КИЇВСЬКИЙ НАЦIОНАЛЬНИЙ УНIВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

Цюпій Свiтлана Іванівна

УДК 512.552

НАПIВМАКСИМАЛЬНI КIЛЬЦЯ ТА ЇХ САГАЙДАКИ

01.01.06 – алгебра та теорія чисел

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико – математичних наук

Київ – 2006

Дисертацією є рукопис

Робота виконана на кафедрi геометрiї в Київському нацiональному університеті імені Тараса Шевченка, Кабінет міністрів України

Науковий керівник

доктор фізико-математичних наук

Сергейчук Володимир Васильович,

Iнститут математики НАН України, м. Київ,

провiдний науковий спiвробiтник вiддiлу топологiї

Офіційні опоненти :

доктор фізико-математичних наук, професор

Дрозд Юрiй Анатолійович,

Київський нацiональний університет імені Тараса

Шевченка, м. Київ, професор кафедри алгебри

і математичної логіки

кандидат фізико-математичних наук, доцент

Пилявська Ольга Степанівна,

Нацiональний унiверситет “Києво-Могилянська

академiя”, м. Київ, доцент кафедри математики

Провідна установа

Львiвський нацiональний університет імені Iвана Франка,

кафедра алгебри i логіки,

Мiнiстерство освiти i науки України, м. Львiв

Захист відбудеться “ 12 ” червня 2006 року о 14-й годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д .001.18 при Київському нацiональному університеті імені Тараса Шевченка за адресою: 03127, м. Київ, проспект академіка Глушкова, 6, механіко - математичний факультет

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського нацiонального університету імені Тараса Шевченка (м. Київ, вул. Володимирська, 58)

Автореферат розісланий “ 5 ” травня 2006 року

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Плахотник В.В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Останні десятиріччя бурхливо розвивалась теорія зображень скінченновимірних алгебр у великій мірі завдяки роботам українських математиків – А.В. Ройтера, Л.О. Назарової, П.М. Гудивка, Ю.А. Дрозда, О.Г. Завадського, В.В. Кириченка. Розроблені в цій теорії потужні конструктивні методи все більше використовуються в інших областях математики, зокрема, в лінійній алгебрі, теорії зображень груп, алгебр Лі та інших алгебраїчних структур і в теорії кілець. Зокрема, В.В. Кириченко Кириченко В.В. Обобщенно однорядные кольцаМат. сб. – 1976. – Т. , №4. – С. . переніс на напівдосконале кільце поняття сагайдака, яке ввів П. Габріель у зв’язку з класифікацією скінченновимірних алгебр з нульовим квадратом радикала.

В дисертації вивчаються властивості напівмаксимальних кілець та їх сагайдаків. Кільце називається напівмаксимальним Завадский А.Г., Кириченко В.В. Модули без кручения над первичными кольцами // Зап. Науч. Сем. ЛОМИ АН СССР. – 1976. – Т. . – С. 100-116.

, якщо воно є добутком черепичних порядків (tiled orders). Черепичні порядки є зручним об’єктом дослідження, оскільки кожен черепичний порядок можна задати матрицею показників, тобто цілочисельною матрицею спеціального вигляду.

Черепичні порядки вивчались, зокрема, К.В. Рогенкампом, Д. Сімсоном, Р.Б. Тарсі, Х. Фуджитою, В.А. Ятегаонкаром, київськими математиками Ю.А. Дроздом, О.Г. Завадським, В.В. Кириченком та їх учнями.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тема дисертаційної роботи пов’язана з тематикою наукових досліджень кафедри геометрії механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка, підрозділ “Геометричні структури та їх застосування” держбюджетної теми 01БФ038-03 (номер державної реєстрації 0101U002479).

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є дослідження властивостей напівмаксимальних кілець та їх сагайдаків і класифікація таких кілець.

Методи дослідження. В дисертації використовуються методи теорії кілець та теорії зображень скінченновимірних алгебр.

Важливою особливістю роботи є широке використання методів комп’ютерної алгебри. У зв’язку зі стрімким розвитком комп’ютерних технологій у другій половині XX-го століття конструктивні або обчислювальні методи почали відігравати важливу роль у дослідженні алгебраїчних структур. Зокрема, з кінця 2005 року редакція найбільш відомого алгебраїчного журналу “Journal of Algebra” розділена на дві секції – General Algebra з 23 фахівців та Computational Algebra з 13 фахівців. Дисертантом розроблено більше 20 комп’ютерних програм (основні програми наведено в додатках А, Б), за допомогою яких побудовано біля 2 тисяч прикладів черепичних порядків та їх сагайдаків з відповідними матрицями показників до 20 порядку. Гіпотези про властивості черепичних порядків та їх сагайдаків базувались на аналізі цих прикладів, на них також перевірялись одержані результати.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертації вперше отримано такі основні теоретичні результати:

–

–

–

–

–

–

Теоретичне та практичне значення одержаних результатів. Результати дисертації мають теоретичний характер і можуть бути використані для досліджень в структурній теорії кілець. Вони також можуть бути використані при читанні спецкурсів.

Особистий внесок здобувача. Всі результати дисертації одержані здобувачем самостійно.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались на

–

–

–

–

–

–

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в одинадцяти наукових роботах [1-11]. З них 7 статей у фахових виданнях з переліку, затвердженого ВАК України, та 4 тез доповідей на міжнародних наукових конференціях.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел, який складається з 47 найменувань, та двох додатків, які оформлені у вигляді окремої книги. Загальний обсяг дисертації становить 207 сторінок, з них 124 сторінки основного змісту, в якому 2 сторінки таблиць, 6 сторінок використаних джерел та 77 сторінок додатків.

Нумерація теорем, тверджень, наслідків в авторефераті співпадає з їх нумерацією в дисертації.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У вступі обгрунтовано актуальність теми та сформульовано мету дослідження, вказані наукова новизна одержаних результатів, апробація результатів дисертації, наведені структура та обсяг дисертації.

У розділі “Попередні відомості” наводяться необхідні факти з теорії кілець, з теорії невід’ємних матриць та з теорії графів. Він складається з 3 підрозділів.

Наведемо основні означення та теореми з підрозділу .1 “Основні відомості про напівмаксимальні кільця”.

Означення. Напівмаксимальним називається напівдосконале нетерове справа напівпервинне кільце A таке, що для кожного локального ідемпотента eA кільце eAe є дискретно нормованим (eAe може бути некомутативним).

Будова напівмаксимального кільця визначається наступною теоремою.

Теорема 1.1.1 HazewinkelGubareni N., KirichenkoAlgebras, Rings and Modules. – Dordrecht/Boston/ London: Kluwer Academic Publishers, 2004. – Vol. 1. – 380

. Кожне напівмаксимальне кільце ізоморфне скінченному прямому добутку первинних кілець вигляду

, (1.1)

де n ? , – дискретно нормоване кільце з простим елементом , – цілі числа,

та для всіх i, j, k (1.2)

(ці нерівності називаються кільцевими нерівностями).

Навпаки, для кожної цілочисельної матриці , елементи якої задовольняють умови (1.2), кільце (1.1) є нерозкладним напівмаксимальним кільцем.

Зауважимо, що ми розглядаємо кільце , що вкладене в його тіло часток.

Як довів Ятегаонкар JategaonkarGlobal dimension of tiled orders over a discrete valuation ringTrans Amer. Math. Soc. – 1974. – Vol. . – P. ., ми можемо вважати, що всі є цілими невід’ємними числами та для всіх j.

Кільця вигляду (1.1) називаються черепичними порядками (tiled orders).

Матриця називається матрицею показників черепичного порядку.

Черепичний порядок будемо задавати парою

Л {, е(Л)},

де – дискретно нормоване кільце і – матриця показників порядку Л.

Напівдосконалe кільце A називається зведеним, якщо факторкільце A/R є прямою сумою тіл.

Наведемо основні означення та теореми з підрозділу .2 “Невід’ємні матриці і скінченні орієнтовані графи”.

Дійсна матриця A, всі елементи якої невід’ємні, називається невід’ємною.

Квадратна матриця B називається переставно звідною, якщо одночасною перестановкою рядків та стовпчиків вона зводиться до вигляду

,

де B1 і B2 – квадратні матриці порядку меншого ніж порядок B. В протилежному випадку матриця B називається переставно незвідною.

Теорема .2.1 (Перона-Фробеніуса). Нехай B – невід’ємна переставно незвідна матриця і rmax – максимум з абсолютних величин власних чисел матриці B. Тоді rmax – додатне дійсне число, яке є простим коренем характеристичного многочлена матриці B і його власний вектор має додатні координати.

Нехай G – скінченний орієнтований граф з вершинами 1, , …,

Матрицею суміжностей графа G називається матриця

[G]: ,

де tij – число стрілок з вершини i у вершину j.

Граф G називається простим, якщо його матриця суміжностей [G] є (0,1)_матрицею (тобто всі її елементи є 0 або 1). Граф G називається сильно зв’язним, якщо будь-які його дві вершини (що можуть збігатись) з’єднує шлях.

Всі графи, що розглядаються в дисертації, вважаються скінченними орієнтованими простими сильно зв’язними графами.

Наведемо основні означення та теореми з підрозділу .3 “Сагайдак напівмаксимального кільця”.

Означення. Нехай A – нетерове напівдосконале кільце, R – радикал Джекобсона кільця A, P1, P2, …, Ps – всі попарно неізоморфні нерозкладні проективні модулі. Нехай проективне накриття P(Pi R) модуля Pi R має вигляд:

P(Pi R) , i, j = , , …, s.

Сагайдаком Q(A) називається орграф з вершинами 1, , …, s, в якому з вершини i у вершину j ведуть tij стрілок.

Нехай Л {, е(Л)} – зведений чеpепичний поpядок з сагайдаком Q(Л). В.В. Кириченко HazewinkelGubareniKirichenko V.V. Algebras, Rings and Modules (vol. 1). – Dordrecht/Boston/London: Kluwer Academic Publishers, 2004. – 380

довів, що в цьому випадку сагайдак порядку Л є простим сильно зв’язним орграфом, а матриця суміжностей сагайдака Q(Л) є різницею матриць показників квадрата радикала та самого радикала Джекобсона черепичного порядку Л:

Зауважимо, що сагайдаком дискретно нормованого кільця за означенням вважається граф, що складається з однієї вершини з петлею. Тому в дисертації розглядаються черепичні порядки, сагайдаки яких мають не менше двох вершин.

Означення. Дві матриці показників черепичних порядків називаються еквівалентними, якщо одну з них можна одержати з іншої перетвореннями наступних двох типів:

1) відніманням від усіх елементів i-го рядка цілого числа з одночасним додаванням до всіх елементів i-го стовпчика цього ж числа;

2) одночасною перестановкою двох рядків та двох стовпчиків з тими ж самими номерами.

Черепичні порядки, в яких матриці показників еквівалентні, є ізоморфними.

Означення. Нехай A – напівмаксимальне кільце з сагайдаком Q(A). Тоді за теоремою 1.2.1 його матриця суміжностей [Q(A)] має дійсне додатне власне число, яке є найбільшим за абсолютною величиною. Воно називається індексом кільця і позначається in.

Для індексу напівмаксимального кільця Л справджується подвійна нерівність

0 ? Л ? n,

де n – число вершин сагайдака Q(Л).

У розділі “Напівмаксимальні кільця” досліджуються властивості напівмаксимальних кілець. Він складається з 7 підрозділів.

У підрозділі .1 “Будова нерозкладного напівмаксимального кільця” доводиться наступна теорема, яка встановлює вигляд розкладу Пірса нерозкладного зведеного напівмаксимального кільця.

Теорема 2.1.1. Нехай Л {, е(Л)} – нерозкладне зведене напівмаксимальне кільце порядку nn ? ) з матрицею показників

е(Л). (2.1)

Перенумерацією ідемпотентів кільця впорядкуємо елементи першого стовпчика за зростанням:

б21 ? б31 ? … ? бn1T.

Нехай mk N{0} – кількість елементів , які дорівнюють k (очевидно, що m0 , ). Розіб’ємо матрицю е(Л) на блоки

е(Л), (2.2)

де блок Bkp має розмірність mk Ч mp (зрозуміло, що при mk =  mk й рядок та mk й стовпчик блочної матриці відсутні).

Тоді елементи блоку Bkp =вij(kp)) задовольняють умову

max{0, –} ? вij(kp) ? k.

Крім того, для всіх i, j, k таких, що i ?маємо

вii(kk) , вij(kk) вji(kk) .

Кількість діагональних блоків ненульової розмірності в матриці (2.2) дорівнює

де .

З теореми 2.1.1 випливає наступне твердження.Твердження 2.1.2. Якщо матриця показників вигляду (2.1) нерозкладного зведеного напівмаксимального кільця має в першому стовпчику m1 (m1 ? ) одиниць, то кільце Л містить у своєму розкладі Пірса (0,1)-порядок з матрицею показників порядку m1.

У підрозділі .2 “Зведеність напівмаксимального кільця” встановлюється достатня умова зведеності нерозкладного напівмаксимального кільця.

Теорема 2.2.1. Нехай Л {, е(Л)} – будь-яке нерозкладне напівмаксимальне кільце з матрицею показників

е(Л) ,

в якої всі елементи першого стовпчика різні  при i ?). Тоді кільце Л є зведеним.

У підрозділі .3 “Приклади черепичних порядків” даються приклади черепичних порядків та їх сагайдаків, які використовуються в подальшому. Порядок кільця позначається через nn ? ).

Приклад 2.3.1. ChernousovaDokuchaevKhibinaKirichenkoMiroshnichenkoZhuravlevTiled orders over discrete valuation rings, finite Markov chains and partially ordered sets.Algebra and Discrete mathematics. – 2003. – № 2. – P. .

Розглянемо черепичний порядок Hn {, е(Hn)}, який визначається матрицею показників

е(Hn ) .

Цей порядок є спадковим. Його сагайдаком є простий орцикл Cn з матрицею суміжностей

[Cn].

Приклад 2.3.2. RoggenkampKirichenkoKhibinaZhuravlevGorenstein tiled ordersCommunication in Algebra. – 2001. – Vol. , № . – P. .

Розглянемо порядок Hn,n {, е(Hn,n)}, з матрицею показників

е(Hn,n), k ? .

Його сагайдаком є граф Cn,n з матрицею суміжностей

[Cn,n].

Зауважимо, що сагайдак Cn,n порядку Hn,n можна одержати з простого орциклу Cn додаванням петель в усі вершини.

У підрозділі .4 “Черепичні порядки, сагайдаки яких складаються з простого орциклу і петель” основною є теорема 2.4.1 для простих орциклів довжини не менше ніж три.

Простим орциклом називається послідовність стрілок н1 > н2 > …> нs > н1, в якій усі вершини н1, н2, …, нs різні.

Теорема 2.4.1. Графи, які є простими орциклами 

,

з петлями, є сагайдаками зведених черепичних порядків тоді і тільки тоді, коли або петель нема, або кожна вершина має петлю; відповідно, черепичний порядок ізоморфний або Hn або Hn,n з прикладів 2.3.1, 2.3.2.

При доведенні цієї теореми використовується наступна лема, яка уточнює вигляд кільцевих нерівностей.2) для кілець, сагайдаки яких мають певний вигляд.

Лема 2.4.2. Нехай Л {, е(Л)} – зведений черепичний порядок, – матриця показників порядку Л, Q(Л) – сагайдак Л з матрицею суміжностей

Q(Л)

де символом позначено елементи, які мають значення 0 або 1.

Тоді при j для елементів матриці показників е(Л) справджуються співвідношення

.

У підрозділі 2.5 “Класифікація порядків, сагайдаки яких мають дві або три вершини” наводяться з точністю до ізоморфізму всі черепичні порядки, сагайдаки яких мають дві або три вершини, та відповідні сагайдаки. З цих результатів випливає наступний наслідок.

Наслідок. Кожен сагайдак з 2 або 3 вершинами можна одержати з порядку, елементи матриці показників якого не перевищують відповідно 2 або 3.

У підрозділі .6 “Оцінка кількості напівмаксимальних кілець” наводиться оцінка кількості нерозкладних зведених напівмаксимальних кілець, матриці показників яких мають одне і те ж значення максимального елемента.

У підрозділі .7 “Алгоритм побудови матриць показників черепичних порядків та матриць суміжностей їх сагайдаків” наведено алгоритм, який будує список усіх сагайдаків черепичних порядків з n вершинами, максимальний елемент матриць показників яких дорівнює заданому числу T. Для n , 4, 5 створені відповідні комп’ютерні програми в інтегрованій системі Turbo Pascal. Ці програми також друкують для кожного сагайдака одну з матриць показників з мінімальною сумою елементів.

З допомогою цих програм було побудовано більше тисячі матриць показників черепичних порядків щонайбільше п’ятого порядку та матриць суміжностей сагайдаків цих порядків, на яких перевірялись гіпотези та результати дисертації.

Розділ 3 “Властивості сагайдаків черепичних порядків” складається з 6 підрозділів.

У підрозділі .1 “Співвідношення між кількостями стрілок та петель сагайдака черепичного порядку” досліджується будова сагайдака черепичного порядку щодо кількостей стрілок, петель та орциклів.

Нехай Л {, е(Л)} – зведений чеpепичний порядок, R – радикал Джекобсона черепичного порядку Л, е(R)rij) – матриця показників радикала Джекобсона.

З кільцевих нерівностей випливає, що у випадку зведеного чеpепичного поpядку для елементів rij матриці е(R) виконуються нерівності

rij ?ik rkj для всіх i, j, k, (3.2)

які будемо називати радикальними кільцевими нерівностями.

Введемо позначення:

I (Л):= {(i, j) i, j ,2,…,n}–

множина пар індексів елементів матриці показників радикала Джекобсона черепичного поpядку Л;

I0 (Л):= {(i, j)I (Л)k0 : rij = }–

множина пар індексів (i, j)I (Л), для яких знайдеться принаймні одне значення k0 таке, що для трійки індексів i, j, k0 відповідна радикальна кільцева нерівність є рівністю;

I1Л):= {(i, j)I (Л) rij < rikkj для всіх k}–

множина пар індексів (i, j)I (Л) таких, що при будь-якому значенні k для трійки індексів i, j, k відповідна радикальна кільцева нерівність строга.

Наступна теорема встановлює зв’язок між множиною I1Л) і стрілками та петлями сагайдака Q(Л).

Теорема 3.1.1. Нехай Л {, е(Л)} – зведений чеpепичний порядок з сагайдаком Q(Л). Тоді:

(i)

(ii)

Зокрема, сагайдак має петлю у вершині тоді і тільки тоді, коли (i, i)I1Л).

Означення. Будемо називати вершини u і v (u ? v) сагайдака Q(Л) асоційованими з рівністю або просто асоційованими, якщо для елементів і матриці показників е(Л) ця рівність справджується.

Для будь-якої вершини u сагайдака позначимо через od(u) і id(u) кількість стрілок, що виходять і, відповідно, входять у вершину u.

Теорема 3.1.2. Нехай Л {, е(Л)} – чеpепичний порядок, Q(Л) – сагайдак Л, в якого вершини u і v асоційовані. Тоді

od(u)v) ? n; id(u)v) ? n,

де n (n ? 2) – кількість вершин сагайдака Q(Л).

Наступна теорема дає максимальну кількість стрілок сагайдака із заданою кількістю петель.

Теорема 3.1.3. Нехай Л {, е(Л)} – чеpепичний порядок, Q(Л) – його сагайдак, який має n вершин і m петель (n ? 2; 0 ? m ? n–2), K – кількість стрілок (враховуючи петлі) сагайдака Q(Л). Тоді

K ? n2 – n m .

Наступна теорема дає кількість стрілок, при яких кожна вершина сагайдака зобов’язана мати петлю.

Теорема 3.1.4. Нехай Л {, е(Л)} – чеpепичний порядок з матрицею показників і сагайдаком Q(Л), який має n вершин і m петель (n ? 3; 0 ? m ? n), K1 – кількість стрілок (не враховуючи петлі) сагайдака Q(Л). Якщо

K1 > n2 – n ,

то петля є в кожній вершині (тобто m і за теоремою 3.1.1 для всіх i, j).

Теорема 3.1.5. Позначимо через Gn,m (n ? 3; 0 ? m ? n) простий орграф, який має n вершин, петлі в m вершинах та в якого з будь-якої вершини є стрілки в усі інші вершини. Граф Gn,m є сагайдаком деякого черепичного порядку тоді і тільки тоді, коли m.

В цьому підрозділі також наведено обмеження на кількість простих орциклів сагайдака черепичного порядку.

Наведемо основні результати підрозділу 3.2 “Підсагайдаки сагайдаків черепичних порядків”.

Означення. Підграф G сагайдака Q, який одержано з Q вилученням деякого числа вершин та всіх стрілок, інцидентних цим вершинам, називається підсагайдаком сагайдака Q, якщо G є сагайдаком деякого черепичного порядку.

Теорема 3.2.2. Нехай Q(Л1), Q(Л2), …, Q(Лm) (m ? ) – сагайдаки деяких черепичних порядків Л1 {, е(Л1)}, Л2 {, е(Л2)}, …, Лm {, е(Лm)}, Ki – кількість вершин сагайдака Q(Лi), K:= K1 K2 …+ Km . Тоді для всіх n (n ? K) існує деякий черепичний порядок Лn {, е(Лn)} такий, що сагайдак Q(Лn) має n вершин та сагайдаки Q(Л1), Q(Л2), …, Q(Лm) є підсагайдаками сагайдака Q(Лn).

Теорема 3.2.3. Для будь-якого цілого m такого, що 0 ? m ? n–2 (n ? 3) існує черепичний порядок Щn,m, сагайдак якого має n вершин і m петель.

В підрозділі .3 “Кожен сильно зв’язний орграф без кратних петель і стрілок, який має петлю в кожній вершині, є сагайдаком черепичного порядку” одержано достатні умови на простий сильно зв’язний орграф, при яких він є сагайдаком черепичного порядку.

Теорема 3.3.1. Будь-який сильно зв’язний орграф G без кратних петель і стрілок, який має не менше двох вершин та петлю в кожній вершині, є сагайдаком деякого черепичного порядку.

З цією теоремою пов’язана наступна теорема.

Теорема 3.3.2. Всі можливі сагайдаки зведених черепичних порядків з n (n ? ) вершинами і n петлями можна одержати з розгляду порядків, що задаються матрицями показників, усі елементи яких не перевищують n – .

В підрозділі .4 “Відсутність сагайдаків черепичних порядків, які мають n вершин і n – петлю” одержано достатні умови на простий сильно зв’язний орграф, при яких він не може бути сагайдаком черепичного порядку.

Теорема 3.4.1. Жоден із сильно зв’язних орграфів без кратних петель і стрілок з n (n ? ) вершинами і n –  петлею не може бути сагайдаком черепичного порядку.

В підрозділі 3.5 “Властивості сагайдаків черепичних порядків, які мають n вершин і m (0 ? m ? n–2) петель” наведено систему нерівностей, яка складена на основі радикальних кільцевих нерівностей (див..2)) і за допомогою якої можна одержати список усіх сагайдаків черепичних порядків із заданими кількостями вершин і петель, та одержано наступні теореми.

Теорема 3.5.1. Нехай n і m – довільні цілі числа, що задовольняють умови n ? , 0 ? m ? n–2. Тоді:

(i)

(ii)

Теорема 3.5.2.

(i)

(ii)

Гіпотеза. У пункті (i) теореми 3.5.2 можна вилучити обмеження на елементи матриць показників.

Наведемо теорему, яку доведено в підрозділі .6 “Існування кілець, індекси яких попадають на інтервал (n–1, n)”.

Теорема 3.6.1. Для довільного цілого n (n ? ) існує черепичний порядок Лn {, е(Лn)}, сагайдак якого має вершин та індекс якого задовольняє умову

n – in Лn n.

У розділі 4 “Трикутні порядки” розглядається будова трикутних порядків та їх властивості, пов’язані з будовою їх сагайдаків.

У підрозділі .1 “Будова трикутного порядку” доводиться наступна теорема, яка встановлює вигляд матриці показників трикутного черепичного порядку.

Теорема 4.1.1. Нехай Л {, е(Л)} – нижній трикутний черепичний порядок. Тоді елементи кожного стовпчика матриці показників порядку Л утворюють неспадну послідовність, а елементи кожного рядка матриці показників порядку Л утворюють незростаючу послідовність.

Аналогічна теорема має місце для верхнього трикутного порядку.

У підрозділі .2 “Рекурсивний ланцюг сагайдака черепичного порядку” вводиться поняття рекурсивного ланцюга сагайдака черепичного порядку і наводяться його властивості.

Означення. Рекурсивним ланцюгом сагайдака черепичного порядку будемо називати простий ланцюг, який проходить через усі вершини сагайдака та такий, що в сагайдаку з будь-якої вершини ланцюга немає стрілок в усі наступні вершини ланцюга, за виключенням сусідньої.

Відмітимо, що рекурсивні ланцюги сагайдаків черепичних порядків існують лише тоді, коли кількість вершин сагайдака не менше 3.

Сагайдак черепичного порядку може мати не один рекурсивний ланцюг. Наприклад, кожен із сагайдаків порядків Hn та Hn,n (див. приклади 2.3.1 та 2.3.2) має n рекурсивних ланцюгів.

У підрозділі .3 “Критерій трикутності черепичного порядку” наведено необхідні і достатні умови на сагайдак черепичного порядку, за яких цей порядок є трикутним.

Теорема 4.3.1. Черепичний порядок Л є трикутним з точністю до ізоморфізму тоді і тільки тоді, коли сагайдак Q(Л) має рекурсивний ланцюг.

Це означає, що з точністю до переставних перетворень матриця суміжностей сагайдака має вигляд:

[Q(Л)],

тобто з будь-якої вершини m сагайдака Q(Л) немає стрілок в вершини з номерами, більшими за m +1, для всіх m ,2, …, n–2, де n (n ? ) – кількість вершин сагайдака Q(Л), і з кожної вершини m сагайдака Q(Л) завжди є стрілка у вершину m +1 для всіх m ,2, …, n – , тобто сагайдак трикутного порядку завжди має простий ланцюг Ln–1 довжини n – :

Ln–1:  >  >  > … > n.

У підрозділі .4 “Петлі в сагайдаку трикутного порядку” одержано необхідні і достатні умови на матрицю показників трикутного порядку, при яких його сагайдак має петлі (або не має петель) в заданих вершинах. Наведемо основні теореми цього підрозділу.

Теорема 4.4.1. Нехай Л {, е(Л)} – нижній трикутний порядок, – матриця показників порядку Л, Q(Л) – сагайдак Л, n (n ? ) – кількість вершин сагайдака Q(Л). Тоді сагайдак Q(Л) має петлю в вершині m тоді і тільки тоді, коли

відсутній при m ; відсутній при .

Теорема 4.4.3. Нехай Л {, е(Л)} – трикутний черепичний порядок з матрицею показників і сагайдаком Q(Л). Тоді сагайдак Q(Л) має петлі в усіх вершинах тоді і тільки тоді, коли всі ненульові елементи матриці показників е(Л) не менші ніж 2, тобто

.

У підрозділі .5 “Прості орцикли сагайдака трикутного порядку” встановлено будову простого орциклу, одержано необхідні і достатні умови на матрицю показників трикутного порядку, при яких його сагайдак має простий орцикл заданої довжини та наведено обмеження на кількість простих орциклів сагайдака трикутного порядку.

Теорема 4.5.1. Нехай Л {, е(Л)} – трикутний черепичний порядок з сагайдаком Q(Л),

Ln–1:  >  >  > … > n–

рекурсивний ланцюг сагайдака Q(Л), n (n ? ) – кількість вершин сагайдака Q(Л). Нехай сагайдак Q(Л) містить простий орцикл Cs довжини s (2 ? s ? n). Тоді Cs складається з частини рекурсивного ланцюга сагайдака Q(Л) і однієї стрілки, яка не належить рекурсивному ланцюгу, тобто цей орцикл має вигляд:

Cs : p >p + ) >p + ) > … >p + s – 1) > p

(1 ? p ? n – s + ).

Теорема 4.5.2. Нехай Л {, е(Л)} – нижній трикутний черепичний порядок з матрицею показників і сагайдаком Q(Л). Нехай n (n ? ) – кількість вершин сагайдака Q(Л). Сагайдак Q(Л) містить простий орцикл довжини s (2 ? s ? n) тоді і тільки тоді, коли знайдеться вершина p (1 ? p ? n – s + ) така, що сагайдак Q(Л) має стрілку q >, де q – 1, тобто виконується нерівність

,

де елемент відсутній при p = , а елемент відсутній при q. При цьому відповідним орциклом буде орцикл

.

У підрозділі .6 “Трикутні порядки, сагайдаки яких мають дві або три вершини” наведені всі сагайдаки трикутних черепичних порядків, які мають дві або три вершини, та описані всі матриці показників відповідних порядків.

У додатку A “Програми, які будують сагайдаки черепичних порядків” та додатку Б “Програми для перевірки гіпотез та одержаних результатів” наведено тексти відповідно семи та дев’яти основних програм, які створені здобувачем при роботі над дисертацією. Всі програми написані з допомогою інтегрованої системи Turbo Pascal. В підрозділі А.1 для прикладу наводиться формальний опис однієї з програм.

ВИСНОВКИ

В дисертації одержано ряд результатів про властивості напівмаксимальних кілець та їх сагайдаків.

Доведено, що матриця показників нерозкладного зведеного напівмаксимального кільця з точністю до еквівалентності розбивається на блоки і одержано умови, які задовольняють елементи цих блоків. Доведено достатню умову зведеності нерозкладного напівмаксимального кільця, що полягає в певному вигляді деякого рядка і стовпчика з тим самим номером в матриці показників кільця.

Одержано список усіх орграфів щонайбільше з трьома вершинами, які є сагайдаками зведених черепичних порядків, і класифіковані відповідні черепичні порядки.

Доведено, що кількість і розташування петель та стрілок в сагайдаку зведеного черепичного порядку пов’язані між собою наступним чином: відсутність деякої петлі в сагайдаку викликає відсутність визначеного числа стрілок у певних вершинах сагайдака, а з наявності визначеної кількості стрілок в сагайдаку випливає, що сагайдак обов’язково має петлі в усіх вершинах.

Одержано такі достатні умови на орграф, при яких він є сагайдаком черепичного порядку. Доведено, що кожен сильно зв’язний орграф без кратних петель і стрілок, який має петлю в кожній вершині, є сагайдаком черепичного порядку. Встановлено, що орцикл без кратних вершин і стрілок з петлями в деяких вершинах є сагайдаком зведеного черепичного порядку тільки в двох випадках – коли він не має петель або має петлі в усіх вершинах.

Одержано достатні умови на орграф, при яких він не може бути сагайдаком черепичного порядку, а саме, доведено, що сагайдаків черепичних порядків, які мають петлі в усіх вершинах, за винятком однієї, немає.

Доведено існування черепичних порядків, індекси яких попадають на інтервал , де  – кількість вершин сагайдака порядку.

Для трикутних порядків одержані такі результати. Доведено, що необхідною і достатньою умовою трикутності зведеного черепичного порядку є наявність рекурсивного ланцюга в його сагайдаку. Встановлено, що всі прості орцикли сагайдака трикутного порядку утворюються з рекурсивного ланцюга сагайдака замиканням однією стрілкою, яка не належить рекурсивному ланцюгу. Доведено, що лише визначених кільцевих нерівностей є необхідними і достатніми умовами того, що сагайдак трикутного порядку має визначений простий орцикл довжини . Доведено, що сагайдак трикутного порядку має петлі в усіх вершинах тоді і тільки тоді, коли значення всіх ненульових елементів матриці показників порядку не менші ніж два.

Результати дисертації мають теоретичний характер і можуть бути використані для досліджень в структурній теорії кілець. Вони також можуть бути використані при читанні спецкурсів.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

АНОТАЦІЇ

Цюпій С.І. Напівмаксимальні кільця та їх сагайдаки. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 – алгебра та теорія чисел. – Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2006.

В дисертації одержано ряд результатів про властивості напівмаксимальних кілець та їх сагайдаків.

Описано будову матриці показників нерозкладного зведеного напівмаксимального кільця і одержано достатню умову зведеності нерозкладного напівмаксимального кільця. Наведено алгоритм, який будує список усіх сагайдаків черепичних порядків із заданою кількістю вершин таких, що максимальний елемент матриць показників порядків дорівнює заданому числу; одержано оцінку кількості таких кілець.

Одержано список усіх орграфів з щонайбільше трьома вершинами, які є сагайдаками зведених черепичних порядків, і класифіковані відповідні черепичні порядки.

Одержано співвідношення між кількістю петель та кількістю стрілок сагайдака зведеного черепичного порядку.

Одержано достатні умови на орграф, при яких він є сагайдаком черепичного порядку, а також достатні умови, при яких він не може бути сагайдаком черепичного порядку.

Одержано необхідні і достатні умови на сагайдак черепичного порядку, за яких цей порядок є трикутним.

Встановлено будову простого орциклу сагайдака трикутного порядку та одержано необхідні і достатні умови на матрицю показників трикутного порядку, при яких його сагайдак має простий орцикл заданої довжини. Встановлено обмеження на значення елементів матриці показників трикутного порядку, які є необхідними і достатніми умовами того, що сагайдак порядку має всі петлі.

Ключові слова: напівмаксимальне кільце, сагайдак, черепичний порядок, трикутний порядок, матриця показників.

Цюпий С.И. Полумаксимальные кольца и их колчаны. – Рукопись.

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 – алгебра и теория чисел. – Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2006.

В диссертации получен ряд результатов о свойствах полумаксимальных колец и их колчанов.

Доказано, что матрица показателей неразложимого приведённого полумаксимального кольца с точностью до эквивалентности разбивается на блоки и получены условия, которым удовлетворяют элементы этих блоков. Получено достаточное условие приведённости неразложимого полумаксимального кольца, которое состоит в определённом виде некоторой строки и столбца с тем же номером в матрице показателей кольца.

Приведен алгоритм, который строит список всех колчанов черепичных порядков с заданным числом вершин, максимальный элемент матриц показателей которых равен заданному числу, и получена оценка числа таких колец.

Получен список всех орграфов максимум с тремя вершинами, которые являются колчанами приведённых черепичных порядков, и классифицированы соответствующие черепичные порядки.

Доказано, что количество и расположение петель и стрелок в колчане приведённого черепичного порядка связаны между собой следующим образом: отсутствие некоторой петли в колчане вызывает отсутствие определённого числа стрелок в определённых вершинах колчана, а из наличия определённого числа стрелок в колчане вытекает, что колчан обязательно имеет петли во всех вершинах.

Получены достаточные условия на орграф, при которых он является колчаном черепичного порядка, а именно, доказано, что каждый сильно связный орграф без кратных петель и стрелок, который имеет петлю в каждой вершине, является колчаном черепичного порядка. Установлено, что все колчаны приведённых черепичных порядков с вершинами, у которых в каждой вершине есть петля, можно получить, рассматривая порядки, которые задаются матрицами показателей, все элементы которых не превышают .

Получены достаточные условия на орграф, при которых он не может быть колчаном черепичного порядка, а именно, доказано, что колчанов черепичных порядков, которые имеют петли во всех вершинах, за исключением одной, нет.

Установлено, что орцикл без кратных вершин и стрелок с петлями в некоторых вершинах является колчаном приведённого черепичного порядка только в двух случаях – когда он не имеет петель или имеет петли во всех вершинах. Установлено, что сильно связный орграф без кратных петель и стрелок, в котором есть стрелка из каждой вершины в любую другую, является колчаном черепичного порядка только в одном случае – когда он имеет петли во всех вершинах.

Доказано, что колчан произвольного черепичного порядка является подколчаном колчана некоторого черепичного порядка с любым (большим) заданным числом вершин.

Доказано, что для произвольных целых чисел и таких, что , , существуют орграфы с вершинами и петлями, которые являются колчанами черепичных порядков, и существуют орграфы с вершинами и петлями, которые не могут быть колчанами черепичных порядков.

Доказано существование черепичных порядков, индексы которых попадают на интервал , где  – количество вершин колчана порядка.

Для треугольных порядков получены такие результаты.

Доказано, что необходимым и достаточным условием треугольности приведённого черепичного порядка является наличие рекурсивной цепи в его колчане. Установлено, что все простые орциклы колчана треугольного порядка образуются из рекурсивной цепи колчана замыканием одной стрелкой, которая не принадлежит рекурсивной цепи. Доказано, что только определённых кольцевых неравенств являются необходимыми и достаточными условиями того, что колчан треугольного порядка имеет данный простой орцикл длины . Получены ограничения на количество простых орциклов колчана треугольного порядка.

Доказано, что колчан треугольного порядка имеет петлю в данной вершине тогда и только тогда, когда значения двух определённых элементов матрицы показателей порядка не меньше, чем два, и имеет петли во всех вершинах тогда и только тогда, когда значения всех ненулевых элементов матрицы показателей порядка не меньше, чем два.

Ключевые слова: полумаксимальное кольцо, колчан, черепичный порядок, треугольный порядок, матрица показателей.

Tsupiy S.I. Semi-maximal rings and their quivers. – Manuscript.

Dissertation thesis for Candidate of sciences degree in Physics and Mathematics, speciality 01.01.06 – algebra and number theory. – Kyiv Taras Shevchenko University, Kyiv, 2006.

In the dissertation some results are obtained on properties of semi-maximal rings and their quivers.

We describe the structure of the exponent matrix of an indecomposable reduced semi-maximal ring and obtain sufficient conditions on the reduction of the indecomposable semi-maximal ring. We give an algorithm for constructing the list of all quivers of tiled orders with a given maximal value of entries of their exponent matrices and a given number of vertices of quivers; we also evaluate the number of such rings.

The list of all orgraphs with two and three vertices being quivers of reduced tiled orders is obtained and corresponding tiled orders are classified.

We establish relations between the number of loops and the number of arrows of the quiver of any reduced tiled order.

We give sufficient conditions on an orgraph under which it is the quiver of some tiled order and we also obtain sufficient conditions on an orgraph under which it can’t be a quiver of a tiled order.

Necessary and sufficient conditions on a quiver of a tiled order under which this order is triangular are obtained.

Structure of a simple orcycle of the quiver of a triangular order is established and necessary and sufficient conditions on the exponent matrix of a triangular order under which the quiver of this order has a simple orcycle of a given length are obtained. Restrictions on values of entries of the exponent matrix of a triangular order under which every vertex of the quiver has a loop are established.

Key words: semi-maximal ring, quiver, tiled order, triangular order, exponent matrix.