ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ
ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ
НАЦІОНАЛЬНОЇ АКАДЕМІЇ НАУК УКРАЇНИ
ДЕМКІВ Любомир Ігорович
УДК 519.6
ОЦІНКИ ТОЧНОСТІ РІЗНИЦЕВИХ СХЕМ З УРАХУВАННЯМ
ПОЧАТКОВО-КРАЙОВОГО ЕФЕКТУ
01.01.07— обчислювальна математика
АВТОРЕФЕРАТ
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук
КИЇВ— 2006
Дисертацією є рукопис
\bf }Робота виконана в Інституті математики НАН України
\bf }Науковий керівник:
доктор фізико-математичних наук, професор,
член-кореспондент НАН України
{\bf Макаров Володимир Леонідович,}
\bf }Інститут математики НАН України,
завідувач відділу обчислювальної математики
{\bf Офіційні опоненти:}
\bf }доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник
{\bf Хіміч Олександр Миколайович,}
\bf }Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України,
завідувач відділу програмного забезпечення та рішень задач
\bf }
кандидат фізико-математичних наук, доцент
{\bf Кутнів Мирослав Володимирович,}
\bf }Національний університет “Львівська політехніка”,
доцент кафедри прикладної математики
{\bf Провідна установа:}
\bf }Львівський національний університет імені Івана Франка МОН Ураїни, м. Львів,
кафедра обчислювальної математики
Захист відбудеться “03” жовтня 2006 р. о 1500 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.02 Інституту математики НАН України за адресою: 01601, Київ, вул. Терещен-ківська, 3.
З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України: 01601, Київ, вул. Терещенківська, 3
Автореферат розісланий “ 30” серпня 2006р.
\bf }Учений секретар
спеціалізованої вченої ради Пелюх Г.П.
{\bf ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ}
{\bf Актуальність теми.} Значне число задач фізики та техніки при дослідженні їх за допомогою математичного моделювання приводять до лінійних та нелінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними (рівняння математичної фізики).
Одним із самих розповсюджених чисельних методів є метод сіток. Це обумовлено його універсальністю та простотою реалізації. Теорія методу сіток або, як її ще називають, теорія різницевих схем була створена завдяки працям Вазова В., Форсайта Дж., Bramble J.H., Годунова С.К., Kreiss H.O., Марчука Г.І., Lax P.D., Richtmyer R.D., Тихонова А.М., Самарського О.А., Яненка М.М., Макарова В.Л., Лазарова Р.Д. і багатьох інших.
При розв’язуванні методом сіток задач математичної фізики у канонічних областях, тобто таких, що утворені координатними поверхнями (лініями), давно було помічено такий факт. Чим ближче вузол сітки знаходиться до границі сіткової області, тим точність розв’язку відповідної сіткової схеми стає вищою. Кількісні оцінки цього крайового ефекту у спеціальних вагових нормах для задачі Діріхле для еліптичного рівняння другого порядку були вперше анонсовані В.Л. Макаровим у 1987р. у Доповідях АН Болгарії. До останнього часу ідеї, викладені у зазначеній роботі, не мали розвитку. Подібна ситуація виникає при досдідженні точності різницевих схем для нестаціонарних задач математичної фізики відносно часової змінної $t$ . Практика показує, що чим ближче вузол просторово-часової сітки до шару $t=0$ , тим вища швидкість збіжності відповідної різницевої схеми (початковий ефект). Кількісні дослідження початкового ефекту різницевих схем в літературі не проводились.
Важливість дослідження початково-крайового ефекту традиційних різницевих схем та їх модифікацій не викликає сумніву, є актуальним і фактично формує новий напрямок в теорії методу сіток.
{\bf Зв’зок роботи з науковими програмами, планами, темами.} Робота виконана в Інституті математики НАН України у відділі обчислювальної математики в рамках науково-дослідних тем "Чисельно-аналітичні методи розв'язування диференціальних рівнянь з необмеженими операторними коефіцієнтами та обробка інформаційних даних" (номер держреєстрації 0101U000371) 2001-2005рр. та "Методи теорії наближень та чисельні методи для дослідження та керування нелінійними фізичними процесами в реальних неоднорідних середовищах" (номер держреєстрації 0105U000773) 2004-2005рр.
{\bf Мета і завдання дослідження.} Для вивчення крайового ефекту дослідити властивості різницевих функцій Гріна стосовно їх поведінки біля границі області. На основі цих властивостей одержати нові вагові оцінки точності різницевих схем, що апроксимують крайові задачі для рівнянь еліптичного типу з різними крайовими умовами. Дослідити початковий ефект різницевих схем, що апроксимують початково-крайові задачі для рівнянь параболічного типу. Отримані теоретичні результати підтвердити чисельними експериментами. При цьому розглянути як лінійний, так і квазілінійний випадки та знайти достатні умови, які б забезпечували гладкість вхідних даних диференціальних задач, що гарантувало б справедливість всіх наведених апріорних оцінок.
{\it Методи дослідження. }В дисертаційній роботі використовується теорія різницевих схем, теорія рівнянь з частинними похідними, функціональний аналіз.
{\bf Наукова новизна одержаних результатів.} У дисертаційній роботі одержано такі нові результати:
· Для лінійних та квазілінійних рівнянь параболічного типу зі сталими коефіцієнтами і умовами Діріхле в 1-D, 2-D знайдено вагові апріорні оцінки, що враховують початково-крайовий ефект.
· Для задачі Діріхле для квазілінійного еліптичного рівняння зі змінними коефіцієнтами і мішаними похідними у прямокутнику знайдено вагові оцінки точності відповідної різницевої схеми, що враховують крайовий ефект. При цьому було використано оригінальні оцінки різницевої функції Гріна.
· Для всіх вагових апріорних оцінок, що враховують початково-крайовий ефект, у випадку умов Діріхле в термінах гладкості вхідних даних знайдені достатні умови, що гарантують справедливість цих оцінок.
· Для звичайного диференціального рівняння другого порядку з крайовими умовами третього роду знайдено вагові апріорні оцінки точності модифікованої різницевої схеми (через перехід до системи рівнянь першого порядку), що враховують крайовий ефект як для розв’язку, так і для його похідної. Показано, що використання традиційної різницевої схеми для одержання відповідних вагових апріорних оцінок накладає більш жорсткі умови на гладкість розв’язку вихідної диференціальної задачі.
{\bf Практичне значення одержаних результатів.} Дисертація має теоретичний характер, її результати є внеском в теорію різницевих схем. Оскільки в дисертації не використовуються "екзотичні" різницеві схеми, а лише традиційні або їх модифікації, то результати, одержані в дисертації, можуть бути використані при розв'язуванні широкого класу практичних задач, які приводять до лінійних (квазілінійних) рівнять параболічного та еліптичного типів (задач гідродинаміки, механіки, електродинаміки тощо). Розроблена методика одержання вагових апріорних оцінок, що враховують початково-крайовий ефект, може бути використана при дослідженні інших класів задач математичної фізики та для неканонічних областей. Матеріали дисертації можуть бути використані при читанні спецкурсів у класичних та політехнічних університетах.
{\bf Особистий внесок здобувача.} Всі результати, що складають основний зміст дисертаційної роботи, отримано автором самостійно. В публікаціях, що написані у співавторстві, науковому керівнику чл.-кор. НАН України Макарову В.Л. належить постановка задачі та участь в обговоренні результатів.
{\bf Апробація результатів дисертації.} Основні результати дисертації доповідались на Міжнародній науковій конференції "Обчислювальна математика та математичні проблеми механіки" (Дрогобич, 2001р.), Міжнародному симпозіумі " 4th IMACS Symposium on Mathematical Modelling" (Відень, Австрія, 2003р.), Всеукраїнській науковій конференції "Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики" (Львів, 2003р.), Міжнародній конференції "Numerical Analysis and Applications" (Руссе, Болгарія, 2004р.), Міжнародній конференції "Large-Scale Scientific Computations" (Созополь, Болгарія 2005р.), Міжнародній конференції "Applications of Mathematics in Engineering and Economics" (Созополь, Болгарія, 2005р.), семінарі "Математичні проблеми механіки та обчислювальна математика" (Інститут математики НАН України, 2005р.). Результати, що складають перший розділ дисертації удостоєно грамоти Президій НАН України на конкурсі молодих вчених і студентів вищих навчальних закладів у 2001р.
{\bf Публікації.} Основні результати дисертації опубліковано в десяти роботах. Серед них п’ять статей [1-5] та п’ять тез доповідей на конференціях [6-10].
{\bf Структура та обсяг роботи.} Робота обсягом 129 сторінок, складається зі вступу, семи розділів, висновку та списку використаних джерел з 64 найменувань.
{\bf ОСНОВНИЙ ЗМІСТ}
У вступі наводиться загальна характеристика дисертаційної роботи: обгрунтовується актуальність вибраної теми, анонсуються основні отримані результати та висвітлюється їх практичне та теоретичне значення.
Перший розділ дисертації присвячено огляду літератури на тему роботи. Проведено аналіз відомих на даний час результатів, які стосуються теорії різницевих схем, наведено постановки задач, розглянутих у дисертаційній роботі.
Другий розділ роботи присвячено знаходженню апріорних оцінок точності різницевих схем для звичайних диференціальних рівнянь.
У підрозділі 2.1 розглянуто задачу
$\begin{array}{l} {L^{(k,q)} u\equiv \frac{d}{dx} \left[k(x)\frac{du}{dx} \right]-q(x)u(x)=-f(x),\quad \quad x\in (0,1),\quad } \\ {u(0)=A,\, \quad u(1)=B,} \end{array}$ (1)
з умовами
$0<c_{1} \le k(x)\le c_{2} ,\quad \quad q(x)\ge 0.$ (2)
Коефіцієнти $k(x),\; q(x),\; f(x)$ є кусково-гладкими функціями зі скінченним числом точок роз-ри-ву.Для розв’язання цієї задачі шляхом апроксимації за допомогою різницевої схеми введено сіткову область:
$\hat{\omega }_{h} =\left\{x_{j} \in {\kern 1pt} (0,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 1),\; j=\overline{1,N-1},\; x_{j} -x_{j-1} =h_{j} >0,\, \sum \limits _{j=1}^{N}h_{j} =1\right\}.$ (3)
Сітку задано так, щоб точки розриву функцій $k(x),\; q(x),\; f(x)$ збігалися з вузлами сітки. У точках розриву розв’язок задачі () – (2) підпорядковано умовам неперервності
$u(x_{i-0)=u(x_{i+0),\quad kleft. \fracdu{dx\right|_{x=x_{i-0} =kleft. \frac{du}{dx} \right|_{x=x_{i} +0} ,\quad \forall x_{i} \in \rho .$ (4)
Доведено, що для задачі () – () існує тільки одна точна триточкова різницева схема
$\Lambda y\equiv (ay_{\bar{x}} )_{\hat{x}} -dy=-\varphi (x),\quad x\in \hat{\omega }_{h} ,\; \; \, y(0)=A,\quad y(1)=B,$ (5)
яка має єдиний розв’язок, що співпадає з розв’язком ()-() у вузлах сітки $\hat{\omega }_{h} $ . Для збуреної різницевої схеми доведено теорему про коефіцієнтну стійкість.
У підрозділі 2.2 показано, що, використовуючи для коефіцієнтів різницевої схеми () метод розвинення у ряд Тейлора, можна перейти від цієї схеми до
$(a^{(\bar{n})} y_{\bar{x}}^{(\bar{n})} )_{\hat{x}} -d^{(\bar{n})} y^{(\bar{n})} =-\varphi ^{(\bar{n})} (x),\quad x\in \hat{\omega }_{h} ,\, \; y^{(\bar{n})} (0)=A,\quad y^{(\bar{n})} (1)=B,$ (6)
де $\bar{n}=2\left[(n+1)/2\right]$ , $\left[k\right]$ – ціла частина числа $k$ .
Справедлива теорема.
{\it \underbar{Теорема 2.2.}}{\it } Нехай виконані умови $0<c_{1} \le k\left(x\right),\; \; k\left(x\right)\in Q^{n+1} \left[0,\; 1\right],$ {\it } $q\left(x\right)\in Q^{n} \left[0,\; 1\right],$ {\it } $0<\tilde{c}_{1} \le \tilde{a}(x)\le c_{2} $ {\it , } $\tilde{d}(x)\le 2\left\| q\right\| _{0,\infty ,(0,1)} $ {\it , тоді для похибки різницевої схеми (}{\it ) буде мати місце нерівність }
\it } $\left\| \frac{u(x)-y^{(\bar{n})} (x)}{x(1-x)} \right\| _{0,\infty ,\hat{\omega }_{h} } \le Mh^{\bar{n}} ,$ {\it }{\it (7)}
{\it де M }–{\it стала, яка не залежить від h.}{\it }{\it ?}
Для підтвердження отриманих теоретичних результатів у підрозділі 2.3 було проведено кілька практичних експериментів
{\it \underbar{Приклад 2.1.}}{\it } Розв’язати задачу ({\it ) з коефіцієнтами }
$k(x)=\exp \{ x-0.5H(0.75-x)\} ,\quad q(x)=[1+H(x-0.75)]/(x+1)$
{\it та точним розв’язком }
$u(x)=\left\{\begin{array}{l} {\exp (x),\quad \quad \quad \quad \quad \, \quad \quad \quad \quad \quad \; \quad \, \, \; 0\le x\le 0,75,} \\ {\exp (x-0,5)+\exp (0,75)-\exp (0,25),\; 0,75\le x\le 1,} \end{array}\right. $
{\it де } $H(x)$ –{\it функція Хевісайда.}
{\it \underbar{Приклад 2.2.}}{\it }
{\it Розв’язати задачу }
\it } $\fracd^{2} uleft(xright)}{dx^{2} } -xuleft(xright)=-(\pi ^{2} +x)\sin (\pi x),\; \; u(0)=u(1)=0,\quad xin (0,1),$ {\it }
{\it точний розв’язок якої } $u(x)=\sin (\pi x).$
Для практичної оцінки швидкості збіжності розглянуто величини
$err=\left\| z^{(5)} \right\| _{0,\infty ,\omega _{h} } =\left\| y^{(5)} -u\right\| _{0,\infty ,\omega _{h} } ,\quad p=\log _{2} \frac{\left\| \frac{z^{(5)} }{x(1-x)} \right\| _{0,\infty ,\omega _{h} } }{\left\| \frac{z^{(5)} }{x(1-x)} \right\| _{0,\infty ,\omega _{h/2} } } .$ (8)
Результати розрахунків наведено в таблиці 2.1. Для розв’язування прикладів було використано пакет Maple, Digits=40.
Таблиця 2.1
Приклад 2.1Приклад 2.2 $N$ | $err$ | $p$ | $err$ | $p$ | 16 | $0.584*10^{-7} $ | $0.449*10^{-6} $ | 32 | $0.991*10^{-9} $ | 5.880 | $0.702*10^{-8} $ | 5.998130 | 64 | $0.161*10^{-10} $ | 5.937 | $0.109*10^{-9} $ | 5.999280 | 128 | $0.258*10^{-12} $ | 5.967 | $0.171*10^{-11} $ | 5.999883 | 256 | $0.408*10^{-14} $ | 5.983 | $0.268*10^{-13} $ | 5.999970 | 512 | $0.642*10^{-16} $ | 5.991 | $0.419*10^{-15} $ | 5.999989 | 1024 | $0.100*10^{-17} $ | 5.995 | $0.655*10^{-17} $ | 5.999998
У третьому розділі, отримані результати було узагальнено на випадок параболічних рівнянь зі сталими коефіцієнтами. У підрозділі 3.1 спочатку знайдено оцінки точності, що враховують крайовий ефект, а потім – початковий.
У пункті 3.1.1, де досліджено крайовий ефект, розглянуто задачу
$\begin{array}{l} {\frac{\partial u\left(x,t\right)}{\partial t} =\frac{\partial ^{2} u\left(x,t\right)}{\partial x^{2} } +f(x,t),\quad \; (x,t)\in Q_{T} ,} \\ {u(0,t)=u(1,t)=0,\quad \; t\in (0,T),} \\ {u(x,0)=\varphi (x),} \end{array}$ (9)
де $Q_{T} =(0,1)\times (0,T)$ – часовий циліндр. Введено сіткову область
$\omega _{Q_{T} } =\omega \times \omega _{\tau } ,\quad \omega =\left\{x_{i} =ih:i=\overline{1,N-1},\, \, h=\frac{1}{N} \right\},\; \; \; \; \omega _{\tau } =\left\{t_{j} =j\tau :j=\overline{1,M-1},\, \, \tau =\frac{1}{M} \right\}.$ (10)
Використовуючи оператор точних триточкових різницевих схем
$T^{x(v(\cdot ))=\frac}{h^{2} } \int \limits _{x-h{x+hh-\left|x-\xi \right|)v(\xi )dxi ,$ (11)
побудувано різницеву схему
$\beginarray{l{y_{\bart} \left(x,tright)=y_{\barxx\left(x,tright)+T^{x(f(\cdot ,t)),\quad (x,t)\in \omega _{Q_{T} ,} \\ {y(0,t)=y(1,t)=0,\quad tin \omega _{\tau } ,\quad y(x,0)=\varphi (x),\quad xin \omega .} \endarray (12)
Справедливі теореми.
{\it \underbar{Теорема 3.1.}}{\it } Нехай $\varphi (x)\in W_{2}^{3} (0,1),\; \, f(x,t)\in W_{2}^{0,1} (Q_{T} ),\; \, f(x,0)\in W_{2}^{1} (0,1),\; $ {\it } $\, \frac{\partial f(x,0)}{\partial t} \in L_{2} (0,1)$ {\it , тодi точнiсть рiзницевої схеми (}{\it ) характеризується ваговою апрiорною оцiнкою в явному вигляді:}
\it } $\beginarray{l{\left(\sum \limits _{\eta =\tau }^{t\tau \left[\fracyleft(x,\eta \right)-uleft(x,\eta \right)}{xleft(1-xright)} \right]^{2} \right)^{{\raise0.7exhbox1 $}\!\mathord\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace\!\lower0.7exhbox2 $}} } \le } \\ {\le \left(2^{5} h^{4} +\frac}{9} \tau ^{2} \right)\left{\left\varphi '''\left(\cdot \right)+\frac\partial fleft(\cdot ,0\right)}{\partial x\right^{2} +\int \limits _{0}^{t\left\frac\partial fleft(\cdot ,\eta \right)}{\partial \eta } \right^{2} deta \right}\equiv 2\Psi ^{{\raise0.7exhbox1 $}\!\mathord\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace}\!\lower0.7ex\hbox{$ 2 $}} } \left(t\right).} \end{array}$ \it }\it ? }\it (}13)
У пункті 3.1.2 при дослідженні оцінок, які враховують початковий ефект, було доведено теорему.
{\it \underbar{Теорема }}{\it \underbar{3}}{\it \underbar{.2.}}{\it } Нехай виконана умова $\tau \le 1$ {\it ,}{\it }{\it та умови теореми }{\it 3.1}{\it . Тодi точнiсть рiзницевої схеми (}{\it ) характеризується оцiнкою }
\it } $\left[\left(2+\ln ^{2} t\right)t\right]^{-{\raise0.7ex\hbox{$ 1 $}\!\mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace}\!\lower0.7ex\hbox{$ 2 $}} } \left\| y\left(\cdot ,t\right)-u\left(\cdot ,t\right)\right\| \le \exp \left\{\pi \frac{\sqrt{2} }{2} \ln 2\right\}\Psi ^{{\raise0.7ex\hbox{$ 1 $}\!\mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace}\!\lower0.7ex\hbox{$ 2 $}} } \left(T\right)$ {\it .}{\it }{\it ? (15)}
У підрозділі 3.2 отримані в попередньому підрозділі результати узагальнено на двовимірний випадок. Тут розглянуто задачу
$\beginarray{l{\frac\partial uleft(x,tright)}{\partial t=\Delta uleft(x,tright)+f(x,t),\quad \; (x,t)\in Q_{T=Qtimes \left(0,Tright),} \\ {u(x,t)=0,\quad \; xin \partial Qtimes (0,T),\quad u(x,0)=\varphi (x),\quad xin Q,} \endarray (16)
де $x=\left(x_{1} ,x_{2} \right),\; \Delta =\frac{\partial ^{2} }{\partial x_{1}^{2} } +\frac{\partial ^{2} }{\partial x_{2}^{2} } ,\; Q=\left\{x=\left(x_{1} ,x_{2} \right):0<x_{\alpha } <1,{\kern 1pt} \, \, \alpha =1,\, {\kern 1pt} 2\right\}$ , $\partial Q$ – це границя квадрата $Q$ .
Для побудови рiзницевої схеми, якою апроксимовано задачу (), було введено сiткову область
$\omega _{Q_{T} } =\omega \times \omega _{\tau } ,\quad \omega =\omega _{1} \times \omega _{2} ,\quad \omega _{\alpha } =\left\{x_{\alpha ,i_{\alpha } } =i_{\alpha } h_{\alpha } :i_{\alpha } =\overline{1,N_{\alpha } -1},\, \, h_{\alpha } =\frac{1}{N_{\alpha } } \right\},\quad \alpha =1,\; 2,$ (17)
де $\omega _{\tau } $ залишається такою ж самою часовою сiткою, що i в (). Границю сiткової областi $\omega $ позначено через $\gamma $ .
За допомогою операторiв точних рiзницевих схем
$\begin{array}{l} {T^{x_{1} } (u(\cdot ,x_{2} ))=\frac{1}{h_{1}^{2} } \int \limits _{x_{1} -h_{1} }^{x_{1} +h_{1} }(h_{1} -\left|x_{1} -\xi _{1} \right|)u(\xi _{1} ,x_{2} )d\xi _{1} ,\quad } \\ {T^{x_{2} } (u(x_{1} ,\cdot ))=\frac{1}{h_{2}^{2} } \int \limits _{x_{2} -h_{2} }^{x_{2} +h_{2} }(h_{2} -\left|x_{2} -\xi _{2} \right|)u(x_{1} ,\xi _{2} )d\xi _{2} ,} \end{array}$ (18)
побудовано рiзницеву схему
$\begin{array}{l} {y_{\bar{t}} \left(x,t\right)=\Lambda y\left(x,t\right)+T^{x_{1} } T^{x_{2} } f\left(\cdot ,\cdot ,t\right),\quad (x,t)\in \omega _{Q_{T} } ,} \\ {y(x,t)=0,\quad \left(x,t\right)\in \gamma \times \omega _{\tau } ,} \\ {y(x,0)=\varphi (x),\quad x\in \omega .} \end{array}$ (19)
В цьому підрозділі також доведено другу основну нерівність для різницевого оператора другого порядку та знайдено оцінку різницевої функції Гріна.
{\it \underbar{Лема 3.6.}}{\it Справедлива така оцінка }
\it } $\left\| G\left(x,\cdot \right)\right\| \equiv \frac{\mu }{\nu ^{2} } \rho ^{1/2} \left(x\right)\le \frac{1}{\sqrt{2} } \left\{\min \left[x_{1} x_{2} ;x_{1} \left(1-x_{2} \right);\left(1-x_{1} \right)x_{2} ;\left(1-x_{1} \right)\left(1-x_{2} \right)\right]\right\}^{1/2} $ {\it . ?}
Було доведено теореми.
\it \underbar{Теорема 3.3.}}{\it } Нехай виконанi умови
\it } $\begin{array}{l} {\frac{\partial f(x,{\kern 1pt} t)}{\partial t} \in L_{2} (Q_{T} ),\quad \frac{\partial }{\partial x_{\alpha } } \left[\Delta \varphi (x)+f(x,{\kern 1pt} 0)\right]\in L_{2} (\Omega ),\; \; \alpha =1,{\kern 1pt} 2,\quad } \\ {\Delta f(x,{\kern 1pt} t)\in L_{2} (Q_{T} ),\; \; f(x,{\kern 1pt} t)=0,\; \; x\in \partial \Omega ,} \\ {\frac{\partial ^{3} f(x,{\kern 1pt} t)}{\partial t\partial x_{\alpha }^{2} } \in L_{2} (Q_{T} ),\; \; \alpha =1,{\kern 1pt} 2,\quad \frac{\partial ^{3} }{\partial x_{\alpha } \partial x_{\beta }^{2} } \left[\varphi (x)+f(x,{\kern 1pt} 0)\right]\in L_{2} (\Omega ),\; \; \alpha ,\beta =1,{\kern 1pt} 2,} \end{array}$ {\it }
{\it тодi буде мати мiсце вагова апрiорна оцiнка: }
\it } $\left\{\sum \limits _{\eta =\tau }^{t}\tau \frac{\left|y\left(x,\eta \right)-u\left(x,\eta \right)\right|^{2} }{\rho \left(x\right)} \right\}^{{\raise0.7ex\hbox{$ 1 $}\!\mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace}\!\lower0.7ex\hbox{$ 2 $}} } \le \sqrt{2} M\left[\tau ^{2} \left(h_{1}^{2} +h_{2}^{2} \right)+\left(h_{1}^{2} +h_{2}^{2} \right)^{2} +\tau ^{2} \right]^{{\raise0.7ex\hbox{$ 1 $}\!\mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace}\!\lower0.7ex\hbox{$ 2 $}} } ,$ {\it }{\it (}20)
{\it де стала } $M$ {\it виражається через відповідні норми функцій } $\varphi \left(x\right)$ {\it та } $f\left(x,t\right)$ {\it , що визначаються з умов теореми.}{\it }{\it ?}
\it \underbar{Теорема 3.4.}}{\it } Якщо $\tau \le 1$ {\it i виконанi умови теореми 3.3, то буде мати мiсце така вагова апрiорна оцiнка }
\it } $\left[\left(2+\ln ^{2} t\right)t\right]^{-{\raise0.7ex\hbox{$ 1 $}\!\mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace}\!\lower0.7ex\hbox{$ 2 $}} } \left\| y\left(\cdot ,t\right)-u\left(\cdot ,t\right)\right\| \le M\exp \left\{\pi \frac{\sqrt{2} }{2} \ln 2\right\}\left[\tau ^{2} \left(h_{1}^{2} +h_{2}^{2} \right)+\left(h_{1}^{2} +h_{2}^{2} \right)^{2} +\tau ^{2} \right]^{{\raise0.7ex\hbox{$ 1 $}\!\mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace}\!\lower0.7ex\hbox{$ 2 $}} } ,$ {\it }{\it (}21)
{\it де стала M має той самий змiст, що i в (}\it ).}{\it }{\it ?}
В теоремах 3.3 та 3.4 отримано вагові апріорні оцінки точності різницевої схеми () з врахуванням початкового та крайового ефектів відповідно.
В четвертому розділі знайдено оцінки точності різницевих схем для квазілінійних параболічних рівнянь, що враховують початково-крайовий ефект. В підрозділі 4.1 встановлено вагові апріорні оцінки точності різницевих схем, що враховують крайовий ефект. Нехай $Q_{T} =\left(0,1\right)\times \left(0,T\right)$ – часовий прямокутник з границею $\Gamma _{T} ,\; \; \overline{Q_{T} }=Q_{T} \cup \Gamma _{T} $ . В прямокутнику $Q_{T} $ введемо сітку $\omega _{Q_{T} } =\omega \times \omega _{t} $ , де
$\begin{array}{l} {\omega =\left\{x_{i} =ih:i=\overline{1,N-1},h=1/N\right\},\; \; \omega _{\tau } =\left\{t_{j} =jt:j=\overline{1,M-1},\tau =\frac{T}{M} \right\},\; \; } \\ {\bar{\omega }=\omega \cup \left\{0\right\}\cup \left\{1\right\},\; \; \omega ^{+} =\omega \cup \left\{1\right\}.} \end{array}$
Для функції $u\left(x,t\right)$ , означеної на $Q_{T} $ , введено наступний усереднюючий оператор точних скінченно-різницевих схем:
$T^{x} \left(v\left(\cdot \right)\right)=\frac{1}{h^{2} } \int \limits _{x-h}^{x+h}\left(h-\left|x-\xi \right|\right)v\left(\xi \right)d\xi ,\quad x\in \omega .$
Крапка в аргументах функції означає, що по цих аргументах діє відповідний оператор.
Розглянемо таку початково-крайову задачу для квазілінійного параболічного рівняння:
$\begin{array}{l} {\frac{\partial u\left(x,t\right)}{\partial t} =\frac{\partial ^{2} u\left(x,t\right)}{\partial x^{2} } +f\left(x,t,u\left(x,t\right)\right),\quad \left(x,t\right)\in Q_{T} ,} \\ {u\left(0,t\right)=u\left(1,t\right)=0,} \\ {u\left(x,0\right)=\varphi \left(x\right),} \end{array}$ (22)
де функція $f\left(x,t,u\right)$ задовольняє умову Ліпшиця
$\left|f\left(x,t,u_{1} \right)-f\left(x,t,u_{2} \right)\right|\le L\left|u_{1} -u_{2} \right|,\quad \forall \left(x,t\right)\in \overline{Q_{T} },\quad u_{1} ,\; u_{2} \in R^{1} .$ (23)
Введемо наступну скінченно-різницеву апроксимацію задачі ()
$\begin{array}{l} {y_{t} \left(x,t\right)=\frac{1}{2} \left[\hat{y}\left(x,t\right)+y\left(x,t\right)\right]_{\bar{x}x} +T^{x} \left(f\left(\cdot ,t+\frac{\tau }{2} ,\frac{\hat{y}\left(x,t\right)+y\left(x,t\right)}{2} \right)\right),\; \; \; \left(x,t\right)\in \omega _{Q_{T} } ,} \\ {y\left(0,t\right)=y\left(1,t\right)=0,\quad t\in \omega _{\tau } ,} \\ {y\left(x,0\right)=\varphi \left(x\right),\quad x\in \omega ,} \end{array}$ (24)
де $y\left(x,t\right)$ – різницева апроксимація функції $u\left(x,t\right)$ .
Використовуючи оцінки для функції Гріна, було доведено теорему.
\it \underbar{Теорема 4.1.}}{\it }Нехай виконані умови ({\it ) та } $L^{2} \tau \le 1,$ {\it }
\it } $\begin{array}{l} {f\left(x,t,u\right)u\le \left|u\right|\Phi \left(\left|u\right|\right),\quad \int \limits _{1}^{\infty } \frac{d\tau }{\Phi \left(\tau \right)} =\infty ,\quad \forall \left(x,t\right)\in \bar{Q}_{T} ,\quad } \\ {\left|f\left(x,t,u\right)\right|\le f_{0,0,0} ,\; \; \forall \left(x,t\right)\in \bar{Q}_{T} ,\; \; \left|u\right|\le M,\; \; \left|\frac{\partial f\left(x,t,u\right)}{\partial x} \right|\le f_{1,0,0} ,\; \; \forall \left(x,t\right)\in \bar{Q}_{T} ,\; \; \left|u\right|\le M,\quad } \\ {\frac{\partial f\left(x,t,u\right)}{\partial u} \le f_{0,0,1} =L,\quad \left(x,t\right)\in \bar{Q}_{T} ,\quad \left|u\right|\le M,} \end{array}$ {\it (25)}
{\it } $\begin{array}{l} {\left|\frac{\partial ^{2} f\left(x,t,u\right)}{\partial t^{2} } \right|\le f_{0,2,0} \left(x,t\right)\in L_{2} \left(Q_{T} \right),\; \, \left|\frac{\partial ^{2} f\left(x,t,u\right)}{\partial t\partial u} \right|\le f_{0,1,1} \left(x,t\right)\in L_{2} \left(Q_{T} \right),} \\ {\, \left|\frac{\partial ^{2} f\left(x,t,u\right)}{\partial u^{2} } \right|\le f_{0,0,2} ,\; \, \left|u\right|\le M,} \end{array}$ {\it }{\it (26)}
{\it тоді різницева схема (}{\it ) має вагову апріорну оцінку точності вигляду }
\it } $\left\{\sum \limits _{\eta =0}^{t-\eta }\tau \left[\frac{y^{+} \left(x,\eta \right)-u^{+} \left(x,\eta \right)}{x(1-x)} \right]^{2} \right\}^{\frac{1}{2} } \le M_{1} \left(\tau ^{2} +h^{2} \right),$ {\it }
{\it де}{\it } $y^{+} \left(x,tright)=\frac}{2} \left(yleft(x,t+\tau \right)+yleft(x,tright)\right)$ {\it , константа } $M_{1} $ {\it визначена в явном вигляді через вхідну інформацію за допомогою оцінок }
\it } $\beginarray{l{\int \limits _{0}^{t\int \limits _{0}^{1} \left[\frac\partial uleft(x,t_{1} \right)}{\partial t_{1} } \right]^{2} dxdt_{1} +\int \limits _{0}^{1} \left[\frac\partial uleft(x,tright)}{\partial x\right]^{2} dx+\int \limits _{0}^{t\int \limits _{0}^{1} \left[\frac\partial ^{2} uleft(x,t_{1} \right)}{\partial x^{2} } \right]^{2} dxdt_{1} \le } \\ {\le e^{2L^{2} t\left{\int \limits _{0}^{1} \left[\varphi '\left(xright)\right]^{2} dx+2\int \limits _{0}^{T\int \limits _{0}^{1} \left[fleft(x,t_{1} ,0\right)\right]^{2} dxdt_{1} \right},} \endarray{\it }{\it }
\it } $\begin{array}{l} {\int \limits _{0}^{t} \int \limits _{0}^{1} \left(\frac{\partial ^{2} u\left(x,t_{1} \right)}{\partial t_{1}^{2} } \right)^{2} dxdt_{1} +\int \limits _{0}^{1} \left(\frac{\partial ^{2} u\left(x,t\right)}{\partial x\partial t} \right)^{2} dx=\int \limits _{0}^{1} \left[\varphi '''\left(x\right)+\frac{\partial f\left(x,0,\varphi \left(x\right)\right)}{\partial x} \right]^{2} dx+} \\ {+2\int \limits _{0}^{T} \int \limits _{0}^{1} \left(f_{0,1,0} \left(x,t\right)\right)^{2} dxdt+2L^{2} \int \limits _{0}^{T} \int \limits _{0}^{1} \left(\frac{\partial u\left(x,t\right)}{\partial t} \right)^{2} dxdt,} \end{array}$ {\it }{\it (27)}
{\it } $\int \limits _{0}^{1} \left[\frac{\partial ^{2} u\left(x,t\right)}{\partial t^{2} } \right]^{2} dx+2\int \limits _{0}^{t} \int \limits _{0}^{1} \left[\frac{\partial ^{3} u\left(x,\eta \right)}{\partial \eta \partial x^{2} } \right]^{2} dxd\eta \le e^{(1/2+2L^{2} )t} \left\{\int \limits _{0}^{1} \psi _{1}^{2} \left(x\right)dx+F^{2} \right\},$ {\it }{\it }
{\it } $\int \limits _{0}^{t} \int \limits _{0}^{1} \left[\frac{\partial ^{3} u\left(x,t\right)}{\partial t^{3} } \right]^{2} dxdt+\int \limits _{0}^{1} \left[\frac{\partial ^{3} u\left(x,t\right)}{\partial x\partial t^{2} } \right]^{2} dx\le \int \limits _{0}^{1} \psi _{1}^{2} \left(x\right)dx+F^{2} ++4L^{2} \int \limits _{0}^{t} \int \limits _{0}^{1} \left[\frac{\partial ^{2} u\left(x,t\right)}{\partial t^{2} } \right]^{2} dxdt,$ {\it }{\it }
{\it де }
{\it } $\begin{array}{l} {F^{2} =4Tf_{0,0,2}^{2} \mathop{\max }\limits_{0\le t\le T} \left\{\int \limits _{0}^{1} \left[\frac{\partial ^{2} u\left(x,t\right)}{\partial x\partial t} \right]^{2} dx\right\}^{2} +} \\ {+16\int \limits _{0}^{T} \int \limits _{0}^{1} \left[f_{0,1,1} \left(x,t\right)\right]^{2} dxdt\mathop{\max }\limits_{0\le t\le T} \int \limits _{0}^{1} \left[\frac{\partial ^{2} u\left(x,t\right)}{\partial x\partial t} \right]^{2} dx+4\int \limits _{0}^{T} \int \limits _{0}^{1} \left[f_{0,2,0} \left(x,t\right)\right]^{2} dxdt.} \end{array}$ {\it }{\it }{\it ?}
В підрозділі 4.2 при дослідженні вагових апріорних оцінок точності різницевих схем з врахуванням початкового ефекту було доведено теорему.
{\it \underbar{Теорема 4.2.}}{\it Нехай виконані умови (23), (25), (26) та }
\it } $\tau \mathop{\max }\limits_{\eta \ge \tau } g\left(\eta \right)=2\tau L+\frac{2}{2+\ln ^{2} \tau } \le {1\mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2} ,$ {\it }
{\it тоді різницева схема (}{\it ) має вагову апріорну оцінку точності вигляду }
\it } $\frac{\left\| y\left(x,t\right)-u\left(x,t\right)\right\| }{\sqrt{\left(2+\ln ^{2} t\right)t} } \le M_{2} \left(\tau ^{2} +h^{2} \right),$ {\it }
{\it де константа } $M_{2} $ {\it в явному вигляді оцінюється через вхідні дані за допомогою оцінок (27).}{\it }{\it ?}
Підтвердженям справедливості теоретичних результатів, отриманих в розділі, служить такий приклад
{\it \underbar{Приклад 4.1.}}{\it Розв’язати задачу }
\it } $\begin{array}{l} {\frac{\partial u\left(x,t\right)}{\partial t} =\frac{\partial ^{2} u\left(x,t\right)}{\partial x^{2} } +\left\{\frac{1}{8} \left(4x^{3} -3x^{2} \right)e^{-\left|u\left(x,t\right)\right|} -\right. } \\ {\left. -\frac{1}{8} \left(4x^{3} -3x^{2} \right)e^{-x^{3} \left(1-x\right)e^{-{\raise0.7ex\hbox{$ t $}\!\mathord{\left/ {\vphantom {t 8}} \right. \kern-\nulldelimiterspace}\!\lower0.7ex\hbox{$ 8 $}} } } -\frac{u}{8} -6x\left(1-x\right)e^{-{\raise0.7ex\hbox{$ t $}\!\mathord{\left/ {\vphantom {t 8}} \right. \kern-\nulldelimiterspace}\!\lower0.7ex\hbox{$ 8 $}} } +6x^{2} e^{-{\raise0.7ex\hbox{$ t $}\!\mathord{\left/ {\vphantom {t 8}} \right. \kern-\nulldelimiterspace}\!\lower0.7ex\hbox{$ 8 $}} } \right\},} \\ {u\left(x,0\right)=x^{3} \left(1-x\right),\quad u\left(0,t\right)=u\left(1,t\right)=0,} \end{array}$ {\it }
{\it точним розв’язком якої є } $u\left(x,t\right)=x^{3} \left(1-x\right)e^{-t/8} $ {\it .}
Для розв’язання цього прикладу було використано різницеву схему (). На кожному кроці за $t$ відповідне нелінійне рівняння розв’язувалось методом Ньютона. Для всіх $N$ для досягнення потрібної точності достатньо було зробити 3 – 4 ітерації за методом Ньютона.
Для практичної оцінки швидкості збіжності будемо використовувати величини при $\tau =h$
$\begin{array}{l} {err_{1,h} =\mathop{\max }\limits_{t\in \left[0,T\right]} \left\| y\left(x,t\right)-u\left(x,t\right)\right\| _{0,\infty ,\omega _{h} } ,\quad p_{1} =\frac{err_{1,h} }{err_{1,{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle h $}\kern-0.1em/\kern-0.15em\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 2 $}}} } ,} \\ {err_{2,h} =\left\| \left\{\sum \limits _{t=0}^{T}h\left[\frac{y^{+} \left(x,t\right)-u^{+} \left(x,t\right)}{x\left(1-x\right)} \right]^{2} \right\}^{{\raise0.7ex\hbox{$ 1 $}\!\mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace}\!\lower0.7ex\hbox{$ 2 $}} } \right\| _{0,\infty ,\omega _{h} } ,\quad p_{2} =\frac{err_{2,h} }{err_{2,{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle h $}\kern-0.1em/\kern-0.15em\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 2 $}}} } ,} \\ {err_{3,h} =\sum \limits _{t=0}^{T}h\frac{\left\| y\left(x,t\right)-u\left(x,t\right)\right\| _{0,\infty ,\omega _{h} } }{\sqrt{\left(2+\ln ^{2} t\right)t} } ,\quad p_{3} =\frac{err_{3,h} }{err_{3,{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle h $}\kern-0.1em/\kern-0.15em\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 2 $}}} } } \end{array}$
Результати обчислень наведено в таблиці 4.1. Для чисельних розрахунків було використано пакет Maple 9.5.
Таблиця 4.1
$N$ | $err_{1} $ | $p_{1} $ | $err_{2} $ | $p_{2} $ | $err_{3} $ | $p_{3} $ | 4 | $0.393*10^{-4} $ | $0.144*10^{-3} $ | $0.215*10^{-4} $ | 8 | $0.171*10^{-4} $ | 1.1998 | $0.105*10^{-3} $ | 0.4633 | $0.994*10^{-5} $ | 1.1189 | 16 | $0.382*10^{-5} $ | 2.1626 | $0.399*10^{-4} $ | 1.3962 | $0.277*10^{-5} $ | 1.8407 | 32 | $0.860*10^{-6} $ | 2.1531 | $0.120*10^{-4} $ | 1.7249 | $0.752*10^{-6} $ | 1.8841 | 64 | $0.194*10^{-6} $ | 2.1442 | $0.345*10^{-5} $ | 1.8072 | $0.196*10^{-6} $ | 1.9364 | 128 | $0.443*10^{-7} $ | 2.1348 | $0.890*10^{-6} $ | 1.9560 | $0.500*10^{-7} $ | 1.9723 |
Отже, бачимо, що чисельні розрахунки підтверджують теоретичні результати.
П’ятий розділ присвячений дослідженню квазілінійних еліптичних рівнянь зі змінними коефіцієнтами, що враховують крайовий ефект.
В цьому розділі одержано вагові апріорні оцінки, які враховують крайовий ефект, для традиційних різницевих схем, які апроксимують з другим порядком крайову задачу
$\begin{array}{l} {\sum \limits _{i,j=1}^{2}a_{ij} \left(x\right)\frac{\partial ^{2} u}{\partial x_{i} \partial x_{j} } =f_{0} \left(x,u\right)-f\left(x\right),\quad x=\left(x_{1} ,x_{2} \right)\in \Omega ,} \\ {u\left(x\right)=0,\quad x\in \Gamma ,} \end{array}$ (28)
де $\Omega $ – квадрат з границею $\Gamma $ , $a_{12} \left(x\right)=a_{21} \left(x\right)$ ,
$\begin{array}{l} {\nu \sum \limits _{i=1}^{2}\xi _{i}^{2} \le \sum \limits _{i,j=1}^{2}a_{ij} \left(x\right)\xi _{i} \xi _{j} \le \mu \sum \limits _{i=1}^{2}\xi _{i}^{2} ,\quad \left(\nu >0,\mu <\infty \right),} \\ {\forall x\in \bar{\Omega },\, \quad \forall \xi _{1} ,\xi _{2} \in R^{1} ,} \end{array}$ (29)
$f_{0} \left(x,0\right)=0,$ (30)
${\kern 1pt} \left|f_{0} \left(x,u\right)-f_{0} \left(x,v\right)\right|\le L\left|u-v\right|,\; \forall x\in \bar{\Omega },\; u,v\in R^{1} .$ (31)
тут $a_{i,j} \left(x\right),\; \; i,j=\overline{1,2},\; \; f_{0} \left(x\right),\; \; f\left(x\right)$ є достатньо гладкими функціями.
У першому підрозділі п’ятого розділу, використовуючи дискретний аналог принципу Бернштейна та другу основну нерівність для різницевого оператора другого порядку (яка доведена в третьому розділі), знайдено оцінку різницевої функції Гріна.
{\it \underbar{Лема 5.1.}}{\it Справедлива така оцінка }
\it } $\left\| G^{h} \left(x,\cdot \right)\right\| \equiv \frac{\mu }{\nu ^{2} } \rho ^{1/2} \left(x\right)\le \frac{\mu }{\nu ^{2} } \left\{\min \left[x_{1} x_{2} ;x_{1} \left(1-x_{2} \right);\left(1-x_{1} \right)x_{2} ;\left(1-x_{1} \right)\left(1-x_{2} \right)\right]\right\}^{1/2} $ {\it ? (32)}
У другому підрозділі побудовано різницеву схему для задачі (28). Ця різницева схема має вигляд
$\sum \limits _{i,j=1}^{2}a_{ij} \left(x\right)y_{\bar{x}_{i} x_{j} } -f_{0} \left(x,y\right)=-f\left(x\right),\quad x\in \omega ,\quad y\left(x\right)=0,\quad x\in \gamma .$ (33)
{\it \underbar{Теорема 5.1.}}{\it Нехай виконані умови (29) – (31), } $\frac{L^{2} \mu ^{2} }{4\nu ^{2} } <1$ {\it , розв’язок задачі (28) існує, єдиний та належить простору Соболєва } $W_{2}^{4} \left(\Omega \right)$ {\it . Тоді різницева схема (33) має єдиний розв’язок, точність якого визначається ваговою оцінкою }
\it } $\left\| \rho ^{-1/2} \left(x\right)\left[y\left(x\right)-u\left(x\right)\right]\right\| \le M\left|h\right|^{2} \left|u\right|_{4,2,\Omega } .$ \it ?}{\it }\it (34)}
Для підтвердження отриманих результатів у підрозділі 5.3 було проведено кілька чисельних експериментів
{\it \underbar{Приклад 5.1.}}{\it Розв’яжіть задачу (28) з } $f_{0} \left(x,u\right)\equiv 0$ {\it , коефіцієнтами }
\it } $a_{11} \left(x_{1} ,x_{2} \right)=\left(1+x_{1} \right)^{2} ,\; a_{12} \left(x_{1} ,x_{2} \right)=a_{21} \left(x_{1} ,x_{2} \right)=\frac{1}{2} \left(1+x_{1} \right)\left(1+x_{2} \right),\; a_{22} \left(x_{1} ,x_{2} \right)=\left(1+x_{2} \right)^{2} $ {\it }{\it (35)}
{\it та точним розв’язком } $u\left(x_{1} ,x_{2} \right)=\sin \pi x_{1} \sin \pi x_{2} $ {\it .}
Зауважимо, що коефіцієнти (35) задовольняють умову (29) ( $\nu =\frac{1}{2} ,\mu =6$ ) та умову (31), тому, що $f_{0} \left(x,u\right)=0$ .
{\it \underbar{Приклад }}{\it \underbar{5}}{\it \underbar{.}}{\it \underbar{2.}}{\it }{\it Розв’язати задачу}{\it (28)}{\it з коефіцієнтами}
\it } $\beginarray{l{a_{11} \left(x_{1} ,x_{2} \right)=\sin ^{2} \left(\pi x_{1} \right)+1,\; \; a_{22} \left(x_{1} ,x_{2} \right)=\sin ^{2} \left(\pi x_{2} \right)+1,\; \; } \\ {a_{12} \left(x_{1} ,x_{2} \right)=a_{21} \left(x_{1} ,x_{2} \right)=\frac}{2} \sin \left(\pi x_{1} \right)\sin \left(\pi x_{2} \right)+\frac}{2} ,} \endarray{\it }{\it (36)}
\it } $f_{0} =\frac{1}{8} e^{-\left|u\right|} $ {\it }
{\it та точним розв’язком } $u{1} ,x_{2} \right)=\ln \left(\sin \pi x_{1} \sin \pi x_{2} +1\right)$ {\it .}
Коефіцієнти (36) також задовольняють умову (29) ( $\nu =\frac{7}{16} ,\mu =3$ ) та умову (31) ( $L=\frac{1}{8} $ ).
Для практичної оцінки швидкості збіжності розглядаємо такі величини:
$err=\left\| y\left(x\right)-u\left(x\right)\right\| _{0,\infty ,\omega _{h} } ,\quad p=\log _{2} \frac{\left\| \frac{y\left(x\right)-u\left(x\right)}{x(1-x)} \right\| _{0,\infty ,\omega _{h} } }{\left\| \frac{y\left(x\right)-u\left(x\right)}{x(1-x)} \right\| _{0,\infty ,\omega _{h/2} } } .$
Результати обчислень наведено в таблиці 5.1. Для чисельних розрахунків було використано Fortran PowerStation 4.0.
Таблиця 5.1
Приклад 5.1 | Приклад 5.2 | N | err | p | err | p | 4 | $2.792*10^{-3} $ | $5.782*10^{-2} $ | 8 | $2.405*10^{-3} $ | 1.23 | $1.458*10^{-2} $ | 1.78 | 16 | $7.682*10^{-4} $ | 1.77 | $3.686*10^{-3} $ | 1.90 | 32 | $1.999*10^{-4} $ | 1.91 | $9.241*10^{-4} $ | 1.96 | 64 | $5.093*10^{-5} $ | 1.96 | $2.315*10^{-4} $ | 1.98 | 128 | $0.266*10^{-5} $ | 1.98 | $8.597*10^{-5} $ | 1.99 |
Проведені експерименти показують непокращуваність за порядком теоретичних вагових апріорних оцінок (34).
Метою шостого розділу є розвиток вищезазначених ідей на випадок квазілінійних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку з умовами третього роду. На відміну від попередніх розділів роботи, у цьому розділі показано, що при наближенні до відповідної частини границі області збільшується швидкість збіжності не самого розв’язку, а швидкість збіжності його першої похідної. Для цього було використано спеціального вигляду різницеву схему другого порядку точності.
В першому підрозділі розглянуто крайову задачу з умовами третього роду
$s''\left(x\right)=-g\left(x,s\left(x\right)\right),\quad x\in \left(0,1\right),\quad s'\left(0\right)-\alpha s\left(0\right)=\mu _{1} ,\quad s\left(1\right)=\mu _{2} ,\quad \alpha >0.$
Зробивши заміну $s\left(x\right)=\left(ax+1\right)u\left(x\right)$ , одержано таку задачу:
$u''\left(x\right)=-f\left(x,u\left(x\right)\right),\quad x\in \left(0,1\right),\quad u'\left(0\right)=\mu _{1} ,\quad u\left(1\right)=\tilde{\mu }_{2} ,$ (37)
де $f\left(x,u\left(x\right)\right)=g\left(x,\left(\alpha x+1\right)u\left(x\right)\right),\; \; \tilde{\mu }_{2} =\frac{\mu _{2} }{1+\alpha } .$
Звідси випливає, що існує така заміна, за допомогою якої можна перейти від умови третього роду до умови Неймана. Функція $f\left(x,u\left(x\right)\right)$ задовольняє умову Ліпшиця
$\left|f\left(x,u\right)-f\left(x,v\right)\right|\le L\left|u-v\right|,\quad u,v\in R,\quad \alpha \in \left[0,1\right].$ (38)
Побудуємо модифіковану різницеву схему. З цією метою задачу (37) – (38) переписано у вигляді крайової задачі для системи диференціальних рівнянь першого порядку
$\left\{\begin{array}{l} {u'_{1} \left(x\right)=u_{2} \left(x\right),} \\ {u'_{2} \left(x\right)=-f\left(x,u_{1} \left(x\right)\right),} \\ {u_{2} \left(0\right)=\mu _{1} ,\quad u_{1} \left(1\right)=\tilde{\mu }_{2} .} \end{array}\right. $ (39)
Для апроксимації даної задачі різницевою схемою, введено сітку
$\omega _{h} =\left\{x=ih,\; i=\overline{1,N-1},\; h=1/N\right\}$ .
На сітці $\omega _{h} $ задачі (39) поставлено у відповідність таку різницеву схему
$\left\{\begin{array}{l} {y_{1,x} \left(x\right)-y_{2} \left(x\right)=-\frac{h}{2} f\left(x,y_{1} \left(x\right)\right),} \\ {y_{2,x} \left(x\right)=-f\left(x+\frac{h}{2} ,y_{1}^{+} \left(x\right)\right),\quad x\in \omega _{h}^{-} ,} \\ {y_{2} \left(0\right)=\mu _{1} ,\quad y_{1} \left(1\right)=\tilde{\mu }_{2} ,} \end{array}\right. $
де $\omega _{h}^{-} =\omega _{h} +\left\{0\right\},\; \; y_{i}^{+} ={\tfrac{1}{2}} \left(y_{i} \left(x\right)+y_{i} \left(x+h\right)\right),\; \; i=\overline{1,\; 2}$ , функції $y_{i} \left(x\right)$ є сітковими наближеннями відповідних функцій $u_{i} \left(x\right),\; \; i=\overline{1,\; 2}.$
Має місце теорема.
{\it \underbar{Теорема 6.1.}}{\it Нехай розв’язок задачі (37), (}{\it 38}{\it ) належить класу } $C^{\left(4\right)} \left[0,1\right]$ {\it . Тоді при виконанні умови } $\left(1+{\tfrac{h}{2}} \right)L<1$ {\it справедливі такі вагові оцінки }
\it } $\left\| \frac{u\left(x\right)-y_{1} \left(x\right)}{1-x} \right\| _{0,\infty ,\omega _{h} } \le Ch^{2} ,\quad \left\| \frac{u'\left(x\right)-y_{2} \left(x\right)}{x} \right\| _{0,\infty ,\omega _{h} } \le Ch^{2} ,$ {\it }
{\it де } $C$ {\it }–{\it стала, яка не залежить від } $h$ {\it .}
З цієї теореми випливає, що з наближенням до границі області зправа, швидкість збіжності похідної розв’язку збільшується, а з наближенням до границі зліва, збільшується швидкість збіжності самого розв’язку. Причому ці швидкості збіжності є величинами порядку $O(h^{2} )$ .
В другому підрозділі цього розділу проведено чисельний експеримент, результати якого підтверджують теоретичні твердження.
{\it \underbar{Приклад 6.1.}}{\it Розв’язати задачу }
\it } $u''\left(x\right)=-\frac{1}{2\left(1+u^{2} \left(x\right)\right)} +12x^{2} +\frac{1}{2\left(1+x^{8} \right)} ,\quad u'\left(0\right)=0,\quad u\left(1\right)=1.$ {\it }{\it (40)}
Точним розв’язком цієї задачі є $u\left(x\right)=x^{4} $ . Обчислення проводились з використанням пакету Maple 9. Результати обчислень наведено в таблиці. Для практичної оцінки швидкості збіжності розглянемо такі величини:
$\begin{array}{l} {err_{1} =\left\| u\left(x\right)-y_{1} \left(x\right)\right\| _{0,\infty ,\omega _{h} } ,\quad err_{2} =\left\| \frac{u\left(x\right)-y_{1} \left(x\right)}{1-x} \right\| _{0,\infty ,\omega _{h} } ,} \\ {err_{2} =\left\| u'\left(x\right)-y_{2} \left(x\right)\right\| _{0,\infty ,\omega _{h} } ,\quad err_{2} =\left\| \frac{u'\left(x\right)-y_{2} \left(x\right)}{x} \right\| _{0,\infty ,\omega _{h} } ,} \\ {p_{1} =\log _{2} \frac{\left\| u'\left(x\right)-y_{2} \left(x\right)\right\| _{0,\infty ,\omega _{h} } }{\left\| u'\left(x\right)-y_{2} \left(x\right)\right\| _{0,\infty ,\omega _{{\tfrac{h}{2}} } } } ,\quad p_{2} =\log _{2} \frac{\left\| \frac{u\left(x\right)-y_{1} \left(x\right)}{1-x} \right\| _{0,\infty ,\omega _{h} } }{\left\| \frac{u\left(x\right)-y_{1} \left(x\right)}{1-x} \right\| _{0,\infty ,\omega _{{\tfrac{h}{2}} } } } ,} \\ {p_{3} =\log _{2} \frac{\left\| u'\left(x\right)-y_{2} \left(x\right)\right\| _{0,\infty ,\omega _{h} } }{\left\| u'\left(x\right)-y_{2} \left(x\right)\right\| _{0,\infty ,\omega _{{\tfrac{h}{2}} } } } ,\quad p_{4} =\log _{2} \frac{\left\| \frac{u'\left(x\right)-y_{2} \left(x\right)}{x} \right\| _{0,\infty ,\omega _{h} } }{\left\| \frac{u'\left(x\right)-y_{2} \left(x\right)}{x} \right\| _{0,\infty ,\omega _{{\tfrac{h}{2}} } } } .} \end{array}$
Таблиця 6.1
N | $err_{1} $ | $p_{1} $ | $err_{2} $ | $p_{2} $ | $err_{3} $ | $p_{3} $ | $err_{4} $ | $p_{4} $ | 4 | 0.127 | 0.237 | $0.441*10^{-1} $ | $0.545*10^{-1} $ | 8 | $0.351*10^{-1} $ | 1.8544 | $0.673*10^{-1} $ | 1.8204 | $0.118*10^{-1} $ | 1.8943 | $0.150*10^{-1} $ | 1.8611 | 16 | $0.919*10^{-2} $ | 1.9364 | $0.177*10^{-1} $ | 1.9212 | $0.303*10^{-2} $ | 1.9694 | $0.386*10^{-2} $ | 1.9574 | 32 | $0.234*10^{-2} $ | 1.9708 | $0.455*10^{-2} $ | 1.9635 | $0.762*10^{-3} $ | 1.9927 | $0.973*10^{-3} $ | 1.9884 | 64 | $0.592*10^{-3} $ | 1.9861 | $0.115*10^{-2} $ | 1.9825 | $0.190*10^{-3} $ | 1.9986 | $0.243*10^{-3} $ | 1.9969 | 128 | $0.148*10^{-3} $ | 1.9932 | $0.290*10^{-3} $ | 1.9913 | $0.476*10^{-4} $ | 1.9999 | $0.610*10^{-4} $ | 1.9992 |
Отже, бачимо, що чисельні розрахунки підтверджують теоретичні результати.
У сьомому розділі розглянуто третю крайову задачу для звичайного диференціального рівняння другого порядку на відрізку. Для традиційної різницевої схеми, що апроксимує цю задачу, було знайдено вагові апріорні оцінки точності. Ці оцінки показують як збільшується порядок точності наближення першої похідної розв’язку при наближенні до границі відрізку.
Для простоти в цьому розділі розглянуто лінійний випадок, але аналогічні результати можна було б отримати і у випадку квазілінійного рівняння. Отже, в цьому розділі досліджено крайову задачу з умовами третього роду
$\begin{array}{l} {\left[\tilde{k}\left(x\right)s'\left(x\right)\right]^{{'} } -\tilde{q}\left(x\right)s\left(x\right)=-\tilde{f}\left(x\right),\quad x\in \left(0,\; 1\right),} \\ {s'\left(0\right)-\alpha s\left(0\right)=0,\quad s'\left(1\right)+\beta {\kern 1pt} s\left(1\right)=0,} \\ {\alpha >0,\quad \beta >0.} \end{array}$
Щоб перейти від крайових умов третього роду до умов Неймана, зроблено таку заміну:
$s\left(x\right)=\left(x^{2} +ax+b\right)U\left(x\right)$ ,
де
$b=\frac{a}{\alpha } ,\quad a=-\frac{2+\beta }{1+\beta \left(1+{\tfrac{1}{\alpha }} \right)} .$
Отримано таку задачу
$\begin{array}{l} {\left[\bar{k}\left(x\right)U'\left(x\right)\right]^{{'} } -\bar{q}\left(x\right)U\left(x\right)=-\bar{f}\left(x\right),\quad x\in \left(0,\; 1\right),} \\ {U'\left(0\right)=0,\quad U'\left(1\right)=0,} \end{array}$ (41)
де
$\begin{array}{l} {\bar{k}\left(x\right)=\tilde{k}\left(x\right)\left(x^{2} +ax+b\right)^{2} ,} \\ {\bar{q}\left(x\right)=\left(x^{2} +ax+b\right)\left(\tilde{q}\left(x\right)\left(x^{2} +ax+b\right)-2\tilde{k}\left(x\right)-\tilde{k}'\left(x\right)\left(2x+a\right)\right),} \\ {\bar{f}\left(x\right)=\tilde{f}\left(x\right)\left(x^{2} +ax+b\right).} \end{array}$
Для простоти покладено $\bar{k}\left(x\right)\equiv 1$ , хоча отримані результати можна узагальнити і на випадок змінного коефіцієнта $\bar{k}\left(x\right)$ .
Функції $\bar{q}\left(x\right)$ та $\bar{f}\left(x\right)$ продовжено парним чином через кінці відрізка $\left[0,\; 1\right]$ вправо та вліво. Введено такі позначення
$q\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l} {\bar{q}\left(-x\right),\quad -1\le x<0,} \\ {\bar{q}\left(x\right),\quad \quad \; 0\le x\le 1,} \\ {\bar{q}\left(2-x\right),\quad 1<x\le 2,} \end{array}\right. \quad f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l} {\bar{f}\left(-x\right),\quad -1\le x<0,} \\ {\bar{f}\left(x\right),\quad \quad \; 0\le x\le 1,} \\ {\bar{f}\left(2-x\right),\quad 1<x\le 2,} \end{array}\right. $
та розглянуто таку задачу:
$\begin{array}{l} {u''\left(x\right)-q\left(x\right)u\left(x\right)=-f\left(x\right),\quad x\in \left(-1,\; 2\right),} \\ {u\left(x\right)=u\left(-x\right)=u\left(2-x\right),\quad x\in \left(0,\; 1\right).} \end{array}$ (42)
Надалі ми припускатимемо, що розв’язок задачі (42) $u\left(x\right)\in C^{k} \left[-1,\; 2\right],\; \; k=3,\; 4.$
Для апроксимації задачі (42) різницевою схемою, введено сітку
$\omega =\left\{x=\left(i-{\raise0.7ex\hbox{$ 1 $}\!\mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace}\!\lower0.7ex\hbox{$ 2 $}} \right)h,\; i=\overline{1,\; N},\; h={\raise0.7ex\hbox{$ 1 $}\!\mathord{\left/ {\vphantom {1 N}} \right. \kern-\nulldelimiterspace}\!\lower0.7ex\hbox{$ N $}} \right\}$ .
На сітці $\omega $ задачі (42) поставлено у відповідність таку різницеву схему:
$\begin{array}{l} {y_{\bar{x}x} \left(x\right)-q\left(x\right)y\left(x\right)=-f\left(x\right),\quad x\in \omega ,} \\ {y_{x} \left(x_{0} \right)=0,\quad y_{\bar{x}} \left(x_{N+1} \right)=0.} \end{array}$ (43)
Доведено
