ДНІПРОПЕТРОВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

КЛИМИК ЯРОСЛАВ ЛЕОНІДОВИЧ

УДК 539.311:517.968.2:532.517

АСИМЕТРИЧНЕ НАВАНТАЖЕННЯ ПРУЖНОГО ШАРУ

З ЖОРСТКИМ КРУГОВИМ ВКЛЮЧЕННЯМ

(01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла)

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ – 2006

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Київському національному університеті імені Тараса Шевченка.

Науковий керівник: | член-кореспондент НАН України,

доктор фізико-математичних наук, професор

Улітко Андрій Феофанович,

Київський національний університет імені Тараса Шевченка, професор кафедри теоретичної та прикладної механіки

Офіційні опоненти: | декан фінансово-кредитного факультету,

доктор фізико-математичних наук, професор

Смірнов Сергій Олександрович,

Дніпропетровський національний університет

доктор фізико-математичних наук, доцент

Кагадій Тетяна Станіславівна,

Національний гірничий університет,

професор кафедри вищої математики

Провідна установа: |

Одеський національний університет ім. І.І. Мечникова,

кафедра методів математичної фізики

Захист відбудеться | 26.05. 2006 р. о 13-30 год.

на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 08.051.10

при Дніпропетровському національному університеті, за адресою: 49050, м. Дніпропетровськ, просп. Карла Маркса, 35, корп. № 3

З дисертацією можна ознайомитися у науковій бібліотеці ім. О. Гончара Дніпропетровського національного університету (49050, м. Дніпропетровськ, вул. Козакова 8).

Автореферат розісланий 24.04.2006 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради,

доктор технічних наук, професор Дзюба А. П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Розв’язки статичних крайових задач теорії пружності для областей, що містять певні включення, мають важливе значення для багатьох областей прикладної науки та техніки. Останнім часом такі розв’язки вкрай потрібні для механіки полімерів, механіки мастил, біології, медицини, біохімічної інженерії, геофізики та гірничої справи, механіки електростатич-них фільтрів тощо. Так, наприклад, практично всі конструкційні матеріали неоднорідні за своєю структурою. В одних випадках це обумовлено технологією виготовлення матеріалів (пористість, різного роду чужорідні включення), в інших другу фазу вводять, щоб отримати нові властивості матеріалів або щоб досягнути певної комбінації властивостей, яка не притаманна кожній із компонент. Таким чином як у цьому випадку, так і в інших зазначених прикладних науках часто доводиться мати справу з частинками або неоднорідностями, що містяться у певному середовищі специфічної геометрії під дією певного навантаження. Така обставина спонукає до досліджень задач визначення напруженого стану, що виникає в пружному середовищі, яке перебуває під дією певного фізичного поля (електромагнітного, гравітаційного), або навантаження іншого типу, та містить включення певної геометрії. Велика кількість робіт і теоретичних, і експериментальних присвячено цьому напряму дослідження, що свідчить про незмінний інтерес до таких задач. Причому багатьма авторами було відзначено, що поведінка полів фізичних величин сильно залежить як від геометрії задачі та властивостей матеріалів, так і крайових умов. Тому кожна нова задача часто потребує свого окремого серйозного дослідження. На цьому шляху іноді розгляд відповідних задач теорії пружності приводить до парадоксів, які часто спричинені недосконалістю моделі та потребують свого пояснення. Тому, з огляду на швидкий темп розвитку цих та суміжних прикладних наук, подальше теоретичне дослідження таких задач є вкрай необхідним для потреб практики. Розвиток же математичних методів розв’язання крайових задач, а також бурний прогрес у розвитку обчислювальної техніки відкриває нові горизонти у цьому напрямі.

Історія розвитку статичних крайових задач теорії пружності йде по шляху ускладнення математичних моделей, що вивчаються. Особливу цінність мають ті дослідження, які приводять до аналітичних виразів шуканих фізичних величин, або виразів цих величин у замкнутій формі, яка дає змогу аналітичного їх дослідження. Історично одним із основних методів розв’язку крайових задач став апарат перетворення Фур’є та метод розділення змінних. Розвиток же теорії потенціалу породив багато методів розв’язку рівнянь пружної рівноваги, що зводяться до крайових задач для гармонічних функцій. Найбільш відомі з них це розв’язки Папковича-Нейбера та Бусинеска. Ці досягнення дали змогу розв’язати велику кількість крайових задач, аналітично та ефективно дослідити поведінку фізичних полів, а також передбачити та чисельно і якісно пояснити численні явища поведінки пружних тіл. І хоча, як відомо, ці методи накладають певні обмеження на коло розглядуваних задач, зводячи його до тіл з канонічною геометрією, все ж, як відомо, досліджені математичні моделі теорії пружності з такою геометрією досить ефективно описують експериментальну поведінку реальних тіл.

Особливу увагу серед такого роду задач є задачі теорії пружності для пружного півпростору та пружного шару, що містять у своїй середині певні (одне або більше) включення, або неоднорідності, або тріщини. Такі задачі мають численні застосування. Крім того, велика кількість ще не розв’язаних задач, або розв’язаних неповно, або навіть помилково, спонукає вчених на все нові й нові дослідження. Також історично водночас з розв’язком рівнянь теорії пружності Ламе для статики багато авторів приділяє увагу дослідженню аналогічних у своїй математичній постановці задач для рівнянь Стокса стаціонарної течії в’язких рідин у наближенні малих чисел Рейнольдса. Для їх розв’язку вчені застосовують ті самі ідеї та математичний апарат, бо, фактично, рівняння Ламе переходять у рівняння Стокса при прямуванні числа Пуасона m до 2. Тому розв’язок певного класу задач для рівнянь Ламе автоматично дає розв’язок аналогічного класу задач для рівнянь Стокса. І навпаки, з огляду на те, що для розв’язку обох типів рівнянь дослідники застосовують один і той самий математичний апарат, розв’язок певної задачі чи класу задач для рівнянь Стокса легко знаходить своє узагальнення на розв’язок відповідної задачі чи класу задач для рівнянь Ламе. Причому таких робіт, що містять розв’язки задач для рівнянь Стокса й не отримали ще свого узагальнення на рівняння Ламе, чимало. І часто буває, що самі ці дослідження виконано недостатньо, або навіть із помилковими результатами. Недостатність часто пов’язано з тим, що автори цікавилися лише коефіцієнтом опору з боку в’язкої рідини й залишали поза увагою поведінку таких фізичних величин як швидкість і напруження. Тому становить інтерес подальша робота над цими задачами з більш загальної позиції рівнянь Ламе та у більш повному обсязі.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Саме така робота вже протягом останніх десяти років активно проводиться на кафедрі теоретичної та прикладної механіки механіко-математичного факультету нашого університету під керівництвом чл.-кор. НАНУ, проф. Улітка А.Ф. У роботах Крохмаля П.А., Забаранкіна М.Ю., Тонкошкура Г.В., Ловейкіна А.В., Гайдая О.В. (див. для прикладу [1-4]) розглянуто та доведено до завершення розв’язок другої крайової задачі теорії пружності для тора, основних крайових задач для пружного простору із жорстким веретеноподібним включенням, осесиметричної крайової задачі для пружного простору із включенням у вигляді жорсткої напівсферичної оболонки, певних крайових задач для тригранного кута, другої основної задачі теорії пружності для кільця. Але такі дослідження не завершені і ця дисертаційна робота є їх продовженням. Результати роботи були також використані у НДР “Механіка рухомих деформівних середовищ та експериментальні методи механіки і низькочастотного електромагнітного зв’язку телесистем для похилого і горизонтального буріння нафтогазових скважин” (номер держ. реєстрації 0101U002484, наказ про відкриття теми № 557-32 від 29.12.2000р.).

Мета і задачі дослідженняжdhёШВЬОb`jpёШВЬОМКb`hrёШВЬОЬаb`jpёТЬжджТИb`hrr``ёЖРВдджТИbhdj``pn@ц__ёМжdhёШВЬОb`jpёШВЬОМКb`hrёШВЬОЬаb`jpёТЬжджТИb`hrr``ёЖРВдджТИbhdj``pn@@ёNЖЖёNКjёNМdёNККёNМК@ёNКhёNККёNМbёNКДёNДfёNКhёNКlёNКjёNКИёNКИёNММ@ёNКbёNМfёNКd@ёNМ`ёNККёNКnёNКdёдвкЮиК@ёNММёNКnёNККёNКВ@ёNКdёNКjёNКВёNМdёNККёNМ`ёNКИёNККёNДМ@ёNКВёNМ`ёNК`ёNКrёNККёNКdёNКК__ёNДМ@ёNКnёNК`ёNКhёNК`ёNМnёNДf@ёNКhёNКДёNММ@ёNМ`ёNДfёNКdёNКИёNММёNКИёNМЖ@ёNЖДёNК`ёNКЖёNКj@ёNКhёNКДёNММ@ёNКМёNМ`ёNМfёNКlёNКИёNККёNКfёNКК@ёNМpёNК`ёNМ`ёNМfX@ёNМf@ёNММёNКВёNККёNКfёNКК@ёNf3 певній площині, яка паралельна граничним поверхням шару, у круговій області задано довільні дотичні переміщення, а на граничних поверхнях шару виконуються умови жорсткого зчеплення матеріалу із жорсткими граничними поверхнями. Причому розв’язок напрямлено на поглиблення розуміння поведінки фізичних величин у двох важливих випадках такої задачі: задачі про зміщення жорсткого диску у площині пружного шару, яка паралельна граничним поверхням шару та знаходиться на різних довільних відстанях до них, та, як частинного випадку, аналогічної задачі для рівнянь Стокса про рух жорсткого диску в шарі в’язкої рідини паралельно його граничним площинам і на довільній відстані від них. Метою дослідження був також пошук найбільш простої форми розв’язку, яка не тільки спростила б чисельні розрахунки, а й дозволила б аналітичне дослідження фізичних величин.

Об’єктом дослідження є пружній шар, що міститься між двома паралельними площинами (стінками), у середині якого знаходиться жорстке включення у вигляді тонкого диску, товщиною якого можна знехтувати. Дископодібне включення міститься у площині, яка паралельна граничним поверхням шару, та набуває певного зміщення у площині свого розташування. У частинних випадках поставленої загальної задачі об’єктами були такий же пружний шар, тільки в якого замість зміщення диску розглянуто дію зосередженої сили паралельно граничним площинам шару, а також стоксівські аналоги вказаних об’єктів у вигляді шару в’язкої рідини між двома паралельними площинами, в якому рухається з постійною швидкістю жорсткий диск, і шару в’язкої рідини, в якому діє стокслет паралельно граничним площинам шару.

Предметом дослідження є залежності основних фізичних величин (компонентів вектора переміщення та тензора напружень, а також, у випадку стоксівської аналогії, гідродинамічного тиску) від просторових координат, величини головних сили та моменту, що діють на диск, а також залежності вказаних величин від співвідношень геометричних параметрів задачі.

Метод дослідження складається з двоёNМj@ёNККёNМbёNКИёNККёNКdёNКИёNКpёNМj@ёNКjёNМdёNК`ёNКМёNДfёNКdёNЖИёNК`@ёNКМёNКjёNМ`ёNМpёNККёNКЖёNМf@ёNКjёNМdёNК`ёNКМёNДf@ёNКnёNК`ёNКhёNК`ёNМnёNМf@ёNКnёNКdёNККёNКhёNММёNМdёNМЖ@ёNКhёNККX@ёNМf@ёNКnёNК`ёNКfёNК`ёNКДёNМЖёNКИёNККёNКЖёNМf@__ёNКdёNКpёNКМёNК`ёNКhёNКВёNМf@ёNКnёNКДёNДfёNМnёNКjёNКИёNККёNКfёNККX@ёNКИёNК`ёNКbёNККёNМ`ёNМf@ёNМbёNКpёNМbёNМdёNКjёNКЖ@ёNКМёNК`ёNМ`ёNКИёNКpёNМj@ёNДfёNКИёNМdёNКjёNКfёNМ`ёNК`ёNКДёNМЖёNКИёNКpёNМj@ёNМ`ёNДfёNКdёNКИёNММёNКИёNМЖ@ёNМpёNКДёNММёNМjёNККёNКЖ@ёNКnёNК`__ёNМbёNМdёNККёNМbъцёМж24ування методу власних векторних функцій у вигляді узагальненого векторного розкладу Фур’є-Ханкеля [5]. У кожній із отриманих парних систем невідомими є, у загальному випадку, три функції. На другому етапі задачу зводять до розв’язання, у загальному випадку зліченого, набору систем інтегральних і сумісних з ними алгебраїчних рівнянь; причому для кожного , де k – номер системи, отримують систему інтегральних рівнянь Фредгольма другого роду відносно у загальному випадку трійки невідомих функцій і сумісну з ними алгебраїчну систему відносно пари невідомих сталих. Для зведення парних інтегральних рівнянь до інтегральних рівнянь Фредгольма та сумісних з ними алгебраїчних рівнянь застосовують новий, запропонований вперше, спеціальний прийом попереднього інтегрування рівнянь парних систем та теорію парних інтегральних рівнянь [6].

Наукова новизна одержаних результатів.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Теоретичне та практичне значення одержаних результатів. В результаті дослідження складної векторної змішаної крайової задачі для пружного шару доведено ефективність методу власних векторних функцій та теорії парних інтегральних рівнянь для такого типу задач. Показано, що застосування цих методів приводить до суттєвого спрощення остаточних виразів шуканих величин і отримуваних рівнянь, а також дає можливість аналітичного їх дослідження.

Застосований новий прийом розв’язку парних інтегральних рівнянь може бути також застосовано у змішаних крайових задачах з іншою канонічною геометрією, в яких отримують аналогічні парні системи. Одержаний загальний розв’язок крайових задач, коли всередині кола певної площини шару, яка паралельна його граничним поверхням, задано довільні дотичні переміщення, як це представлено в дисертації, дає змогу також безпосередньо застосовувати його до більш широкого класу задач, постановка яких зводиться до даної.

Одержані асимптотики фізичних величин, їхній чисельний обрахунок для широкого спектра значень вхідних параметрів задачі, що характеризують її геометрію, поглибили розуміння поведінки фізичних величин у пружному шарі при зміщенні у ньому жорсткого дископодібного включення.

Одержані результати можуть бути використані також у навчальному процесі при викладі теорії парних інтегральних рівнянь, а також при розгляді застосування інтегральних перетворень до змішаних крайових задач теорії пружності.

Достовірність одержаних результатів у дисертації забезпечено їх по-рів-нянням (де це було можливим) і повним узгодженням із тими, які відомі у літературі (що було спеціально прослідковано), а також коректністю постановок розглядуваних математичних моделей і строгістю математичних викладок. Вірогідність результатів було збільшено також за рахунок застосування до розв’язку отримуваних парних інтегральних рівнянь двох принципово різних способів, між якими було знайдено зв’язок, який у свою чергу показав повну узгодженість отриманих для кожного із способів виразів фізичних величин, а значить і велику достовірність одержаних результатів. Виконані чисельні обрахунки фізичних величин також засвідчили повну відповідність їх виразів тим асимптотичним оцінкам, які було одержано у дисертації.

Особистий внесок автора. Всі представлені 6 публікацій є самостійними роботами дисертанта. Апробація результатів дисертації. Результати роботи неодноразово були предметом доповідей на семінарі „Проблеми механіки”, який регулярно проводиться на механіко-математичному факультеті нашого університету під керівництвом акад. НАНУ, проф. Грінченка В. Т. та чл.-кор. НАНУ, проф. Улітка А. Ф. Прийом розв’язку парних інтегральних рівнянь був предметом виступу на VIII Міжнародній науковій конференції ім. акад. М. Кравчука (11-14 травня 2000 р., м. Київ, секція I: „Диференціальні та інтегральні рівняння. Їх застосування.”). Розв’язок крайової задачі про зміщення жорсткого диску в серединній площині пружного шару було нагороджено премією НАН України для студентів вищих учбових закладів (конкурс 1998 року; присуджена 10 березня 1999 р. за роботу „Зміщення жорсткого диска в пружному шарі в площині його розташування та аналогічна задача для стокової течії в’язкої рідини”). У цілому дисертація доповідалась у Київському національному університеті імені Тараса Шевченка на семінарі “Проблеми механіки” (наукові керівники: акад. НАНУ, докт. фіз.-мат. наук, проф. Грінченко В. Т. та чл.-кор. НАНУ, докт. фіз.-мат. наук, проф. Улітко А. Ф.) та у Дніпропетровському національному університеті на семінарі “Механіка деформівних тіл і конструкцій” (наукові керівники: чл.-кор. НАНУ, докт. техн. наук, проф. Гудрамович В. С. та докт. техн. наук, проф. Дзюба А. П.).

Публікації. Основні результати дисертації відображено у 6 наукових публікаціях, в тому числі 5-ьох статтях у фахових журналах, 1-ій публікації в тезах міжнародної наукової конференції.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, чотирьох розділів, загальних висновків, списку літератури і додатків. У роботі 202 сторінок друкованого тексту, 22 рисунка, 3 таблиці, список використаних літературних джерел, що містить 330 найменувань на 33 сторінках, та два додатки на 22 сторінках.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовано мету і задачі роботи, викладені основні одержані результати, з’ясовано їх наукову новизну, практичну цінність, та зазначено наявні публікації за матеріалами дисертації.

У першому розділі наведено в історичному аспекті літературний огляд робіт, в яких розглядалися просторові статичні граничні задачі для пружних простору, півпростору та шару з різними типами задання граничних умов. Особливу увагу було приділено крайовим задачам змішаного типу, в яких є кругова (одна або більше) границя розділу граничних умов різних типів, задачам, в яких було застосовано перетворення Ханкеля, застосовано теорію парних інтегральних рівнянь з ядром, що виражається через беселеві функції, та аналогічним задачам для рівнянь Стокса. В огляді наведено також роботи, в яких дослідники розвинули альтернативні ефективні способи розв’язку таких та аналогічних задач. Серед задач щодо визначення переміщень і напружень біля чужорідних включень було виділено саме ті, в яких включення мають кругову форму, або форму, яку можна звести до кругової граничним переходом (це, наприклад, сфероїдні та еліпсоїдні включення). Наведений огляд літератури не претендує на повноту, оскільки він не був метою дисертаційної роботи. Метою огляду було лише коротко зазначити основні методи та здобуті результати досліджень з обраних напрямків, що належать до теми дисертації, і вказати на місце даної дисертаційної роботи в усій множині таких досліджень та ті прогалини у дослідженнях, які були заповнені даною роботою.

У літературному огляді зазначено, що лише з появою методів представлення розв’язку через гармонічні функції та розвитком теорії парних рівнянь стало можливим ефективне аналітичне дослідження змішаних задач, що мають канонічну геометрію, а також значно спрощено чисельні обрахунки виразів фізичних величин. Прослідковано дослідження та здобуті результати таких авторів, як Сельвадурай (A. P. S. Selvadurai), Девіс (A. M. J. Davis), Уестман (R. A. Westmann), Ренжер (K. B. Ranger), Кер (L. M. Keer) та ін., які дослідили деякі частинні випадки розглянутих у дисертації задач. Зазначено роботи, які ясно свідчать про безпосереднє застосуван-ня одержуваних у такого роду задачах результатів на практиці.

У другому розділі спочатку викладено співвідношення методу власних векторних функцій та виконано постановку загальної крайової задачі для пружного шару (рівняння Ламе для статики), коли на його серединній площині задаються змішані граничні умови з круговою границею їх розділу: всередині кругової області задано довільні дотичні переміщення, а поза – умову неперервності по переміщенням і напруженням. На граничних площинах шару задано умови жорсткого зчеплення матеріалу шару з його жорсткими граничними площинами. Далі, після застосування узагальненого перетворення Фур’є-Ханкеля [5], задачу зведено до зліченого набору сис-тем парних інтегральних рівнянь відносно пар невідомих функцій наступного вигляду:

(1)

(2)

де , і – шукані невідомі функції, і – відомі коефіцієнти Фур’є переміщень у круговій області серединної площини шару.

Для розв’язку одержаних систем парних інтегральних рівнянь далі запропоновано утворити такі диференціальні комбінації фізичних величин, а разом з ними і рівнянь (1), (2):

(3)

Застосування (3) до рівнянь системи (1), (2) приводить до відокремлення систем для невідомих функцій, та розширює клас її розв’язків внаслідок диференціювання.

У дисертації запропоновано новий спосіб розв’язку рівнянь (4) і (5). Використовуючи рівномірну збіжність інтегралів, які присутні у виразах інтегральних рівнянь (1), (2), (4), (5), шляхом інтегрування можна отримати такі співвідношення:

(7)

де одну константу інтегрування розбито на дві для зручності. Далі вибира-ють так, щоб одержувані вирази були якомога простішими. Застосування (7) до рівнянь (4), (5) приводить до наступної системи парних інтегральних рівнянь:

(8)

(9)

де для перших рівнянь системи (4), (5) покладено , для других рівнянь – покладено , використано лему Рімана-Лебега для інтегралів Ханкеля та умови обмеженості переміщень при і їх спадання до нуля на нескінченості. Якщо тепер застосувати класичний підхід Уфлянда [6] та покласти:

(11)

то для нових невідомих функцій одержимо такі інтегральні рівняння Фредгольма другого роду:

(12)

З рівняння (10), системи (8) та вихідної системи (1) за умови неперервності переміщень на межі можна отримати такі прості співвідношення для невідомих сталих:

, (13)

де . Всі фізичні величини задачі виражаються через функції , та константи . Як виявилося, прийом поперед-нього перетворення рівнянь (4), (5) із застосуванням (7) приводить до найбільш простіших остаточних виразів фізичних величин. У дисертації для порівняння записано вирази основних фізичних величин для обох підходів (із застосуванням (6) та із застосуванням (11)), але в основу чисельних розрахунків покладено вирази саме останнього підходу внаслідок більшої їх простоти.

Форма розв’язку дає можливість аналітичного дослідження фізичних величин. Тому було прослідковано їх асимптотичну поведінку – переміщень на нескінченості та напружень на межі .

Крім задачі зміщення жорсткого дископодібного включення в серединній площині пружного шару у цьому розділі було також розібрано такі частинні випадки, як зміщення диску у пружному просторі (граничні площини шару віддалено на нескінченість) та (стоксівський аналог) рух диску в серединній площині шару в’язкої рідини у наближенні Стокса (випадок ). Для всіх частинних випадків записано вирази основних фізичних величин. Для останнього випадку записаний вираз для гідродинаміч-ного тиску. Для всіх частинних випадків знайдено також вираз для сили, що діє на диск з боку матеріалу шару.

Було представлено знерозмірену силу , що діє на диск. Відхилення від лінійності для всіх випадків задання m не перевищило 5%. Цей факт є досить цікавим і у цій дисертації його було зафік-совано мабуть вперше для такої задачі.

Були обраховані також залежності від координат інших величин в шарі (переміщень, напру-жень і, для стоксівської аналогії, гідродинамічного тиску). Всі вони засвідчили, що при кількісно та якісно поведінка фізичних величин вже практично не залежить від m. Тобто, якщо їх обрахувати для певного , то для всіх інших m з цього діапазону їх вже можна не обраховувати. Для прикладу, також було представлено поведінку знерозмірених переміщень і на площині .

У роботі дано пояснення, чому знерозмірене переміщення переходить через нуль та знайдено всі точки стагнації матеріалу в шарі. Показано, що всі вони належать площині y0z та є розв’язками рівняння . Чисельно лінії стагнації були пораховані для випадку .

Були пораховані також епюри дотичних напружень на поверхні диску, нормального напруження на площинах та , і тиску (для стоксівського аналогу) на площині . Всі пораховані фізичні величини повністю підтвердили знайдені для них асимптотики. Цікаво, що нормальне напруження на площині не перетворюється в нуль, а також має особливість при підході до краю диску ззовні для стисливого матеріалу (). Така обставина побічно знаходить своє підтвердження у результатах статті Уестмана [7], в якій розв’язано крайову задачу для пружного півпростору, на граничній поверхні якого у колі задають дотичне переміщення , поза колом – рівність нулеві дотичних напружень, та на всій граничній площині – рівність нулеві нормального напруження. У ній було отримано, що у загальному випадку поза колом нормальні переміщення не дорівнюють нулю. Вони дорівнюють нулю тільки для нестисливого матеріалу. Отже, в той час як те, що нормальні переміщення на площині не дорівнюють нулеві є наслідком як впливу стінок шару, так і стиснення матеріалу шару диском, їх особливість при підході ззовні до краю диску є виключно наслідком стиснення матеріалу диском.

Другий розділ є основним в дисертації. У наступних розділах застосовано точно такий же підхід до розв’язку задач як і тут. Тобто цей розділ містить всі ключові ідеї, закладені в дисертації.

У третьому розділі розглянуто випадок загальної крайової для пружного шару, коли одну з граничних поверхонь шару віддалено на нескінченість, а на круговій області певної площини пружного півпростору, яка паралельна до його граничної площини, задають довільні дотичні переміщення. У викладі основну увагу приділено саме задачі про зміщення диску в пружному півпросторі вздовж його граничної поверхні. Викладеним у другому розділі методом задачу зведено спочатку до парних інтегральних рівнянь і потім до інтегральних рівнянь Фредгольма другого роду відносно вже трьох невідомих функцій разом алгебраїчними співвідношеннями для двох невідомих сталих. Через розв’язки інтегральних рівнянь та ці константи наведено вирази всіх основних величин задачі. Також розібрані випадки нескінченого простору та випадок стоксівської аналогії, для якого записаний також вираз для тиску. Записано також стрибок напружень через поверхню диску та знайдено асимптотики переміщень на великій відстані від диску та напружень і тиску при підході до краю диску. Обраховані графіки величин повністю підтвердили знайдені асимптотики. Цікаво, що для цієї задачі знерозмірені переміщення вже не будуть переходити через нуль на площині . Також стрибки нормального напруження та тиску (для стоксівської аналогії) вже не будуть дорівнювати нулеві, як це було для задачі, яку було розглянуто у другому розділі. Вони свідчать про те, що на диск буде діяти момент, який буде намагатись повернути передній край диску до стінки півпростору. Така поведінка моменту була підтверджена обрахунками . Із обрахунків видно, що момент буде максимальним у випадку . Це є наслідком того, що у цьому випадку максимальною буде і жорсткість матеріалу внаслідок співвідношення (при всіх інших рівних умовах). Представлена на рис. поведінка сили опору свідчить про її практично лінійну залежність від відношення радіуса диску до відстані між диском та стінкою півпростору. У роботі також приведені міркування з використанням загальної теорії, викладеної Хапелем і Бренером [8], які пояснюють рівність нулеві бокової складової сили опору.

У четвертому розділі розглянуто загальну задачу для пружного шару, коли на певній його площині, яка паралельна граничним поверхням шару і знаходиться взагалі кажучи на довільних відстанях від них, задано у колі довільні дотичні переміщення, а поза колом – умову неперервності по переміщенням і напруженням. Відношення відстаней від цієї площини до граничних поверхонь шару (відношення більшої до меншої) характеризується параметром , де і – відстані від площини , де задано змішані граничні умови, до граничних площин шару (тобто не зменшуючи загальності, вважають, що ). Розглянуті задачі у розділах 2 і 3 є фактично частинними випадками цієї загальної задачі, коли відповідно та . Окремий розгляд цих випадків у роботі був проведений не тільки тому що кожний з них являє собою окремий інтерес, а й для того, щоб спочатку викласти методику розв’язку таких задач у більш простому випадку, не обтяжуючи виклад методу речами, які можуть відволікти увагу, і потім легко розповсюдити метод на більш загальну задачу. Також у викладі розв’язку у розділах 2 і 3 після застосування узагальненого перетворення Фур’є-Ханкеля за невідомі були вибрані різні функції, через які виражаються всі інші величини. Це було виконано для того, щоб довести інтуїтивний факт, що вираз отримуваних на шляху розв’язку інтегральних рівнянь Фредгольма другого роду не залежить від того, які функції ми виберемо за незалежні невідомі після застосування узагальненого перетворення Фур’є-Ханкеля. Тому після застосування методи, викладеної у розділі 2, тут також задачу було зведено до набору інтегральних рівнянь відносно вже трійок невідомих функцій та алгебраїчних співвідношень для пар невідомих сталих. Через розв’язки інтегральних рівнянь та константи було виражено основні фізичні величини задачі. Як і у попередніх розділах, особливу увагу було приділено випадку задачі зміщення в пружному шарі жорсткого дископодібного включення та, як частинному випадку, аналогічній задачі руху зі сталою швидкістю жорсткого диску в шарі в’язкої рідини за умови наближення Стокса. Для цієї задачі також було записано асимптотичні оцінки переміщень на великій відстані від диску та напружень (і тиску у стоксівському випадку) при підході до краю диску. Записані також стрибок напружень і тиску через поверхню диску та вирази для сили і моменту опору. Залежності знерозміреної сили та моменту, що діють на диск при його зміщенні, від відношення радіуса диску до відстані між його площиною та найближчою стінкою шару були побудовані для різних випадків розташування диску (значень ). Як і слід було чекати з результатів попередніх розділів, залежність сили від було отримано практично лінійною. Поведінка ж моменту виявилася суттєво не лінійною. Крім того для будь-якого скінченого завжди існує таке положення площини диску між граничними поверхнями шару, для якого момент, що діє на диск, перетворюється в нуль, і чим більше , тим більше повинен бути радіус диску (для сталого ), при якому момент перетворюється в нуль. При відповідне значення теж прямує до нескінченості. Це є наслідком того, що момент, що діє на диск, є наслідком крайового ефекту – взаємодії диску з матеріалом поблизу його краю, а при збільшенні радіуса диску до нескінченості крайовий ефект зникає – зникає і момент. Тому при для скінчених значень значення моменту вже не переходять через нуль.

У розділі також обраховано поведінку знерозмірених дотичних переміщень на площині диску для випадку . Вона свідчить, що точки переходу компоненти через нуль при збільшенні зміщуються у напрямку зростання r і при вони віддаляються на нескінче-ність, тобто зникають.

Насамкінець, як один із цікавих граничних випадків вихідної загальної задачі, у розділі розглянуто також задачу про дію зосередженої сили всередині пружного шару паралельно його стінкам (разом з її стоксівським аналогом). Розв’язок цієї задачі отримано з розв’язку загальної задачі граничним переходом при умові, що сила опору (або ). Для цієї задачі виписані остаточні вирази основних фізичних величин.

У додатку А приведено графіки розв’язків інтегральних рівнянь і таблиця значень цих розв’язків при разом зі знайденими сталими для задачі симетричного розташування диску між граничними площинами шару. Ця таблиця дає можливість легко розраховувати коефіцієнти інтенсивності напружень на краю диску. Друга наведена таблиця містить результати цих розрахунків. Наведено також таблицю точок стагнації матеріалу для цієї задачі.

У додатку Б наведено програму на мові середовища Mathematica 5 для чисельного обрахунку фізичних величин для задачі із симетричним розташуванням диску. Для інших випадків розташування диску програм розрахунку не наведено з метою скорочення об’єму дисертації.

ВИСНОВКИ

Наведемо основні результати та висновки дисертаційної роботи:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

РОБОТИ, В ЯКИХ ОПУБЛІКОВАНІ РЕЗУЛЬТАТИ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Климик Я. Л. Розв’язок системи парних інтегральних рівнянь спеціального вигляду // Вісник Київського національного університету ім. Тараса Шевченка. Серія: Математика. Механіка. – 2000. – № 5. – C. 26-30.

2. Климик Я. Л. Зміщення жорсткого диска в пружному шарі в площині його розташування та аналогічна задача для стоксової течії в’язкої рідини // Вісник Київського національного університету імені Тараса Шевченка. Серія: фізико-математичні науки. – 2001. – № 1. – С. 120-133.

3. Климик Я. Л. Зміщення жорсткого диска в пружному півпросторі вздовж жорсткої стінки // Вісник Київського національного університету ім. Тараса Шевченка. Серія: фізико-математичні науки. – 2004. – № 1. – С. 114-127.

4. Климик Я. Л. Рух жорсткого диска у в’язкій рідині вздовж жорсткої стінки // Прикладна гідромеханіка. – 2004. – № 4. – С. 24-33.

5. Климик Я. Л. Дія зосередженої сили в пружному шарі паралельно його стінкам // Вісник Київського національного університету імені Тараса Шевченка. Серія: фізико-математичні науки. – 2005. – № 3. – С. 118-129.

6. Климик Я. Л. Розв’язок системи парних інтегральних рівнянь спеціального виду // Матеріали VIII-ої Міжнародної наукової конференції ім. акад. М. Кравчука (11-14 травня 2000 р., Київ). – Київ: НТУУ (КПІ), 2000. – С. 102.

СПИСОК ПОСИЛАНЬ

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

АНОТАЦІЯ

Климик Я. Л. Асиметричне навантаження пружного шару з жорстким круговим включенням. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла. – Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2005.

На підставі методу власних векторних функцій, теорії парних інтегральних рівнянь та нового допоміжного прийому попереднього інтегрування рівнянь парних систем дано розв’язок загальної векторної крайової задачі для пружного шару, всередині якого на деякій площині, яка паралельна його граничним площинам, задано змішані граничні умови з круговою границею їх розділу: всередині кола задано довільні дотичні переміщення, поза колом – умову неперервності переміщень і напружень. Задачу зведено до інтегральних рівнянь Фредгольма другого роду та алгебраїчних співвідношень для невідомих сталих. Через розв’язки інтегральних рівнянь і константи записано вирази всіх основних фізичних величин.

Як частинному випадку, особливу увагу присвячено задачі зміщення в пружному шарі жорсткого дископодібного включення у площині, яка паралельна граничним площинам шару. Розібрані частинні випадки,