НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

ГУДИМА Уляна Василівна

УДК 517.5

НАЙКРАЩА РІВНОМІРНА АПРОКСИМАЦІЯ НЕПЕРЕРВНОГО КОМПАКТНОЗНАЧНОГО ВІДОБРАЖЕННЯ МНОЖИНАМИ НЕПЕРЕРВНИХ ОДНОЗНАЧНИХ ВІДОБРАЖЕНЬ

01.01.01 – математичний аналіз

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ – 2006

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Кам’янець-Подільському державному університеті МОН України.

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук, професор,

член-кореспондент НАН України

СТЕПАНЕЦЬ Олександр Іванович,

Інститут математики НАН України,

заступник директора з наукової роботи.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук

ЗЕЛІНСЬКИЙ Юрій Борисович,

Інститут математики НАН України, завідувач відділу;

кандидат фізико-математичних наук, доцент

ЧАЙЧЕНКО Станіслав Олегович,

Слов’янський державний педагогічний університет,

в.о. декана.

Провідна установа: Дніпропетровський національний університет МОН України.

Захист відбудеться “__6___” червня 2006 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.01 Інституту математики НАН України за адресою: 01601 Київ 4, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України.

Автореферат розісланий “ 3 ” травня 2006 р.

Учений секретар

спеціалізованої вченої ради Романюк А.С.

Загальна характеристика роботи

Робота присвячена дослідженню задачі найкращого рівномірного наближення неперервного компактнозначного відображення множинами неперервних однозначних відображень.

Актуальність теми. Вважається, що теорія наближення функцій бере свій початок у роботах П.Л.Чебишова, який ще у 50-х роках ХІХ століття розглянув задачу про найкраще рівномірне наближення неперервної на відрізку дійснозначної функції множиною алгебраїчних поліномів степеня, що не перевищує , тобто задачу відшукання величини

. (1)

Згодом у працях багатьох відомих математиків вивчались й інші подібні задачі про найкраще наближення функцій, які відрізнялись вибором міри відхилення і апроксимуючої множини. До таких робіт відносяться роботи А.А.Маркова, Д.Джексона, С.Н.Берштейна, Валле Пуссена, Хаара, А.М. Колмогорова, С.М. Нікольського.

Однією з таких задач є задача про найкраще рівномірне наближення неперервної на компакті дійснозначної (комплекснозначної) функції множиною інших неперервних на цьому компакті функцій, тобто задача відшукання величини

. (2)

З розвитком теорії лінійних нормованих просторів стало зрозумілим, що широке коло задач найкращого наближення допускає загальну постановку, якщо в якості відстані між двома елементами нормованого простору взяти норму їх різниці. Внаслідок цього було сформульовано задачу найкращого наближення елемента лінійного нормованого простору множиною , тобто задачу відшукання величини

. (3)

Основні результати досліджень задач (1)-(3) підсумовано у монографіях Н.І.Ахієзера, В.К. Дзядика, М.П. Корнєйчука, П.-Ж. Лорана, О.І. Степанця , В.М.Тихомирова та ін.

Задачі відшукання величин (1)-(3) є частковими випадками задачі найкращої рівномірної апроксимації неперервного відображення компакту в лінійний нормований простір множиною інших відображень в , неперервних на , тобто задачі відшукання величини

. (4)

Різним аспектам дослідження цієї задачі присвячено велику кількість робіт, серед яких роботи С.І.Зуховицького і С.Б. Стєчкіна, І.Зінгера, Г.Я. Ярахмедова, Г.С.Смірнова, Г. Опфера, Р.Смарзевського, В.Ворза, Л.П.Власова, Я.Ші, Ф. Дейча, А.Л.Гаркаві, Р.Г.Смірнова та ін.

Важливий клас задач теорії наближення утворюють задачі найкращого одночасного наближення кількох або нескінченної кількості елементів. До таких задач, зокрема, належить задача про чебишовський центр компакту лінійного нормованого простору відносно множини цього простору, тобто задача відшукання величини

. (5)

Питання дослідження цієї задачі знаходились у полі зору таких математиків, як В.Л. Клі, А.Л. Гаркаві, П.К. Бєлобров, Є.Г.Гольштейн, Ворд, Мач та ін.

До задач найкращого одночасного наближення належить також задача найкращої одночасної рівномірної апроксимації сім’ї , , неперервних на компакті дійснозначних функцій таких, що , , , також є неперервними на функціями, множиною , яка полягає у відшуканні величини

. (6)

Задача відшукання величини (6) розглядалась, зокрема, у працях А.Л.Гаркаві, В.Н.Зам’ятіна і А.Б.Шишкіна, С.А Танімото, Ю.В. Гнатюка .

Природно виникає ідея розгляду таких задач найкращого наближення, які охоплювали б задачі відшукання величин (1)-(6) і дослідження яких дозволило б єдиним чином отримувати результати для того кола задач, які включаються у їх постановку як частинні випадки.

Однією з таких задач є задача найкращої рівномірної апроксимації неперервного компактнозначного відображення множинами неперервних однозначних відображень, яка розглядається у даній роботі і полягає в наступному: нехай – компакт, – його елемент, — лінійний над полем комплексних (дійсних) чисел нормований простір, — лінійний над полем дійсних чисел нормований простір однозначних відображень компакту в , неперервних на , з нормою , – сукупність непорожніх компактів простору , — множина багатозначних відображень компакту в таких, що для кожного і вони неперервні на відносно метрики Хаусдорфа на , .

Задачею найкращої рівномірної апроксимації компактнозначного відображення множиною однозначних неперервних відображень компакту в будемо називати задачу відшукання величини

. (7)

Якщо існує елемент такий, що

,

то його будемо називати елементом найкращого наближення відображення у множині або екстремальним елементом для величини (7).

Зрозуміло, що задачі відшукання величин (1)-(6) є частковими випадками задачі відшукання величини (7).

Слід зазначити, що питання апроксимації багатозначних відображень у різних аспектах розглядались у багатьох працях. Більшість з цих праць присвячена питанням існування так званих неперервних селекцій (перетинів, вибірок), однозначних та простіших багатозначних - апроксимацій багатозначних відображень і лише в небагатьох з них розглядаються окремі питання найкращої апроксимації багатозначних відображень. Зокрема, у працях Б. Сєндова досліджувалась задача найкращого відносно хаусдорфової метрики наближення графіка сегментної функції, заданої на відрізку, графіком полінома заданого степеня.

У працях М.С. Нікольського розглянуто питання про існування у множині багатозначних поліномів фіксованого порядку екстремального елемента для задачі найкращого рівномірного наближення неперервного багатозначного відображення сегмента у множину неперервних опуклих компактів простору та встановлено теореми існування та характеризації екстремального елемента для задачі найкращого рівномірного наближення неперервного багатозначного відображення компакту простору у сталими відображеннями в .

У працях І.Ю. Вигодчикової встановлено теореми існування, єдиності та характеризації екстремального елемента для задачі найкращої рівномірної апроксимації неперервного на сегменті сегментнозначного відображення множиною алгебраїчних поліномів -го степеня та розглянуто цю задачу у випадку, коли є скінченною числовою множиною.

Основна складність дослідження задач найкращої рівномірної апроксимації багатозначних відображень полягає в тому, що множина цих відображень у лінійний нормований простір не є лінійним, а тому не є і лінійним нормованим простором. Ця обставина унеможливлює безпосереднє поширення на випадок задач найкращої рівномірної апроксимації багатозначних відображень багатьох результатів дослідження задачі найкращого наближення в лінійних нормованих просторах.

Зважаючи на викладене вище, природно постає питання про дослідження величини (7) в загальній ситуації. Можна сподіватися, що результати загального характеру, отримані при дослідженні цієї задачі, становитимуть і самостійний інтерес, а також можуть бути відправним пунктом для подальшого дослідження конкретних задач, що вкладаються у її схему.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана на кафедрі алгебри і математичного аналізу Кам’янець-Подільського державного університету згідно з науково-дослідною темою: „Загальні властивості задач квазіопуклої апроксимації та оптимізації і чисельні методи їх розв’язування”, номер державної реєстрації 0198U003229.

Мета і завдання дослідження. Метою роботи є з’ясування властивостей функціоналу та оператора найкращого рівномірного наближення неперервних компактнозначних відображень множиною неперервних однозначних відображень, питання існування та єдиності екстремального елемента для величини (7), встановлення необхідних та достатніх умов, а також критеріїв для екстремальних елементів, співвідношень двоїстості та теорем „про очистку” і чебишовський альтернанс, конкретизація отриманих результатів для важливих часткових випадків, побудова чисельних методів розв’язування задачі відшукання величини (7) та її екстремального елемента.

Об’єктом дослідження є задачі найкращого рівномірного наближення багатозначних відображень математичними об’єктами простішої структури.

Предметом дослідження є питання теорії наближення, що стосуються задачі найкращої апроксимації неперервного компактнозначного відображення множинами неперервних однозначних відображень.

Задачами дослідження є:

З’ясування питань існування та єдиності екстремального елемента для величин (7).

Встановлення різного типу необхідних, достатніх умов та критеріїв екстремального елемента для величини (7).

Узагальнення умови Хаара на випадок задачі відшукання величини (7). Розгляд питань чебишовського альтернансу для цієї задачі.

Отримання співвідношень двоїстості.

Доведення теореми „про очистку”.

Конкретизація основних результатів на випадок задачі відшукання величини (5).

Побудова чисельних методів відшукання величини (7).

Наукова новизна одержаних результатів. Результати роботи є новими і полягають у наступному:

1. Встановлено загальні властивості функціоналу та оператора найкращого рівномірного наближення відображень фіксованою множиною .

2. Доведено теореми існування та єдиності екстремального елемента для величини (7).

3. Встановлено необхідні, достатні умови та критерії екстремального елемента для величини (7).

4. Узагальнено умову Хаара на випадок задачі відшукання величини (7) та розглянуто питання чебишовського альтернансу для цієї задачі.

5. На випадок задачі відшукання величини (7) узагальнено співвідношення двоїстості та теорему „про очистку”.

6. Основні результати дослідження задачі відшукання величини (7) конкретизовано на випадок задачі відшукання величини (5).

7. Побудовано збіжні чисельні методи розв’язання задачі відшукання величини (7) для випадку, коли є скінченновимірним чебишовським підпростором простору . Отримано двосторонні оцінки збіжності, що дозволяють відшукати величину (7) з наперед заданою точністю.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертаційна робота має теоретичний характер. Її результати, а також запропоновані методи та прийоми можуть бути використані для подальшого розвитку теорії найкращої рівномірної апроксимації багатозначних відображень, дослідження та розв’язування задач оптимізації, теорії ігор, математичної економіки, теорії оптимального управління та в інших галузях науки, де застосування теорії багатозначних відображень останнім часом стало загальноприйнятим.

Окремі з одержаних в роботі результатів можуть знайти практичне застосування в обчислювальній математиці при відшуканні оптимальних значень цільових функцій екстремальних задач та їх оптимальних розв’язків з наперед заданою точністю.

Особистий внесок здобувача. Визначення напряму дослідження, а також постановка задач дослідження належить науковому керівникові О.І.Степанцю.

Теореми 2.5.2, 2.6.1 встановлено спільно з Ю.В. Гнатюком, а твердження 2.8.1 та теореми 4.1.1, 4.2.1 – з В.О. Гнатюком та Ю.В. Гнатюком. Внесок авторів у результати, що містяться у зазначеному твердженні та теоремах, є рівноцінним.

Усі інші результати отримано здобувачем самостійно.

Апробація результатів дисертації. Результати роботи доповідалися на:–

семінарах відділу теорії функцій (Інститут математики НАН України, керівник семінару: доктор фізико-математичних наук, член-кореспондент НАН України О.І. Степанець);–

конференції „Функціональні методи в теорії наближень, теорії операторів, стохастичному аналізі і статистиці II”, присвяченій пам’яті А.Я. Дороговцева (Київ, 2004р.);–

Всеукраїнській науково-методичній конференції „Сучасні проблеми моделювання, прогнозування та оптимізації” (Кам’янець-Подільський, 2004р.);–

звітних наукових конференціях викладачів і аспірантів Кам’янець-Подільського державного університету (2002, 2003, 2004, 2005рр.).

Публікації. Основні результати, висвітлені в дисертації, опубліковано в роботах [1-15].

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається з переліку умовних позначень, вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаних джерел, що містить 110 найменувань. Повний обсяг роботи складає 152 сторінки машинописного тексту.

Основний зміст

У першому розділі дисертаційної роботи здійснено огляд літератури за темою дослідження.

Другий розділ присвячено, в основному, встановленню теорем існування, єдиності та характеризації екстремального елемента для величини (7) та її часткового випадку – величини (5).

У підрозділі 2.1 введено метрику у множині наступним чином: для будь-яких покладено , де – хаусдорфова відстань між компактами та , .

У підрозділі 2.2 встановлено деякі загальні властивості функціоналу та оператора найкращого наближення відображень фіксованою множиною .

У підрозділі 2.3 встановлено низку загальних тверджень щодо існування та єдиності екстремальних елементів для величин (7) та її часткового випадку – величини (5).

Теорема 2.3.1. Якщо – замкнена локально компактна множина простору , то екстремальний елемент для величини (7) існує.

Теорема 2.3.2. Якщо – банахів простір, в якому для довільних має місце ”нерівність паралелограма” і – замкнена опукла множина цього простору, то екстремальний елемент для величини (5) існує, причому єдиний.

У підрозділі 2.4 встановлено необхідні, достатні умови та критерії екстремального елемента для величини (7), виражені через точки та функціонали максимального відхилення для різниці .

Позначимо через простір, спряжений з , через – замкнену одиничну кулю простору : , а через – множину крайніх точок .

Нехай обмеження в задачі відшукання величини (7) є істотним, тобто

.

Наслідуючи П.-Ж. Лорана конусом внутрішніх напрямків для множини лінійного нормованого простору із будемо називати множину всіх точок , для яких існує окіл точки та число такі, що для всіх і всіх .

Конусом граничних напрямків для множини лінійного нормованого простору із будемо називати множину таких точок , що для довільного околу точки та довільного числа існують такі та , що .

Наведемо основні результати цього підрозділу.

Означення 1. Множину лінійного нормованого простору будемо називати -множиною відносно точки , якщо для всіх .

Теорема 2.4.7. Нехай , і є -множиною відносно точки (зірковою відносноабо опуклою множиною). Для того щоб елемент був екстремальним елементом для величини (7), нeобхідно і достатньо, щоб для кожного елемента існували елементи , , , для яких виконуються умови (8), (9).

У підрозділі 2.5 встановлено умови характеризації екстремального елемента для величини (7) та його єдиності, виражені через точки та функціонали максимального відхилення для різниць , .

Означення 2. Множину лінійного простору будемо називати -множиною відносно точки , якщо для всіх та існує таке, що .

Легко переконатися, що коли множина лінійного простору є зірковою відносно точки множиною, то є - множиною відносно .

Теорема 2.5.1. Для того щоб елемент був екстремальним елементом для величини (7), необхідно, а у випадку, коли множина є - множиною відносно , і достатньо, щоб для кожного існували елементи , , таких, що є точками та функціоналами максимального відхилення для різниць , для яких , .

Теорема 2.5.2. Для того щоб елемент був єдиним екстремальним елементом для величини (7), необхідно, а у випадку, коли множина є -множиною відносно , -множиною відносно кожного іншого свого елемента, і достатньо, щоб для кожного , , та для будь-яких , , таких, що є точками та функціоналами максимального відхилення для різниць та виконувалась строга нерівність

.

У підрозділі 2.6 встановлено необхідну, достатню умови та критерії екстремальності елемента для величини (7), виражені через функціонали замикання у слабкій* топології простору опуклої оболонки множини екстремальних функціоналів для різниці .

Для будь-яких , через будемо позначати функціонал простору , визначений таким чином: для всіх .

Для , через будемо позначати замикання у розумінні слабкої* топології простору опуклої оболонки множини .

Теорема 2.6.6. Нехай , , є -множиною відносно точки і , де – довільна множина індексів, а – опуклі множини, .

Для того щоб елемент був екстремальним для величини (7) у цьому випадку, необхідно і достатньо, щоб існували функціонали , , такі, що для всіх .

У підрозділі 2.7 розглянуто випадок скінченновимірної опуклої апроксимуючої множини для задачі відшукання величини (7).

Нехай у задачі відшукання величини (7) є опуклою множиною розмірності простору . Тоді існує лінійний підпростір простору , породжений лінійно незалежними відображеннями , , такий, що , де – довільний фіксований елемент множини .

Теорема 2.7.3. Нехай – метричний компакт, – лінійний над полем комплексних чисел нормований сепарабельний простір, – опукла множина розмірності простору .

Для того щоб елемент був екстремальним елементом для величини (7) у цьому випадку, необхідно і достатньо, щоб існували точки , , , додатні числа , , , такі, що .

В дисертаційній роботі теорему 2.7.3 конкретизовано на випадок, коли є лінійним многовидом, в тому числі підпростором.

У підрозділі 2.8 введено поняття узагальненої умови Хаара та чебишовського підпростору простору . Для випадку, коли є чебишовським підпростором доведено теорему про єдиність екстремального елемента, узагальнено на випадок задачі відшукання величини (7) поняття чебишовського альтернансу та доведено відповідну теорему характеризації екстремального елемента для цієї величини.

Нехай в задачі відшукання величини (7) – лінійний підпростір простору , породжений лінійно незалежними відображеннями , .

Будемо припускати, що виконується так звана умова (H): для будь-яких , таких, що функціонали , , є лінійно незалежними, визначник відмінний від нуля.

Вважаємо, що принаймні зазначених функціоналів існують.

Умову (Н) будемо називати узагальненою умовою Хаара.

При виконанні умови (Н) підпростір називатимемо чебишовським підпростором простору .

Теорема 2.8.1. Нехай – метричний компакт, – лінійний над полем комплексних чисел нормований сепарабельний простір, – чебишовський підпростір простору , породжений лінійно незалежними відображеннями , . Тоді для будь-якого існує єдиний екстремальний елемент для величини (7).

Для того щоб у цьому випадку елемент був екстремальним елементом для величини (7), необхідно і достатньо, щоб існували такі ,, , , додатні числа , , , що для всіх .

Теорема 2.8.2. Нехай виконуються умови теореми 2.8.1. Для того щоб елемент був екстремальним елементом для величини (7), необхідно і достатньо, щоб існували такі , , , що , , та мінори , , детермінанта змінювали свої знаки: , .

У розділі 3 розглянуто співвідношення, які зводять задачу найкращої рівномірної апроксимації відображення опуклою множиною до деякої двоїстої задачі на обчислення верхньої грані у просторі або ж у просторі .

Позначимо через сукупність всіх непорожніх опуклих компактів простору , а через – множину тих багатозначних відображень із , для яких , .

У підрозділі 3.1 для задачі найкращої рівномірної апроксимації неперервного компактнозначного та опуклозначного відображення опуклою множиною встановлено співвідношення двоїстості, яке зводить цю задачу до двоїстої задачі обчислення верхньої межі у просторі . Відображення представлене у двоїстій задачі його неперервними селекціями.

У підрозділі 3.2 встановлено співвідношення двоїстості, яке за умови, що апроксимуюча множина є одностайно неперервною опуклою сім’єю простору , зводить задачу відшукання величини (7) до задачі на обчислення верхньої межі у просторі . Багатозначне відображення, що апроксимується, представлене у двоїстій задачі його дискретними наближеннями.

У підрозділі 3.3 розглянуто випадок скінченновимірної опуклої та замкненої апроксимуючої множини . Для цього випадку встановлено співвідношення двоїстості, в якому умова скінченновимірності знайшла своє вираження, та доведено так звану теорему „про очистку”.

Теорема 3.3.1. Нехай – метричний компакт, – лінійний над полем комплексних чисел нормований сепарабельний простір, –замкнена опукла множина розмірності простору . Має місце таке співвідношення двоїстості

У розділі 4 розглядаються алгоритми найкращої рівномірної апроксимації неперервного компактнозначного відображення чебишовським підпростором однозначних неперервних відображень.

Зокрема, у підрозділі 4.1 для задачі відшукання величини (7) у розглядуваному випадку модифіковано метод січної площини, побудований Келлі для розв’язування задачі опуклого програмування.

У підрозділі 4.2 для розв’язування задачі відшукання величини (7) модифіковано узагальнений алгоритм Ремеза, побудований Лораном для розв’язування задачі найкращого наближення фіксованого елемента лінійного нормованого простору його чебишовським підпростором.

Встановлено збіжність побудованих алгоритмів. Доведено, що модифікований алгоритм Ремеза збігається зі швидкістю геометричної прогресії. Для величини (7) отримано двосторонні оцінки збіжності, які можна використати для відшукання цієї величини з наперед заданою точністю.

Зрозуміло, що отримані в роботі результати можна конкретизувати на випадок задач апроксимації, постановки яких вкладаються у схему постановки задачі відшукання величини (7).

Якщо, зокрема, у задачі відшукання величини (7) вважати, що є метричним компактом, – комплексним банаховим простором, – опуклою множиною простору , – однозначним неперервним відображенням в , то як частковий випадок теореми 2.4.7 отримаємо критерій Г.С. Смірнова елемента найкращого наближення абстрактної функції опуклою множиною, який виник у результаті поступових узагальнень класичного критерію А.М. Колмогорова елемента найкращого поліноміального наближення неперервної на компакті комплекснозначної функції, наведених у працях С.І. Зуховицького і М.Г. Крейна, С.І. Зуховицького та С.Б. Стєчкіна, І.Зінгера, В.Н. Нікольського, А.Л.Гаркаві та ін.

Як наслідок теореми 2.5.2 у розглядуваному випадку отримаємо критерій Г.С. Смірнова єдиності елемента найкращого наближення абстрактної функції опуклою множиною.

Наслідками теорем 2.6.6 та 3.1.2 є відповідно критерій екстремальності елемента для задачі відшукання величини (3) і співвідношення двоїстості для цієї задачі, наведені М.П. Корнєйчуком у його монографії „Экстремальные задачи теории приближения”. Для встановлення справедливості цих наслідків достатньо у задачі відшукання величини (7) покласти, наприклад, .

Якщо в задачі відшукання величини (7) вважати, що , то розглядувана в роботі узагальнена умова Хаара стає класичною. При , з теореми 2.8.2 одержуємо узагальнену теорему П.Л. Чебишова, встановлену Є.Я. Ремезом, а у випадку, коли , – класичну теорему П.Л. Чебишова про альтернанс.

Подібні приклади можна продовжити. У дисертаційній роботі наведені конкретизації основних її результатів на випадок задачі відшукання величини (5).

Висновки

1. Встановлено загальні властивості функціоналу та оператора найкращого рівномірного наближення відображень фіксованою множиною (неперервність функціоналу найкращого рівномірного наближення у випадку довільної апроксимуючої множини, його півадитивність та додатну однорідність у випадку наближення підпростором; однорідність оператора найкращого рівномірного наближення у випадку наближення підпростором, його неперервність у випадку наближення скінченновимірним підпростором).

2. Доведено теореми існування та єдиності екстремального елемента для задачі найкращої рівномірної апроксимації відображення множиною та чебишовського центра компакту лінійного нормованого простору відносно множини цього простору.

3. Встановлено необхідні, достатні умови та критерії екстремальності елемента для величини (7).

4. Введено поняття узагальненої умови Хаара та чебишовського підпростору простору . Для випадку найкращої рівномірної апроксимації відображення скінченновимірним чебишовським підпростором доведено теорему єдиності екстремального елемента для величини (7), узагальнено поняття чебишовського альтернансу та доведено відповідну теорему характеризації екстремального елемента для цієї величини.

5. Для задачі найкращої рівномірної апроксимації опуклою множиною встановлено співвідношення двоїстості, яке зводить цю задачу до двоїстої задачі на обчислення верхньою межі у просторі або ж у просторі .

6. Доведено так звану теорему „про очистку” для випадку скінченновимірної опуклої та замкненої апроксимуючої множини .

7. Модифіковано метод січної площини та узагальнено алгоритм Ремеза для розв’язання задачі найкращої рівномірної апроксимації неперервного компактнозначного відображення скінченновимірним чебишовським підпростором однозначних неперервних відображень. Отримано двосторонні оцінки збіжності, які можна використати для відшукання величини (7) з наперед заданою точністю.

8. Основні з отриманих у роботі результатів дослідження задачі (7) конкретизовано на випадок задачі відшукання чебишовського центра компакту лінійного нормованого простору відносно множини цього простору. Зокрема, встановлено необхідні, достатні умови та критерії чебишовського центра компакту відносно множини , необхідні, достатні умови та критерії його єдиності; співвідношення двоїстості, яке зводить задачу відшукання чебишовського центра до двоїстої задачі на обчислення верхньої межі у просторі .

Список опублікованих праць за темою дисертації:

1. Гудима У.В. Найкраща рівномірна апроксимація неперервного компактнозначного відображення множинами неперервних однозначних відображень// Укр. мат. журн. – 2005.–57, №12. – С.1601-1619.

2. Гнатюк Ю.В., Гудима У.В. Критерії екстремального елемента та його єдиності для задачі найкращої рівномірної апроксимації неперервного компактнозначного відображення множинами однозначних відображень// Доп. НАН України – 2005. – №6. – С.19-23.

3. Гнатюк В.О., Гнатюк Ю.В., Гудима У.В. Модифікація методу Ремеза на випадок апроксимації компактнозначного відображення// Вісник Київського університету. Серія: фіз.-мат. науки.– 2005.– №3. –С.239-244.

4. Гнатюк Ю.В., Гудима У.В. Модифікація методу січних площин на випадок апроксимації компактнозначного відображення// Вісник Київського університету. Серія: фіз.-мат. науки. – 2005. – №3. – С.245-250.

5. Гудима У.В. Найкраща рівномірна апроксимація неперервного компактнозначного відображення скінченновимірним підпростором// Вісник Київського університету. Серія: фіз.-мат. науки. – 2005. – №3.–С.262-267.

6. Гнатюк Ю.В., Гудима У.В. Задача найкращої рівномірної апроксимації неперервного компактнозначного відображення скінченновимірним підпростором однозначних неперервних відображень// Проблеми теорії наближення функцій та суміжні питання: Зб. праць Ін-ту математики НАН України. –2004.–Т.1, №1.– С.115-129.

7. Гнатюк В.О., Гнатюк Ю.В., Гудима У.В. Задача найкращої одночасної апроксимації елементів збіжної послідовності гільбертового простору опуклою множиною// Проблеми теорії наближення функцій та суміжні питання: Зб. праць Ін-ту математики НАН України. –2004.–Т.1, №1. – С.100-114.

8. Гудима У.В. Задача найкращої рівномірної апроксимації неперервного компактнозначного відображення множинами неперервних однозначних відображень. – Київ, 2004. – 32с. – (Препр. /НАН України. Ін-т математики; 2004.5).

9. Гнатюк В.О., Гнатюк Ю.В., Гудима У.В. Модифікація методу січних площин на випадок задачі відшукання чебишовського центра компакту нормованого простору відносно його скінченновимірного чебишовського підпростору// Сучасні проблеми моделювання, прогнозування та оптимізації: Зб. наук. пр. (за матеріалами Всеукраїнської науково-методичної конференції). – Київ – Кам’янець-Подільський: Кам’янець-Подільський держ. ун.-т, 2004. – С.19-28.

10. Гнатюк В.О., Гнатюк Ю.В., Гудима У.В. Модифікація методу Ремеза на випадок задачі відшукання чебишовського центра компакту нормованого простору відносно його скінченновимірного чебишовського підпростору// Сучасні проблеми моделювання, прогнозування та оптимізації: Зб. наук. пр. (за матеріалами Всеукраїнської науково-методичної конференції). – Київ – Кам’янець-Подільський: Кам’янець-Подільський держ. ун.-т, 2004. – С.29-40.

11. Гудима У.В. Задача про чебишовський центр компакту нормованого простору відносно його скінченновимірного чебишовського підпростору// Сучасні проблеми моделювання, прогнозування та оптимізації: Зб. наук. пр. (за матеріалами Всеукраїнської науково-методичної конференції). – Київ – Кам’янець-Подільський: Кам’янець-Подільський держ. ун.-т, 2004. – С.41-48.

12. Гнатюк В.О., Гнатюк Ю.В., Гудима У.В. Питання чебишовського альтернансу та єдиності екстремального елемента для задачі найкращої рівномірної апроксимації неперервного компактнозначного відображення скінченновимірним підпростором однозначних неперервних відображень// Зб. наук. пр. Кам’янець-Подільського держ. ун-ту. Серія фізико-математична (математика). – Кам’янець-Подільський: Кам’янець-Подільський держ. ун-т, 2005.– Вип.8.–С.16-23.

13. Гудима У.В. Двоїсті співвідношення для задачі найкращої рівномірної апроксимації неперервного компактнозначного відображення// Зб. наук. пр. Кам’янець-Подільського держ. ун-ту. Серія фізико-математична (математика). – Кам’янець-Подільський: Кам’янець-Подільський держ. ун-т, 2005. – Вип.8. – С. 41-49.

14. Гнатюк Ю.В., Гудима У.В. Найкраща рівномірна апроксимація неперервного компактнозначного відображення скінченновимірним підпростором однозначних неперервних відображень// Конференція „Функціональні методи в теорії наближень, теорії операторів, стохастичному аналізі і статистиці II”, присвячена пам’яті А.Я. Дороговцева (1935-2004): Тези доповідей. – К.: Видавничо-поліграфічний центр „Київський університет”, 2004. – С.30.

15. Гудима У.В. Властивості задачі найкращої рівномірної апроксимації неперервного компактнозначного відображення множинами однозначних неперервних відображень// Конференція „Функціональні методи в теорії наближень, теорії операторів, стохастичному аналізі і статистиці II”, присвячена пам’яті А.Я. Дороговцева (1935-2004): Тези доповідей. – К.: Видавничо-поліграфічний центр „Київський університет”, 2004. – С.36.

Анотації

Гудима Уляна Василівна. Найкраща рівномірна апроксимація неперервного компактнозначного відображення множинами неперервних однозначних відображень. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 – математичний аналіз. – Інститут математики НАН України, Київ, 2006.

Дисертацію присвячено дослідженню задачі найкращої рівномірної апроксимації неперервного компактнозначного відображення множинами неперервних однозначних відображень.

Доведено теореми існування та єдиності елемента найкращого рівномірного наближення неперервного компактнозначного відображення множинами неперервних однозначних відображень, встановлено необхідні, достатні умови та критерії цього елемента, знайдено співвідношення двоїстості, які зводять розглядувану задачу до двоїстих задач на обчислення верхньої межі у просторах та .

Для розв’язання задачі найкращої рівномірної апроксимації неперервного компактнозначного відображення скінченновимірним чебишовським підпростором однозначних неперервних відображень модифіковано метод січної площини та узагальнено алгоритм Ремеза.

Отримано двосторонні оцінки збіжності побудованих алгоритмів, які можна використати для відшукання найкращого наближення з наперед заданою точністю.

Ключові слова: найкраща рівномірна апроксимація, компактнозначне відображення, екстремальний елемент, критерій, співвідношення двоїстості, алгоритми.

Гудыма Ульяна Васильевна. Наилучшая равномерная аппроксимация непрерывного компактнозначного отображения множествами непрерывных однозначных отображений. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 – математический анализ. – Институт математики НАН Украины, Киев, 2006.

Диссертация посвящена исследованию задачи наилучшей равномерной аппроксимации непрерывного компактнозначного отображения множествами непрерывных однозначных отображений.

Доказаны теоремы существования и единственности элемента наилучшего равномерного приближения непрерывного компактнозначного отображения множествами непрерывных однозначных отображений, установлены необходимые, достаточные условия и критерии этого элемента, найдены соотношения двойственности, которые сводят рассматриваемую задачу к двойственным задачам на вычисление верхней грани в пространствах и .

Для решения задачи наилучшей равномерной аппроксимации непрерывного компактнозначного отображения чебышевским подпространством однозначных непрерывных отображений модифицированы метод секущей плоскости и обобщенный алгоритм Ремеза.

Получены двусторонние оценки сходимости построенных алгоритмов, которые можно использовать для отыскания наилучшего приближения с наперёд заданной точностью.

Ключевые слова: наилучшая равномерная аппроксимация, компактнозначное отображение, экстремальный элемент, соотношения двойственности, алгоритмы.

Gudyma Uliana Vasylivna. The best uniform approximation of continuous compact-valued map by sets of continuous single-valued maps. – Manuscript.

Thesis for a degree by specialty 01.01.01 – mathematical analysis.– The Institute of mathematics of National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2006.

The main object of the thesis is to research the best uniform approximation of continuous compact-valued map by sets of continuous single-valued maps.

We prove theorems of the existence and the uniqueness of the element of the best uniform approximation of continuous compact-valued map by sets of continuous single-valued maps. We established the necessary and sufficient conditions and criteria of the element of the best uniform approximation. We found the dual relation which puts up this problem to the dual problem in counting of the upper abutment in spaces and .

We generalized the method of cutting planes and the general Remez’s algorithm for solving the problem of the best uniform approximation of continuous compact-valued maps by finite dimensional Chebyshev space of continuous single-valued maps.

We got the two-sided valuations of convergence, which we can use for finding the best approximation with set exactness in advance.

Key words: the best uniform approximation, the compact-valued maps, the extreme element, the criteria, the dual relation, the algorithms.