МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
ОДЕСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
ім. І. І. МЕЧНИКОВА
КЕРЕКЕША Денис Петрович
УДК 517.9
МЕТОД СПРЯЖЕННЯ АНАЛІТИЧНИХ ФУНКЦІЙ
В ТЕОРІЇ ІНТЕГРО-ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ З МАЙЖЕ РІЗНИЦЕВИМИ ЯДРАМИ
01.01.02 диференціальні рівняння
АВТОРЕФЕРАТ
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук
Одеса - 2006
Дисертацією є рукопис
Роботу виконано на кафедрі теорії ймовірностей та математичної статистики Київського національного університету імені Тараса Шевченка.
Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук,
чл.-кор. НАН України, професор
ЯДРЕНКО Михайло Йосипович,
Київський національний університет
імені Тараса Шевченка.
Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор
ЧЕРСЬКИЙ Юрій Йосипович,
Одеська державна академія будівництва і архітектури,
професор кафедри вищої математики;
доктор фізико-математичних наук, професор
НЯГА Василь Гнатович,
Державний університет Молдови,
професор кафедри математичного аналізу і
диференціальних рівнянь.
Провідна установа: Національний технічний університет України “ КПІ”,
м. Київ.
Захист відбудеться “ 26 ” січня 2007 р. о 15годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К41.051.05 при Одеському національному університеті ім. І.І. Мечникова за адресою: 65082, м. Одеса, вул. Дворянська, 2, ауд. 73.
З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Одеського національного університету ім. І.І. Мечникова (65082, м. Одеса, вул. Преображенська, 24).
Автореферат розісланий “ 21 ” грудня 2006 р.
Учений секретар
спеціалізованої вченої ради Кореновський А.О.
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. Інтегральні рівняння типу згортки є математичними моделями різних процесів та явищ у природі. Тому дослідження і побудова розв’язків відповідних інтегральних рівнянь є актуальною проблемою. Вона набуває ще більшої актуальності, якщо в якості досліджень розробляються методи розв’язання нових інтегральних та інтегро-диференціальних рівнянь типу згортки в квадратурах. Саме такі інтегральні рівняння і розглядаються в даній дисертаційній роботі. Основним напрямом дослідження є конструктивна побудова розв’язків деяких інтегральних та інтегро-диференціальних рівнянь типу згортки зі змінними коефіцієнтами. Їх дослідження пов’язане з тим, що згадані інтегральні рівняння більш адекватно моделюють процеси та явища. Прагнення дослідників максимально вдосконалити прикладну теорію приводять до ускладнення математичних моделей. Ця тенденція проглядається, наприклад, в теорії пружності, в економіці, зокрема, в теорії ризику.
Найбільш вживані сучасні математичні моделі пов’язані з інтегральними рівняннями типу згортки зі змінними коефіцієнтами. Для розвинення теорії вказаних інтегральних рівнянь застосування перетворення Лапласа або Фур’є вже недостатньо. Виникла проблема розширити математичний апарат, який зміг би подолати труднощі дослідження інтегральних рівнянь вказаного вище типу. Такий математичний апарат знайшовся, це метод спряження аналітичних функцій, який, як буде сказано нижче, треба розуміти дещо ширше.
Термін “спряження” у теорії аналітичних функцій був введений М. І. Мусхелішвілі. Метод розв’язання крайових задач за допомогою спряження аналітичних функцій називається методом спряження. При цьому спряження здійснюється лінійним чином і через межу області. Таку задачу спряження ще називають задачею Рімана.
В даній роботі термін “спряження” і сам метод розуміється ширше, ніж задача Рімана. Під спряженням аналітичних функцій ми будемо розуміти і такі задачі лінійного спряження, в яких, по-перше, спряження аналітичних функцій здійснюється через межу області, але вільний член задачі містить функціонал, заданий на просторі розв’язків; по-друге, спряження аналітичних функцій здійснюється через смугу (задача Карлемана для смуги); по-третє, спряження аналітичних функцій здійснюється на будь-якій прямій, яка знаходиться у верхній півплощині (площинна зaдача, або задача Карлемана для смуги з аналітичним продовженням у верхню півплощину).
Розглянуті задачі спряження пов’язані з конкретними інтегральними рівняннями та інтегро-диференціальними рівняннями з майже різницевими ядрами. При розв’язанні таких рівнянь запропонований метод спряження в багатьох випадках є ефективним. При цьому метод має конструктивний характер, який дозволяє вказати алгоритм побудови точних розв’язків.
Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана на кафедрі ймовірностей та математичної статистики Київського національного університету імені Тараса Шевченка в рамках держбюджетної дослідницької теми № БФ03806 “Розвиток теорії випадкових полів та динамічних систем на алгебраїчних структурах”, яка входить до програми “Побудова та застосування математичних методів дослідження детермінованих та стохастичних еволюційних систем” (номер державної реєстрації 0101U002472).
Мета і задачі дослідження. Мета дисертаційної роботи – розширення класів інтегро-диференціальних (інтегральних) рівнянь, які розв’язуються за допомогою перетворення Фур'є.
Об’єкт дослідження – інтегро-диференціальні рівняння з майже різницевими ядрами вигляду:
R,
у яких обмежені вимірні функції, які прямують до скінченних границь при ; і лінійні диференціальні оператори зі сталими коефіцієнтами. При цьому ядра і вільний член рівняння задані в достатньо широких просторах функцій.
Предмет дослідження – побудова у квадратурах інтегро-диференціальних рівнянь з майже різницевими ядрами при визначених змінних коефіцієнтах.
Методи дослідження. Для досягнення вказаної мети дослідження застосовується добре апробований метод інтегрального перетворення Фур'є і метод спряження аналітичних функцій, який, як вказано у вступі, розуміється дещо ширше, ніж класичний метод лінійного спряження аналітичних функцій.
Наукова новизна одержаних результатів. У дисертації вперше отримані такі результати:
- побудовано розв’язок у просторі узагальнених функцій однорідної задачі Рімана для півплощини в особливому випадку;
- доведені теореми існування та єдиності розв’язку і теореми про асимптотичну поведінку розв’язків задачі Карлемана для смуги з паралельними зсувами в область;
- отримано інтегральне зображення в смузі, яке може бути продовжено у верхню півплощину;
- запропоновано загальний підхід до побудови розв’язків деяких класів інтегральних та інтегро-диференціальних рівнянь з майже різницевими ядрами;
- запропоновано удосконалений підхід конструктивної побудови інтегральних та інтегро-диференціальних рівнянь узагальненої теорії ризику.
Наведені досягнення суттєво доповнюють результати, які отримані в роботах М. К. Карапетянца , О. І. Песчанського, С. Г. Самко, Ю. Й. Черського, В. В. Шевчика.
Практичне значення отриманих результатів. Дисертаційна робота носить теоретичний характер. Теоретична цінність результатів полягає у розробці нових і вдосконаленні відомих математичних методів, які призначені для конструктивного розв’язування інтегро-диференціальних (інтегральних) рівнянь з майже різницевими ядрами. Щодо практичного значення отриманих результатів, то вони можуть бути використані в багатьох прикладних задачах, зокрема в теорії пружності та в теорії ризику.
Результати дисертації можуть також бути використані для подальшого розвинення методів розв’язання інтегро-диференціальних (інтегральних) рівнянь з майже різницевими ядрами.
Особистий внесок здобувача. Всі результати, що виносяться на захист, отримано автором самостійно. У сумісних роботах співавтору належать постановка задач і аналіз отриманих результатів.
Апробація результатів дисертації. Результати роботи та її основні положення доповідались на: 2, 4, 7 та 8-й Міжнародних школах з математичних і статистичних методів в економіці, фінансах та страхуванні (Київ, 10-12 травня 1999 р.; Вестерос (Швеція), 24-29 січня 2001 р.; Ласпі (Крим), 8-13 вересня 2003 р.; Ласпі (Крим), 20-27 червня 2004 р.); на Міжнародній конференції “Диференціальні та інтегральні рівняння” (Одеса, 12-14 вересня 2000 р.); на 10-й Міжнародній науковій конференції імені акад. М. Кравчука (Київ, 12-14 травня 2004 р.); на Міжнародній конференції “Интегральные уравнения и их применения” (Одеса, 29 червня-4 липня 2005 р.).
В повному обсязі дисертаційна робота доповідалась і обговорювалась на семінарі “Крайові задачі теорії аналітичних функцій та застосування” під керівництвом доктора фізико-математичних наук, професора Ю. Й. Черського, на розширеному семінарі кафедри диференціальних рівнянь Одеського національного університету під керівництвом доктора фізико-математичних наук, професора В. М. Євтухова, на кафедральному семінарі Київського національного університету імені Тараса Шевченка під керівництвом доктора фізико-математичних наук, чл.-кор. НАН України, професора М. О. Перестюка.
Публікації. Основні результати дисертації опубліковано у 6 статтях в наукових фахових виданнях з переліку ВАК України, 1 – у збірнику наукових праць, а також у 5 тезах доповідей на міжнародних наукових конференціях і математичних школах.
Структура і обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, п’яти розділів, розбитих на 25 підрозділів, висновків і списку використаних джерел, що містить 77 найменувань. Повний обсяг роботи складає 144 сторінки.
З глибоким почуттям вдячності згадую доктора фізико-математичних наук, чл.-кор. НАН України, професора Ядренка Михайла Йосиповича.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
У вступі дисертації розкрито сутність наукової проблеми, обґрунтовано актуальність тематики дисертації, сформульовано мету і напрямки досліджень.
У першому розділі окреслено основні етапи розвитку наукових досліджень за тематикою дисертації, вказано вибір напрямків і викладено загальну методику досліджень.
У підрозділах 2.1, 2.3 і пунктах 2.2.1, 2.2.2 другого розділу наводяться основи методу. У пункті 2.2.3 проведено дослідження особливої задачі Рімана у класі узагальнених функцій. У підрозділі 2.4 розглядається задача Карлемана вигляду:
, (1)
де
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; ; 5) .
Тут – неперервні функції на всій дійсній осі; вільний член .
У роботі Ю. Й. Черського (Нормально разрешимое уравнение плавного перехода // ДАН СССР. 1970.-190, № 1. С. 57-60) задача Карлемана (1) розв’язана у квадратурах лише за умови, що і , R. У загальному випадку поки не існує побудови точного розв’язку задачі (2.4.1). У зв’язку з цим виникли питання існування, єдиності, асимптотичної поведінки розв’язку рівняння (1) та його нормальної розв’язності.
При вирішенні вказаних вище питань отримані нові результати, які оформлені у вигляді теорем 2.4.1- 2.4.7.
У підрозділі 2.5 досліджується задача Карлемана для смуги з аналітичним продовженням у верхню півплощину. Ця задача полягає у наступному: треба знайти аналітичну функціюу півплощині за умовою:
,,C, (2)
де ,? задані функції, які задовольняють умови:
, . (3)
Тут і далі для зручності символом позначено двохпараметричний простір Харді (функція належить до двохпараметричного простору Харді, якщо вона аналітична у півплощині і .
У пункті 2.5.1 детально розглянуто окремий випадок задачі (2), (3), а саме:
. (4)
Тоді задача (2), (3) набуде вигляду:
, , . (5)
Тут відома функція належить простору , а невідома функція шукається також у просторі .
У залежності від значень параметрів та розв'язок задачі (5) буде мати різний вигляд, а саме:
1) . Тоді
. (6)
2) . Тоді
. (7)
3) ; 3a) ; 3б) . (8)
У відповідності до обмежень 3a) та 3б) справедливі такі формули:
, (9)
(10)
де довільна стала. При цьому структура (9) розв'язку задачі (2), (3) відповідає випадку 3а, а структура (10) розв'язку задачі (2), (3) відповідає випадку 3б. В останньому випадку враховано і те, що однорідне рівняння має нетривіальний розв'язок: .
Теорема 2.5.3. Нехай виконуються умови (4). Тоді задача (2), (3) розв'язна і її розв'язок будується за формулами (6), (7), (9), (10) у відповідності до додаткових умов, які обумовлені випадками 1) - 3). У випадках 1) -2) і підвипадку 3а) однорідне рівняння має тривіальний розв'язок, а у підвипадку 3б) має один лінійно незалежний розв'язок.
Теорема 2.5.4. Нехай функція задовольняє такі умови: , . Тоді функцію можна зобразити так:
,
де довільна додатна стала, а . При цьому
. (11)
Теорема 2.5.6. Нехай функція задовольняє умови теореми 2.5.4. Тоді при неоднорідне рівняння
при будь-якій функції має єдиний розв'язок у просторі . Цей розв'язок має вигляд:
, де
, а функція визначається за формулою (11).
У розділі ІІІ досліджуються інтегральні рівняння з майже різницевими ядрами. У підрозділі 3.1 введено деякі поняття, на основі яких сформульовано і доведено два твердження.
Введемо оператор
.
Тут оператори у просторі діють так: , де
характеристична функція множини . Припустимо також, що множини вимірні за Лебегом , ,.
Очевидно, що лінійний і обмежений оператор, причому він діє із простору в простір .
Теорема 3.1.1. Якщо оператор оборотний в , то розв’язок операторного рівняння
можна одержати у просторі у такий спосіб:
,
де функція будується за наступною рекурентною формулою:
;.
Теорема 3.1.2. Нехай лінійний оборотний оператор, де , лінійний оборотний оператор; лінійний оборотний оператор, причому має наступну властивість: якщо , , то . Тоді, якщо є розв’язок операторного рівняння
,
то він має таку властивість: , де будується за наступною рекурентною формулою:
, .
У підрозділі 3.2 наводяться відомості, які пов’язані з індексом операторів для інтегральних рівнянь з майже різницевими ядрами.
У підрозділі 3.3 розглянуто інтегральне рівняння типу згортки на дійсній осі з кусково-сталими коефіцієнтами. Воно має такий вигляд:
(12)
де , , , вимірні за Лебегом множини, ; задані функції , належать простору a функція відповідно належить . Невідома функція шукається у просторі .
Доведено, що при додатковій умові рівняння (12) має єдиний розв’язок, який на підставі теореми 3.1.1 побудовано конструктивно.
У підрозділі 3.4 розглянуто рівняння типу згортки зі змінною границею інтегрування на скінченному проміжку. Воно має вигляд
, (13)
де R; задані функції , відповідно належать просторам (простір функцій вигляду , де функція , а множина R+ є вимірною за Лебегом). Невідома функція шукається у просторі .
Теорема 3.4.1. Нехай задані функції , відповідно належать просторам . Тоді у просторі рівняння (13) має єдиний розв’язок , що будується за формулою:
.
У підрозділі 3.5 розглянуто інтегральне рівняння Вольтерра типу згортки на інтервалі з кусково-сталими коефіцієнтами. Воно має такий вигляд:
, , (14)
де , вимірні за Лебегом множини, ; задані функції , належать простору a функція належить . Невідома функція шукається у просторі , (, якщо ).
Показано, що згідно з теоремою 3.1.1 розв’язок рівняння (14) можна знайти у просторі так:
,
де функція визначається за наступною рекурентною формулою:
; .
Тут
,
а оператори мають такі форми:
, .
У підрозділі 3.6 одержано точний розв’язок інтегрального рівняння Вольтерра типу згортки на інтервалі з двома ядрами вигляду:
.
Тут , ; відомі функції, що належать простору ; відома функція, що належить простору . Невідома функція шукається у просторі , .
У підрозділі 3.7 розглянуто інтегральне рівняння Вольтерра типу згортки
на інтервалі з двома ядрами й коефіцієнтом, що містить експоненту. Конкретний вигляд розглянутого рівняння такий:
. (15)
Тут , , ; відомі функції, що належать простору ; відома функція, що належить простору , . Невідома функція шукається у просторі , .
За допомогою інтегрального перетворення Фур’є і завдяки результатам підрозділу 2.5 одержано точний розв’язок рівняння (15).
Підрозділ 3.8 присвячено дослідженню інтегрального рівняння Вольтерра типу згортки на інтервалі з (n+2) ядрами вигляду
(16)
Тут , , – відомі функції, що належать простору ; функції , також відомі, вони належать простору , ; задана функція, що належить простору , ; – обмежені вимірні функції, які прямують до нуля при ; , (, ); Функції задовольняють умови: при . Невідома функція шукається у просторі .
Рівняння (16) зобразимо у вигляді операторного рівняння
,
де
,
З обмежень, які мають місце для рівняння (16), видно, що воно задовольняє умови теореми 3.1.2. Це означає, що розв’язок рівняння (16) має при такий вигляд:
,,
де обернений оператор визначається відповідно у підрозділах 3.6, 3.7 (у залежності від структури функції ).
Предметом дослідження у підрозділі 3.9 є інтегральне рівняння Вольтерра типу згортки на інтервалі з 3m ядрами вигляду
, , (17)
де обмежені вимірні функції, які прямують до нуля при , вимірні за Лебегом множини (, ); , , , , , , відомі функції, що належать простору , ; відома функція, що належить простору . Також відомо, що функції задовольняють умови: , , при . Невідома функція шукається у просторі , .
Конструктивне розв’язання рівняння (17) базується на результатах попередніх підрозділів. При цьому його розв’язок можна зобразити у формі
,
де
.
При цьому обернені оператори будуються у відповідності до результатів підрозділів 3.6, 3.7.
У підрозділі 3.10 розглянуто інтегральне рівняння вигляду:
, (18)
де відомі функції, що належать простору ; відома функція, що належить простору ; , , неперервні зростаючі функції на півінтервалі , . Невідома функція шукається у просторі .
Показано, що рівняння (18) еквівалентне задачі Рімана для півплощини у просторі . Детально досліджено два випадки (нормальний і особливий).
У розділі 4 вивчено деякі інтегро-диференціальні рівняння з майже різницевими ядрами. Зокрема, у підрозділі 4.1 розглянуто інтегро-диференціальне рівняння вигляду:
,
, (19)
де , , відома функція, що належить простору , ядра , належать простору . Невідома функція шукається у просторі
Для рівняння (19) запропоновано новий спосіб його розв’язування.
У підрозділі 4.2 розглянуто інтегро-диференціальне рівняння
, (20)
де , , відома функція, що належить простору ; ядра , належать просторам , . Невідома функція шукається у просторі функцій, які мають такі властивості .
Рівняння (20) зводиться до задачі Рімана, яка досліджується у двох випадках (нормальному та особливому).
У підрозділі 4.3 розглянуто інтегро-диференціальне рівняння повільного переходу з 2n ядрами вигляду:
(21)
R,, , , , відомі функції, що належать простору , відома функція, яка належить простору . Невідома функція шукається у просторі .
Відзначимо, що рівняння (21) узагальнює рівняння повільного переходу, введеного Ю. Й. Черським. Воно за допомогою інтегрального перетворення Фур'є зводиться до еквівалентної в сенсі розв’язності задачі Карлемана для смуги. Згідно з результатами підрозділу 2.3 вона розв’язана у квадратурах. Цей факт дозволив розв’язати рівняння (21) також у квадратурах.
Підрозділ 4.4 присвячено дослідженню інтегро-диференціального рівняння повільного переходу з 2n різницевими ядрами вольтеррівського типу. Воно має такий вигляд:
(22)
Тут , ; відомі функції , невідома функція шукається у просторі функцій, які мають такі властивості .
Показано, що рівняння (22) еквівалентно в сенсі розв’язності навантаженій” задачі Карлемана для смуги з аналітичним продовженням у верхню півплощину .
Термін “навантаженість” використосовується для того, щоб підкреслити, що у відповідній задачі Карлемана вільний член містить в собі довільних параметрів Незважаючи на додаткові труднощі “навантажена” задача Карлемана розв’язана у квадратурах, що дозволило отримати точно розв’язок рівняння (22).
У підрозділі 4.5 розглянуто інтегро-диференціальне рівняння із запізнюванням (див. Азбелев Н. В., Максимов В. П., Рахматуллина Л. Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений.М.: Наука, 1991. 280 с.) вигляду:
(23)
з початковою умовою , де – обмежені вимірні функції, які прямують до скінченних границь при . , R, , , відома функція, що належить простору . Невідома функція шукається у просторі абсолютно неперервних функцій на кожному скінченному проміжку , .
В цьому пункті виділені випадки одержання розв’язку рівняння (23) у квадратурах.
Застосувань теорії інтегральних та інтегро-диференціальних рівнянь з майже різницевими ядрами дуже багато (в теорії пружності, економіці, теорії ризику і таке інше). У розділі 5 дисертації ми обмежилися рівняннями узагальненої теорії ризику й методами їхнього розв’язування, які базуються на результатах розділів 2-4.
У підрозділі 5.1 ставиться така задача теорії ризику: нехай початковий капітал страхової компанії; послідовність моментів і розмірів виплат відповідно; число страхових виплат за проміжок часу . Визначимо процес ризику , рівнянням балансу ,
де послідовність незалежних однаково розподілених випадкових величин з функцією розподілу . При цьому в даній моделі передбачається, що випадкові величини також незалежні, однаково розподілені величини з функцією розподілу , .
Передбачається також, що два набори випадкових величин і взаємно незалежні; і також взаємно незалежні.
Ймовірність небанкрутства страхової компанії визначається так:
.
У пункті 5.1.1 запропоновано метод розв’язування поставленої задачі ризику шляхом зведення її до задачі Рімана в особливому випадку. На підставі результатів п. 2.2.3 отримано точний розв’язок першої задачі ризику.
Запропонований метод розв’язування ілюструється прикладами, розв’язки яких у частинних випадках співпадають з відомими результатами.
У підрозділі 5.2 досліджується більш складна задача ризику в порівнянні з першою. Показано, що вона зводиться до інтегро-диференціального рівняння з майже різницевими ядрами. Точні розв’язки отримано у 5 випадках.
У підрозділі 5.3 узагальнюється задача підрозділу 5.1 в сенсі врахування розмірів виплат. Задача цього розділу зводиться до інтегрального рівняння з різницевими і сумарними ядрами. В свою чергу відповідне рівняння зведено до особливої задачі Рімана, розв’язок якої отримано у квадратурах.
З метою застосування на практиці розробленого методу розв’язування задач теорії ризику в підрозділі 5.4, як приклад, побудовано наближений розв’язок окремої задачі теорії ризику.
ВИСНОВКИ
Дисертаційна робота присвячена розширенню класів інтегральних рівнянь, які за допомогою перетворення Фур'є розв'язуються в замкненій формі.
Характерною відмінністю результатів дисертаційної роботи є те, що вони отримані єдиним методом методом спряження аналітичних функцій, який вдосконалено у роботі. Завдяки цьому у дисертації отримані нові результати, які суттєво розширюють основи теорії інтегральних рівнянь, як з теоретичної, так і практичної точок зору в якості застосувань.
Головними новими результатами дисертації є наступні:
- побудовано розв’язок у просторі узагальнених функцій однорідної задачі Рімана для півплощини в особливому випадку;
- доведені теореми існування та єдиності розв’язку і теореми про асимптотичну поведінку розв’язків задачі Карлемана для смуги з паралельними зсувами в область;
- отримано інтегральне зображення в смузі, яке може бути продовжено у верхню півплощину;
- запропоновано загальний підхід до побудови розв’язків деяких класів інтегральних та інтегро-диференціальних рівнянь з майже різницевими ядрами;
- запропоновано удосконалений підхід конструктивної побудови інтегральних та інтегро-диференціальних рівнянь узагальненої теорії ризику.
ПУБЛІКАЦІЇ
1. Kerekesha D. Some generalization of the ruin probability problem in the classical risk theory // Theory of Stochastic Processes.2001.Vol.7 (23), №.1-2.P. 189195.
2. Керекеша Д. П. Точний розв'язок рівняння ризику з кусково неперервною функцією поточного резерву спеціальної структури // Вісник Київського університету. Cерія: фізико-математичні науки. 2003. Вип.5 С. 3139.
3. Керекеша Д. П., Керекеша П.В. Наближений розв'язок рівняння теорії ризику з преміями, які залежать від резервного фонду // Доповіді НАН України. 2002. № 9 С. 23-31.
4. Керекеша Д. П., Керекеша П.В. Симетрична задача Карлемана для смуги з паралельними зсувами в область // Вісник Київського університету. Cерія: фізико-математичні науки. 2002. № 5. С .5463.
5. Kerekesha D. About the method of solving the equation of risk with exponential coefficients // Theory of Stochastic Processes.2004. Vol.10 (26), №.1.P. 4447.
6. Керекеша Д.П. Точний розв’язок рівняння ризику з кусково-сталою функцією поточного резерву // Теорія ймовірностей та математична статистика. 2003. № 69. С. 5762.
7. Керекеша Д. П. До теорії задачі Карлемана для смуги з аналітичним продовженням у верхню півплощину // Крайові задачі для диференціальних рівнянь: Зб. наук.пр. Чернівці: Прут, 2005. Вип.12. С. 129136.
8. Керекеша Д. П. Об одном интегро-дифференциальном уравнении классической теории риска // Second school on actuaral and financial mathematics. –Kyiv.1999.C.11.
9. Керекеша Д. П. Задача Карлемана для полосы с параллельными сдвигами во внутрь // Міжнародна конференція Диференціальні та інтегральні рівняння. Тези доповідей. Одеса. 2000. С. 124125.
10. Керекеша Д.П. Метод спряження аналітичних функцій в узагальненій теорії ризику // X Міжнародна наукова конференція ім. академіка М. Кравчука. Тези доповідей. Київ. 2004. С.601.
11. Kerekesha D. About the method of solving the equation of risk with exponential coefficients // Proceeding of the Seventh International School on Mathematical and Statistical Methods in Economics; Finance and Insurance.- Crimea, Ukraine. 2003. С.19.
12. Керекеша Д. П. Точные решения некоторых классов интегральных уравнений с почти разностными ядрами // Міжнародна конференція Интегральные уравнения и их применения. Тези доповідей. Одеса. 2005. С.59.
АНОТАЦІЇ
Керекеша Д. П. Метод спряження аналітичних функцій в теорії інтегро-диференціальних рівнянь з майже різницевими ядрами. Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння. Одеський національний університет ім. І. І. Мечникова, Одеса, 2006.
В дисертації удосконалено відомі та розроблено нові математичні методи для розв’язання крайових задач теорії аналітичних функцій, що дозволило розширити клас інтегральних рівнянь типу згортки зі змінними коефіцієнтами, які ефективно розв’язуються за допомогою перетворення Фур’є у квадратурах. В залежності від структури змінних коефіцієнтів досліджуване інтегральне рівняння шляхом перетворення Фур’є зводиться відповідно до крайових задач теорії аналітичних функцій: до задачі Рімана на дійсній осі, до задачі Карлемана для смуги, до площинної задачі Карлемана.
Досліджувані інтегральні рівняння розглянуто на дійсній осі, і на вимірних за Лебегом множинах дійсної осі. Розв’язки розглянутих рівнянь шукаються в достатньо широких просторах функцій, включаючи простори узагальнених функцій.
В якості застосування запропоновано метод розв’язування трьох задач узагальненої теорії ризику.
Ключові слова: перетворення Фур’є, крайові задачі, інтегральні рівняння, узагальнені функції, теорія ризику.
Керекеша Д. П. Метод сопряжения аналитических функций в теории интегро-дифференциальных уравнений с почти разностными ядрами. Рукопись.
Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 дифференциальные уравнения. Одесский национальный университет им. И. И. Мечникова, Одесса, 2006.
В диссертации усовершенствованы известные и разработаны новые математические методы для решения краевых задач теории аналитических функций, которые позволили расширить класс интегральных уравнений типа свертки с переменными коэффициентами, эффективно решаемых при помощи преобразования Фурье.
В зависимости от структуры переменных коэффициентов исследуемое интегральное уравнение путем преобразования Фурье сводится соответственно к краевым задачам теории аналитических функций: к задаче Римана на действительной оси, к задаче Карлемана для полосы, к площадной задаче Карлемана.
В работе рассматривается более общая задача Карлемана для полосы, а именно задача Карлемана для полосы с параллельными сдвигами на действительную ось. Исследование этой задачи направлено на: выяснение вопросов существования и единственности решения, нормальной разрешимости, асимптотического поведения.
В диссертационной работе получено интегральное представление аналитической функции в полосе, которая аналитически продолжается в верхнюю полуплоскость. Это позволило существенно усовершенствовать метод решения площадной задачи Карлемана.
Решения краевых задач теории аналитических функций отыскивались в достаточно широких пространствах, включая и пространства обобщенных функций. В частности, получено точное решение задачи Римана в пространстве обобщенных функций с вырождающимся коэффициентом.
В диссертации доказаны две теоремы, на основе которых получены конструктивные решения ряда интегральных уравнений. В частности, получено точное решение интегрального уравнения Вольтерра типа свертки на конечном промежутке и интервале с кусочно-постоянными коэффициентами. При этом носители постоянства значений коэффициентов представляют собой измеримые по Лебегу множества.
Методы сопряжения аналитических функций также использованы при построении точных решений упомянутых выше уравнений и следующих: интегральное уравнение типа свертки на интервале с двумя ядрами и коэффициентом, обратным линейному; интегральное уравнение Вольтерра типа свертки на интервале с двумя ядрами и коэффициентом, содержащим экспоненту; интегральное уравнение Вольтерра типа свертки на интервале с (n+2) ядрами специальной структуры; интегральное уравнение Вольтерра типа свертки на интервале с 3m ядрами и с кусочно-постоянными коэффициентами и коэффициентами, содержащими экспоненциальные и линейные функции; интегро-дифференциальные уравнений типа свертки с переменными коэффициентами (5 новых случаев); интегральные уравнения специальной структуры, которые возникают в обобщенной теории риска.
В качестве применения разрабатываемой теории рассмотрены три задачи обобщенной теории риска и методы их решений.
Ключевые слова: преобразование Фурье, краевые задачи, интегральные уравнения, обобщенные функции, теория риска.
Kerekesha Denys. The method of conjugation analytical functions in the theory of integral-differential equations with almost difference kernels.- Manuscript.
The thesis for obtaining the Candidate’s of Physical and Mathematical Sciences degree by the speciality 01.01.02 differential equations. Odessa National University, Odessa, 2006.
In the thesis the known methods are advanced and the new mathematical methods are developed for a solution of boundary value problems of the theory of analytical functions which have allowed to expand a class of the integral equations of type convolution with variable factors which could be solved effectively with help of Fourier transformation in quadratures. Depending on structure of variable coefficients the investigated integral equations is reduced by Fourier transformation to boundary value problems of the theory of analytical functions (accordingly: to problem Riemann on a real axis, to problem Carleman for band, to problem Carleman for plane).
The investigated integral equations are considered on the real axis, and measurable sets on the Lebesgue on the real axis. The solutions of the considered equations are searched in enough wide spaces of functions, including spaces of the generalized functions.
As application the method of the solution of three problems of the generalized theory of risk is offered.
Key words: Fourier transformation, boundary value problems, the integral equations, the generalized functions, theory of risk.
