НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

Інститут прикладної математики і механіки

ЖЕЧЕВ Михайло Михайлович

УДК 531.31:531.36:517.9

ДИНАМІКА СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНИХ

МЕХАНІЧНИХ СИСТЕМ

01.02.01. – Теоретична механіка

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Донецьк – 1999

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті технічної механіки НАН України та НКА України.

Науковий консультант член-кореспондент НАН України,

доктор технічних наук, професор

Ушкалов Віктор Федорович,

завідувач відділу

ІТМ НАН України та НКА України.

Офіційні опоненти:

член-кореспондент НАН України, доктор фізико-математичних наук, професор Харламов Павло Васильович, ІПММ НАН України, завідувач відділу.

доктор фізико-математичних наук, професор Самсонов Віталій Олександрович, Інститут механіки Московського державного університету, головний науковий співробітник.

доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Зевін Олександр Аронович, Інститут транспортних систем і технологій НАН України, провідний науковий співробітник.

Провідна установа: Донецький державний університет, кафедра теоретичної механіки, м. Донецьк.

Захист відбудеться 19 листопада 1999 р. о 16 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 11.193.01 Інституту прикладної математики і механіки НАН України (340114, Донецьк-114, вул. Рози Люксембург, 74).

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладної математики і механіки НАН України (340114, Донецьк-114, вул. Рози Люксембург, 74).

Автореферат розісланий 13 жовтня 1999 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Ковалевський О.А.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Метод Лагранжа, як відомо, дозволив звести динамічну задачу до задачі чистого аналізу, завдяки чому виявилося зайвим наводити кожного разу геометричні міркування. Застосування методу Лагранжа до голономних механічних систем дозволяє записати рівняння руху Лагранжа, що володіють багатьма чудовими властивостями. Насамперед, у силу додатності мас матеріальних точок (одного з основних посилань класичної механіки) вони можуть бути зведені до нормальної форми, звідкіля у випадку виконання не занадто жорстких умов гладкості, що у механіці, звичайно, вважаються виконаними, випливає, що при будь-яких початкових умовах ці рівняння мають єдиний розв’язок, і цей розв’язок залежить від параметрів системи неперервним чином. Завдяки цим властивостям дослідження руху механічних систем зводиться, як правило, до застосування тих або інших методів чисельного та/або якісного аналізу звичайних диференціальних рівнянь. Додаткові проблеми не виникають і при дослідженні механічних систем, у яких масо-інерційні характеристики елементів відрізняються істотно, коли з метою спрощення математичної моделі досліджуваного процесу нехтують масами окремих матеріальних точок, якщо при цьому порядок рівнянь руху не знижується. Проте "обнуління" малих мас (або, взагалі кажучи, масо-інерційних характеристик) може призводити і до зниження порядку рівнянь руху. Для дослідження динаміки таких систем використовуються методи математичної теорії сингулярних збурень.

Інтенсивний розвиток цього напрямку почався наприкінці сорокових років, завдяки роботам О.М. Тихонова. Нині з присвячених цій галузі математики книг найбільше відомі монографії Боголюбова М.М. і Митропольського Ю.О., Вазова В., Ван-Дайка М., Васильєвої А.Б. і Бутузова В.Ф., Гребеннікова Є.О. і Рябова Ю.О., Моісєєва М.М., Міщенка Є.Ф. і Розова М.Х., Ломова С.О. та ін. Якщо досліджувана механічна система порівняно проста, то методи теорії сингулярних збурень дозволяють одержати наближені розв’язки рівняння руху та оцінити відповідну похибку. Спроби ж застосувати ці методи до дослідження достатньо складних механічних систем наштовхуються на серйозні, часто практично непереборні проблеми, обумовлені громіздкістю математичних моделей таких систем.

Розвиток техніки все частіше призводить до необхідності аналізу складних багатоелементних механічних систем, що містять елементи, масо-інерційні характеристики яких між собою істотно відрізняються. У космічній галузі це всілякі протяжні та просторово розвинуті космічні конструкції. Проблемами динаміки складних багатоелементних механічних систем займалися багато колективів учених, зокрема, керовані Віттенбургом Й., Матросовим В.М., Поповим Є.П., Работновим Ю.М., Черноусько Ф.Л., Юревичем Є.І. та ін. Тривалий час цей напрямок розвивався в таких організаціях, як ІТМ НАНУ і НКАУ (м. Дніпропетровськ), ІМ НАНУ (м. Київ), КІБІ (м. Київ), МВТУ (м. Москва), ЦНДІ РТК (м. Санкт-Петербург), ІПММ НАНУ (м. Донецьк) і т.д. Оскільки, як показує досвід роботи, застосування загальних методів математичної теорії сингулярних збурень до рівнянь руху складних багатоелементних сингулярно збурених механічних систем пов'язано із серйозними проблемами, обумовленими громіздкістю відповідних математичних моделей, то виникає необхідність у розробці спеціальних методів, що враховували б механічну природу досліджуваних рівнянь, - методів дослідження сингулярних і сингулярно збурених механічних систем.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження з дисертаційної роботи виконувалися відповідно до Планів наукових досліджень відділу динаміки і керування літальними апаратами ІТМ НАН України і НКА України відповідно до постанови Президії НАН України по наступним бюджетним темам:

- 1986 - 1990 роки - т. 79 (спецтема, відкрита частина);

- 1991 - 1995 роки - т.21 "Розробка методів і алгоритмів оптимізації керування при обмеженій інформації дискретно-неперервним рухом системи взаємодіючих об'єктів";

- 1996-2000 роки - т.205 " Вибір і обгрунтування шляхів і методів підвищення ефективності балістичного забезпечення експлуатації ракет-носіїв і космічних апаратів з урахуванням особливостей і перспектив розвитку ракетно-космічного комплексу України";

а також у межах госпдоговорів:

- 1981 - 1985 роки - х/д 355 (спецтема, відкрита частина);

- 1986 - 1990 роки - х/д 415 (спецтема, відкрита частина).

Мета і задачі досліджень. Знехтування окремими масо-інерційними характеристиками при дослідженні складних багатоелементних механічних систем є стандартним засобом у інженерній практиці. У силу широкої поширеності цього засобу природне прагнення побудувати чіткі орієнтовані на дослідників-механіків критерії, коли це можна робити, а коли використання цього засобу може призвести до втрати якісних властивостей системи; і відповісти на запитання що робити, якщо спрощені рівняння руху виявилися сингулярними. Дана робота присвячена розв’язанню загальних питань математичного моделювання динаміки сингулярно збурених механічних систем. Мета роботи полягає в тому, щоб встановити орієнтовані на дослідників - механіків:

- критерії поділення механічних систем із малими масо-інерційними характеристиками на регулярно та сингулярно збурені і здобути методи, що дозволили б на практиці визначити, до якого з зазначених типів відноситься досліджувана механічна система;

- умови неперервної залежності розв’язків сингулярно збурених рівнянь руху від малого параметра , що характеризує малі масо-інерційні характеристики, при ;

- умови існування та єдиності розв’язків сингулярних рівнянь, що утворюються із сингулярно збурених рівнянь руху при обнулінні малих масо-інерційних характеристик;

- методи зведення сингулярних рівнянь руху до нормальної або іншої форми, зручної для подальшого якісного або чисельного аналізу;

- якісні властивості сингулярних систем і особливості керування такими системами.

Наукова новизна одержаних результатів.

1. Вперше показано, що механічна система з малими масо-інерційними характеристиками є сингулярно збуреною в тому і тільки в тому випадку, коли ранг системи менше її числа ступенів волі.

2. Вперше в загальному вигляді визначено глобальні лагранжеві координати, що дозволяють записати рівняння руху сингулярно збуреної механічної системи з постійним рангом у "тихоновському" вигляді.

3. Одержано нову зручну при дослідженні голономних сингулярних механічних систем із постійним рангом форму зображення рівнянь Лагранжа і запропоновано строго обгрунтовані методи зведення їх до нормальної форми.

4. Вперше опрацьовано підходи до визначення рангу механічних систем, у тому числі при наявності додаткової в'язі.

5. Для одного практично важливого випадку одержано якісну оцінку і достатні умови близькості в окрузі виродженої конфігурації розв’язків сингулярно збуреного і відповідного йому сингулярного рівнянь руху.

6. Одержано нову зручну при дослідженні неголономних сингулярних механічних систем форму зображення рівнянь Гіббса-Аппеля.

7. Визначено нові умови неперервної залежності розв’язків рівнянь руху сингулярно збурених механічних систем із постійним рангом від малих масо-інерційних характеристик, інваріантні стосовно вибору координат.

8. Запропоновано підхід до керування сингулярними механічними системами, побудований на почережному керуванні, і розв’язані задачі про стійкість рівноваги сингулярних систем при такому типі керування.

Практичне значення одержаних результатів. Одержані результати можуть бути використані при якісному і чисельному аналізі динаміки складних багатоелементних механічних систем, зокрема, великих протяжних і просторово розвинутих космічних конструкцій.

1.

1.

1.

1.

Особистий внесок здобувача. Результати дисертаційної роботи опубліковані в монографії [1], статтях [2-14], авторських свідоцтвах на винаходи [15, 16], працях конференцій [17- 21].

У статті [3] здобувачу належить математична постановка задач, формулювання і докази теорем.

У праці [4] - методика інтегрування сингулярних рівнянь руху системи двох тіл, зв'язаних пружним багатоланником.

У статті [5] - умови стійкості стану рівноваги механічної системи зі змінюваною конфігурацією і вираз для першого наближення розв’язку рівняння руху даної системи.

У статті [7] - умови і доказ додатної інваріантності множини стаціонарних точок системи з многозначною правою частиною.

У заявках на винаходи [15], [16] - теоретичне обгрунтування засобів формування керуючих дій.

У праці [18] - алгоритм вирішення та методика опису сингулярних рівнянь руху.

Апробація результатів дисертації. Результати досліджень доповідались і обговорювались на

- IV Всесоюзній конференції "Механічні керовані системи" (Іркутськ, 1982);

- XVII наукових читаннях по космонавтиці (м. Москва, 1993);

- International Conference on Large Space Structure (Novgorod, 1993);

- Second International Aerospace Congress (IAC-93, Moscow, 1993);

- International Congress in Industrial and Applied Mathematics (ICIAM-95, Humburg, Germany);

- Міжнародній конференції "Стійкість, керування і динаміка твердого тіла" (м. Донецьк, 1996);

- Міжнародній конференції "Науково-технічні проблеми космонавтики і ракетобудування" (м. Калінінград Московської обл., 1996);

- VI Українсько-Російсько-Китайському симпозіумі по космічним наукам і технологіям (м. Київ, 1996);

- Міжнародній конференції "Математика в індустрії" (м. Таганрог, 1998);

- семінарах ІТМ НАН України і НКА України під керівництвом В.Ф. Ушкалова;

- семінарах ІПММ НАН України під керівництвом П.В. Харламова та О.Я. Савченка;

- об’єднаному семінарі кафедр теоретичної механіки, теорії пружності і вищої математики Донецького державного університету під керівництвом В.П. Шевченка і О.С. Космодаміанського.

Структура дисертації. Робота складається з вступу, семи розділів, висновків і списку літератури з 148 найменувань на 15 сторінках; містить 270 сторінок машинописного тексту.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У вступі обгрунтовано актуальність, сформульовано мету і задачі дослідження, дано стислу анотацію нових наукових положень і рішень та рекомендації по використанню результатів дисертації.

У першому розділі охарактеризовано стан проблеми, наведено стислий огляд публікацій по проблемі й обгрунтовано необхідність розробки методів дослідження сингулярних і сингулярно збурених механічних систем.

Другий розділ присвячений обгрунтуванню вибору напрямку досліджень, наведені приклади дослідження конкретних сингулярно збурених механічних систем і визначений загальний принцип подальших досліджень.

На початку наведені необхідні відомості з математичного аналізу, аналітичної динаміки і теорії сингулярних збурень, а також наведений формальний опис використовуваного надалі поняття механічної системи .

Означення системи . Нехай задана система часток із масами . Координати часток щодо нерухомої прямокутної системи осей охарактеризуємо вектором таким чином, що -та частка має координати . Нехай

(1)

рівняння в'язі системи - множина задовольняючих йому точок , а якобієва матриця в точках множини є матрицею повного рангу. Число ступенів волі системи позначимо через .

Теорія сингулярних збурень, як правило, має справу з рівняннями, зображеними у так званому тихоновському вигляді

(2)

де , - вектори, - вектор-функції відповідних розмірностей, а - малий параметр. Зіткнувшись із системою (2), дослідник відчуває природне бажання з'ясувати можливість заміни її більш простою (принаймні, зовнішньо) сингулярною системою

(3)

Виникає питання: яким умовам повинна задовольняти система (2) для того, щоб при достатньо малих її розв’язок був близьким до розв’язку системи (3), або, іншими словами, при яких умовах розв’язок системи (2) неперервний по при . Достатні умови такої близькості даються теоремою О.М. Тихонова. У окремому випадку, в якому до рівнянь (2) пред'являються "надмірні" з погляду математика, але природні для механічних задач вимоги, ця теорема може бути сформульована в такий спосіб.

Теорема О.М. Тихонова (окремий випадок). Якщо якобієва матриця від’ємно визначена, то розв’язок системи (2) неперервний по при .

У третьому розділі означене поняття рангу голономної системи і досліджувані голономні системи з постійним рангом.

У п. 3.1 наведене формальне означення системи масових і безмасових часток і введене поняття рангу голономної системи.

Означення системи . Якщо система містить безмасові частки, то будемо її позначати через . Позначимо кількість масових часток системи через і зобразимо вектор декартових координат у вигляді де і - вектори декартових координат масових і безмасових часток, відповідно. Рівняння в'язі (1) в цьому випадку будемо записувати у вигляді .

Нехай - деяка точка множини , а - значення рангу якобієвої матриці в цій точці. Величину будемо називати рангом системи в точці .

Якщо для всіх , то будемо називати системою з постійним рангом, а величину - рангом системи .

Теорема 1. Ранг системи не перевищує числа ступенів волі .

Висновок. Якщо - матриця повного рангу, то . У випадку плоского руху цифру 3 в усіх виразах даного підрозділу слід замінити на 2, а при розгляді руху уздовж деякої осі - на 1.

У п. 3.2 доведено ряд лем і такої теореми.

Теорема 2. Положення всіх масових часток системи можна описати за допомогою координат які можна доповнити координатами таким чином, що система координат буде описувати положення всіх часток системи (масових і безмасових).

Висновок. Мінімальне число незалежних координат, за допомогою яких може бути описане положення всіх масових часток системи , дорівнює її рангу .

У п. 3.3 установлюється взаємозв'язок між рангом системи і рангом матриці квадратичної форми кінетичної енергії.

Теорема 3. Ранг матриці квадратичної форми по кінетичної енергії дорівнює рангу системи .

Висновок. Якщо ранг системи менше її числа ступенів волі, то матриця квадратичної форми кінетичної енергії, записаної в будь-якій лагранжевій системі координат, є виродженою (сингулярною).

Введемо в розгляд матрицю , псевдообернену стосовно . На основі сформуємо блочну - матрицю

(6)

Лема 1. Ранг матриці (6) дорівнює .

Помноживши (5) зліва на (6), одержимо еквівалентну (5) (а значить, і (4)) систему рівнянь

(7)

. (8)

Здобута система рівнянь (7), (8) є узагальненням рівнянь Лагранжа на випадок голономних систем, що містять безмасові елементи.

Лема 2. .

Лема 3. Співвідношення інваріантно стосовно вибору координат .

Висновок. Припустимі початкові значення і визначаються тільки властивостями системи і не залежать від вибору координат .

Можна показати, що врахування співвідношення (8) до виводу рівнянь на вигляд рівнянь не впливає. Таким чином, співвідношення (8) можна розглядати і як рівняння в'язі, але це особливого типу в'язь - динамічна, реакція якої дорівнює нулю.

Будемо розглядати (8) як рівняння в'язі. Нехай є лінійною функцією . Рівняння Лагранжа у цьому випадку невиродженими перетвореннями зводиться до вигляду

, (9)

де.

Нехай рівняння динамічної в'язі не є таким, що інтегрується, і . Призведемо рівняння Гіббса-Аппеля аналізованої системи до вигляду

. (10)

Існування та єдиність розв'язків рівняння (4) цілком визначаються співвідношенням (8). У залежності від вигляду функції , що характеризує узагальнені сили, рівняння (4) може бути або

а) зведено до нормальної форми, і тому (з урахуванням припущень про гладкість) мати єдиний розв'язок, або

б) мати нескінченну множину розв'язків, або

в) не мати жодного розв'язку.

Лема 4. Якщо діючі на систему активні сили прикладені тільки до масових часток, то при будь-яких початкових умовах рівняння Лагранжа системи має нескінченну множину розв'язків.

Лема 5. Існують функції , при яких рівняння Лагранжа системи не має розв'язків.

Позначимо .

Лема 6. Якщо визначник матриці відмінний від нуля, то рівняння (4) можна призвести до нормальної форми.

Висновок.

Лема 7. Якщо матрицю можна зобразити у вигляді , де - довільні - матриці, а , то .

Таким чином, рівняння Лагранжа (4) системи зводиться невиродженими перетвореннями до системи рівнянь першого порядку щодо і

,

,

котрі щодо можуть бути розв'язні завжди, а щодо - у випадку невиродженості матриці . Відповідно розв'язок рівняння (4) залежить від незалежних початкових умов.

Теорема 4. Якщо , то рівняння Лагранжа (4) має єдиний розв'язок при будь-яких початкових умовах , що задовольняють співвідношенню (8).

У п. 3.5 досліджувані умови неперервності розв'язку сингулярно збуреної системи по при для випадку . Під розуміється голономна система, деякі частки якої мають малі маси порядку , така, що при обнулінні цих мас перетворюється в систему .

Теорема 5. Якщо при деякому переставленні координат матриця невироджена, а від’ємно визначена, то розв'язок рівняння руху системи неперервний по при .

У п.3.4.5 уже була отримана умова існування єдиного розв'язку сингулярного рівняння руху. З огляду на наведені вище міркування, можна сформулювати іншу еквівалентну їй умову.

Висновок 1. Якщо виконана умова теореми 5, то система рівнянь (7), (8) (а тому, і рівняння (4)) має єдиний розв'язок.

Висновок 2. Якщо при деякому переставленні координат рівняння може бути вирішуване щодо і має місце повна дисипація стосовно , то розв'язок рівняння руху системи неперервний по при .

Четвертий розділ присвячений дослідженню голономних систем із змінним рангом, тобто таких систем масових і безмасових часток, ранг яких у різних точках має, узагалі кажучи, різні значення.

Лема 8. Для будь-якої виродженої точки існують такі вектори-функції і , що задовольняють умовам

і що в деякім окрузі точки рівняння в'язі еквівалентне системі в тому смислі, що множина точок , що задовольняє цій системі рівнянь, збігається з

Теорема 6. У достатньо малому окрузі виродженої точки положення всіх часток (масових і безмасових) системи можна описати за допомогою лагранжевих координат , задовольняючих при умовам

(11)

Теорема 7. У виродженій точці ранг матриці квадратичної форми кінетичної енергії системи дорівнює рангу системи в цій точці.

Висновок. У виродженій точці матриця квадратичної форми кінетичної енергії системи вироджена.

Теорема 8. У виродженій точці число незалежних віртуальних переміщень , тобто число віртуальних переміщень, що з урахуванням рівняння в'язі можуть бути задані довільно, дорівнює рангу системи в цій точці.

Лема 9. У виродженій точці

Теорема 9. У виродженій точці рівняння Лагранжа системи еквівалентне системі рівнянь (7), (8).

Нехай - лагранжева система координат, що регламентується теоремою 6, а

,

де - евклідова норма. Оскільки в силу (11) на многовиді справедливо , то значення характеризує ступінь близькості точки до многовиду .

Лема 10. обмежені гладкими функціями.

Надалі припускається, що ранг системи поза многовидом збігається з числом ступенів волі, а на зменшується на одиницю, тобто .

У п. 4.5 досліджувані властивості сингулярної системи . Спочатку розглянутий стаціонарний випадок, коли коефіцієнти в (12) не залежать від часу. Вважаючи в (12) , запишемо рівняння Лагранжа системи

(13)

Лема 11. У будь-якій конфігурації матриця невироджена.

У силу леми 11 у невироджених конфігураціях функція визначена і задовольняє умові .

З приведених міркувань випливає, що у невироджених конфігураціях систему (13) можна записати в нормальній формі

(14)

де

Нехай - вироджена конфігурація, а - деяке значення швидкості . Позначимо і

де - деякі додатні числа.

Лема 12. Якщо в будь-якій точці

(15)

то існують такі що область - компактна.

Розглянемо, крім , ще одну область

де - деякі додатні числа. Нехай деякий розв’язок системи (14) проходить через область . Момент часу потрапляння розв’язку в позначимо через . Через позначимо момент часу, коли розв’язок покидає або потрапляє на многовид . Значення й уздовж цього розв’язку в момент позначимо відповідно через і .

Лема 13. У випадку (15) існують такі що уздовж будь-якого розв’язку системи (14), що проходить через , починаючи з моменту , і, принаймні, до моменту виконуються співвідношення

Відповідні різним точкам області утворюють область , що являє собою деяку округу многовиду

Теорема 10. Нехай розв’язок на інтервалі лежить усередині , і при , тоді існує така точка , що при

У п. 4.6 розглянуто властивості сингулярно збуреної системи

Лема 14. Нехай - область, що регламентується лемою 13, і нехай - розв’язок системи (14), що потрапив усередину в деякий момент часу

Тоді у випадку (15) існує таке що для всіх уздовж розв’язку системи (12), починаючи з моменту і доти, поки він не покине виконується співвідношення (Тут - значення уздовж розв’язку в момент часу )

Теорема 11. Нехай у момент часу потрапляє на многовид усередині області . Тоді у випадку (15) існує при якому для будь-якого існує таке що для всіх

У випадку виконання умов теореми 11 її твердження справедливо в будь-якій лагранжевій системі координат і при обчисленні на інтервалі сингулярна система із змінним рангом може розглядатися як система з постійним рангом Зокрема, на цьому інтервалі в координатах умова (15) збігається з умовою теореми 7. Всі міркування п.п. .5, 4.6 поширюються на нестаціонарний випадок введенням додаткової координати що задовольняє рівнянню з початковою умовою

У п'ятому розділі дане означення рангу, справедливе як для голономних, так і для неголономних систем, і досліджувані неголономні системи.

Нехай - голономна система масових і безмасових часток із ступенями волі. Нехай також - деякі лагранжеві координати, що описують положення всіх часток даної системи. Накладемо на частки системи додаткову, узагалі кажучи, неголономну в'язь (хоча всі міркування залишаться справедливими й у випадку, коли в'язь голономна), що описується скалярними рівняннями

(16)

де - - матриця, а - - вектор. Будемо вважати, що є матрицею повного рангу, тобто, що при будь-яких і

(17)

Отриману механічну систему позначимо через Відзначимо, що число ступенів волі системи в силу (17) дорівнює

Означення. Рангом системи (голономної або неголономної) у точці будемо називати число незалежних віртуальних переміщень

Неважко переконатися в тому, що це означення містить у собі означення рангу голономної системи, що наведене в п. 3.1. Якщо для всіх значень і , то будемо називати системою з постійним рангом, а - рангом системи Надалі будемо вважати, що - система з постійним рангом.

Теорема 12. Ранг системи дорівнює

Висновок. Ранг системи не перевищує числа її ступенів волі і рангу системи .

Використовуючи той же підхід, що й у розділі 3, прийдемо до системи рівнянь

(20)

де - матриця, псевдообернена стосовно Рівняння (20) є узагальненням рівнянь Гіббса-Аппеля на випадок, коли ранг системи менше числа її ступенів волі. Питання існування й єдиності розв’язку рівняння (20) вирішується цілком аналогічно тому, як це робиться в розділі 3 стосовно рівнянь Лагранжа.

У п. 5.5 встановлено умови неперервності в термінах узагальнених сил , отриманих для рівнянь Лагранжа із множниками системи .

Теорема 13. Якщо то розв’язок рівняння руху системи неперервний по при незалежно від вигляду додаткової в'язі.

Висновок. Якщо узагальнену силу можна зобразити у вигляді суми потенційних і гіроскопічних сил, а також сил в’язкого тертя, причому, має місце повна дисипація, то розв’язок рівняння руху системи неперервний по при незалежно від вигляду додаткової в'язі.

Зобразимо вектор у вигляді відповідно до зображення і введемо в розгляд -матрицю

Теорема 14. Якщо при деякому переставленні координат рядки матриці з деякими номерами лінійно-незалежні, а матриця, здобута з викреслюванням рядків і стовпчиків із такими номерами, додатно означена, то розв’язки рівняння руху системи неперервні по при .

Шостий розділ присвячений застосуванню отриманих вище результатів до дослідження конкретних механічних систем і розробці практичних методів визначення їхнього рангу.

У п. 6.1 здобуті три варіанти рівнянь руху навантаженого телескопічного -ланника з безмасовими ланками як сингулярної системи з постійним рангом: узагальнені рівняння Лагранжа, рівняння Лагранжа при інтегровній ("голономній") динамічній в'язі і рівняння Гіббса-Аппеля при неінтегровній ("неголономній") динамічній в'язі. Досліджувані питання про неперервну залежність розв’язків сингулярно збуреного рівняння руху від малого параметра - маси ланок.

У п. 6.2 запропоновано підхід до визначення рангу механічної системи із змінним рангом у виродженій конфігурації. Нехай - вектор деяких залежних або незалежних координат , що описують положення всіх масових часток; - функція, що виражає деяку залежність від , така, що , і - функція, що виражає залежність від , Тоді задача відшукання вироджених конфігурацій зводиться до визначення конфігурацій, у яких зменшується, при цьому ранг виродженої конфігурації збігається з рангом цієї матриці.

Здобуте співвідношення для визначення рангу системи, на яку накладена додаткова в'язь. Нехай рівняння додаткової в'язі має вигляд - лагранжеві координати, що регламентуються теоремою 2, а - функція, що виражає залежність від і . Позначимо через ранг у точці аналізованої системи без додаткової в'язі.

Теорема 15. Ранг у точці системи з додатковою в’яззю дорівнює

Проаналізована з погляду величини рангу структура простору конфігурацій ряду (як плоских, так і просторових) шарнірних багатоланників із безмасовими ланками, у тому числі космічного маніпулятора типу "Space Shuttle".

Проведено детальний вивід рівнянь руху плоского шарнірного двуланника й аналіз його розв’язків в окрузі виродженої конфігурації. На прикладі плоского двуланника показано, що для систем із змінним рангом умови теореми Тихонова не гарантують в окрузі виродженої конфігурації близькості розв’язків сингулярної і сингулярно збуреної систем.

У п. 6.3 здобуті і досліджувані сингулярно збурені та сингулярні рівняння Гіббса-Аппеля неголономної механічної системи, що являє собою торово-сферичний варіатор обмінного типу, і запропонований підхід до керування цією системою, що використовує її сингулярну збуреність.

У п. 6.4 запропоновано засіб зведення рівняння Лагранжа сингулярної механічної системи до нормальної форми, зручний при чисельному моделюванні низькошвидкісних багатоелементних механічних систем.

Наприкінці продемонстровані деякі підходи до дослідження регулярно збурених систем (п. 6.5) і до кількісної оцінки похибок моделювання, пов'язаних із неточним завданням параметрів математичної моделі (п. 6.6 ).

У сьомому розділі досліджувані особливості задач керування сингулярними механічними системами.

У п. 7.1 розглянуто задачу про асимптотичну сталість рівноваги сингулярної системи з постійним рангом . Нехай - координати, що регламентуються теоремою 2, і нехай кінетична і потенційна енергії аналізованої системи задовольняють таким умовам:

,.

Повну енергію системи будемо позначати через . Щодо узагальненої сили будемо припускати, що - дисипативна, причому, має місце повна дисипація, тобто , і, крім цього, . Узагальнені рівняння Лагранжа (7), (8) у даному випадку приймуть такий вигляд:

(21)

Теорема 16. Рівновага системи (21) рівномірно асимптотично стійка.

Зауважимо також, що оскільки , то в силу асимптотичної стійкості рівноваги системи (21) також обмежена і наближається до нуля якщо наближається до нескінченності.

У п. 7.2 вирішено задачу про асимптотичну стійкість стану рівноваги сингулярних систем при почережному керуванні.

Розглянемо голономну склерономну систему масових і безмасових часток із ступенями волі. Нехай - лагранжева система координат, що описує положення всіх часток системи (як масових, так і безмасових), - кінетична енергія, а - узагальнені сили, що характеризують керуючу дію. Нехай керуюча дія являє собою суму потенційної , і дисипативної сил. Будемо вважати, що потенційна функція додатно означена і, крім цього, задовольняє умові .

Теорема 17. При зазначеному почережному керуванні стан рівноваги , рівномірно асимптотично стійкий.

У п. 7.3 розглянуто задачу про оптимальне у смислі швидкодії почережне керування малими повільними переміщеннями двуланника із безмасовими ланками. При ортогональному розташуванні ланок дана задача зводиться до виродженої задачі оптимального керування, загальне рішення якої отримано автором у 1989 році. У даній роботі для двомірного випадку запропонований простий і конструктивний засіб розв’язання, що використовує особливості цього випадку, і тому справедливий лише для нього, а також вдосконалено розв’язання відповідної задачі синтезу.

У п. 7.4 продовжено якісне дослідження диференціальних рівнянь із розривною правою частиною, якими, зокрема, описуються системи з почережним керуванням. Ряд задач керування космічними апаратами зводиться до дослідження систем вигляду

(22)

де -матриця -кусково-неперервна вектор-функція, що характеризує збурну дію, , - вектор, компоненти якого мають такий вигляд:

де - деякі невід’ємні числа. Оскільки уздовж поверхонь розриву правої частини системи (22) можуть виникати ковзні режими, що не є в звичайному смислі її розв’язками, то для подальшого аналізу зручно перейти до розгляду деякої системи з многозначною правою частиною (множина розв’язків якої включає всі розв’язки і ковзні режими системи (22)), доозначивши функції в точках , виходячи з характеру рухів реальної фізичної системи поблизу цих точок. У випадках, коли перемикальні елементи, що реалізують функції , мають малу інерційність, це може бути зроблене в такий спосіб:

у зв'язку з чим систему (22) можна розглядати як систему диференціальних рівнянь із многозначною правою частиною. Позначимо поверхню -мірного куба через , множину - через , точну нижню грань квадратичної форми по усім - через , а точну верхню грань функції по усім - через . Тоді справедливе таке твердження.

Якщо , то множина є додатно інваріантною, і при цьому будь-який розв’язок системи (22), що починається при за межами , досягає його за кінцевий час.

У п. 7.5 одержало подальший розвиток розв’язання задачі про стабілізуємість автономних систем при почережному керуванні.

Розглянуто систему

(23)

з почережним керуванням . Вважається, що неперервно диференційована по своїх аргументах. Потрібно знайти умови, при яких існує почережне керування , що задовольняє таким вимогам:

- стан рівноваги (при ) системи (23) асимптотично стійкий;

- система (23) при цьому керуванні не має ковзних режимів;

- оптимально стосовно демпфірування деякої додатно означеної функції (у механічних системах у якості звичайно виступає повна енергія системи).

Один із варіантів цієї задачі був розглянутий автором у 1991 році. У даній роботі розв’язання зазначеної задачі одержало подальший розвиток. Основні відмінності полягають у наступному:

- у кожний момент часу можуть бути включені від одного до входів системи;

- оптимальне керування не залежить явним чином від часу;

- використані раніше без належного обгрунтування посилки, сформульовані у виді лем, і наведені строгі докази цих лем.

Надалі припускається, що функція двічі неперервно диференційована. Нехай , де - деякі кінцеві додатні числа, а - деяке неперервно диференційоване керування входами. Значення при зазначеному керуванні входами і увімкненому -ому вході позначимо через , а похідну за часом від у силу системи (23) при увімкненому -ому вході - через . Нехай також - деякі неперервно диференційовані функції, що утворюють разом із систему функціонально незалежних у функцій. Нехай, нарешті, для деякої функції класу по Хану і будь-якої точки існує вхід , для якого , де - деяке постійне число.

Лема 15. Існує таке достатньо мале число , що для будь-якої точки , знайдеться вхід , при якому для усіх із -округи точки .

Лема 16. Існує таке достатньо мале число , що якщо для деякого , то для всіх

.

Нехай тепер і - деякі числа, що регламентуються лемами 15 і 16. Розіб'ємо область на підобласті поверхнями

,.

Лема 17. Існує таке достатньо мале число , що кожна з областей цілком поміщається в кулі радіуса .

Поставимо у відповідність кожній області множину всіх таких входів , що , . Будь-яка з множин завжди містить, принаймні, один елемент, у загальному ж випадку кількість елементів кожної з цих множин може змінюватися від 1 до . У силу лем 15-17 таке почережне керування забезпечує асимптотичну стійкість стану рівноваги без ковзних режимів. Додатковою позитивною якістю цього керування є те, що при воно наближається до керування, оптимального стосовно демпфірування , виявляючись при цьому функцією тільки , тобто, не залежною явно від часу.

ВИСНОВКИ

1.

1.

3.

1.