МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
ДОНЕЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
Курінна Кристина Ігорівна
УДК 539.3:534.1
НЕЛІНІЙНІ АНГАРМОНІЧНІ ЕФЕКТИ ПРИ ЗБУДЖЕННІ
ТА РОЗПОВСЮДЖЕННІ НОРМАЛЬНИХ ХВИЛЬ
В КРИСТАЛІЧНОМУ ШАРІ
01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла
АВТОРЕФЕРАТ
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук
Донецьк – 2006
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана у Донецькому національному університеті, Міністерство освіти і науки України
Науковий керівник: доктор технічних наук, професор
Сторожев Валерій Іванович,
Донецький національний університет,
завідувач кафедри теорії пружності і
обчислювальної математики,
декан математичного факультету
Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор,
член-кореспондент НАН України
Шульга Микола Олександрович,
Інститут механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України,
завідувач відділу електропружності;
доктор фізико-математичних наук, професор
Чехов Валерій Миколайович,
Таврійський національний університет ім.В.І.Вернадського,
завідувач кафедри прикладної математики
Провідна установа: Національний технічний університет „Харківський
політехнічний інститут”, кафедра прикладної математики,
Міністерство освіти і науки України, м. Харків
Захист відбудеться “27” квітня 2006 р. о 14:30 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 11.051.05 при Донецькому національному університеті за адресою: 83055, м. Донецьк, вул. Університетська, 24, головний корпус, математичний факультет, ауд. 603.
З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Донецького національного університету (83055, м. Донецьк, вул. Університетська, 24).
Автореферат розісланий “24” березня 2006 р.
Вчений секретар спеціалізованої вченої ради
кандидат фізико-математичних наук, доцент Мисовський Ю.В.
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. Фундаментальні проблеми дослідження спектрів та властивостей нормальних пружних хвиль в анізотропних за фізико-механічними властивостями пружних хвилеводах, проблеми аналізу закономірностей збудження таких хвиль на сьогодні належать до числа провідних проблем динаміки деформівного твердого тіла і становлять суттєвий інтерес як в загальнонауковому теоретичному, так і в прикладному сенсі. Більшість теоретичних чисельно-аналітичних досліджень в галузі хвилевої механіки пружних середовищ ґрунтується на лінійній моделі хвилевих процесів. Питанням аналізу нелінійних ефектів при збудженні та розповсюдженні пружних хвиль малої інтенсивності в анізотропних пружних тілах присвячено досить обмежене коло досліджень, що охоплюють головним чином проблеми поширення об’ємних і, в окремих випа-дках, поверхневих хвиль. Практично відкритими на сьогодні залишаються принципово важливі, актуальні в теоретичному та прикладному сенсі тривимірні проблеми визначення спектрів і властивостей нелінійних нормальних хвиль в пружних кристалічних пластинах (пружному шарі) та проблеми збудження слабо нелінійних пружних хвиль у півнескінченних пластинах тривимірної геометрії. Зацікавленість у їх розв’язанні не в останню чергу пов’язана з колом прикладних застосувань результатів теоретичних досліджень. Так, у певних ви-падках, підлягають кількісній та якісній оцінці небажані нелінійні збурення у пристроях, що концептуально побудовані на застосуванні нормальних пружних хвиль лінійного спектру. Напроти, саме нелінійні ефекти у пружних хвилевих рухах, як відомо, використовуються в акустоелектронних пристроях, у схемах акустодіагностики пружних середовищ. Водночас відомо, що розгалужені теоретичні дані про нелінійні нормальні пружні хвилі (нелінійні ангармонічні збурення в полях лінійних нормальних хвиль) у низькосиметричних кристалічних тілах або відсутні, або отримані без послідовного достовірного урахування тривимірної геометрії хвилеводів. Саме вирішенню кола актуальних проблем в царині аналізу нелінійних ефектів при збудженні та розповсюдженні пружних нормальних хвиль у анізотропному шарі і присвячено дану дисертаційну роботу.
Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження, що складають дисертаційну роботу, виконані у відповідності до планів наукових робіт за фундаментальними науково-дослідними проектами, у тому числі за фінансованими Міністерством освіти і науки України конкурсними держбюджетними науково-дослідними проектами: „Збудження, розповсюдження та розсіювання нелінійних пружних хвиль у тривимірних кристалічних пластинах та циліндричних тілах” (номер держреєстрації 0101U005370) та „Хвильові процеси у низькосиметричних п’єзокристалічних і п’єзомагнітних тілах просторової геометрії” (номер держреєстрації 0104U002148). Переважна частина результатів дисертації ввійшла до звітів за зазначеними НДР.
Мета і задачі дослідження. Метою роботи є створення і застосування теоретичних методик чисельно-аналітичного дослідження нелінійних ангармонічних ефектів при розповсюдженні і збудженні нормальних пружних хвиль декількох типів у анізотропному пружному шарі (пластині) тривимірної геометрії з монокристалів кубічної системи, а також визначення, з’ясування і узагальнення кола провідних закономірностей в дисперсійних, кінематичних і енергетичних властивостях других нелінійних гармонік нормальних пружних хвиль.
Об’єктами дослідження в дисертаційній роботі є стаціонарні нелінійні хвилеві процеси з малими переміщеннями в пружному анізотропному кристалічному хвилеводі у вигляді шару.
Предметом дослідження є закономірності процесів збудження та розповсюдження слабо нелінійних нормальних пружних хвиль вздовж пружноеквівалентного або довільного напрямку розповсюдження в площині хвилеводу, а також закономірності розподілу кінематичних характеристик та енергетичних потоків в досліджуваних хвилях.
Методами дослідження, що застосовані в роботі, є теоретичні чисельно-аналітичні методи математичної фізики, за якими отримано аналітичні представлення функцій пружних хвилевих переміщень одно-, двох- та трьохпарціальних нормальних хвиль в анізотропному шарі кубічної системи, побудовано співвідношення для кінематичних та енергетичних характеристик нелінійних нормальних хвиль, а також методи комп’ютерної алгебри в середовищі спеціалізованих пакетів для аналітичних обчислень та методи чисельного аналізу і візуалізації хвилевих ефектів з використанням розроблених програмних засобів.
Задачами наукового дослідження, які необхідно розв’язати для досягнення поставленої мети, є:–
формулювання неоднорідних крайових задач з визначення нелінійних ангармонічних збурень монохроматичних нормальних хвиль різних типів, ангармонічних збурень для хвиль комбінаційного типу (сукупності двох нормальних хвиль однакового типу з різними частотами і хвилевими числами) вздовж пружноеквівалентних і непружноеквівалентних напрямків розповсюдження в анізотропному монокристалічному шарі кубічної системи;–
формулювання неоднорідної крайової задачі про збудження нелінійних пружних хвиль у анізотропному півшарі зсувними гармонічними зусиллями, прикладеними до ортогональної вільним плоским граням бічної поверхні;–
одержання співвідношень, що визначають компоненти вектору середньої за період щільності потоку потужності у нелінійних нормальних хвилях;–
створення теоретичних алгоритмів розв’язання неоднорідних крайових задач з визначення других гармонік монохроматичних нормальних хвиль та других гармонік хвиль комбінаційного типу в анізотропному шарі кубічної системи з використанням знарядь комп’ютерної алгебри;–
побудова чисельно-аналітичного розв’язку задачі визначення коефіцієнтів у розкладах збуджених у півшарі зсувними зусиллями нелінійних хвилевих полів за базисними множинами перших та других гармонік нормальних хвиль;–
дослідження і узагальнення залежностей функцій хвилевих пружних переміщень у других гармоніках монохроматичних нормальних хвиль та других гармоніках хвиль комбінаційного типу від частотних параметрів;–
дослідження і узагальнення частотних залежностей для щільностей середніх за період потоків потужності у других гармоніках нормальних хвиль монохроматичного та комбінаційного типів;–
визначення співвідношень між рівнями напруженості лінійних складових та нелінійних ангармонічних збурень у хвилевому полі, яке збуджене у кристалічному півшарі монохроматичними осцилюючими зсувними зусиллями, прикладеними до бічної поверхні;–
розробка програмних засобів для чисельної комп’ютерної реалізації побудованих методик.
Наукова новизна одержаних результатів. У підсумку проведених досліджень вперше одержані такі наукові результати:–
побудовані розв’язки задач про визначення нелінійних ангармонічних збурень для деяких типів симетричних монохроматичних одномодових стаціонарних нормальних хвиль з пружноеквівалентними або довільними непружноеквівалентними напрямками розповсюдження у вільному за гранями анізотроп-ному шарі кубічної системи;–
побудовані розв’язки задач про визначення нелінійних ангармонічних збурень для декількох типів симетричних стаціонарних нормальних хвиль комбінаційного типу вздовж напрямків пружної симетрії вільного анізотропного монокристалічного шару кубічної системи;–
для випадку шару з монокристалів германію і кремнію досліджені і узагальнені амплітудно-частотні ефекти у кінематичних та енергетичних характеристиках других гармонік монохроматичних нормальних хвиль та других гармонік нормальних хвиль комбінаційного типу;–
на підставі узагальнення методу рядів за базисними множинами нормальних хвиль побудовано чисельно-аналітичний розв’язок задачі про збудження хвилевого поля симетричними монохроматичними осцилюючими горизонта-льно поляризованими зусиллями у вільному за гранями півшарі монокристалу германію з врахуванням ангармонічних ефектів і дано часткові кількісні оцінки складових поля, що характеризують внесок явища нелінійності.
Достовірність отриманих теоретичних результатів і висновків роботи обґрунтовується застосуванням класичних методів математичної фізики до спектральних крайових задач для систем диференційних рівнянь у частинних похідних, що сформульовані в рамках апробованих моделей теорії просторового нелінійного динамічного деформування анізотропних кристалічних середовищ; наявністю опублікованих результатів теоретико-експериментальних перевірок концепції визначення ангармонічних збурень при дослідженні нелінійних пружних хвиль на підставі використання розкладів за ступенями числа Маха; якісним збігом визначеної структури других гармонік для нормальних хвиль SH- і P-SV-типів зі структурою других гармонік об’ємних зсувних та повздовжніх пружних хвиль в опублікованих дослідженнях інших авторів; якісним збігом типу залежності амплітудних функцій других гармонік нормальних хвиль від товщинної координати кристалічного шару порівняно з залежностями амплітудних функцій у других гармоніках поверхневих пружних хвиль. Достовірність результатів чисельної реалізації обґрунтована контролем ступеня виконання крайових умов досліджуваних граничних задач на плоских гранях та на бічній поверхні хвилеводів при використанні точних розв’язків хвилевих рівнянь.
Практичне значення одержаних результатів полягає у придатності розро-блених теоретичних чисельно-аналітичних методик, побудованих розв’язків і конкретних чисельних оцінок, зроблених узагальнень і висновків при розробці, вдосконалені та оптимізації параметрів конструкцій акустоелектронних пристроїв, принципи дії яких базуються на використанні властивостей лінійних хвиль та ефектів нелінійної взаємодії хвиль; при вдосконаленні методологій акустодіагностики пружних середовищ з використанням нелінійних хвилевих ефектів; при створенні параметричних пристроїв для генерації потужного гіперзвуку. Одержані результати можуть бути використані у навчальних курсах для студентів вищих навчальних закладів шляхом їх введення до посібників з відповідних спеціальних дисциплін.
Апробація результатів дисертації. Основні положення роботи були докладені та обговорені на наукових конгресах, конференціях, та семінарах, у тому числі: наукових конференціях Донецького національного університету за підсумками науково-дослідної роботи за період 1999-2000рр. (м. Донецьк, 18 ? 20 травня 2001р.), за період 2001-2002рр. (м. Донецьк, 16 ? 18 квітня 2003р.); І та ІІ Міжнародних конференціях “Актуальные проблемы механики деформируемого твердого тела” (м.Донецьк, 25 ? 27 червня 2001р.; м. Донецьк, 23 ? 26 червня 2003р.); IX та XI Міжнародній науковій конференції студентів, аспірантів та молодих вчених “Ломоносов” (м.Москва, 9 ? 12 квітня 2002р.; м. Москва, 12 ? 15 травня 2004р.); Міжнародній конференції “Актуальные проблемы механики сплошных сред” (п. Мелекіне, 10 ? 13 червня 2002р.); Восьмій міжнародній конференції “Современные про-блемы механики сплошной среды” (м. Ростов-на-Дону, 14 ? 18 жовтня 2002р.); IX Міжнародному симпозіумі “Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред” (м. Москва, 10 ? 14 лютого 2003р.); XXV Конференції молодих вчених механіко-математичного факультету Мос-ковського державного університету ім. М. В. Ломоносова (м.Москва, 31 бере-зня – 4 квітня 2003р.); 9th International Conference on Numerical Methods in Continuum Me-chanics (м. Жиліна, Словацька Республіка, 9 ? 12 вересня 2003р.); III Загальноросійській конференції по теорії пружності з міжнародною участю (м. Ростов-на-Дону, 13 ? 16 жовтня 2003р.); XXXIII International Summer School – Conference "Advanced Problems in Mechanics" (м. С.-Петербург (Репіно), 28 червня – 5 липня 2005р.).
У повному обсязі дисертаційна робота доповідалась на об’єднаному науковому семінарі кафедр теорії пружності та обчислювальної математики, теоретичної та прикладної механіки Донецького національного університету та від-ділу аналітичних методів механіки гірських порід Інституту прикладної мате-матики і механіки НАН України (2005р.), науковому семінарі „Angewandte Mathematik” Інституту Математики Потсдамського університету (м. Потсдам, Німеччина, 2005р.) та науковому семінарі у Національному технічному університеті „Харківський політехнічний інститут” (м.Харків, 2006 р.).
Публікації і особистий внесок здобувача. За результатами представлених в дисертаційній роботі досліджень опубліковано 29 наукових робіт, серед яких 13 статей: 3 – в журналах [4, 5, 10], 10 – в збірниках [1 – 3, 6 – 9, 11 – 13] (усього 5 статей у визнаних ВАК фахових виданнях [1 – 5]), 16 публікацій у збірниках тез і матеріалів наукових конференцій [14 – 29].
Усі основні результати дисертаційної роботи і провідні результати, що ві-дображені у наукових публікаціях, отримані автором самостійно. З 29 наукових публікацій за темою дисертації 22 роботи підготовлені у співавторстві. У робо-тах [1, 2, 4, 7 – 13, 15, 17, 20 – 23, 25, 26, 29] співавтору науковому керівнику Сторожеву В. І. належить участь в постановці розглянутих задач та обговоренні конкретних одержаних результатів і висновків. У роботах [6, 15, 16] співавтору Шпаку В. А. належать результати, що стосуються властивостей нормальних хвиль лінійного спектру та участь в обговоренні одержаних результатів.
Структура дисертації. За структурою дисертаційна робота складається зі вступу, п’яти розділів, висновку та списку використаної літератури, що містить 153 джерела. У роботі є 2 таблиці і 43 рисунків. Загальний обсяг дисертації складає 173 сторінки, з яких 18 сторінок займає список літератури.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
У вступі обґрунтовано вибір та актуальність теми дисертаційної роботи, охарактеризовано її зв’язок з науковими програмами; визначено об’єкт, пред-мет та методи дослідження; сформульовано мету та задачі дослідження; наве-дено характеристику наукової новизни, обґрунтованості та достовірності нау-кових положень, висновків і рекомендацій роботи, її наукового та практичного значення; наведено дані про апробацію та публікацію матеріалів дослідження, дані про особистий внесок автора в публікації за темою дисертації, які виконані у співавторстві; викладено коротку анотацію змісту роботи.
У першому розділі роботи наведено аналітичний огляд основних резуль-татів і методів до-сліджень, пов’язаних з темою дисертаційної роботи. Зазна-чено, що загальні методологічні засади, які використовуються в теорії лінійних та нелінійних хвилевих процесів в твердих деформівних тілах, в сучасному викладі представлені в роботах В.А.Бабешка, В.М.Бабича, О.В.Білоконя, О.О.Ватульяна, І.І.Воровича, Є.В.Глушкова, З.А.Гольдберга, Н.С.Городецької, О.Я.Григоренка, В.Т.Гринченка, О.М.Гузя, В.І.Гуляєва, О.Ю.Жарія, О.П.Жука, Л.К.Зарембо, В.Г.Карнаухова, Г.Л.Коміссарової, О.С.Космодаміанського, В.А.Красильникова, В.Д.Кубенка, Л.В.Курпи, В.В.Леманова, П.З.Лугового, В.В.Мелешка, Ю.В.Міхліна, Л.О.Молоткова, А.В.Наседкіна, В.І.Пожуєва, О.Д.Пряхіної, В.Л.Рвачьова, О.В.Руденка, Я.Я.Рущицького, О.М.Самсонова, І.Т.Селезова, І.К.Сенченкова, В.І.Сторожева, А.Ф.Улітка, Ю.А.Устинова, В.М.Чехова, М.О.Шульги, Ю.К.Енгельбрехта, B.A.Auld, D.E.Chimenti, D.S.Datta, K.F.Graff, P.C.Y.Lee, P.O.Lopen, G.А.Maugin, A.P.Mayer, R.D.Mindlin, M.J.P., A.H.Nayfeh, Y.H.Pao, M.Redwood, N.Sugimoto, R.J.Talbot, R.N.Thurston, J.Whitham та ряду інших вчених. Вказано на су-часні актуальні наукові проблеми у галузі теорії нелінійних хвилевих процесів у пружних анізот-ропних середовищах, які за провідними аспектами залишаються відкритими.
Далі у цьому розділі сформульовано математичну і фізичну постановку та охарактеризовано концепцію розв’язання задач, що розглядаються у роботі. Ці задачі полягають, по-перше, у визначенні функцій нелінійних хвилевих переміщень у вільних нелінійних нормальних хвилях з різними напрямками розповсюдження в площині анізотропного монокристалічного шару кубічної системи за моделлю динамічного деформування, яка ґрунтується на тензорному представленні пружного потенціалу з квадратичними і кубічними членами за деформаціями.
За концепцією введення розвинень пружних хвилевих переміщень за малим параметром – акустичним числом Маха, досліджувана проблема зводиться до двохетапного процесу – визначення перших складових розвинень (функцій динамічних переміщень для лінійних нормальних хвиль) зі спектральних задач та визначення функцій динамічних пружних переміщень для других гармонік нелінійних нормальних хвиль (нелінійних ангармонічних збурень нормальних хвиль) з неоднорідних крайових задач.
Проблемою другого типу, яка розв’язується у дисертаційній роботі, є визначення нелінійних хвилевих полів, збуджуваних гармонічними зсувними зовнішніми навантаженнями кругової частоти , прикладеними до бічної (торцевої) поверхні анізотропного півшару з крайової задачі, що містить граничні умови для функцій механічних напружень на торцевій поверхні.
До другого розділу дисертаційної роботи включені дослідження, що полягають у визначенні нелінійних ангармонічних збурень для лінійних симетричних по товщині шару вільних нормальних монохроматичних SH-хвиль вздовж пружноеквівалентних напрямків розповсюдження у анізотропному шарі кубічної системи та нелінійних ангармонічних збурень для симетричних нор-мальних SH-хвиль комбінаційного типу, якими є хвилі у вигляді комбінації двох різночастотних хвиль з однієї моди спектру або двох нормальних хвиль з різних мод спектру, що мають однакові або відмінні частоти.
Із застосуванням побудованого комп’ютерного алгоритму алгебраїчних перетворень та представлень комплексних функцій напруженості лінійних симетричних монохроматичних SH-хвиль моди з номером для напрямку пружної симетрії шару функції напруженості других гармонік визначені у формі (7). Коефіцієнти у співвідношеннях (7) є доволі складними і громіздкими виразами, що містять фізико-механічні параметри хвилі і шару. Визначені другі гармоніки є хвилями P-SV-типу, що якісно узгоджується з відомими результатами визначених других гармонік об’ємних хвиль зсуву. Розв'язок (7) побудовано за припущенням, що P-SV-хвилі зі сполученням частоти та хвилевого числа не належать будь-якій з мод лінійного спектру P-SV-хвиль.
Далі у цьому розділі визначені другі гармоніки симетричних нормальних SH-хвиль комбінаційного типу. У випадку одночасного існування двох лінійних нормальних SH-хвиль вздовж напрямку пружної симетрії , що належать модам дисперсійного спектру і мають кругові частоти , представлення для відповідних комплексних функцій напруженості лінійних SH-хвиль мають вигляд (8), а їх другі гармоніки визначені у формі (9).
Доданки характеризують другі гармоніки монохроматичних хвиль з частотами і визначаються за формулами (7) з заміною , а доданки є другими гармоніками хвиль з частотою , або частковими розв’язками комбінаційного типу і мають структуру (10).
Із застосуванням побудованих розв'язків (7), (9) досліджено коло кінематичних і енергетичних характеристик для нелінійних ангармонічних збурень. Так, зокрема, проаналізовані частотні залежності для нормованих максимальних по товщині шару значень амплітудних функцій хвилевих переміщень у других гармоніках монохроматичних хвиль в шарі з кубічних монокристалів германію і кремнію. Наприклад, для других гармонік нормальних монохроматичних SH-хвиль моди з амплітудою м частотні залежності нормованих параметрів в перерізі хвилеводу півтовщини м з монокристалу германія у момент часу представлені на рис. . Ці залежності свідчать про наявність ефектів локального надінтенсивного збудження других гармонік в околі певних визначених частот. Такий ефект має місце і для частотних залежностей нормованих значень амплітудних функцій хвилевих переміщень у других гармоніках монохроматичних нормальних SH-хвиль в шарі з монокристалу кремнію. Проведено дослідження зміни форм амплітудних функцій других гармонік нормальних SH-хвиль по товщині шару при варіації їх частоти та частотних залежностей значення координати точки, в якій спостерігаються максимальні значення амплітудних показників . Приклад такої залежності для другої гармоніки лінійних нормальних SH-хвиль моди у шарі монокристалу германію наведено на рис. . Характерною для цих розподілів є стрибкоподібна зміна положення точок досягнення максимумів в околі частот локального зростання інтенсивностей других гармонік. Водночас стрибки у положеннях цих точок виникають також і у внутрішніх точках інтервалів між зазначеними частотами.
Досліджені відношення максимальних рівнів амплітудних показників лінійної хвилі до максимальних рівнів амплітудних показників її другої гармоніки, що характеризуються нормованими параметрами вигляду та не залежать від амплітуди лінійної хвилі. Характер такої залежності показника для хвиль першої моди SH-спектру у шарі монокристалу германію показує рис. .
Досліджені співвідношення між амплітудними рівнями компонент і хвилевих рухів для другої гармоніки в залежності від частотного параметру і показано, що в цілому практично для всіх частот з інтервалу амплітудна складова перевищує складову . Ці залежності можливо використовувати для визначення типів локалізації хвиль других гармонік.
При дослідженні кінематичних властивостей хвилевих рухів у других гармоніках комбінаційного типу окрему увагу приділено аналізу частотних за-лежностей їх інтенсивностей, які характеризують нелінійну взаємодію хвиль.
Зазначені частотні залежності ілюструються тонованими зображеннями розподілу значень амплітудного показника переміщень; зокрема, характер зазначеної залежності для амплітудного показника переміщень у комбінаційній другій гармоніці нормальних SH-хвиль, утворений хвилями першої та другої мод лінійного спектру, наведено на рис. . Меншим значенням досліджуваної величини на тонованому зображенні відповідає більш темний колір, зі збільшенням значень колір світлішає. Розрахунки зроблено для перерізу хвилеводу для моментів часу, які співпадають з моментами початку періодів хвильового процесу.
У окремому підрозділі здійснено аналіз властивостей деяких енергетичних властивостей досліджуваного хвилевого процесу, а саме середніх за період потоків потужності , у других гармоніках монохроматичних нормальних SH-хвиль. Розраховані частотні залежності приведеної енергетичної характеристики , яка не залежить від амплітуди лінійної гармоніки. Обраховані залежності мають характерні риси, які, зокрема, характеризує рис. . Якщо досліджувана інтенсивність середніх за період потоків потужності у лінійних SH-хвилях майже прямо пропорційна частоті, то для хвиль других гармонік розподіл максимальних значень потоків потужності є у деякій мірі подібним до розподілу інтенсивностей максимальних рівнів амплітудних функцій у цих гармоніках. Виявлено, що відносна потужність ангармонічного збурення виявляється в середньому на три порядки меншою за потужність лінійної хвилі.
У третьому розділі дисертаційної роботи викладені результати визначення і дослідження ангармонічних збурень для лінійних симетричних нормальних P-SV-хвиль вздовж пружноеквівалентних напрямків розповсюдження у анізотропному шарі кубічної системи; побудовані розв’язки задач про визначення хвилевих функцій для других гармонік монохроматичних нормальних хвиль P-SV-типу, а також для других гармонік P-SV-хвиль комбінаційного типу. Виходячи з представлень для ненульових складових поля пружних зміщень у лінійних монохроматичних нормальних P-SV-хвилях моді q з пружноеквівалентним напрямком розповсюдження , обраних у вигляді (11) з відповідної неоднорідної граничної задачі (3)-(4) із застосуванням розробленого спеціалізованого комп’ютерного алгоритму отримані аналітичні представлення для пружних переміщень у нелінійних других гармоніках монохроматичних нормальних хвиль цього типу а також для других гармонік нормальних хвиль комбінаційного типу.
За визначеними представленнями других гармонік досліджені певні кінематичні характеристики ангармонічних збурень даного типу для вільних нормальних P-SV-хвиль у шарі монокристалу германію. Досліджені частотні залежності для показника , за якими встановлені подібні до описаних раніше ефекти локального зростання інтенсивності других гармонік для певної дискретної множини частот. Внаслідок дослідження частотних залежностей для показника , зокрема з’ясовано, що для біжучих хвиль, які належать дійсній гілці моди спектру лінійних P-SV-хвиль амплітудні показники ангармонічного збурення виявляються при обраному рівні амплітуди лінійної моди м та у розглянутому діапазоні частот орієнтовно на три порядки меншими, ніж амплітудні показники лінійних хвиль. Дослідження співвідношення максимальних по товщині шару парціальних складових амплітудних показників та у других гармоніках монохроматичних хвиль моди , яке характеризується величиною в залежності від нормованої частоти (рис. ) свідчить про те, що, на відміну від амплітудних складових других гармонік нормальних хвиль SH-типу, практично для всіх частот інтервалу амплітудна складова перевищує складову для відносно низьких частот, та, навпаки, амплітудна складова перевищує складову для високих частот, і це дає інформацію для визначення характеру високочастотної локалізації хвиль других гармонік.
У четвертому розділі дисертаційної роботи побудовані розв’язки неоднорідних крайових задач, що визначають другі гармоніки одномодових монохроматичних трьохпарціальних нормальних хвиль вздовж довільних непружноеквівалентних напрямків розповсюдження в анізотропному кристалічному шарі кубічної системи. При обранні представлень парціальних функцій напруженості лінійних нормальних хвиль вздовж напрямку в площині шару, який характеризується кутом та відповідно вектором нормалі n, у вигляді (14) із застосуванням розробленого комп’ютерного алгоритму визначені аналітичні представлення для пружних переміщень у нелінійних других гармоніках монохроматичних трьохпарціальних нормальних хвиль, які мають форму (15).
Здійснені дослідження окремих кінематичних характеристик у других гармоніках нормальних симетричних трьохпарціальних біжучих хвиль сьомої моди лінійного спектру для випадку вільного за гранями шару з монокристалу германію та напрямку розповсюдження, який характеризується кутом . Встановлено, що в даному випадку інтенсивність складової для другої гармоніки нормальних трьохпарціальних хвиль у всьому досліджуваному діапазоні частот є найбільшою. Для форм розподілу всіх амплітудних складових хвилевих переміщень у других гармоніках по товщині шару характерним є збільшення кількості осциляцій при зростанні частотного параметру.
Для других гармонік нормальних симетричних трьохпарціальних хвиль досліджені також окремі енергетичні характеристики, зокрема, співвідношення між середніми за період потоками потужності у лінійних хвилях вздовж напрямку розповсюдження і вздовж поперечного до напрямку та відповідними потоками потужності у других гармоніках, що характеризуються нормованими параметрами , які не залежать від амплітуди лінійної хвилі. Наведені на рис. , 8 розподіли зокрема свідчать про наявність частотних діапазонів, в яких спостерігаються суттєво відмінні рівні відносних потоків для повздовжнього та поперечного напрямків.
Максимальні показники потоків потужності для другої гармоніки у досліджуваному випадку виявляються у середньому на три порядки меншими за приведені показники потоків потужності для лінійної хвилі.
П’ятий розділ роботи містить розв’язок задачі про збудження хвилевого поля симетричними осцилюючими монохроматичними горизонтально поляризованими зовнішніми зсувними зусиллями біля краю вільного за гранями кристалічного півшару з монокристалу германію з врахуванням нелінійних ангармонічних ефектів, побудований методом рядів за базисними множинами нормальних хвиль (методом динамічних однорідних розв’язків). Первинне лінійне поле хвилевих зсувних рухів, яке має задовольняти першій з крайових умов (5), побудовано у вигляді розвинення за лінійними гармоніками нормальних SH-хвиль (6), а сукупність хвиль подвоєної частоти у даному випадку складається з суми других гармонік для лінійних нормальних SH-хвиль монохроматичного та комбінаційного типу та сукупності лінійних нормальних P-SV-хвиль цієї частоти (18), де , і визначаються за формулами (8) при умові , а визначаються за формулами (6), а коефіцієнти розвинень (20) визначаються методом найменших квадратів.
Побудований теоретичний розв'язок дозволяє дати порівняльні оцінки ін-тенсивностей окремих полів, що складаються з сукупності лінійних нормальних хвиль зсуву частоти (18), сукупності лінійних нормальних P-SV-хвиль частоти (20) та сукупності других гармонік частоти монохроматичного та комбінаційного типів для збуджених зсувними зусиллями ліній-них нормальних SH-хвиль (19). Так, у випадку збудження півшару з м зсувними зусиллями інтенсивності , де , Па (тобто у випадку, коли акустичне число Маха для біжучої хвилі нижчої бездисперсної моди зі спектру нормальних симетричних SH-хвиль не перевищує ), визначені максимальні амплітудні показники пружних хвилевих зміщень в зазначених полях для моментів часу, що співпадають з початком періоду дії зовнішніх зсувних зусиль, в точках перерізу півшару , наведені у таблиці. У розглянутому випадку інтенсивність поля хвилевих пере-міщень виявляється на два-три порядки меншою за інтенсивність поля , а для поля ця різниця становить три-чотири порядки.
ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ І ВИСНОВКИ
В дисертаційній роботі реалізовано подальшу розробку теоретичних чисельно-аналітичних методик дослідження проблеми визначення нелінійних ангармонічних збурень при збудженні та розповсюдженні одно-, двох- та трьохпарціальних нормальних пружних хвиль в анізотропному шарі з монокристалічних матеріалів кубічної системи у точній тривимірній математичній постановці. Найбільш важливі одержані у роботі результати полягають у такому:
1. Створені алгоритми чисельно-аналітичного розв’язання неоднорідних крайових задач з визначення других гармонік монохроматичних симетричних нормальних SH- та P-SV-хвиль вздовж напрямків пружної симетрії анізотропного шару кубічної системи; других гармонік трьохпарціальних монохроматичних симетричних нормальних хвиль вздовж довільного непружноеквівалентного напрямку розповсюдження а анізотропному шарі кубічної системи; других гармонік симетричних нормальних SH- та P-SV-хвиль комбінаційного типу вздовж напрямків пружної симетрії анізотропного шару кубічної системи.
2. Побудовано чисельно-аналітичний розв’язок задачі про збудження хвилевого поля у кристалічному півшарі монокристалу германію зсувними гармонічними зусиллями на бічній поверхні з врахуванням нелінійних ангармонічних ефектів.
3. Досліджені і узагальнені деякі кінематичні характеристики других гармонік нормальних хвиль:
? визначені залежності функцій хвилевих пружних переміщень у других гармоніках монохроматичних нормальних SH- та P-SV-хвиль та других гармоніках нормальних SH- та P-SV-хвиль комбінаційного типу від частотних параметрів, виявлено локальні ефекти зростання амплітудних функцій других гармонік при певних частотах;
? проведено дослідження рівнів ангармонічних збурень для других гармонік нормальних хвиль комбінаційного типу, що характеризують ефекти нелінійної взаємодії нормальних хвиль;
? досліджено частотні залежності розташування точок по товщині хвилеводу, у яких спостерігаються максимальні рівні амплітуд хвилевих переміщень у других гармоніках;
? проведено співставлення максимальних по товщині шару компонентів амплітудних функцій парціальних хвилевих переміщень у других гармоніках;
? проведено аналіз трансформації форм амплітудних функцій хвилевих переміщень у других гармоніках монохроматичних нормальних хвиль досліджуваних типів.
4. Досліджені окремі частотні залежності для щільностей середніх за період потоків потужності у других гармоніках симетричних нормальних хвиль. Для дискретної множини частот виявлені частоти локального зростання щільностей потоків потужності.
5. На підставі дослідження задачі про нелінійні ангармонічні ефекти при збудженні хвилевого поля у кристалічному півшарі зсувними гармонічними зусиллями на бічній поверхні визначені порівняльні оцінки інтенсивностей полів, що складаються з сукупності лінійних нормальних SH-хвиль, сукупності лінійних нормальних P-SV-хвиль подвоєної частоти та сукупності других гармонік монохроматичного та комбінаційного типів для збуджених лінійних нормальних SH-хвиль.
Одержані теоретичні результати, досліджені та описані нелінійні ангармонічні ефекти можуть бути використані при розробці принципових схем функціонування компонентів акустоелектронної техніки, в неруйнівному ультразвуковому контролі, в прикладній сейсмоакустиці.
Основний зміст дисертаційної роботи відображено у публікаціях:
1. Куренная К. И., Сторожев В. И. Вторые гармоники нелинейных нормаль-них SH-волн в пластине из монокристалла германия // Теорет. и прикладная механика. – 2002. – Вып. . – С. .
2. Куренная К. И., Сторожев В. И. Ангармонические эффекты при распространении нелинейных нормальных P-SV-волн в анизотропном упругом слое // Теорет. и прикладная механика. – 2002. Вып. . – С. .
3. Куренная К. Частное решение спектральной задачи для второй гармоники взаимодействующих SH-волн в слое // Теорет. и прикладная механика. – 2003. – Вып. 38. – С. .
4. Курінна К. І., Сторожев В. І. Розповсюдження нелінійних ультраакустич-них хвиль в кристалічних пластинчатих хвилеводах // Машинознавство. 2003. – №9. – С. .
5. Куренная К. И. Взаимодействие нелинейных нормальных P-SV-волн в мо-нокристаллическом слое кубической системы // Вісник Донецького універ-ситету, Сер. А: Природничі науки. – 2004. Вип. 1. – С. 144-151.
6. Шпак В. А., Куренная К. И. Возбуждение нелинейных нормальных волн сдвиговыми усилиями у края анизотропного полуслоя // Праці вузівської нау-ково-методичної конференції професорсько-викладацького складу за підсум-ками діяльності за період 1999-2000 рр.: Зб. наук. та наук.-метод. праць. – До-нецьк: ДонНУ. – 2001. – 76 с. С. .
7. Куренная К. И., Сторожев В. И. Вторые гармоники монохроматических трехпарциальных нормальных волн в монокристаллическом слое кубической системы // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды VIII Ме-ждународной конференции (г. Ростов-на-Дону, 14-18 октября 2002 г.). Том 2. – Ростов-н/Д: “Новая книга”. 2003. – 214 с. – С. 124-127.
8. Kurennaya K. I., Storozhev V. I. Nonlinear acoustic effects while spreading of the normal waves in anisotropic elastic layer // Proceedings of the Tenth International Congress on Sound and Vibration (Stockholm, Sweden, 7-10 July ). – Stock: IIAV. – 2003. – 5090 – P. .
9. K. I. Kurennaya, V. I. Storozhev Analyses of nonlinear ultraacoustic wave propin germanium monocrystal // NMCM 2003. Proceedings of the extended abstracts for 9th International Conference on Numerical Methods in Continuum Me(Zilina, Slovak Republic, 9-12 September 2003). – Zilina: Society for Sciand Engineering. – 2003. – 191 – P. .
10. K. I. Kurennaya, V. I. Storozhev Analyses of nonlinear ultraacoustic wave properties in germanium monocrystal // Journal of Computational and Applied Me– 2005. – Vol. , No. . – P. .
11. K. Kurennaya, V. Storozhev Nonlinear distortions in the field of interacting uni-directional SH-waves in cubic system lamina // 4th ICCSM. Extended Abstracts of the 4th International Congress of Croatian Society of Mechanics (Bizovac, Croatia, September 18-20, 2003). – Zagreb: Croatian Society of Mechanics. – 2003. – 214– P. .
12. K. Kurennaya, V. Storozhev Nonlinear effects while interacting SH waves in cubical system lamina spreading // 4th ICCSM. Proceedings (offprints) of the 4th InCongress of Croatian Society of Mechanics (Bizovac, Croatia, September 18-20, 2003). – Zagreb: Croatian Society of Mechanics. – 2003. – 658– P.299-305.
13. Куренная К. И., Сторожев В. И. Частотные зависимости нелинейных эф-фектов при распространении нормальных SH-волн в слое из монокристалла германия // Труды III Всероссийской конференции по теории по теории упруго-сти с международным участием (г. Ростов-на-Дону – Азов, 13-16 октября 2003 г.). – Ростов-н/Д: “Новая книга”. – 2004. – С. .
14. Куренная К. И. Нелинейные упругие P-SV- и SH-волны в анизотропном слое кубической системы // Материалы Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых “Ломоносов” (Москва, 9-12 апреля 2002г.). Выпуск 7. – М.: Изд.-во МГУ. – 2002. – 384 с. – С. 355.
15. K. I. Kurennaja, V. I. Storozhev, V. A. Shpack Nonlinear normal waves in free crystal lamina of cubical systems // Contemporary Research in Theoretical and Applied Mechanics. Program and Abstracts for 14th US National Congress of Theoand Applied Mechanics (Blacksburg, VA, USA, June 23-28, 2002). – Blacks: Virginia Polytechnic Institute and State University. – 2002. – P. .
16. К. І. Kurennaya, V. A. Shpack Second harmonics of non-linear SH- and P-SV normal waves in monocrystal germanium plate waveguide // 16th International Symon Nonlinear Acoustics (Moscow, August 19-23, 2002). Abstracts. – М.: ПИК ВИНИТИ. – 2002. – 295 с. – С. 31.
17. Куренная К. И., Сторожев В. И. Описание вторых гармоник нелинейных монохроматических нормальных волн в волноводе кубической системы // Ма-териалы IX Международного симпозиума “Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред” (Ярополец, 10-14 февраля 2003г.). – Москва: Оптимпресс. – 2003. – 306 с. – С. .
18. Курінна К. І. Взаємодія нелінійних нормальних SH-хвиль у кристаліч-ному шарі // Шоста Всеукраїнська (Перша міжнародна) студентська наукова конференція з прикладної математики та інформатики СНКПМІ-2003 (м. Львів, 17-18 квітня 2003р.). Тези доповідей. – Львів: ЛНУ. – 2003. – 130 с. – С. .
19. Куренная К. И. Вторые гармоники взаимодействующих SH-волн в анизо-тропном слое // Актуальні проблеми математики та інформатики. Збірка тез доповідей першої регіональної наукової конференції молодих дослідників (м. Запоріжжя, 24-26 квітня 2003 р.). – Запоріжжя: Вид.-во ЗДУ. – 2003. – 53 с. – С. .
20. K. I. Kurennaya, V. I. Storozhev Propagation of nonlinear ultraacoustic waves in lamina of cubical system // Acta Acoustica United with Acoustica. Euronoise 2003. 5th European Conference on Noise Control. AIA 2003. XXXof the Acoustical Society of Italy (Naples, Italy, 19-21 May 2003). – 2003. – Vol. 89, Suppl. 1. – P. 123-124.
21. Курінна К. І., Сторожев В. І. Розповсюдження нелінійних ультраакустичних хвиль в кристалічних пластинчатих хвилеводах // Шостий міжнародний симпозіум українських інженерів-механиків у Львові (Львів, 21-23 травня 2003г.): Тези доповідей. – Львів: КІНПАТРІ ЛТД. – 2003. – 216 с. – С. .
22. Kurennaya K. I., Storozhev V. I. Nonlinear distortions in the field of interactunidirectional SH-waves in cubic system lamina // International Seminar “Days on Diffraction 2003” (Saint Petersburg, June 24-27, 2003). Abstracts. – С.-Петер-бург: НИИХ СПбГУ. 2003. – 92 с. – С. 56.
23. K.V.Nonlinear acoustic effects while spreading of the normal waves in anisotropic elastic layer // 10th International Congress on Sound and Vibration (Stockholm, Sweden, 7-10 July ). Abstract Book and Congress Infor– Stockholm: IIAV. – 2003. – 150– P. .
24. K.Non-linear ultraacoustic waves in crystal waveguide compoof acoustoelectronic devices // 5th International Congress on Industrial and ApMathematics (Sydney, Australia, 7-11 July 2003). Book of Abstracts. – Sydney: University of Technology. – 2003. – 437. – P. 340.
25. Куренная К. И., Сторожев В. И. Эффекты трехфононного взаимодейст-вия при распространении нормальных упругих волн вдоль направления упру-гой симметрии кристаллического слоя // Всероссийская научная конференция по волновой динамике машин и конструкций, посвященная памяти профессора А.И.Весницкого (г. Нижний Новгород, Россия, 1-5 июня 2004г.). Тезисы док-ладов. – Нижний Новгород: ООО “Промышленная группа ТИРАСП”. – 2004. – С. .
26. K. Kurennaya, V. Storozhev Nonlinear distortion while interacting normal P-SV-waves in cubic system lamina propagation // XXXII Summer School – Confer“Advanced Problems in Mechanics” (June 24 – July 1, St. Petersburg (Repino), Russia). Book of Abstracts. – St. Petersburg. – 2004 – 112– P. .
27. K. Kurennaya, V. Storozhev Second harmonics of nonlinear monochromatic normal waves in cubic system lamina // Conference on Nonlinear Dynamics (Khar-kov, Ukraine, 14-16 September 2004). Book of Abstracts. – Kharkov: NTU “Kharkov Politech. Inst.”. – 2004. – P. .
28. K. Kurennaya Nonlinear interaction of normal elastic waves in solids // XXXIII Summer School – Conference “Advanced Problems in Mechanics” (June 28 – July 5, St. Petersburg (Repino), Russia). Book of Abstracts. – St. Petersburg. – 2005 – 99 – P. .
29. Куренная К. И., Сторожев В. И. Анализ возбуждения стационарных сдвиговых волн в полуслое кристалла кубической системы при учете нелинейных ангармонических эффектов // “Консонанс - 2005”. Акустичний симпозіум (м. Київ, 27-29 вересня 2005р.). Тези доповідей. – Київ. – 2005. – С. .
АНОТАЦІЇ
Курінна К. І.: Нелінійні ангармонічні ефекти при збудженні та розповсюдженні нормальних хвиль в кристалічному шарі. – Рукопис.
Дисертація на здобуття вченого ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла, Донецький національний університет, Донецьк, 2006.
В тривимірній постановці за моделлю фізично та геометрично нелінійного динамічного деформування анізотропного пружного середовища кубічної системи розв’язано проблему визначення ангармонічних збурень для вільних нормальних хвиль в пружних анізотропних хвилеводах у вигляді шару та проблему визначення нелінійних ангармонічних ефектів при збудженні хвилевого поля у півшарі зовнішніми осцилюючими зсувними зусиллями.
Побудовані розв’язки задач про визначення нелінійних ангармонічних збурень для деяких типів симетричних монохроматичних одномодових та комбінаційних нормальних хвиль у вільному за гранями анізотропному шарі кубічної системи з монокристалів германію і кремнію. Досліджені і узагальнені амплітудно-частотні ефекти у кінематичних та енергетичних характеристиках других гармонік нормальних хвиль монохроматичного та комбінаційного типу.
Методом рядів за базисними нормальними хвилями побудовано розв’язок задачі про збудження хвилевого поля у вільному за гранями півшарі монокрис-талу германію з врахуванням ангармонічних ефектів і дано часткові кількісні оцінки складових поля, що характеризують внесок явища нелінійності.
Ключові слова: нелінійні ангармонічні ефекти, вільні нормальні хвилі, пружний анізотропний шар, монокристалічні матеріали кубічної системи, другі гармоніки монохроматичного та комбінаційного типів, кінематичні та енергетичні властивості хвиль, збудження хвилевого поля з врахуванням нелінійних ангармонічних ефектів.
Куренная К. И.: Нелинейные ангармонические эффекты при возбуждении и распространении нормальных волн в кристаллическом слое.– Рукопись.
Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математиче-ских наук по специальности 01.02.04 –
