Київський національний університет імені Тараса Шевченка

Жук Сергій Миколайович

УДК 517.926:681.518.2

ЗАДАЧІ МІНІМАКСНОГО СПОСТЕРЕЖЕННЯ ДЛЯ ЛІНІЙНИХ ДЕСКРИПТОРНИХ СИСТЕМ

01.05.04 – системний аналіз і теорія оптимальних рішень

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ-2006

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі системного аналізу та теорії прийняття рішень Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Науковий керівник

Доктор фізико-математичних наук, професор НАКОНЕЧНИЙ Олександр Григорович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, завідувач кафедри.

Офіційні опоненти:

Доктор фізико-математичних наук, професор ОСТАПЕНКО Валентин Володимирович, Науково-навчальний комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НАН та МОН України при НТУУ "КПІ", м.Київ, завідувач відділу;

Кандидат фізико-математичних наук, доцент СЛАБОСПИЦЬКИЙ Олександр Сергійович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, доцент.

Провідна установа

Інститут кібернетики ім.В.М.Глушкова НАН України, відділ оптимізації керованих процесів, м.Київ.

Захист відбудеться 15 червня 2006 року о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д26.001.35 Київського національного університету імені Тараса Шевченка, Київ-03127, пр.акад.Глушкова, 2, корп.6, факультет кібернетики, ауд.40.

З дисертацією можна ознайомитись у Науковій бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка, Київ, вул.Володимирська, 58.

Автореферат розісланий 5 травня 2006 року.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Зінько П.М.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Дескрипторні системи є ефективним засобом проведення прикладних досліджень. У якості прикладу згадаємо хоча б об’єктно-орієнтоване середовище ModelicaFreeware object-oriented modeling language Modelica, www.modelica.org, де для математичного опису моделей складних фізичних систем використовуються лінійні та нелінійні дескрипторні рівняння, що можна пояснити особливостями їх внутрішньої структури, зокрема, наявністю алгебраїчної та диференціальної складових. Серед інших галузей застосування дескрипторних систем відмітимо математичну економіку, робототехніку, обробку зображень і теорію керування. Прикладна значущість дескрипторних систем (ДС) обумовлює актуальність вивчення цілої низки питань, серед яких умови існування та єдиності розв’язків відповідних рівнянь, чисельні методи, задачі спостереження та оптимального керування. Ці та інші аспекти теорії ДС розвивалася в роботах Ф.Р.Гантмахера, Ю.І.Боярінцева, В.Ф.Чистякова, Г.А.Куріної, О.І. Костюкової, В.І.Ткаченко, А.Г.Руткаса, А.М. Самойленка, М.І.Шкіля, В.П.Яковця, Ю.Д.Шлапака, Ф.H. Льюїса, С.Кемпбелла, К.Бренана, Л.Петцольда, Л.Даі, П.Мюллера, Д.Люенбергера та їхніх учнів.

З-поміж прикладних проблем системного аналізу важливий клас становлять так звані обернені задачі: за спостереженнями про стан системи потрібно відновити деякі її характеристики. Досить часто навіть в ідеалізованій ситуації досліджувана система перебуває під впливом зовнішніх сил, вичерпний опис яких відсутній. При цьому інформація про деякі параметри обраної математичної моделі, як правило, є неповною: відомості про невизначені величини (початкові умови, коефіцієнти відповідних рівнянь тощо) задаються шляхом опису множин обмежень, яким ці величини підпорядковані. Іншим джерелом невизначеностей є спостереження за станом системи: властивості похибок вимірювання або шумів (наприклад, стохастичні характеристики випадкових процесів, якими моделюється шум), необхідні для адекватного математичного опису процесу спостереження, частково невідомі, натомість задані лише відповідні множини обмежень. Описана ситуація вкладається у постановки обернених задач в умовах неповної інформації, відомих також якзадачі мінімаксного спостереження. Теорія гарантованого (мінімаксного) оцінювання, предмет якої становлять згадані задачі, була започаткована в роботах М.М.Красовського і розроблялася зусиллями О.Б.Куржанського, О.Г.Наконечного, Б.М.Бублика, Б.М.Пшеничного, М.Ф.Кириченка, Ю.К.Подлипенка, В.Н.Кунцевича, Г.М.Бакана та їхніх учнів. Переважна більшість одержаних ними результатів стосувалася однозначно розв’язних лінійних рівнянь. У тому випадку, коли стан системи описується лінійним неоднозначно розв’язним рівнянням, виникає додатковий ступінь невизначеності: розв’язки рівняння, які відповідають фіксованому допустимому збуренню, відрізняються між собою на довільний елемент деякоголінійного многовиду, що в свою чергу спричиняється до появи у лінійній моделі спостережень "невідомої" адитивної складової. Задачі мінімаксного оцінювання для таких систем були поставлені та розв’язані у роботах О.Г.Наконечного і Ю.К.Подлипенка. Що стосується ЛДС, то відомі дотепер інструменти теорії мінімаксного оцінювання (означення мінімаксних програмних та позиційних оцінок, методи їх відшукання) виявились малоефективними у застосуванні до цих систем через брак таких властивостей оператора системи як нетеровість та нормальна розв’язність. Це зумовило необхідність розробки нових методів гарантованого оцінювання з урахуванням специфіки ЛДС.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана в межах держбюджетної міжкафедральної науково-дослідної теми 01БФ015-01 "Розвиток теорії та програмного забезпечення стохастичних та алгебраїчних систем із застосуванням в економіці, соціології, техніці та освіті"(держ. реєстр. 0101U002173).

Мета та задачі дослідження. Метою дисертаційного дослідження є розробка методів апріорного (програмного) та апостеріорного (позиційного) гарантованого оцінювання значень лінійних функціоналів на множині розв’язків лінійних дескрипторних рівнянь з дискретним і неперервним часом. Мета дисертаційного дослідження зумовила постановку і розв’язання наступних задач: запропонувати нові означення мінімаксних апріорних та апостеріорних оцінки і похибки, які б узгоджувались з відомими, враховували специфіку ЛДС і вказували шлях до розв’язання відповідних задач гарантованого оцінювання; дослідити необхідні та достатні умови скінченності мінімаксної похибки, існування та єдиність мінімаксної оцінки; описати клас функціоналів, для яких мінімаксна похибка скінченна; дослідити умови дуальності задач спостереження та керування для ЛДС; запропонувати способи представлення мінімаксних оцінок для випадку різних типів обмежень.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертаційній роботі запропоновано новий підхід до розв’язання задач гарантованого оцінювання для ЛДС, заснований на ідеях опуклого аналізу і теорії лінійних необмежених операторів у спеціальних гільбертових просторах. За допомогою розробленого у дисертації математичного апарату (теореми двоїстості для опуклих функціоналів спеціального вигляду, лема про опорний функціонал множини Лебега опуклого функціоналу) одержано необхідні і достатні умови скінченності мінімаксної похибки, достатні умови дуальності задач мінімаксного оцінювання і керування для ЛДС, необхідні і достатні умовиіснування і єдиності мінімаксної апостеріорної оцінки, достатні умови існування і єдиності мінімаксної апріорної середньоквадратичної оцінки. У випадку квадратичних обмежень на основі принципу дуальності запропоновано різні представлення мінімаксних оцінок, встановлено достатні умови представлення оцінок у вигляді розв’язків крайових задач типу Ейлера, за допомогою мінімаксного дескрипторного фільтру, одержано достатні умови еквівалентності програмних та позиційних оцінок Для систем з дискретним часом запропоновано процедуру рекурентного обчислення (аналог дискретного фільтру Калмана) мінімаксної апостеріорної оцінки.

Практичне значення одержаних результатів. Теоретичний підхід, запропонований у дисертації, може бути використаний під час досліджень, пов’язаних із гарантованим оцінюванням лінійних функціоналів на множині розв’язків широкого класу рівнянь з лінійним щільно визначеним замкненим оператором у гільбертовому просторі для спеціальних обмежень на невідомі параметри. Одержані результати можна застосувати у дослідженнях, пов’язаних з системами лінійних алгебраїчних рівнянь, права частина яких задана неточно або під час вивчення задач відновлення стану динамічних систем за результатами спостережень в умовах неповної інформації про параметри системи та шум у каналі спостереження. Такі задачі виникають наприклад у робототехніці, обробці зображень, матекономіці. Деякі з одержаних у дисертації результатів використовувались у програмах спецкурсів з методів гарантованого оцінювання та оптимізації, що читається студентам факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації пройшли апробацію на семінарах Київського національного університету імені Тараса Шевченка "Системний аналіз і теорія оптимальних рішень"(кер. проф. О.Г.Наконечний), "Моделювання та оптимізація систем з неповними даними"(кер. проф. Ф.Г.Гаращенко), Інституту прикладного системного аналізу НАНУ (кер. проф. В.В.Остапенко), Інституту кібернетики ім.В.М.Глушкова НАНУ (кер. проф. А.О.Чикрій), міжнародних конференціях "Сучасні проблеми математичного моделювання, прогнозування таоптимізації" (2004 р., Кам’янець-Подільський), PDMU-2004 (Тернопіль), PDMU-2005 (Бердянськ) та школах-семінарах "Robust Control" (2003 рік, Гурзуф), "Проблеми прийняття управлінських рішень в умовах невизначеності" (2003 р., Алушта).

Публікації. За матеріалами дисертації опубліковано 9 робіт, з яких 5 – у вигляді статей у фахових виданнях з переліку ВАК України, 4 – у вигляді тез доповідей наукових конференцій.

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається з вступу, трьох розділів, висновків і списку використаних джерел (містить 83 посилання). Загальний обсяг дисертації – 140 сторінок, з яких 130 сторінок основного змісту.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовано мету, цілі, об’єкт, предмет та методи дослідження, викладено нові наукові положення, запропоновані у дисертації, і описано ступінь їхньої новизни. Перший розділ присвячено стислому огляду літератури, вибору напрямків та загальної методики проведення наукових досліджень. У другому розділі вивчаються задачі мінімаксного оцінювання лінійних функцій на множині розв’язків лінійних дескрипторних різницевих рівнянь у випадку опуклих компактних обмежень на невизначеності. Дослідження проводиться на основі методів гарантованого оцінювання, розроблених для лінійних алгебраїчних рівнянь. Нехай задовольняє рівняння

(1)

і, водночас, спостерігається реалізація вектору вигляду

(2)

де – -матриця, – -матриця, – -матриця, – реалізація випадкового -вектора, – один з елементів множини розв’язків) при деякому такому, що вектор лежить у множині значень матричного оператора . Ми будемо вважати, що інформація про вигляд та є неповною, тобто дані про вигляд невідомих величин задаються у вигляді включення

де – деякі задані підмножини відповідних просторів.

Поставимо собі за ціль оцінити лінійну функцію на множині розв’язків (1) за допомогою афінної функції від спостережень), яку ми будемо називати оцінкою. Кожній оцінці поставимо у відповідність гарантовану похибку оцінювання

де і введемо означення мінімаксних середньоквадратичних оцінки та похибки.

Означення 1. Оцінка , що знаходиться з умови

називається мінімаксною апріорною середньоквадратичною оцінкою. Число називається мінімаксною середньоквадратичною похибкою.

Розглянемо інший метод гарантованого оцінювання. Нехай задовольняє) і задано вигляду

(3)

де – деякий детермінований вектор. На відміну від попереднього тут ми припускатимемо, що вектори – деякі, заздалегідь невідомі, елементи множини . Будемо шукати оцінку на множині

Означення 2. Оцінка , що задовольняє умову

називається мінімаксною апостеріорною оцінкою. Число назвемо мінімаксною апостеріорною похибкою оцінювання.

Теорема 1. Якщо

де є додатно означені симетричні матриці, то мінімаксні середньоквадратичні похибка і оцінка лінійної функції

на множині розв’язків мають вигляд

де знаходиться з системи

(4)

Якщо , то гарантована похибка оцінювання нескінченна.

Теорема 2. Якщо і

то мінімаксні апостеріорні оцінка та похибка мають вигляд

де знаходиться з системи), знаходиться з системи

Якщо , то похибка апостеріорного оцінювання нескінченна.

Застосування теорем продемонструємо на прикладі задачі мінімаксного апостеріорного оцінювання лінійних функцій

на множині розв’язків дискретної ЛДС

за спостереженнями

для випадку квадратичних обмежень. Тут – -матриці, – -матриця, , – деякі вектори, – -матриця, – реалізація випадкового вектора, .

Сукупність усіх векторів , компоненти кожного з яких можна представити у вигляді

позначимо символом . Припустимо, що множина має наступний вигляд

де – додатно означені симетричні матриці для кожного натурального . Введемо вектори як розв’язки системи

Теорема 3. Для і лише для них мінімаксна апостеріорна оцінка виразу має вигляд

Мінімаксна апостеріорна похибка оцінювання дається виразом

де знаходиться з

Теорема 4. Якщо і матриця має лінійно незалежні стовпчики при , то для довільного мінімаксна апостеріорна оцінка скалярного добутку за спостереженнями до -моменту включно має вигляд де обчислюється за допомогою аналогу мінімаксного фільтру Калмана

У третьому розділі вивчаються задачі мінімаксного спостереження для лінійних дескрипторних диференціальних рівнянь. У першому підрозділі дається операторна інтерпретація ЛДС та встановлюються деякі властивості відповідних операторів.

Припустимо, що динаміка досліджуваної системи на обмеженому сегменті описується лінійним диференціальним рівнянням

(5)

і для деякого виконано умову

(6)

де – -матриця, – -матриця з неперервними на елементами, – деяка вектор-функція з . Відомо, що для випадку під розв’язком)-(6) розуміють вектор-функцію , яка задовольняє інтегральному рівнянню Вольтерра другого роду

єдиний розв’язок якого лежить у класі абсолютно неперервних вектор-функцій і майже скрізь задовольняє). З’ясуємо, що ми будемо розуміти під розв’язком)-(6) у випадку довільної сталої прямокутної матриці . Для цього скористаємось методами теорії необмежених лінійних операторів. Введемо лінійний оператор , що визначається співвідношеннями

Нехай . Розв’язком)-(6) назвемо елемент множини , що задовольняє операторне рівняння

Обговорення. Оператор означено подібно до того, як це було зроблено в роботах С.Г.Крейна у випадку крайових задач для лінійних диференціальних рівнянь -порядку. Як це випливає з структури введеного операторного рівняння вектор-функція з простору належить множині розв’язків (5)-(6) при фіксованих початковій умові та правій частині , якщо вектор-функція абсолютно неперервна, має похідну класу , яка майже скрізь задовольняє), і виконано (6). Відмітимо, що запропоноване означення розв’язку)-(6) дозволяє уникнути обмежень структури матриць та вимог достатньої гладкості правої частини у) і, водночас, узгоджується з відповідними роботами Г.О.Куріної та О.І.Костюкової. Подальше вивчення задач мінімаксного спостереження для лінійних дескрипторних диференціальних рівнянь проводиться за допомогою встановлених у дисертації допоміжних фактів, серед яких замкненість оператора , формула інтегрування по частинах для вектор-функцій з просторів та , співвідношення двоїстості для образів та прообразів опуклих функціоналів відносно лінійного замкненого щільно визначеного оператора, формула опорного функціоналу лебегової множини опуклого функціоналу (випадок гільбертового простору). Нижче розглянуто постановки задач і методи мінімаксного оцінювання лінійних функціоналів на множині розв’язків ЛДС. Припустимо, що вектор-функція є розв’язком) і, водночас, на спостерігається реалізація вектор-функції вигляду

(7)

де – -матриця з неперервними на сегменті елементами, – реалізація -векторнозначного випадкового процесу з нульовим середнім та неперервною кореляційною матрицею .

Ми будемо вважати, що інформація про вигляд початкової умови , правої частини та кореляційної функції випадкового процесу є неповною:

Поставимо собі за ціль наблизити значення лінійного функціоналу

на множині розв’язків) за допомогою значень афінного функціоналу

(8)

Функціонал вигляду) з деякого допустимого класу ми будемо називати оцінкою. Зважаючи на невизначеності у),(7), спричинені відсутністю інформації про точний вигляд та неоднозначністю оператора , якість апроксимації функціоналу оцінкою ми будемо характеризувати за допомогою функціоналу

Означення 3. Оцінку , що є одним із розв’язків варіаційної нерівності

називають апріорною мінімаксною середньоквадратичною оцінкою. Вираз називають мінімаксною середньоквадратичною похибкою.

Обговорення. Новизна запропонованого означення полягає у тому, що обчислення найбільшого відхилення оцінки від оцінюваного виразу проводиться на множині . Останнє вказує спосіб відшукання самої оцінки: застосування теорем двоїстості образів та прообразів опуклих функціоналів відносно лінійних необмежених операторів. При цьому збережено основну ідею програмного оцінювання, що полягає в обчисленні для заданої оцінки "гарантованого відхилення" (середньоквадратичної відстані при "найгірших" , ) і його мінімізації. Введене означення не використовує такі властивості оператора системи, як однозначність, нормальна розв’язність, -нормальність та -нормальність, відтак може застосовуватись під час вивчення широкого класу систем, стан яких описується лінійним рівнянням із замкненим щільно визначеним оператором. Розглянемо інший інструмент теорії мінімаксного спостереження – апостеріорне оцінювання. Нехай задовольняє)-(6) і відома реалізація вектор-функції вигляду

(9)

де . На відміну від попереднього ми припускаємо, що інформація про сукупність усіх можливих реалізацій набору задається у вигляді підмножини простору . Нехай , .

Означення 4. Множина

називається апостеріорною множиною. Вираз , що задовольняє умову

називають мінімаксною апостеріорною оцінкою. Число

називають мінімаксною апостеріорною похибкою оцінювання.

Обговорення. Новизна запропонованого означення полягає у тому, що оцінка виразу шукається у вигляді , де . Тут множина являє собою альтернативний варіант апостеріорної множини і складається з усіх таких розв’язків), які тільки і можуть призвести до появи заданого вектора вигляду). Водночас у даному означенні збережено основну ідею позиційного оцінювання, що полягає в уточненні гарантованої похибки у відповідності до відомих результатів спостережень. Ця ідея відбилася у структурі множини .

Теорема 5. Якщо – опуклі обмежені замкнені підмножини , відповідно, то де – найбільший лінійний багатовид, що міститься в опуклому конусі . Водночас

Обговорення. Вигляд лінійного многовиду визначає сукупність оцінюваних функціоналів та множину допустимих оцінок . Водночас, за структурою можна судити про можливість переходу від задачі оцінювання розв’язків прямої системи до спеціальної задачі оптимізації для спряженої системи. Для випадку нормально розв’язного оператора , зокрема у класичному випадку невиродженої матриці , такий перехід завжди можливий як це випливає з рівності . Але у загальному випадку для деякої прямокутної матриці знайдуться та опукла замкнена обмежена множина , для яких тобто вектор не зобов’язаний належати множині значень спряженого оператора, відтак дуальність задачі спостереження до задачі оптимізації спряженою системою у загальному випадку може порушуватись. У наступній теоремі виділено один клас множин , для елементів якого задача мінімаксного оцінювання еквівалентна задачі оптимізації спеціального вигляду для спряженої системи.

Теорема 6. (достатні умови дуальності). Нехай в умовах теореми . Тоді і для знайдеться таке , що .

Теорема 7. Якщо

то мінімаксну середньоквадратичну оцінку функціоналу , можна подати у вигляді

Мінімаксна середньоквадратична похибка має вигляд

Якщо при , то .

Теорема 8. Припустимо, що – опукла замкнена обмежена множина. Тоді мінімаксна апостеріорна похибка оцінювання має вигляд

Для мінімаксна апостеріорна оцінка дається виразом

Теорема 9. Якщо

де – симетрична матриця з неперервними на проміжку елементами, , – неперервна на , – симетрична -матриця, то для

і лише для них

де символом позначено оператор , що зіставляє з єдиний розв’язок задачі оптимізації

Наслідок 1. Якщо в умовах теореми , то

(10)

де знаходиться як розв’язок двоточкової крайової задачі

(11)

Якщо) має розв’язки, то для оцінки справедливе представлення).

Теорема 10. Символом позначимо єдиний розв’язок крайової задачі

(12)

при деякому . Тоді

де ,, а – мінімаксна середньоквадратична оцінка функціоналу . При цьому

де – мінімаксна середньоквадратична похибка оцінювання, зокрема для .

Якщо при , то крайова задача) має розв’язок і для мінімаксних середньоквадратичних оцінки та похибки справедливе представлення).

Обговорення. У теоремі йдеться про наближене обчислення значення узагальненого псевдооберненого оператора на векторі . Для функціоналу запропоновано критерій приналежності проекції на до множини оцнюваних функціоналів : збіжність функціональної послідовності у відповідному гільбертовому просторі; разом із тим границя послідовності буде мінімаксною середньоквадратичною оцінкою . При цьому одержано достатню умову () представлення мінімаксної середньоквадратичної оцінки за допомогою розв’язків крайової задачі) (аналог системи Ейлера для лінійно-квадратичної задачі керування).

Теорема 11. Припустимо, що множина має вигляд

Якщо , то

де , . ЯкщоУ дисертації наведено приклад виконання цієї умови. , то

(13)

Якщо , то мінімаксна апостеріорна оцінка збігається з мінімаксною середньоквадратичною апріорною оцінкою

При цьому мінімаксна апостеріорна похибка оцінювання має вигляд

Теорема 12. Припустимо, що – точка мінімуму функціоналу

Тоді мінімаксна апостеріорна оцінка лінійного функціоналу має вигляд Апостеріорна похибка дається виразом Нагадаємо, що символом було позначено мінімаксну середньоквадратичну похибку в задачах апріорного оцінювання.

Зауваження 1. Умова теореми еквівалентна тому, що при деякому задовольняє

Сформулюємо основні результати для випадку оцінювання лінійних функціоналів, що не можуть бути представлені у вигляді скалярного добутку простору . З цією метою введемо поняття квазімінімаксних оцінки та похибки. Сукупність усіх , для кожного з яких при фіксованих множина розв’язків ЛДС

непорожня, позначимо через . Оцінку , що знаходиться згідно означення при назвемо квазімінімаксною.

Теорема 13. Припустимо, що , матрична функція є розв’язком задачі Коші для дескрипторного матричного рівняння Ріккаті

на , а задовольняє лінійне дескрипторне рівняння

Тоді квазімінімаксні середньоквадратичні оцінка і похибка мають вигляд

Якщо, водночас, дескрипторне рівняння

має розв’язки і – один з них, то

У дисертації запропоновано представлення квазімінімаксних оцінки та похибки і для випадку .

ВИСНОВКИ

У дисертації проведено дослідження задач мінімаксного спостереження для лінійних дескрипторних систем на основі ідей теорії лінійних замкнених операторів та співвідношень двоїстості за Фенхелем для опуклих функціоналів спеціального вигляду. Серед основних результатів для неперервного випадку відмітимо наступні

запропоновано новий підхід до розв’язання задач гарантованого оцінювання, розроблено необхідний математичний апарат;

описано вигляд множини оцінюваних функціоналів;

встановлено критерій скінченності мінімаксної похибки;

одержано достатні умови застосовності принципу дуальності Калмана;

розповсюджено на ЛДС зв’язок між апріорними та апостеріорними мінімаксними оцінками;

знайдено достатні умови існування і представлення мінімаксних та квазімінімаксних оцінок у вигляді розв’язків двоточкових крайових задач, за допомогою неперервного мінімаксного фільтру.

Для ЛДС з дискретним часом запропоновано рекурентну процедуру обчислення мінімаксної апостеріорної оцінки при квадратичних обмеженнях. Це дозволяє за результатами спостережень, що надходять в реальному часі, перераховувати на ЕОМ мінімаксні оцінки розв’язків лінійних дескрипторних систем.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

Жук С.М. Мінімаксні задачі спостереження для лінійних дескрипторних різницевих рівнянь Тавр.вісн.інформ. і мат."— 2005."— 2."— C.14-24.

Жук С.М. Мінімаксні задачі спостереження для лінійних дескрипторних диференціальних рівнянь // Ж. обч. прикл. мат."— 2005."— 2"— C.39-46.

Жук С.М. Минимаксное оценивание решений систем линейных алгебраических уравнений с сингулярными матрицами Пробл.упр.и информ."— 2004."— 3."— C.121-130.

Жук С.М. Апостеріорні мінімаксні оцінки розв’язків систем лінійних алгебраїчних рівнянь з сингулярними матрицями Вісник Київського університету. Cер.фіз.-мат.науки."— 2004."— 3."— C. 211-214.

Жук С.М. Мінімаксні задачі спостереження для сингулярних лінійних різницевих рівнянь Тавр.вісн.інформ. і мат."— 2005."— 1."— C.16-24.

Жук С.М. Мінімаксне оцінювання розв’язків лінійних алгебраїчних рівнянь з сингулярними матрицямиInt.Worksh. PDMU-2004."— Тернопіль, 2004."— C.126-128.

Жук С.М. Мінімаксні апостеріорні оцінки розв’язків сингулярних лінійних алгебраїчних рівнянь у зб. "Суч.проблеми мат.моделювання, прогнозування та оптимізації."— Кам’янець-Подільський, 2004."— С.252-254.

Zhuk S. Multicriterion linear algebraic equations solutions estimation problem under uncertainty // Abs.I.Conf.PDMU-2003."— Алушта."— 2003."— P.53-54.

Zhuk S. On minimax mean-square estimations for descriptor systemsInt. Conf. PDMU-2005."— Berdyansk."— 2005."— P.76-77.

АНОТАЦІЯ

Жук С.М. Задачі мінімаксного спостереження для лінійних дескрипторних систем."— Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.04 – системний аналіз і теорія оптимальних рішень."— Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2006.

У дисертації вивчаються задачі мінімаксного спостереження для лінійних дескрипторних систем. В основу дослідження покладено ідеї теорії лінійних замкнених операторів та співвідношення двоїстості за Фенхелем для опуклих функціоналів спеціального вигляду. Запропоновано нові означення мінімаксних оцінок. Для широкого класу лінійних дескрипторних систем розроблено новий підхід до розв’язання задач гарантованого оцінювання. Одержано необхідні та достатні умови існування мінімаксних апріорних та апостеріорних оцінок, достатні умови дуальності задач мінімаксного спостереження та оптимального керування, представлення мінімаксних апріорних та апостеріорних оцінок скалярних добутків та лінійних функціоналів, заданих на множині розв’язків лінійного дескрипторного диференціального рівняння, для спеціальних обмежень на невідомі параметри. Описано зв’язки між програмними та позиційними мінімаксними оцінками.

Для квадратичних обмежень одержано представлення мінімаксних позиційних та програмних оцінок у вигляді розв’язків двоточкових крайових задач для дескрипторних систем, одержано достатні умови еквівалентності мінімаксних апріорної та апостеріорної оцінок, записано рівняння мінімаксної фільтрації (неперервний та дискретний час).

Ключові слова: лінійні дескрипторні системи, алгебро-диференціальні системи, сингулярні системи, задачі спостереження, обернені задачі, гарантоване оцінювання, мінімаксні оцінки, фільтр Калмана.

Жук С.М. Задачи минимаксного наблюдения для линейных дескрипторных систем."— Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.04 – системный анализ и теория оптимальных решений."— Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2006.

В диссертации изучаются задачи минимаксного наблюдения для линейных дескрипторных систем. В основу исследования положено идеи теории линейных замкнутых операторов и соотношения двойственности по Фенхелю для выпуклых функционалов специального вида. Предложены новые определения минимаксных оценок и ошибок. Для широкого класса линейных дескрипторных систем разработан новый подход к решению задач гарантированного оценивания. Получены необходимые и достаточные условия существования минимаксных априорных иапостериорных оценок, достаточные условия дуальности задач минимаксного наблюдения и оптимального управления, представления минимаксных априорных и апостериорных оценок скалярных произведений и линейных функционалов, заданных на множестве решений линейного дескрипторного дифференциального уравнения, для специальных ограничений на неизвестные величины. Описано взаимосвязи между программными и позиционными минимаксными оценками.

Для квадратичных ограничений получены представления минимаксных позиционных и программных оценок в виде решений двухточечных краевых задач для дескрипторных систем, получены достаточные условия эквивалентности минимаксных априорной и апостериорной оценок, записано уравнения минимаксной фильтрации (непрерывное и дискретное время).

Ключевые слова: линейные дескрипторные системы, алгебро-дифференциальные системы, сингулярные системы, задачи наблюдения, обратные задачи, гарантированное оценивание, минимаксные оценки, фильтр Калмана.

Sergiy M.Zhuk Guaranteed estimations in linear descriptor systems."— Manuscript.

Ph.D thesis (physics and mathematics) in the field of system analysis and optimal decisions theory (field code 01.05.04)."— Taras Shevchenko National University of Kyiv, Kyiv, 2006.

The research of linear descriptor systems is motivated by variety of its applications among which are economics, image modeling, robototechnics, radiofisics, control theory and so on. The aim of this thesis is investigation of the observation problemfor non-casual linear descriptor systems (LDS) under uncertainties (minimax observation problem) caused by unknown initial condition, system perturbation and system’s state observations noise which are some elements of given convex bounded sets. Our exploration is based on the ideas from the following theories: guaranteed estimations theory (also known as minimax estimations theory) developed by Alexander Nakonechniy’s school, theory of linear closed dense mappings and convex analysis in Hilbert space.

The main idea of this paper is especial treatment of the minimax observation problem in terms of the linear closed mappings. It is proved that non-casual LDS induces some linear closed dense defined special differential operator of the first order which (in general case) has a non-closed image in corresponding Hilbert space. Taking into account that fact we offer a new definitions of the different types (a-priori and a-posteriori) guaranteed (minimax) estimations and guaranteed estimation error (minimax error) together with original procedure of minimax observation problems investigation, which is based on discovered in the thesises propositions: lemma about duality between specific convex functionals and lemma about support function of convex functional’s Lebesgue set.

Essential results of this paper in case of general convex weak-compact bounding sets are the following: criteria of the minimax estimation error finiteness, description of the permitted linear functional’s set, sufficient condition for duality between observation and control problem in case of LDS, necessary and sufficient condition for the a-posteriori estimation existence and sufficient condition for the a-priori minimax estimation existence.

It is proved that we can assign a minimax estimation to any linear functional from permitted set in case of quadratic bounding sets. Some relations between a-priori and a-posteriori estimations and corresponding minimax errors were established on the basis of observation and control problems duality which holds in quadratic case. Also we found the criteria of a-priori minimax error finiteness, necessary and sufficient condition for minimax a-posteriori error representation in terms of two-point boundary value problem (for LDS) solutions and approximation of the a-priori estimation by means of parametric two-point boundary value problem’s solutions (similar to famous Euler equations for LQ-control problems). Some sufficient conditions for a-priori and a-posteriori estimations coincidence are given. The sufficient condition for representation of minimax a-posteriori estimation in terms of solutions of descriptor LQ-two point boundary value problem is suggested in case of general linear functionals. Also it is proved that minimax a-posteriori estimation of general linear functional (defined on the linear descriptor system solutions set) might be represented by means of descriptor Kalman filter.

For discrete-time linear descriptor systems it is offered the criteria of minimax error finiteness (in general case of convex compact bounding sets without any assumptions about system structure). It is suggested the procedure for recursive calculation ofminimax a-posteriori estimation in case of quadratic bounding sets. This procedure is based on results obtained in case of guaranteed estimation problem for linear algebraic equations.

Keywords: linear descriptor system, singular systems, observation, guaranteed estimations, minimax estimations, Kalman filtering.