Міністерство освіти і науки України

Львівський національний університет імені Івана Франка

Хаць Руслан Васильович

УДК 517.5

ЦІЛІ ФУНКЦІЇ ПОКРАЩЕНОГО

РЕГУЛЯРНОГО ЗРОСТАННЯ

01.01.01 – математичний аналіз

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового

ступеня кандидата фізико-математичних наук

Львів – 2006

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі математичного аналізу інституту фізики, математики та інформатики Дрогобицького державного педагогічного університету імені Івана Франка

Міністерства освіти і науки України

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук, професор

Винницький Богдан Васильович,

завідувач кафедри математичного аналізу

Дрогобицького державного педагогічного

університету імені Івана Франка

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор

Заболоцький Микола Васильович,

завідувач кафедри математичного моделювання

Львівського національного університету

імені Івана Франка

кандидат фізико-математичних наук, доцент

Гірник Маркіян Олексійович,

доцент кафедри вищої математики і статистики

Львівської комерційної академії

Провідна установа:

Харківський національний університет ім. В.Н. Каразіна,

кафедра математичного аналізу

Захист відбудеться “21” ”вересня” 2006 р. о 15.05 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради

Д 35.051.18 у Львівському національному університеті імені Івана Франка за адресою:

79000, м. Львів, вул. Університетська, 1, аудиторія 377.

З дисертацією можна ознайомитись у Науковій бібліотеці Львівського національного університету імені Івана Франка за адресою: м. Львів,

вул. Драгоманова, 5.

Автореферат розісланий ”6” ”липня” 2006 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Тарасюк С.І.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Однією з центральних задач теорії цілих функцій є задача про взаємозв’язок між асимптотичним поводженням логарифма модуля цілої функції та асимптотичним поводженням послідовності її нулів. Відповідні результати мають численні застосування в різних розділах математики та суміжних науках. Дослідження цієї задачі, які започатковані в класичних працях К. Вейєрштрасса, Ж. Адамара, Е. Бореля, Ж. Валірона, Е. Ліндельофа, Е. Тітчмарша та інших, проводяться активно і в даний час в різних напрямках. Одним з таких напрямків є теорія цілих функцій цілком регулярного зростання, розроблена в 1936–1939 роках Б. Левіним та А. Пфлюгером. Ці математики знайшли критерій цілком регулярного зростання в термінах розподілу нулів. Пізніше В. Азарін отримав критерій цієї регулярності в термінах коефіцієнтів Фур’є цілої функції (1977 р.) і в термінах граничних множин (1979 р.). Ряд важливих результатів в цьому напрямку одержали також А. Гришин, А. Гольдберг, Й. Островський, О. Леонтьєв, М. Говоров, І. Красічков-Терновський, А. Братищев, Ю. Коробейник, С. Фаворов, А. Єременко, М. Содін, Л. Ронкін, Л. Подошев, Т. Коломийцева, М. Гірник, Я. Васильків, А. Кондратюк, М. Заболоцький та інші.

В теорії цілих функцій цілком регулярного зростання Левіна-Пфлюгера встановлюються, зокрема, необхідні і достатні умови на асимптотичну поведінку нулів цілої функції порядку з індикатором , за яких співвідношення

(0.1)

виконується зовні деякої множини кругів нульової лінійної щільності (-множини). У 1968 році А. Гришин знайшов достатні умови на поведінку нулів цілої функції скінченного порядку, за яких співвідношення (0.1) виконується, зокрема, зовні деякої множини кругів із скінченною сумою радіусів. В працях П. Агранович, В. Логвиненка, Ю. Мельника, Ю. Любарського, М. Субханкулова, Р. Юлмухаметова, Б. Хабібулліна, М. Тян, Б. Толбаєва, Б. Винницького та інших математиків вивчались тонші асимптотики, ніж (0.1). Так, у 1985 році П. Агранович і В. Логвиненко розглядали двочленну асимптотику цілої функції нецілого порядку зовні -множини. Зокрема, їх результати дають достатні умови на поведінку нулів цілої функції нецілого порядку з індикатором , за яких при деякому зовні -множини виконується

(0.2)

Цілі функції з такого вигляду асимптотиками корисні для розв’язання інтерполяційних і інших задач. Проте, питання про знаходження необхідних і достатних умов на асимптотичну поведінку нулів цілої функції , за яких для деяких і , , та -періодичної -тригонометрично опуклої функції зовні деякої множини кругів із скінченною сумою радіусів виконується (0.2) (такі функції ми називаємо цілими функціями покращеного регулярного зростання) залишається відкритим.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Напрямок досліджень, проведених в дисертації, передбачений планами наукової роботи Дрогобицького державного педагогічного університету імені Івана Франка.

Мета і задачі дослідження. Метою дисертації є введення поняття цілої функції покращеного регулярного зростання та знаходження критерію цієї регулярності в термінах розподілу нулів у випадку, коли останні лежать на скінченній кількості променів, що передбачає вирішення таких задач:–

встановлення нових асимптотичних оцінок для канонічних добутків;–

отримання нових асимптотичних оцінок для коефіцієнтів Фур’є цілих функцій;–

встановлення нових асимптотичних співвідношень для лічильних функцій послідовностей.

Об’єктом дослідження є цілі функції покращеного регулярного зростання.

Предметом дослідження є взаємозв’язок між асимптотичним поводженням цілої функції пок-ращеного регулярного зростання та розподілом її нулів.

Методи дослідження. Використовуються методи комплексного аналізу та сучасні методи теорії цілих функцій.

Наукова новизна одержаних результатів. Усі основні результати дисертації є новими. У роботі:–

вперше введено поняття цілої функції покращеного регулярного зростання;–

вперше знайдено критерій покращеного регулярного зростання в термінах розподілу нулів у випадку, коли останні розміщені на скінченній кількості променів;–

отримано нові асимптотичні оцінки для канонічних добутків та коефіцієнтів Фур’є цілих функцій;–

встановлено нові асимптотичні співвідношення для лічильних функцій послідовностей.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертації мають теоретичний характер. Вони можуть бути використані для подальшого розвитку теорії цілих функцій в різних напрямках, а також при розв’язуванні інтерполяційних і інших задач.

Особистий внесок здобувача. Викладені в дисертаційній роботі результати отримано автором самостійно. У спільних працях з Б. Винницьким [1], [2], [5], науковому керівнику належать постановки задач та загальне керівництво роботою.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідались та обговорювались на: Х-ій Міжнародній науковій конференції ім. акад. М. Кравчука (Київ, 13–15 травня 2004 р.); Міжнародній математичній конференції ім. В. Скоробогатька (Дрогобич, 27 вересня – 1 жовтня 2004 р.); Міжнародній конференції “Математичний аналіз і суміжні питання” (Львів, 17–20 листопада 2005 р.); семінарі з теорії аналітичних функцій у Дрогобичі (керівник проф. Б. Винницький); Львівському міжвузівському семінарі з теорії аналітичних функцій (керівники проф. А. Кондратюк і проф. О. Скасків); міському семінарі з теорії аналітичних функцій у Харкові (керівник проф. А. Гришин); Львівському регіональному семінарі з математичного аналізу (керівник проф. М. Шеремета).

Публікації. Результати дисертації опубліковано в 8 роботах [1–8] (5 без співавторів), з яких 5 (2 без співавторів) опубліковано у виданнях, включених до переліку ВАК України.

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, трьох розділів, розбитих на підрозділи, висновків і списку використаних джерел, який займає 13 сторінок і містить 95 найменувань. Загальний обсяг роботи – 125 сторінок.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовується актуальність теми дисертаційної роботи, формулюються мета і задачі дослідження, наводиться наукова новизна і практичне значення одержаних результатів, вказується на особистий внесок здобувача, апробацію результатів дисертації і кількість публікацій.

У першому розділі “Огляд літератури за темою та основних результатів дисертації” вказано перелік основних означень, понять та термінів, подано огляд праць і основних напрямків дослід-жень за темою дисертації, наведено основні результати роботи та вказано їх місце серед інших досліджень у даній галузі.

У другому розділі ”Цілі функції покращеного регулярного зростання нецілого порядку” вив-чаються умови на асимптотичну поведінку нулів цілої функції нецілого порядку, за яких зовні деякої множини кругів із скінченною сумою радіусів справедливою є асимптотика (0.2). Розділ 2 складається з трьох підрозділів і висновків. В підрозділі 2.1 досліджено асимптотику цілої функції нецілого порядку з нулями на додатному промені на деяких колах і зовні деякої множини кругів із скінченною сумою радіусів. При цьому, встановлено нові асимптотичні співвідношення для лічильних функцій послідовностей.

Як добре відомо, кожна ціла функція нецілого порядку подається у вигляді

, (1)

де – поліном степеня меншого за , – відмінні від нулі функції, – кратність нуля в, – найменше ціле невід’ємне число, для якого збігається ряд, – канонічний добуток Вейєрштрасса роду, і

.

Нехай , – послідовність додатних чисел таких, що при, і

Основною в цьому підрозділі є наступна

Теорема 2.4. Для того, щоб для цілої функції нецілого порядку з додатними нулями існували і послідовність такі, що

і рівномірно за виконувалось

необхідно і достатньо, щоб для деякого

(2)

Якщо виконується (2), то в існує множина кругів із скінченною сумою радіусів така, що для будь-якого при і справедлива асимптотична оцінка

. (3)

Відзначимо, що деякі достатні умови на поведінку нулів цілої функції порядку, за яких зовні деякої множини кругів із скінченною сумою радіусів виконується співвідношення (3) з, вказані А. Гришиним (1968 р.). З його результатів випливає, що за умови (2) зовні деякої множини кругів із скінченною сумою радіусів виконується, де – індикатор. Якщо виконується (2), то з результатів В. Логвиненка (1972 р.) випливає справедливість асимптотичної формули (3) зовні прямокутників

таких, що

,

Проте, такі прямокутники не можна, взагалі кажучи, покрити кругами із скінченною сумою радіусів. Із спільної праці П. Агранович і В. Логвиненка (1985 р.), за умови (2), випливає справедливість асимптотики (3) зовні -множини, а такі виняткові множини також не обов’язково покриваються кругами із скінченною сумою радіусів. З іншого боку, з результатів Р. Юлмухаметова (1985 р.) за цієї ж умови (2) випливає, що існує ціла функція скінченного порядку, для якої (3) виконується зовні деякої множини кругів із скінченною сумою радіусів. Другу частину теореми 2.4 можна отримати з результатів Б. Хабібулліна (2004 р.), стаття якого опублікована в тому самому томі, що й наша стаття [2].

Доведенню теореми 2.4 передує ряд інших тверджень, серед яких виділимо наступне.

Лема 2.3. Нехай , . Для того, щоб для деякого виконувалось (2), необхідно і достатньо, щоб для деякого виконувалось

Підрозділ 2.2 присвячений знаходженню критерію покращеного регулярного зростання цілих функцій нецілого порядку з нулями на скінченній кількості променів.

Цілу функцію назвемо функцією покращеного регулярного зростання, якщо для деяких і , , та -періодичної -тригонометрично опуклої функції існує в множина кругів із скінченною сумою радіусів, що

(4)

Зауважимо, що якщо виконується (4), то ціла функція має порядок і індикатор.

Нехай – кількість нулів цілої функції з круга, які належать променю. Основною в цьому підрозділі і взагалі в другому розділі є наступна

Теорема 2.5. Нехай нулі цілої функції нецілого порядку лежать на скінченній кількості променів, , , і при деякому та кожному

. (5)

Тоді для деякого існує в така множина кругів із скінченною сумою радіусів, що виконується (4), де

, (6)

і -періодична функція, визначена на проміжку рівністю

.

Навпаки, якщо нулі цілої функції нецілого порядку лежать на вказаній вище скінченній кількості променів і для деякого існує в така множина кругів із скінченною сумою радіусів, що виконується (4) з функцією, визначеною формулою (6), то при деякому та кожному виконується (5).

З цієї теореми випливає наступне твердження.

Теорема 2.6. Для того, щоб ціла функція нецілого порядку з нулями на скінченній кількості променів , , , була функцією пок-ращеного регулярного зростання, необхідно і достатньо, щоб для деякого і кожного виконувалось (5).

В підрозділі 2.3 розглядаються тонші, ніж (4) асимптотики для цілих функцій.

Теорема 2.7. Нехай, і неспадна до послідовність додатних чисел задовольняє умову

де

.

Тоді для цілої функції

(7)

виконується

.

Теорема 2.8. Нехай, , і,. Якщо для цілої функції (7) існує послідовність така, що

(8)

і рівномірно за виконується

то. Якщо ж, то для функції (7) існує послідовність з властивістю (8), для якої рівномірно за справедлива асимптотична оцінка

У третьому розділі “Цілі функції покращеного регулярного зростання цілого порядку” вивчаються умови на асимптотичну поведінку нулів цілої функції цілого порядку, за яких справджується асимптотика (4). Розділ 3 складається з трьох підрозділів і висновків. В підрозділі 3.1 знайдено достатні умови, при виконанні яких справедливою є задана асимптотика на нескінченності коефіцієнтів Фур’є цілої функції.

Нехай – ціла функція, а

, , –

коефіцієнти Фур’є.

У 1977 році В. Азарін довів, що для того, щоб ціла функція порядку була функцією цілком регулярного зростання, необхідно і достатньо, щоб для всіх існувала границя

.

В цьому підрозділі встановлено наступне твердження, яке пов’язане із задачею про знаход-ження умов, за яких для цілої функції справедливі тонші асимптотичні оцінки в порівнянні з цілими функціями цілком регулярного зростання.

Теорема 3.2. Нехай – ціла функція порядку з індикатором. Тоді, якщо існує послідовність, , для якої при деякому рівномірно за виконується

і

то існує таке, що для всіх

Проте теорему, обернену до теореми 3.2, нам довести не вдалося.

Нехай, – нулі цілої функції, і при

З теореми 3.2 та обернених формул А. Кондратюка для коефіцієнтів Фур’є

, ,

випливає наступне твердження.

Наслідок 3.1. Нехай виконуються умови теореми 3.2. Тоді існує таке, що для кожного

У підрозділі 3.2 вивчається асимптотичне поводження канонічного добутку цілого порядку з нулями на одному промені зовні деякої виняткової множини.

Добре відомо, що ціла функція порядку подається у вигляді (1), де – поліном, степінь якого не перевищує, – відмінні від нулі функції, – кратність нуля в, – найменше ціле невід’ємне число, таке що і – канонічний добуток Вейєрштрасса роду, або.

В цьому підрозділі доведено одну з основних теорем третього розділу – теорему про асимптотику канонічного добутку цілого порядку з додатними нулями зовні деякої множини кругів із скін-ченною сумою радіусів.

Теорема 3.3. Нехай, і при деякому послідовність додатних чисел задовольняє умову (2). Тоді існують і множина кругів в із скінченною сумою радіусів такі, що при і для канонічного добутку порядку виконується

,

де

Підрозділ 3.3 присвячений знаходженню критерію покращеного регулярного зростання цілих функцій цілого порядку з нулями на скінченній кількості променів.

Нехай – коефіцієнт при полінома зображення (1). Основними в цьому підрозділі і взагалі в третьому розділі є наступні твердження.

Теорема 3.4. Нехай нулі цілої функції порядку лежать на скінченній кількості променів, , , і при деякому та кожному виконується (5), а для деяких і

(9)

Тоді для деякого існує в така множина кругів із скінченною сумою радіусів, що виконується (4), де

, (10)

причому, і –-періодична функція, визначена на проміжку рівністю

.

Навпаки, якщо нулі цілої функції порядку лежать на вказаній вище скінченній кількості променів і для деякого існує в така множина кругів із скінченною сумою радіусів, що виконується (4) з функцією, визначеною формулою (10), то при деякому та кожному виконується (5), і для деякого виконується (9), де.

Теорема 3.5. Нехай нулі цілої функції порядку лежать на скінченній кількості променів, , , і при деякому та кожному виконується (5) з. Тоді для деякого існує в така множина кругів із скінченною сумою радіусів, що виконується (4), де

. (11)

Навпаки, якщо нулі цілої функції порядку лежать на вказаній вище скінченній кількості променів і для деякого існує в така множина кругів із скінченною сумою радіусів, що виконується (4) з функцією, визначеною формулою (11), то при деякому та кожному виконується (5) з.

Зауважимо, що у випадку, (9) випливає з (5). З огляду на це, користуючись означенням функції покращеного регулярного зростання, теореми 3.4 і 3.5 можна об’єднати в наступне твердження.

Теорема 3.6. Для того, щоб ціла функція порядку з нулями на скінченній кількості променів , , , була функцією покращеного регулярного зростання, необхідно і достатньо, щоб при деякому та кожному виконувалось (5), а для деяких і виконувалось (9).

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі введено нове поняття цілої функції покращеного регулярного зростання і розв’язано ряд актуальних задач теорії цілих функцій, а саме:

знайдено критерій покращеного регулярного зростання в термінах розподілу нулів у випадку, коли останні розміщені на скінченній кількості променів;–

встановлено нові асимптотичні оцінки для канонічних добутків;–

отримано нові асимптотичні оцінки для коефіцієнтів Фур’є цілих функцій;–

встановлено нові асимптотичні співвідношення для лічильних функцій послідовностей.

Результати дисертаційної роботи мають теоретичний характер. Вони можуть бути використані для подальшого розвитку теорії цілих функцій в різних напрямках, а також при розв’язуванні інтерполяційних і інших задач.

Основні результати дисертації є новими, мають форму критеріїв і носять завершений характер, супроводжуючись повними доведеннями. При їх отриманні використовувались методи комплексного аналізу і сучасні методи теорії цілих функцій.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Vynnyts’kyi B.V., Khats’ R.V. On asymptotic behaviour of entire functions of order less than one // Matem. Studii. – 2003. – V. 19, № 1. – P. 97–105.

2. Винницький Б.В., Хаць Р.В. Про асимптотичну поведінку цілих функцій нецілого порядку // Матем. студії. – 2004. – Т. 21, № 2. – С. 140–150.

3. Хаць Р.В. Про асимптотичне поводження канонічного добутку цілого порядку // Матем. студії. – 2004. – Т. 22, № 1. – С. 105–110.

4. Хаць Р.В. Про коефіцієнти Фур’є одного класу цілих функцій // Матем. студії. – 2005. – Т. 23, № 1. – С. 99–102.

5. Винницький Б.В., Хаць Р.В. Про регулярність зростання цілої функції нецілого порядку з нулями на скінченній системі променів // Матем. студії. – 2005. – Т. 24, № 1. – С. 31–38.

6. Хаць Р.В. Про асимптотичну поведінку коефіцієнтів Фур’є цілих функцій // Х Міжнар. наук. конф. ім. акад. М. Кравчука. Матеріали конференції. – Київ. – 2004. – С. 537.

7. Хаць Р.В. Про поведінку цілої функції з нулями на кількох променях // Міжнар. матем. конф. ім. В. Скоробогатька. Тези доповідей. – Львів. – 2004. – С. 217.

8. Khats’ R.V. Asymptotic of entire functions of improved regular growth of integer order with zeros on a finite system of rays // Int. Conf. “Analysis and related topics”. Book of abstracts. – Lviv. – 2005. – P. 49.

АНОТАЦІЯ

Хаць Р.В. Цілі функції покращеного регулярного зростання. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 – математичний аналіз. – Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів, 2006.

У дисертаційній роботі введено нове поняття цілої функції покращеного регулярного зростання та знайдено критерій цієї регулярності в термінах розподілу нулів у випадку, коли останні розміщені на скінченній кількості променів. Отримано нові асимптотичні оцінки для коефіцієнтів Фур’є цілих функцій та канонічних добутків. Встановлено нові асимптотичні співвідношення для лічильних функцій послідовностей.

Ключові слова: ціла функція покращеного регулярного зростання, канонічний добуток, коефіцієнти Фур’є цілої функції, множина кругів із скінченною сумою радіусів, асимптотика, порядок цілої функції, індикатор цілої функції.

ABSTRACT

Khats’ R.V. Entire functions of improved regular growth. – Manuscript.

The thesis for obtaining the Candidate of Physical and Mathematical degree on the speciality 01.01.01 – Mathematical Analysis. – Lviv National University named after Ivan Franko, Lviv, 2006.

In the thesis we introduce a new concept of an entire function of improved regular growth and found a criterion for this regularity in the sense of zero-distribution when the zeros are located on a finite system of rays. We obtain new asymptotic estimates for the Fourier coefficients of entire functions and for the canonical products. We establish new asymptotic relations for the counting functions of sequences.

Key words: entire function of improved regular growth, canonical product, Fourier coefficients of entire function, set of disks with finite sum of radii, asymptotic, order of entire function, indicator of entire function.

АННОТАЦИЯ

Хац Р.В. Целые функции улучшенного регулярного роста. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 – математический анализ. – Львовский национальный университет имени Ивана Франко, Львов, 2006.

В диссертации вводится новое понятие целой функции улучшенного регулярного роста и исс-ледуются условия на асимптотическое поведение её нулей.

Диссертация состоит из введения, трех разделов, разбитых на подразделы, выводов, списка использованных источников (95 наименований на 13 страницах) и изложена на 125 страницах.

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, указана связь работы с научными программами, планами, темами, сформулированы цель и задачи исследований, наводятся научная новизна и практическое значение полученных в диссертации результатов. Также здесь указывается на личный вклад соискателя, наводится апробация результатов диссертации и количество публикаций.

В первом разделе диссертации вводятся основные понятия и термины, формулируются определения, дан краткий обзор литературы по теме диссертации, указаны направления научных исс-ледований и приведены основные результаты работы.

Во втором разделе изучаются условия на асимптотическое поведение нулей целой функции нецелого порядка, при выполнении которых она является функцией улучшенного регулярного роста. Найден критерий такого роста в терминах распределения нулей в случае, когда последние расположены на конечной системе лучей. При этом, получены новые асимптотические оценки для канонического произведения нецелого порядка с положительными нулями на некоторой системе окружностей и вне некоторого исключительного множества кругов с конечной суммой радиусов. Также, установлена связь между асимптотическим поведением числовых функций последовательностей. Кроме этого, исследована “тонкая” асимптотика целой функции порядка меньше единицы.

В третьем разделе изучаются условия на асимптотическое поведение нулей целой функции целого порядка, при выполнении которых она имеет улучшенный регулярный рост. Найден критерий такого роста в терминах распределения нулей при условии, что они находятся на конечной системе лучей. В ходе этого, установлена асимптотика канонического произведения целого порядка с нулями на положительном луче вне некоторого исключительного множества кругов с конечной суммой радиусов. Кроме этого, указаны достаточные условия, при выполнении которых имеет место заданная асимптотика на бесконечности коэффициентов Фурье целой функции.

Ключевые слова: целая функция улучшенного регулярного роста, каноническое произведение, коэффициенты Фурье целой функции, множество кругов с конечной суммой радиусов, асимптотика, порядок целой функции, индикатор целой функции.