Київський національний університет

імені Тараса Шевченка

Жучок Юрій Володимирович

УДК 512.53

Квазіупорядкування та

структурні властивості напівгруп

01.01.06 – алгебра і теорія чисел

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ – 2006

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Луганському національному педагогічному університеті імені Тараса Шевченка.

Науковий керівник доктор фізико-математичних наук,

професор Усенко Віталій Михайлович,

завідувач кафедри алгебри та дискретної математики

Луганського національного педагогічного

університету імені Тараса Шевченка

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук,

професор Курдаченко Леонід Андрійович,

завідувач кафедри алгебри та геометрії

Дніпропетровського національного університету

кандидат фізико-математичних наук,

Журавльов Віктор Миколайович,

асистент кафедри геометрії Київського

національного університету імені Тараса Шевченка

Провідна установа Львівський національний університет

імені Івана Франка, кафедра алгебри і логіки,

Міністерство освіти та науки України, м. Львів

Захист відбудеться “3” липня 2006 року о 14.00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.18 при Київському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою: 03127, м. Київ, проспект академіка Глушкова, 2, корпус 7, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитися в науковій бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою: м. Київ, вул. Володимирська, 58.

Автореферат розісланий “29” травня 2006 року.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Плахотник В.В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Квазіпорядки і, зокрема, часткові порядки мають важливі застосування в багатьох областях математики. У теорії напівгруп їх роль є особливо значною. Природним прикладом частково впорядкованої напівгрупи є напівгрупа бінарних відношень, упорядкована теоретико-множинним включенням. Зображення напівгруп бінарними відношеннями є одним з основних методів описання напівгруп. Серед перших застосувань цього методу до впорядкованих напівгруп є робота В.В. Вагнера1, у якій знайдено умови існування зображення впорядкованої напівгрупи в напівгрупі часткових перетворень. Далі К.А. Зарецьким2 було доведено, що будь-яка впорядкована напівгрупа ізоморфно занурюється в напівгрупу бінарних відношень на деякій множині і знайдено критеріальні умови, за яких впорядкована напівгрупа є ізоморфною деякій напівгрупі рефлексивних бінарних відношень та деякій напівгрупі транзитивних бінарних відношень.

Одними з перших результатів про квазіпорядки є теорема Л.М.Глускіна3, згідно з якою кожне нетривіальне відношення квазіпорядку з точністю до ізоморфізму характеризується напівгрупою ендоморфізмів цього квазіпорядку, а також абстрактна характеристика Л.Б. Шнепермана4 напівгрупи всіх ендоморфізмів квазіупорядкованої множини.

У термінах позитивного відношення, яке визначив Б.М. Шайн, найменші конгруенції напівгруп, факторнапівгрупи за якими є напіврешітками, вивчав Тамура. Після цього Путча використовував позитивні квазіпорядки на напівгрупі для описання всіх її декомпозицій у напіврешітку архімедових піднапівгруп.

Стабільні квазіпорядки систематично вивчались у 70-х роках минулого століття М.Г. Могилевським на симетричних напівгрупах та на їх гомоморфних образах, а у 80-х – В.Д. Деречем на квазісиметричних напівгрупах скінченного рангу.

Наступного прогресу при вивченні декомпозицій напівгруп у напіврешітки в термінах квазіпорядків було досягнуто Богдановичем та Чиричем. Вони також застосовували квазіпорядки до вивчення ланцюгів і різних типів декомпозицій напівгруп з нулем.

1Вагнер В.В. Представления упорядоченных полугрупп // Математический сборник. – 1956. – Т. 38. – №2. – С. 203–240.

2Зарецкий К.А. Представление упорядоченных полугрупп бинарными отношениями // Известия вузов. Математика. – 1959. – №6. – С. 48–50.

3Глускин Л.М. Полугруппы изотонных преобразований //Успехи математических наук. – 1961. – Т. 16. – №5. – С. 157–162.

4Шнеперман Л.Б. Полугруппы эндоморфизмов квази-упорядоченных множеств// Ученые записки ЛГПИ имени А.И. Герцена. – 1962. – Т. 238. – С. 21–37.

Ще один напрямок у вивченні упорядкованих напівгруп було визначено роботою Кехайопулу, Понізовського, Цингеліса5, у якій модифіковано поняття ідеалу й описано властивості модифікованих максимальних ідеалів.

Роль зображень напівгруп і квазіупорядкованих напівгруп напівгрупами перетворень та напівгрупами бінарних відношень природно вмотивовує пошуки аналогічних зображень часткових групоїдів, серед яких найважливішими є групоїди категорного типу. Напівгрупи часткових перетворень у їх чистому вигляді для побудови відповідних зображень виявляються непристосованими. Актуальною у зв’язку з цим є задача вивчення зображень малих категорій підходящими групоїдами перетворень. Результати А.І. Мальцева6, А.Е. Лібера7, Є.Г. Шутова8, В.М.Усенка9 та ін. визначають у цьому напрямку задачу описання конгруенцій малих категорій перетворень.

За певних умов приєднання зовнішнього нуля перетворює частковий групоїд у напівгрупу, що додає можливість застосовувати до вивчення її структурних властивостей конструкцію 0-сполуки. Актуальною, отже, є задача поширення теорії 0-сполук, що розвинуто Ляпіним, Шварцем, Лаллеманом, Петричем та ін. на напівгрупи, що визначаються частковими групоїдами.

Актуальність вищезгаданих задач та проблем визначила основну мету даної дисертаційної роботи.

Метою дисертації є:

1. Описання зображень квазіупорядкованих напівгруп у напівгрупах бінарних відношень.

2. Описання гомоморфізмів квазіупорядкованих напівгруп, що зберігають відношення квазіпорядку.

3. Побудова категорного аналогу напівгрупи часткових перетворень – симетричної 0-категорії; вивчення її структурних властивостей.

Основні методи досліджень – загальноалгебраїчні з використанням основних методів та конструкцій теорії напівгруп і теорії упорядкованих та квазіупорядкованих множин.

5Kehayopulu N., Ponizovskii J., Tsingelis M. A note on maximal ideals in ordered semigroups // Algebra and discrete mathematics. – 2003. – №1. – P. 32–35.

6Мальцев А.И. Симметрические группоиды // Математический сборник. – 1952. – Т. 31. – С. 136–151.

7Либер А.Е. О симметрических обобщенных группах // Математический сборник. – 1953. – Т. 33. – С. 531–544.

8Шутов Э.Г. Гомоморфизмы полугруппы всех частичных преобразований // Известия вузов. Математика. – 1961. – №3. – С. 177–184.

9Усенко В.М. Полугруппы полулинейных преобразований // ДАН УССР. Серия А. – 1984. – №7. – С. 22–24.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами.

Робота виконувалась за програмами НДР „Комплекси алгебраїчних та топологічних систем” (номер державної реєстрації 0203U000460), „Синтетичні методи класифікації математичних структур” (номер державної реєстрації 0000101U0027), що здійснювались в Луганському національному педагогічному університеті імені Тараса Шевченка.

Основні результати дисертації:

1. Описано зображення квазіупорядкованих напівгруп у напівгрупах бінарних відношень. Узагальнено та розвинуто результати К.А.Зарецького про точні зображення впорядкованих напівгруп бінарними відношеннями.

2. Для квазіупорядкованих комутативних напівгруп з одиницею отримано узагальнення результату Кехайопулу, Понізовського, Цингеліса про примітивність максимальних ідеалів комутативних упорядкованих моноїдів.

3. Визначено поняття симетричної категорії та симетричної 0-категорії, що дозволило описувати зображення часткових групоїдів категорного типу.

4. Доведено -простоту симетричної 0-категорії на нескінченній множині. Описано декомпозиції симетричної 0-категорії в 0-сполуки своїх піднапівгруп.

Наукова новизна та теоретичне значення. Усі результати дисертаційної роботи є новими. Їх теоретичне значення визначається можливістю подальшого застосування до вивчення будови напівгруп з нулем та для створення загальної теорії зображень квазіупорядкованих напівгруп.

Тема роботи є пов’язаною з науковими дослідженнями, що здійснюються в Луганському національному педагогічному університеті імені Тараса Шевченка, Донецькому національному університеті, Слов’янському державному педагогічному університеті, Інституті прикладної математики та механіки НАН України, Харківському національному університеті імені В.Н. Каразіна.

Особистий внесок здобувача. Усі результати дисертації одержані автором особисто. Результати дисертації доповідались на

· Міжнародній конференції, присвяченій 100-річчю від початку роботи Д.А. Граве в Київському університеті (Київ, 2002);

· Всеукраїнській конференції “Алгебраїчні методи дискретної математики” (Луганськ, 2002);

· 4th International Algebraic Conference in Ukraine (Lviv, 2003);

· Second Conference of the Mathematical Society of the Republic of Moldova (Chisinau, 2004);

· 5th International Algebraic Conference in Ukraine (Odessa, 2005);

· Міжнародній алгебраїчній конференції, присвяченій 100-річчю з дня народження С.А. Чуніхіна (Гомель, 2005);

· 1-й загальноуніверситетській конференції молодих учених Луганського національного педагогічного університету імені Тараса Шевченка (Луганськ, 2004);

· алгебраїчних семінарах Київського національного університету імені Тараса Шевченка та Луганського національного педагогічного університету імені Тараса Шевченка (2001–2005).

Публікації. Публікацію основних результатів дисертації здійснено в 9 роботах автора, з яких 4 є статтями у фахових періодичних виданнях, затверджених ВАК України, 5 є тезами доповідей наукових конференцій.

Структура і обсяг роботи. Дисертація обсягом 141 сторінка складається зі вступу, трьох розділів, висновків та списку літератури, що містить 132 найменування. Кожний з розділів роботи складається з параграфів, які розбиті на пункти. Перша цифра в нумерації пунктів відповідає номеру параграфу відповідного розділу, друга – номеру пункту в цьому параграфі. Наприклад, запис “Теорема (п.2.4, розд.ІІІ)” означає, що ця теорема знаходиться у четвертому пункті другого параграфу третього розділу.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, наведено стислий огляд робіт за проблематикою дисертації, сформульовано мету і задачі дослідження, викладено основні результати роботи, охарактеризовано зміст дисертації.

У першому розділі роботи сформульовано основні поняття та результати теорії напівгруп, які будуть використані в подальшому, описано деякі типи напівретракцій вільної напівгрупи та їх відповідні мутації.

У §1 першого розділу введено основні поняття та позначення стосовно квазіупорядкованих напівгруп, визначено напівгрупу бінарних відношень, у термінах якої наведено деякі відомі результати.

У §2 наведено стислий огляд робіт, у яких вивчались відношення квазіпорядку на напівгрупах, зокрема, розглянуто використання квазіпорядків для описання декомпозицій напівгруп у напіврешітки.

У §3 першого розділу визначено поняття напівретракції, яке було запропоновано В.М. Усенком, і розглянуто його загальні властивості. Знайдено два типи напівретракцій вільного моноїду та один тип напівретракцій вільної напівгрупи, описано відповідні мутації.

Перетворення напівгрупи називають напівретракцією, якщо для всіх

Якщо – ідемпотентна напівретракція напівгрупи, то множина є напівгрупою відносно операції. Напівгрупу називають -мутацією напівгрупи

Нехай – вільний моноїд в алфавіті з порожнім словом, – вільна напівгрупа в тому ж алфавіті.

Покладемо, , де. Кількість елементів з множини, які входять до запису слова, позначимо через. Довжину слова будемо позначати через.

Якщо |, і, то позначимо через – початкове підслово слова таке, що і, відповідно, через – кінцеве підслово слова таке, що.

Перетворення моноїду, що визначається умовою:

для всіх, є напівретракцією.

Моноїд є об’єднанням вільного моноїду в алфавіті та ідеалу -мутації, який визначається як теоретико-множинна різниця моноїдів і.

Описання -мутації зводиться, таким чином, до описання ідеалу цієї мутації.

Через позначимо множину всіх слів з та покладемо, де Першу (останню) літеру слова будемо позначати через.

Визначаючи на множині бінарну операцію за правилом:, отримаємо напівгрупу, яку позначимо як.

Позначимо через () напівгрупу лівих (правих) нулів на множині, а через – прямий добуток напівгруп, і.

Одним з основних результатів §3 першого розділу є

Теорема (п.3.8, розд.І). Напівгрупи і є ізоморфними.

Крім цього, у третьому параграфі в термінах прямих добутків напівгруп описано мутації вільної напівгрупи та вільного моноїду інших двох типів напівретракцій.

У другому розділі роботи описано деякі типи реляційних зображень та монотонних гомоморфізмів квазіупорядкованих напівгруп, встановлено теоретико-множинний зв’язок між конгруенціями таких зображень і так званими симетризаціями відповідних відношень квазіпорядку на напівгрупі.

У §1 другого розділу для квазіупорядкованих зліва напівгруп описано два типи зображень бінарними відношеннями, вивчено зв’язки між конгруенціями цих зображень і симетризаціями відповідних квазіпорядків на даній напівгрупі.

Якщо – гомоморфізм напівгрупи, то через будемо позначати конгруенцію цієї напівгрупи, яка відповідає.

Гомоморфізм напівгрупи в напівгрупу усіх бінарних відношень на множині назвемо реляційним зображенням над.

Симетризацією відношення назвемо відношення, яке визначається в такий спосіб:

.

Бінарне відношення на напівгрупі називається лівопозитивним (правопозитивним), якщо () для всіх. Відношення на називається позитивним, якщо воно є як ліво-, так і правопозитивним.

Квазіпорядком на множині називається бінарне відношення, яке є рефлексивним і транзитивним.

Множина з визначеним на ній квазіпорядком називається квазіупорядкованою множиною й позначається через.

Бінарн відношення на напівгрупі називається стабільним зліва (справа), якщо для всіх з умови випливає.

Якщо відношення на напівгрупі є стабільним як зліва, так і справа, то його називають стабільним.

Напівгрупа називається квазіупорядкованою зліва (справа), якщо на ній визначено деякий стабільний зліва (справа) квазіпорядок.

Якщо на напівгрупі визначено квазіпорядок, який є стабільним як зліва, так і справа, то називають квазіупорядкованою напівгрупою.

Нехай – квазіупорядкована зліва напівгрупа. Визначимо на напівгрупі, отриманої з приєднанням зовнішньої одиниці , два бінарні відношення наступним чином:

,

і задамо відображення

|,

|.

У §1 доведено, що відображення є реляційним зображенням квазіупорядкованої зліва напівгрупи над множиною.

Якщо – квазіупорядкована напівгрупа, то, при цьому зображення напівгрупи є ін’єктивним тоді й лише тоді, коли відношення квазіпорядку є антисиметричним.

Основним результатом §1 другого розділу є

Теорема (п.1.3, розд.ІІ). Відображення є реляційним зображенням квазіупорядкованої зліва напівгрупи над множиною тоді й лише тоді, коли відношення є лівопозитивним.

Якщо – реляційне зображення квазіупорядкованої напівгрупи, то, крім цього, є ін’єктивним тоді й лише тоді, коли – антисиметричне.

Ці результати розвивають результат К.А. Зарецького про точне зображення в напівгрупі бінарних відношень будь-якої впорядкованої напівгрупи.

У §2 другого розділу описано точні зображення впорядкованих напівгруп у напівгрупах -транзитивних (-котранзитивних) бінарних відношень.

Бінарне відношення на множині назвемо -транзитивним, якщо для всіх елементів з того, що

випливає.

Піднапівгрупу із назвемо напівгрупою -транзитивних відношень, якщо будь-яке відношення є -транзитивним.

Теорема (п.2.2, розд.ІІ). Впорядкована напівгрупа є ізоморфною деякій напівгрупі -транзитивних бінарних відношень тоді й лише тоді, коли умова виконується для кожного.

Цей результат узагальнює результат К.А. Зарецького про точні зображення впорядкованих напівгруп транзитивними бінарними відношеннями.

Двоїстим чином визначено поняття -котранзитивного бінарного відношення й описано точні зображення впорядкованих напівгруп у напівгрупах -котранзитивних відношень.

Крім цього, у §2 визначено декілька типів напівгруп бінарних відношень і знайдено необхідні та достатні умови, за яких піднапівгрупа з

є напівгрупою відношень заданого типу.

У §3 другого розділу визначено поняття -мажорантної та -мінорантної піднапівгруп квазіупорядкованої напівгрупи й описано монотонні гомоморфізми квазіупорядкованих напівгруп в таких напівгрупах.

Нехай – квазіупорядкована напівгрупа. Якщо такий, що, то для фіксованого натурального числа верхній конус є піднапівгрупою, яку називатимемо -мажорантною напівгрупою.

Піднапівгрупу -мажорантної напівгрупи назвемо -мажорантною напівгрупою, якщо.

Нехай і – квазіупорядковані напівгрупи. Гомоморфізм називатимемо монотонним, якщо при будь-яких умова виконується тоді й лише тоді, коли.

У §3 доведено, що квазіупорядкована напівгрупа володіє монотонним гомоморфізмом на -мажорантну напівгрупу тоді й лише тоді, коли існує такий, що і при будь-яких маємо.

Двоїсто визначається -мінорантна напівгрупа й описуються монотонні гомоморфізми квазіупорядкованих напівгруп у цих напівгрупах.

Якщо – квазіупорядкований моноїд з одиницею, то верхній конус назвемо надодиничною напівгрупою.

У термінах надодиничних напівгруп узагальнено результат К.А.Зарецького про точні зображення впорядкованих напівгруп рефлексивними бінарними відношеннями.

Теорема (п.3.5, розд.ІІ). Квазіупорядкована напівгрупа володіє монотонним гомоморфізмом у надодиничну напівгрупу тоді й лише тоді, коли квазіпорядок є позитивним.

У §4 другого розділу показано, що для квазіупорядкованих зліва -комутативних напівгруп існують два типи зображень у напівгрупах бінарних відношень, відмінні від тих зображень, що визначено у §1 другого розділу. Вивчається зв’язок між конгруенціями цих зображень і -симетризаціями відповідних відношень квазіпорядку на напівгрупі.Нехай – фіксоване натуральне число,. Напівгрупа називається -комутативною, якщо при будь-яких виконується умова.

Бінарне відношення на напівгрупі назвемо -лівопозитивним (-правопозитивним), якщо (відповідно) для всіх. Якщо відношення на напівгрупі є -лівопозитивним і -правопозитивним, то називатимемо -позитивним відношенням.

Нехай – квазіупорядкованa зліва -комутативна напівгрупа. Визначимо відображення і напівгрупи в напівгрупу у такий спосіб:

, де |,

, де |.

У §4 доведено, що відображення є реляційним зображенням будь-якої -комутативної квазіупорядкованої зліва напівгрупи, а також, що відображення є реляційним зображенням квазіупорядкованої зліва напівгрупи тоді й лише тоді, коли відношення квазіпорядку є -лівопозитивним.

Нехай – довільна напівгрупа і. Бінарне відношення на напівгрупі, яке визначається за правилом:

,

назвемо -симетризацією відношення.

Крім того, показано, що для квазіупорядкованої -комутативної напівгрупи конгруенція реляційного зображення співпадає із -симетризацією відношення квазіпорядку.

Подібне твердження є справедливим для квазіупорядкованої -комутативної напівгрупи з -лівопозитивним квазіпорядком і зображення.

У термінах -антисиметричних бінарних відношень отримано необхідні та достатні умови ін’єктивності зображень та квазіупорядкованих напівгруп.

Елемент упорядкованої напівгрупи назвемо строго транзитивним (строго котранзитивним), якщо ().

У §5 другого розділу встановлюється відповідність Галуа між множиною всіх строго транзитивних (ідемпотентних, строго котранзитивних) елементів впорядкованої напівгрупи і множиною всіх верхніх конусів строго транзитивних (ідемпотентних, строго котранзитивних) елементів тієї ж самої напівгрупи.

У §6 другого розділу наведено умови примітивності ідеалу комутативного квазіупорядкованого моноїду.

Ідеалом квазіупорядкованої напівгрупи називається ідеал напівгрупи такий, що з умов та випливає.

Ідеал квазіупорядкованої напівгрупи називається примітивним,

якщо для всіх з умови випливає, що або.

Теорема (п.6.3, розд.ІІ). Нехай – комутативний квазіупоряд-кований моноїд. Якщо є максимальним ідеалом моноїду , то є примітивним ідеалом .

Крім цього, показано, що обернене твердження до щойно сформульованої теореми в загальному випадку невірне.

Ця теорема узагальнює результат Кехайопулу, Понізовського і Цингеліса про примітивність максимальних ідеалів комутативних упорядкованих моноїдів.

У третьому розділі роботи визначено один з основних об’єктів дослідження дисертації – симетричну 0-категорію. Вивчаються структурні властивості цієї напівгрупи.

У §1 третього розділу доведено незалежність аксіом часткової групи, отримано характеризацію часткових групоїдів, які отримуються з категорійних у нулі напівгруп відкиданням нуля.

У §2 третього розділу визначено поняття симетричної категорії, описано критеріальні умови, за яких локально асоціативний напівгрупоїд володіє так званим регулярним симетричним зображенням.

Напівгрупоїдом будемо називати непорожню множину з деякою бінарною частковою операцією . Якщо – деякий напівгрупоїд, то відношення назвемо відношенням актуалізації цього напівгрупоїда.

Напівгрупоїд назвемо локально асоціативним, якщо при будь-яких виконується умова:

Нехай – довільна непорожня множина, – множина всіх непорожніх підмножин множини . Для будь-яких через позначатимемо множину всіх сюр’єктивних відображень множини на множину . На множині

|

часткову операцію композиції відображень визначимо таким чином: композиція відображень є визначеною лише за умови. Напівгрупоїд, що при цьому виникає на множині, назвемо симетричною категорією на множині .

Якщо та – довільні напівгрупоїди, то відображення назвемо гомоморфізмом, коли для всіх матимемо:

.

Нехай – локально асоціативний напівгрупоїд. Для всіх покладемо

|, |.

Коли, коректно визначеним є відображення

.

Гомоморфізм напівгрупоїда в, якщо він існує, назвемо регулярним симетричним зображенням цього напівгрупоїда.

Основним результатом §2 третього розділу є

Теорема (п.2.4, розд.ІІІ). Локально асоціативний напівгрупоїд володіє регулярним симетричним зображенням тоді й лише тоді, коли:

(і) для кожного множина є непорожньою;

(іі) для всіх таких, що мають місце включення

; ;

(іii) для всіх має місце імплікація

Приєднуючи до симетричної категорії зовнішній нуль 0 і довизначивши операцію композиції за правилом:, коли, отримаємо напівгрупу, яку будемо називати симетричною -категорією на множині і позначатимемо через.

Зауважимо, що симетрична 0-категорія і напівгрупа всіх часткових перетворень є різними напівгрупами саме в тому розумінні, що, по-перше, категорія є локально асоціативною, а напівгрупоїд усіх часткових перетворень – ні. По-друге, напівгрупа є категорійною в нулі, але напівгрупа часткових перетворень, яка, до речі, є більш вивченою, цією властивістю не володіє. Саме цим пояснюється мотивація до вивчення напівгрупи.

У §3 третього розділу розглянуто розв’язок таких канонічних задач, як знаходження ідемпотентів, регулярних та інверсних елементів симетричної 0-категорії, описання відношень Гріна й відношень подільності.

У §4 третього розділу описано конгруенції симетричної 0-категорії, факторнапівгрупи за якими є напівгрупами ідемпотентів.

Нехай, де – симетрична група на множині .

У §4 доведено, що коли – скінченна множина і, відношення–

єдина нетривіальна ідемпотентна конгруенція симетричної 0-категорії.

Напівгрупу назвемо -простою, якщо на цій напівгрупі не існує нетривіальних конгруенцій, факторнапівгрупи за якими є напівгрупами ідемпотентів.

Одним з основних результатів третього розділу є теорема про -простоту напівгрупи.

Теорема (п.4.2, розд.ІІІ). Симетрична 0-категорія на нескінченній множині є -простою напівгрупою.

Через позначимо піднапівгрупу з, яка складається з усіх взаємно однозначних часткових перетворень та нуля. Напівгрупу назвемо симетричною інверсною 0-категорією на множині .

У цьому ж параграфі отримано аналогічні результати для симетричної інверсної 0-категорії.

Оскільки структура ідемпотентних конгруенцій () є тривіальною, то для подальшого вивчення структурних властивостей цієї напівгрупи доцільним буде використання поняття 0-сполуки.

У §5 третього розділу описано найбільшу декомпозицію у ліву (праву, ортогональну) суму напівгруп.

Напівгрупу називають ортогональною сумою напівгруп, якщо – ненульові напівгрупи, і при будь-яких виконуються умови.

Напівгрупу називають лівою (правою) сумою напівгруп, якщо – ненульові напівгрупи, і при будь-яких, виконуються умови та ().

Для всіх нехай |.

Твердження (п.5.4, розд.ІІІ). | – найбільша декомпозиція у ліву суму напівгруп, кожен з компонентів якої не розкладається в ліву суму напівгруп.

Двоїсто описується найбільша декомпозиція у праву суму.

Крім цього, у §5 доведено, що є ортогонально нерозкладною.

У §6 третього розділу описано найбільшу ліву (праву, ортогональну) суму напівгрупи та будову групи її автоморфізмів у термінах прямих добутків груп.

Нехай – така множина, що, і нехай.

Для кожного покладемо

|,.У §6 доведено, що сукупність | – найбільша декомпозиція симетричної інверсної 0-категорії в ортогональну суму напівгруп.

Нехай – довільне відображення,. Через позначається обмеження відображення на множині .

Основним результатом §6 третього розділу є

Теорема (п.6.5, розд.ІІІ). Перетворення симетричної інверсної 0-категорії є автоморфізмом тоді й лише тоді, коли | для всіх.

Як наслідок цієї теореми отримано твердження про те, що група автоморфізмів симетричної інверсної 0-категорії і прямий добуток груп є ізоморфними.

У §7 третього розділу отримано описання одного типу напівретракцій симетричної 0-категорії та одного типу напівретракцій симетричної інверсної 0-категорії, охарактеризовано мутації відповідних 0-категорій у термінах матричних напівгруп.

ВИСНОВКИ

У роботі отримано нові результати про класифікацію зображень квазіупорядкованих напівгруп і структурні властивості напівгруп з нулем.

Для квазіупорядкованих напівгруп описано реляційні зображення заданого типу і будову їх конгруенцій, а також монотонні гомоморфізми на -мажорантні, -мінорантні та надодиничні напівгрупи. Ці описання узагальнюють та розвивають результати К.А. Зарецького про зображення впорядкованих напівгруп у напівгрупах бінарних відношень.

Доведено, що кожний максимальний ідеал квазіупорядкованого комутативного моноїду є примітивним ідеалом.

Визначено поняття симетричної категорії, що дозволило описати регулярні симетричні зображення локально асоціативних напівгрупоїдів.

Для симетричної 0-категорії описано конгруенції, фактори за якими є напівгрупами ідемпотентів, що доповнює результати А.І. Мальцева, А.Е.Лібера і Є.Г. Шутова про конгруенції симетричних напівгруп.

Досліджено структурні властивості симетричної 0-категорії у термінах 0-сполук напівгруп. Вивчено будову групи автоморфізмів симетричної інверсної 0-категорії на скінченній множині.

ПУБЛІКАЦІЇ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Жучок Ю.В. Зображення впорядкованих напівгруп в напівгрупах бінарних відношень // Науковий часопис НПУ імені М.П.Драгоманова. Серія 1: Фізико-математичні науки. – Київ, 2004. – № 5. – С. 146–152.

2. Жучок Ю.В. Зображення впорядкованих напівгруп // Труды ИПММ НАН Украины. – Донецк, 2005. – Т. 10. – С. 43–50.

3. Жучок Ю.В. Декомпозиції напівгруп з нулем // Вісник Донецького університету. Серія А: Природничі науки. – 2005. – №2. – С. 7–13.

4. Жучок Ю.В. Зображення квазіупорядкованих напівгруп // Труды ИПММ НАН Украины. – Донецк, 2005. – Т. 11. – С. 8–14.

5. Zhuchok Y.V. Uncontradictoriness and independence of axioms of partial group // 4th International Algebraic Conference in Ukraine. – Lviv, 2003 (August, 4–9). – P. 247.

6. Zhuchok Y.V. Representations of ordered semigroups // Second Conference of the Mathematical Society of the Repupblic of Moldova. – Chiєinau, 2004 (August, 17–19). – P. 332–334.

7. Жучок Ю.В. Про один тип напівретракцій вільного моноїду // VIII Міжнародна наукова конференція. Математика. – Дніпропетровськ, 2005. – Т. 22. – C. 33–34.

8. Zhuchok Y.V. Maximal ideals of quasi-ordered semigroups // 5th International Algebraic Conference in Ukraine. – Odessa, 2005 (July, 20–27). – P. 253.

9. Zhuchok Y.V. Representations of quasi-ordered semigroups // Международная алгебраическая конференция “Классы групп и алгебр”. – Гомель, 2005 (Октябрь, 5–7). – С. 29.

АНОТАЦІЇ

Жучок Ю.В. Квазіупорядкування та структурні властивості напівгруп. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 – алгебра і теорія чисел. – Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2006.

Описано декілька типів реляційних зображень і монотонних гомоморфізмів квазіупорядкованих напівгруп, що узагальнює та доповнює результати К.А. Зарецького про зображення впорядкованих напівгруп.

Для квазіупорядкованих комутативних напівгруп з одиницею доведено примітивність їх максимальних ідеалів.

Визначено поняття симетричної категорії і 0-категорії, що дозволило описати симетричні зображення локально асоціативних напівгрупоїдів.

Для симетричної 0-категорії отримано описання всіх конгруенцій, факторнапівгрупи за якими є напівгрупами ідемпотентів.

Описано найбільшу декомпозицію симетричної 0-категорії в ліву, праву і ортогональну суми. Отримано характеристику групи автоморфізмів симетричної інверсної 0-категорії на скінченній множині.

Досліджено алгебраїчні властивості симетричної 0-категорії.

Ключові слова: квазіупорядкована напівгрупа, зображення, бінарне відношення, примітивний ідеал, симетрична 0-категорія, симетрична інверсна 0-категорія, конгруенція, декомпозиція, група автоморфізмів.

Жучок Ю.В. Квазиупорядочения и структурные свойства полугрупп. – Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 – алгебра и теория чисел.-Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2006.

Описаны два типа представлений квазиупорядоченных полугрупп и два типа представлений -коммутативных квазиупорядоченных полугрупп в полугруппах бинарных отношений, при этом изучено строение конгруэнций таких представлений в терминах симметризаций и соответственно -симметризаций квазипорядков. Получено описание монотонных гомоморфизмов квазиупорядоченных полугрупп на -мажорантные, -минорантные и надъединичные полугруппы. Эти результаты, с одной стороны, обобщают, а с другой – развивают результаты К.А. Зарецкого о точных представлениях упорядоченных полугрупп бинарными отношениями.

Установлены соответствия Галуа, которые определяются свойствами строго транзитивных, идемпотентных и строго котранзитивных элементов упорядоченных полугрупп.

Доказано, что каждый максимальный идеал квазиупорядоченной коммутативной полугруппы с единицей является примитивным идеалом; показано, что обратное утверждение в общем случае неверно. Этот результат обобщает результат Кехайопулу, Понизовского и Цынгелиса о примитивности максимальных идеалов квазиупорядоченных коммутативных моноидов.

Построены категорные аналоги полугруппы всех частичных преобразований и полугруппы всех взаимно однозначных частичных преобразований произвольного множества – симметрическую 0-категорию и соответственно симметрическую инверсную 0-категорию. Это позволило описать регулярные симметрические представления локально ассоциативных полугруппоидов. Для симметрической и симметрической инверсной 0-категорий получено описание всех конгруэнций, фактор-полугруппы по которым являются полугруппами идемпотентов, что дополняет результаты А.И.Мальцева, А.Е.Либера и Е.Г.Шутова о конгруэнциях симметрических полугрупп.

Получены наибольшие декомпозиции симметрической 0-категории и симметрической инверсной 0-категории на произвольном множестве в левую (правую) сумму полугрупп, каждый компонент которой не раскладывается в левую (правую) сумму полугрупп. Описаны наибольшая ортогональная сумма симметрической инверсной 0-категории на конечном множестве, а также строение ее группы автоморфизмов в терминах прямых произведений групп.

Изучены отношения Грина и отношения делимости на симметрической 0-категории, а также идемпотенты, регулярные и инверсные элементы.

Найдены один тип полуретракций симметрической 0-категории и один тип полуретракций симметрической инверсной 0-категории, описаны соответствующие мутации.

Ключевые слова: квазиупорядоченная полугруппа, представление, бинарное отношение, примитивный идеал, симметрическая 0-категория, симметрическая инверсная 0-категория, конгруэнция, декомпозиция, группа автоморфизмов.

Zhuchok Y.V. Quasi-orderings and structure properties of semigroups. – Manuscript.

Thesis of dissertation for obtaining the degree of candidate of science in physics and mathematics, speciality 01.01.06 – algebra and number theory. – Kyiv National Taras Shevchenko university, Kyiv, 2006.

Some types of relative representations and monotonous homomorphisms of quasi-ordered semigroups are described. These results are generalized and added results of K.A. Zarethskiy about exact representations of ordered semigroups by binary relations.

It is proved that each maximal ideal of a quasi-ordered commutative monoid is a prime ideal. The converse statement does not hold, in general.

The decompositions of symmetric 0-category (symmetric inverse 0-category) on the arbitrary set in the terms bands of subsemigroups are described.

The greatest decomposition of symmetric 0-category in a left (right, orthogonal) sum of semigroups is founded. The characteristic of the group of automorphisms of a symmetric inverse 0-category on a finite set is obtained.

Algebraic properties of symmetric 0-category are studied.

Key words: quasi-ordered semigroup, representation, binary relation, prime ideal, symmetric 0-category, symmetric inverse 0-category, congruence, decomposition, automorphism group.