Провідна установа: Національний науковий центр „Харківський фізико-технічний інститут” НАН України, інститут плазмової електроніки та нових методів прискорювання, теоретичний відділ.

Захист відбудеться “04” липня 2006 р. о 1300 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 64.052.03 Харківського національного університету радіоелектроніки МОН України за адресою: 61166, м. Харків, пр. Леніна, 14, ауд.334.

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці ХНУРЕ: 61166, м. Харків, пр. Леніна, 14.

Автореферат розісланий “___” _____________ 2006 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради В.М. Безрук

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Починаючи з роботи Е. Лоренца (1963 р.), науковому світу стало зрозумілим, що складна хаотична динаміка притаманна не тільки складним динамічним системам з великою кількістю ступенів свободи, а й відносно простим динамічним системам, які мають лише півтора ступеня свободи. Після розуміння такої можливості почався бурхливий розвиток досліджень, в яких вивчалася хаотична динаміка таких „простих” динамічних систем. Слід зазначити, що на можливість виникнення складної хаотичної динаміки „простих” систем вперше звертав увагу ще Пуанкаре. В своїх дослідженнях проблеми руху трьох тіл він вперше відкрив гомоклінічну структуру. При цьому рух на цій структурі він описував як рух, аналогічний випадковому. Основними напрямками дослідження хаотичної динаміки „простих” систем є з’ясування умов переходу регулярної динаміки до хаотичної, а також з’ясування сценаріїв такого переходу. На сьогоднішній день стало зрозумілим що практично усі нелінійні системи з кількістю ступенів свободи, що є більшою або дорівнює півтора, мають у просторі параметрів область, в якій рух системи, що вивчається, є хаотичним. Знаходження умов переходу регулярної динаміки до хаотичної є дуже важливим як для загальної теорії, так і для багаточисленних додатків. Дійсно, якщо нам необхідно, щоб система працювала регулярно, потрібно працювати в умовах її регулярної динаміки. При цьому треба бути впевненим, що режими хаотичної динаміки не можуть бути реалізовані. І навпаки, у багатьох випадках необхідно реалізувати режими хаотичної динаміки (для створення хаотичних генераторів, для стахостичного нагріву плазми, для радіопротидії, тощо). Втім, знання того факту, що процес є хаотичним, дозволяє використовувати для опису динаміки цих „простих” систем методи статистичної фізики. Це в свою чергу дозволяє аналітичними методами знайти важливі характеристики руху системи, що вивчається. На сьогодні знайдені умови переходу до складної хаотичної динаміки у багатьох важливих нелінійних системах, серед яких насамперед є система, що описується рівнянням математичного маятника, осцилятор Ван дер Поля, та інші.

Таким чином, дослідження фізики процесів переходу від регулярної динаміки часток і хвиль до хаотичної в результаті періодичної послідовності біфуркацій фазового портрету є актуальною задачею, яка має наукове та прикладне значення.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертаційної роботи тісно пов'язана з пріоритетними напрямками розвитку науки й техніки та виконувалась відповідно до планів навчальної науково-дослідної лабораторії “Електроніка-Оріон” Харківського національного університету радіоелектроніки, будучи водночас складовою частиною ряду держбюджетних науково-дослідних робіт, які були виконані в Харківському національному університеті радіоелектроніки в 1997-2005 роках, включаючи:

- “

- “

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є дослідження фізики процесів переходу від регулярної динаміки часток і хвиль до хаотичної в результаті періодичної послідовності біфуркацій фазового портрета, визначення аналітичних умов такого переходу, а також застосування отриманих результатів для керування динамікою нелінійних систем з розподіленою взаємодією.

Відповідно до поставленої мети в дисертаційній роботі сформульовано та вирішено такі задачі.

1. З’ясування аналітичних умов виникнення гомоклінічних структур та дивного атрактора (ДА) у фазовому просторі осцилятора Дюффінга (ОД), що знаходиться під дією зовнішнього та параметричного впливу. Відзначимо, що під зовнішнім впливом ми розуміємо силову дію на ОД, а під параметричним – зовнішню дію, яка змінює параметри ОД. З’ясування ролі біфуркацій фазового портрету на виникнення хаотичної динаміки.

2. Пошук умов виникнення хаотичної динаміки заряджених часток, що рухаються в постійному однорідному магнітному полі та у полі зовнішньої плоскої електромагнітної хвилі. Порівняння умов виникнення динамічного хаосу для різних конфігурацій електромагнітного поля плоскої хвилі (Е- та Н-хвилі).

3. Пошук умов стабілізації регулярного руху заряджених частинок у полі зовнішньої електромагнітної хвилі з амплітудою, що змінюється. При цьому головну увагу приділити такому закону зміни амплітуди, що є характерним для приладів мікрохвильової електроніки.

4. З’ясування можливості автофазування заряджених частинок, що рухаються в полі зовнішньої хвилі, амплітуда якої змінюється.

5. Побудова нелінійної самоузгодженої теорії збудження електромагнітних хвиль потоками заряджених частинок у зовнішньому постійному однорідному магнітному полі.

6. Вивчення фазового портрету руху заряджених частинок в умовах ізольованого циклотронного резонансу. З’ясування можливості та значення біфуркацій злиття народження особливих точок типу „центр” та „сідло”.

7. Дослідження аналогії між рухом заряджених частинок у неоднорідному полі та динамікою променів у неоднорідному середовищі. З’ясування можливості виникнення автофазування променів, яке є аналогією автофазування частинок Векслера - МакМілана. З’ясування можливості керування динамікою променів за рахунок зміни властивості середовища.

Об’єктом досліджень у дисертаційній роботі є процес переходу від регулярних до хаотичних коливань, що супроводжує динаміку заряджених частинок у полі електромагнітних хвиль і рух променів у неоднорідному середовищі.

Предметом досліджень є математичні моделі нелінійних систем типу “хвиля частинка”.

Методи дослідження. Під час розв’язання зазначених задач використовувалися: методи якісної теорії динамічних систем (метод фазового простору), методи теоретичної фізики та методи чисельного дослідження динаміки нелінійних систем.

Наукова новизна одержаних результатів.

1. Аналітичними та чисельними методами вивчена динаміка ОД, який знаходиться під дією параметричного впливу. Знайдені умови виникнення гомоклінічної структури у фазовому просторі ОД. З’ясовано, що дія параметричного збурення значно швидше ніж силова дія на ОД призводить до руйнування регулярного руху ОД. Особливо значний вплив на руйнування регулярного руху ОД призводить параметричне збурення коефіцієнта нелінійності ОД.

2. Доведено, що періодична біфуркація фазового портрету ОД призводить до виникнення динамічного хаосу.

3. Доведено, що аналіз динаміки ОД (регулярної та хаотичної) є корисним для аналізу динаміки багатьох важливих фізичних систем. З них, зокрема, треба відзначити систему Лоренца, нелінійне рівняння Шредінгера (солітони), динаміку руху заряджених частинок у зовнішньому магнітному полі та в полі електромагнітної хвилі у слабкорелятивістському наближенні, динамічне тунелювання.

4. Доведено, що у полі електромагнітної хвилі, амплітуда якої експоненціально зростає, виникає автофазування заряджених частинок. Це автофазування є схожим на автофазування Векслера - МакМілана, яке виникає при зміні фазової швидкості хвиль.

5. Доведено, що періодична модуляція амплітуди електромагнітної хвилі, що знаходиться у черенковському резонансі з частинкою, призводить до виникнення стохастичної нестійкості.

6. Створена самоузгоджена нелінійна теорія збудження електромагнітних хвиль потоками заряджених частинок у зовнішньому постійному однорідному магнітному полі, яка враховує можливість нерелятивістського руху частинок.

7. Доведена можливість виникнення динамічного хаосу в умовах одного ізольованого циклотронного резонансу. З’ясовано, що фізичною причиною виникнення локальної нестійкості є якісна зміна виду фазового портрету. Знайдено, що ця зміна обумовлена колективними процесами збудження хвилі електронними потоками.

8. Показано, що зміною неоднорідності середовища можливо суттєво змінювати динаміку променів: робити її хаотичною, або більш регулярною. Найбільш важливим при цьому є той факт, що знайдені умови, при дотриманні яких промені фокусуватимуться. Це фокусування є динамічним фокусуванням і суттєво відрізняється від відомого фокусування лінзами. Механізм цього фокусування є схожим на механізм автофазування заряджених часток Векслера - МакМілана.

Обґрунтованість і вірогідність наукових положень, висновків і рекомендацій обумовлюються тим фактом, що під час аналізу характеристик динаміки систем, які досліджувалися у дисертації, використовувалися відомі математичні моделі (рівняння Максвелла, рівняння руху заряджених частинок), а також моделі, які були побудовані за загальноприйнятими принципами побудови таких моделей. Крім того, під час вивчення розглянутих у дисертації фізичних моделей так само були використані відомі в математичній і теоретичній фізиці методи. Всі отримані результати не суперечать основним фізичним принципам, не порушують відому фізичну картину досліджуваних процесів, а тільки доповнюють і розширюють її. У всіх випадках, коли з’являлася така можливість, отримані результати перевірялися на асимптотичний перехід до відомих результатів, тобто є спадкоємність отриманих результатів з відомими результатами, отриманими іншими авторами. Найбільш важливі результати, що були отримані аналітичними методами, перевірялися чисельно. У всіх випадках спостерігався якісний, а в багатьох випадках і кількісний збіг аналітичних та чисельних результатів.

Практичне значення одержаних результатів полягає у вирішенні ряду практичних задач, пов’язаних з знаходженням умов виникнення хаотичної динаміки практично в усіх відомих приладах мікрохвильової електроніки; розробкою нових типів генераторів шумового мікрохвильового випромінювання; розробкою нових методів прискорення та нагрівання заряджених частинок (плазми) та нових методів контролю динаміки променів, включаючи розробку нових можливостей для динамічного фокусування випромінювання.

Особистий внесок здобувача. Всі результати, викладені в дисертації, одержані автором самостійно, або за його безпосередньої участі. У роботах

[1-2] особистий внесок автора полягає у побудові фазового портрету осцилятора Дюффінга, знаходженні аналітичних умов виникнення гомоклінічної структури, в чисельному дослідженні виникнення дивного аттрактора. У роботах [3-5] автором були знайдені інтеграли руху зарядженої частинки в полі плоскої зовнішньої електромагнітної хвилі довільної амплітуди за наявності зовнішнього постійного однорідного магнітного поля. Активну участь автор брав у формулюванні принципу переходу регулярної динаміки до хаотичної за рахунок періодичної послідовності біфуркацій фазового портрета. Автором був побудований фазовий портрет, а також знайдені умови біфуркації цього портрета. У роботі [6] автором рівняння, що описують динаміку руху променів у неоднорідному середовищі, були зведені до рівнянь, вигляд яких формально співпадає з рівняннями, що описують динаміку заряджених частинок у зовнішньому електромагнітному полі.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації були представлені автором і обговорені на таких конференціях:

·

·

·

· “

·

·

Публікації. Матеріали дисертації опубліковані в 6 статтях у наукових журналах, які входять до переліку ВАК України та в 6 тезах доповідей на міжнародних конференціях.

Структура дисертаційної роботи. Дисертаційна робота містить вступ, п'ять розділів, висновки та список використаних джерел. Обсяг дисертації становить 151 сторінки, у тому числі 46 рисунків. Список використаних джерел містить 152 найменування на 12 сторінках.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність вибраної теми, показано зв’язок дисертаційної роботи з науковими програмами, сформульовані мета та задачі дослідження, викладено наукову новизну та практичне значення отриманих результатів. Наведено дані про можливі практичні впровадження результатів роботи, публікації та особистий внесок автора.

У першому розділі проводиться огляд літератури та існуючих методів досліджень. Першим, хто зрозумів можливість виникнення складної хаотичної динаміки простих систем, які мають більше двох ступенів свободи, був

А. Пуанкаре. В своїх дослідженнях проблеми руху трьох тіл він вперше ввів до розгляду гомоклінічні структури. Він перший відзначив, що динаміка системи на цих гомоклінічних структурах є аналогічною випадковому руху. Однак його роботи дуже довго не приділялося належної уваги. Тільки у 1963 р. з’явилася робота Е. Лоренцо, в Якій він довів можливість виникнення складного хаотичного руху динамічних систем, що мають всього півтора ступеня свободи. Однак і ця робота декілька років також не була гідно оцінена. Можна вважати, що лише десь у 70-х роках у наукових колах зрозуміли усі можливості отриманих результатів. З цього часу почалося бурхливе вивчення динамічного хаосу. При цьому на початковому етапі вивчалась можливість появи хаотичної динаміки у різноманітних фізичних системах. Було з’ясовано, що практично усі реальні системи мають у своєму просторі параметрів області, які відповідають хаотичній динаміці. Винятком є лінійні системи, а також системи, що мають один ступінь свободи. Подальший розвиток динамічного хаосу пов’язаний з формулюванням умов виникнення складної хаотичної динаміки. Цей напрямок досліджень не є вичерпаним і до сьогоднішнього дня. Важливість знання виникнення умов динамічного хаосу полягає у тому, що це знання дає можливість керувати цими процесами, запобігати виникненню хаосу, якщо нам потрібен регулярний процес, і навпаки, зробити процес хаотичним, якщо необхідно. Крім того, важливо, що знання умов виникнення хаосу дає можливість використовувати для опису динаміки системи, яка вивчається, добре розвинуті методі статистичної фізики. Зазначимо, що ці методи зазвичай використовуються для систем, що мають велику кількість ступенів свободи. Головним критерієм виникнення хаосу є поява локальної нестійкості. Однак для доведення виникнення локальної нестійкості сьогоді, треба використовувати чисельні методи дослідження. Існує практично тільки дві можливості знаходження аналітичного критерію виникнення динамічного хаосу. Це метод Мельникова та критерій Чірікова перекриття нелінійних резонансів. Особливо важливим для мікрохвильової електроніки є критерій Чірікова. Це обумовлено тим, що вся мікрохвильова електроніка базується на взаємодії хвиль з зарядженими частинками. Відомо, що така взаємодія може бути ефективною не тільки під час виконання умов одного з резонансів. У мікрохвильовій електроніці використовуються пучки заряджених часток. Щільність цих пучків є невисокою, а тому частота зіткнення є дуже незначною і нею можна знехтувати. Як результат, рух частинок в мікрохвильовій електроніці може бути описаний гамільтоновими рівняннями. Як відомо, в резонансній теорії збурення динаміка усіх збурених гамільтонових систем описується рухом математичного маятника. Цим і обумовлена дужа важлива роль критерію Чірікова.

Взагалі в цьому розділі сформульовано вивід, що до розвитку динамічного хаосу у мікрохвильовій мікроелектроніці. Цей вивід базується на аналізі відомих результатів, однак загальний його висновок, що стосується виникнення динамічного хаосу в електроніці та взагалі в радіофізиці, не є загально прийнятим. Цей висновок полягає в тому, що практично в усіх системах мікрохвильової електроніки може бути використаним гамільтонів підхід, або системи, що є близькими до гамільтонових.

Другий розділ присвячено розгляду динаміки ОД, на який діють зовнішні сили:

, (1)

де – постійні параметри.

При цьому розглядається як силова дія, так і дія сил, що змінюють параметри ОД. Ця модель – модель ОД – була обрана тому, що вона є достатньо простою, з одного боку, а з іншого – вона дозволяє вивчати складну хаотичну динаміку. Слід зазначити, що динаміка двох інших нелінійних осциляторів – математичного маятника та осцилятора Ван дер Поля – добре вивчена. Найбільш важливим для нас є той факт, що фазовий портрет ОД може якісно змінюватись (рис. 1), в залежності від параметрів ОД, або від сил, що на нього діють. Ми вважаємо, що ця зміна вигляду фазового портрету (біфуркація) може бути однією з головних причин виникнення динамічного хаосу.

У цьому розділі перш за все аналітичними методами були вивчені потенціали ОД, зміна вигляду цих потенціалів у залежності від параметрів ОД, а також від сил, що на нього діють. Кожному потенціалу у співвідношенні знайдено фазовий портрет. Були знайдені умови якісної зміни вигляду як потенціалу, так і фазового портрету. Зокрема були знайдені умови, під час виконання яких навіть незначна дія зовнішніх сил призводить до якісної зміни потенціалу і фазового портрету. Так початково бістабільний потенціал (потенціал з двома мінімумами) під дією незначної сили може перетворитися у потенціал з одним мінімумом (у фазовому просторі виникає злиття сідлової точки з точкою типа „центр”).

Використовуючи метод Мельникова, були знайдені загальні умови виникнення гомоклінічної структури у фазовому просторі ОД під час силової дії на нього, а також зміни у часі його параметрів. Загальна формула, що визначає відстань між сепаратрисами, що розщеплені, має вигляд:

(2)

де – довільний початковий момент часу.

Проведено порівняння умов виникнення хаотичної динаміки під час окремого силового збурення ОД та окремої параметричної зміни параметрів ОД. Доведено, що дія параметричних сил значно скоріше призводить до руйнування регулярної динаміки. Цей висновок можна легко побачити з формули (2). Справді, третій і четвертий доданки у правій частині формули (2), є значно більшими, ніж другий.

Чисельними методами були проаналізовані значення максимальних показників Ляпунова. Зазначимо, що в усіх випадках, які були проаналізовані, в умовах біфуркацій фазового простору спостерігалася хаотична динаміка.

У цьому розділі також наводяться приклади важливих фізичних систем, для аналізу яких можуть бути корисними здобуті результати аналізу динаміки ОД. Такими системами є: рух заряджених частинок у зовнішньому магнітному полі та у полі електромагнітної хвилі у слаборелятивістському наближенні; динаміка солітонів, що може описуватися нелінійним рівнянням Шредінгера; система Лоренца.

У третьому розділі вивчаються особливості руху заряджених частинок у полі зовнішньої електромагнітної хвилі. Спочатку розглядається задача про динаміку частинок у постійному однорідному магнітному полі та у полі плоскої електромагнітної хвилі, амплітуда якої не змінюється і яка має довільну поляризацію. Записані умови перекриття нелінійних циклотронних резонансів. Проведено аналіз умов виникнення динамічного хаосу руху частинок у різноманітних випадках. Винайдено умови необмеженого стохастичного прискорення заряджених частинок, а також фізичні причини, що можуть обмежити таке прискорення.

Далі в цьому розділі розглядається рух заряджених частинок у полі електромагнітної хвилі, амплітуда якої змінюється. Для простоти вважається, що частинка рухається в нескінченно сильному зовнішньому магнітному полі. Тобто сама частинка з фізичних міркувань має тільки один ступінь свободи. Більш детально були розглянуті най важливі (характерні) залежності амплітуди хвилі від простору (або від часу): 1) експоненціальна залежність, яка характерна для хвиль, що підсилюються електронним пучком на лінійній стадії пучкової нестійкості; 2) періодична модуляція амплітуди, яка є характерною на нелінійній стадії взаємодії хвилі з електронним пучком.

Було доведено, що зміною амплітуди можливо керувати динамікою руху частинок, що взаємодіють з хвилею. Найбільш важливим є результат: якщо амплітуда електромагнітної хвилі експоненціально зростає, то виникає фазування заряджених часток, вони групуються у згустки (рис. 2).

Механізм цього фазування є схожий на механізм автофазування Векслера – МакМіллана, що виникає у полі електромагнітної хвилі з постійною амплітудою, фазова швидкість якої зростає. Доведено: якщо амплітуда хвилі періодично модульована, то динаміка руху частинок у такому полі стає стохастично нестійкою. Отже, змінюючи закон зміни амплітуди хвилі, з якою взаємодіють заряджені частинки, можна суттєво змінювати динаміку їх руху.

У четвертому розділі демонструється важливість здобутих у попередніх розділах результатів для пояснення процесів, які відбуваються у пучкових системах при збудженні електромагнітних хвиль. Найбільш цікавим для колективного збудження електромагнітних хвиль є можливість виникнення хаотичного режиму в умовах одного ізольованого резонансу. Зазначимо, що на сьогоднішній день існує думка, що стохастична нестійкість у пучкових системах виникає тільки в умовах перекриття нелінійних резонансів. З цією метою була вирішена задача про збудження електромагнітної хвилі потоком електронів, що рухаються у зовнішньому постійному однорідному магнітному полі. Була створена нелінійна самоузгоджена теорія збудження хвиль таким потоком електронів. Аналіз здобутої системи нелінійних інтегродиференціальних рівнянь був проведений для найбільш простого випадку, коли збуджувана хвиля розповсюджується перпендикулярно зовнішньому магнітному полю, та в умовах, коли може існувати тільки один циклотронний резонанс. Було доведено, що фазовий портрет руху частинок у цих умовах може якісно змінюватися (рис. 3.).

Ця зміна обумовлена величиною напруженості поля збуджуваної хвилі. Доведено також, що ця зміна (біфуркація) вигляду фазового простору і призводить до виникнення стохастичної нестійкості руху частинок і як результат – до виникнення режиму збудження хаотичних коливань. Розглянутий чисельними методами сценарій збудження хвилі в своїх ключових моментах дуже схожий на ті, що є описаними у попередніх розділах. Отже, зрозумілим є такий сценарій збудження хвилі електронним пучком. Якщо щільність пучка недостатньо велика, то фазовий портрет руху частинок якісно не змінюється, режим збудження хвилі залишається регулярним. При подальшому збільшенні щільності пучка напруженість поля збудженої хвилі зростає, настає момент, коли виникає біфуркація фазового портрету і як наслідок – хаотичний режим. Важливим є той факт, що усі ключові моменти можуть бути розглянуті (не тільки якісно, але і кількісно), використовуючи тільки одночастинне наближення.

У п’ятому розділі наводиться відома аналогія між рухом заряджених частинок у неоднорідних потенціалах та рухом променів у неоднорідних середовищах. У попередніх розділах було описано деякі важливі особливості руху часток. Виникає питання про особливості руху променів у цих випадках. Найбільш цікавим є можливість автофазування променів. Результати розгляду цієї проблеми і викладені у цьому розділі. Була розглянута задача про динаміку променів, що розповсюджуються у хвилевідних середовищах, параметри яких змінюються (рис. 4).

Була доведена можливість контролю динаміки променів за допомогою зміни параметрів середовища. Насамперед, були знайдені умови, аналогічні умовам автофазування заряджених частинок Векслера - МакМілана. Було доведено, що це автофазування може призводити до того, що усі промені стають паралельними. Однак при цьому пучок променів стає ширшим (в силу теореми Ліувіля). Найбільш важливим, однак, є той факт, що існують умови, коли промені фокусуються біля одного променя. Поперечний переріз пучка променів стає дуже малим. Має місце випадок динамічного фокусування променів. Слід вказати на важливу відзнаку цього динамічного фокусування від фокусування променів лінзами. При фокусуванні лінзами промені фокусуються в одній точці, за якою швидко розбігаються. При динамічному фокусуванні промені збігаються до одного центрального променя. Це збігання не призводить до дефокусування. Чим більше промені фокусуються, тим з більшою частотою (швидкістю) вони осцилюють біля центрального променя. Це є наслідком збереження фазового об’єму, тобто виконання теореми Ліувіля. Це динамічне фокусування не має аналогів то її особливості, на наш погляд, можуть бути цікавими для практичного використання. Динамічне фокусування регуляризує динаміку променів і запобігає розбіганню променів за наявності випадкових неоднорідностей. Нами знайдені умови, під час виконання яких динаміка променів стає хаотичною. Зокрема, за наявності періодичного збурення параметрів середовища вздовж розповсюдження променів може виникнути стохастична нестійкість руху. Знайдено умови виникнення локальної нестійкості руху променів. Виникнення стохастичної нестійкості призводить до розбігання променів та їх виходу із хвилеводу. Таким чином, зміною параметрів середовища може бути досягнутим ефективний контроль динаміки променів.

ВИСНОВКИ

В дисертації вирішена актуальна наукова задача, яка зв’язана з дослідженням фізики процесів переходу від регулярної динаміки часток і хвиль до хаотичної в результаті періодичної послідовності біфуркацій фазового портрета, розглянуті деякі ключові елементи динаміки руху заряджених частинок і променів. Основну увагу було приділено знаходженню умов виникнення хаотичної динаміки. Під час вирішення цих задач було досягнуто слідуючи найбільш важливі результати:

1. Детально вивчена динаміка руху осцилятора Дюффінга (ОД), який знаходиться під дією силового та параметричного впливу. В усіх цих випадках знайдені умови виникнення гомоклінічної структури. Доведено, що практично завжди параметричний вплив значно легше руйнує регулярну динаміку ОД.

2. Чисельними методами знайдені умови появи дивного атрактора у фазовому просторі ОД, а також максимальні показники Ляпунова. Виявлено, що періодична біфуркація фазового портрету ОД практично завжди призводить до виникнення хаотичної динаміки.

3. Доведено, що результати вивчення динаміки руху ОД можуть бути корисними для вивчення особливостей динаміки системи Лоренца, динаміки солітонів, що описуються нелінійним рівнянням Шредингера, а також для вивчення усіх динамічних систем, що описуються другим універсальним гамільтоніаном, зокрема, для вивчення руху заряджених частинок.

4. Вивчена динаміка руху заряджених частинок у зовнішньому постійному магнітному однорідному магнітному полі та у полі плоскої електромагнітної хвилі с постійною амплітудою. Проведено порівняння умов перекриття нелінійних циклотронних резонансів у залежності від поляризації хвилі.

5. Вивчена динаміка руху заряджених частинок у нескінченно сильному зовнішньому магнітному полі та у полі зовнішньої електромагнітної хвилі, амплітуда якої може змінюватися у просторі. Були розглянуті найбільш важливі для фізичної електроніки закони зміни амплітуди хвилі – експоненціальне зростання амплітуди та її періодична модуляція. Виявлено: якщо амплітуда експоненціально зростає, то виникає автофазування заряджених частинок. Механізм цього автофазування схожий на механізм автофазування Векслера-МакМілана. Якщо ж частинка рухається у полі хвилі, амплітуда якої періодично змінюється, то виникає хаотична динаміка руху частинок. Знайдені значення глибин модуляції, при яких виникає глобальна стохастичність. Зазначимо, що експоненціальне зростання амплітуди хвилі є характерним на лінійній стадії зростання поля у пучкових генераторах і підсилювачах, а періодична модуляція є характерною для нелінійної стадії взаємодії хвилі з електронним пучком.

6. Створена самоузгоджена нелінійна теорія збудження електромагнітної хвилі потоком електронів у зовнішньому постійному магнітному полі. Доведено, що навіть в умовах одного ізольованого циклотронного резонансу можливим є розвиток стохастичної нестійкості. Показано, що фазовий портрет руху частинок в умовах ізольованого циклотронного резонансу може якісно змінюватися. Доведено, що саме ця біфуркація фазового портрету є причиною виникнення хаотичної динаміки частинок.

7. Була вивчена особливість динаміки променів у неоднорідному середовищі, яка є аналогічною особливостям динаміки заряджених частинок, вивчених нами. Найбільш цікаві із здобутих результатів: доведена можливість ефективного контролю динаміки променів за рахунок зміни параметрів середовища. Зокрема, виявлена можливість нового типу фокусування променів – динамічного фокусування. Механізм цього фокусування схожий з механізмом автофазування Векслера - МакМілана. Знайдені умови виникнення динамічного хаосу руху променів при періодичній зміні параметрів діелектричного хвилеводу.

СПИСОК ОСНОВНИХ ПУБЛІКАЦІЙ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Буц А. В., Чурюмов Г. И. Основные особенности регулярной и хаотической динамики осциллятора Дюффинга // Радиотехника: Всеукр. меж вед. науч.-тех. сб. – 2002. – №130. – С. 54-59.

2. Буц А. В. Чурюмов Г. И. Регулярная и хаотическая динамика осциллятора Дюффинга. // Электромагнитные волны и электронные системы. –2003. – Т 9, №7. – С. 54-64.

3. Buts V. A., Buts A. V., Kuzmin V. V. Acceleration of charged particles by elliptic polarized waves of large amplitude // Problems of atomic science and technology. – 2004. –№2. – С. 144-146.

4. Buts A. V., Churyumov G. I. An instability dynamics of a beam of finite density oscillators under conditions of isolated cyclotron resonance // Applied Radio Electronics. – 2005. – Т.1. – Р. 85-91.

5. Буц А. В., Чурюмов Г. И. Особенности динамики заряженных частиц в пучковых усилителях и генераторах // Электромагнитные волны и электронные системы. – 2005. – Т. 10, №9. – С. 55-60.

6. Buts A. V., Buts V. A., Churyumov G. I. Self-focusing of radiation in non-uniform mediums // Problems of Atomic Scence and Tehnology Series Plasma Physics. – 2005. – №2, – Р. 146-148.

7. Буц. А. В., Чурюмов. Г. И. Переход к динамическому хаосу в осцилляторе Дюффинга с периодически меняющимися параметрами // Сб. науч. труд. 6-го Международного молодежного форума “Радиоэлектроника и молодежь и XXI веке”. Харьков. – 2002, 23-25 апреля. – С. 52-53.

8. Buts V. A.,. Buts A. V,. Kuzmin V. V Acceleration of charged particles by elliptic polarized waves of large amplitude // 18 International Workhop on Characted Particle Accelerators. Alushta, Ukrain. – 2003, 1-6 September. – P. 161.

9. Buts A. V., Buts V. A., Churyumov G. I. Phasing radiation in inhomogeneous mediums // Conference&School on Plasma Physics and Controlled Fusion. Alushta, Ukrain. – 2004, 13-18 September. – Р. 156.

10. Буц А. В., Чурюмов Г. И. Исаева Е. Б. Автофазировка лучей в волноведущих середах // 10-я Международная конференция “Теория и техника передачи приема и обработки информации”. – 2004, 28 сентября-1 октября. – С. 127.

11. Buts V. А., Buts. А. V., Serikov S А. Features of dynamics of the instabilities at presence multiplicative fluctuation. // Вопросы атомной науки и техники. – 2003. – №4. – С.100-103.

12. Буц. В. А. Буц. А. В. Сериков С. А. Неустойчивости индуцированные шумом // Успехи современной радиоэлектроники. – 2003. – №11. – С. 64-68.

АНОТАЦІЯ

Буц О. В. Перехід до хаотичної динаміки у пучкових системах. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.04.03 – радіофізика. – Харківський національний університет радіоелектроніки, м. Харків, 2006.

В дисертації досліджені процеси переходу від регулярної до хаотичної динаміки у ключових процесах, що характеризують взаємодію пучків заряджених часток с полем електромагнітних хвиль, а також аналогічну динаміку променів у неоднорідних середовищах. На моделі осцилятора Дюфінга був досліджений процес створення гомоклінічної структури, доведено, що періодична біфуркація фазового портрету практично завжди призводить до виникнення хаотичної динаміки. Показано, що ці результати можуть бути корисними для аналізу динаміки системи Лоренца, динаміки солітонів, що описуються нелінійним рівнянням Шредінгера та ін. Більш детально вивчений рух заряджених частинок у постійному магнітному полі та у полі електромагнітної хвилі. Найважливішим є той факт, що стохастична нестійкість руху частинок може виникати в умовах одного ізольованого нелінійного циклотронного резонансу. Доведено, що причиною такої динаміки є періодична зміна вигляду фазового портрету. Цікавим є знайдений результат, що у полі хвилі, амплітуда якої експоненціально зростає, відбувається автофазування частинок. У полі електромагнітної хвилі, амплітуда якої періодично промодульована, виникає стохастична нестійкість. Знайдені значення амплітуди модуляції, при яких можливе виникнення глобальної стохастичної нестійкості руху частинок у полі цієї хвилі. Показано, що основні вивчені процеси для однієї частинки мають місце і в загальному процесі збудження електромагнітної хвилі пучком електронів у зовнішньому магнітному полі. Була побудована нелінійна самоузгоджена теорія збудження хвилі таким пучком. При цьому було доведено, що при достатньо великій щільності електронного пучка фазовий портрет руху частинок якісно змінюється. При цьому виникає режим збудження хаотичних коливань.

Доведено, що усі знайдені важливі особливості руху частинок, мають місце і для руху променів у неоднорідному середовищі. Зокрема в неоднорідних оптичних хвилеводах. Найбільш важливою особливістю є динамічне фокусування променів у неоднорідних середовищах. Знайдено умови, за яких відбувається це фокусування.

Ключові слова: електромагнітні хвилі, плазма, флуктуації, фокусування, резонанс, нелінійний осцилятор, гомоклінічна структура, аттрактор, нелінійний резонанс, показники Ляпунова, фазовий портрет, промені.

АННОТАЦИЯ

Буц А. В. Переход к хаотической динамике в пучковых системах. – Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.04.03 – радиофизика. – Харьковский национальный университет радиоэлектроники, Харьков, 2006.

Изучены процессы перехода от регулярной к хаотичной динамике в ключевых процессах, которые характеризуют взаимодействие пучков заряженных частиц с полем электромагнитных волн, а также аналогичную динамику лучей в неоднородных средах. На модели осциллятора Дюффинга изучен процесс возникновения гомоклинической структуры. Доказано, что периодическая бифуркация фазового портрета практически всегда приводит к возникновению хаотичной динамики. Показано, что эти результаты могут быть полезными для анализа динамики системы Лоренца, динамики солитонов, которые описываются нелинейным уравнением Шредингера и др. Детально изучено движение заряженных частиц в постоянном магнитном поле и в поле электромагнитной волны. Было обнаружено, что структура фазового портрета движения заряженной частицы в слаборелятивистском случае качественно отличается в зависимости от напряженности поля электромагнитной волны. Показано, что такое различие может приводить к периодической бифуркации фазового портрета в поле волны, амплитуда которой промоделирована. Наличие этой периодической бифуркации фазового портрета приводит к возможности возникновения динамического хаоса в движении частиц даже в условиях одного изолированного нелинейного циклотронного резонанса. Важным является найденный результат, который заключается в том, что в поле волны, амплитуда которой экспоненциально возрастает, происходит автофазировка частиц. Следует заметить, что такой рост амплитуды поля волны наблюдается во всех пучковых усилителях на линейной стадии развития пучковой неустойчивости. Выяснено, что этот механизм автофазировки похож на механизм автофазировки Векслера - МакМиллана. Показано, что в поле электромагнитной волны, амплитуда которой периодически промодулирована, может возникнуть стохастическая неустойчивость движения частиц в поле этой волны. Найдены значения амплитуды модуляции, при которых возникает глобальная стохастическая неустойчивость. Показано, что основные особенности динамики одной заряженной частицы в поле внешней электромагнитной волны определяют основные особенности динамики ансамбля заряженных частиц в процессе коллективного возбуждения электромагнитной волны пучком электронов во внешнем магнитном поле. Была построена самосогласованная нелинейная теория возбуждения волны таким пучком. При этом было доказано, что при достаточно большой плотности электронного пучка амплитуда возбуждаемой волны претерпевает периодическую автомодуляцию. При достаточно большой плотности пучка глубина этой автомодуляции оказывается достаточной для бифуркации фазового портрета движения частиц пучка. Показано, что именно эта периодическая последовательность бифуркаций фазового портрета является причиной возникновения режима стохастических колебаний. Было доказано, что наиболее интересные результаты движения частиц, изложенные в диссертации, имеют место и для динамики лучей в неоднородных средах. Из этих результатов надо отметить возможность контроля динамики лучей (регулярной или хаотической), а также найденный механизм динамической фокусировки лучей в волноведущих средах с нарастающей вдоль направления движения лучей величиной диэлектрической проницаемости. Этот механизм значительно отличается от известного механизма фокусировки лучей линзами и может быть полезен для приложений.

Ключевые слова: электромагнитные волны, плазма, флуктуации, фокусировка, резонанс, нелинейный осциллятор, гомоклиническая структура, странный аттрактор, нелинейный резонанс, показатели Ляпунова, фазовый портрет, лучи.

ABSTRACT

Buts A. V. Transition to chaotic dynamics in beams systems. – Manuscript.

Thesis for the scientific degree of the candidate of physical and mathematical sciences by speciality 01.04.03 - Radio Physics. - Kharkiv national university of a Radio Electronics, Kharkiv, 2006.

The processes of transition from regular to chaotic dynamics are studied in key processes, which characterized interaction of charged beams particles with fields of electromagnetic waves, and also similar dynamics of rays in nonuniform mediums. On model of an oscillator Dyuffing the process of appearing of homoclinic structure is investigated. It is proved, that the periodic bifurcation of a phase portrait practically always results in occurrence of chaotic dynamics. It is shown, that these results can be useful for the analysis of dynamics of Lorentz system, dynamics of solitons, which are described by a nonlinear Schrodinger equation, etc. The motion of charged particles in a constant magnetic field and in a field of an electromagnetic wave is more details investigated. Impotent result was found, that in a field of a wave, which amplitude is exponentially increased, self-phasing of particles is occurring. It is clarified, that this mechanism of a self-phasing is similar to the mechanism of Veksler-McMillan self-phasing. It is shown that in a field of an electromagnetic wave, with periodically modulated amplitude, stochastic instability can arise. The values of amplitude of modulation, at which arises global stochastic instability, were founded. Is shown, that the basic processes, investigated at isolated charged particles, take place and in process of excitation of an electromagnetic wave by an electron beam in an external magnetic field. The nonlinear self-consistent theory of excitation of a wave by such beam was constructed. It was proved, that at enough large density of an electronic beam, the phase portrait of particles motion varies qualitatively. Under this condition the excitation of chaotic oscillations occurs. There was proved, that the most interesting