МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ЗАПОРІЗЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Чумаченко Ярослав Віталійович

УДК 539.3

РОЗВИТОК МЕТОДУ ДОБУТКУ ОБЛАСТЕЙ ДЛЯ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ СКРУТУ ПРИЗМАТИЧНИХ СТРИЖНІВ ПОЛІГОНАЛЬНОГО ПРОФІЛЮ

Спеціальність 01.02.04 – Механіка деформівного твердого тіла

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Запоріжжя - 2006

Дисертацією є рукопис

Робота виконана у Запорізькому національному технічному університеті Міністерства освіти і науки України

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор

Пожуєв Володимир Іванович,

Запорізька державна інженерна академія,

ректор

Офіційні опоненти: доктор технічних наук, професор

Курпа Лідія Василівна,

Національний технічний університет “ХПІ”,

завідувач кафедри прикладної математики

кандидат технічних наук, доцент

Гребенюк Сергій Миколайович,

Запорізький національний університет,

доцент кафедри прикладної математики та механіки

Провідна установа: Інститут технічної механіки НАН України і НКА України (м. Дніпропетровськ)

Захист відбудеться “24” квітня 2007 р. о 13.30 годині на засіданні

спеціалізованої вченої ради Д 17.052.01 у Запорізькому національному

технічному університеті за адресою: 69063, м.Запоріжжя, вул. Жуковського,

64, ауд.153.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Запорізького національного

технічного університету за адресою: 69063, м.Запоріжжя, вул. Жуковського, 64

Автореферат розісланий “20” березня 2007 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради,

доктор технічних наук, професор Ю.М. Внуков

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Одним із типів призматичних стрижнів, які найбільш часто зустрічаються в застосуваннях, є однозв’язний чи многозв’язний стрижень з поперечним перерізом, обмеженим многокутниками. При розв’язуванні задач про скрут таких об’єктів використовується значна кількість методів математичної теорії пружності. Але найбільш ефективні з них не охоплюють всього многовиду задач, які виникають, а при наявності гострих кутів, що входять в область перерізу, ускладнюється використання і універсальних чисельних методів.

В даному класі задач, розв’язки, зручні для практичних інженерних розрахунків, отримані для стрижнів, перерізи яких мають спеціальну форму: складені із прямокутників, є правильними многокутниками чи деякого виду трикутниками і трапеціями. Систематичні дослідження напруженого стану, який виникає при скруті полігонального стрижня при наявності поздовжніх тріщин, виконані тільки для простих конфігурацій.

Таким чином, питання про розробку єдиного методу, який дозволив би алгоритмізувати розв’язання задач про скрут стрижнів довільно-многокутного профілю та забезпечив би ефективний розрахунок всіх їх характеристик, необхідних в застосуваннях, є важливим і актуальним.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана відповідно до плану наукових досліджень кафедри прикладної математики Запорізького національного технічного університету в рамках держбюджетної теми “Розробка математичних моделей об’єктів і процесів. Створення методики наближеного розв’язування прикладних задач”(№ДР 0105U006064).

Мета і задачі дослідження. Метою дисертації є розробка ефективного спеціалізованого математичного апарату для розрахунку характеристик скруту призматичного стрижня з поперечним перерізом, обмеженим одним чи кількома кусково-лінійними контурами, які мають в загальному випадку вироджені частини.

Для досягнення зазначеної мети необхідно вирішити наступні задачі:

-розвинути метод розв’язування основних граничних задач для двовимірного рівняння Лапласа в області з довільно-многокутними межами, який базується на методі добутку областей;

-адаптувати розвинутий метод для розв’язування задач про скрут суцільних та порожнистих призматичних стрижнів полігонального профілю;

-реалізувати розроблений підхід у вигляді алгоритму універсального в класі задач, що розглядаються, і застосувати його для чисельного дослідження характеристик скруту конкретних об’єктів.

Об’єктом дослідження є граничні задачі теорії пружності, які моделюють напружено-деформований стан пружного призматичного стрижня при його скруті.

Предметом дослідження є характеристики стрижня при скруті: його жорсткість, компоненти тензора напружень, депланація, коефіцієнти інтенсивності напружень, які виникають в околах вершин кутів межового контуру, що входять в область поперечного перерізу.

Методи дослідження. Розвинутий підхід до розв’язування задач скруту полігональних стрижнів грунтується на методі добутку областей, який був запропонований для рівняння Гельмгольца в теорії дифракції електромагнітних хвиль. Метод може бути застосованим, якщо область визначення шуканої функції являє собою спільну частину (добуток в теоретико-множинному значенні) простих базових областей, в кожній із яких рівняння допускає відокремлення змінних.

В процесі побудови математичних моделей кусково-лінійних об’єктів, що розглядаються, використані метод відокремлення змінних, метод зрізання для розв’язування нескінчених систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР), властивості гармонічних функцій, відомості з теорії розвинень в ряди Фур’є, а також відомості з теорії деяких спеціальних функцій.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в тому, що:

-на основі методу добутку областей запропоновано новий загальний підхід до розв’язування задач скруту однозв’язних і многозв’язних призматичних стрижнів довільно-многокутного профілю;

-в рамках цього підходу запропоновано спрощену методику розрахунку характеристик стрижня при скруті в випадку наявності порожнин та тріщин віддалених від його поверхні;

-вперше систематично досліджені характеристики скруту декількох широковживаних стрижнів, які ослаблені довільно орієнтованими поздовженими тріщинами.

Практичне значення одержаних результатів полягає в тому, що вони являють собою єдину методологічну основу для розв’язування широкого класу застосованих задач теорії скруту. Розроблено чисельний алгоритм для знаходження параметрів скручуваних стрижнів. Важливе практичне значення мають його універсальність в класі многокутних структур та збереження ефективності при наявності тріщин. Можливості застосування цього алгоритму для дослідження об’єктів, які цікаві для практики, проілюстровані в дисертації на великій кількості прикладів. Розвинуті методи і алгоритми можуть бути використані в роботі конструкторських бюро і науково-дослідних установ, які займаються розробкою технічних пристроїв і споруд, що містять елементи в вигляді призматичних стрижнів. Матеріали дисертації передані і прийняті для використання і впровадження в ДП “Івченко-Прогрес”. Це підтверджено актом про впровадження результатів дослідження дисертаційної роботи.

Особистий внесок здобувача. Основні результати і висновки дисертації отримані особисто автором. Постановка задачі, вибір напрямів дослідження та обговорення результатів виконані разом з науковим керівником.

Апробація результатів дисертації. Матеріали дисертації доповідалися і обговорювались на V Міжнародній науково-практичній конференції “Сучасні проблеми геометричного моделювання” (Мелітополь, 1998), IV Всеукраїнській науковій конференції “Математичні проблеми технічної механіки” (Дніпропетровськ, 2004), XIII Науковій конференції вчених України, Білорусії і Росії “Прикладні задачі математики і механіки” (Севастополь, 2005), Загальноуніверситетських наукових конференціях Запорізького національного університету (1998, 1999), Науково-технічних конференціях Запорізького національного технічного університету (2004,2005).

Публікації. Основні результати дисертації викладені в 7 публікаціях, із яких 4 [1-4] – статті в фахових виданнях, затверджених ВАК України, 1 [5] – стаття в збірнику наукових робіт, 2 [6,7] – матеріали доповідей на наукових конференціях. Роботи [2,5,6] опубліковані без співавторів.

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається з вступу, чотирьох розділів, висновків на 2 сторінках, списку використаних літературних джерел із 119 позицій на 12 сторінках. Повний обсяг дисертації складає 137 сторінок.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтована актуальність теми дисертації, сформульовані мета і задачі дослідження, визначена наукова новизна і практичне значення отриманих результатів.

Перший розділ присвячено огляду наукової літератури та аналізу ідей та методів розв’язування задач про скрут пружного призматичного стрижня. Огляду передує формулювання основних граничних задач теорії пружності, які описують напружено-деформований стан такого об’єкту. Розглядуваній тематиці присвячені роботи Б. Сен-Венана, С.П. Тимошенка, А.Д. Динника, Н.І. Мусхелішвілі, Н.Х. Арутюняна, Д.І. Шермана, В.Л. Рвачова, M.A. Jaswon, C.G. Sih, Y.Z. Chen, J.T. Chen, W. Wagner, G. Mejak, та багатьох інших вчених.

Розгляд стану проблеми, здійснений автором, показав, що існуючі методи не завжди адекватні структурам, які моделюються. Найбільш ефективні методи орієнтовані на обмежені класи задач. В задачах про скрут стрижнів довільного профілю найчастіше використовуються чисельні методи, такі як метод скінчених різниць, метод скінчених елементів, метод граничних елементів, які орієнтуються беспосередньо на можливості сучасної обчислювальної техніки. При наявності сингулярностей розв’язку їх застосування також ускладнюється. Залишається актуальною проблема створення єдиного і зручного алгоритму, який дозволяв би ефективно розраховувати характеристики скруту загального вигляду многокутних стрижнів любої зв’язності, особливо в присутності довільно-орієнтованих розрізів.

Проведений аналіз дозволив сформулювати мету і основні задачі дисертаційної роботи.

Задача про скрут призматичного стрижня може бути зведеною до двовимірної задачі Діріхле чи Неймана, чи змішаної (при наявності симетрії) граничних задач для рівняння Лапласа (Пуасона). В другому розділі, абстрагуючись від механічного змісту шуканої функції, автор формально будує розв’язки такого типу задач в області, обмеженій скінченим многокутником довільної форми. Розглядаються як внутрішня, так і зовнішня задачі. Остання використана в четвертому розділі для розробки спрощеної методики розв’язування задачі про скрут одного типу многозв’язних призматичних стрижнів. Відносно рівняння Пуасона припускається, що воно має відомий частковий розв’язок і задача може буде зведеною до рівняння Лапласа зі зміненими відповідним чином граничними умовами.

Нехай -основна система прямокутних координат, а і - локальні системи прямокутних і еліптичних координат, зв’язаних з прямолінійную ланкою многокутника. Через позначено множину номерів всіх таких ланок. Система вводиться так, щоб відповідало центру ланки, її сторона (сторона ) була повернута до області визначення шуканої функції і , де ,, -відповідні орти. Координати і пов’язані співвідношеннями

(1)

де -половина довжини ланки.

В такому випадку многокутник зображується ланцюжком вироджених еліпсів , а обмежену ним внутрішню чи зовнішню область можна розглядати як спільну частину областей , в яких рівняння Лапласа допускає відокремлення змінних. Далі, виходячи з ідей методу добутку областей, показано, що шуканий розв’язок може бути записано в вигляді

(2)

(3)

де коефіціенти розвинення та підлягають знаходженню. Формули (2),(3) мають місце, як для внутрішньої, так і зовнішньої задачі. В останньому випадку межовий контур може бути розімкненим, якщо тільки така, що її стрибок на цьому контурі .

Нескінчена СЛАУ для невідомих коефіціентів знаходиться шляхом використання граничних умов -ї ланки і проектування відповідної рівності на ортогональний функціональний базис . В випадку задачі Неймана СЛАУ містить тільки невідомі і є замкненою. Коефіцієнт при цьому залишається довільним. У випадках задачі Діріхле та змішаної задачі систему необхідно поповнити додатковим рівнянням. Для зовнішньої задачі воно випливає з умови скінченності розв’язку при , де -відстань до точки спостереження. Якщо вважати послідовність обмеженою, то із (2),(3) можна отримати, що скінченна при і

(4)

тільки за умови

(5)

Ця рівність і замикає СЛАУ. Щоб зберегти єдину форму розв’язку умова (5) використовується і у випадку внутрішніх задач.

Як показали чисельні експерименти, отримана нескінчена СЛАУ може бути розв’язана шляхом її заміни на скінчену систему. Достовірність, ефективність і високу алгоритмічність запропонованого підходу підтверджено розв’язками тестових задач, порівнянням результатів, отриманих в відомих випадках, з даними інших авторів. З чисельних експериментів випливає, що незалежно від типу розглянутих граничних задач і форми межевого контуру для досягнення необхідної в застосуваннях точності, достатньо після зрізання залишити в розвиненнях (3) тільки по декілька перших членів.

В третьому розділі розвинутий підхід застосовується до задач про скрут стрижнів полігонального профілю, які формулюються в термінах спряженої функції скруту та функції переміщення і ведуть відповідно до відомих задач Діріхле та Неймана.

Табл. 1 ілюструє швидкість збіжності чисельної процедури в процесі знаходження нормованої жорсткості при скруті стрижня, чий поперечний переріз показано на рис.1. Позначення:

-жорсткість, -модуль зсуву, -число членів, залишених в рядах (3) після зрізання (для зручності зображення результатів воно вибране однаковим для всіх ланок). Величини і відповідають результатам, знайденим за допомогою функцій і .

В роботі також наводяться дані для стрижнів з перерізами в вигляді правильного трикутника та прямокутника, які демонструють, що і швидко стабілізуються до відомих точних значень жорсткості. Ця швидкість залишається високою і для розглядуваних стрижнів інших профілів та (для спряженої функції скруту) при наявності поздовжних розрізів.

Функція , а разом з нею і функція напружень , неперервно продовжуються формулами (2) і (3) за межу перерізу стрижня і формально визначені з обох сторін кожної її ланки. В зв’язку з цим встановлено, що похідна може бути виражена через стрибок нормальної похідної на ланці :

(6)

де і відстані від точки спостереження до кінців ланки. Це співвідношення дає можливість отримати асимптотичну оцінку для коефіцієнтів розвинення . Підставляючи з (3) в (6) і припускаючи можливість почленного диференціювання, а також використовуючи відомі властивості поведінки в околах кутових точок, оцінювання для великих зводиться до оцінювання певного визначеного інтегралу, значення якого виражаються в термінах виродженої гіпергеометричної функції. Детальний аналіз отриманих співвідношень дає

(7)

де і залежить від значень величин більших з кутів, які прилягають до кінців як зсередени так і ззовні межового контуру.

Із оцінки (7) випливає, що якщо формули (2),(3) зображують спряжену функцію скруту, то ряд (3), а також ряд отриманий його почленним диференціюванням відносно змінної чи збігається абсолютно і рівномірно. Поза межовим контуром цей ряд можна диференціювати довільну кількість раз. Результат не залежить від ступеню складності ламаної, яка утворює межу поперечного перерізу. Подібна ситуація має місце і в випадку використання функції .

Чисельні експерименти підтвердили оцінку (7), а також можливість ефективного знаходження дотичних напружень, які виражаються через похідні шуканої функції або . Слід однак зазначити, що на вироджених частинах межового контуру умова не виконується і зображення (3) для функції не має місця. Тому в подальших дослідженнях використовується спряжена функція скруту , для якої зображення (3) справедливе у всіх випадках. Наведено приклад її використання для розрахунку дотичних напружень вздовж контуру ламаної тріщини, яка виходить на поверхню квадратного стрижня.

Розроблений підхід узагальнено на випадок многозв’язного стрижня, поперечний переріз якого обмежений зовнішнім контуром і внутрішніми контурами . Для зображення спряженої функції скруту знову використовуються формули (2),(3). Нескінчена СЛАУ для знаходження коефіціентів розвинень має вигляд

(8)

де

(9)

(10)

(11)

(12)

Система містить додаткових невідомих , які є значеннями функції напружень на контурах . Додаткові рівняння для їх знаходження випливають зі співвідношень теореми Бредта про циркуляцію дотичних нпаружень. Доведено, що ці співвідношення разом з формулою (5) еквівалентні рівнянням

(13)

Система (8)-(13) була використана для побудови єдиного чисельного алгоритму для розв’язання задач скруту суцільних та порожнистих призматичних стрижнів довільно-полігонального профілю.

Якщо стрижень має одну чи декілька площин симетрії, обчислювальні витрати можуть бути скорочені. Для коефіцієнтів розвинення, зв’язаних з симетричними ланками, встановлено співвідношення, які дозволяють зменшити порядок СЛАУ в разів, де -кількість площин симетрії.

В випадку многозв’язності алгоритм був тестований на відомій задачі про скрут стрижня прямокутної форми з двома симетрично розташованими квадратними порожнинами. Також розраховані жорсткість і розподіл дотичних напружень на контурі для стрижня, поперечний переріз якого зсередини і ззовні обмежений повернутими один відносно одного правильними трикутниками.

Третій розділ завершується аналізом характеристик скруту деяких широковживаних стрижнів, послаблених поздовжніми тріщинами. Розглядаються: прямокутний стрижень з довільно-орієнтованою тріщиною, яка виходить на його поверхню (рис.2); правильний тригранний стрижень з тріщиною, яка виходить на поверхню перпендикулярно грані; такий же стрижень з тріщиною нахиленою під довільним кутом; квадратний стрижень з довільно-орієнтованою внутрішньою тріщиною; стрижень кутового профілю з тріщиною, яка закінчується в вершині а) кута, що входить, б) кута, що виступає.

Рисунок 3 ілюструє вплив поздовжньої тріщини на жорсткість прямокутного стрижня при різних значеннях його геометричних параметрів. З рисунку випливає, що для тріщини фіксованого розміру,

яка виходить в центр сторони прямокутника, жорсткість завжди мінімальна при . Якщо тріщина виходить на поверхню ближче до ребра стрижня , то найбільше послаблення жорсткості відбувається при . На рис.4 наведено типовий розподіл дотичних напружень на контурі прямокутного стрижня з похилою тріщиною. Видно, що напруження максимальне при наближенні до краю тріщини вздовж її сторони повернутої до центру стрижня.

З точки зору механіки руйнування велике значення має знання значень коефіцієнтів інтенсивності напружень, які виникають при скруті в околах вершин кутів, що входять, і зокрема в околі кінця тріщини. Ці питання розглядаються в четвертому розділі.

В загальному випадку для знаходження коефіцієнтів інтенсивності використана методика Н.Х. Арутюняна і А.А. Баблояна, що зводиться до знаходження деякого інтегралу вздовж контуру, який охоплює вершину кута. Для тріщин отримано формули, які дозволяють уникнути згаданого інтегрування. Обидва підходи були тестовані на відомому випадку прямокутного стрижня з тріщиною, розташованою перпендикулярно його поверхні, і використані для аналізу характеристик скруту тих же стрижнів з поздовжніми розрізами, що і в розділі 3.

Дані, подані на рис.5, відповідають стрижню з поперечним перерізом, показаним на рис.2. Графіки мають більш складний характер чим в випадку жорсткості. Залежність максимума коефіцієнта інтенсивності від глибини тріщини не є монотонною і залежно від геометрії він досягається при різних значеннях кута .

Подальша частина четвертого розділу присвячена розробці спрощеної наближеної методики розрахунку параметрів скруту многозв’язного призматичного стрижня, коли внутрішні многокутні контури віддалені від зовнішнього контуру .

Запишемо функцію напружень в вигляді

(14)

де складається з тих доданків в (2), які зв’язані з внутрішніми контурами. Така функція визначена в нескінченій області, обмеженій цими контурами, задовільняє рівнянню Лапласа і, подібно до (4), обмежена та дорівнює деякій сталій на нескінченності.

Таким чином, припускаючи що область, де скупчені внутрішні контури мала, порівнюючи з її відстанню від , можна наближено вважати, що є сталою на . Але тоді, оскільки також стала на (дорівнює нулю), співпадає з точністю до несуттєвої константи з функцією напружень суцільного стрижня, обмеженого контуром . Це дозволяє розділити розв’язок задачі скруту на дві більш прості частини. Спочатку знаходиться функція напружень для суцільного стрижня (вона часто відома), а потім функція , яка визначена в нескінченій області і задовольняє на контурах деяким відомим граничним умовам, що включають значення . Ясно, що не обов’язково має бути многокутним. Особливо просто знаходиться в випадку, коли внутрішні контури являють собою тільки один прямолінійний розріз. Матричний розв’язок при цьому виключається і знаходиться аналітично.

Методика була перевірена на задачі скруту квадратного стрижня, який має квадратну порожнину чи прямолінійну поздовжну тріщину. Розраховувались точні (використовувався метод без спрощення) та наближені значення жорсткості та коефіцієнтів інтенсивності. Виявилося, що припущення про малість отвору чи тріщини та їх віддаленість від зовнішнього контуру не є критичними. Наближений метод забезпечив знаходження прийнятних з практичної точки зору значень параметрів скруту аж до розмірів внутрішніх контурів, порівнянних з розмірами зовнішнього контуру, а також для досить малих відстаней між ними. Заміна на трикутник та п’ятикутник привела до тих же висновків. Їх підтвердив також і наближений розв’язок відомої задачі скруту циліндра з еліптичним поперечним перерізом, який містить розріз між фокусами. Навіть при (-півширина розрізу, -велика піввісь), наближене значення коефіцієнта інтенсивності відрізнялось від точного його значення тільки на 4,5%.

Як приклад використання розробленої наближеної методики на рис.7 наведені розраховані залежності від кута коефіцієнтів інтенсивності напружень , які виникають при скруті поблизу кінців розгалуженої тріщини, показаної на рис.6. Тріщина знаходиться всередині еліптичного стрижня з півосями і Точка розгалудження співпадає з центром еліпса, відрізок орієнтований вздовж його головної осі, .

У висновках сформульовані основні підсумки проведених в дисертації досліджень:

1. Метод добутку областей розвинуто стосовно розв’язування основних граничних задач для рівняння Лапласа в двовимірних областях з многокутною межою. Розвинутий підхід грунтується на зображені області визначення розв’язку в вигляді спільної частини базових областей, кожна з яких є всією площиною ззовні певної ланки межового контуру, і методі відокремлення змінних. Гранична задача зводиться до нескінченної СЛАУ, розв’язуваної шляхом заміни скінченною системою.

2. Метод адаптований для розв’язування задач скруту призматичних стрижнів полігонального профілю. Виконаний теоретичний аналіз характеру збіжності рядів, які зображують шукану функцію напружень, засвідчив можливість ефективного розрахунку всіх характеристик скруту незалежно від ступеню складності ламаної, яка утворює межовий контур, і наявності вироджених її частин – тріщин. Методика узагальнена на випадок многозв’язних поперечних перерізів.

3. Розвинутий підхід реалізовано в вигляді універсального в розглядуваному класі об’єктів чисельного алгоритму. Його достовірність та висока ефективність підтверджені розв’язком тестових задач та порівнянням (в відомих окремих випадках) результатів обчислень з даними інших авторів.

4. Виконано систематичне чисельне дослідження крутильної жорсткості та коефіцієнтів інтенсивності напружень для ряду широковживаних призматичних стрижнів, ослаблених поздовжніми тріщинами:

-прямокутного стрижня з похилою тріщиною, яка виходить на його поверхню;

-квадратного стрижня з довільно-орієнтованою внутрішньою тріщиною;

-тригранного стрижня з перпендикулярною чи похилою тріщиною, що виходить на його поверхню;

-стрижня кутового профілю з тріщиною, яка закінчується в вершині входового чи виступаючого кута.

5. Розроблено наближений спрощений підхід до знаходження характеристик скруту стрижня з віддаленими від його зовнішньої поверхні многокутними порожнинами та тріщинами. У випадку, коли для суцільного стрижня функція напружень відома і наявна лиш одна одноланкова поздовжна тріщина, такий підхід особливо ефективний, так як дозволяє уникнути матричного розв’язування задачі.

Таким чином розвинуто ефективний математичний апарат для дослідження скручуваних призматичних стрижнів довільно-многокутного профілю і розв’язано ряд важливих застосовних задач. Розроблений чисельний алгоритм, внаслідок його універсальності, може бути використано для знаходження характеристик скруту багатьох інших об’єктів незачеплених в дисертації.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ДИСЕРТАЦІЇ ОПУБЛІКОВАНІ В ТАКИХ РОБОТАХ:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

АНОТАЦІЯ

Чумаченко Я.В. Розвиток методу добутку областей для розв’язування задач скруту призматичних стрижнів полігонального профілю. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла.- Запорізький національний технічний університет, Запоріжжя, 2006.

В дисертації розроблено спеціалізований метод розв’язування задач скруту однозв’язних чи многозв’язних призматичних стрижнів з довільно-многокутним контуром, який може мати вироджені частини – тріщини. Метод грунтується на зображені області визначення шуканої спряженої функції скруту (чи функції переміщення) в вигляді спільної частини (добутку) базових областей, кожна з яких є всією площиною ззовні певної ланки межового контуру, і методі відокремлення змінних. Гранична задача для рівняння Лапласа зводиться до нескінченої системи лінійних алгебраїчних рівнянь, розв’язуваної шляхом її зрізання.

Розроблений підхід реалізовано в вигляді універсального в розглядуваному класі задач чисельного алгоритму, достовірність якого та висока ефективність підтверджені розв’язками низки тестових задач та порівнянням (в відомих випадках) результатів обчислень з даними інших авторів. Досліджено характеристики скруту ряду широковживаних призматичних стрижнів, ослаблених довільно-орієнтованими поздовжніми розрізами.

Ключові слова: призматичний стрижень, скрут, метод добутку областей, напружено-деформований стан, тріщина, крутильна жорсткість, коефіцієнт інтенсивності напружень.

АННОТАЦИЯ

Чумаченко Я.В. Развитие метода произведения областей для решения задач кручения призматических стержней полигонального профиля. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 01.02.04 – механика деформируемого твердого тела. – Запорожский национальный технический университет, Запорожье, 2006.

В диссертации разработан специализированный метод решения задач кручения односвязных и многосвязных призматических стержней с произвольно-многоугольным контуром, который имеет в общем случае вырожденные части- трещины. Рассматриваются граничные задачи для уравнения Лапласа, моделирующие напряженно-деформированное состояние упругого стержня при его скручивании. Метод основывается на представлении области определения искомой функции в виде общей части (произведения) базовых областей, каждая из которых является всей плоскостью вне определенного звена граничного контура, и использовании в таких областях метода разделения переменных в эллиптической системе координат. Задача сводится к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов применяемых разложений, которая решается методом редукции.

Выполнен анализ характера сходимости используемых рядов. Он показал, что в рамках развитых представлений возможен эффективный расчет всех характеристик скручиваемых стержней независимо от степени сложности ломаной, образующей граничный контур. Для стержней, имеющих плоскости симметрии, предложен способ уменьшения вычислительных издержек, который сокращает порядок решаемой системы в раз, где - число плоскостей симметрии.

Развитый подход реализован в виде универсального в рассматриваемом классе задач численного алгоритма. Его достоверность и высокая эффективность подтверждены решением большого числа тестовых задач и сравнением (в известных случаях) результатов вычислений с данными других авторов.

Выполнен детальный численный анализ крутильной жесткости и коэффициентов интенсивности напряжений, возникающих вблизи вершин трещин при скручивании, для ряда широко используемых стержней, ослабленных продольными разрезами, а именно: прямоугольного стержня с наклонной трещиной, выходящей на поверхность; квадратного стержня с произвольно ориентированной внутренней трещиной; трехгранного стержня с перпендикулярной или наклонной трещиной, выходящей на поверхность; стержня уголкового профиля с трещиной, заканчивающейся в вершине входящего или выступающего угла.

Разработан приближенный упрощенный подход к нахождению характеристик скручиваемого стержня с удаленными от его внешней поверхности многоугольными полостями и трещинами.

Ключевые слова: призматический стержень, кручение, метод произведения областей, напряженно-деформированное состояние, трещина, крутильная жесткость, коэффициент интенсивности напряжений.

ABSTRACT

Chumachenko Ya.V. Development of the domain-product technique for solving the torsion problem for prismatic bars of polygonal profile. – Manuscript.

Thesis to obtaine a scientific degree of Candidate of Technical Sciences (speciality 01.02.04 – mechanics of deformable solid). – Zaporizhzhya National Technical University, Zaporizhzhya, 2006.

In the dissertation, a special-purpose method of solving the torsion problem for the simply and the multiply connected prismatic bar with the arbitrarily multiangular cross-sectional profile (degenerate boundaries included) has been developed. The method is based on the representation of the domain of the sought-for conjugate torsion function (or warping function) as a common part (product in the set-theoretic sense), of auxiliary regions with separable geometry. Every such a region is the whole plane outside the certain straight-line element of the boundary contour. The 2D boundary value problem for Laplace’s equation is reduced to an infinite system of algebraic equations which is solved using a truncation procedure.

The approach has been implemented in the form of a computational algorithm universal among the problems considered. Its validity and efficiency have been proved by many numerical experiments as well as by comparison of the data obtained with the known ones. The detailed analysis of characteristics (torsional rigidities, stress intensity factors) of several widly used cracked bars under torsion has been carried out.

Keywords: prismatic bar, torsion, domain-product technique, mode of deformation, crack, torsional rigidity, stress intensity factor.