МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ДОНЕЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Корохіна Ольга Андріївна

УДК 539.3

Напружено-деформований стан пружно-пластичної оболонки з тріщиною

01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеню

кандидата фізико-математичних наук

Донецьк-2006

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі прикладної механіки і комп’ютерних технологій Донецького національного університету Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор

Довбня Катерина Миколаївна, Донецький національний університет Міністерства освіти і науки України, професор кафедри прикладної механіки та комп’ютерних технологій.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

Николишин Мирон Михайлович, інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України (м. Львів), завідувач відділу механіки деформованого твердого тіла.

доктор фізико-математичних наук, професор

Валерій Миколайович Чехов, Таврійський національний університет ім. В.Вернадського, завідувач кафедри прикладної математики.

Провідна установа: Дніпропетровський національний університет, кафедра теоретичної і прикладної механіки.

Захист відбудеться „ 27 ” квітня 2006 р. о 14:30 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 11.051.05 при Донецькому національному університеті за адресою: вул. Університетська 24, головний корпус ДонНУ, ауд. 603 м. Донецьк, 83055.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Донецького національного університету за адресою: вул. Університетська 24, головний корпус ДонНУ, м. Донецьк, 83055.

Відгук на автореферат просимо надсилати за адресою: вченому секретарю спеціалізованої ради К11.051.05, математичний факультет, вул. Університетська 24, головний корпус ДонНУ, м. Донецьк, 83055

Автореферат розісланий „ 27 ” березня 2006р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради К11.051.05 Мисовський Ю.В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність роботи. У теорії та на практиці міцність реальних твердих тіл визначається не лише їх фізико-хімічною природою, а й істотно залежить від дефектів їх структури. Розв’язання задачі про напружений стан деформованого твердого тіла можливе лише у випадку врахування впливу на нього дефектів (мікро- і макротріщин, порожнин та включень різного походження, границь блоків та зерен у випадку композитного матеріалу тощо), що їх містить тіло. Ці дефекти стають концентраторами напружень, тобто в їх околі виникає висока інтенсивність напружень, яка, в свою чергу, призводить до течії матеріалу, утворення та поширення тріщин і, врешті решт, до локального чи повного руйнування тіла. Аби змоделювати та оцінити вплив таких концентраторів на напружений стан деформованого твердого тіла, доцільно проводити дослідження, що піддаються аналітичному трактуванню. Найбільш небезпечними концентраторами з точки зору руйнації тіла є наскрізні та внутрішні тріщини.

Експериментальні дослідження показують, що для більшості матеріалів закон Гука у вершинах тріщин не виконується і на продовженні тріщин вузькою смугою поширюються зони пластичних деформацій, розміри яких іноді стають порівняними із лінійними розмірами тріщини. Дослідження напруженого стану оболонки з урахування цього факту дозволяє отримати розрахункові результати, ближчі до експериментальних у порівнянні з тими, що отримані у рамках суто пружних моделей.

У роботі використовується так звана -модель, або модель Леонова-Панасюка-Дягдейла, яка моделює зони пластичної деформації лініями розриву переміщень та кутів повороту, а реакцію матеріалу у пластичних зонах вважає пружною.

Урахування зон пластичної деформації при розв’язанні задачі про дослідження розкриття тріщин дозволяє суттєво уточнити розрахункові дані, які є важливими, наприклад, при прогнозуванні продуктивності свердловин у нафтовидобувній галузі, при визначені часу остаточного руйнування тіла. Вплив пластичних зон також відчутний при визначені параметрів напруженого стану, знання яких є важливе для розрахунку критичного навантаження при визначенні розрахункових навантажень оболонок, наприклад, трубопроводів, корпусів літаків та ін. Тому тема дисертаційної роботи є актуальною і має незаперечний практичний інтерес.

Метою дисертаційної роботи є побудова методики розв’язання задачі про напружений стан пружно-пластичних ізотропних оболонок довільної гаусової кривини, що містять наскрізну або ненаскрізну прямолінійну в плані тріщину. Методика базується на застосуванні аналога дельта-к-моделі та системи СІР задачі про напружено-деформований стан оболонки довільної кривини, послабленої наскрізною тріщиною. Об’єктом дослідження є гранична рівновага оболонки, лінійні розміри пластичних зон, що передують тріщині, розкриття тріщини та значення параметрів напруженого стану оболонки (зусилля, моменту тощо). Предметом дослідження є залежність розмірів пластичних зон у задачі про наскрізну та ненаскрізну тріщини від кривини оболонки, рівня зовнішнього навантаження та розташування тріщини (розглядалися повздовжні та поперечні тріщини); залежність відносного розкриття кінчика тріщини від кривини оболонки та рівня навантаження; зусилля та моменту від кривини оболонки тощо.

Методи дослідження. Із використанням аналогу дельта-к-моделі задача про пружно-пластичну оболонку із тріщиною відомої довжини зводиться до задачі про пружну оболонку із тріщиною невідомої довжини, на кінчиках якої виконуються умови пластичності. Використовуючи апарат узагальнених функцій, теорему взаємності Беті та двовимірне інтегральне перетворення Фур’є будується система СІР поставленої задачі. Отримана система сингулярних інтегральних рівнянь зводиться методом механічних квадратур до системи лінійних алгебраїчних рівнянь із використанням квадратурних формул для шуканих функцій, необмежених та обмежених на кінцях проміжку інтегрування. Перевіряючи умови пластичності, методом послідовного наближення шукаються моменти та зусилля.

Зв’язок роботи із науковими програмами, планами, темами. Робота була виконана відповідно до індивідуального плану підготовки аспіранта кафедри прикладної механіки та комп’ютерних технологій Донецького національного університету та, частково, в рамках тем 03-1/6, номер державної реєстрації № 0103U007256 “Розробка методів підвищення міцності, стійкості і довговічності тонкостінних оболончатих конструкцій (розрізів, вирізів, штампів) під дією локальних силових та теплових полів” 2003-2004рр та держбюджетної теми Г-01/55 номер державної реєстрації № 0194U022105 “Розробка асимптотичних методів розв’язків статичних та динамічних задач для тонкостінних ізотропних та неоднорідних тіл при наявності концентраторів напружень”.

Новизна результатів та їх наукова значимість полягає у наступному:

- розроблено методику чисельного розв’язання системи сингулярних інтегральних рівнянь типа Коші для функцій, обмежених на кінцях проміжку інтегрування методом механічних квадратур;

- побудовано методику дослідження напруженого стану пружно-пластичної ізотропної оболонки довільної гаусової кривини, послабленої наскрізною прямолінійною тріщиною в рамках дельта-к-моделі (моделі Леонова- Панасюка- Дагдейла);

- вказану методику поширено на оболонки із внутрішніми та поверхневими тріщинами;

- вказану методику поширено на оболонки із системою двох наскрізних колінеарних тріщин;

- досліджено вплив геометрії оболонки, властивості матеріалу та рівня зовнішнього навантаження на лінійний розмір пластичних зон, розкриття тріщини та параметри напруженого стану (зусилля, момент);

- поданий розгорнутий аналіз розрахункових даних та їх порівняння із результатами інших авторів.

Вірогідність результатів, отриманих у роботі забезпечується, по-перше, відомою вірогідністю використаних методів дослідження, зокрема аналога дельта-к-моделі, та доброю збіжністю чисельних результатів, отриманих у роботі, із результатами, наведеними у роботах інших авторів.

Практичне значення роботи. Отримані результати можуть бути використані у галузі машинобудування при розрахунках максимального та робочого навантаження оболонкових конструкцій, у нафтовидобувній галузі при розрахунках конструкцій нафтопроводів, при прогнозуванні продуктивності свердловин, тощо. Крім того, побудовану методику розв’язання СІР з ядром типу Коші для невідомих функцій, що обмежені на проміжку інтегрування можна застосувати при чисельному розв’язку багатьох задач теорії пружності та пружно-пластичності.

Апробація роботи. Окремі результати досліджень за темою дисертаційної роботи доповідалися на міжнародній конференції по математичному моделюванню МКММ’2003 (с. Лазурне Херсонської обл., 2003 р.), на міжнародному українсько-польському колоквіумі “Математичні проблеми механіки” MPM’04 (м. Донецьк, 2004р.), на науково-практичній конференції викладацького складу ДонНУ (м. Донецьк, 2004р.), на міжнародній конференції по математичному моделюванню МКММ’2005 (м. Феодосія, Крим, 2005р.); на III міжнародній науково-практичній конференції “Динаміка наукових досліджень ’2004” та на IV міжнародній науково-практичній конференції “Динаміка наукових досліджень ’2005” (м. Дніпропетровськ).

У повному обсязі матеріали дисертаційної роботи докладалися на науковому семінарі відділу проф. М.М. Николишина інституту прикладних проблем механіки і математики ім.. Я.С. Підстригача НАН України (м. Львів) та науковому семінарі кафедри прикладної механіки та комп’ютерних технологій Донецького національного університету (м. Донецьк).

Публікації. Зміст дисертації відображено у наведених нижче наукових роботах [1-9], з яких 4 статті у наукових журналах, що визнані ВАК України фаховими з фізико-математичних наук [3,4,7,8], 2 у наукових журналах, що визнані ВАК України фаховими з технічних наук [1,6], 1 у збірнику Міжнародної Академії Наук Вищої Школи [2], 2 у матеріалах наукових конференцій [5,9].

Структура дисертації. Дисертація складається із вступу, 5 розділів, списку використаної літератури та доданків. Основна частина містить 188 сторінки друкованого тексту, 82 ілюстрації, нараховує 143 літературних джерела.

ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовується актуальність задачі, що розглядається, коротко викладається мета та основні результати роботи.

У першому розділі зроблено огляд літератури за темами, що стосуються теми дисертаційної роботи.

Переважна більшість відомих в літературі розв’язків для оболонок з тріщинами отримані для задач, що ставилися в пружній постановці. Але, як ми бачимо з практики експлуатації деталей конструкцій і машин сталей сучасних марок, суттєвий вплив на поширення тріщини мають пластичні деформації, що розвиваються біля вершин тріщини і передують руйнуванню. Характерний лінійний розмір області біля тріщини, де розвиваються пластичні деформації, може бути порівняним з розмірами тріщини або характерними розмірами тіла. Застосування концепції Гріффітса-Ірвіна в таких випадках стає не виправданим і для відповідної оцінки опору матеріалу поширенню тріщини виникає необхідність у використанні нелінійної механіки руйнування. При цьому слід розв’язувати пружно-пластичну задачу про визначення напружень та переміщень в оболонках з тріщинами. Побудова таких розв’язків у випадку континуальної зони пластичності біля вершини тріщини є досить складною математичною проблемою.

При досліджені пластин набув поширення метод розв’язку пружно-пластичних задач з припущенням, що пластичні деформації біля вершини тріщини локалізуються в тонких шарах. Тонкі шари ковзання моделюються поверхнями розриву узагальнених переміщень, на яких діють напруження, що задовольняють умовам пластичності і поза якими тіло вважається пружним. Ця концепція вперше запропонована М.Я.Леоновим, В.П.Панасюком, В.П.Вітвіцьким, Д.С.Дягдейлом та А.А.Уелсом. При цьому вважалося, що береги фіктивної тріщини взаємодіють лише у тому випадку, якщо розкриття тріщини у вершині менше, ніж деяке критичне значення (стале для даного матеріалу при даних умовах). Хоча фізичні трактування моделей, запропонованих у роботах згаданих авторів, різняться між собою, їх математичне формулювання однакове, тому в літературі їх часто називають дельта-к-моделлю. Формулюванню і розвитку дельта-к-моделі присвячена велика кількість робіт. Огляд досліджень по цій тематиці поданий у статтях П.М.Вітвіцького, В.В.Панасюка, С.Я.Яреми, C.Аткінсона, Р.С.Барзума, Р.В.Луміса, Б.Д.Стюарда та монографіях В.В.Панасюка, В.З.Патона, Є.М.Морозова, У.Дж.Холла, К.Кихеса, В.Зута та А.А.Уелса. Результати, отримані на основі цієї моделі неодноразово були підтверджені експериментальними даними.

Нажаль, для ненаскрізних тріщин навіть ідеальної форми дослідження напружень в околі тріщин ускладнюється через тривимірність і необхідність урахування пластичних деформацій біля тріщин і граничних умов на зовнішніх поверхнях оболонок. Тому розв’язки таких задач будують наближено. Зокрема, коли розміри тріщини, рівень навантаження та властивості матеріалу такі, що на продовженні тріщини по всій товщині оболонки вузькою смугою розвиваються зони пластичної деформації, використовують аналог дельта-к-моделі (роботи М.М.Николишина, Ф.Ердогана, Дж.Л.Сандерса). При цьому смугу пластичних деформацій замінюють поверхнею розриву переміщень та кутів повороту, реакцію пластичної зони вважають пружною з відповідними невідомими зусиллями і моментами. Вважають, що на продовженні тріщини в глибину до зовнішньої та внутрішньої поверхонь оболонки діють сталі напруження, які за значенням дорівнюють межі текучості , а в пластичних зонах на продовженні тріщини по довжині – невідомі зусилля та моменти, які визначають, як і в випадку наскрізної тріщини, методом послідовного наближення, перевіряючи умови пластичності.

Використовуючи дельта-к-модель задачу про пружно-пластичну оболонку зводять до задачі у пружній постановці. При розв’язанні цієї задачі використовуємо підхід до побудови систем СІР для пологих оболонок з розрізами, який ґрунтується на використанні апарату узагальнених функцій, теореми взаємності Беті та двовимірного інтегрального перетворення Фур’є, запропонований в роботах В.П.Шевченка та учнів. У згаданих роботах побудовані інтегральні представлення переміщень для ізотропної оболонки з криволінійними розрізами, запропоновано методику побудови інтегральних зображень силових величин та ядер інтегральних рівнянь на випадок симетричної задачі для пологих оболонок довільної гаусової кривини. За допомогою цього підходу у роботах наукового керівника отримана система СІР симетричної задачі для ортотропної пологої оболонки довільної кривини з прямолінійною в плані тріщиною. Вигляд невідомих функцій та граничних умов задачі також отримано в роботах наукового керівника Довбні К.М.

У другому розділі наводяться основні гіпотези та співвідношення теорії пружних та пружно-пластичних оболонок та дельта-к-моделі; ставиться задача про напружено-деформований стан пружно-пластичної оболонки з тріщиною (наскрізною, внутрішньою та поверхневою) та системою двох колінеарних тріщин; будується розв’язувальна система СІР (використовується отримана у роботах наукового керівника система СІР пружної задачі); наводиться методика її чисельного розв’язання.

Розглядається полога ізотропна оболонка довільної кривини сталої товщини h, яка послаблена наскрізною тріщиною довжини 2l уздовж лінії головної кривини (вісі Ox). Розміри тріщин вважаємо великими у порівнянні із товщиною оболонки, але малими у порівнянні з її іншими лінійними розмірами. Це дозволяє розглядати задачу про рівновагу тонкої оболонки з тріщиною за допомогою двовимірної теорії оболонок. У межах цієї теорії тріщини моделюються як математичні розрізи серединної поверхні оболонки. Оболонка віднесена до системи ортогональних координат (x,y,z) таким чином, що координати x та y орієнтовані уздовж ліній головних кривин серединної поверхні оболонки, а координата z спрямована по нормалі до неї (рис. 2.1) Оболонка зазнає дії зовнішнього навантаження, спрямованого на розтяг, внаслідок якого на лінії тріщини по всій глибині оболонки утворюється напруження . Будемо вважати, що оболонка і береги тріщини навантажені симетричними відносно лінії тріщини зусиллям та моментом. У процесі деформації оболонки береги тріщин не контактують між собою.

Постановка задачі про напружено-деформований стан пружно-пластичної оболонки із наскрізною прямолінійною в плані тріщиною робиться наступним чином: розміри тріщини, рівень зовнішнього навантаження і властивості матеріалу вважаємо такими, що в околі тріщини по всій глибині вузькою смугою розвиваються пластичні деформації. Далі, відповідно до дельта-к-моделі, зони пластичних деформацій замінюємо поверхнями розриву переміщень та кутів повороту, реакцію матеріалу вважаємо пружною. У пластичних зонах на подовженні тріщини по довжині діють невідоме нормальне зусилля T і момент M, які задовольняють умовам пластичності Треска або шарнірному.

Таким чином у рамках дельта-к-моделі замінюємо тріщину відомої довжини 2l0 на тріщину невідомої довжини 2l, де l=l0+lp (рис. 2.2), на берегах якої виконуються умови

; ,

де , величинами із зірочкою позначено компоненти загального напруженого стану, та - зусилля та момент на лінії тріщини.

Задача про визначення напруженого стану пружно-пластичної ізотропної оболонки із внутрішньою тріщиною ставиться наступним чином: розглянемо оболонку, яка містить внутрішню тріщину довжини 2l0 що спрямована уздовж вісі Ox оболонки. Розташування тріщини у товщині оболонки визначається параметрами d1 та d3 (рис. 2.3). Розміри тріщини, рівень зовнішнього навантаження і властивості матеріалу вважаємо такими, що в околі тріщини по всій глибині вузькою смугою розвиваються пластичні деформації. Вважаємо, що на подовженні тріщини у глибину оболонки до зовнішньої та внутрішньої поверхонь діє стале напруження рівне межі текучості матеріалу. У пластичних зонах на продовжені тріщини по довжині діють невідоме нормальне зусилля T і момент M, які задовольняють умовам пластичності.

Таким чином у рамках дельта-к-моделі замінюємо тріщину відомої довжини 2l0 на тріщину невідомої довжини 2l, на берегах якої виконуються умови

;,

де величинами із зірочкою позначено компоненти загального напруженого стану, та - зусилля та момент, що прикладені до берегів тріщини, та - зусилля та момент на лінії тріщини, та - зусилля та момент, які є реакцією матеріалу на розрив внутрішніх зв’язків над і під тріщиною.

Далі ставиться задача про визначення напруженого стану пружно-пластичної ізотропної оболонки із поверхневою тріщиною: розглянемо оболонку довільної кривини сталої товщини h, на зовнішній поверхні якої міститься тріщина довжини 2 яка спрямована уздовж вісі Ox оболонки. Глибина тріщини d (рис. 2.4). Розміри тріщини, рівень зовнішнього навантаження і властивості матеріалу вважаємо такими, що в околі тріщини по всій глибині вузькою смугою розвиваються пластичні деформації. Також вважаємо, що на подовженні тріщини у глибину діють постійні напруження, рівні межі текучості матеріалу оболонки. У пластичних зонах на продовжені тріщини по довжині діють невідоме нормальне зусилля T і момент M, які задовольняють умовам пластичності.

Спосіб зведення задачі до задачі про наскрізну тріщину та вигляд граничних умов такий самий, як і для задачі про внутрішню тріщину, відрізняється лише вигляд функцій та .

Нехай описана пружно-пластична оболонка ослаблена системою двох наскрізних, прямолінійних у плані колінеарних тріщин довжиною 2, центри яких знаходяться на відстані 2d. Оболонка знаходиться в стані рівноваги, береги тріщин не контактують між собою. До оболонки на нескінченності прикладене постійне спрямоване на розтяг зусилля . Властивості матеріалу, лінійні розміри оболонки, тріщин і рівень зовнішнього навантаження вважаємо такими, що на подовженні фронту тріщин по обох напрямках розвиваються зони пластичної деформації. При цьому розмір зон, що виникають у зовнішніх кінців тріщин вважаємо рівними , а розміри зон, що виникають у внутрішніх- . Очевидно, що .

Два можливі стани матеріалу перетинки. При такій постановці задачі можливі два випадки:

1. матеріал усієї перетинки знаходиться в пластичному стані;

2. у певній зоні в центрі перетинки виконується закон Гука.

У дисертаційній роботі розглядається перший випадок. Дві тріщини моделюються однією тріщиною довжини 2+2d+2, що має “пластичну” перетинку, наявність якої враховується граничними умовами на контурі тріщини:

; , (2.1)

де t за модулем не перевищує одиницю, t- безрозмірний параметр (оскільки в нашому припущенні дорівнює половині перетинки, значення вважаємо тотожно рівним г-1, г =).

Отже бачимо, що всі чотири поставлені задачі з математичної точки зору зводяться до задачі про напружено-деформований стан пружної оболонки із наскрізною тріщиною, наявність та вплив пластичних зон ураховується шляхом задання граничних умов на контурі тріщини.

У третьому параграфі другого розділу наводиться система СІР задачі про напружено-деформований стан пружно-пластичної ізотропної оболонки довільної кривини із наскрізною, прямолінійною в плані тріщиною, розташованою уздовж лінії головної кривини.

Невідомі функції задачі мають вигляд

, . (2.2)

У роботах наукового керівника побудована система СІР для розв’язку пружної задачі про напружений стан оболонки довільної кривизни з тріщиною. (2.3)-(2.4)

Ядра системи та вигляд коефіцієнтів наведено у роботі [1]. У нашій постановці задачі праві частини системи – розривні функції, що ускладнює чисельний розв’язок, а вирішити систему аналітично неможливо.

Аби отримати систему СІР з неперервними правими частинами, шукані функції представимо у вигляді

(2.5)

де функція h- аналітичний розв’язок рівняння

, (2.6)

Константа a визначається з умови існування розв’язку рівняння (2.6) Підставивши представлення (2.5) до системи (2.3)-(2.4) та скоротивши сингулярні частини ядер за рахунок (2.6) отримаємо систему відносно невідомих функцій g1(t), g3(t) та невідомих віднесених зусилля та моменту , праві частини якої не мають розривів.

Третій розділ дисертаційної роботи присвячений методикам чисельного розв’язку СІР. При чисельному розв’язанні СІР пружно-пластичної задачі (2.3)-(2.4) вчені Львівської школи (М.М.Николишин та інші) користувалися методом механічних квадратур із квадратурними формулами для функцій, необмежених на проміжку інтегрування. До отриманої таким чином системи лінійних алгебраїчних рівнянь додавалося рівняння, в якому коефіцієнти інтенсивності напруженого стану дорівнюються нулеві.

У представленій роботі для розв'язання системи СІР окрім описаного шляху користувалися квадратурними формулами для функцій, обмежених на кінцях проміжку інтегрування.

Квадратурні формули було узято із книги Саврук М.П., Осив П.Н., Прокопчук И.В. Чисельний аналіз у плоских задачах теорії тріщин.- К.: Наук. Думка, 1989.-248 с.

Застосовуючи обидві чисельні методики до системи (2.3)-(2.4) для тріщин у циліндричній оболонці отримали результати, розбіжність між якими не перевищує 5%. З метою перевірки вірогідності побудованої методики було проведене порівняння отриманих з використанням обох чисельних методів результатів із наведеними в роботі Кушнір Р.М., Николишин М.М., Осадчук В.А. Пружний та пружно-пластичний граничний стан оболонок з дефектами.- Львів: НАН України, ІППММ ім. Я.С.Підстригача. Вид-во “Сполом”.- 2003.- 320с.

На наступному рисунку показано залежність параметру від параметру : наведено графіки, отримані в згаданій роботі для циліндричної ізотропної оболонки, послабленої наскрізною поздовжньою тріщиною за допомогою технічної теорії оболонок (пунктирна лінія). Суцільними лініями наведено графіки, отримані автором дисертації за допомогою квадратурних формул для необмежених функцій та квадратурних формул для обмежених функцій (графіки співпадають) при різних значеннях відношення рівню зовнішнього навантаження до межі текучості матеріалу : 0.1, 0.2, 0.3 та 0.6 (криві a-d відповідно). Таким чином отримані результати добре узгоджуються із результатами інших авторів та експериментальними даними.

Механізм застосування обох способів чисельного розв'язання задачі однаковий та базується на методі послідовних наближень, а саме:

· обираємо за значення параметру тау знайдене нульове наближення для пластини;

· розв’язуємо задачу, знаходимо набір значень стрибків переміщень та кутів повороту у вузлах інтерполяції та значення зусилля і моменту, що діють на кінцях фіктивної тріщини (кінчиках пластичної зони);

· для знайдених зусилля та моменту перевіряємо умови пластичності. Якщо вони виконуються із бажаною точністю, вважаємо задачу розв'язаною. Якщо ні, то, вводячи уточнення на значення тау, повертаємося до попереднього пункту.

Варто зазначити, що при розрахунках умова пластичності виконувалася із точністю не менш ніж 5 знаків після коми. Аби забезпечити відповідність поставленій задачі при всіх розрахунках перевірялася умова відсутності контакту берегів тріщини на зовнішній та внутрішній поверхнях оболонки.

При отриманні чисельних результатів у дисертації використовувалися наступні параметри оболонки, матеріалу та зовнішнього навантаження: =0, оболонка ізотропна, =0,3, =0,04. Досліджується залежність параметру , відносного розкриття тріщини в точці x на рівні г , віднесеного зусилля та віднесеного моменту від таких параметрів задачі, як параметр , відношення , віднесений рівень зовнішнього навантаження , кривина оболонки лямбда, розташування тріщини.

У четвертому розділі для чисельного розв’язання задач про внутрішню та поверхневу тріщини невідомі функції записуємо у вигляді , , де , , функція h(t) є аналітичним розв'язком рівняння

, ,

Перенесемо невідомі T та M в ліву частину системи, а вирази із tl та ml в праву, оскільки для них маємо аналітичні формули. Отримаємо з (2.3)-(2.4): (4.1)

Побудована система (4.1) дозволяє розв'язати задачу про напружений стан пружно-пластичної оболонки із внутрішньою або поверхневою прямолінійною тріщиною. При чисельному розв'язку цієї системи користуємося методикою для функцій, обмежених на проміжку інтегрування.

При розрахунках у випадку поверхневої тріщини, та у випадку внутрішньої відіграють роль параметрів задачі. Для внутрішньої повздовжньої та поперечної тріщини досліджено залежність розміру пластичних зон, розкриття тріщини, відносного зусилля та відносного моменту від параметра бетта, кривини лямбда і т.і. Для пружно-пластичної оболонки із поверхневими повздовжніми та поперечними тріщинами отримані та проаналізовані залежністі розміру пластичних зон, розкриття тріщини на зовнішній поверхні оболонки, зусилля та моменту від кривини оболонки лямбда, значення параметру бетта, рівня відносного зовнішнього навантаження.

На рисунку 4.1 представлено отриману залежність розкриття тріщини на рівні серединної поверхні від відносного рівня зовнішнього навантаження. Розглянуто оболонки різної кривини лямбда: -1, -0.5, 0, 0.5, 1 (криві 1-5 відповідно) для внутрішньої тріщини.

На рисунку 4.2 зображено залежність параметру тау від кривини оболонки лямбда для повздовжніх поверхневих тріщин при =0,7 та 0,9 (суцільні та пунктирні криві відповідно) при різних значеннях відносного навантаження: 0,1, 0,3 та 0,5 (криві з позначками 1-3 відповідно) .

П’ятий розділ присвячений розв’язанню задачі про напружено-деформований стан пружно-пластичної оболонки з двома колінеарними тріщинами. Система СІР залишається у вигляді (2.3)-(2.4), невідомі функції запишуться як

(5.1)

Функція є розв’язком рівняння

;

Константа визначається з умови існування розв’язку цього рівняння.

При чисельному розв’язанні побудованої системи СІР обидві її частини поділимо на . Враховуючи (5.1) та те, що

.

з (2.3)-(2.4) отримаємо систему відносно невідомих g1 та g3.

Праві частини отриманої системи не мають розривів, тому можна використати метод механічних квадратур. Використовуючи квадратурні формули для функцій, обмежених на проміжку інтегрування зводимо систему до системи 2n+2 лінійних алгебраїчних рівнянь відносно 2n значень шуканих функцій та у внутрішніх вузлах квадратурної формули та 2-х невідомих змінних та .

На рисунку 5.1 наведено графіки залежності параметру від лямбда для поздовжніх тріщин при різних значеннях параметру г: 1.1, 1.15 та 1.2 (криві 1-3 відповідно). При чисельному дослідженні задачі з двома тріщинами розглянуто залежності параметрів задачі від відстані між реальними тріщинами, розміру тріщин, кривини оболонки та рівня зовнішнього навантаження. Отримали, що параметри задачі мають залежності від кривини оболонки, розміру навантаження та т.і. подібні до тих, що були отримані раніше для однієї наскрізної тріщини.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ТА ВИСНОВКИ

Розроблена у дисертаційній роботі методика чисельного розв’язання СІР методом механічних квадратур для функцій, обмежених на проміжку інтегрування та основана на ній методика дослідження напруженого стану пружно-пластичної оболонки із наскрізною тріщиною дозволяє отримувати чисельні значення зусиль та моментів, що діють у пластичній зоні; досліджувати контакт берегів та розкриття тріщини; отримувати розмір пластичної зони для задач про наскрізну, поверхневу та внутрішню тріщини та для задачі про дві колінеарні наскрізні тріщини.

Основні результати роботи:

· Розроблено методику чисельного розв’язання СІР методом механічних квадратур для функцій, обмежених на проміжку інтегрування; на основі цього запропоновано методику дослідження напруженого стану пружно-пластичної ізотропної оболонки з наскрізною прямолінійною в плані тріщиною у рамках аналога дельта-к-моделі.

· Проаналізовано залежність розміру пластичних зон, що виникають на продовженні тріщини та її розкриття від кривини оболонки, рівня зовнішнього навантаження та інше. Досліджено характер поведінки зусилля та моменту, що діють у пластичних зонах.

· Розвинуто методику дослідження напружено-деформованого стану пружно-пластичної ізотропної оболонки із внутрішньою прямолінійною в плані тріщиною.

· Розвинуто методику дослідження напружено-деформованого стану пружно-пластичної ізотропної оболонки із поверхневою прямолінійною в плані тріщиною.

· Проаналізовано залежність розміру пластичних зон, що виникають на продовженні внутрішньої та поверхневої тріщин від кривини оболонки, рівня зовнішнього навантаження та інше. Досліджено залежність зусилля та моменту, що діють у пластичних зонах на продовженні тріщини у довжину від розташування внутрішньої тріщини у товщі оболонки, глибини поверхневої тріщини.

· Розвинуто методику дослідження напружено-деформованого стану пружно-пластичної ізотропної оболонки з системою двох наскрізних колінеарних прямолінійних у плані тріщин. Проаналізовано отримані чисельні результати.

РЕЗУЛЬТАТИ ДИСЕРТАЦІЙНОЇ РОБОТИ ВІДОБРАЖЕНІ В ПУБЛІКАЦІЯХ

1. Довбня Е.Н., Корохина О.А. Исследование прочности упруго-пластической оболочки произвольной кривизны с прямолинейной трещиной в рамках дельта-к-модели // Вестник ХГТУ №3(19), 2003 г. – C. 119-122.

2. Довбня Е.Н., Корохина О.А. Методика расчёта напряжённого состояния упруго-пластической оболочки произвольной кривизны в рамках дельта-к-модели // Математическое моделирование в образовании, науке и промышленности: Сб. науч. трудов.- СПб.: Санкт-Петербургское отделение МАН ВШ, 2005. – С. 28 – 32.

3. Довбня Е.Н., Корохина О.А. Исследование напряжённого состояния упруго-пластической изотропной оболочки произвольной гауссовой кривизны, содержащей сквозную трещину // Труды ИПММ, Т. 10.,– 2005.– С. 39–42.

4. Довбня Е.Н., Корохина О.А. Напружений стан пружно-пластичної оболонки, послабленої внутрішньою тріщиною // Машинознавство. – 2005.-№3. - С. 8 -11.

5. Довбня Е.Н., Корохина О.А. Дослідження розкриття наскрізної тріщини у пружно-пластичній оболонці довільної кривини // Матеріали IV міжн. наук-практ. конф-ії “Динаміка наукових досліджень’2005”.- Т. 26. Математика.- Дніпропетровськ: Наука і освіта.- 2005.- С. 23-25.

6. Довбня К.М., Корохіна О.А. Залежність розміру пластичних зон, що передують поверхневій тріщині у пружно-пластичній оболонці, від глибини тріщини та кривини оболонки // Проблеми обчислюваної механіки і міцності конструкцій. – Дніпропетровськ –2005.-№. 7- С. 14-20.

7. Довбня К.М., Корохіна О.А., Яртемік В.В. Дослідження з використанням двох моделей розкриття поверхневої тріщини в оболонці // Труды ИПММ, Т. 11.,– 2005.– С. 30-34.

8. Довбня Е.Н., Корохина О.А. Создание интерфейса в среде Visual C++ для программного комплекса, расчётная часть которого создан в Visual Fortran // Динамические системы. – 2005.- Вып.19. – С.118-122.

9. Шевченко В.П., Довбня Е.Н., Корохина О.А., Мосеева Е.Л., Чернышенко М.А. Программный комплекс для расчёта напряженого состояния оболочки под действием локальних нагрузок. // Матеріали III міжн. наук-практ. конф-ії “Динаміка наукових досліджень’2004”.- Т. 66. Математика.- Дніпропетровськ: Наука і освіта.- 2004.- С. 74-77.

АНОТАЦІЯ

Корохіна Ольга Андріївна. Напружено-деформований стан пружно-пластичної оболонки з тріщиною. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла. – Донецький національний університет, Донецьк, 2005.

У дисертаційній роботі розв’язані нові задачі дослідження напружено-деформованого стану пружно-пластичних оболонок з наскрізними та ненаскрізними тріщинами. Запропоновано методику дослідження компонентів напруженого стану пружно-пластичних оболонок довільної кривини з прямолінійними в плані тріщинами, розрахунку розмірів пластичних зон, що передують тріщинам та розкриття тріщин. Наведено численні розрахункові та порівняльні дані.

Методику поширено на дослідження напружено-деформованого стану пружно-пластичної оболонки із системою двох колінеарних наскрізних тріщин.

Досліджено вплив відносного значення зовнішнього навантаження, параметрів оболонки та матеріалу на компоненти напруженого стану.

Ключові слова: пружно-пластична оболонка, дельта-к-модель, модель Леонова-Панасюка-Дагдейла, наскрізна тріщина, ненаскрізна тріщина, система двох колінеарних наскрізних тріщин, двовимірне перетворення Фур’є, фундаментальні рівняння типу Коші.

АННОТАЦИЯ

Корохина Ольга Андреевна. Напряженно-деформированное состояние упруго-пластической оболочки с трещиной. – Рукопись.

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 – механика деформируемого твердого тела. – Донецкий национальный университет, Донецк, 2005.

В диссертационной работе решены новые задачи исследования напряженно-деформированного состояния упруго-пластических оболочек со сквозными и несквозными трещинами. Предложена методика численного решения систем сингулярных интегральных уравнений типа Коши в предположении об ограниченности неизвестрых функций методом механических кваднратур.

Предложена методика исследования компонент напряженного состояния упруго-пластических оболочек произвольной кривизны с прямолинейными в плане трещинами, расчета размеров пластических зон, которые предшествуют трещинам и раскрытия трещин. Приведены многочисленные расчетные и сравнительные данные.

Методика распространена на исследование напряженно-деформированного состояния упруго-пластической оболочки с системой двух сквозных коллинеарных трещин. Получены зависимости размеров пластических зон от расстояния между трещинами и уровня внешней нагрузки для системы продольных коллинеарных трещин в цилиндре, зависимость их размера от кривизны оболочки при фиксированных остальных параметрах задачи и т.д..

Приведены сравнительные результаты расчётных данных при исследовании напряжённого состояния с использованием различных условий пластичности и различных численных методик решения систем СИУ.

Исследовано влияние относительного значения внешней нагрузки, параметров оболочки и материала на компоненты напряженного состояния.

Ключевые слова: упруго-пластическая оболочка, дельта-к-модель, модель Леонова-Панасюка-Дагдейла, сквозная трещина, несквозная трещина, система двух сквозных коллинеарных трещин, двумерное преобразование Фурье, фундаментальные уравнения типа Коши.

THE SUMMARY

Korokhina O. A. An intense – deformed state of elasto - plastic shell with a crack. – the Manuscript.

Thesis for candidate’s degree of physical and mathematical sciences on speciality 01.02.04 – Mechanics of Deformable Solid, Donetsk National University, Donetsk, 2005.

The new research problems of intense - deformed state of elastic - plastic shells with through and not through cracks are solved in thesis. The research technique of components of an intense state of elastic - plastic shells of any curvature with rectilinear in the plan cracks, calculation of the sizes of plastic zones which precede cracks and crack opening displacement is offered. The numerous calculative and comparative data are resulted.

The technique is distributed on the elasto - plastic shell with two through coming colinear cracks system inrense - deformed state research.

Influence of external loading relative value, shell and a material parameters on an intense state components is investigated.

Keywords: the elasto - plastic shell, delta-c-model, Leonov – Panasuk -Dagdale model, a through coming crack, non-through coming crack, two through colinear cracks system, the bidimentional Furie transformation, the fundamental Koshi equations.