НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

КОРЕНОВСЬКИЙ Анатолій Олександрович

УДК 517.5

СЕРЕДНІ КОЛИВАННЯ, ОБЕРНЕНІ НЕРІВНОСТІ

ТА РІВНОВИМІРНІ ПЕРЕСТАВЛЕННЯ ФУНКЦІЙ

01.01.01 - математичний аналіз

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Київ - 2006

Дисертацією є рукопис

Робота виконана на кафедрі математичного аналізу Одеського національного

університету імені І. І. Мечникова Міністерства освіти і науки України

та на кафедрі математичного аналізу Київського національного університету

імені Тараса Шевченка.

Науковий консультант: доктор фізико-математичних наук, професор

ШЕВЧУК Ігор Олександрович,

Київський національний університет,

завідувач кафедри.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

КОНДРАТЮК Андрій Андрійович,

Львівський національний університет,

завідувач кафедри;

доктор фізико-математичних наук, професор

КРОТОВ Веніамін Григорович,

Білоруський державний університет,

завідувач кафедри;

доктор фізико-математичних наук, професор

МИХАЙЛЕЦЬ Володимир Андрійович,

Інститут математики НАН України,

провідний науковий співробітник.

Провідна установа: Дніпропетровський національний університет,

кафедра математичного аналізу,

Міністерство освіти і науки України.

Захист відбудеться “___6_” ___березня_________ 2007 року о __15__ годині

на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.01 в Інституті математики

НАН України за адресою: 01601, Київ - 4, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України.

Автореферат розісланий “__1_” ____лютого___________ 200_7_ р.

Учений секретар

спеціалізованої вченої ради _____________________ Романюк А. С.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

В роботі вивчаються екстремальні властивості класів функцій, що означаються в термінах відносних локальних характеристик. Такі класи мають численні застосування в гармоніч-ному аналізі, теорії квазіконформних відображень, диференціальних рівнянь з частинними похідними та в багатьох інших питаннях.

Актуальність теми. В праці Джона і Ніренберга 1961 р. був започаткований клас BMO функцій з обмеженим середнім коливанням. Основна властивість функції з BMO, яка встановлена Джоном і Ніренбергом, полягає в експоненціальній сумовності цієї функції. В 1971 р. Ч. Фефферман встановив, що BMO є спряженим до Re H1 класом. Цей факт став потужним поштовхом для подальшого вивчення властивостей функцій з обмеженим середнім коливанням та подібних класів функцій. Ч. Фефферман та Стейн в 1972 р. ввели максимальну функцію, яка вимірює середні коливання, та встановили її зв'язок з максимальною функцією Харді - Літтлвуда. Інтерполяційні властивості, що встановлені Беннеттом, Де Вором та Шарплі в 1981 р., надали класу BMO ще більше застосувань в різних питаннях теорії інтерполяції операторів. Наразі класи функцій, що визначаються середніми коливаннями, застосовуються в багатьох розділах аналізу. Вивчення властивостей таких класів є невід'ємною складовою частиною гармонічного аналізу і продовжується в працях багатьох авторів. В дисертації розглядається питання, що пов'язане з основною властивістю функції з BMO - її експоненціальною сумовністю. А саме, в одновимірному випадку знайдена точна стала в показнику експоненти в нерівності Джона - Ніренберга, або, інакше кажучи, встановлений точний показник експоненціальної сумовності функції з обмеженим середнім коливанням. Залежність цієї сталої від вимірності простору вивчалась в працях різних авторів. Через цю сталу можуть бути виражені інші екстремальні властивості функції з BMO. Наприклад, в працях Гарнетта і Джонса саме через цю сталу визначається відстань від BMO до класу істотно обмежених функцій, тобто точна оцінка наближення функції з обмеженим середнім коливанням обмеженою функцією. В дисертації розглянуте також питання про показник експоненціальної сумовності в багатовимірному просторі. Показано, що для функції, середні коливання якої обмежені по всім паралелепіпедам, цей показник залишається таким же, як і в одновимірному випадку. Поведінка різних операторів в BMO має важливе значення, наприклад, в зв'язку з інтерполяційними властивостями цього класу. В дисертації отримані оцінки коливань перетворень типу Харді та перетворення Кальдерона, причому основна увага приділяється оберненим оцінкам, які, як правило, складніші порівняно з прямими.

В праці Гурова 1975 р. при дослідженні квазіконформних відображень був започаткований клас, що визначався співвідношенням між середніми коливаннями функції та її середніми значеннями. Роком пізніше Гуров та Решетняк опубліковали працю, що була присвячена детальному дослідженню цього класу, який надалі став називатись класом Гурова - Решетняка. Основна властивість функції цього класу, що обумовлює його численні застосування, полягає в підвищенні показника сумовності функції. Ця властивість вивчалась в працях Боярського, Іванця, Віка та інших авторів. Але навіть в одновимірному випадку було невідомо чи при всіх значеннях параметра класу Гурова - Решетняка можна підвищити показник сумовності функції. Позитивна відповідь на це запитання наводиться в даній дисертації, причому ця властивість справедлива не лише в одновимірному, а й в багатовимірному просторі. Друге питання, яке залишалось відкритим, полягало в знаходженні точного граничного показника сумовності функції з класу Гурова - Решетняка. Такий граничний показник знайдений в дисертації в одновимірному випадку. Більш того, показано також, що за припущенням умови Гурова - Решетняка по всім паралелепіпедам, граничний показник сумовності функції в багатовимірному просторі такий же самий, як і в одновимірному. Розглянуті також вагові аналоги при мінімальних умовах на міру, які останнім часом знаходять все більше застосувань.

Основу сучасної теорії вагових просторів складають класи Макенхаупта. В праці Макенхаупта 1972 р. було показано, що саме за умови Макенхаупта на вагову функцію максимальний оператор Харді - Літтлвуда обмежений у ваговому просторі. Хант, Макенхаупт та Віден в 1973 р. встановили подібний результат для оператора Гільберта. Надалі в працях різних авторів було показано, що умови типу Макенхаупта є саме тими умовами на вагу, які гарантують обмеженість в вагових просторах багатьох класичних операторів теорії функцій. При цьому доведення базуються, як правило, на основній властивості функції з класу Макенхаупта – самопокращенню показника класу, до якого належить вагова функція. Ця властивість досліджувалась багатьма авторами. Задача знаходження граничного самопокращення показника класу Макенхаупта поставлена Боярським в 1985 р. В праці Геринга 1973 р. при дослідженні властивостей квазіконформних відображень був започаткований клас функцій, що задовольняють обернену нерівність Гельдера, або, як стали потім називати - нерівність Геринга. Пізніше в працях Боярського, Іванця та інших авторів ці класи застосовувались також при дослідженні поведінки розв'язків диференціальних рівнянь в частинних похідних. Як і для класів Макенхаупта, основна властивість функції з класу Геринга, яка спричиняє його численні застосування, полягає в самопокращенні показника. Тісний зв'язок між класами Макенхаупта та Геринга був встановлений в праці Койфмана і Ч. Феффермана 1974 р. А саме, було показано, що кожен клас Макенхаупта міститься в деякому класі Геринга і навпаки, кожен клас Геринга міститься в деякому класі Макенхаупта. Цей зв'язок між класами Геринга та Макенхаупта дає можливість переносити властивості одного класу на інший. Але для встановлення точних властивостей потрібно знати точне співвідношення між класами Макенхаупта та Геринга. В дисертаційній роботі отримані границі самопокращення показників класів Макенхаупта та Геринга, а також встановлена точна залежність між показниками у вкладеннях цих класів один в один в одновимірному випадку. Більш того, отримані точні границі самопокращення показників класів функцій, що задовольняють більш загальну обернену нерівність Гельдера при будь-яких значеннях ненульових параметрів. Показано також, що в анізотропному багатовимірному випадку ці показники залишаються такими ж, як і в одновимірному.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертація виконува-лась на кафедрі математичного аналізу Одеського національного університету ім. І. І. Мечникова та на кафедрі математичного аналізу Київського національного університету імені Тараса Шевченка. Дослідження проводились в рамках науково-дослідної роботи за наступними темами:

- № 0187 002910 ВНДІ Центр "Метричні та апроксимативні властивості функціональних просторів", 1986 - 1995 рр., Одеський національний університет ім. І. І. Мечникова, кафедра математичного аналізу в співробітництві з кафедрою математичного аналізу Сегедського університету (Угорщина);

- № 229 "Теорія наближення функцій та теорія сингулярних операторів зі зсувом", 2001 - 2005 рр., Одеський національний університет ім. І. І. Мечникова, наказ № 550-18 від 26.03.2001;

- № Ф7/329-2001 "Оптимiзацiя нерiвностей в гармонiчному аналiзi та в теорії апроксимації", 2001 - 2006 рр., Державний фонд фундаментальних досліджень (ДФФД) Міністер-

ства освіти і науки України;

- № 03ДФ038 "Формозберiгаюча апроксимацiя, оптимiзацiя нерiвностей в гармонiчному аналiзi та аналiз моделей в механiцi суцiльних середовищ", 2002 - 2003 рр., Київський національний університет імені Тараса Шевченка (в рамках українсько-французької Програми науково-технологічного співробітництва "Днiпро");

- № 108 "Методи теорії функцiй у гармонiчному аналiзi та iнтегральнi оператори зі зсувом", 2006 - 2010 рр., Одеський національний університет ім. І. І. Мечникова, наказ № 3859-11 від 20.12.2005 (номер держреєстрації - 0106U001415).

Ціль та задачі дослідження. Об'єкт дослідження - класи функцій, що визначаються в термінах відносних локальних характеристик. Мова йде про класи функцій з обмеженим середнім коливанням, Гурова - Решетняка, Макенхаупта, Геринга та їх різновидності і узагальнення.

Предмет дослідження - точні співвідношення між названими класами, екстремальні властивості функцій з цих класів. Ціллю дисертаційної роботи є:

- встановлення багатовимірних лем про покриття, які забезпечують можливість знаходити точні оцінки рівновимірних переставлень функцій;

- знаходження точних оцінок рівновимірних переставлень функцій з названих класів;

- знаходження точної швидкості спадання функції розподілу для функції з обмеженим середнім коливанням;

- отримання нових та уточнення відомих оцінок коливань перетворень типу Харді та перетворення Кальдерона;

- вивчення можливості підвищення показника сумовності функції, що задовольняє умову Гурова - Решетняка, при будь-якому значенні параметра класу;

- знаходження точних граничних показників класів Макенхаупта та Геринга, в які вкладений даний клас Гурова - Решетняка;

- вивчення можливості підвищення показника сумовності функції, яка задовольняє аналог умови Гурова - Решетняка в термінах максимальних функцій;

- знаходження точних границь самопокращення показників класів Геринга та Макенхаупта;

- знаходження точних границь самопокращення показників для класів функцій, що задовольняють обернену нерівність Гельдера.

Методи дослідження. Всюди в роботі використовуються методи теорії функцій дійсної змінної, вагових просторів, вкладення функціональних просторів, диференціювання інтегралів, максимальних функцій, рівновимірних переставлень функцій, інтерполяції операторів, мажоризації, опуклих функцій. Задачі, що розглядаються в роботі, зводяться до випадку монотонних функцій за допомогою екстремальних властивостей рівновимірних преставлень. В свою чергу, для встановлення таких екстремальних властивостей переставлень застосовуються так звані леми про покриття.

Наукова новизна отриманих результатів. Основні результати роботи є новими і полягають у наступному.

1. Наведене нове доведення леми Ф. Рісса про сонце, що сходить. Це доведення перенесене на випадок багатовимірних сегментів для будь-якої абсолютно неперервної міри.

2. В анізотропному випадку отримана точна оцінка рівновимірного переставлення функції з обмеженим середнім коливанням. На основі цієї оцінки знайдена точна стала в показнику експоненти в анізотропній нерівності Джона - Ніренберга.

3. Отримані оцінки коливань перетворень типу Харді та перетворення Кальдерона, в більшості випадків непокращувані.

4. Показана можливість підвищення показника сумовності функції, що задовольняє ізотропну умову Гурова - Решетняка, при будь-якому значенні параметра класу та для будь-якої абсолютно неперервної міри. Вивчені властивості функції, яка задовольняє аналог умови Гурова - Решетняка в термінах максимальних функцій.

5. Для функції, що задовольняє анізотропну умову Гурова - Решетняка, отримана точна оцінка рівновимірного переставлення. На основі цієї оцінки знайдені точні граничні по-

казники класів Макенхаупта та Геринга, в які вкладений даний клас Гурова - Решетняка.

6. В одновимірному випадку знайдені точні границі самопокращення показників класів Геринга та Макенхаупта.

7. Знайдені точні границі самопокращення показників для класів функцій, що задовольняють обернену анізотропну нерівність Гельдера у випадку довільної абсолютно неперервної міри.

Всі ці результати не були представленими в кандидатській дисертації здобувача.

Практичне значення отриманих результатів. Робота носить теоретичний характер. Її результати можуть бути використаними в Інституті математики НАН України, в Дніпропетровському, Донецькому, Київському, Львівському, Одеському університетах для подальших досліджень властивостей класів, що розглядаються в даній роботі, в теорії вагових просторів, диференціювання інтегралів, максимальних функцій, рівновимірних переставлень, квазіконформних відображень та при дослідженні поведінки розв'язків диференціальних рівнянь в частинних похідних.

Апробація результатів. Результати роботи доповідались автором більш як на 30 конференціях, школах, конгресах в Києві, Дніпропетровську, Львові, Одесі, Дрогобичі, Рівному, Кам'янці - Подільському, Луцьку, Москві, Саратові, Вороніжі, Тулі, Калузі, Баку, Єревані, Будапешті (Угорщина), Марселі (Франція), Клуж - Напоці (Румунія), Бедлєво (Міжнародний математичний центр ім. С. Банаха, Польща) та на наступних семінарах:

- в Universitб Degli Studi di Napoli Federico II, Dipartimento di Matematica e Applicazioni "Renato Cacciopoli" (Італія) на семінарі під керівництвом К. Сбордоне (Неаполь, 1994);

- в Московському державному університеті на семінарі з теорії функцій під керівниц-твом П. Л. Ульянова та Б. С. Кашина (Москва, 1992, 2001);

- в Московському державному університеті на семінарі з теорії функцій під керівниц-твом П. Л. Ульянова та М. К. Потапова (Москва, 1992);

- в МІАН ім. В. А. Стєклова на семінарі під керівництвом С. Б. Стєчкіна та С. О. Теляковського (Москва, 1992);

- в МІАН ім. В. А. Стєклова на семінарі під керівництвом С. М. Нікольського та О. В. Бєсова (Москва, 1992);

- в Інституті Математики НАН України на семінарі під керівництвом О. І. Степанця та

М. П. Корнєйчука (Київ, 2001, 2006);

- в Інституті Математики НАН України на семінарі під керівництвом Ю. М. Березанського та М. Л. Горбачука (Київ, 2006);

- в Одеському національному університеті на семінарі з теорії функцій кафедри математичного аналізу під керівництвом Е. О. Стороженко (Одеса, 1991, 1994, 1996, 2002, 2004, 2005);

- в Донецькому національному університеті на семінарі кафедри математичного аналізу та теорії функцій під керівництвом Р. М. Тригуба (Донецьк, 2005);

- в Київському національному університеті на семінарі під керівництвом В. М. Коновалова, Г. В. Радзієвського та І. О. Шевчука (Київ, 2001);

- в University of Helsinki, Department of Mathematics and Statistics (Фінляндія) на семінарі з математичного аналізу факультету математики та статистики під керівництвом О. Мартіо та М. Вуорінена (Helsinki, 2005);

- в Дніпропетровському національному університеті на семінарі з теорії функцій під керівництвом В. П. Моторного та В. Ф. Бабенка (Дніпропетровськ, 2006);

- в Львівському національному університеті на семінарі з теорії функцій під керівництвом А. А. Кондратюка та О. Б. Скасківа (Львів, 2006).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в 20 працях [1 – 20] з фахових видань. Опублікована депонована праця [21] та тези доповідей [22 – 40], що були представлені на різних наукових конференціях.

Особистий внесок здобувача. Всі представлені в дисертації результати отримані автором особисто. В трьох працях, що написані в співавторстві, особистий внесок здобувача є наступним:

- в спільній праці [16] здобувачеві належить один з основних технічних результатів –лема 9 та теорема 10, яка випливає з цієї леми;

- в спільній праці [19] здобувачеві належить постановка задачі та доведення частини (і)

основної теореми 1 з цієї праці;

- в спільній праці [20] здобувачеві належить постановка задачі та побудова конструкції, яка застосовується при доведенні основного результату цієї праці.

Структура і обсяг дисертації. Дисертація загальним обсягом 323 сторінки складаєть-ся з вступу, чотирьох розділів, які поділяються на підрозділи, висновків, списка використаних джерел, що містить 144 найменування, та чотирьох додатків, в яких зібрані доведення деяких використаних тверджень.

ОГЛЯД ОСНОВНИХ РЕЗУЛЬТАТІВ РОБОТИ

У вступі обгрунтована актуальність теми дисертації, визначено об'єкт і предмет дослідження, сформульовані ціль і задачі, визначаються методи дослідження, наукова новизна, теоретичне і практичне значення, коментується повнота викладення матеріалу в наукових працях та ступінь його апробації, наведена структура дисертаційної роботи та огляд основних результатів.

Фундамент всієї роботи складає її перший розділ. Він присвячений дослідженню так званих лем про покриття, які надалі є основою для оцінок рівновимірних переставлень функцій. В свою чергу, оцінки рівновимірних переставлень надають можливість описувати властивості функції, з якими пов'язане вивчення того чи іншого кола питань. Ефективність застосування рівновимірних переставлень обумовлена тим, що вони в ряді випадків зберігають властивості оригінальної функції і в той же час мають більш простий вигляд. Для заданої міри dм незростаюче рівновимірне переставлення м-вимірної на множині E функції f може бути означене рівністю

fvм(t)=supм(e)=tinfxєe|f(x)|, 0<t<м(E).

Функція fvм однієї змінної незростаюча на (0,м(E)) і рівновимірна з | f |, тобто функції розподілу | f | і fvм співпадають:

лf(y)=м{x є E: |f(x)|>y}=|{t є [0,|E|]: fvм(t)>y}|, y>0.

Аналогічно означається неспадне рівновимірне переставлення f^м . Важливу роль надалі відіграватимуть наступні функції

fvvм(t)=t-1?0tfvм(u)du, f^^м(t)=t-1?0tf^м(u)du, t>0.

У випадку, коли dм - міра Лебега, індекс м будемо опускати.

Огляд різноманітних лем про покриття та їх застосування в теорії диференціювання інтегралів можна знайти, наприклад, в монографії М. Гусмана. Класичним прикладом леми про покриття є наступна так звана лема про сонце, що сходить.

Лема 1 (Ф. Рісс). Нехай функція f сумовна на інтервалі I?(a,b) і число б??abf(x)dx/(b-a). Позначимо F(x)=?axf(y)dy-б(x-a), x є I. . Тоді множина E таких точок x є I, для яких існує таке y є I, що F(y)>F(x), є об'єднанням не більш, ніж зчисленного набору інтервалів Ik?(ak,bk), що попарно не перетинаються, F(ak)=F(bk), k=1,2,… і f(x)?б для майже всіх xєI\E.

Ця лема відіграє надзвичайно важливу роль в гармонічному аналізі, зокрема, при дослідженні сингулярних інтегралів та максимальних функцій. Огляд застосувань цієї леми та її багатовимірного аналога - леми Кальдерона - Зигмунда – наведений, наприклад, в праці І. Стейна 1998 р. В еквівалентній формі лема Ф. Рісса про сонце, що сходить, може бути представлена наступним чином.

Лема 2 (Клемес). Нехай функція f сумовна на інтервалі I?(a,b) і число б??abf(x)dx/(b-a). Тоді існує не більш, ніж зчисленний набір інтервалів Ik?(ak,bk), що попарно не перетинаються,

?akbkf(x)dx/(bk-ak)=б, k=1,2,…. (1)

і f(x)?б для майже всіх x є I \ (Uk?1(ak,bk)).

Зауважимо, що доведення цих лем опирається на представлення відкритої множини на дійсній осі у вигляді складових інтервалів і не може бути перенесеним на багатовимірний випадок. Багатовимірним аналогом леми Ф. Рісса є

Лема 3 (Кальдерон, Зигмунд). Нехай функція f сумовна на кубі Q0 С Rd і число б??Q0f(x)dx/|Q0|. Тоді знайдеться не більш, ніж зчисленний набір кубів Qj С Q0, j=1,2,…, внутрішності яких попарно не перетинаються, таких, що

б<?Qj|f(x)|dx/|Qj|?2d б, j=1,2,…, (2)

|f(x)|?б для майже всіх x є Q0\(Uj?1Qj). (3)

Для доведення цієї леми використовується техніка моментів зупинки, яка застосову-ється до диадичних кубів. Істотна відмінність леми Кальдерона – Зигмунда від попередньої леми полягає в тому, що замість точної рівності (1) можемо гарантувати лише двохсторонню оцінку (2) середнього значення функції (середнє значення сумовної на множині E додатної лебегової міри | E | функції f позначається через fE=?E|f(x)|dx/|E|). Саме ця відмінність проявляється при оцінках рівновимірних переставлень функцій, що проводяться за допомогою цих лем. Тому є природним бажання поширити лему 2 на багатови-мірний випадок, або, інакше кажучи, вдосконалити доведення леми 3 так, щоб замість двохсторонньої оцінки (2) гарантувати рівність

?Qj|f(x)|dx/|Qj|= б, j=1,2,…, (2)

Але нескладний приклад, який наводиться в першому розділі, показує, що в лемі Кальдерона - Зигмунда не можна гарантувати рівність (4). Суть справи полягає в тому, які саме багатовимірні множини використовуються замість одновимірних інтервалів. Основний результат першого розділу складає модифікація методу техніки моментів зупинки, що застосовувалась при доведенні леми Кальдерона - Зигмунда. А саме, замість детермінованої сукупності диадичних кубів, з яких вибираються куби в лемі 3, на кожному кроці методу техніки моментів зупинки проводиться корегування, яке замість кубів приводить до багатовимірних сегментів (паралелепіпедів), середнє значення функції на яких дорівнює заданому числу б. Така модифікація дала змогу спростити відомі раніше доведення леми 2, а також у визначеному сенсі перенести цю лему на багатовимірний випадок. Достатньо за-

стосувати міркування, подібні до тих, що використовуються при доведенні відомої теореми Лебега про диференціювання інтегралів. Точніше, розглядаючи спеціальний базис, що задовольняє так звану "диадичну" властивість, для відповідної максимальної функції отримана слабка оцінка типу (1 - 1), за допомогою якої встановлене наступне твердження.

Лема 4. Нехай сегмент R0 C Rd, функція f є L(R0) і число б? fR0. Тоді існує сімейство сегментів R j С R0, j=1,2,…, внутрішності яких попарно не перетинаються, таких, що fRj = б, j=1,2,…, і f(x)?б для майже кожної точки x є R0 \ (Uj?1Rj)..

Цю лему також можна вважати одним з основних результатів першого розділу. Цікаво відзначити, що при доведенні цієї леми диференціальний базис, за яким відбувається диференціювання інтегралів, залежить від самої функції. В першому розділі наведений також важливий для застосувань ваговий аналог леми 4, причому для міри припускається лише умова абсолютної неперервності.

В другому підрозділі розглядається інша лема про покриття типу Безиковича. Точніше, в 2000 р. Метью, Маттіла, Ніколау та Оробіг довели ваговий аналог леми Безиковича для міри, що не задовольняє умову подвоєння. Ми наводимо більш просте доведення такого вагового аналогу леми Безиковича і за його допомогою отримуємо відповідну вагову нерівність типу Харді - Літтлвуда - Стейна - Герца, яка використовується в наступних розділах.

Другий розділ дисертації присвячений класам функцій з обмеженими коливаннями. Середнім коливанням сумовної на множині E функції f називається

Щ(f;E)=|E|-1?E|f(x)-fE|dx.

В першому підрозділі вивчаються властивості середніх коливань. Важливу роль для подальших застосувань відіграє наступна лема та її аналог для неспадної функції.

Лема 5. Нехай незростаюча функція ц локально сумовна на [0,+?) . Для t>0 позначимо F(t) = t-1?0tц(u) du. Тоді для будь-якого числа a>1 справедлива нерівність

F(t/a) - F(t) ? (2t)-1?0t|ц(u) - F(t)| du, t > 0. (5)

В правій частині нерівності (5) записане середнє коливання монотонної функції ц. Тому лема 5 дає можливість оцінювати швидкість росту при t>0 функції ц, причому параметр a>1 можна вибирати довільним. Застосовуючи лему 5 з оптимальним параметром a до рівновимірного переставлення функції, далі ми знаходимо точну сталу в нерівності Джона - Ніренберга та точний показник сумовності функції, яка задовольняє умову Гурова - Решетняка. Відзначимо, що різновидності нерівності (5) при фіксованому a>1 раніше застосовувалась іншими авторами для оцінок швидкості росту функції через її коливання. Але лише поєднання точних оцінок коливань рівновимірного переставлення функції з оптимальним вибором параметра a надало можливість отримати точні оцінки швидкості росту функції з відповідного класу.

Далі в першому підрозділі наведені точні співвідношення між деякими різновидами коливань, які бувають корисними в застосуваннях. Встановлені також непокращувані оцінки коливань

Щp(f;E)= {|E|-1?E|f(x)-fE|pdx}1/p, p > 1,

через істотну точну верхню межу функції f.

Наступна дуже корисна властивість, яка встановлена в першому підрозділі, показує, що для обчислення верхньої межі коливань монотонної функції достатньо розглядати лише такі інтервали, один із кінців яких співпадає з кінцем початкового інтервалу, на якому задана функція. При p=1 вона доведена Клемесом в 1985 р.

Властивість 6. Нехай функція f є Lp, 1?p<? , монотонна на відрізку I1?[б1,в1] і відрізок I1?[б,в] C I1 такий, що fI = fI1 . Тоді Щp(f;I) ? Щp(f;I1).

В другому підрозділі наведені деякі еквівалентні означення класу BMO (Bounded Mean Oscillation) функцій з обмеженим середнім коливанням та розглянута низка прикладів, що в багатьох випадках використовуються надалі як контрприклади в різних твердженнях. Говорять, що сумовна на кубі Q0 C Rd функція f має обмежене середнє коливання (f є BMO ? BMO(Q0)), якщо

||f||* ?supQ C Q0Щ(f;Q) < ?, (6)

де точна верхня межа береться по всім кубам Q C Q0. Клас BMO функцій з обмеженим середнім коливанням започаткований в 1961 р. Джоном і Ніренбергом. Наразі цей клас має величезну кількість різноманітних застосувань. Зокрема, як показано в працях Ч. Феф-

фермана і Стейна, він є спряженим до Re H1.

Якщо в означенні BMO-норми (6) точну верхню межу коливань брати не лише по кубам, а по всім багатовимірним сегментам, то отриману норму позначатимемо через ||f||*,R, а відповідний клас через BMOR. Наведений в другому підрозділі приклад показує, що клас BMO істотно ширший, ніж BMOR. Далі, розглянутий започаткований Койфманом і Рохбергом клас BLO (Bounded Lower Oscillation) функцій з обмеженим нижнім коливанням, що складається з усіх таких істотно обмежених знизу функцій f, для яких ||f||BLO ?supQ L(f;Q) < ?, де нижнє коливання L(f;Q) =| Q|-1?Qf(x)dx - ess infx є Q f(x), а точна верхня межа береться по всім кубам Q. Наведений приклад, який показує, що клас BMO істотно ширший, ніж BLO, навіть для істотно обмежених знизу функцій. З іншого боку, для незростаючих на R+ функцій класи BMO і BLO співпадають. Це випливає з наступної теореми, яка доведена в другому підрозділі.

Теорема 7. Нехай локально сумовна функція f не зростає на R+ . Тоді справедлива нерівність 1/2 ||f||BLO ? ||f||*? 2/e ||f||BLO , причому, взагалі кажучи, сталу 1/2 зліва не можна збільшити, а 2/e справа не можна зменшити.

В третьому підрозділі досліджуються оцінки рівновимірного переставлення функції f є BMO. Це оцінки, що мають вигляд

||f v||*?c ||f ||* , (7)

де стала c не залежить від функції f. В одновимірному випадку вони були отримані Гарсіа і Родемічем, а в багатовимірному - Беннетом, Де Вором та Шарплі. Як вже було сказано раніше, за допомогою цих оцінок і леми 5 можна оцінювати швидкість росту при t>0+ рівновимірного переставлення (f – fQ0)v(t) функції з обмеженим середнім коливанням. В працях зазначених та деяких інших авторів для доведення нерівності (7) застосовувалась лема 3 Кальдерона - Зигмунда. Але, принаймні в одновимірному випадку, ця лема неточна і тому її застосування призводили до завищеного значення сталої c в нерівності (7). В праці Клемеса 1985 р. для оцінки рівновимірного переставлення функції з обмеженим середнім коливанням замість леми Кальдерона –Зигмунда була застосована більш точна лема Рісса. Це дало змогу в одновимірному випадку отримати точну оцінку

||f [d]||*? ||f ||* , (8)

де неспадне переставлення f[d], на відміну від fv, рівновимірне з f, а не з | f |. Звідси легко отримати, що || fv ||*? 2 || f ||* але ця нерівність не є точною. Справді, в третьому підрозділі доведена

Теорема 8. Нехай функція f є BMO([a0,b0]). Тоді || fv ||*? || f ||* .

Основу доведення цієї теореми складає наступна нерівність || | f | ||*? || f ||* , яка в одновимірному випадку доведена в третьому підрозділі. Відзначимо, що при d ? 2 точні сталі c’ і c’’ в нерівностях || | f | ||*? c’|| f ||* і || fv ||*? c’’ || f ||* нам невідомі. Якщо ж використовувати встановлений в першому розділі багатовимірний аналог леми Рісса - лему 4, то отримуємо наступне твердження, яке складає один з основних результатів третього підрозділу.

Теорема 9. Нехай функція f є BMOR(R0), де сегмент R0 C Rd. Тоді справедливі наступні нерівності || f [d] ||*? || f ||*,R , || | f | ||*? || f ||*,R , || fv ||*? || f ||*,R .

Четвертий підрозділ присвячений дослідженню фундаментальної в BMO нерівності Джона - Ніренберга. Основна властивість функції f є BMO полягає в тому, що її функція розподілу має експоненціальну швидкість спадання. Точніше, існують такі сталі B і b, які залежать хіба що від вимірності простору d, що для будь-якої функції f є BMO справедлива нерівність Джона – Ніренберга

|{x є Q0 : |f(x) – fQ0|>л}| ? B |Q0| exp (- b л / || f ||*), л > 0. (9)

В термінах рівновимірного переставлення нерівність (9) має такий вигляд

(f – fQ0)v(t) ? (|| f ||*/b) ln (B|Q0|/t), 0<t?|Q0|.

Вона означає, що при прямуванні t>0+ рівновимірне переставлення зростає не швидше, ніж логарифмічна функція.

Різні доведення нерівності Джона - Ніренберга, зокрема, за допомогою оцінок рівнови-мірних переставлень, наводились багатьма авторами. Але відсутність точних оцінок норм рівновимірних переставлень не давала змоги отримати точні значення сталих B і b в цій нерівності. В праці Гарнетта і Джонса, а також в відомій монографії Гарнетта, в термінах найбільшого значення сталої b визначаються деякі характеристики функції f, наприклад, точна оцінка відстані від функції f є BMO до класу істотно обмежених функцій. Тому визначення цієї сталої представляє важливу для застосувань задачу. Основний результат четвертого підрозділу полягає в наступній теоремі.

Теорема 10. Нехай функція f є BMOR(Rd). Тоді для будь-якого сегмента R0 C Rd

|{x є R0 : |f(x) – fR0|>л}| ? B |R0| exp (- (2/e) л / || f ||*,R), л > 0. (10)

де B=exp(1+2/e), а стала 2/e у показнику експоненти, взагалі кажучи, не може бути

збільшена.

Доведення цієї теореми базується на використанні леми 5 та зазначеної вище точної оцінки рівновимірного переставлення функції з обмеженим середнім коливанням (теореми 8). Нерівність (10) представляє собою анізотропну нерівність Джона – Ніренберга з точною сталою в показнику експоненти. Вона відрізняється від нерівності Джона – Нірен-берга (9) тим, що замість || f ||*,R в (9) записана || f ||*. Оскільки в одновимірному випадку

|| f ||*,R = || f ||*, то при d=1 ми отримуємо нерівність Джона – Ніренберга (9) з точною сталою b=2/e. Відзначимо, що точне значення сталої b в показнику експоненти багатовимірної нерівності (9) нам невідоме.

В п'ятому підрозділі вивчаються оцінки коливань перетворення Харді, спряженого перетворення Харді та перетворення Кальдерона, які означаються рівностями

Pf(t)=t-1?0tf(u) du (t?0), P*f(t)=?t+?f(u) du/u (t>0),

та Sf(t)=Pf(t)+P*f(t) (t>0) відповідно. Обмеженість оператора P в Lp при p > 1 є наслідком відомої нерівності Харді

?0+?|Pf(x)|p dx?(p/(p-1))p?0+?|f(x)|p dx,

в якій стала справа точна. Також відома оцінка || Pf ||* ? || f ||*. В п'ятому підрозділі наводиться узагальнення цієї оцінки для норми в класах

BMOp(R) ? {f: || f ||*,p ? supI C RЩp(f;I)<?}, 1?p<?,

і в BLO. А саме, справедлива

Теорема 11. При 1? p < ? справедливі нерівності || Pf ||*,p ? || f ||*,p, || Pf ||BLO ? || f ||BLO , причому множник 1 справа в обох нерівностях не можна зменшити.

Легко бачити, що обернені оцінки, взагалі кажучи, не мають місця. Якщо ж додатково припустити, що функція f не зростає на R+, то, як показав Jie Xiao в 2000 р., нерівність

|| Pf ||* ? c || f ||* (11)

справедлива при c=1/17. Ми доводимо наступне уточнення цієї нерівності.

Теорема 12. Нехай 1? p < ? і функція f не зростає на R+. Тоді справедливі нерівності || Pf ||*,p ? || f ||*.p ? 2/(3 - v7) || Pf ||*,p, 1/e || f ||BLO ? || P f ||BLO ? || f ||BLO ,

причому сталі в останній подвійній нерівності точні.

Далі ми уточнюємо першу нерівність в цій теоремі при p=1, тобто сталу в правій частині нерівності (11). Найбільше значення c* сталої c в (11) знайти не вдалось. Для неї отримана лише наступна оцінка eб0/4 ? c* ? б0, де б0 = || Pf0 ||* ? 0.52, f0(x) = ч[0,1](x), чE – характеристична функція множини E.

Оператори P* і S, на відміну від P, не обмежені в BMO. Але справедлива

Теорема 13. Нехай невід'ємна, локально сумовна на R+ функція f така, що збігається інтеграл ?1+?f(x) dx/x . Тоді справедливі співвідношення

||P*f ||BLO = ||Pf ||? , || Sf ||BLO ? || P(Pf) ||? ,

1/2 ||P*f ||? ? ||P*f ||* ? 2/e ||Pf ||? , 1/2 ||P(Pf) ||? ? || Sf ||* ? 2/e || P(Pf) ||? .

При цьому всі сталі в нерівностях точні, за виключенням, хіба що, сталої 1/2 зліва в останній нерівності. Нам невідомо чи можна збільшити цю сталу. Якщо ж додатково припустити, що функція f не зростає на R+, то отримаємо таку рівність

||P*f ||* = || Sf ||* = 2/e || f ||? .

В третьому розділі розглядається клас GR ? GR(е) невід'ємних на кубі Q0 C Rd функцій f, що задовольняють умову Гурова – Решетняка

Щ(f;Q) ? е fQ , Q C Q0 , (12)

в якій стала 0 < е < 2 не залежить від куба Q. Зрозуміло, що умову (12) при е = 2 задовольняє будь-яка невід'ємна функція f. Тому умова (12) є змістовною лише при е < 2 . Фундаментальна властивість функції f, яка задовольняє умову Гурова - Решетняка (12) при малих е, полягає в тому, що f сумовна в деякому степені p > 1. Саме ця властивість і обумовлює численні застосування класу Гурова - Решетняка в теорії квазіконформних відображень, диференціальних рівнянь в частинних похідних тощо. Згадана властивість класу GR вперше була відзначена в праці Гурова 1975 р., а перше детальне дослідження цієї властивості проведене в праці Гурова та Решетняка 1976 р. Щодо застосувань, в першу чергу слід відзначити праці Гурова, Іванця та Боярського, а також подальші праці інших авторів. Різні доведення, узагальнення та уточнення цієї властивості згодом були отримані в працях Боярського, Франціозі, Мілмана, Віка та ін.

В дисертаційній роботі вивчається така характеристика функції f

н (f;у) ? supl(Q)?уЩ(f;Q)/ fQ, 0<у? l(Q0),

де верхня межа береться по всім кубам Q C Q0, довжина сторони l(Q) яких не перевищує у. Деякі властивості функції f, виражені в термінах н(f;у), розглядались також в працях Франціозі. Один з основних результатів першого підрозділу полягає в наступній оцінці рівновимірного переставлення.

Теорема 14. Нехай куб Q0 C Rd, невід'ємна функція f є L(Q0). Тоді

t-1?0t| fv(u) - fvv(t) | du ? 3·2d н(f;2t1/d) fvv(t) , 0<t? 2-d| Q0|.

З цієї нерівності випливає наступна оцінка швидкості росту рівновимірного переставлення функції f через н(f;у).

Теорема 15. Існують такі сталі c1=c1(d) і c2=c2(d) , що для будь-якого куба Q0 C Rd і для будь-якої невід'ємної функції f є L(Q0) справедлива нерівність

fvv(t) ? c1 fQ0 exp (c2?t1/dl(Q0) н(f;у)dу/у), 0<t?|Q0|. (13)

Звідси, як простий наслідок, випливає згадувана вище основна властивість функції, що задовольняє умову Гурова – Решетняка (12) при достатньо малому е.

Наслідок 16 (теорема Гурова – Решетняка). Для будь-якого е, 0 < е < е0(d) ? d/c2 , знайдеться таке p0 ? p0(е,d) > 1 , що умова (12) тягне приналежність функції f до класу Lp(Q0) при будь-якому p < p0.

Як вже відзначалось, раніше справедливість теореми Гурова - Решетняка (наслідку 16) була встановлена лише для достатньо малих е. В той же час сама умова (12) нетривіальна при будь-якому е < 2. В зв'язку з цим виникає природне питанння: при яких е < 2 умова (12) гарантує можливість підвищення показника сумовності функції f ? Відповідь на це питання дозволяє дати наступна теорема, яка також складає один з основних результатів третього розділу.

Теорема 17. Нехай невід'ємна на кубі Q0 C Rd функція f є L(Q0). Тоді

(i) якщо при деякому е, 0 < е < 2 , функція f задовольняє умову Гурова – Решетняка (12), то знайдуться такі у і и, 0 < у ,и < 1, що залежать лише від е, для яких

|{x є Q : f(x) > у fQ}| > и |Q|, Q C Q0; (14)

(ii) якщо при деяких у і и, 0 < у ,и < 1, функція f задовольняє умову (14), то

Щ(f;Q) ? 2(1- уи)fQ, Q C Q0 .

Умова (14) є однією з декількох відомих різновидностей так званої A?-умови Макенхаупта. Але відома теорема Койфмана – Феффермана стверджує, що з A?-умови (14) випливає нерівність

{|Q|-1?Q f 1+r(x) dx}1/(1+r) ? c |Q|-1 ?Q f(x) dx, Q C Q0 , (15)

при деякому r ? r(у,и,d)>0, де c=c(у,и,d,r). Отже, це й означає, що при будь-якому е < 2 умова Гурова - Решетняка гарантує підвищення показника сумовності функції f.

Нерівність (15) називається нерівністю Геринга, або оберненою нерівністю Гельдера. Клас G1+r ? G1+r(c) функцій, які задовольняють умову (15), був вперше досліджений в праці Геринга 1973 р. До нього ми повернемося пізніше. Поки що лише відзначимо, що в першомі підрозділі