НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

ЧЕРНОБАЙ Ольга Борисівна

УДК 517.9

СПЕКТРАЛЬНА ТЕОРІЯ УЗАГАЛЬНЕНИХ ЯДЕР ТЕПЛІЦА

01.01.01— математичний аналіз

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ – 2006

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті математики НАН України.

Науковий керівник

доктор фізико-математичних наук, професор

академік НАН України

Березанський Юрій Макарович,

Інститут математики НАН України,

головний науковий співробітник.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор,

член-кореспондент НАН України

ГОРБАЧУК Мирослав Львович,

Інститут математики НАН України,

Завідувач відділу диференціальних рівнянь

з частинними похідними;

кандидат фізико- математичних наук, доцент

КАШПІРОВСЬКИЙ Олексій Іванович,

Національний університет „Києво-Могилянська

академія”.

Провідна установа

Київський національний університет імені Тараса Шевченка

Захист відбудеться „10” жовтня 2006 р. о15 годині на засіданні

спеціалізованої вченої ради Д .206.01 Інституту математики

НАН України за адресою: 01601, м. Київ, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Інституту

математики НАН України, 01601, м. Київ, вул. Терещенківська, 3.

Автореферат розісланий "5" вересня 2006 р.

Учений секретар

спеціалізованої вченої ради А. С. Романюк

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Дисертація належить до одного з напрямків сучасного функціонального аналізу – спектральної теорії додатно означених ядер. Роботу присвячено вивченню окремого типу таких ядер – додатно означеним узагальненим ядрам Тепліца.

Узагальнені ядра Тепліца були виділені в окреме поняття М. Котляром при вивченні перетворень Гільберта. Пізніше ядра Тепліца вивчалися у роботах самого М. Котляра, Р. Ароцени, К. Садоскі, Р. Брузуала, М. Беккера.

Застосування додатно означених узагальнених ядер Тепліца грунтується на тому, що вони допускають інтегральне зображення. З такого інтегрального зображення випливає можливість продовження ядра зі збереженням умов додатної визначеності.

В цій роботі ми отримуємо інтегральне зображення для додатно означених узагальнених ядер Тепліца, значеннями яких є як комплексні числа, так і оператори, що діють в сепарабельному гільбертовому просторі. Доведення таких зображень базується на спектральній теорії відповідного диференціального оператора, який діє в гільбертовому просторі, побудованому за таким ядром.

Зв’язок з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана в Інституті математики НАН України у відділі функціонального аналізу згідно із загальним планом дослідженя в рамках науково-дослідної роботи ``Спектральна теорія операторів та її застосування до задач математичної фізики''.

Номер державної реєстрації 0101U000321.

Мета і завдання дослідження. Мета запропонованої роботи – отримати інтегральне зображення вказаних додатно означених ядер, використовуючи методику, розроблену Ю. М. Березанським у 1956 році, яка базується на теорії узагальнених власних векторів для самоспряжених операторів, що діють у просторі, побудованому за цим ядром, і крім того, --дослідити спектральні властивості додатно означених узагальнених ядер Тепліца.

Об’єктом дослідження є узагальнені додатно означені ядра Тепліца, значеннями яких є комплексні числа та оператори, що діють у сепарабельному гільбертовому просторі.

Предметом дослідження є спектральна теорія узагальнених додатно означених ядер Тепліца.

Методи дослідження. Робота виконана за допомогою методики встановлення представлення додатно означених ядер, яка базується на теорії узагальнених власних векторів для самоспряжених операторів, розробленої у 1956 році Ю. М. Березанським. Цей метод з одного боку дає можливість стандартного підходу до інтегральних зображень узагальнених ядер Тепліца, а з іншого боку – встановити теореми про єдиність інтегрального представлення, про властивість перетворення Фур’є, довести загальний критерій самоспряженості оператора.

Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати, які визначають наукову новизну і виносяться на захист, такі:

1. Отримано інтегральне зображення узагальнених ядер Тепліца. Доведення грунтується на спектральній теорії відповідного диференціального оператора, що діє в гільбертовому просторі, побудованому за цим ядром.

2. Досліджено спектральні властивості цього оператора, пов’язані з таким зображенням, і доведено критерій щільності зображення пов’язаного з ядрами Тепліца перетворення Фур’є.

3. Розвинуто теорію узагальнених операторнозначних ядер Тепліца, значеннями яких є обмежені оператори в фіксованому сепарабельному гільбертовому просторі, встановлено їх інтегральне зображення.

4. Доведено теорему про гладкість узагальнених розв’язків диференціальних рівнянь з операторними коефіцієнтами.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертаційна робота має теоретичний характер. Результати досліджень можуть бути використані при подальшому вивченні додатно означених ядер.

Особистий внесок здобувача. Визначення загального плану досліджень належать науковому керівникові Ю.М.Березанському.

У спільній статті [1] Ю. М. Березанському належить постановка задачі та ідея доведення теорем. Роботи [2-8] виконані здобувачем самостійно.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались і обговорювались на засіданнях семінару відділу функціонального аналізу (керівник: академік НАН України Березанський Ю.М.), семінару відділу функціонального аналізу (керівник: член-кор. НАН України Самойленко Ю.С.), київського семінару з функціонального аналізу (керівники: академік НАН України Березанський Ю.М., член-кор. НАН України Горбачук М.Л., член-кор. НАН України Самойленко Ю.С.), на науковому семінарі кафедри вищої математики та математичних методів в економіці НАДПС України, а також на конференціях:

§

§

§

§

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковані в роботах [1-4], та тезах [5-8].

Структура й обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, трьох розділів, висновків, списку використаних джерел, що містить 46 найменувань.Повний обсяг роботи -105 сторінок друкованого тексту.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У вступі обгрунтовано актуальність теми, сформульовано мету, завдання та методи досліджень, відмічено новизну одержаних результатів, охарактеризовано зміст кожного розділу дисертації.

Розділ 1 присвячено огляду літератури за темою дисертації. У підрозділі 1.1 йдеться про додатно означені функції, відмічено відомі факти, пов’язані з їх інтегральним зображенням, розповідається про задачу продовження додатно означеної функції зі скінченного інтервалу на всю вісь.

У підрозділі 1.2 викладено основні положення теорії розкладу за узагальненими власними функціями самоспряжених операторів, на яких грунтується доведення одержаних в розділах 2, 3 результатів.

Підрозділ 1.3 присвячений додатно означеним ядрам. У ньому намічено шлях зображення додатно означених ядер через елементарні ядра.

Розділ 2 містить основні дисертаційні дослідження. В ньму отримано інтегральне зображення узагальнених ядер Тепліца. Це доведення базується на спектральній теорії відповідного диференціального оператора, що діє в гільбертовому просторі, побудованому за таким ядром.

Нехай -інтервал виду де

Розглянемо обмежене, вимірне (за мірою Лебега ) ядро

Покладемо, що ядро неперервне всюди на

Таке ядро називають ядром Тепліца, якщо існує функція така, що

(згадана вище функція - додатно означена за означенням).

Для ядра Тепліца, тобто для додатно означеної функції, існує класичне спектральне зображення Бохнера-Крейна: є ядром Тепліца, якщо

де - невід’ємна борелівська міра на .

У 1979 році М. Котляр і К. Садоскі запропонували узагальнення ядер Тепліца, які називають узагальненими ядрами Тепліца.

Нехай . Додатно означене ядро є, за означенням узагальненим ядром Тепліца, якщо замість однієї функції ми маємо чотири функції такі, що

де

Згадані вище узагальнені ядра Тепліца вивчали М. Котляр, К. Садоскі та Р. Ароцена у випадку Р. Брузуал узагальнив цю конструкцію на випадок За допомогою теорії півгруп операторів стиску він отримав узагальнення інтегрального зображення для такого типу узагальнених ядер Тепліца.

В 1988-1999рр. Вийшло ряд робіт М. Беккера, де розглядалися матричні додатно означені ядра Тепліца. Інтегральне зображення для таких ядер отримано М. Беккером за допомогою методу напрямних функціоналів.

Разом з тим Ю. М. Березанським у 1956 році розробив методику встановлення інтегральних зображень додатно означених ядер використавши теорію узагальнених власних векторів для самоспряжених операторів, що діють у просторі, побудованому за цим ядром

У другому розділі за допомогою згаданого методу отримуємо інтегральне зображення для узагальнених ядер Тепліца у випадках та

Нехай

Позначимо

,

тобто

Розглянемо обмежене додатно означене ядро

Як і у випадку таке ядро називають узагадьненим ядром Тепліца, якщо існують чотири неперервні функції , такі, що

Будемо вважати, що ядро неперервне в

Теорема 2.1.1. Для кожного узагальненого ядра Тепліца має місце інтегральне зображення

- характеристична функція

скінченна, невід’ємна, спектральна, матрична, борелівська міра на .

Навпаки, кожне ядро такого типу з скінченною невід’ємною матричною мірою є узагальненим ядром Тепліца.

Нагадаємо, що елементи скінченної матричної міри будуть борелівськими скалярними мірами на , при цьому і -- скінченні невід’ємні , - скінченний заряд.

Ця теорема доводиться у підрозділі 2.1.

В пункті 2.1.5 формулюється і доводиться теорема про єдиність міри , яка відповідає ядру Тепліца . Вона є також умовою самоспряженості оператора диференціювання пов’язаного з задачею.

Теорема 2.1.2. Нехай Покладемо, що узагальнене ядро Тепліца невироджене і відповідні функції нескінченно диференційовні в околі нуля. Тоді міра в інтегральному зображенні ядра єдина і воно може бути продовжене до узагальненого ядра Тепліца на одним і тільки одним способом, якщо

Для доведення цієї теореми використовується квазіаналітичний критерій само спряженості оператора. Ця умова -- умова існування тотальної системи квазіаналітичних векторів у просторі для оператора . Звернемо увагу, що на відміну від звичайних додатно означених функцій у випадку міра в інтегральному зображенні ядра не обов’язково тільки одна. Відмітимо, що в цьому випадку теорема 2.1.2 залишається справедливою.

У підрозділі 2.2 дається критерій щільності у просторі перетворення Фур’є, пов’язаного зі спектральним зображенням не вироджених додатно означених узагальнених ядер Тепліца

На множині неперервних функцій ( -замикання ) введемо скалярний добуток

і побудуємо відповідний гільбертовий простір . У цьому просторі буде щільною множина фінітних, нескінченне число разів диференційовних на функцій, які анулюються в ок олах

Міра породжується розкладом одиниці оператора

що діє у просторі , тобто, точніше, самоспряженим розширенням розкладу одиниці в цьому просторі. Такий розклад одиниці називають звичайним. Його називають узагальненим, коли розклад одиниці породжений істотним самоспряженим розширенням цього оператора, з виходом з простору побудованому .

По довільній скінченній матричній мірі на можна ввести простір елементами якого є двовимірні вектор-функції

зі скалярним добутком

сумовні з квадратом у певному сенсі. Простір - повний, в ньому щільною є двовимірні неперервні вектор-функції.

Кожній функції поставимо у відповідність її перетворення Фур’є - двовимірну вектор-функцію

Тоді для будь-якого

Теорема 2.2.1. Для того, щоб сукупність функцій була щільна в просторі необхідно і достатньо, щоб міра була породжена звичайним розкладом одиниці у просторі .

Доведення цього факту міститься в пункті 2.2.1.

В пункті 2.2.2 розглядається доведення загального критерію само спряженості оператора.

Вважаємо, що ядро неперервне та невироджене.

Тепер простір можна розглядати як негативний, побудований за нульовим та позитивним , тобто

Позначимо через повний набір ортонормованих власних функцій з ядра , які відповідають власним значенням

Функція входить у простір тоді і тільки тоді, коли

Оскільки оператор дійсний відносно інволюції , то в нього рівні між собою дефектні числа і індекс дефекту може бути або або . Максимум його розмірності- це одновимірність, що є наслідком припущеної неперервності ядра , яка привела до того, що простір складається з неперервних функцій на .

Має місце теорема.

Теорема 2.2.2.Покладемо, що ядро неперервне в невироджене , повний набір його власних функцій із відповідними власними значеннями Тоді для самоспряженості оператора достатньо, щоб при деякому і необхідно, щоб при довільному такому мало місце співвідношення

Таким чином, самоспряженість оператора , і отже, єдність міри в зображенні – тонкий факт, який залежить від поведінки власних функцій ядра .

У третьому розділі дисертації ми розвиваємо теорію узагальнених операторнозначних ядер Тепліца, значеннями яких є обмежені оператори в фіксованому сепарабельному гільбертовому просторі. Інтегральне зображення цих ядер одержано за допомогою теорії узагальнених власних векторів для самоспряжених операторів. Ці результати пов’язані з роботою М.Л. Горбачука, в якій встановлено інтегральне зображення для операторнозначних додатно означених функцій на інтервалі.

Нехай - повний, сепарабельний, комплексний гільбертовий простір з інволюцією скалярним добутком і нормою . - сукупність всіх обмежених операторів в .

Позначимо - його замикання.

Розглянемо обмежене відносно операторної норми операторне додатно означене ядро

Покладемо, що ядро неперервне всюди на

Множину всіх неперервних векторнозначних функцій позначимо через , і нехай відповідний простір векторнозначних функцій відносно лебегової міри .

Вважаємо, що ядро додатно означене, тобто для будь-якої векторнозначної виконується нерівність

Для простоти вважаємо, що ядро не вироджене, тобто для рівність

Виконується тоді і тільки тоді, коли .

Нехай тепер . Позначимо, як і раніше, для довільних

тобто .

Розглянемо обмежене по нормі операторів операторне додатно означене ядро

Таке ядро називають узагальненим ядром Тепліца, якщо існують чотири неперервні операторні функції , такі, що

Неважко довести, що для цього ядра має місце рівність.

Теорема 3.1.1.Для кожного узагальненого операторнозначного ядра Тепліца справедливе інтегральне зображення

- характеристична функція інтервалу

матрична операторнозначна борелівська міра на , додатно означена.

Навпаки, кожне ядро, для якого виконується згадане зображення,є узагальненим операторнозначним ядром Тепліца.

Доведення цієї теореми міститься в пунктах 3.1.3-3.1.4.

У підрозділі 3.2 доведено теорему про гладкість узагальнених розв’язків диференціальних рівнянь з операторними коефіцієнтами, яка фактично використовується при доведенні теореми 3.1.1.

У просторі розглянемо довільний обмежений оператор - його спряжений. Побудуємо диференціальний вираз

де соболевський простір типу векторнозначних зі значеннями в функцій на

Формально спряженим диференціальним виразом відносно простору буде

Множину фінітних на векторнозначних функцій з позначимо через а через негативний простір відносно позитивного і нульового

Множину всіх неперервних векторнозначних функцій

позначимо через і нехай множина фінітних на , разів неперервно диференційовних функцій з

Векторнозначну функцію де назвемо узагальненим розв’язком рівняння в інтервалі якщо для будь-яких виконується співвідношення

Теорема 3.2.1. Будь-який узагальнений розв’язок рівняння , насправді належить до для будь-якого

Отримані результати можна узагальнити на випадок більш загальних лінійних диференціальних рівнянь з операторними коефіцієнтами, для яких існує фундаментальний розв’язок з властивостями, подібними до наведених у п. 3.2.1 властивостей 1-4.

ВИСНОВКИ

У першому розділі дисертації зроблено огляд літератури за темою дисертації. Другий та третій розділи містять результати дисертаційних досліджень присвячених спектральній теорії узагальнених ядер Тепліца.

1. Отримано інтегральне зображення узагальнених ядер Тепліца. Доведення грунтується на спектральній теорії відповідного диференціального оператора, що діє в гільбертовому просторі, побудованому за цим ядром.

2. Досліджено спектральні властивості цього оператора, пов’язані з таким зображенням, і доведено критерій щільності зображення пов’язаного з ядрами Тепліца перетворення Фур’є.

3. Розвинуто теорію узагальнених операторнозначних ядер Тепліца, значеннями яких є обмежені оператори в фіксованому сепарабельному гільбертовому просторі, одержано для них інтегральне зображення.

4.Доведено теорему про гладкість узагальнених розв’язків диференціальних рівнянь з операторними коефіцієнтами.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТКМОЮ
ДИСЕРТАЦІЇ

1. Berezansky Yu. M., Chernobai O. B. On the theory of generalized Toeplitz kernels // Укр. мат. журн. – 2000. – Т. 52, № 11. – С. 1458–1472.

2. Чернобай О. Б. Про спектральну теорію узагальнених ядер Тепліца // Укр. мат. журн. – 2003. – Т. 55, № 6. – С. 850–857.

3. Чернобай О. Б. Спектральне зображення для узагальнених операторнозначних ядер Тепліца // Укр. мат. журн. – 2005. – Т. 57, № 12. – С. 1698–1710.

4. Чернобай О. Б. Про узагальнені розв’язки диференціальних рівнянь з операторними коефіцієнтами // Укр. мат. журн. – 2006. – Т. 58, № 5. – С. 715–720.

5. Чернобай О. Б. Про додатно визначені ядра Тепліца // Восьма міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука, 11-14 травня 2000р. Київ; Матеріали конф.-Київ, 2000.-С. 391.

6. Чернобай О. Б. Об интегральном представлении положительно определенных ядер Теплица // Міжнародна конференція з функціонального аналізу, Київ, Україна, 22-26 серпня 2001р. Тези доповідей.—Київ, Ін-т математики НАН України, 2001.- С.19.

7. Чернобай О. Б. Про щільність перетворення Фур’є пов’язаного з ядрами Тепліца // Дев’ята міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука, 16-19 травня 2002р. Київ; Матеріали конф.- Київ, 2002.-С. 395.

8. Чернобай О. Б. Про спектральне представлення операторних додатно визначених ядер // Десята міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука, 13-15 травня 2004р. Київ; Матеріали конф.- Київ, 2004.-С. 549.

Автор висловлює щиру та глибоку подяку своєму науковому керівникові Березанському Юрію Макаровичу за постійну турботу, увагу та допомогу в роботі.

Анотації

Чернобай О. Б. Спектральна теорія узагальнених ядер Тепліца. –Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 -- математичний аналіз. Інститут математики НАН України, Київ, 2006.

У дисертаційній роботі набула подальшого розвитку спектральна теорія узагальнених ядер Тепліца. Інтегральне зображення одержано для додатно означених узагальнених ядер Тепліца, значеннями яких є як комплексні числа, так і обмежені оператори у сепарабельному гільбертовому просторі. Доведення таких зображень базується на спектральній теорії розкладу за узагальненими власними функціями відповідного диференціального оператора, що діє в гільбертовому просторі, побудованому за цим ядром. Цей метод, з одного боку, дає можливість стандартного підходу до інтегральних зображень узагальнених ядер Тепліца, з іншого боку – встановити теореми про єдиність міри в інтегральному зображенні, про властивість перетворення Фур’є, а також довести загальний критерій самоспряженості диференціального оператора.

Ключові слова: додатно означені ядра, узагальнені ядра Тепліца, квазіядерні оснащення просторів,проекційна спектральна теорема.

Chernobai O. B. Spectral theory of generalized Toeplitz kernels. —Manuscript.

Thesis for the Candidate degree by speciality 01.01.01—mathematical analysis. Institute of Mathematies of the National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2006.

This thesis is devoted to the subsequent development of the spectral theory of generalized Toeplitz kernels. Integral representation for the positive definite generalized Toeplitz kernels, which values are both complex numbers and bounded operators in the separable Hilbert space, has been obtained.

The proof of such representation is based on the spectral decomposition theory by general eigenfunctions of a corresponding differential operator acting in Hilbert space, constructed according to such kernel. This method, on the one hand, enables standard approach to integral

representation of generalized Toeplitz kernels, and on the other hand, gives an opportunity to prove theorems on uniqueness of measure in the integral representation, on Fourier transformations properties, and also to prove the general criterion of the differential operator selfadjointnes.

Key words: positive definite kernels, generalized Toeplitz kernels, quasinuclear riggings of spaces, projection spectral theorem.

Чернобай О.Б. Спектральная теория обобщенных ядер Теплица.— Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01—математический анализ. Институт математики НАН Украины, Киев, 2006.

Диссертация принадлежит к одному из направлений современного функционального анализа — спектральной теории положительно определенных ядер.

В диссертационной работе получила дальнейшее развитие спектральная теория особого типа положительно определенных ядер — положительно определенных обобщенных ядер Теплица.

Интегральное представление получено для положительно определенных обобщенных ядер Теплица, значениями которых есть как комплексные числа, так и ограниченные операторы в сепарабельном гильбертовом пространстве. Получение этих представлений основано на спектральной теории разложения по обобщенным собственным функциям соответствующего дифференциального оператора, который действует в гильбертовом пространстве, построенном по такому ядру. Этот метод с одной стороны, дает возможность стандартного подхода к интегральному представлению обобщенных ядер Теплица, а с другой — доказать теоремы о единственности меры в интегральном представлении, изучить свойства преобразований Фурье, а также доказать общий критерий самосопряженности дифференциального оператора.

Диссертационная работа носит теоретический характер. Результаты работы могут быть использованы при дальнейшем изучении положительно определенных ядер.

Работа состоит из введения, трех глав, выводов и списка использованных литературных источников.

Во введении освещается исторический аспект проблем, рассматриваемых в диссертационной работе, формулируется цель работы и дается краткая характеристика полученных результатов.

В первой главе изложен обзор литературы по теме диссертации.

Во второй главе получено интегральное представление для комплекснозначных обобщенных ядер Теплица, доказываются условия единственности меры в интегральном представлении. Рассматриваются спектральные свойства обобщенных ядер Теплица, соответствующие интегральному представлению.

В третьей главе развита теория обобщенных операторнозначных ядер Теплица, значениями которых есть ограниченные операторы в фиксированном сепарабельном гильбертовом пространстве. Получено для них интегральное представление. Доказана теорема о гладкости обобщенных решений дифференциальных уравнений с операторными коефициентами.

В выводах сформулированы основные результаты диссертационной работы.

В работе также приводится список литературы, состоящий из 46 источников.

Ключевые слова: положительно определенные ядра, обобщенные ядра Теплица, квазиядерные оснащения пространств, проекционная спектральная теорема.

_______________________________________________________________________________

Підписано до друку 15. 06. 2006. Формат . Папір тип. Офс. друк.

Фіз. друк. арк. 0,85. Умов. друк. арк.0,98.Тираж 100 пр. Зам. 116.

________________________________________________________________________________

Інститут математики НАН України,

01601, м. Київ-4, МСП, вул. Терещенківська, 3.