Національна академія наук України
Національна академія наук України
Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова
КИРИЛЮК Володимир Семенович
УДК 519.816
ОПТИМАЛЬНІ РІШЕННЯ В УМОВАХ РИЗИКУ
НА ОСНОВІ АПАРАТА БАГАТОЗНАЧНИХ ВІДОБРАЖЕНЬ
01.05.01 – теоретичні основи інформатики та кібернетики
АВТОРЕФЕРАТ
дисертації на здобуття наукового ступеня
доктора фізико-математичних наук
Київ–2006
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана в Інституті кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України.
Науковий консультант: | доктор фізико-математичних наук, професор
Кнопов Павло Соломонович,
Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України,
завідувач відділу.
Офіційні опоненти: |
доктор фізико-математичних наук, професор,
член-кореспондент НАН України
Чикрій Аркадій Олексійович,
Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України,
завідувач відділу,
доктор фізико-математичних наук, професор
Остапенко Валентин Володимирович,
Науково-навчальний комплекс "Інститут прикладного
системного аналізу" Міністерство освіти і науки України
та НАН України при НТУУ "КПІ", завідувач відділу,
доктор фізико-математичних наук, професор
Михалевич Михайло Володимирович,
Українська академія зовнішньої торгівлі
Міністерство економіки України, завідувач кафедри.
Провідна установа: |
Київський національний університет імені Тараса Шевченка,
факультет кібернетики, кафедра системного аналізу та
теорії прийняття рішень.
Захист відбудеться “_24_”_березня_2006 р. о(об)_11_годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д26.194.02 при Інституті кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України за адресою:
03680, МПС, Київ-187, проспект Академіка Глушкова, 40.
З дисертацією можна ознайомитися в науково-технічному архіві інституту.
Автореферат розісланий “_22_ ”_лютого_2006 р.
Учений секретар
спеціалізованої вченої ради СИНЯВСЬКИЙ В.Ф.
Загальна характеристика роботи
Актуальність теми. Прийняття оптимальних рішень в умовах ризику є однією з найважливіших задач, що стоїть перед суспільством у сучасному світі, де наслідки невірних рішень нерідко мають глобальний, навіть катастрофічно небезпечний характер. Часте виникнення на практиці таких задач і зумовило актуальність обраної теми роботи. Наприклад, як розподілити ресурси для захисту від катастроф та пом’якшення їх наслідків? Як вести господарчу діяльність у регіонах, що знаходяться під потенційною загрозою природних лих? Як приймати фінансово ефективні рішення, результати яких залежать від випадкових коливань, наприклад на фінансових ринках? Нерідко такі рішення мають довгостроковий характер, наслідки яких містять всі майбутні невизначеності та випадковості. Важко нині знайти постановки практично важливих задач, що мають чисто детермінований характер.
Умовами ризику, як правило, вважаються обставини, в яких результат рішення має стохастичний, інколи невизначений характер, тобто не є однозначно визначений. У цьому випадку для формальних математичних постановок задач є важливим поняття міри ризику, що дозволяє певним чином враховувати потенційну можливість майбутніх втрат, пов’язану зі стохастичним (невизначеним) характером результату.
Зауважимо, що методологічно важливо розділити підходи для прийняття рішень у залежності від специфіки відповідних задач. У проблемах, де результати не мають критичного характеру, а рішення приймаються часто, можна обмежитися традиційними постановками задач стохастичної оптимізації, тобто оптимізувати середні значення певних величин (прибутки, збитки, ефективність), ймовірності відмов, тощо. Інакше, зважаючи на потенційно критичний характер наслідків при прийнятті рішень, крім середніх значень певних величин, приймають до уваги і значення деяких мір ризику. Тобто рішення приймаються за двома критеріями – зиск-ризик, де в якості зиску враховуються середні значення зиску (прибутку, ефективності), а в якості ризику – відповідна міра ризику. Це робить отримані рішення більш надійними (обережними) щодо їх потенційних наслідків.
Основне методологічне питання, що при цьому виникає, є наступним. Якою повинна бути міра ризику, що обирається? Невдалий вибір міри може привести до суперечливих результатів таких рішень, до важкого шляху пошуку оптимальних рішень у задачах, тощо.
У процесі розвитку теорії і прикладних застосувань при прийнятті рішень в умовах невизначеності в якості міри ризику використовувалися різні функції: дисперсія, напіввідхилення, VaR, інші. Потім у роботі П. Арзнера., Ф. Делбаена, Дж. Ебера та Д. Хеаза (1999 р.) були сформульовані аксіоми, яким повинна задовольняти функція ризику, яка була названа когерентною мірою ризику. Теоретично привабливі властивості, забезпечувані цими аксіомами, дозволяють розглядати подібні функції у якості вдалих кандидатів на роль мір ризику. Зокрема, такою мірою є CVaR (R.Т. Рокафеллар, С. Урясьєв, 2000 р.), що нині просувається на зміну мірі VaR у фінансових застосуваннях. Відомі й інші приклади мір з подібними властивостями, проте питання побудови та використання когерентних мір залишалося відкритим.
Відкритим залишалося і пов’язане з цим питання пошуку оптимальних портфельних рішень за співвідношенням зиск-ризик. Лише у деяких окремих випадках, наприклад для CVaR, такі задачі було зведено до відповідних задач лінійного програмування (ЛП). Це викликало необхідність розробки певного теоретичного напрямку щодо побудови цілого класу мір ризику та відповідного математичного апарата для пошуку оптимальних рішень за співвідношеннями зиск-ризик при використанні мір з цього класу.
Наступним важливим класом задач, що досліджується у роботі й належить до традиційних постановок задач стохастичної оптимізації, є проблеми оптимізації систем з двома типами відмов, що мають витоки як класичні задачі теорії надійності й відповідне практичне застосування у комунікаційних, сенсорних та інших технічних системах. Ці задачі є складними з точки зору оптимізаційної теорії, а їх трудомісткість безнадійно зростає при збільшенні розмірності. Досі для них існували лише емпіричний підхід В.А. Заславського, що гарантував пошук певних наближених рішень, та трудомісткий підхід А. Рущинського й Г. Пфлюга, що дозволяв знаходити точні рішення лише для розмірності систем у кілька сотень компонент. Питання ефективного пошуку точних рішень для подібних задач більшої, необхідної для практики розмірності, а також дослідження відповідних ефектів, наприклад структури рішень, залишалися відкритими.
Наступне важливе теоретичне питання – розвиток математичного апарата багатозначних відображень, що знайшов широке застосування при описанні багатьох важливих проблем, у тому числі і як основа для викладення у даній роботі. Перспективним напрямком такого розвитку, розглянутим у роботі, є побудова нових дотичних конусів до графіків багатозначних відображень. Це пов’язане з формулюванням відповідних необхідних умов екстремуму, аналогів теорем про неявні функції, понять диференційованості багатозначних відображень, тощо.
Останнім важливим класом задач, дослідженим у роботі, є проблеми непараметричного оцінювання систем за спостереженнями вхід-вихід, пов’язані з тематикою, що нині об’єднується під назвою Data Envelope Analysis (DEA). Системи, що спостерігаються, оцінюються за їх відносною відстанню до побудованої потенційно можливої границі. Проте підхід не охоплював важливий клас систем з двома типами виходів, коли один тип виходів системи характеризує позитивні виходи (“чим більше – тим краще”), а інший – негативні (“чим більше – тим гірше”). Такими, наприклад, є системи з ризиком, тобто з вихідними параметрами, що характеризують ризики. Це викликало необхідність подальшого розвитку відповідного математичного апарата на основі багатозначних відображень.
Зазначимо, що розглянута в роботі тематика є достатньо широкою і ґрунтується на монографіях та роботах багатьох попередників, як зарубіжних, так і вітчизняних наукових шкіл теорій оптимізації, прийняття рішень, надійності та нелінійного аналізу. Серед зарубіжних згадаємо публікації Х.М. Марковіца, В.Ф. Шарпа, Ф.Х. Найта, П. Фішберна, Дж.Ф. Неймана, О. Моргенштейна, Х. Конно, Х. Ямазакі, П.Х. Джуріона, Р.Т. Рокафелара, A. Тверського, Д. Канемана, П. Арзнера, Ф. Делбаена, Дж. Ебера, Д. Хеаза, A. Рущинського, Г. Пфлюга, С. Асербі, Д. Таше, A. Ейчхорна, В. Роміша, О. Шапіро, М. Рабіна, Р. Барлоу, П. Прошана, Л.Б. Пейжа, Дж.І. Перрі, В.Дж. Гутяхра, Ж.-П. Обена, І. Екланда, Ф. Кларка, П. Пардаласа, Р. Фаре, С. Гроскопфа, Б. Ліндрена, П. Рооса, Д.Б. Юдіна, Е.Г. Гольштейна, А.С. Немировського, І.А. Ушакова; серед вітчизняних – Б.М. Пшеничного, В.С. Михалевича, І.В. Сергієнка, Ю.М. Ермольєва, Н.З. Шора, І.М. Коваленка, А.О. Чикрія, О.Г. Наконечного, М.З. Згуровського, В.С. Мельника, С. Урясьєва, А.М. Гупала, В.І. Норкіна, П.С. Кнопова, В.В. Остапенка, М.В. Михалевича, Н.Д. Панкратової, В.А. Заславського та інших.
Сутність наукового завдання, що стояло в процесі роботи, полягала у необхідності розробки як підходів до прийняття оптимальних рішень в умовах ризиків у сформульованих проблемах, так і адекватного математичного апарата, що дозволяв би ефективно розв’язувати поставлені проблеми. Це стосується як введення нових понять, так і розробки підходів, постановок відповідних оптимізаційних задач, а також методів для їх ефективного розв’язання.
Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалася у відповідності з планами наукових досліджень відділу № 130 Інституту кібернетики ім. В.М. Глушкова в рамках таких наукових тем:
1) ВФ 130.07 “Розробити методи оцінки ризику та їх застосувань у економіці, фінансовій математиці, теорії надійності” (2000–2004 рр.);
2) ВФК 130.09 “Розробка математичних методів та обчислювальних алгоритмів для аналізу, оптимізації та керування ризиком” (2002–2006 рр., № держреєстрації 0102U003212);
3) ІП 130.08 “Розробити методи оптимального керування стохастичними системами з післядією для розв’язання прикладних задач в економіці, екології, техніці” (2002–2006 рр., № держреєстрації 0102U000497);
4) ВФ 130.11 “Розробити методи оцінювання та оптимізації параметрів стохастичних систем зі слабкою та сильною залежністю” (2005–2007 рр., № держреєстрації 0102U001342).
Мета дослідження полягала у розробці підходів до прийняття рішень в умовах ризику та розвитку відповідного математичного апарата, придатного для ефективного рішення поставлених у рамках таких підходів задач. Це стосується введення відповідних понять, наприклад, мір ризику, формулювання постановок оптимізаційних задач та пропозиції методів для їх розв’язання. Тобто, говорячи технічною мовою, певний цикл: від понять і постановок – до ефективних методів пошуку рішень.
Методи досліджень базувалися не тільки на математичному апараті багатозначних відображень, що відмічено у назві роботи, але й різноманітному надбанні теорій математичного програмування, у тому числі й стохастичного, прийняття рішень, нелінійного та опуклого аналізу, теорії надійності.
Так, при дослідженні прийняття оптимальних рішень за співвідношенням зиск-ризик використовувалася техніка та математичний апарат математичного програмування, у тому числі й стохастичного, теорії прийняття рішень та техніка опуклого аналізу; при оптимізації систем з двома типами відмов – апарат теорії надійності, техніка неперервної та дискретної оптимізації й необхідних умов екстремуму; при вивченні дотичних конусів та пов’язаних задач оптимізації – апарат нелінійного аналізу та верхніх опуклих апроксимацій за Пшеничним; при дослідженні проблем непараметричного оцінювання систем – апарат багатозначних відображень та техніка ЛП. Звичайно, такий схематичний розподіл наукових теорій та їх апарата є достатньо спрощеним. Зауважимо, що розроблений у роботі математичний апарат також можна віднести до методологічного засобу досліджень.
Наукова новизна отриманих результатів. Стосовно побудови нових мір ризику та пошуку оптимальних рішень за співвідношенням зиск-ризик: –
введено та досліджено новий клас поліедральних когерентних мір ризику (ПКМР);–
задачі оптимізації портфеля за співвідношенням зиск-ризик при використанні мір ризику з цього класу було зведено до відповідних задач ЛП;–
узагальнено поняття ПКМР та відповідні результати щодо оптимізації портфеля за співвідношеннями зиск-ризик;–
сформульовано та досліджено задачі оптимізації портфеля при невизначеності щодо ймовірностей сценаріїв p0, зумовленій оцінкою p0P; –
узагальнено поняття міри ризику на випадок багатовимірної випадкової величини як відповідного багатозначного відображення;–
досліджено оптимальність портфеля у багатовимірному випадку: розглянуто різноманітні постановки оптимізаційних задач та запропоновано підходи для їх розв’язання;–
досліджено задачі оптимізації портфеля за узагальненим відношенням Шарпа та їх зведення до задач ЛП;–
сформульовано необхідні умови екстремуму для різноманітних постановок задач оптимізації портфеля;–
розглянуто підхід, що дає можливість переносити отримані результати у загальні ймовірносні простори.
Всі ці результати є принципово новими. Вони суттєво розвивають подібні результати, що стосувалися окремих мір ризику, наприклад CVaR, на весь клас ПКМР та його узагальнення у різних напрямках.
Стосовно оптимізації систем з двома типами відмов у роботі отримано:–
досліджено якісні властивості задач оптимізації систем з двома типами відмов: як вихідної цілочисельної постановки, так і її неперервного аналога й сформульовано необхідні умови екстремуму стосовно структури рішень цих задач;–
базуючись на попередньому дослідженні, запропоновано алгоритм, що дозволяє, використовуючи на всіх його кроках бісекційну схему, ефективно розв’язувати подібний клас задач будь-якої розмірності;–
попередньо отримані результати розвиваються на більш загальну структуру систем з відмовами та на деякий клас симетричних оптимізаційних задач.
Дані результати є принципово новими. Для оцінки досягнутого просування відмітимо, що попередньо відомі підходи дозволяли досить трудомістко отримати точні рішення лише при розмірності задачі у кілька сотень змінних.
Стосовно розвитку математичного апарата багатозначних відображень:–
введено новий дотичний конус, базуючись на якому, досліджено умови диференційованості багатозначних відображень за Буліганом; взаємозв’язок конуса з верхньою опуклою апроксимацією; описано верхню опуклу апроксимацію для маргінальних функцій;–
сформульовані нові теореми про неявні функції для багатозначних відображень, що підсилюють аналогічні результати, базовані на конусі Кларка та шатрі;–
досліджено питання апроксимацій надграфіком напівнеперервних знизу функцій та пов’язані з цим нові метрики збіжності.
Ці результати є новими і суттєво розвивають попередньо відомі відповідні результати.
Стосовно непараметричного оцінювання систем за спостереженнями вхід-вихід: –
введено багатозначних відображень системних виходів, яке дозволяє систематизувати підхід для оцінки ефективності систем за спостереженнями вхід-вихід;–
введено поняття ефективності систем та індекси ефективності для систем з двома типами входів й виходів і пов’язані з ними оптимізаційні задачі;–
описано методологію застосування розвинутого апарата для різних систем на прикладі оцінки ефективності банків за співвідношенням прибуток-ризик.
Ці результати є новими і суттєво розширюють застосовність підходу для оцінювання систем.
Практичне значення отриманих результатів. Результати роботи мають широкі перспективи для застосувань. Так результати щодо мір ризику та оптимізації портфеля за співвідношенням зиск-ризик (розділ 1) можуть бути використані у численних фінансових та економічних застосуваннях. У тому числі, це стосується проблем, пов’язаних з потенційно катастрофічними наслідками різноманітних подій та явищ, а також невизначеністю результатів рішень, що приймаються на далеку перспективу. Це дозволить приймати економічно ефективні рішення у різноманітних застосуваннях, що породжують задачі подібного типу. Зауважимо, що результати численних тестувань на різноманітних фінансових ринках міри ризику CVaR виявили її ефективність у застосуваннях. А ця міра лише частковий випадок класу ПКМР.
Результати роботи стосовно оптимізації систем з двома типами відмов (розділ 2) можуть бути застосовані у комунікаційних, сенсорних та інших технічних системах для побудови великих високонадійних систем. Запропонований у роботі алгоритм дозволяє ефективно знаходити оптимальні рішення у таких системах для будь-якого числа компонент. Проведені обчислення для систем великої розмірності, наприклад для n = 106 [7], це підтверджують.
Результати розвитку апарата багатозначних відображень (розділ 3) мають більш теоретичну цінність і значення. Вони не можуть бути використані безпосередньо, а лише опосередковано, як подальший розвиток математичного апарата оптимізаційної теорії.
Результати роботи стосовно непараметричного оцінювання систем за спостереженнями вхід-вихід (розділ 4) мають також широкі перспективи застосувань, оскільки розвивають підхід DEA, що набув широкого розповсюдження. Підхід застосовується практично всюди, де спостерігаються системи з багатьма виходами та входами, а розвинутий у роботі апарат суттєво розширює клас систем для такого застосування. Він був апробований на реальних даних для сільського господарства та банківського сектору України [22, 24–25].
Зауважимо, що результати розділів 1, 2, 4 викладені у завершеному для застосування вигляді, коли або виписані конкретні наведені задачі ЛП, які можна розв’язувати стандартними засобами (розділи 1, ), або повністю описано алгоритм розв’язання задачі (розділ 2).
Особистий внесок здобувача. Практично всі принципові результати отримані здобувачем особисто. У спільних роботах [7], [19], [20], [22], [24], [25] зі співавторами обговорювалися постановки задач та можливі підходи до їх розв’язання.
Апробація результатів дисертації. Результати презентувалися на семінарах Інституту кібернетики ім. В.М. Глушкова, Інституту прикладного системного аналізу, Київського національного університету ім. Тараса Шевченка, а також на семінарах та конференціях, серед яких: Негладкий аналіз та його застосування до математичної економіки (Баку, 30 верес. – жовтня 1991 г., ІММ АН Азербайджану); Reliability and Maintenance of Complex System, NATO, Advanced Study Institute (Kemer, Turkey, 12–22 June 1995); The Third International Congress on Industrial and Applied Mathematics (Hamburg, Germany, 3–7 July 1995); VII Conference on Stochastic Programming, (Haifa, Israel, June 26–29 1995); Symposium on Operation Research (Passau, Germany, September 13–15, 1995); 22nd European Meeting of Statistics, 7th Vilnius conference on Probability Theory and Mathematical Statistics (Vilnius, Lithuania, August 12–18, 1998); Sixth SIAM Conference on Optimization (Atlanta, USA, May 10–12, 1999); Recent Advances in Non-Differentiable Optimization US-Ukrainian Workshop (Kyiv, Ukraine, May 15–18, 2000); Second International Workshop on Recent Advances in Non-Differentiable Optimization (Kyiv, Ukraine, October 1–4, 2001); Third International Conference on Operation Research (ОRМ 2001) (Moscow, Russia, April 4–6, 2001); Computer Science and Information Technologies, 2 Int.(CSIT’2001) (Ufa, Russia, September 24–26); Intern. Conference Dedicated to the 65-th Anniversary of B.N.Pschenichnyi (Kyiv, Ukraine, June 25–28, 2002); Int.on Problems of Decision Making under Uncertainties (PDMU-2003) (Alushta, Ukraine, September 8–12, 2003); Int. Conf. on Problems of Decision Making under Uncertainties (PDMU-2004) (Ternopil, Ukraine, May 26–30, 2004).
Публікації. Результати дисертації опубліковано в 25 статтях, з яких 23 [1–23] – у наукових виданнях, що входять до списку № 1 ВАК України, та 12 тезах конференцій [26–37].
Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається із вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел. Повний обсяг дисертації становить 307 сторінок, в тому числі 8 малюнків, 5 таблиць. Список використаних джерел складається з 148 найменувань.
Зміст роботи
У вступі обґрунтовано вибір теми дисертаційної роботи та її актуальність, сформульовано задачі дослідження, відзначено наукову новизну та практичне значення одержаних результатів.
Перший розділ присвячений огляду літератури за темою розділу, введенню поняття ПКМР та її узагальнень і викладенню розробленого математичного апарата для пошуку оптимальних портфельних рішень за співвідношеннями зиск-ризик.
Розглянемо дискретні розподіли випадкових величин, пов’язані зі скінченим числом n сценаріїв, для яких відомі відповідні ймовірності . Тоді випадкова величина X характеризується своїм розподілом x =x1, …, xn) Rn і ототожнюється з цим n-мірним вектором. Нехай
(x) = max{Ep[–X] / pP}, (1.1)
де Ep[–X] = < –x, p >, а P – опукла замкнена множина ймовірносних мір, отже () є когерентною мірою ризику.
Визначення 1.1. Функції вигляду (1.1), що мають певний зміст та у яких множина P описується у вигляді опуклої оболонки скінченого числа точок, будемо називати поліедральними когерентними мірами ризику (ПКМР).
Як правило, множина P залежить від ймовірностей сценаріїв p0 і задається у вигляді багатозначного відображення
P = a (p0) = co{pi (p0): i = 1,…, k} = {p: B(p0) p c(p0), p 0}, (1.2)
де B(p0) і c(p0) – матриця та вектор відповідних розмірностей.
До ПКМР відносяться всі відомі автору когерентні міри ризику: WCR (величина найбільших втрат); CVaR (умовне середнє втрат на -хвості розподілу); WCE (найгірше умовне середнє); SCRM (спектральна когерентна міра ризику); а також міри S(x; r) та A(x; r), побудовані відповідно по напіввідхиленню та абсолютному відхиленню від середнього значення.
Для класу ПКМР вводиться ряд інваріантних операцій: 1) опукла комбінація; 2) функція максимуму; 3) інфімальна конволюція. Отже, цей клас є достатньо широким і дозволяє генерувати нові міри ризику шляхом застосування цих операцій до представників класу.
Вивчаються різні властивості ПКМР, в тому числі її узгодженість зі стохастичним домінуванням другого порядку (SSD).
Розглядаються задачі оптимізації портфеля за співвідношенням зиск-ризик, які полягають у наступному. Необхідно так розподілити деяку суму грошей по певних фінансових інструментах, щоб отриманий портфель був оптимальним за співвідношенням зиск-ризик. Вивчаються дві пов’язані між собою задачі: мінімізація міри ризику портфеля при його гарантованій середній прибутковості та максимізація середньої прибутковості портфеля при обмеженні на його міру ризику. Один з важливих результатів розділу полягає у тому, що для класу ПКМР ці проблеми зводяться до відповідних задач ЛП.
Більш точно, нехай множину розподілів прибутковості компонент портфеля zj, j=1,…, k подано у вигляді матриці H розмірності nk, j-й стовпчик якої описує розподіл прибутковості j-ї компоненти. В якості змінної розглядається вектор u =u1,…, uk), що описує структуру портфеля, причому , ui , i =1,…, k. Тоді задачі мінімізації ПКМР портфеля при його гарантованій середній прибутковості та максимізації середньої прибутковості портфеля при обмеженнях на його ПКМР відповідно формулюються у вигляді.
Теорема 1.10. Розв’язком проблеми (1.3), (1.1)–(1.2) є компонента u рішення (v, u) наступної задачі ЛП:
Теорема 1.11. Розв’язком проблеми (1.4), (1.1)–(1.2) є компонента u рішення (v, u) наступної задачі ЛП:
Далі в роботі вивчаються умови пошуку рішень, коли відомими є не вихідний вектор сценаріїв p0, а лише його певні оцінки у вигляді p0 P, де P – поліедральна множина, тобто:
P = co {pi: i = 1,…, k} = {p: B p c, p 0}. (1.8)
Як неважко бачити, у цьому випадку функціонал ризику може визначатись аналогічно попередньому, а замість відсутнього середнього зиску вводиться відповідний функціонал
g(X) = max{Ep[X] / p P}. (1.9)
Він є субадитивним, отже диверсифікація портфеля, окрім ризику, зменшує також і потенційний зиск. Зауважимо, що величину –(X) можна трактувати як нижню оцінку зиску, g(X) – як верхню, тобто як оцінку X інтервалом [–(X), g(X)].
Далі поняття ПКМР () і функціонал зиску g() узагальнюються на випадок багатовимірної випадкової величини X, що приймає значення в Rm, як відповідні багатозначні відображення.
Для випадку відомих ймовірностей сценаріїв p0 останнє відображення має простий вигляд.
У роботі розглядаються різні постановки задач оптимізації портфеля, пов’язані з визначенням критеріїв зиску та ризику на компонентах багатовимірної випадкової величини X, у тому числі, агрегація критеріїв, оптимізація одних при гарантованих значеннях інших, ранжування критеріїв по важливості, тощо. Сформульовано теореми, що описують отримані оптимізаційні задачі у вигляді відповідних послідовностей задач ЛП.
Розглядаються також необхідні умови екстремуму для різноманітних задач оптимізації портфеля за співвідношенням зиск–ризик, які у випадку відомого p0 є і достатніми.
Обговорюється зв’язок оптимальності за співвідношенням зиск-ризик та відомі моделі прийняття рішень в умовах невизначеності. Подібні критерії є об’єктивними, на противагу поняттю функції корисності, та достатньо співзвучні з Кумулятивною теорією перспективи (Д. Канеман, А. Тверский, Нобелівська премія по економіці у 2002 р.), одним із висновків якої є те, що рішення, які приймаються, враховують саме потенційні прибутки та втрати.
Наостанок, у розділі розглядається питання застосування запропонованого апарата, інтерпретація отриманих результатів, а також проблеми їх переносу у загальні простори Lp.
У другому розділі наводиться огляд літератури і постановки задач мінімізації ймовірності відмов та середніх збитків від відмов паралельно-послідовних систем, математичний апарат, що розробляється для розв’язання цих проблем, а також певні узагальнення цих постановок. Тут певна симетрія задач та їх рішень щодо перестановок координат дозволяє розглядати рішення як відповідні багатозначні відображення.
Вихідна цілочисельна задача формулюється таким чином.
Якщо кількість компонент у підсистемах не обов’язково цілочисельна, тобто xi R+, будемо називати відповідну задачу неперервним аналогом.
У роботі вивчаються специфічні властивості цієї задачі, сформульовано ряд тверджень, що дозволяють довести наступні необхідні умови екстремуму задачі (2.1)–(2.2) та її неперервного аналога.
Теорема 2.7. Рішення неперервного аналога досягаються для систем з однаковими ненульовими величинами компонент, тобто xi, i = 1,..,m, m n.
Теорема 2.8. Рішення задачі (2.1)–(2.2) досягається для систем, чиї ненульові координати відрізняються не більш ніж на 1, тобто |xi –xj| 1, i, j = 1,..,m, m n.
Загальний підхід до пошуку рішень задачі (2.1)–(2.2) полягає в наступному. Розв’язується неперервний аналог, рішення якого використовується для отримання певних оцінок щодо числа підсистем та їх компонент, які суттєво знижують число варіантів у вихідній постановці. Потім на такому, звуженому числі варіантів шукається рішення задачі.
Для викладення розроблених алгоритмів для пошуку рішень задачі (2.1)–(2.2) та її неперервного аналога введемо позначення:
Алгоритм рішення неперервного аналога.
1. Знайти m* = max{m: argmin fm(x) [0, n/m]. Для пошуку m* використати БС.
2. Розв’язати одновимірну оптимізаційну задачу для унімодальної функції.
3. Знайти m0 = max{m: m1(n/m) > m}, де m1(x) з формули (2.4). Для пошуку m0 використати БС. Обчислити величини fm(n/ m), m = m*+1,...,m0+1.
4. Порівняти і . Найменше є рішення.
Теорема 2.8 гарантує, що рішення проблем (2.1), (2.5) знаходиться на множині X0. Вивчимо на ній поведінку функції Fm().
Розглянемо на X0 частковий порядок :
Теорема 2.9. Рішення підпроблеми (2.5) досягається не більш як на двох векторах з X0, причому, якщо на обох, то ці вектори є найближчими у сенсі введеного порядку.
Теорема 2.10. Необхідна та достатня умови того, що є рішенням підпроблеми (2.5), мають наступний вигляд.
В силу теорем 2.8–2.11 до підзадачі (2.6) на множині X0 можна застосовувати наступний бісекційний алгоритм.
Бісекційний алгоритм (БА) для пошуку рішення (2.6). Нехай I1 є повний ланцюг упорядкованих векторів множини X0, де самий лівий вектор є = (1,...,1), самий правий – =(x1,..., xm): xi = , i = ,..., l; xi =, де l = n – m, тобто I1 =,] – відповідний ланцюг.
Крок 1. Перевірити нерівність (2.8) (або (2.10)) у векторі I1. Якщо вона має місце, то – рішенням (2.6), інакше – перейти до кроку 2.
Крок k. Поділити Ik–1 навпіл (приблизно навпіл, при парному числі компонент) та перевірити нерівність (2.8) (або (2.10)) у отриманій середині. При виконанні нерівності відкинути ліву частину, інакше – праву. Позначити отриману множину як Ik та перейти до кроку k+1.
Рішення буде одержане за l = кроків, де S – число елементів множини I1.
Алгоритм рішення цілочисельної проблеми (2.1)–(2.2).
1. Розв’язати неперервний аналог і отримати оптимальні значення компонент підсистем x* та число підсистем m*. Позначимо k0 = [x*].
2. Знайти рішення (2.6) для m = m*, використовуючи БА. Позначимо рішення як ym*.
3. Знайти нижню оцінку оптимального числа підсистем m0 :m0 = min {m: vm ? ym*}
4. Знайти верхню оцінку оптимального числа підсистем m1 : m1 = mах {m: fm(n/m) ? ym*}.
5. Розв’язати для m0 ? m ? m1 цілочисельні підзадачі (2.6), використовуючи БА.
6. Порівняти отримані рішення підзадач, найменше є рішенням.
Відмітимо, що кроки 3 та 4 алгоритму також реалізуються за БС.
Трудомісткість алгоритму. 1. Обчислити та порівняти не більш, ніж 22 n значень (за БС), розв’язати одну одномірну оптимізаційну задачу з унімодальною функцією. 2. Обчислити та порівняти не більш, ніж log2 m* значень (за БА). 3 – . Обчислити та порівняти не більш, ніж 22 n значень (за БС). 5. Обчислити та порівняти не більше, ніж (m1 – m0 ) log2 (m1 + ) значень (за БА).
Для апробації алгоритму було проведено ряд обчислень на PC 486 для n = 104106. Рішення неперервного аналога були отримані практично миттєво (t < 1 сек.); рішення цілочисельної проблеми: 1) n = l04, t 1 сек; 2) n = l05, t 10 сек.; 3) для n = l06, t 1.2 хв.
Далі в роботі було зроблено два узагальнення постановки проблеми. Перше полягало в тому, задача оптимізації системи щодо відмов розглядалася для більш складної структури систем, коли деяка загальна система містить попередньо досліджувану конфігурацію як підсистему. Зважаючи на те, що ймовірність відмови загальної системи рекурентно перераховується, задача оптимізації такої підсистеми має вигляд, подібний задачі (2.1)–(2.2), де величини 1 та 2 генеруються зовнішньою загальною структурою. Це дає можливість сформулювати ряд відповідних результатів щодо структури оптимальних рішень.
Другий напрямок для узагальнення полягає в наступному. У попередньому дослідженні суттєво використовувалася симетричність (інваріантність) оптимізаційної задачі щодо перестановок координат. Тому розглядається наступна проблема. Нехай є оптимізаційна задача, симетрична щодо певного перетворення T. Які додаткові властивості гарантують, що неперервна постановка має рішення, нерухомі щодо перетворення T, а цілочисельна – “майже” нерухомі?
У роботі розглядався клас оптимізаційних проблем min{f(x): xS}, симетричних щодо лінійного циклічного перетворення T , тобто f(x) = f(Tx) для x S і TS S.
Властивості квазіопуклості функції f(x) та опуклості множини S щодо циклічного перетворення T на додаток до їх симетричності, як показано в роботі, гарантують існування рішень задач min{f(x): xS}, що є нерухомими щодо T у неперервних постановках, а також “майже” (близьких до) нерухомих у цілочисельних постановках. Розглянуто також близькість таких рішень неперервної та цілочисельної постановок.
Третій розділ присвячено розвитку математичного апарата багатозначних відображень, зокрема побудові нового дотичного конуса до графіків відображень, що пов’язане з формулюванням необхідних умов екстремуму, аналогів теорем про неявні функції, тощо.
Визначення 3.1. Розглянемо несиметричний дотичний конус для графіка багатозначного відображення a().
Теорема 3.2. Нехай X = Rn, Y – банаховий простір. Тоді .
Результати цих теорем дозволяють використовувати певне числення, розвинуте для шатрів, і для конуса .
Конус виявився ефективним для формулювання теореми про неявні функції для багатозначних відображень, що досліджує наступну проблему. Нехай в точці x0 має місце a(x0) , за яких умов a(x) в околі точки x0?
Теорема 3.3. Нехай X = Rn, Y – банаховий простір, y0 a(x0), K1 – деякий замкнутий конус з X, що K1 prx. Тоді існує таке > 0, що a(x0 + ) для всіх BX K1.
Як наслідок, якщо prx= X, то a(x) для x (x0 + BX). Крім того, за умов теорем 3.1–3.2 , отже для X = Rn з теореми 3.3 слідує аналогічна теорема Пшеничного, що базувалася на відповідних властивостях шатра.
Крім того, в умовах аналогічної теореми Обена, що базувалася на властивостях конуса Кларка, багатозначне відображення є псевдоліпшицевим. Це гарантує, що при X Rn теорема 3.3 пропонує менш обтяжливі умови.
При дослідженні деякої функції f(.) багатозначне відображення породжується природним чином через її надграфік: a(x) {:x, ) epi f}, де epi f = {(x, ): f(x)} (надграфік). Виявляється, що конус безпосередньо пов’язаний з поняттям верхньої опуклої апроксимації за Пшеничним.
Теорема 3.4. Будь-яка верхня опукла апроксимація h(x0;функції f(.) в x0 однозначно відповідає деякому опуклому замкнутому конусу.
Нагадаємо, що локально ліпшицева функція називається регулярною, якщо для будь-якого напрямку існує її похідна за напрямком, що співпадає з узагальненою похідною за Кларком. У роботі вивчаються умови регулярності маргінальної функції (3.1), які формулюються за допомогою властивостей спряженої за y функції до () та опорної функції до відображення a().
Розглядаються також питання епіграфічних апроксимацій напівнеперевних знизу функцій. Наведемо деякі з результатів, позначивши як H() метрику Хауздорфа, epi f – надграфік функції f.
Теорема 3.12. Нехай X – метричний простір, f: X R напівнеперервна знизу функція. Тоді для будь-якого е > існує така локально ліпшицева функція fе : X R, що H(epi f, epi fе) < е.
Далі в роботі вводяться та вивчаються деякі метрики збіжності, пов’язані зі збіжністю апроксимованих функцій, зокрема з епі-збіжністю. Нехай X – банаховий простір, K X – деякий компакт; P(K) – клас напівнеперервних знизу та обмежених функцій з K у R. Нехай – множина функцій з K у K, визначимо для пари функцій f() та g() наступні величини.
Теорема 3.13. є метриками на класі P(K).
Теорема 3.14. Нехай функції f(), fn(), n1 є такими, що при n, тоді при n. Якщо при цьому функція f() є обмеженою, то справедливе і зворотне твердження.
Наостанок, у розділі вивчається пошук напрямків спуску для методів змінної метрики, де використовується проекція деякого конуса. Показано, що якщо не виконуються відповідні необхідні умови екстремуму, то напрямок спуску існує завжди.
У четвертому розділі розглянуто проблеми непараметричного оцінювання систем за спостереженнями вхід-вихід. Нехай деякі об'єкти, що називаються системами, характеризуються наборами вхідних x X = Rm (входом) та вихідних yY = Rn параметрів (виходом). У просторах X і Y задано деякі відношення часткового порядку за допомогою відповідних замкнутих опуклих конусів KX, KY.
У роботі вводяться багатозначні відображення можливих виходів, що дозволяють систематизувати вже відомі результати для випадку одного типу входів та виходів Р. Фаре, а також розвинути цей підхід на більш загальний випадок двох типів входів та виходів, що дозволяє вивчати, наприклад, системи з ризиками.
Нехай маємо результати спостережень входів-виходів k систем Z0 = {zi =xi, yi), i= ,…, k}. Один з можливих підходів до оцінки систем, що спостерігаються, полягає в наступному. Згідно постульованих властивостей, за множиною Z0 будується певне багатозначне відображення a(), що описує у відповідності до входів x можливі виходи y, а ефективність систем Si оцінюється за відношенням yi до їх максимально можливих виходів, описаних a(xi).
Постульованими властивостями відповідних багатозначних відображень a() можуть бути:
1) монотонність: x1 x2 a(x1) a(x2);
2) опуклість: y1 a(x1), y2 a(x2) y1 + (1–)y2 a(x1+(1–) x2) [0,1];
3) позитивна однорідність: y a(x) y a(x) >0;
4) a(0) = {0}.
Розглянемо варіанти комбінацій умов щодо відображень a():
1)–4) – постійне повернення до масштабу (СRS);
1)–2) і 4) – не зростаюче повернення до масштабу (NIRS);
1)–2) – змінне повернення до масштабу (VRS);
1) вільна оболонка (FDH).
Твердження 4.1. Для випадків СRS, NIRS, VRS і FDH мінімальне за включенням багатозначне відображення a(.) представляється своїм графіком у наступному вигляді відповідно:
gf a = con co {zi + KX (– KY): zi Z0}, (4.1)
gf a = co {zi + KX (– KY): zi {Z0{0}}}, (4.2)
gf a = co {zi + KX (– KY): zi Z0}, (4.3)
gf a = {zi + KX (– KY): zi Z0}. (4.4)
Випадок одного типу входів і виходів. Коли , Z0 задано двома матрицями H і P, розмірностей k n, k m відповідно, тобто H = {yi, i = ,…,k}, P = {xi, i = ,…,k}, а u – деякий вектор із Rk. Тоді відображення a() для СRS, NIRS, VRS і FDH, подані у вигляді (4.1)–(4.4), можна переписати в такій формі
a(x) = {y: y H u, x P u, u 0, u U}, (4.5)
де множина U має відповідно вигляд.
Відносна ефективність Si системи з входом-виходом zi =xi, yi) описується наступним індексом:
I(zi) = (D(zi))–1, (4.10)
де D(zi) = max{: yi a(xi)}, а відображення a() представлено співвідношенням (4.5). Тобто це величина, що характеризує як відноситься вектор виходів yi до потенційно можливих виходів з a(xi).
Співвідношення (4.10) можна переписати як
D(zi) = max(,u) (4.11)
при відповідній множині обмежень U із (4.6)–(4.9). Для випадків СRS, NIRS і VRS оптимізаційна задача (4.11) являє собою задачу ЛП, для FDH – пошук максиміну на дискретній множині точок Z0(zi) = {zj: zj =xj, yj) Z0, xj xi}.
Випадок двох типів входів і виходів. Тоді X= і Y= , причому KX = , m1 + m2 = m, KY = , n1 + n2 = n, а входи і виходи описуються двома типами компонент: , де , ; , де , описують входи та виходи з “позитивним” впливом (ресурси, продукти, тощо), а ,– вхідні та вихідні величини з “негативним” впливом (наприклад, ризики, рівні забруднення, тощо). Нехай матриці входів P і виходів H задано у вигляді двох підматриць, що відповідають двом типам компонент. Тоді відображення a() можливих системних виходів (твердження 4.1) має вигляд
, (4.12)
де множина U для СRS, NIRS, VRS і FDH описується відповідно (4.6)–(4.9).
Введемо такі функції для zi =xi, yi):
D(zi) = max , (4.11)
D+(zi) = max , (4.12)
D– (zi) = max , (4.13)
та відповідні індекси ефективності:
I(zi) = (D(zi))–1, I+(zi) = (D+(zi))–1, I– (zi) = (D–(zi))–1. (4.14)
Отже, індекс I() коректно описує ефективність системи Si по zi =xi, yi) у сенсі близькості yi до границі можливих виходів a(xi). Проте безпосереднє обчислення цього індексу за співвідношенням (4.11) є трудомістка задача через її нелінійність по . Обчислення індексів I+(), I– () набагато простіше, для СRS, NIRS, VRS це задачі ЛП. Розглянемо оцінку I() за I+(), I– ().
Проте, на думку автора, більш перспективним виглядає оцінювання систем не єдиним індексом I(), а саме парою (I+(), I–()), як двома критеріями. По-перше, I+() та I–() легко обчислювати за допомогою техніки ЛП. По-друге, це дозволяє оцінювати системи при різній природі та шкалах “позитивних” та “негативних” виходів, коли в якості останніх розглядаються величини, що описують ризики і мають саму різну природу. На цьому шляху формулюються і різноманітні портфельні проблеми.
У якості апробації розроблена техніка оцінювання систем застосовувалася на реальних даних сільського господарства 1996–1999 рр. [24], а також на даних 2001 року для оцінювання діяльності комерційних банків за співвідношенням прибутковість-ризик [22], [25].
Висновки
Результатом дисертаційного дослідження є розроблені підходи до прийняття оптимальних рішень в умовах ризику у відповідно сформульованих проблемах та адекватний математичний апарат, що дозволяє ефективно розв’язувати поставлені задачі. Отже, цей результат включає введені нові поняття, розроблені нові підходи, відповідно сформульовані оптимізаційні задачі, а також математичний апарат, запропонований для їх ефективного розв’язання.
У рамках проведених досліджень отримані такі основні результати:
1. Введено та досліджено новий клас ПКМР; задачі оптимізації портфеля за співвідношенням зиск-ризик для мір ризику з цього класу зведено до відповідних задач ЛП.
2. Узагальнено поняття ПКМР та відповідні результати щодо оптимізації портфеля за співвідношенням зиск-ризик.
3. Досліджено задачі та методи оптимізації портфеля при невизначеності щодо ймовірностей сценаріїв p0, зумовленій оцінкою p0P.
4. Узагальнено поняття міри ризику на випадок багатовимірної випадкової величини як відповідного багатозначного відображення; досліджено оптимальність портфеля у багатовимірному випадку: розглянуто різноманітні постановки оптимізаційних задач та запропоновано методи для їх розв’язання.
5. Досліджено задачі оптимізації портфеля за узагальненим відношенням Шарпа та їх зведення до задач ЛП; сформульовано необхідні умови екстремуму для різноманітних постановок задач оптимізації портфеля.
7. Досліджено якісні властивості задач оптимізації систем з двома типами відмов як вихідної цілочисельної постановки, так і її неперервного аналога; сформульовано необхідні умови екстремуму для цих задач.
8. Базуючись на попередніх
