НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЇ МАТЕМАТИКИ І МЕХАНІКИ

Костенко Олексій Сергійович

УДК 517.948

СПЕКТРАЛЬНИЙ АНАЛІз СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНИХ

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ ОПЕРАТОРІВ ДРУГОГО ПОРЯДКУ

01.01.01- математичний аналіз

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Донецьк-2006

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Донецькому національному університеті Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник: кандидат фізико-математичних наук, доцент

Маламуд Марк Михайлович,

старший науковий співробітник відділу рівняннь в частинних похідних Інституту прикладної математики та механіки НАН України.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

Золотарьов Володимир Олексійович,

Харківський національний університет

ім. В.Н. Каразіна,

декан механіко-математичного факультету

доктор фізико-математичних наук, професор,

Шкаліков Андрій Андрійович,

професор кафедри теорії функцій і функціонального аналізу Московського державного університету ім. М.В. Ломоносова.

Провідна установа: Інститут математики НАН України, м. Київ,
відділ диференціальних рівнянь із частинними похідними.

Захист відбудеться 31.01.2007 р. о 1500 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради K 11.193.02 Інституту прикладної математики і механіки НАН України, 83114, м. Донецьк, вул. Рози Люксембург, 74.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладної математики і механіки, 83114, Донецьк, вул. Рози Люксембург,74.

Автореферат розісланий 30.12.2006 р.

Вчений секретар
спеціалізованої вченої ради ________________________О. А. Довгоший

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

У дисертаційній роботі вивчаються два спеціальні класи несамоспряжених диференціальних операторів другого порядку. Один клас – оператори Штурма-Ліувілля з індефінітною вагою, а другий – оператор струни Крейна з тертям на лівому кінці.

Актуальність теми. Диференціальні оператори вигляду L= r(x)-1 A , де r(x) - індефінітна вагова функція, та A=A*0 - невід'ємний самоспряжений диференціальний оператор, виникають при дослідженні параболічних рівняннь із змінним напрямком часу. В свою чергу такі рівняння виникають в теорії випадкових процесів та різних задачах фізики. Спектральному аналізу таких операторів присвячена велика кількість робіт. Перші результати про спектр таких операторів було отримано Е. Хольмгреном, Д. Гільбертом, Е. Гарбе. Перші результати про повноту та базисність системи власних функцій було отримано в роботах Е. Камке. Проблеми подібності для операторів цього класу у просторі L2(|r(x)|dx) почали досліджувати у 70-х роках минулого сторіччя у зв'язку з деякими модельними задачами математичної фізики. За умови основні результати в цьому напрямку було отримано Р. Білсом, М. Файєрманом, Дж.Ф. Роачем, С.Г. Пятковим, Б. Чургусом, Г. Лангером, Б. Найманом, А. Фляйге, А.А. Шкаліковим, А.I. Парфьоновим. За деяких додаткових умов, оператор L буде J-самоспряженим оператором. Спектральна теорія J-самоспряжених операторів виникла у роботах Л.С. Понтрягіна, С.Л. Соболєва, М.Г. Крейна, І.С. Іохвидова, Г. Лангера, Т.Я. Азізова. Але навіть для індефінітних операторів найпростішого вигляду (sgn x)w(x)-1(-d2/dx2 +q(x)), де w(x) - додатня функція, залишилось багато невирішених питань. З іншої точки зору такі оператори є несамоспряженими розширеннями симетричних операторів. Спектральній теорії операторів, які мало відрізняються від самоспряжених, присвячено монографії М.С. Лівшица, М.С. Бродського, Б. С.-Надя та Ч. Фояша, І.Ц. Гохберга та М.Г. Крейна, М.К. Нікольського, В.О. Золотарьова, та багатьох інших авторів. В роботах Б. С.-Надя та Ч. Фояша, М.Г. Крейна, Л.А. Сахновича, С.Н. Набока, М.М. Маламуда отримано різні умови подібності несамоспряженого оператора до самоспряженого. Однак, слід зазначити, що диференціальні оператори з індефінітною вагою не є дисипативними. До того ж їх характеристична функція та відповідна J-форма необмежені, і з усіх теорем про подібність є можливість застосувати лише резольвентний критерій, який отримали С.Н.Набоко та М.М.Маламуд. Застосовуючи цей підхід у випадку , І.М. Карабаш та М.М. Маламуд, М.М. Фаддєєв та Р.Г. Штеренбєрг отримали результати про подібність до самоспряженого оператора для деяких модельних класів індефінітних операторів Штурма-Ліувілля.

Отже дослідження спектральних властивостей диференціальних операторів з індефінітною вагою є дуже важливим для деяких класів рівнянь математичної фізики та спектральної теорії несамоспряжених операторів.

Оператор LS=codiag(id/dx; id/dM(x)), де M(x) - функція розподілу мас струни S, вперше з'явився у роботах М.Г. Крейна та М.А. Нудельмана у зв'язку з дослідженням коливань неоднорідної струни з тертям на лівому кінці. До такого оператора також приводить класична задача Редже з невід'ємним потенціалом. У зв'язку з дослідженням розсіяння на фінітному потенціалі виникла необхідність дослідження повноти та базисності системи власних функцій такого оператора. Спектральному аналізу задачі Редже присвячна велика кількість робіт. У 2002 році А.А. Нудельман довів, що оператор є максимальним антіакретивним, та за домогою теорії консервативних систем дослідив деякі спектральні властивості цього оператора. В свою чергу, оператор LS є власним розширенням деякого симетричного оператора. Отже, є цікавим розглянути оператор LS застосовуючи теорію розширень симетричних операторів у гільбертовому просторі.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалась у межах держбюджетної наукової теми Г – 02.40 “Теорія функцій та операторів” (згідно з планом науково-дослідницьких робіт кафедри математичного аналізу та теорії функцій Донецького національного університету).

Мета дослідження. Перша мета дослідження - одержання необхідних та достатніх умов, за яких оператор Lw =(sgn x)w(x)-1d2/dx2, де w(x) - додатня функція (вага), є подібним до самоспряженого в гільбертовому просторі L2(R, w(x)dx).

Наступна мета дослідження - для деяких модельних індефінітних операторів Штурма-Ліувілля з сингулярним потенціалом типу -функції Дірака одержати необхідні та достатні умови подібності до самоспряженого або нормального оператора.

Остання мета дослідження - дослідити спектральні властивості мінімального симет-ричного оператора L0, пов’язаного з оператором струни М.Г. Крейна LS=codiag(id/dx; id/dM(x)).

Методи дослідження. Для одержання умов подібності використовується критерій подібності оператора самоспряженому, отриманий незалежно С.Н.Набоком і М.М.Маламудом, необхідні умови на поведінку резольвенти оператора, який є подібним до самоспряженого, а також спектральна теорія дефінізовних операторів в просторах Крейна. Перевірка критерію, а також необхідної умови подібності вимагає обчислити та оцінити резольвенту оператора. Для обчислення резольвент використовується концепція граничних трійок симетричних операторів. Для перевірки умов, а також для побудови прикладів операторів, які не є подібними до самоспряжених, використовується спектральна теорія операторів Штурма-Ліувілля, а також спектральна теорія струни М.Г. Крейна.

Слід також зазначити, що концепція граничних трійок симетричних операторів є основним інструментом дослідження в третьому та четвертому розділах.

Наукова новизна отриманих результатів. В дисертації одержані такі нові результати.

В термінах m-функцій Вейля-Тітчмарша одержано нові необхідну та достатню умови подібності оператора Lw до самоспряженого.

Для деяких класів вагових функцій w(x) обчислено асимптотіку m-функції Вейля-Тітчмарша. Це дозволило отримати достатні умови на вагову функцію w(x) для подібності оператора Lw до самоспряженого, які посилюють попередні результати Б. Чургуса, А. Фляйге, Б. Наймана, М.М. Фаддєєва та Р.Г. Штеренбєрга.

Вперше побудовано приклад оператора Lw із сингулярною критичною точкою 0. Також вперше побудовано приклад J-невід'ємного оператора Штурма-Ліувілля (sgn x)(-d2/dx2+q), який не є подібним до самоспряженого.

Вперше досліджено квазісамоспряжені розширення мінімального симетричного оператора, що задається диференціальною операцією -(sgn x)|x|-ad2/dx2 у гільбертовому просторі L2(R, |x|adx) (a - довільне дійсне число).

Досліджено спектральну структуру несамоспряжених операторів, які задаються формальною диференціальною операцією (sgn x)(-|x|-ad2/dx2 ++), або (sgn x)(-d2/dx2-ia d/dx + bI ++). Отримано критерій подібності таких операторів до самоспряженого або нормального оператора в термінах коефіцієнтів c та d.

За допомогою теорії розширень симетричних операторів досліджено оператор струни LS. Доведено простоту симетричного оператора L0, розширенням якого є оператор LS. Також побудовано граничну трійку для спряженого оператора L0*, обчислено відповідну функцію Вейля. Описано розширення симетричного оператора L0, які мають скалярну характеристичну функцію. Наведено простий алгоритм, заснований на формулі Деркача-Маламуда, для знаходження характеристичної функції таких розширень. У випадку сингулярної струни S обчислено характеристичні функції таких розширень. Ці результати застосовано до дослідження оператора струни LS з тертям на лівому кінці.

Практичне значення отриманих результатів. Результати дисертаційної роботи мають теоретичний характер, а її методи знаходять застосування в теорії параболічних рівнянь із змінним напрямком часу та у спектральній теорії несамоспряжених операторів.

Особистий внесок здобувача. Всі результати отримано здобувачем самостійно.

Науковому керівнику М.М. Маламуду належить постановка задач та загальне керівництво роботою.

Апробація результатів дисертації. Окремі результати дисертації доповідались на Міжнародних конференціях "20th International Conference on Operator Theory", та "21st International Conference on Operator Theory", Timisoara, 2004, 2006; Міжнародній конференції "5th Workshop Operator Theory in Krein Spaces and Differential Operators", Berlin, 2005; на міжнародній конференції ”Operator Theory Workshop for Young Mathematicians”, Cracow, 2003; на Міжнародних Конференціях механіко-математичного факультета МДУ для молодих вчених, Москва, 2002, 2003 рр.; на Кримських осінніх математичних школах-симпозіумах “Спектральні та еволюційні задачі”, 2002, 2004 рр..

В цілому результати дисертації доповідались на семінарі з нелінійного аналізу Інституту прикладної математики та механіки НАН України (кер. проф. А. А. Ковалевський, проф. А.Є. Шишков), на Київському міському семінарі з функціонального аналізу (кер. акад. НАН України Ю.М. Березанський, чл.-кор. НАН України М.Л. Горбачук), на семінарі Московського державного університету зі спектральної теорії операторів (кер. проф. А.Г. Костюченко, проф. А. А. Шкаліков), на семінарі „Теорія операторів та її застосування” Харківського національного університету (кер. проф. В.К. Дубовой, проф. В.О. Золотарьов), а також неодноразово на семінарі з теорії операторів Донецького національного університету (кер. доц. М. М. Маламуд).

Частково результати дисертації було оформлено у вигляді наукової роботи, яка отримала Диплом Національної академії наук України на конкурсі за кращу наукову роботу серед студентів, секція математики, 2003 (рішення Президії НАНУ від 24.02.03).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 6 статтях [1]-[6], які увійшли до видань, включених у перелік ВАК України.

Структура та об'єм роботи. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел, викладена на 135 сторінках машинописного тексту. Список літератури містить 100 найменувань, та складає 10 сторінок.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовується актуальність теми, подано короткий аналіз сучасного стану проблеми, сформульовано мету та задачі дослідження, наукову новизну, практичне значення отриманих результатів, апробацію та зміст роботи.

У першому розділі подається огляд робіт, які мають відношення до теми дисертації.

В підрозділі 1.1 зроблено докладний огляд сучасного стану проблеми подібності звичайних диференціальних операторів з індефінітною ваговою функцію до самоспряженого оператора. Наведено одне із застосувань спектральної теорії диференціальних операторів з індефінітною вагою до рівнянь із частинними похідними. Нагадаємо, що замкнені оператори T1 і T2, які діють в гільбертовому просторі H, називають подібними, якщо існує обмежений оператор C з обмеженим оберненим C-1в H такий, що dom(T2)=C(dom(T1)) та T2=CT1C-1.

Нехай r(x) _дійснозначна індефінітна функція на інтервалі IR, r(x) ? 0 для майже всіх , та r . Позначимо через J оператор множення на функцію sgn r(x). Нехай A – деякий самоспряжений диференціальний оператор у гільбертовому просторі. Тоді оператор
L:=JA                                                                          (4)
з областю визначення dom(L)=dom(A) є J-самоспряженим у гільбертовому просторі . Область визначення спряженого оператора L* може не збігатися з dom(L), тому, як правило, оператор L не є самоспряженим.

Подібність операторів вигляду (4) до самоспряжених або нормальних операторів почали досліджувати у 70-х роках 20-го сторіччя у зв’язку з деякими класами рівнянь математичної фізики. Найбільш сильні результати отримано у роботах С.Г.Пяткова, Б.Чургуса, Г.Лангера, А. Фляйге та А.І. Парфьонова для випадку, коли A - невід’ємний оператор та 0 ess (A). Зазначимо, що в роботах Г. Волькмера, А. Фляйге, Н.Л.Абашеєвої та С.Г.Пяткова було побудовано приклади операторів A таких, що оператор L не є подібним до самоспряженого. Декілька модельних класів невід'ємних операторів A таких, що 0 с(A), було розглянуто у роботах Б.Чургуса, Б.Наймана, А.Фляйге, І.М. Карабаша, М.М. Маламуда, М.М. Фаддєєва та Р.Г. Штеренберга.

Один з головних об’єктів дисертації - диференціальний оператор

Lw = - , (5)

(w(x) - додатня функція, ), що діє в гільбертовому просторі L2(R, w(x)dx) на максимальній області визначення dom(Lw):={f L2(R, w(x)dx): f,ACloc (R), Lw fL2(R, w(x)dx)}.

Стосовно оператора Lw відомі наступні результати

Теорема 1.1.5 Фадєєв М.М., Штеренбєрг Р.Г. О подобии дифференциальных операторов самосопряженным // Матем. Заметки. – 2002. – Т.72. – № 2, – С. 292-302. . Нехай w(x)= , де функція локально абсолютно неперервна разом зі своєю першою похідною, та . Якщо існують такі додатні сталі , що

(1)

а також

(2)

де

то оператор Lw є подібним до самоспряженого в L2(R, w(x)dx).

Слід зазначити, що у випадку цю теорему було доведено Найманом, Фляйге та Чургусом Fleige A., Najman В. Nonsingularity of critical points of some differential and difference operators // Oper. Theory Adv. Appl., Birkhдuser, Basel. - 1998. - Vol.102. - P. 85-95. за допомогою теорії самоспряжених операторів в просторах Крейна. Метод Фаддєєва та Штеренбєрга використовує наступний критерій для подібності замкненого оператора самоспряженому

Теорема 1.1.4 Маламуд М.М. О подобии треугольного оператора диагональному // Зап. Науч. Сем. ПОМИ. – 2000. – Т.270. – С. 201-241. Набоко С.Н. Об условиях подобия унитарным и самосопряженным операторам // Функц. анализ и его прилож. – 1984. – Т.18. - №1. – С.16-27.. Нехай Т _оператор в H, що має дійсний спектр. Тоді оператор T є подібним до самоспряженого тоді і тільки тоді, коли виконуються нерівності (3) де С1>0 - константа, що не залежать від f та .

Основна мета другого та третього розділів – отримати нові необхідні та достатні умови для подібності оператора Lw самоспряженому, а також дослідити, як зміна граничних вимог в точці нуль впливає на подібність оператора Lw самоспряженому або нормальному оператору.

У підрозділі 1.2 подається стислий огляд робіт, які присвячено дослідженню класичної задачи Редже, а також дослідженню оператора неоднорідної струни з тертям на лівому кінці. Зазначимо, що оператор LS=codiag(id/dx; id/dM(x)), де M(x) - функція розподілу мас струни S, вперше з'явився у роботах М.Г. Крейна та М.А. Нудельмана у зв'язку з дослідженням коливань неоднорідної струни з тертям на лівому кінці. В цих роботах було досліджено питання повноти системи власних та приєднаних функції для струн із скінченним статистичним моментом, а також було розглянуто обернену задачу. Приблизно в цей же час зявилися роботи Д.З. Арова, С.В. Хрущова, в яких іншими методами було розглянуто питання повноти для регулярних струн. Слід зазначити, що ця задача є цікавою у зв’язку з дослідженням розсіяння на фінітному потенціалі. А саме, до такого оператора приводить класична задача Редже з невід'ємним потенціалом Regge T. Analytic properties of the scattering matrix // Nuovo Cimento. – 1958. – Vol.8. – P.671- 679. (див. також нещодавню роботу Шкалікова А.А Shkalikov A.A. Spectral analysis of the Regge problem // Russ. J. Math. Phys. – 2001. – Vol.8. - №3. – P. 356 -364. присвячену питанням повноти та мінімальності системи власних та приєднаних функцій задачі Редже).

Другий розділ присвячено дослідженню спектральних властивостей оператора Lw вигляду (5), який діє в гільбертовому просторі L2(R, w(x)dx). Один з головних результатів – це доведення того, що в теоремі 1.1.5, яку отримали Фаддєєв та Штеренберг, вимога (2) є зайвою, а також можно послабшити вимоги на функцію . Зазначимо, що всюди в другому розділі ми будемо вважати, що вага w(x) задовольняє наступним додатковим вимогам: w.

У підрозділі 2.1 наведено необхідні додаткові твердження, поняття та означення, що будуть використані для доведення основних результатів. Зокрема, наведено означення та основні властивості m-функції Вейля-Тітчмарша (підрозділ 2.1.1), основні поняття та факти з теорії дефінізовних операторів у просторах Крейна (підрозділ 2.1.3), з концепції граничних трійок симметричних операторів (підрозділ 2.1.2).

Нагадаємо означення і факти, які знадобляться нам для формулювання основних результатів дисертації. Нехай ( ) _розв'язки рівняння  –(sgn x)w(x)y(x) для такі, що . За умов для такі розвязки існують та єдині з точністю до мультиплікативної сталої. Функцією Вейля у +? (-?) для диференціального виразу (5) називається функція m+() (m-()) комплексної змінної  \ така, що m±():= ±0, )/(±0,). Функції m+() та –m-(-) є (S)-функціями. Тобто вони голоморфні в C \+, , Im  · m± () , та приймають додатні значення на . Крім того, , де ±(t) _неспадні функції на , такі що . Нехай - самоспряжені оператори в, що задаються диференціальним виразом (5) та крайовими умовами Неймана y'(±0)=0. Тоді функція ±(t) є спектральною функцією .

Для дослідження власних розширень симетричних операторів використовується концепція граничних трійок та відповідних функцій Вєйля. Нехай A симетричний оператор в гільбертовому просторі H із щільною областю визначення dom(A) та рівними індексами дефекта n+(A)=n-(A), де =dim(), де .

Визначення 2.1.5 Горбачук В.И., Горбачук М.Л. Граничные задачи для операторно-дифференциальных уравнений. – К.: “Наук. Думка”, 1984. – 284 с. . Трійку , де - гільбертів простір, а - обмежені лінійні відображення, називають граничною трійкою оператора A*, якщо для всіх справедлива формула Гріна (A*f,g)-(f, A*g)=, та відображення є сюр’єктивним відображенням.

Для кожного симетричного оператора з однаковими індексами дефекта існує гранична трійка, яка, як правило, не єдина. Більш того, з кожною граничною трійкою повязано два самоспряжені розширення , i=0,1.

Визначення 2.1.10 Деркач В.А., Маламуд М.М. О функции Вейля и эрмитовых операторах с лакунами // ДАН. – 1987. – Т.293. - №5. – С.1041-1046.. Нехай - гранична трійка оператора A*. Оператор-функцію , що визначено відношенням для всіх та , називають функцією Вейля оператора A, відповідною до тріки .

Далі ми наведемо необхідні факти з теорії дефінізовних операторів у просторах Крейна. Нехай оператор T діє в гільбертовому просторі H із скалярним добутком (·,·). Нехай H± – підпростори в H такі, що H H+H _ ; P± – ортогональні проектори в H на Н±. Тоді оператор J є канонічною симетрією в просторі Крейна (H, [·,·]), де [·,·] ·,·). Оператор T називається J-самоспряженим, якщо оператор L є самоспряженим у гільбертовому просторі H. Якщо, крім того, L ? 0, то оператор T називається J-невід'ємним. J-невід'ємний оператор T називається дефінізовним, якщо резольвентна множина оператора T не є пустою. Поняття дефінізовного (definitizable) оператора було запроваджено М.Г.Крейном і Г.Лангером. Клас дефінізовних операторів є важливим, тому що дефінізовний J-невід'ємний оператор T має дійсний спектр та спектральну (проекторнозначну) функцію ET(t), властивості якої схожі з властивостями спектральної функції самоспряженного оператора за виключенням наявності критичних точок 0 та ?, в яких вона може бути необмеженою (тоді кажуть, що відповідна точка є сингулярною критичною точкою). Отже дефінізовний J-невід'ємний оператор T буде подібним до самоспряженого виключно тоді, коли ker T=ker T2 та критичні точки 0 і ? не є сингулярними.

У підрозділі 2.2 оператор вигляду (5) розглянуто як розширення симетричного оператора Lmin з нульовими граничними вимогами в точці нуль. Побудовано граничну трійку для оператора Lmin, та обчислено відповідну функцію Вейля. За допомогою формули Крейна для резольвент власних розширень, обчислено резольвенту оператора Lw. Основний результат цього підрозділу

Лемма 2.2.3. За умов , оператор Lw - дефінізовний J-невід'ємний оператор.

Зазначимо, що з цієї лемми випливає дійсність спектру оператора Lw.

У підрозділі 2.3 отримано наступну достатню вимогу подібності в термінах m-функцій Вейля-Тітчмарша (наступна теорема є локальним варіантом одного результата І.М. Карабаша та М.М. Маламуда Карабаш И.М., Маламуд М.М О подобии J-самосопряженных операторов Штурма-Лиувилля с конечнозонным потенциалом самосопряженному // ДАН. – 2004. – Т.395. - №3. – С.303-307..

Теорема 2.3.3 Нехай Lw оператор вигляду (5), m±() – відповідні m-функції Вєйля-Тітчмарша. Якщо ? не є сингулярною критичною точкою оператора Lw, та функція є обмеженою в верхньому напівоколі B(0)С+ точки нуль, то оператор Lw є подібним до самоспряженого в гільбертовому просторі L2(R, w(x)dx).

Підрозділ 2.4 присвячено обчисленню асімтотіки m-функції в точці нуль для деякого класу вагових функцій w(x). Це один з ключових результатів для обчислення достатніх умов подібності в термінах вагової функції w(x).

Теорема 2.4.3. Нехай w(x)= де x>0 та . Якщо існує c+>0 таке, що , тоді m+(z)= z та де - класична гама-функція, та .

Слід зазначити, що m+(z)=, z, у випадку, коли Everitt W.N., Zettl A. On a class of integral inequalities // J.London Math. Soc.(2). – 1978. – Vol.17. – P.291-303.. (Функцію , , визначено як гілку багатозначної аналітичної функції з розрізом вздовж таку, що ).

Індикатор-функцію інтервалу I ми будемо позначати I (x); якщо I±, то ± (x) := R± (x). Отже з теорем 2.3.3 та 2.4.3 випливає наступна умова подібності до самоспряженого оператора

Теорема 2.5.4. Нехай Lw оператор вигляду (5), та вага w має вигляд w(x)± (x) = де та майже всюди на R. Якщо існують такі, що і ? не є сингулярною критичною точкою оператора Lw, тоді оператор Lw є подібним до самоспряженого оператора.

Застосувавши для оператора Lw умови регулярності точки ?, отримані Б.Чургусом та Г. Лангером Curgus B., Langer H. A Krein space approach to symmetric ordinary differential operators with an indefinite weight function // J. Differential Equat. - 1989. – Vol. 79. – P. 31-61. , ми одержимо наступний результат.

Теорема 2.5.7 Нехай Lw оператор вигляду (5), та вага w має вигляд w(x)± (x) = де та майже всюди на R. Якщо існують такі, що , а також причому 0(a,b) та , тоді оператор Lw є подібним до самоспряженого оператора.

Підрозділ 2.6 присвячено обчисленню необхідних вимог подібності оператора Lw. Наступна теорема є одним з головних результатів дисертації

Теорема 2.6.1. Нехай Lw оператор вигляду (5), та m±(z) – відповідні m-функції Вєйля-Тітчмарша. Якщо оператор Lw є подібним до самоспряженого, то функції будуть обмеженими в верхній півплощині C+.

Для доведення цієї теореми використовується наступна необхідна умова подібності оператора T до самоспряженого. Якщо оператор T є подібним до самоспряженого, тоді існує стала C>0 така, що || (T ? zI) ?1 ||  ?  C, для всіх z. Ця теорема значно посилює один результат з роботи І.М. Карабаша та М.М.Маламуда (див. с. 8).

У підрозділі 2.7 ми використовуємо теорему 2.6.1 для побудови прикладів операторів Lw вигляду (5) із сингулярною критичною точкою нуль. Зазначимо, що досі такі приклади не були відомі.

Теорема 2.7.1. Нехай Lw оператор вигляду (5), та w(x)=(3|x|+1)-4/3. Тоді:

(i) Lw – дефінізовний J-невід’ємний оператор, та

(ii) ? не є сингулярною критичною точкою оператора Lw;

(iii) ker Lw=ker Lw2={1};

(iv) 0 – сингулярна критична точка оператора Lw;

(v) оператор Lw не є подібним до самоспряженого.

Зазначимо, що в цьому випадку m-функції мають наступний вигляд (Лемма 2.7.2): , та , z C\R.

У підрозділі 2.7.2 побудовано приклад невідємного оператора Штурма-Ліувілля A=-d2/dx2+q(x) в гільбертовому просторі L2(R) такого, що індефінітний оператор L=(sgn x)(-d2/dx2+q(x)) є дефінізовним J-невідємним оператором та має сингулярну критичну точку 0, тобто не є подібним до самоспряженого.

У третьому розділі досліджується питання про те, яким чином впливає зміна граничних вимог в точці нуль на подібність самоспряженому або номальному оператору. Підрозділ 3.1 присвячено дослідженню несамоспряжених розширень мінімального симетричного оператора Lmin, що задається диференціальною операцією в гільбертовому просторі , (). У підрозділі 3.2 розглядаються розширення мінімального оператора, що задається диференціальною операцією (sgn x)(D2+aD+bI) в L2(R) (D=-id/dx, та a,b).

Підрозділ 3.1.1 присвячено дослідженню мінімального оператора Lmin за умови (>-1). Доведено, що цей оператор має індекси дефекта =2, побудовано граничну трійку для оператора Lmin*, де ), та обчислено відповідну функцію Вейля: , . Це дозволило описати несамоспряжені розширення оператора Lmin, обчислити їх спектр та резольвенти. Для того щоб сформулювати основні результати нам необхідно навести деякі означення. Нехай - дві -матриці з комплекснимі коефіцієнтами такі, що ранг розширеної матриці (D1|D2) дорівнює 2. Також ми завжди будемо вважати, що їх не можна одночасно привести до діагонального вигляду (цей факт означає, що граничні вимоги в точці нуль не розпадаються). Розглянемо наступне розширення оператора Lmin:

=, dom():={fdom(Lmin* ): }. (7)

З таким розширенням ми пов’яжемо наступну функцію:

; , . (8)

Лема 3.1.4. Нехай матриці задовольняють вище наведеним вимогам, та - оператор вигляду (7). Тоді неперервний спектр оператора співпадає з R, () =R, та .

Головний результат підрозділу 3.1 це наступний критерій подібності оператора до нормального та самоспряженого операторів.

Теорема 3.1.9. Нехай матриці задовольняють вище наведеним вимогам, та - оператор вигляду (7). Тоді:

(1) оператор буде подібним до нормального лише тоді, коли:

(i) для всіх ;

(ii) функції не мають кратних коренів у С+ та С- .

(2) оператор буде подібним до самоспряженого лише тоді, коли для всіх .

У підрозділі 3.1.3 попередні результати застосовано до дослідження деяких спеціальних класів розширень . Ми наведемо лише один приклад. Нехай D2=diag(1; 1), a D1=D=, де . Тоді граничні вимоги матимуть вигляд: ; . Таке розширення можно розуміти як оператор із сингулярною локальною -взаємодією. Цьому оператору відповідає формальний запис

=, . (9)

Теорема 3.1.11. Нехай - несамоспряжений оператор вигляду (9). Оператор буде подібним до нормального оператора виключно тоді, коли . Оператор буде подібним до самоспряженого якщо .

У підрозділі 3.1.4 розглянуто оператор Lmin за умови . Головний результат – наступна

Теорема 3.1.13. Нехай - мінімальний замкнений оператор, який задається диференціальною операцію в гільбертовому просторі , (). Тоді:

(1) оператор буде самоспряженим, якщо ;

(2) оператор буде подібним до симетричного оператора , коли .

Ця теорема разом із результатами підрозділів 3.1.1 та 3.1.2 дозволяє миттєво дослідити власні розширення мінімального оператора у випадку .

У підрозділі 3.2 до власних розширень симетричного оператора Lmin= (sgn x)(D2+aD+bI) в L2(R) на області визначення dom(Lmin)={f f(0)=f’(0)=0} (D=-id/dx, та a,b) застосовано таку ж схему дослідження. Для розширень оператора Lmin отримано аналоги результатів підрозділу 3.1, в тому числі і критерій подібності до нормального та самоспряженого операторів. Однак гранична трійка оператора Lmin* та відповідна функція Вейля мають інший вигляд: ),

, , .

Четвертий розділ присвячено дослідженню оператора неоднорідної струни LS. Основний інструмент дослідження – концепція граничних трійок симетричних операторів та відповідних до них функцій Вейля.

У підрозділі 4.1 наведено означення оператора неоднорідної струни з тертям на лівому кінці LS, а також визначено відповідний симетричний оператор L0 .

У підрозділі 4.2 наведені означення та деякі факти стосовно характеристичної функції майже розв’язних розширень симетричних операторів Деркач В.А., Маламуд М.М. Характеристические функции почти разрешиміх расширений єрмитовіх операторов // Укр. Матем. Журнал. – 1992. – Т.44. - №4. – С.435-459. . (10)

Підрозділ 4.3 присвячено дослідженню симетричного оператора L0.

Теорема 4.3.1. Оператор L0 – простий симетричний оператор. До того ж =2 у випадку регулярної струни S, та =1, коли S – сингулярна.

Для доведення теореми використовується модель симетричного простого оператора, яку було знайдено В.А.Деркачем та М.М.Маламудом. Це дозволило отримати нове доведення простоти оператора струни з тертям LS.

У підрозділі 4.4 за допомогою концепції граничних трійок досліджено власні розширення оператора L0. Ми наведемо основні результати лише для випадку сингулярної струни.

Теорема 4.4.1. Нехай S – сингулярна струна, та - коефіцієнт динамічної податливості струни S. Тоді:

(i) трійка , де , є граничною трійкою оператора L0* ;

(ii) - відповідна функція Вейля;

(iii) - характеристична функція оператора LS.

Зазначимо, що пункти (i) та (ii) дозволяють легко описати власні розширення оператора L0, та обчислити їх характеристичні функції. До того ж, з теореми 4.4.1 випливає наступний факт: у випадку сингулярної струни всі майже розв’язні несамоспряжені розширення оператора L0 мають скалярну характеристичну функцію.

ВИСНОВКИ

У дисертації досліджено два спеціальні класи несамоспряжених диференціальних операторів. Перший клас – диференціальні оператори другого порядку з індефінітною ваговою функцією. Другий клас – оператор неоднорідної струни S з тертям на лівому кінці.

1.

2.

Аналогічну схему досліджень було застосовано для квазісамоспряжених розширень оператора

dom(Lmin)= , ,

Отримані результати застосовано для дослідження операторів із сингулярною взаємодією з

центром в точці 0

Для таких операторів обчислено критерій подібності до самоспряжного та нормального

операторів в термінах коефіцієнтів З цього критерію випливає той факт, що ці

оператори є подібними до нормального для майже всіх значень

3.

Основні результати дисертації опубліковано у працях:

1.

(sgn x)(D2+aD+bI +)// Доповiдi НАНУ. - 2004. - N 8. - C. 24-29.

2.

3.

4.

5.

6.

АНОТАЦІЯ

Костенко О.С. Спектральний аналіз сингулярно збурених диференціальних операторів другого порядку. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 _математичний аналіз. _Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк, 2006.

Дисертація присвячена дослідженню спектральних властивостей двох спеціальних класів несамоспряжених диференціальних операторів. Для сингулярних диференціальних операторів другого порядку з індефінітною вагою основну увагу приділено питанню подібності цих операторів до самоспряженого або нормального оператора. Для оператора Lw =(sgn x)w(x)-1d2/dx2, де w(x) - додатня функція (вага), отримано нові достатні та необхідні умови подібності до самоспряженого оператора. Наведено приклад ваги w такої, що оператор Lw має сингулярну критичну точку нуль і не є подібним до самоспряженого. Також побудовано невід’ємний оператор – d2/dx2 +q такий, що оператор з індефінітною вагою (sgn x) ( – d2/dx2 +q) не є подібним до самоспряженого. Отримано критерій подібності до самоспряженого або нормального оператора для операторів, що задаються в гільбертовому просторі L2(R, ) формальною диференціальною операцією . Другий клас операторів – це оператор струни Крейна з тертям на лівому кінці LS=codiag(id/dx; id/dM(x)). Цей клас операторів досліджено за допомогою теорії розширень симетричних операторів, тобто проведено спектральний аналіз відповідного симетричного оператора L0, розширенням якого є оператор LS.

Ключові слова: подібність, несамоспряжений оператор, J-самоспряжений оператор, дефінізовний оператор, самоспряжений оператор, нормальний оператор, симетричний оператор, спектр, резольвента, характеристична функція оператора, струна Крейна.

АННОТАЦИЯ

Костенко А.С. Спектральный анализ сингулярно возмущенных дифференциальных операторов второго порядка. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 _математический анализ. _Институт прикладной математики и механики НАН Украины, Донецк, 2006.

Диссертация посвящена исследованию спектральных свойств двух специальных классов несамосопряженных дифференциальных операторов. Один из них – дифференциальные операторы второго порядка с индефинитным весом. Второй – оператор, порождаемый неоднородной струной с трением на левом конце.

Дифференциальные операторы вида  L= r(x) _A, где r(x) — индефинитная весовая функция, а A - самосопряженный неотрицательный дифференциальный оператор, возникает во многих задачах механики и физики. В работах Гильберта, Хольмгрена, Вейля, Гарбэ были исследованы спектр (распределение собственных значений, осциляционные свойства) и свойства разложимости по собственным функциям таких задач. Камкэ доказал полноту системы собственных и присоединенных функций в классах гладких функций. Первые результаты о базисности по Риссу для операторов с дискретным спектром появились в работах Билза, Капера, Лекеркеркера, Зеттла для конкретных дифференциальных операторов. Первые общие результаты были получены Р. Билзом в 1985 году. Основные результаты для случая 0ess(L) получены С.Г.Пятковым, Б.Чургусом, Г.Лангером, А. Фляйге, А.И. Парфеновым. Первые результаты для случая A ? , но 0c(L), были получены в 1995 году в работах Б.Чургуса, Б.Наймана, А.Фляйге с помощью спектральной теории неотрицательных операторов в пространствах Крейна. Позже, используя резольвентный критерий подобия самосопряженному оператору, И.М. Карабаш, М.М. Маламуд, М.М. Фаддеев и Р.Г. Штеренберг получили условия подобия самосопряженному для различных модельных классов операторов Штурма-Лиувилля.

Одна из главных целей диссертации _исследование вопроса о подобии самосопряженному оператору в случае, когда 0ess(A) и индефинитный вес имеет простейший вид r(x)=sgn x. При этом в качестве A выбираются обыкновенные дифференциальные операторы второго порядка.

Главный объект второй главы диссертации – дифференциальный оператор Lw =(sgn x)w(x)-1d2/dx2, где w(x) – положительная весовая функция на числовой оси R. При естественных ограничениях на вес w(x) доказана дефинизируемость оператора Lw, а также вещественность спектра. Используя спектральную теорию дефинизируемых операторов в пространствах Крейна, а также резольвентный критерий подобия, получены новые достаточные условия подобия в терминах веса w(x). Также получено новое необходимое условие подобия в терминах m-функций Вейля-Титчмарша. При помощи этого условия доказано, что для веса w(x)=(3|x|+1)-4/3 оператор Lw не подобен самосопряженному в гильбертовом пространстве L2(R, w(x)dx). На языке дефинизируемых операторов этот факт означает следующее: построен пример J–неотрицательного оператора с сингулярной критической точкой нуль. Также приведен пример неотрицательного оператора Штурма-Лиувилля A= - d2/dx2 +q такого, что J-неотрица-тельный оператор L=(sgn x)(– d2/dx2+q) не подобен самосопряженному в L2(R).

Оператор Lw является несамосопряженным расширением симметрического оператора Lmin с вырожденными граничными условиями в нуле. Более того, оператор Lmin имеет конечные и равные индексы дефекта. В третьей главе изучен вопрос о том, как влияет изменение граничного условия в нуле на подобие самосопряженному, или нормульному оператору. Для квазиэрмитовых расширений симметрического оператора Lmin, задаваемого дифференциальным выражением , либо ( D=-id/dx), получен критерий подобия нормальному и самосопряженному операторам. Результаты продемонстрированы на примерах операторов с точечным взаимодействием в нуле .

Четвертая глава посвящена исследованию оператора неоднородной струны с трением на левом конце LS=codiag(id/dx; id/dM(x)), появившемуся в работах М.Г. Крейна и А.А. Нудельмана. Главным инструментом при исследовании спектральных свойств операторов, мало отличающихся от самосопряженных или унитарных, является характеристическая функция оператора,