`"
НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ |
ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ
|
Кругляк Станіслав Аркадійович
ФУНКТОРИ КОКСТЕРА ДЛЯ
ЗОБРАЖЕНЬ КОЛЧАНІВ,
АЛГЕБР І КАТЕГОРІЙ
У ГІЛЬБЕРТОВИХ ПРОСТОРАХ
01.01.06 - алгебра і теорія чисел
|
АВТОРЕФЕРАТ |
дисертації на здобуття наукового ступеня |
доктора фізико-математичних наук |
Київ - 2005 | Дисертацією є рукопис.
Робота виконана в Інституті математики НАН України.
Науковий консультант:
доктор фіз.-мат. наук, професор
РОЙТЕР Андрій Володимирович,
Інститут математики НАН України,
завідувач відділу алгебри
Офіційні опоненти:
доктор фіз.-мат. наук, професор
ЯКОВЛЄВ Анатолій Володимирович,
Санкт-Петербурзький державний університет,
завідувач кафедри алгебри;
доктор фіз.-мат. наук, професор
ГУДИВОК Петро Михайлович,
Ужгородський національний університет,
завідувач кафедри алгебри;
доктор фіз.-мат. наук
ОСТРОВСЬКИЙ Василь Львович,
Інститут математики НАН України,
провідний науковий співробітник
відділу функціонального аналізу.
Провідна установа:
Київський національний університет
імені Тараса Шевченка.
Захист відбудеться
„18”
| квітня
р. о 15 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.01 Інституту математики НАН України за адресою: 01601, м. Київ-4, вул. Терещенківська, 3.
| З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України.
Автореферат розісланий
14 березня
2006 р. | Вчений секретар
спеціалізованої вченої ради РОМАНЮК А.С.
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. Дисертаційна робота за своїм змістом відноситься до одного з найстаріших розділів математики лінійної алгебри. Нагадаємо, що ще в кінці XIX сторіччя в рамках матричного числення було отримано результати про нормальну форму матриці лінійного перетворення (Жордан), елементарні дільники (Вейєрштрас), пару квадратичних форм (Вейєрштрас, Кронекер), ермітові форми (Ерміт).
В XX стторіччі методи лінійної алгебри знайшли різноманітні застосування і розвивались в подальшому в тісному зв'язку з теорією кілець і модулів, теорією зображень груп і асоціативних алгебр, будучи тісно пов'язаними з теорією топологічних векторних просторів та іншими розділами функціонального аналізу.
Добре відома будова зображень скінченновимірних напівпростих алгебр і, зокрема, скінченних груп над полем, характеристика якого не ділить порядок групи (класична теорія зображень): нерозкладних зображень скінченне число, і всі вони прямі доданки регулярного зображення.
Для зображень груп над полем характеристики p Хігманом було доведено, що будь-яка група з нециклічною силовською p-підгрупою має нескінченно багато нерозкладних зображень, але до 60-х років минулого сторіччя для жодної такої групи класифікація зображень не була отримана.
Дуже мало було отримано результатів про зображення ненапівпростих алгебр. Зокрема, залишались проблемою висловлені в 40-х роках XX сторіччя Брауером і Трелом дві гіпотези:
1) якщо алгебра A має нескінченно багато нерозкладних зображень, то вона має нерозкладні зображення як завгодно великої розмірності;
2) якщо розмірності нерозкладних зображень алгебри A (над нескінченним полем) не обмежені в сукупності, то існує нескінченно багато розмірностей, в кожній з яких існує нескінченно багато нерозкладних зображень.
Повний опис нерозкладних зображень групи з нециклічною силовською p-підгрупою вперше в 1961 р. дав В. А. Башев, отримавши класифікацію зображень групи (2,2) над полем характеристики 2. Виявилось, що така задача класифікації легко зводиться до задачі про пучок матриць. Проте незабаром з'ясувалось, що, як правило, задача повної класифікації зображень групи в некласичному випадку (модулярних зображень) містить в собі задачу про канонічну форму для пари лінійних операторів в скінченновимірному векторному просторі (з часом такі задачі були названі дикими, а решта ручними).
В 1962 р. Райнер довів дикість задачі про модулярні зображення групи (2,2,2), а в 1963 р. Кругляк довів дикість задачі про зображення групи (p,p) над полем характеристики p при p № 2. Остаточний критерій дикості задачі про модулярні зображення груп був отриманий В. М. Бондаренко і Ю. А. Дроздом в 1977 р.
В 1968 р. А. В. Ройтером була позитивно розв'язана 1-ша, а в 1975 р. А. В. Ройтером і Л. О. Назаровою 2-га проблема Брауера-Трела. В 1972 р. незалежно П. Габрієлем і С. А. Кругляком було отримано результати про класифікацію зображень алгебр, квадрат радикала яких дорівнює нулеві (отримано критерій скінченності типу алгебри). Саме в роботі П. Габрієля було введено поняття колчана і його зображення. Зв'язок задачі про зображення колчанів зі схемами Динкіна, вперше помічений Габрієлем, знайшов пояснення у відомій роботі І. Н. Бернштейна, І. М. Гельфанда і В. А. Пономарьова в 1973 р. В цій роботі важливу роль відіграли введені там авторами функтори Кокстера.
Результати Кругляка С. А. про класифікацію зображень алгебр, квадрат радикала яких дорівнює нулеві, істотно використовують результати про зображення введених А. В. Ройтером і Л. О. Назаровою частково впорядкованих множин. Побудувавши алгоритми дослідження таких зображень, А. В. Ройтер і Л. О. Назарова, використовують їх при розв'язанні проблем Брауера-Трела, за допомогою цих же алгоритмів М. Клейнер отримав критерій скінченності типу частково впорядкованої множини, та для множин скінченного типу описав усі точні нерозкладні зображення.
Починаючи з задач про класифікацію зображень колчанів і частково впорядкованих множин можна говорити про виникнення теорії класифікаційних задач лінійної алгебри (теорії матричних задач.)
На питання про класифікацію зображень колчанів ручного типу отримано відповідь незалежно в роботах Донована і Фройсліх, з одного боку, і Л. О. Назарової з іншого боку, в 1973 р. При цьому було доведено, що колчан має ручний тип тоді і лише тоді, коли відповідний неорієнтований граф є розширена схема Динкіна.
В 1975 р. Л. О. Назаровою було отримано класифікацію ручних частково впорядкованих множин.
Загальні означення і поняття теорії матричних задач з точки зору теорії функторів наведені в 1972 р. А. В. Ройтером в роботі "Матричные задачи и представления бисистем", в 1979 р. в спільній роботі М. Клейнера і А. В. Ройтера вони ж трактуються як зображення диференціальних градуйованих категорій, а в 1979 р. А. В. Ройтером була запропонована еквівалентна попередній, але, як йому здається, більш природна конструкція зображень боксів.
З іншого боку, в лінійній алгебрі розглядаються задачі, в яких вивчаються не лише лінійні оператори, але й форми. Як показано в роботі А. В. Ройтера "Боксы с инволюцией" (1979 р.), ці задачі можуть бути сформульовані як задачі про класифікацію функторів з категорії з інволюцією в категорію з інволюцією векторних просторів. При цьому самі функтори також утворюють категорію з інволюцією і їх класифікацію природно проводити з точністю до конгруентності.
Узагальнення теорії зображень колчанів в цьому напрямку є в роботах В. В. Сергейчука і С. А. Кругляка (1979 р.). На жаль, вже дуже прості задачі без додаткових співвідношень при цьому виявляються нерозв'язними. За еталон складності тут може бути вибрана задача, запропонована С. А. Кругляком і Ю. С. Самойленком, про унітарну класифікацію пар самоспряжених операторів (1980 р.) Задачі, які містять в собі останню задачу, в подальшому називаються *-дикими.
Задачі зображень колчанів, категорій (з інволюцією) в категорії гільбертових просторів природним чином виникають при вивченні зображень *-алгебр.
Розвиток теорії зображень *-алгебр у 30-60-х роках XX сторіччя зумовлений її застосуваннями у теорії унітарних зображень груп і пов'язаний з вивченням операторних алгебр, зокрема, C*-алгебр та W*-алгебр (Дж. фон Нейман, Дж Діскм'є, І. М. Гельфанд, М. А. Наймарк, Д. А. Райков, А. А. Кирилов, І. Сігал та інші).
Новий підйом у розвитку теорії зображень *-алгебр у 80-х роках пов'язаний з відкриттям квантових груп і квантових однорідних просторів (В. Г. Дрінфельд, М. Джимбо, С. Воронович, Л. Д. Фаддєєв, С. Клімек, А. Лісневський та інші) та їх застосуваннями у моделях математичної фізики, в теорії спеціальних функцій, в моделях q-квантової механіки та квантової теорії поля (Б. Зуміно, Дж. Весс, Е. Віттен, А. У. Клімик та інші).
Багато робіт пов'язано з вивченням алгебр, заданих твірними і співвідношеннями, та їх зображень. Такі *-алгебри виникають у зв'язку з деформаціями класичних співвідношень квантової механіки, аніонними статистиками та їх застосуваннями, зокрема до дробового квантового ефекту Хола.
Особливе місце серед алгебр, заданих твірними та співвідношеннями, займають алгебри, породжені ідемпотентами (див. роботи Д. Еванса, Ю. Кавахігашвілі, Г. Венцля, В. Джонса, А. Клячко, В. Фултона, А. Бьотчера, І. Гохберга, Н. Крупніка, Б. Зільбермана).
Зображення *-алгебр, породжених лінійно пов'язаними ідемпотентами, вивчались Ю. Н. Безпаловим, Д. В. Галінським, М. А. Муратовим, В. І. Рабановичем, Ю. С. Самойленко, В. Л. Островським, С. А. Кругляком.
При вивченні зображень *-алгебр, породжених лінійно пов'язаними ортопроекторами, С. А. Кругляк побудував функтори на категоріях *-зображень, будова, властивості і роль яких при вивченні *-зображень схожа на ту, яку грають функтори Кокстера при вивченні зображень колчанів в роботі І. Н. Бернштейна, І. М. Гельфанда і В. А. Пономарьова "Функторы Кокстера и теорема Габриеля", а тому в подальшому ми їх також будемо називати функторами Кокстера. Використовуючи функтори Кокстера для *-алгебр, породжених лінійно пов'язаними ортопроекторами, в роботах В. Рабановича, Ю. Самойленка, С. Поповича, А. Кириченка, В. Островського, М. Заводовського отримано різноманітні результати про *-зображення таких алгебр і їх застосування в теорії операторів.
В роботі С. А. Кругляка і А. В. Ройтера "Локально-скалярные представления графов в категории гильбертовых пространств" функтори Кокстера і теорема Габрієля за умови локальної скалярності зображень були перенесені на категорії *-зображень графів у гільбертових просторах (або, з іншої точки зору, *-колчанів).
Проведені в дисертації дослідження знаходяться в загальному потоці досліджень розділу лінійної алгебри (теорії матричних задач), що інтенсивно розвивається і межує з деякими областями функціонального аналізу, де має широкі застосування. З цієї причини, на нашу думку, поставлені в дисертації питання і отримані відповіді були і залишаються актуальними.
Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертаційної роботи пов'язана з дослідженнями відділу алгебри Інституту математики НАН України за темою "Теорія матричних задач як зображень маркованих колчанів і узагальнення розв'язних груп" та з дослідженнями відділу функціонального аналізу Інституту математики НАН України за темою ДФФД 0107/71 "Алгебраїчні питання функціонального аналізу та їх застосування".
Сказане вище визначає об'єкт дослідження зображення асоціативних алгебр та колчанів в категорії скінченновимірних лінійних просторів та в категорії гільбертових просторів. Предметом дослідження є зображення алгебр або колчанів скінченного або дикого типу і функтори Кокстера як засіб вивчення зображень алгебр і колчанів.
Мета і задачі дослідженняМетою дослідження є критерії скінченності або дикості типу досліджуваного об'єкта та алгоритми побудови його нерозкладних зображень.
Задачами дослідження є:
· довести дикість задачі про класифікацію зображень групи (p,p) над полем характеристики p;
· отримати критерій скінченності типу скінченновимірної асоціативної алгебри, квадрат радикала якої дорівнює нулеві;
· встановити шкалу порівняння для задач класифікації зображень *-алгебр і *-колчанів за ступенем складності;
· отримати алгоритм побудови похідного *-колчана і використати його для класифікації нерозкладних зображень або для доведення *-дикості;
· побудувати функтори еквівалентності категорій зображень різних *-об'єктів (функтори Кокстера) і використати їх для класифікації зображень цих об'єктів;
· для локально-скалярних зображень графів отримати критерій скінченності типу;
· з'ясувати можливості застосування отриманих результатів в суміжних областях математики.
Методи дослідження. Основні методи, що застосовуються при дослідженнях це методи лінійної алгебри і, зокрема, теорії матричних задач, методи теорії зображень алгебр і колчанів.
Наукова новизна отриманих результатів. В дисертаційній роботі отримано такі результати:
· було встановлено, що задача класифікації зображень групи (p,p) над полем характеристики p містить в собі задачу класифікації n-ки квадратних матриць з точністю до подібності (зокрема, задача класифікації пари матриць така ж важка, як задача класифікації n-ки матриць), n О N;
· було виправлено помилки попередніх авторів і отримано (правильний) критерій скінченності типу скінченновимірної асоціативної алгебри, квадрат радикала якої дорівнює нулеві (незалежно і одночасно такий критерій отримав П. Габрієль);
· вперше була встановлена шкала порівняння для задач класифікації зображень *-колчанів і *-алгебр (відношення мажорування) і вибрані (з обгрунтуванням) еталони максимальної складності (*-дикості) задач класифікації;
· вперше для класу *-алгебр, породжених лінійно пов'язаними ортопроекторами, побудовано функтори (Кокстера), що пов'язують категорії їх зображень, і ці функтори застосовано до класифікації зображень таких алгебр;
· для локально-скалярних зображень графів вперше побудовано функтори Кокстера, за допомогою яких отримано критерій скінченності типу задачі класифікації таких зображень графів.
Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертації вказують на можливість як розв'язання класифікаційних (не диких) задач лінійної алгебри, пов'язаних з метричними просторами, так і використання їх в теорії зображень груп, алгебр, категорій і функціональному аналізі. Зокрема, результати дисертації можуть бути застосовані при вивченні операторів і сімей операторів у гільбертовому просторі, пов'язаних алгебраїчними співвідношеннями, а також при розв'язанні проблем Г. Вейля та П. Халмоша.
Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались на засіданнях семінарів відділу алгебри та семінару "Алгебраїчні питання функціонального аналізу" Інституту математики НАН України, на алгебраїчному семінарі Київського національного університету ім. Тараса Шевченка, на XVI Всесоюзній алгебраїчній конференції (Ленінград, 1981 р.), на Міжнародній конференції Марка Крейна з теорії операторів і її застосувань (Одеса, 1997 р.), на конференції "Теорія зображень і комп'ютерна алгебра" (Київ, 1997 р.), на Міжнародних осінніх математичних симпозіумах зі спектральних та еволюційних задач (Севастополь, 2000 р., 2001 р.), на Українському математичному конгресі (Київ, 2001 р.), на конференції "Теорія зображень і її застосування" (Університет Упсала, Швеція, 2004 р.)
Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковані в роботах [,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,], з яких 20 [,,,,,,,,,,,,,,,,,,,] надруковано у фахових виданнях за переліком, затвердженим ВАК України. З робіт, написаних у співавторстві, у дисертацію ввійшли тільки результати (сформульвані як теореми, леми), які належать здобувачеві особисто.
Об'єм і структура роботи. Робота складається зі вступу і шести розділів, що займають 272 сторінки тексту. Бібліографія містить 119 найменувань.
В першому розділі проводиться огляд літератури і вказується на зв'язок результатів здобувача з результатами інших авторів, їх місце в розв'язанні розглядуваних загальних проблем.
В другому розділі наведено доведення "дикості" задачі класифікації модулярних зображень групи (p,p) і отримано критерій скінченності типу скінченновимірних асоціативних алгебр, квадрат радикала яких дорівнює нулеві. Результати розділу опубліковано в [,].
В третьому розділі для *-колчанів і *-алгебр вводиться відношення мажорування, яке встановлює шкалу складності класифікації *-зображень таких об'єктів, отримано еталони складності для *-диких об'єктів, наведено алгоритм побудови по *-колчану похідного *-колчана. Результати розділу опубліковано в [,,,,,].
В четвертому розділі для *-алгебр, породжених лінійно пов'язаними ортопроекторами, конструюються функтори Кокстера на категоріях *-зображень. Функтори Кокстера використано прри розв'язанні різноманітних задач, пов'язаних з *-зображеннями таких алгебр. Результати опубліковано в [,,,].
В п'ятому розділі для графів вводиться поняття їх зображення в категорії гільбертових просторів і локально-скалярного зображення. Для категорій локально-скалярних зображень графів конструюються функтори Кокстера, за їх допомогою отримано критерій скінченності типу графів. Результати опубліковано в [].
В шостому розділі наведені застосування отриманих результатів при розв'язанні інших задач теорії зображень, теорії операторів тощо. Результати опубліковано в [,,,,,,,,,].
Наведемо тепер більш детальну характеристику змісту роботи за розділами.
Зміст роботи.
Розділ 1. Огляд літератури.
Розділ 2. Зображення деяких скінченновимірних алгебр.
В підрозділі .1 обговорюється можливість класифікації зображень групи (p,p) над полем характеристики p. Нехай a і b твірні групи (p,p), ap=e, bp=e, ab=ba. І нехай X1,X2,ј,Xn матриці зображення групи G порядку n. Конструюється зображення T групи (p,p), яке залежить від матриць X1,X2,ј,Xn (T=T(X1,X2,ј,Xn)), і ця конструкція має таку властивість: якщо пари матриць A=T(X1,X2,ј,Xn)(a), B=T(X1,X2,ј,Xn)(b) і [A~]=T([X~]1,[X~]2,ј,[X~]n)(a), [B~]=T([X~]1,[X~]2,ј,[X~]n)(b) подібні, то зображення X1,X2,ј,Xn і [X~]1,[X~]2,ј,[X~]n групи G еквівалентні. В цьому розумінні задача класифікації модулярних зображень групи (p,p) містить в собі як підзадачу задачу класифікації зображень будь-якої скінченної групи G.
Легко бачити, що не є принциповою та обставина, що матриці X1,X2,ј,Xn є матриці зображення групи. З тієї ж конструкції випливає, що задача класифікації пар A,містить в собі задачу класифікації n-ки матриць (n О N).
В підрозділі .2 отримано критерій скінченності типу скінченновимірної алгебри L над полем F, квадрат радикала R якої дорівнює нулеві.
L = A+ R,
З
R = {0}, » L / R;
нехай A = еi=1kЕAi розклад напівпростої алгебри A в пряму суму простих алгебр, {ei} множина центральних ідемпотентів, які відповідають цьому розкладу. Поставимо у відповідність алгебрі L підмножину S множини NЧN і відображення d: S® N таким чином: S={(i,j) |iRej № 0}, d(i,j) число незвідних AjДAўi-модулів, що входять в розклад R в пряму суму незвідних AДFAў-модулів. Умови скінченності типу алгебри L формулюються в термінах множини S і відображення d.
Множину S, що складається з n елементів, будемо називати ланцюжком довжини n, якщо елементи S можна так розташувати в послідовність a1,a2,ј,an, що сусідні елементи і лише вони мають однакові перші або другі координати ("або" виключаюче).
Множину S, що складається з m+n+3 елементів (m і 0, n і 0) будемо називати розширеним ланцюжком і позначати S(m,n), якщо елементи S можна так розташувати в послідовність {a1,a2,ј,am,b1,b2,b3,c1,c2,ј,cn}, що {a1,a2,ј,am,b1,b3,c1,c2,ј,cn} є ланцюжок і b1,b2,b3 мають однакові або перші, або другі координати.
Два елементи a,О S належать одній області зв'язності, якщо в S знайдеться ланцюжок {a,a1,a2,ј,an,b}, який "зв'язує" a і b.
Доведено теорему.
Теорема 2.1. Для того, щоб алгебра L була алгеброю скінченного типу, необхідно і достатньо, щоб:
1) d(i,j)=1 для всіх (i,j) О S;
2) кожна область зв'язності Si множини S була або ланцюжком, або розширеним ланцюжком Si(m,n) з mn Ј 3.
Розділ 3. Зображення *-колчанів і *-алгебр в категорії гільбертових просторів.
В підрозділі .1 вводяться основні поняття і означення, пов'язані з зображеннями *-колчанів, *-категорій, *-алгебр в категорії гільбертових просторів: еквівалентності й унітарної еквівалентності, нерозкладності, точності, дискретності зображень.
В підрозділі .2 для *-категорій встановлюється шкала складності класифікації *-зображень, вводиться відношення ">" мажорування, яке формалізує ситуацію, коли задача класифікації *-зображень однієї категорії міститься як підзадача в задачі класифікації *-зображень іншої категорії. Нехай
Ln = C
a1,a2,ј,an|i=a*i, ,2,ј,n
,
Un = C
u1,u2,ј,un|iu*i=u*iui=e, ,2,ј,n
.
Доведено теореми.
Теорема 3.1. При будь-якому m=1,2,ј *-алгебра L2> Lm.
Теорема 3.2. *-алгебра U2 мажорує *-алгебру L2.
В підрозділі .3 наводиться алгоритм побудови похідного *-колчана: формалізується один зі способів класифікації зображень (для *-об'єктів) в теорії матричних задач привести одну з матриць зображення до "канонічного" вигляду, звузити групу перетворень до тих перетворень, які не псують отриманий канонічний вигляд приведеної матриці, і тим самим отримати нову (похідну) задачу. Доведено теорему.
Теорема 3.3. Нехай Qўa,x є похідний колчан *-колчана Q по стрілці a в точці x=(x1,x2,ј,xn). Тоді для породжених колчанами Q і Qўa,x категорій K(Q) і K(Qўa,x) має місце мажорування K(Q)> K(Qўa,x).
В підрозділі .4 вивчаються *-категорії, породжені ансамблями з умовою ортогональності.
Нехай Q колчан з вершинами c1,c2,ј,cn і d1,d2,ј,dm та стрілками aij:cj® di, i О [`1,m], j О [`1,n]. Будемо називати такий колчан ансамблем з матрицею стрілок
МАЛЮНОК
Нехай *-колчан QmЧn^ породжений ансамблем з матрицею A (тобто в колчан входять, крім вказаних вершин і стрілок, ще й стрілки a*ij) і співвідношенням
МАЛЮНОК
K(QmЧn^) *-категорія, отримана з категорії шляхів K(C,QmЧn^) факторизацією по вказаним співвідношенням. Будемо називати її *-категорією, породженою ансамблем розмірності mЧn з умовою ортогональності. Доведено теорему.
Теорема 3.4. Має місце таке мажорування *-категорій:
1) K(QkЧl^)> K(QmЧn^) при m,n,k,l О N, k і 2, l і 2;
2) K(QkЧ1^)> K(QmЧn^) при m,n,k О N, k і 3 .
В підрозділі .5 вводиться поняття *-дикої категорії: *-категорія K називається *-дикою, якщо K> L2 (або, що є рівноцінним, K> U2.) Для практичного використання важливо мати достатньо велику колекцію (еталонних) *-диких задач. Доведено теореми:
Теорема 3.5. Категорія K(QkЧl^) *-дика тоді і лише тоді, коли k і 2 і l і 2 або ж k і 3.
Теорема 3.6. Алгебра S=C б p1,p2,p3 |i2=pi=pi*, `1,3]; 1p2=p2p1=0 с є *-дика.
Теорема 3.7. Алгебра D2,^ = C б q1,q1*,q2,q2* |12=q1,q22=q2, 1q2=q2q1=0 с є *-дика.
В розділі вивчаются *-зображення алгебр, породжених лінійно пов'язаними ортопроекторами.
В підрозділі .1 розглядаються *-зображення алгебри
Pn,a=C
p1,p2,ј,pn |k2=pk=pk*,
nе
k=1
pk = ae
та *-колчана Qn,a:
МАЛЮНОК
зі співвідношеннями
gk*gk=ek, ,2,ј,n,
nе
i=1
gkg*k = ae0.
Доведено теорему.
Теорема 4.1. *-категорії RepPn,a і RepQn,a еквівалентні.
В підрозділі .2 на множині категорій зображень алгебр Pn,a і колчанів Qn,a побудовано функтори віддзеркалень Кокстера F· і F°:
·F
: RepPn,a® Rep Pn,n-a, a < n;
°F
:RepPn,a®Rep Pn,1+[1/(a-1)], a > 1,
що є функторами еквівалентності категорій (F·2 = Id, F°2 = Id.)
Позначимо через Sn множину тих a О R, для яких існують ортопроектори P1,P2,ј,Pn О L(H) такі, що еk=1n Pk = aI. Узагальненою розмірністю зображення p алгебри Pn,a в просторі H назвемо вектор d=(d0;d1,d2,ј,dn), де d0=dimH, di=dimHi (Hi=Im Pi, де Pi = p(pi)). Функтори F· і F° індукують функції на Sn та множині розмірностей, які ми будемо позначати тими ж значками:
·F
(a) = n-a,
·F
(d) = (d0;d0-d1,d0-d2,ј,d0-dn).
°F
(a) =
a
a-1
,
°F
(d) = (
nе
i=1
di-d0;d1,d2,ј,dn).
Функтори F+, F- визначаємо так:
F+ =
°F
·F
, F- =
·F
°F
.
Розглянемо дві послідовності точок:
Ln1 = {F+k(0)}k=0,1,ј і Ln2 = {F+k(1)}k=0,1,ј
що належать множині Sn.
Нехай bn = [(n-Ц2-4n})/2], а через n-Lni позначено множину точок n-a, де a О Lni. Доведено такі теореми:
Теорема 4.4. При n і 4 Sn\(bn,n-bn) = {Ln1,Ln2,bn,n-bn,n-Ln1,n-Ln2} і якщо [1+[1/(n-3)],2] М Sn, то (bn,n-bn) М Sn.
Алгебра Pn,0 має єдине нерозкладне *-зображення p0 розмірності 1: p0(pi) = Pi = 0. Алгебра Pn,1 має точно n нерозкладних *-зображень p1j і всі вони мають розмірність 1: p1j(pi) = 0 при i № j, p1j(pj) = 1, j=1,ј,n. Доведено теорему:
Теорема 4.5. Алгебра Pn,a при a = [m/l] О Ln1 (дріб [m/l] нескоротний), a = F+k(0), з точністю до унітарної еквівалентності має єдине нерозкладне *-зображення F+k(p0); це зображення має розмірність l. Алгебра Pn,a при a = [m/l] О Ln2, a = F+k(1) з точністю до унітарної еквівалентності має n нерозкладних *-зображень F+k(p1j), j=[`1,n], кожне з яких має розмірність l.
В підрозділі .3 розглядаються зображення *-алгебр
Pn,a® = C
p1,p2,ј,pn|i2=pi=pi*,
nе
i=1
aipi=e
,
де e одиниця алгебри, a® = (a1,a2,ј,an), ai > 0, i = [`1,n]. Ставиться питання про знаходження множини Tn векторів a® , для яких *-алгебра Pn,a® має хоча б одне *-зображення (категорія RepPn,a® непорожня). Разом з класом *-алгебр Pn,a® розглянемо клас *-колчанів Qn,a®
МАЛЮНОК
зі співвідношеннями
gi*gi=ei,
nе
i=1
aigigi*=e0.
Доводиться, що категорії RepPn,a® і RepQn,a® еквівалентні.
Сконструйовано функтори віддзеркалень Кокстера:
°F
:RepPn,a® ® Rep Pn,1®-a® ,
де a® =(a1,a2,ј,an), 0 < ai < 1, 1®-a® = (1-a1,1-a2,ј,1-an),
·F
: RepPn,a® ® Rep Pn,[(a® )/(A-1)],
де A = еi=1nai, A > 1.
Ці функтори є функтори еквівалентності відповідних категорій.
Для векторів узагальнених розмірностей зображень і векторів параметрів алгебри a® маємо
°F
(d0;d1,d2,ј,dn) =
ж
и
nе
i=1
di-d0;d1,d2,ј,dn
ц
ш
,
·F
(d0;d1,d2,ј,dn) = (d0;d0-d1,d0-d2,ј,d0-dn),
°F
(
®a
) =
®1
-
®a
= (1-a1,1-a2,ј,1-an), < ai < 1;
·F
(
®a
) =
®a
A-1
=
ж
и
a1
A-1
,ј,
an
A-1
ц
ш
, > 1,
nе
i=1
ai.
Мають місце такі твердження:
Лема 4.8. Нехай для вектора b® = (a1,a2,ј,an,an+1,ј,an+m) деякі з координат, нехай an+1,ј,an+m, більші одиниці. Тоді b® О Tn+m в тому і лише тому випадку, коли звуження вектора b® є вектор a® =(a1,a2,ј,an) О Tn. Для будь-якого *-зображення p алгебри Pn+m,b® оператор p(pi)=0 при i=n+1,n+2,ј,n+m.
Лема 4.9. Нехай для вектора b® = (a1,a2,ј,an,an+1,ј,an+m) з додатними координатами має місце нерівність A = еi=1n+m ai > 1. Нехай для деяких номерів i0, для визначеності n+1,ј,n+m, виконується нерівність ai0+1 > A і B = еi=n+1n+m ai. Тоді при B=1 вектор b® О Tn+m, при B > 1 вектор b® П Tn+m, а при B < 1 вектор b® О Tn+m тоді і лише тоді, коли вектор ([(a1)/(1-B)],[(a2)/(1-B)], ј,[(an)/(1-B)]) О Tn. В останньому випадку для зображення p алгебри Pn+m,b® виконується p(pi)=I при i=n+1,ј,n+m.
Будемо говорити, що вектор a® = (a1,a2,ј,an) з додатними координатами задовольняє R-умову, якщо:
1) у вектора a® знайдеться координата ai0 така, що ai0 і 1;
або
2) у вектора a® знайдеться координата ai0 така, що ai0+1 і A = еi=1nai.
Будемо говорити, що вектор a® =(a1,a2,ј,an) з сумою A=еi=1nai має ріст k, якщо A О F-k([1;1+[1/(n-2)])) або A О F-k((1+[1/(n-3)];2]). Вектори a® , для яких A О [1; +[1/(n-2)]) або A О (1+[1/(n-3)]; ], будемо називати векторами росту 0.
Доведено теорему.
Теорема 4.11. Нехай для вектора a® =(a1,a2,ј,an) довжини n і 4 з додатними координатами і сумою A=еi=1nai виконуються нерівності 1 < A < 2 і A № [(n-Ц{n2-4n})/2].
Вектор a® тоді і лише тоді належить множині Tn, коли:
1) або a® задовольняє R-умову, і після редукування a® до вектора b® (меншої) довжини m буде b® О Tm;
2) або до вектора a® можна застосувати віодбраження Кокстера F+, в результаті чого ми отримаємо вектор b® меншого росту, і b® О Tn.
Розділ 5. Локально-скалярні зображення графів і функтори Кокстера.
В підрозділі .1 вводяться локально-скалярні зображення графів у гільбертових просторах і поняття, з ними пов'язані.
Нехай граф G є дерево і Mk множина вершин, з'єднаних з вершиною k ребром, e(g) множина вершин, з'єднаних ребром g. Зображення p графа G в категорії H гільбертових просторів ставить у відповідність кожній вершині a О Gv простір p(a)=Ha О H, кожному ребру g О Ge, у якого e(g) = {a,b}, пару взаємно спряжених лінійних операторів p(g) = {Gab,Gba}, де Gab : Hb ® Ha. Нехай Ai = еj О MiGijGji. Зображення p називається локально-скалярним, якщо всі оператори Ai скалярні, Ai=ai IHi.
Нехай Rep(G,H) категорія зображень графа G в категорії гільбертових просторів, Rep G категорія локально-скалярних зображень графа G. G-вектор d={d(i)} = {dimp(i)} є розмірність скінченновимірного зображення p О Rep(G,H). Якщо Ag = f(g)IHg для g О Gv, то f(g) будемо називати характером локально-скалярного зображення p.
Підрозділ .2. Функтори віддзеркалень Кокстера.
Зафіксуємо розклад множини вершин Gv = G° U G· такий, що для кожного a О Ge одна з вершин із e(a) лежить в G°, а інша в G·. Для кожної вершини a О Gv позначимо через sa лінійне перетворення в просторі VG G-векторів, що задається формулами (sa x)b=xb при b № a, (sa x)a=-xa+еb О Maxb. Будемо називати sa віддзеркаленням у вершині a. Зафіксуємо нумерацію вершин графа G, занумерувавши спочатку парні (з G°), а потім непарні (з G·) вершини. Добуток віддзеркалень у всіх непарних вершинах позначимо c·, а в парних c°. Перетворення Кокстера на VG є c = c°c·, причому c-1 = c·c°. Позначимо через c·k і c°k композиції k перетворень c· і c°, що чергуються: c·k = јc°c·k разів , c°k = јc·c°k разів , k О N.
При d О Z+G, f О VG+ розглянемо повну підкатегорію Repв Rep G локально-скалярних зображень з фіксованою розмірністю d і характером f.
Всі зображення p з Repмають спільного носія Xd = {a О Gv|№ 0}. Нехай Rep°М Rep повна підкатегорія, об'єкти якої є пари (p,f) з f(a) > 0 при a О X° = XЗG°. Аналогічно вводиться категорія Rep·
Конструюються функтори парних і непарних віддзеркалень Кокстера F° і F·, які є еквівалентностями категорій:
°F
: Rep°® Rep°
°c
(d),
°f
d
),
·F
: Rep·® Rep·
·c
(d),
·f
d
).
Тут
При цьому (F°)2 @ Id, (F·)2 @ Id.
Підрозділ .3. Перетворення Кокстера.
Вводиться поняття найпростішого локально-скалярного зображення Pg графа G: Pg(g)=C, Pg(a)=0 при a № g, a О Gv. Характери зображень Pg будемо позначати через fg. Маємо fg(g)=0, і будемо вважати, що fg(a) > 0 при a № g. Для найпростішого зображення Pg маємо dg(g)=1, dg(a)=0 при a № g.
Доведено теорему.
Теорема 5.3 Будь-яке локально-скалярне нерозкладне зображення p графа Динкіна G одержується із деякого найпростішого зображення Pg функторами парних і непарних віддзеркалень Кокстера.
Підрозділ .4. Аналог теореми Габрієля.
Будемо говорити, що G (локально-скалярно) скінченно зображуваний в категорії гільбертових просторів H, якщо всі його локально-скалярні зображення дискретні (розпадаються в пряму суму скінченновимірних зображень), розмірності його нерозкладних локально-скалярних зображень обмежені в сукупності, і в кожній розмірності число нерозкладних зображень з даним характером скінченне.
Нехай pL скінченновимірне зображення колчана Q над полем C. Якщо простори зображення унітарні, то зображення pL може бути природним чином продовжене до зображення p графа GQ, який одержується з колчана Q, коли ми "забудемо" на ньому орієнтацію (стрілка заміняється на ребро), в категорії гільбертових просторів. Якщо pL еквівалентне в Rep (Q, C) зображенню [(p)~]L такому, що продовжене зображення [(p)~] графа G локально-скалярне, будемо говорити, що зображення pL колчана Q унітаризовне.
Покладемо F°(d,f) = (c°(d),f°d) і F·(d,f) = (c·(d),f·d). Якщо пара јF°F·k разів (d,f) визначена, то позначимо її як F·k(d,f), а пару јF·F°k разів (d,f) через F°k(d,f), k = 0,1,2,ј. Будемо називати пару (d,f) кореневою на G, якщо для деякого k О NИ{0} маємо (d,f) = F°k(g,fg) при g О G· або (d,f) = F·k(g,fg) при g О G°. Дві кореневі пари (d,f1) і (d,f2) будемо називати еквівалентними, якщо f1|Xd є f2|Xd (тут Xd множина вершин g, для яких d(g) № 0). Клас еквівалентності кореневої пари (d,f) будемо позначати через [d,f].
Доведено теорему, аналогічну теоремі Габрієля про зображення колчанів скінченного типу.
Теорема 5.8. Нехай G зв'язний скінченний граф без циклів, Q колчан, отриманий з графа G орієнтацією ребер.
1. Наступні умови еквівалентні:
a) граф G є один з графів Динкіна An, Dn, E6, E7, E8;
b) граф G є скінченно зображуваний в категорії гільбертових просторів H;
c) будь-яке скінченновимірне нерозкладне зображення колчана Q унітаризовне.
2. Відображення p® [d(a),f(a)], де d(a) розмірність p, а f(a) його характер, встановлює взаємно однозначну відповідність між класами еквівалентних нерозкладних локально-скалярних зображень графа G і класами еквівалентних кореневих пар графа G.
Розділ . Застосування.
Наводяться різноманітні застосування результатів, отриманих в попередніх розділах.
В підрозділі .2 обговорюються застосування функторів Кокстера до розв'язання задачі про розклад самоспряженого оператора в суму ортопроекторів. Задача формулюється так. Нехай B самоспряжений оператор, спектр якого s(B) містить скінченне число точок b1,b2,ј,bm. Чи зображується B у вигляді суми n ортопроекторів (для фіксованого n)? Попередньо з'ясовується, чи знайдеться хоча б один самоспряжений оператор B зі спектром b1,b2,ј,bm, зображуваний у вигляді суми n проекторів.
Ми розв'язуємо цю задачу: 1) для скалярного оператора aI в скінченновимірному просторі (a О R+); 2) з'ясовуємо, коли невироджений оператор з двома точками спектру b1, b2, відповідно кратностей r1 і r2, є сумою трьох ортопроекторів.
В підрозділі .3 обговорюється застосування функторів Кокстера до розв'язання задачі про спектр суми самоспряжених операторів. Задача формулюється так: знайти можливий спектр суми двох ермітових операторів s(A+B), знаючи спектри s(A) та s(B). Ця задача зводиться до задачі класифікації *-зображень деякої *-алгебри, породженої ортопроекторами, і до класифікації локально-скалярних зображень деякого графа, пов'язаного з цією алгеброю.
В підрозділі .4 вивчаються *-зображення квантової алгебри, пов'язаної з рівнянням Янга-Бакстера: алгебра F над полем C породжується (самоспряженими) твірними s0,1,2,3 і співвідношеннями [s_0,s_]_-=iJ_[s_,s_]_+,
[s_,s_]_-=i[s_0,s_]_+,
J_12+J_23+J_31+J_12J_23J_31=0, де Jbg дійсні числа, [- позначення для комутатора, [+ позначення для антикомутатора, (a,b,g) циклічна перестановка з (1,2,3). Такі алгебри називаються алгебрами Скляніна. Ми розглядаємо таку алгебру при J12=J23=1, J31=-1.
Ілюструється використання техніки переходу до похідного колчану для класифікації *-зображень цієї алгебри.
В підрозділі .5 для алгебри
Pn,a® = C
p1,p2,ј,pn |i2=pi,
nе
i=1
aipi = e
,
породженої ідемпотентами (без *), будуються функтори Кокстера, які можуть бути використані для класифікації (звичайних, не *-) зображень цієї алгебри.
В підрозділі .6 доведено дикість таких *-алгебр:
D2=C б q1,q1*,q2,q2* |i2=qi,qi*2=qi*,i=1,2 с ,
D=C б q,q*,p |2=q,q*2=q*,p=p*=p2,i=1,2 с .
D2^=C б q1,q1*,q2,q2* |i2=qi,qi*2=qi*,i=1,2,q1q2=q2q1=0 с .
A=C б x,x* | *,x*x]=0 с
[A~]=C б x,x* | *,x*x]=0,(x*x)2=x*x с .
В підрозділі .7, не використовуючи функторів Кокстера, проводиться класифікація четвірок ортопроекторів, пов'язаних лінійним співвідношенням.
В підрозділі .8 розглядається задача класифікації зображень алгебр D.шляхом зведення до класифікації зображень деяких колчанів зі співвідношеннями (застосовується метод похідного колчана).
ВИСНОВКИ
Дисертація присвячена зображенням груп, алгебр, колчанів в категоріях лінійних і гільбертових просторів. Отримано такі результати:
1. Доведено, що задача класифікації зображень групи (p,p) над полем характеристики p містить в собі задачу класифікації n-ок матриць з точністю до подібності (n О N).
2. Отримано критерій скінченності типу скінченновимірної алгебри, квадрат радикала якої дорівнює нулеві.
3. Для *-категорій введено відношення мажорування, яке встановлює шкалу складності задачі класифікації *-зображень. Введено поняття *-дикої задачі і побудовано деякі еталони *-дикості.
4. По *-колчану конструюється похідний колчан, який мажорується початковим *-колчаном. Конструкція використовується для класифікації *-зображень алгебри Скляніна та алгебри, породженої 4-ма лінійно пов'язаними ортопроекторами, для доведення дикості деяких *-алгебр і *-колчанів.
5. Для *-алгебр, породжених лінійно пов'язаними ортопроекторами, сконструйовано функтори віддзеркалень Кокстера. Функтори використовуються для опису множини параметрів алгебри, що має *-зображення, для опису множини розмірностей нерозкладних зображень і для класифікації самих зображень.
6. Для категорій локально-скалярних зображень графів у категорії гільбертових просторів розвивається теорія, подібна до теорії зображень колчанів у категорії лінійних просторів. Конструюються функтори Кокстера, узгоджені з метрикою в просторах зображення та інволюцією на відображеннях цих просторів. Доведено аналог теореми Габрієля.
7. Продемонстровано можливість застосування отриманих результатів до розв'язання різноманітних задач теорії зображень і теорії операторів: до розв'язання проблеми про спектр суми операторів, до розв'язання задачі про розклад самоспряженого оператора в суму ортопроекторів, до задач класифікації *-зображень алгебр і колчанів, до оцінки складності задачі класифікації *-зображень (доведення *-дикості деяких алгебр і колчанів).
Список опублікованих праць за темою дисертації
С.А. Кругляк. О представлениях группы (p,p) над полем характеристики p. // Докл. АН СССР. - 1963. - Т. 153, № 6. - с. .
С.А. Кругляк. Представления алгебр, квадрат радикала которых равен нулю. // Записки научных семинаров ЛОМИ. Исследования по теории представлений. - 1972.- Т. 28. - с. 60-68.
Кругляк С.А. Представления свободных инволютивных колчанов. // Представления и квадратичные формы. - Киев: Ин-т математики АН УССР, 1979. - с. 149-151.
Кругляк С.А., Самойленко Ю.С. Об унитарной эквивалентности наборов самосопряженных операторов. // Функ. анализ и прил. - 1980. - Т. 14, вып. 1. - с. 60-62.
Кругляк С.А. Представления квантовой алгебры, связанной с уравнением Янга-Бакстера. // Спектральная теория операторов и бесконечномерный анализ, Киев.: Ин-т математики АН УССР, 1984. - с. .
Кругляк С.А., Самойленко Ю.С. Структурные теоремы для семейства идемпотентов. // Укр. мат. журн. - 1998. - Т. 50, № 4. - с. .
Галінський Д.В., Кругляк С.А. Зображення *-алгебр, породжених лінійно пов'язаними ортопроекторами. // Вісник Київського державного університету. - 1999. - № 2. - с. 24-31.
S. Kruglyak and Y. Samoilenko. On the complexity of decription of representations of *-algebras generated by idempotents. // Proceedings of the American mathematical society. - 2000. - Vol. 128, No. 6. - P. 1655-1664.
Djeldubaev E.R., Kruglyak S.A. On representation of the *-algebra PN,1+[1/(N-1)]. // Methods Funct. Anal. Topol. - 2001. - Vol. , No . - P. .
KruglyakKyrychenko On four orthogonal projections that satisfy the linear relation a1p1+a2p2+a3p3+a4p4=e, ai > 0. // Proceedings of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine. - 2002. - Vol. , Part - P. 461-465.
Kruglyak S.A. Coxeter functors for a certain class of *-quivers and *-algebras. // Methods of Functional Analysis and Topology. - 2002. - Vol. , No. . - P. .
Кругляк С.А., Рабанович В.И., Самойленко Ю.С. О суммах проекторов. // Функц. анализ и прил. - 2002. - Т. 36, вып. 3. - с. .
Кругляк С.А. Функторы Кокстера для одного класса *-колчанов. // Укр. мат. журн. - 2002. - Т. 54, № 6.
KruglyakPopovichSamoilenko Y. Representations of *-algebras associated with Dynkin diagrams. // Ученые записки Таврического национального университета им. В.И. Вернадского. Сер. "Математика, механика, информатика и кибернетика". - 2003. - т. (55), № . - с. .
KruglyakRabanovichSamoilenko Decomposition of a scalar matrix into a sum of orthogonal projections. // Linear Algebra and its Applications. - 2003. - 370. - P. .
Кириченко А.А., Кругляк С.А. Про спектр суми проекторів і функтори Кокстера. // Вісник Київського університету. Серія фіз.-мат. науки. - 2003. - №. . - с. .
Bagro O.V., Kruglyak S.A. A majorization relation for a certain class of *-quivers with an orthjgonality condition. // Opuscula Mathematica. - 2004. - Vol. 24/1. - P. 5-17.
Kruglyak S.A. Relation of Majorization for *-categories and *-wild categories. // Proceedings of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine. - 2004. - Vol. 50, part 3. - P. .
Кругляк С.А. О функторах Кокстера для некоторых классов алгебр, порожденных идемпотентами. // Укр. мат. журн. - 2004. - Т. , № . - с. .
Кругляк С.А., Ройтер А.В. Локально скалярные представления графов в категории гильбертовых пространств. // Функц. анализ и прил. - 2005. Т. 39, вып. 2. - с. 13-30.
Кругляк С.А. Представления инволютивных колчанов. // XVI Всесоюзная алгебраическая конференция, Тезисы. - Ленинград, 1981. - с. .
Кругляк С.А. Представления инволютивных колчанов. - Киев: Деп. ВИНИТИ, 7266-84, 1984. - 62 с.
Багро О.В., Кругляк С.А. Представления алгебр D.// Киев, 1996. - 35 с. (Препринт КВВИУС, с. ).
Кругляк С.А. О функторах Кокстера для одного класса *-колчанов и *-алгебр. // Український математичний конгрес. Алгебра і теорія чисел. Праці. - Київ, 2002. - с. .
Kruglyak S.A., Samoilenko Yu.S. On structure theorems for families of idempotents. // International Conference on Operator Theory and Applications. - Odessa, 1997. - P. .
Kruglyak S., Piryatinskaya A. On "wild" *-algebras
