Колесник ІРИНА СЕРГІЇВНА

УДК 625.115:330.105

Моделювання процесів розподілу ресурсів у

децентралізованих системах

Спеціальність 01.05.02 – математичне моделювання та

обчислювальні методи

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Вінниця –2006

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Вінницькому національному технічному університеті

Міністерства освіти і науки України

Науковий керівник | кандидат технічних наук, доцент

Боровська Таїса Миколаївна

Вінницький національний технічний університет,

доцент кафедри комп’ютерних систем управління

Офіційні опоненти: | доктор технічних наук, професор

Лисогор Василь Микитович,

Вінницький державний аграрний університет,

професор кафедри менеджменту

аграрно-промислового комплексу

доктор технічних наук, професор

Раскін Лев Григорович

Національний технічний університет

"Харківський політехнічний інститут",

професор кафедри системного

аналізу та управління

Провідна установа | Національний університет „Львівська політехніка”,

кафедра автоматики і телемеханіки,

Міністерство освіти і науки України, м. Львів

Захист відбудеться “-17_” _березня_ 2006 р. о 12.00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 05.052.01 у Вінницькому національному технічному університеті за адресою: 21021, м. Вінниця, Хмельницьке шосе, 95.

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці ВНТУ за адресою: 21021, м. Вінниця, Хмельницьке шосе, 95.

Автореферат розісланий “_14_ ” _лютого__ 2006 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Захарченко С.М.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. В умовах децентралізації виробничих систем, скорочення життєвого циклу виробів, виробничих систем і технологій актуальною є задача оптимального розподілення ресурсів або навантаження між паралельно працюючими елементами певної децентралізованої технічної системи. Причому це розподілення повинно виконуватись оперативно.

Задачі розподілу ресурсів актуальні на всіх рівнях ієрархії виробничих систем. До цього класу задач відносяться системи розподілу навантаження в енергомережах та тепломережах, система розподілу навантаження між паралельно працюючими хімічними реакторами, котельними та іншими технологічними установками. Сучасні мікропроцесорні засоби стимулюють застосування оптимального управління розподілом ресурсів в системах нижнього ієрархічного рівня. Характерний приклад - система оптимального розподілу навантаження між циліндрами сучасного автомобільного двигуна. Особливість останньої задачі, в тому, що при зменшенні навантаження відключаються окремі циліндри, тобто залежність управління від рівня загального навантаження є розривною. Управління такими двигунами є складним, однак воно дає великий екологічний і економічний ефект і тому воно реалізовано.

Технічні проблеми реалізації оптимального управління розподілом ресурсу чи навантаження можна вважати вирішеними. Сьогодні бракує тільки методів оптимізації, працездатних при невизначених, нестаціонарних, невипуклих робочих характеристиках - узагальнених виробничих функціях елементів розподілених систем.

Оптимізації розподілу узагальнених ресурсів та моделюванню процесів розподілу присвячена велика кількість робіт. Назвемо тут тільки ті, що були прототипами та “точками росту” в даній роботі. Це праці Р.Белмана, Л.Понтрягіна, М. Болтянського, В.Опойцева, М.Пешеля. Головним прототипом для побудови математичних моделей сучасних розподілених технічних систем та пошуку розв’язань оптимізаційних задач були роботи Р.Белмана з математичної теорії управління. Він визначив основні класи оптимізаційних задач управління, визначив структуру оптимальних розв’язань для довільних функцій критеріїв та обмежень і зупинився через брак у ті часи ефективних комп’ютерів і програм. Сьогодні є можливість зробити наступні кроки - довести теоретичні результати до конкретних розв’язань, розробити ефективні програми для оптимальних систем управління

Задача оптимізації розподілу обмеженого ресурсу і спряжена з нею задача оптимізації розподілу навантаження відносяться до класу задач нелінійного програмування. Однак, більшість робіт з цього напрямку присвячена задачам, що задовольняють умовам Куна-Такера. Виробничі функції сучасних виробничих елементів звичайно не задовольняють цим умовам: вони є невипуклими, ступінчастими, кусочно-лінійними. Оптимальні розв’язання для таких випадків є розривними - незручними для практичної реалізації. Потрібне дослідження властивостей оптимальних розв’язань та пошук обчислювальних методів для таких задач. Це обумовлює актуальність дисертаційної роботи, яка присвячена моделюванню процесів розподілу ресурсів у децентралізованих системах.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Результати дисертаційного дослідження увійшли у звіти з держбюджетної науково-дослідної роботи на тему „Розробка теорії та алгоритмічних засобів моделювання та дослідження систем в умовах невизначеності” № 46-Д-254 (номер держ. реєстрації 0102U002258) у відповідності до пріоритетних напрямків розвитку науки і техніки в Україні.

Мета і задачі дослідження. Мета досліджень полягає в підвищенні ефективності управління децентралізованими технічними системами на основі розробки методичного, математичного, алгоритмічного та програмного забезпечення для оптимізації та моделювання процесів функціонування таких систем.

Для досягнення мети, що поставлена, вирішувались наступні задачі:

1. Визначення основних тенденцій розвитку технічних систем і розробка орієнтованої на задачі розподілу ресурсів класифікації технічних систем та їх елементів.

2. Виділення базових моделей процесів оптимізації розподілу ресурсів між елементами децентралізованої системи в просторі і в часі.

3. Розробка системи математичних моделей для оптимізації та моделювання процесів розподілу ресурсів у децентралізованих системах.

4. Дослідження властивостей оптимальних розподілень ресурсів при довільних виробничих функціях елементів і розробка методів спрощення багатомірних задач оптимізації.

5. Розробка програмного комплексу для оптимізації однокрокового та багатокрокового розподілу ресурсів, розробка обчислювальних методів оптимізації, орієнтованих на специфіку систем з довільними виробничими функціями елементів.

6. Проведення обчислювальних експериментів на базі розробленого програмного комплексу для підтвердження адекватності математичних моделей та ефективності методів оптимізації та моделювання.

Об’єктом дослідження є процеси оптимального управління розподілом ресурсів у технічних системах з паралельно працюючими елементами.

Предметом дослідження є математичні моделі процесів оптимального розподілу ресурсів в децентралізованих системах, елементи яких мають довільні виробничі функції.

Методи дослідження ґрунтуються на використанні теорії оптимального управління для побудови алгоритмів оптимального управління, зокрема, методу принципу максимуму для знаходження оптимального управління в багатокроковій задачі, методу динамічного програмування при розробці і обґрунтуванні методу агрегування; теорії ймовірності і випадкових процесів; теорії графів; методів і технології моделювання в середовищі сучасних математичних пакетів для створення комплексу програм оптимізації і моделювання.

Наукова новизна одержаних результатів.

1. Вперше запропоновано узагальнення математичної моделі оптимального розподілу обмеженого ресурсу, де, на відміну від існуючих моделей, введені вектор-функція оптимального розподілу ресурсу та оптимальна виробнича функція системи, що зменшує загальний обсяг обчислень оптимального розв’язку.

2. Вперше розроблено і досліджено математичну модель оптимізації розподілу ресурсу на базі оптимального агрегування виробничих функцій елементів, що, на відміну від існуючих, дозволяє замінити багатовимірну задачу оптимізації послідовністю одновимірних задач, що забезпечує працездатність при довільних виробничих функціях.

3. Вперше розроблено метод розв’язання варіаційної задачі оптимізації розподілу ресурсу в децентралізованих системах, елементи яких мають довільні моделі виробничих функцій, де, на відміну від інших методів, використовується наближення функції Гамільтона в просторі стратегій управління, що спрощує пошук оптимального розв’язку.

4. Вдосконалено математичну модель процесу розподілу обмеженого ресурсу на базі нечіткої логіки, в якій, на відміну від інших, додатково введено нечітке обмеження на пропорцію розподілу ресурсу між елементами, що дозволяє зробити більш придатними для практичної реалізації оптимальні розподіли в системах, елементи яких мають довільні виробничі функції.

Практичне значення одержаних результатів. На основі запропонованого підходу до моделювання процесів розподілу ресурсів в децентралізованих системах отримано ряд практичних результатів:

1. Розроблені на базі теоретичних результатів алгоритми і програми моделювання процесів розподілу ресурсів дозволяють підвищити ефективність мікропроцесорних систем керування децентралізованими системами.

2. Розроблено комплекс програмного забезпечення, що дозволяє отримати функції оптимального розподілу ресурсу і досліджувати їх чутливість до варіацій параметрів виробничих функцій елементів.

3. Розроблено алгоритми і програму для отримання функції оптимального розподілу ресурсу методом агрегування, що дозволяє обчислювати оптимальне управління для систем високої розмірності в реальному часі.

4. Створено електронні книги з моделювання та оптимізації - навчальні посібники для студентів спеціальності „Системи управління і автоматики”.

Практичні результати дисертаційних досліджень впроваджені у Вінницятеплокомуненерго для розробки вдосконалених регуляторів котельних систем та на фірмі „Радіо” для оптимізації процесу розвитку мережевої системи. Теоретичні положення роботи і комплекс програм моделювання та оптимізації впроваджено у навчальний процес кафедри комп’ютерних систем управління Вінницького національного технічного університету. Впровадження результатів підтверджено відповідними актами.

Особистий внесок здобувача. Основні положення та результати дисертаційної роботи отримані автором самостійно. У роботах опублікованих у співавторстві здобувачеві належать: обґрунтування і програмна реалізація методу агрегування виробничих функцій елементів у оптимальну виробничу функцію системи [17]; узагальнення варіаційної задачі оптимального розподілу ресурсів у часі і зменшення числа змінних управління [14, 18]; постановка і дослідження задачі нечіткої оптимізації розподілу ресурсу з урахуванням обмеження на пропорцію розподілу [1]; розробка математичних моделей і програм для оптимізації і моделювання процесів розвитку децентралізованих технічних систем [2, 3, 4, 12]; матеріали нових наукових результатів, отриманих в розділах 2-4 дисертації, увійшли до двох посібників з грифом Міносвіти України [5, 6], де здобувачу належить 30%; на базі наукових і практичних результатів дисертації розроблено програмні комплекси для дистанційної освіти по напрямку „моделювання та оптимізація процесів розвитку децентралізованих систем” [7, 8, 10, 11,13, 15].

Апробація результатів дисертації. Основні положення та результати виконаних в дисертаційній роботі досліджень доповідались та обговорювались на міжнародних наукових конференціях “Контроль і управління в технічних системах” (2001), „Інтернет-Освіта-Наука” (2002, 2004), “Контроль і управління в складних системах” (2003, 2005), на науковій конференції “Проблеми підручника для вищої школи” (Вінниця 2001), міжвузівській науково-методичній конференції „Дистанційні технології навчання та їх засоби” (2004), на щорічних науково-технічних конференціях ВНТУ з 1999 року.

Публікації. Основні положення дисертації відображені в 16 наукових працях, зокрема, в 4 статтях у фахових виданнях, 10 статтях і тезах доповідей в інших наукових виданнях та в двох навчальних посібниках з грифом Міносвіти України.

Структура і обсяг роботи. Дисертація складається із вступу, 4 розділів, висновків по роботі, списку використаних джерел (114 бібліографічних посилань), та 4 додатків (32 сторінок). Загальний обсяг роботи 208 сторінок. Основний текст викладений на 156 сторінках друкованого тексту, містить 89 рисунків.

Основний зміст роботи

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертації. Показано зв’язок роботи з науковими програмами та практичними потребами. Сформульовано мету та основні задачі досліджень, подано характеристики новизни та практичної цінності отриманих результатів.

У першому розділі виконано аналіз і класифікацію організаційно-виробничих систем, задач управління такими системами, що звичайно зводяться до розподілу узагальнених ресурсів - матеріальних, енергетичних, інформаційних обсягів виробництва. Невизначеність, невипуклість, нестаціонарність характеристик виробничих елементів ускладнює як прямі обчислювальні методи оптимізації, так і непрямі - ігрові та метаігрові методи оптимізації. На основі аналізу літератури виділені базові математичні моделі і методи оптимального розподілу ресурсів в децентралізованих системах. Це три певні формальні моделі, для трьох класів задач, що мають широке коло інтерпретацій і практичних застосувань. Це моделі:

М1: модель оптимізації розподілу обмеженого ресурсу між паралельно працюючими елементами певної виробничої системи в однокрокових процесах за критерієм сумарного виробництва;

М2: модель визначення оптимальної стратегії розподілу ресурсів між паралельно працюючими елементами децентралізованої системи за інтегральним критерієм, або модель оптимізації багатокрокових процесів;

М3: модель оптимізації розподілу обмеженого ресурсу між паралельно працюючими елементами децентралізованої системи, коли кожний елемент контролює значення певної, своєї змінної управління так, щоб оптимізувати свій локальний критерій, або модель метаігрового синтезу.

Перша модель є моделлю класичної задачі нелінійного програмування, друга – моделлю класичної варіаційної задачі з обмеженням, третя – моделлю задачі динаміки і статики так званих ансамблів динамічних систем.

Саме комплекс цих задач і відповідних моделей дає можливість побудови раціонального управління сучасними децентралізованими виробничими системами. Особливість цих задач в тому, що вони давно актуальні, давно увійшли в підручники, що, звичайно, є ознакою вичерпного розв’язання усіх проблем. Однак сучасні високотехнологічні виробничі системи ставлять нові задачі, для яких потрібно розробити відповідні математичні моделі і методи. Це обумовлено не тільки швидкими кількісними змінами, але і суттєвими структурними змінами. Моделі класів М1,М2, М3 розглядаються відповідно у розділах 2, 3 і 4.

В роботі розглядаються узагальнені виробничі функції (ВФ) виробничих елементів і систем. В залежності від специфіки задачі це: дросельні характеристики, виробничі функції, функції корисності, вольт-амперні характеристики, функції ефективності та ін.

Значна частина аналітичних і пошукових методів оптимізації базуються на припущеннях про випуклість (вгору) ВФ, та існування неперервних похідних. Проблеми оптимального розподілу ресурсів у децентралізованих системах при невипуклих ВФ у відомій літературі розглянуті недостатньо відносно актуальних практичних задач. Практики вже ураховують властивості оптимальних розподілів ресурсів при невипуклих функціях, наприклад, монопольні розподіли. Невипуклі ВФ характерні для сучасних технічних систем – високотехнологічних, наукоємних, з високими темпами оновлення. Сьогодні область застосування для класичних задач – стабільні за технологією і попитом вироби і виробництва. Для некласичних задач потрібен комплекс досить складних методів, спеціалізованих відносно моделей класів М1, М2, М3. В розділі виконана формалізація цих класів моделей розподілу ресурсів.

На підставі аналізу властивостей і тенденцій розвитку виробничих систем розроблена їх класифікація, орієнтована на числові методи оптимізації і управління. Математичні проблеми сучасних виробничих систем можна звести до 3-ох „НЕ”: невипуклих, нестаціонарних, недетермінованих виробничих функцій (ВФ) x = f(х).

Тому за ознаки класифікації виробничих елементів та їх ВФ взято такі бінарні ознаки: 1) ”стаціонарність”: стаціонарна - нестаціонарна; 2) “детермінованість”: детермінована – імовірнісна. По ознаці “випуклість” виробничі функції класифікуємо на: 1) випуклі, 2) увігнуті, 3) увігнуто-випуклі, або S-функції.

Для класифікації виробничих систем взято такі ознаки: випуклість/не випуклість ВФ елементів системи; однорідність/неоднорідність – належність чи неналежність до одного структурного класу; домінуємість/недомінуємість – коли в діапазоні зміни обмеження по ресурсу , ранги елементів системи по рівню виробництва не змінюються або змінюються. Можна виділити, в порядку зростання обчислювальної складності задач оптимального розподілення ресурсів, такі класи систем: 1) однорідні, випуклі, з домінуванням; 2) однорідні, невипуклі, з домінуванням; 3) однорідні, невипуклі, без домінування; 4) неоднорідні, без домінування. В наступних розділах досліджуються ці класі виробничих систем і розроблені методи їх оптимізації.

На основі аналізу тенденцій розвитку сучасних виробничих систем та засобів автоматизації управління вибрано концепцію інтеграції етапів моделювання, дослідження і, власне, розробки методів оптимізації розподілу ресурсу на базі використання математичних пакетів. Такий підхід дозволяє отримати результати наукового дослідження у вигляді діалогової програми для розв’язання певного класу практичних задач. Як приклади в розділі використано задачі оптимального розподілу навантаження в теплоенергетичних системах: автомобільних двигунах із змінним числом працюючих циліндрів, котельних з паралельно працюючими котлоагрегатами, хімічних реакторах. Сформульовано задачі дослідження: аналіз особливостей сучасних виробничих систем, розробка математичних моделей і методів оптимізації та моделювання, створення програм для проведення обчислювальних експериментів та вбудовування в автоматичні і автоматизовані системи управління.

У другому розділі подано розробку методів розв’язання однокрокових оптимізаційних задач розподілу ресурсів при довільних ВФ елементів. Розглядається система з виробничих елементів, що використовують деякий ресурс у кількостях і виробляють деяку продукцію у кількостях згідно з виробничими функціями (ВФ) з класу додатних монотонно зростаючих функцій: ; , де - кількість ресурсу, виділеного i-му елементу. Пряма задача: потрібно розподілити ресурс так, щоб максимізувати сумарне виробництво:

, при обмеженні . (1)

Розширимо цю класичну задачу – будемо шукати не одну точку - розв’язання, для конкретного значення обмеження по ресурсу, а функцію, що дає залежність оптимального розподілу ресурсу у виробничій системі від величини обмеження по ресурсу. Введемо вектор-функцію оптимального розподілу ресурсу , , де - максимальне значення обмеження. Це вектор-функція, компоненти якої задають оптимальний по критерію сумарного виробництва розподіл заданої кількості ресурсу. Функція для припустимих ВФ елементів має такі очевидні властивості: (баланс ресурсу); : - нестрого додатні компоненти. Використовуємо також нормовану функцію оптимального розподілу . Назвемо оптимальною виробничою функцією системи залежність . (2)

Оптимальна виробнича функція для кожного значення обмеження по ресурсу R задає максимальну продуктивність перетворення ресурсу в продукт. Вона є неперервною і такою, що нестрого монотонно зростає: .

Спряжена задача. В практиці часто зустрічається задача мінімізації сумарних витрат ресурсу на забезпечення потрібного сумарного випуску продукції. В системі працюють паралельно виробничі елементи з певними виробничими функціями , , де - об'єм витраченого ресурсу, - об'єм випуску продукції і-го виробництва. Критерій оптимальності системи - сумарні витрати на випуск заданого об'єму продукції, тобто: ,

де - функція зворотна до виробничої функції - залежність витрат ресурсу від рівня виробництва, - вектор витрат ресурсів. Сумарне виробництво повинно задовольняти обмеження = , де - обмеження по об'єму виробництва. Ціль оптимізації - мінімізація сумарних витрат. Змінні управління - розподіл навантаження . Розглянуто застосування методу множників Лагранжа для знаходження оптимального розподілу ресурсу. Запропоновано ітеративний метод оптимізації розподілу навантаження, розрахований на ідентифікацію ВФ в процесі функціонування системи управління. Працездатність методу показана на прикладі – розподілі навантаження між хімічними реакторами.

Розподілені системи часто складаються з елементів з ідентичними або майже ідентичними характеристиками, наприклад, системи енергоагрегатів, реакторів, верстатів одного типу. Характеристики більшості виробничих систем можуть бути наближені в класі S-функцій. В розділі розглянуті властивості оптимальних розподілів для випадку елементів з ВФ класу S-функцій. Сформульовані твердження і теорема.

Твердження 1. Для N-елементної системи з ВФ класу S-функцій без домінування функції оптимального по критерію сумарного виробництва розподілу ресурсу мають не менше N розривів.

Твердження 2. Для N-елементної системи з ВФ класу S-функцій з домінуванням функції оптимального по критерію сумарного виробництва розподілу ресурсу мають не менше розривів.

Теорема. Оптимальна функція розподілу ресурсу розподіленої системи порядку , елементи якої мають однакові ВФ класу -функцій, має точно розривів. На інтервалах між розривами ресурс розподіляється рівно між 1, 2, 3, ... , елементами. В розділі дано доведення цієї теореми.

На рис. 1 подані графіки функцій ;N = 4 i = 1 ..N оптимального розподілу ресурсів для системи з невипуклими та випуклими ВФ. Бачимо що розподіл для невипуклих ВФ якісно зовсім інший.

Як інструмент для доведення теореми і аналізу властивостей оптимальних розподілів для виробничої систем з ідентичними ВФ створена система k-функцій:

; ;

; ... . (3)

Функції належать до параметричного класу

S-функцій. Дійсно, функція - це вдвічі збільшена і вдвічі розтягнута по осі х функція . Оптимальна ВФ розподіленої системи буде огинаючою системи k-функцій:

Створимо ще один інструмент для доведення тверджень і аналізу оптимальних розподілів - введемо множину a-функцій:

(4)

Очевидно a-функція є ВФ системи з двох елементів, отриманою за умови постійної пропорції розподілу ресурсу . Визначимо огинаючу цих функцій (підмножину Парето):

. (5)

Введені нами система k-функцій та множина -функцій дозволяють обгрунтувати і реалізувати важливу для практичних цілей властивість оптимальних виробничих функцій – агрегування: заміну системи паралельно функціонуючих елементів з певними ВФ одним еквівалентним елементом з оптимальною виробничою функцією. Для визначення оптимальної ВФ ми використовуємо операцію визначення максимуму (5), яка є асоціативною і комутативною. Оптимальна ВФ розподіленої системи є огинаючою системи функцій , , тобто результатом застосування операції .

Рис. 1. Функції оптимального розподілу ресурсу для систем з невипуклими і випуклими ВФ

Рис. 2. Визначення оптимального розподілу ресурсу в системі з двома елементами на цільовій функції системи та на множині -функцій

Тому для оптимальних ВФ розподілених систем з адитивним критерієм оптимальності має місце властивість

. (6)

Таким чином ми замінюємо задачу знаходження екстремуму функції N змінних послідовністю з задач знаходження екстремуму функцій однієї змінної. Для реалізації методу оптимального агрегування розроблено систему програмних модулів. Власне оптимізація втілена в модулі f2o, що бере пару ВФ і повертає оптимальну ВФ та відповідну вектор-функцію оптимального розподілу ресурсу. Модуль працює з масивами даних, що містять дискретизовані ВФ та функцію оптимального розподілу ресурсу. Число точок дискретизації береться відповідно точності вхідних даних. Фактично маємо бінарний оператор на множині об’єктів класу „виробнича функція”. В результаті певний клас задач оптимізації функції декількох змінних при обмеженні зведено до алгебраїчної операції. На рис. 3 подано приклад оптимізації розподілу ресурсу в системі з чотирьох елементів.

Рис. 3. Приклад оптимізації методом оптимального агрегування

На рис. 3 подано робочу формулу в структурному виді і послідовність результатів виконання формули. Особливість оператора f2o – змінна розмірність вихідного масиву, де зберігається вся „історія” процесу агрегування. Масиви на рис. 3 подані у скороченому виді. Число точок дискретизації береться згідно з вимогами до точності, звичайно – 200-500 точок. Вибрано метод прямого перебору, що гарантує працездатність методу для довільних ВФ і знімає проблеми збіжності, стійкості та ін. обчислювального методу.

У третьому розділі розглянуто моделі і методи розв’язання багатокрокових оптимізаційних задач розподілу ресурсів між паралельно працюючими елементами. Багатокрокова задача належить до класу варіаційних задач з обмеженнями. Для розв’язання її при довільних ВФ вибрано метод принципу максимуму. Розглядається розподілена виробнича система, де виробляються N видів продукції. Темпи випуску продукції дорівнюють x1(t), x2(t), ... , xN(t) (одиниць вимірювання продукції за одиницю часу). Рівняння динаміки виробничих потужностей

, (7)

де - функція розвитку для і-го виробництва, що належить до класу нестрого монотонно зростаючих функцій; ; - сумарне виробництво в момент t; - управління - частка сумарних поточних ресурсів, що виділяється в поточний момент для розширення виробничих потужностей по і-му продукту. Для управлінь виконується умова нормування:

,

де unak(t) - частка ресурсів, що йде в накопичення. Потрібно визначити стратегію розвитку, що максимізує сумарний накопичений випуск за період Т.

Наближене розв’язання знайдене із логічних міркувань: на поточному кроці ресурс ділиться так: йде в накопичення, йде на розвиток виробництва, і згідно рівнянню (7) створює прирощення виробничих потужностей. До кінця процесу можна отримати продукції . Це додатковий ресурс, який можна на наступних кроках використати для накопичення і розвитку. Продовження цих міркувань приводить до методу динамічного програмування. Однак, точність моделі повинна відповідати точності даних, тому як оцінку прирощення критерію в момент Т в результаті вибору поточного управління u(t) беремо функцію H(x,t) = S1+S3.

Точне розв’язання. Як еталонне, отримане точне розв’язання варіаційної задачі. Задано: - критерій оптимальності; - дифрівняння динаміки темпу виробництва; - обмеження на управління. Подаємо задачу в канонічному вигляді – записуємо розширену систему дифрівнянь процесу:

; . (8)

Записуємо вираз для функції Гамільтона

, (9)

де - праві частини рівнянь (8). Підставимо їх у (9)

. (10)

Записуємо рівняння для визначення спряжених функцій

; ; (11)

Знаходимо відповідні окремі похідні від і підставляємо їх в (11)

;

Розв’язуємо ці дифрівняння. Перше елементарне:

; .

Друге теж елементарне, для числових методів, але безнадійне для отримання аналітичних розв’язань:

Підставимо розв’язання диференційних рівнянь для спряжених функцій у (9) і отримаємо остаточний вираз для функції Гамільтона. Порівняємо точний і наближений вирази для функції Гамільтона (беремо робочі, дискретизовані вирази).

Точна:

Наближена:

Ці вирази відрізняються тільки останнім множником. По результатам порівняльного аналізу значення критерію для наближеного розв’язання менше 3-4% порівняно з точним. Наближене розв’язання збігається до точного, коли функції розвитку елементів наближаються до лінійних.

На базі запропонованого підходу розроблено серію математичних моделей і програм оптимізації та моделювання процесів розвитку для різних критеріїв оптимальності, при використанні зовнішніх ресурсів та ін. Проведено дослідження властивостей оптимальних процесів розвитку. Оптимальні функції розподілу ресурсів при невипуклих функціях розвитку виробничих елементів є розривними (рис.5).

Виконано обґрунтування розбиття задачі оптимізації розвитку на два етапи: 1) „розподіл ресурсу в просторі” - визначення оптимальної ФР, і відповідної функції розподілу ресурсу методом оптимального агрегування, 2) „розподіл ресурсу в часі” – визначення оптимального розподілу ресурсу між накопиченням і розвитком. Розроблено комплекс програм для оптимізмції виробничих систем довільної розмірності з довільними ФР.

Рис. 4. Оптимальні процеси розвитку розраховані альтернативними методами

На рис.5. подано приклад – оптимальні процеси розвитку двопродуктової системи з невипуклими функціями розвитку і використанням зовнішніх ресурсів. В підсумку багатовимірна варіаційна задача розподілу ресурсів зведена до базової одновимірної, а метод оптимізації знімає проблеми збіжності, стійкості обчислювального методу.

В четвертому розділі розглянуто конкретні приклади практичного застосування отриманих теоретичних результатів. Розроблені моделі розподілу ресурсу в одно крокових і багатокрокових процесів були розширені для урахування розкидів параметрів, невизначеностей, випадкових збурень і нечіткості обмежень і критеріїв.

Розроблена програмна система для моделювання, аналізу і настроювання алгоритмів метаігрової оптимізації виробничих систем, елементи яких мають довільні і невизначені ВФ. Особливість програмної системи – можливість оптимізації систем з довільними ВФ. Метод метаігрової оптимізації розглянуто як альтернативу методу оптимального агрегування для випадку високого рівня невизначеності ВФ елементів

Запропонована система оптимального розподілу навантаження між котлоагрегатами. Побудовано модель узагальненої виробничої функції котлоагрегату, що враховує режим „малого горіння”, обмеження на максимальну теплову потужність і „старіння”. Виконано декомпозицію задачі оптимального розподілу навантаження між котлоагрегатами на управління в режимах малих і великих навантажень. Запропоновано структуру системи адаптивної системи управління, яку можна реалізувати як „надбудову” до стандартних систем регулювання. Розроблено програму, що реалізує адаптивне управління розподілом навантаження між котлоагрегатами. Як концептуальні основи побудови системи управління використано такі теоретичні результати:

1) підхід на базі агрегування – заміна системи виробничих елементів еквівалентним елементом;

2) декомпозиція задачі оптимального управління на задачі управління при високих навантаження і при малих навантаженнях.

3) вбудовування контуру ідентифікації: регулятор стабілізації заданого сумарного навантаження генерує тестові дії, а регулятор оптимізації розподілу оцінює поточні реакції елементів і розподіляє навантаження.

4) використання нечіткої логіки для „пом’якшення” режимів з раптовими переключеннями котлоагрегатів. На рис. 5 подано результати моделювання підсистеми оптимізації розподілу ресурсу між котлоагрегатами одного типу з невеликими відхиленнями ВФ обумовленими старінням та ін.

Отримані в розділі функції оптимального розподілу ресурсу для систем з невипуклими ВФ елементів виявились розривними і незручними для практичної реалізації. Для „пом’якшення” негативних особливостей оптимальних розподілів була використана нечітка логіка. Базова задача розділу 2 була модифікована - чітке обмеження по ресурсу було зроблено нечітким і введене додаткове нечітке обмеження на пропорцію розподілу ресурсу – „штраф” за монопольні розподіли і простій виробничих елементів. Вибором параметра розподілу нечіткості можна отримати вектор-функцію без монопольних розподілів ресурсу ціною деякого (3-6%) зменшення сумарного виробництва.

Рис. 5. Оптимізація розподілу навантаження в системі котлоагрегатів

В розділі також поставлена і розв’язана з використанням нечіткої логіки задача розподілу дискретного ресурсу з мультиплікативним критерієм. Введені нечітке обмеження по ресурсу і „штраф” за відхилення від цілочислового розв’язання. Отримано простий і зручний інструмент для отримання наближень цілочислових задач. Виконана конкретизація задачі багатокрокової оптимізації для випадку оптимізації розподіленої системи типу „мережа зв’язку”. Особливість системи – висока динамічність розвитку і ступінчасті ФР. Розроблено програми моделювання для аналізу впливу невизначеностей параметрів ФР. Розробка програм моделювання і оптимізації з урахуванням невизначеностей параметрів, нечіткості критеріїв і обмежень підтвердила придатність результатів роботи для практичних застосувань у системах управління та системах підтримки рішень.

ВИСНОВКИ

Основні наукові та практичні результати дисертаційної роботи наступні:

1. Вперше запропоновано узагальнення задачі оптимального розподілу обмеженого ресурсу, де, на відміну від існуючих постановок задачі, введені вектор-функція оптимального розподілу ресурсу та оптимальна виробнича функція системи, що зменшує загальний обсяг обчислень.

2. Вперше розроблено і досліджено математичну модель оптимізації розподілу ресурсу на базі оптимального агрегування виробничих функцій елементів, що, на відміну від існуючих, дозволяє замінити багатовимірну задачу оптимізації послідовністю одновимірних задач, що забезпечує працездатність при довільних виробничих функціях.

3. Вперше розроблено метод розв’язання варіаційної задачі оптимізації розподілу ресурсу в децентралізованих системах, елементи яких мають довільні моделі виробничих функцій, де, на відміну від існуючих методів, використовується наближення функції Гамільтона в просторі стратегій, що спрощує обчислення оптимального розв’язку.

4. Вдосконалено математичну модель процесу розподілу обмеженого ресурсу на базі нечіткої логіки, в якій, на відміну від інших, додатково введено нечітке обмеження на пропорцію розподілу ресурсу між елементами, що дозволяє зробити більш придатними для практичної реалізації оптимальні розподіли в системах, елементи яких мають довільні виробничі функції.

5. На основі запропонованих методів і моделей розроблено комплекс методичних, алгоритмічних та програмних засобів моделювання процесів оптимального розподілу ресурсів в децентралізованих виробничих системах:

- Розроблені на базі теоретичних результатів алгоритми і програми моделювання процесів розподілу ресурсів дозволяють підвищити ефективність мікропроцесорних систем керування децентралізованими системами.

- Розроблено алгоритми і програму для отримання функції оптимального розподілу ресурсу методом агрегування, що дозволяє обчислювати оптимальне управління для систем високої розмірності в реальному часі .

6. Проведено дослідження ефективності та достовірності розробленого методу оптимального агрегування на базі використання моделей виробничих функцій. Метод та відповідне програмне забезпечення є точними, помилки залежать тільки від кроку дискретизації обчислень, тобто, точність обчислень лімітується тільки точністю вхідних даних.

7. Створено електронні книги з моделювання та оптимізації - навчальні посібники для студентів спеціальності „Системи управління і автоматики”.

8. Практичні результати дисертаційних досліджень впроваджені у Вінницятеплокомуненерго для розробки вдосконалених регуляторів котельних систем та на фірмі „Радіо” для оптимізації процесу розвитку мережевої системи. Впровадження результатів підтверджено відповідними актами.

СПИСОК, ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. | Боровська Т.М., Колесник І.С., Северiлов В.А. Нечітка оптимізація розподілу обмеженого ресурсу у виробничій системі при неопуклих виробничих функціях елементів // Вісник Вінницького політехнічного інституту. – 2003. – № 5. – С.36-41.

2. | Боровська Т.М., Бадьора С.П., Колесник І.С., Северiлов В.А. Моделювання багатопродуктових виробничих систем // Вісник Вінницького політехнічного інституту. – 2004. – № 1 – С. 45-49.

3. | Боровська Т.М., Колесник І.С., Северiлов В.А. Оптимальне управління розвитком техніко-економічних систем. Кредитні стратегії // Вісник Вінницького політехнічного інституту. – 2003. – № 6 – С.173-179.

4. | Боровська Т.М., Колесник І.С., Северілов В.А. Оптимізація розподілу обмеженого ресурсу у виробничій системі на базі агрегування виробничих функцій // Інформаційні технології та комп’ютерна інженерія – 2005. – № 1 – С. 12-18

5. | Колесник І.С., Боровська Т.М., Северiлов В.А. Моделі і методи для аналізу і оптимізації інвестиційних проектів //Вісник Вінницького політехнічного інституту. 2004. – № 4 – С.56-61.

6. | Боровська Т. М., Колесник І.С., Северiлов В.А. Основи кібернетики та дослідження операцій: Навч. посібник. - Вінниця: ВНТУ, 2003.- 242 с.

7. | Боровська Т.М., Колесник І.С., Северiлов В.А. Спеціальні розділи вищої математики: Навчальний посібник. - Вінниця: ВНТУ, 2003.- 182 с.

8. | Колесник І.С., Боровська Т.М., Северiлов В.А. Управління проектами розвитку нових виробництв. Програмний комплекс для дистанційної освіти. // Матеріали ІV міжнародної конференції “Інтернет - освіта - наука” (ІОН-2004). – Том 2. – Вінниця: УНІВЕРСУМ-Вінниця. – 2004. – С.254-258.

9. | Колесник І.С., Бадьора С.П. Інтернет-орієнтовані технології виробниц- тва інтелектуальної продукції. Структура малих дослідницьких груп // Матеріали ІІІ міжнародної конференції “Інтернет - освіта - наука” (ІОН-2002).–Том 2. – Вінниця: УНІВЕРСУМ-Вінниця. – 2002. – С.285-288.

10. | Боровська Т.М., Колесник І.С. Структура і технології розробки електронних книг, орієнтованих на дистанційну освіту // Матеріали МНМК “Дистанційні технології навчання та їх засоби. Випуск 1. – Вінниця: ВМУРоЛ „Україна”. – 2004. – C.111-115.

11. | Колесник І.С., Северiлов В.А. Оптимальне управління розподіленням ресурсів в децентралізованих системах. // Матеріали VІ міжнародної науково-технічної конференції “Контроль і управління в технічних системах” (КУСС-2001). – Вінниця: УНІВЕРСУМ-Вінниця. – 2001. – С.73-78.

12. | Северiлов В.А., Колесник І.С., Бадьора С.М. Електронна книга “Моделювання та оптимізація в економіці”. Проблема трьох “не” - нелінійності, нестаціонарності та не випуклості. // Матеріали науково-методичної конференції “Проблеми підручника вищої школи”. – Вінниця: УНІВЕРСУМ-Вінниця. – 2001. – С.138-141.

13. | Колесник І.С., Северiлов В.А., Хільська І.І. Мультимедійний комплекс для самостійного освоєння розділу „Оптимізація інвестиційних проектів. Стратегії розвитку виробничих систем” // Матеріали МНМК “Дистанційні технології навчання та їх засоби. – Вінниця: ВМУРоЛ „Україна”, 2004. – C.100-105.

14. | Северiлов В.А., Колесник І.С. Узагальнення задач оптимального управління розподіленням ресурсів в часі // Матеріали VІ міжнародної науково-технічної конференції “Контроль і управління в технічних системах” (КУСС-2001). – Вінниця: УНІВЕРСУМ-Вінниця. – 2001. – С.142 -146.

15. | Колесник І.С., Мирончук В.М. Оптимізація портфелю цінних паперів. Мультимедийний комплекс для дистанційної освіти. // Матеріали ІV міжнародної конференції “Інтернет – освіта – наука” (ІОН-2004). – Том 2. – Вінниця: УНІВЕРСУМ-Вінниця. – 2004. – С.259-264.

16. | Боровська Т.М., Колесник І.С., Северiлов В.А. Оптимальне управління розвитком техніко-економічних систем // Тези доповідей VІІ міжнародної науково-технічної конференції “Контроль і управління в склад- них системах”. – Вінниця: УНІВЕРСУМ-Вінниця. – 2003. – С.203.

Анотація

Колесник І.С. Моделювання процесів розподілу ресурсів у децентралізованих системах . – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.05.02 – Математичне моделювання та обчислювальні методи. – Вінницький національний технічний університет, Вінниця, 2006.

У дисертаційній роботі розглянуто задачі оптимізації розподілу ресурсів у децентралізованих виробничих системах при довільних виробничих функціях (ВФ) елементів. Обґрунтовано необхідність розгляду виробничих елементів з невипуклими ВФ. Розроблена орієнтована на задачі оптимізації класифікація виробничих функцій і виробничих систем. Досліджено розриви функцій оптимального розподілення. Запропоновано оптимізацію розподілу на базі оптимального агрегування ВФ елементів. Виконано узагальнення варіаційної задачі Марковіца-Белмана про максимізацію виробництва за певний плановий період для випадку довільних функцій розвитку виробництва. Досліджено оптимальні стратегії розвитку децентралізованих виробничих систем при використанні зовнішніх ресурсів. Поставлено і розв’язано задачі оптимізації розподілу ресурсів при нечітких обмеженнях і невизначеності ВФ елементів. Робота повністю виконана в середовищі математичного пакету. Матеріали роботи увійшли в навчальні посібники – електронні книги.

Ключові слова: розподілення ресурсів, виробнича система, виробнича функція, сумарне виробництво, увігнуто-випукла виробнича функція, оптимальне управління, моделювання, варіаційна задача, стратегії розвитку, підтримка рішень.

Аннотация

Колесник И.С. Моделирование процессов распределения ресурсов в децентрализованных системах. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 01.05.02 – Математическое моделирование и вычислительные методы. – Винницкий национальный технический университет, Винница, 2006.

В диссертационной работе рассмотрены задачи оптимизации распределения ресурсов в децентрализованных производственных системах при произвольных производственных функциях (ПФ) элементов. Обоснована необходимость рассмотрения систем с невыпуклыми ПФ, в частности, с вогнуто-выпуклыми. Разработана классификация производственных функций и производственных систем, ориентированная на задачи оптимизации.

Предложен новый метод оптимизации распределения ресурсов на базе оптимального агрегирования ПФ элементов. Основа метода – в расширении задачи: поиске не единственной точки оптимального распределения для данного значения ограничения по ресурсу, а пары функций от величины ограничения по ресурсу – оптимальной производственной функции системы и вектор-функции оптимального распределения ресурса. Задача нахождения экстремума функции нескольких переменных сведена к последовательности одномерных задач оптимизации.

Разработан новый метод моделирования и оптимизации для многошаговых процессов распределения ресурса между элементами производственной системы. Основа метода - обобщение вариационной задачи Марковица-Беллмана о максимизации производства за определенный плановый период на случай произвольных функций развития (ФР) производства.

Вариационная задача решена методом принципа максимума при комплексном использовании аналитических (символьные вычисления) и числовых методов математического пакета. Предложено решение вариационной задачи на базе приближения функции Гамильтона. Исследованы оптимальные стратегии развития децентрализованных производственных систем при использовании внешних ресурсов.

Поставлена и решена задача оптимизации распределения ресурсов при нечетких ограничениях и неопределенности ПФ элементов методом открытого управления и введения нечёткой логики. Рассмотрено применение результатов работы в практических задачах: оптимизации распределения нагрузки между котлоагрегатами и оптимизации стратегии развития сетевой системы. Работа полностью выполнена в среде математического пакета. Материалы работы вошли в учебные пособия.

Ключевые слова: распределение ресурсов, производственная система, производственная функция, суммарное производство, вогнуто-выпуклая производственная функция, оптимальное управление, моделирование, вариационная задача, стратегии развития, поддержка решений.

ANNOTATION

lesnik I. S. Modeling of process resources allocation’s in the decentralized systems. – A Manuscript.

Thesis for a candidates degree on specialty 01.05.02 – Modeling and numerical methods. – Vinnytsia National Technical University, Vinnytsia – 2006.

The problem of optimization of allocation of resources in the decentralized production systems at the arbitrary production functions (PF) of elements is considered in dissertation work. The necessity of consideration of the systems is grounded with nonconvex PF, in particular, with concavo-convex.

The classification of production functions and production systems, oriented on the task of optimization, is developed. The breaks of functions of the optimum distributing are explored. Optimization of allocation on the base of optimal aggregating of the PF elements is offered. Generalization of the variation task Markowitz-Bellman’s about maximization of production for planned period for the case of arbitrary functions of development of production is executed.

Optimum