НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ГІДРОМЕХАНІКИ

КВАША Юрій Олександрович

УДК 532.54:621.67+533.697:621.51

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ

ГІДРОГАЗОДИНАМІЧНИХ ПРОЦЕСІВ

У ЛОПАТКОВИХ МАШИНАХ

01.02.05 – механіка рідини, газу та плазми

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора технічних наук

Київ – 2006

Дисертація є рукописом.

Робота виконана в Інституті технічної механіки Національної академії наук України і Національного космічного агентства України.

Науковий консультант – | | академік НАН України, доктор технічних наук, професор

Пилипенко Віктор Васильович,

Інститут технічної механіки Національної академії наук України і Національного космічного агентства України, завідуючий відділом.

Офіційні опоненти: | доктор технічних наук, член-кореспондент НАН України

Савченко Юрій Миколайович,

Інститут гідромеханіки Національної академії наук України, завідуючий відділом;

доктор фізико-математичних наук, професор

Приходько Олександр Анатолійович,

Дніпропетровський національний університет Міністерства освіти і науки України, завідуючий кафедрою;

доктор технічних наук, професор

Задонцев Володимир Антонович,

Міжнародна науково-промислова корпорація “ВЕСТА”, начальник інформаційно-аналітичного управління.

Провідна установа: | Національний технічний університет України “Київський політехнічний інститут” Міністерства освіти і науки України, кафедра прикладної гідроаеромеханіки і механотроніки.

Захист відбудеться 22 лютого 2007 року о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.196.01 в Інституті гідромеханіки НАН України за адресою: 03680, Київ-180 МСП, вул. Желябова, 8/4. Тел. (044) 446-43-13, факс (044) 446-42-29.

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Інституту гідромеханіки НАН України за адресою: 03680, Київ-180 МСП, вул. Желябова, 8/4.

Автореферат розіслано “ 17 ” січня 2007 року.

Учений секретар

спеціалізованої вченої ради

доктор технічних наук, професор С.І. Криль

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Безперервне підвищення вимог до точності прогнозування енергетичних і динамічних характеристик лопаткових машин, що обумовлено потребами практики, приводить, зокрема, до необхідності подальшого розвитку підходів до математичного моделювання гідродинамічних процесів у високообертових шнековідцентрових насосах рідинних ракетних двигунів і газодинамічних процесів у компресорних ступенях авіаційних газотурбінних двигунів.

Розробці математичних моделей і чисельному аналізу закономірностей робочих процесів у лопаткових насосах і компресорах присвячена значна кількість досліджень учених в Україні й за рубежем. Аналіз опублікованих результатів цих досліджень показує, що актуальними в цей час є наступні основні питання: визначення схеми замикання профільної каверни при розв’язанні задач стаціонарного й нестаціонарного кавітаційного обтікання лопатей високообертових насосів у нелінійній постановці; подальше чисельне дослідження закономірностей формування структури просторових потоків рідини в проточній частині лопатевих насосів на режимах знижених витрат; розробка методів розрахунку параметрів просторових турбулентних течій рідини в осьових і відцентрових насосах рідинних ракетних двигунів і трансзвукових потоків повітря в компресорних ступенях авіаційних газотурбінних двигунів у рамках єдиного підходу до чисельного моделювання течій рідини й газу в лопаткових машинах. Зазначені питання, вирішенню яких присвячена дисертаційна робота, пов’язані з необхідністю підвищення якості аеро- і гідродинамічного проектування лопаткових машин і теоретичного аналізу їхнього функціонування на різних режимах роботи.

Виходячи з викладеного, актуальність теми дисертації визначається необхідністю розвитку методів математичного моделювання основних гідрогазо-динамічних процесів у лопатевих насосах і компресорних ступенях.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Представлені в дисертаційній роботі результати отримані автором у 1984-2004 р. при виконанні науково-дослідних робіт у відділі динаміки гідромеханічних систем Інституту технічної механіки НАН України й НКА України в рамках наступних тем: директивної теми № 37; директивної теми № 63 (№ ДР Я ); держбюджетної теми “Розробка методів розрахунку й експериментальне визначення динамічних і статичних характеристик гідромеханічних систем” (№ ДР 01.9.10 ); держбюджетної теми “Математичне моделювання динаміки і стійкості складних гідромеханічних систем з урахуванням ефектів гідродинамічної кавітації” (№ ДР 0196V009387); держбюджетної теми “Дослідження динаміки гідромеханічних об'єктів з кавітуючими елементами як багатовимірних нелінійних нестаціонарних систем” (№ ДР 0101V001838); держбюджетної теми “Дослідження шляхів підвищення ефективності використання енергії газового потоку та механізмів управління багатофазними потоками” (№ ДР U001751). Автор дисертаційної роботи був відповідальним виконавцем розділів зазначених тем, пов’язаних з математичним моделюванням течій рідини й газу в обертових лопатевих системах.

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційного дослідження є створення нових ефективних методів чисельного аналізу робочих процесів у високообертових лопатевих насосах і компресорних ступенях.

Для досягнення поставленої мети в дисертації були сформульовані наступні задачі:– 

розробка методу розв’язання нелінійних задач стаціонарного кавітаційного обтікання лопатей осьових і відцентрових насосів;– 

розробка методу розв’язання задачі несталого кавітаційного обтікання лопатей осьових шнекових переднасосів з урахуванням розподіленості параметрів течії по довжині міжлопатевого каналу, теоретичне дослідження стійкості кавітаційного обтікання решіток профілів;– 

розробка методу чисельного моделювання нестаціонарного кавітаційного обтікання решіток профілів в’язкою рідиною;– 

розробка методів розв’язання задач про визначення параметрів вісесиметричного потоку ідеальної рідини та в’язкого тривимірного потоку в шнекових переднасосах, що працюють на режимах знижених витрат рідини;– 

розробка науково-методичного забезпечення для чисельного моделювання в’язких стаціонарних просторових течій рідини й газу в лопаткових машинах у рамках єдиного підходу на основі використання повних осереднених рівнянь Нав’є-Стокса й двопараметричної моделі турбулентності;– 

чисельні дослідження просторових турбулентних течій рідини в лопатевих насосах і газу в компресорних ступенях, аналіз точності прогнозування енергетичних характеристик зазначених лопаткових машин.

Об'єкт дослідження даної дисертаційної роботи включає наступні складові: процеси кавітаційного обтікання лопатей осьових і відцентрових насосів; просторові течії в’язкої рідини в осьових та відцентрових лопатевих насосах на безкавітаційних режимах роботи; просторові до- і трансзвукові турбулентні течії в міжлопаткових каналах робочих коліс осьових і відцентрових компресорних ступенів.

Предметом дослідження є математичне моделювання зазначених гідрогазодинамічних процесів у лопаткових машинах і встановлення закономірностей цих процесів.

Методи дослідження. При виконанні дисертаційної роботи використовувалися методи математичного моделювання із залученням принципів гідрогазодинаміки, теорії рівнянь математичної фізики, тензорного аналізу, аналітичної геометрії, теорії різницевих схем, обчислювальної гідродинаміки.

Наукова новизна одержаних результатів. У результаті виконаних досліджень вирішено актуальну науково-технічну проблему, що полягає в забезпеченні науково-методичної бази для створення сучасних лопаткових машин з високими енергетичними характеристиками. Одержано наступні нові наукові результати, які виносяться на захист.

1. Розроблено новий метод розв’язання плоских задач стаціонарного кавітаційного обтікання решіток профілів ідеальною рідиною в нелінійній постановці, який дозволив вперше звести ці задачі до задачі Коші для системи звичайних диференціальних рівнянь. При цьому, на відміну від класичного методу комплексного потенціалу, що вимагає попереднього завдання деякої схеми замикання каверни, реалізована можливість розрахунку всього контуру профільної каверни, включаючи її кінцеву зону, у процесі розв’язання задачі Коші.

2. Розроблено новий метод розв’язання плоских задач несталого кавітаційного обтікання решіток профілів ідеальною рідиною без попереднього вибору схеми замикання каверни на поверхні профілю. На основі даного методу розв’язання задачі несталого кавітаційного обтікання решітки пластин уперше зведено до задачі Коші для системи звичайних диференціальних рівнянь щодо зображень по Лапласу малих відхилень параметрів кавітаційної течії.

3. Дістали подальший розвиток теоретичні дослідження стійкості часткового кавітаційного обтікання решіток пластин потоком ідеальної рідини. З використанням розробленого підходу до визначення передавальної матриці решітки як системи з розподіленими параметрами виявлена область нестійкості кавітаційної течії в площині параметрів коефіцієнт режиму – число кавітації. При зазначеному підході, на відміну від відомих методів розв’язання лінійної нестаціонарної задачі кавітаційного обтікання решіток пластин, не використалося припущення, що спрощує задачу, про малість кута атаки потоку й відносної висоти профільної каверни.

4. Уперше в результаті чисельного моделювання, що виконано на основі нестаціонарних рівнянь Нав’є-Стокса й баротропного рівняння стану парорідинної суміші, відтворено й досліджено стійкий і нестійкий режими плоского кавітаційного обтікання решітки пластин в’язкою рідиною.

5. Розвинено методи математичного моделювання течій у проточній частині лопатевих насосів, що працюють на безкавітаційних режимах. На базі запропонованих оригінальних методик чисельного розв’язання задач про вісесиметричну течію ідеальної рідини й про просторову течію в’язкої рідини в осьових шнекових переднасосах уточнено існуючі уявлення про закономірності виникнення зворотних течій у проточній частині шнекових переднасосів.

6. Розроблено науково-методичне забезпечення для розрахунку параметрів просторових турбулентних течій рідини в осьових і відцентрових насосах рідинних ракетних двигунів і трансзвукових потоків повітря в компресорних ступенях авіаційних газотурбінних двигунів, яке засновано на єдиному підході до чисельного моделювання течій рідини й газу в лопаткових машинах з використанням повних осереднених рівнянь Нав’є-Стокса й моделі турбулентності. На численних прикладах показано, що дане забезпечення дозволяє розрахунковим шляхом досліджувати складну картину течії в лопаткових машинах та із прийнятною для практики точністю прогнозувати їхні енергетичні характеристики.

Практичне значення одержаних результатів. Всі розроблені автором методи математичного моделювання реалізовано у формі комп’ютерних програм і програмних комплексів. Отримані результати можуть бути використані для теоретичного аналізу динамічних характеристик гідравлічних систем з кавітуючими лопатевими насосами, для розрахункового дослідження структури потоку в лопаткових машинах на етапі їхнього проектування, для прогнозування енергетичних характеристик лопаткових машин у робочому діапазоні зміни режимних параметрів.

Розроблене науково-методичне й програмне забезпечення для чисельного моделювання просторових турбулентних течій газу в компресорних ступенях авіаційних газотурбінних двигунів впроваджено в ДП ЗМКБ “Прогрес” (м. Запоріжжя) і використовується для оцінки рівня аеродинамічної досконалості форми міжлопаткових каналів осьових і відцентрових компресорних ступенів на етапі їхнього проектування.

Особистий внесок здобувача. Всі теоретичні результати, що викладені в дисертації, отримані особисто здобувачем. У спільних публікаціях авторові належать наступні результати: розробка математичних моделей і чисельних методів розв’язання задач кавітаційного обтікання лопатей осьових шнекових переднасосів [5 – 7, 30]; розробка методики чисельного моделювання просторових в’язких течій рідини в осьових шнекових переднасосах з використанням змінних швидкість – тиск [10, 11, 14, 28]; формулювання підходу до оцінки в’язкості при чисельному моделюванні просторових течій у шнекових переднасосах [12]; виявлення основних закономірностей формування зворотних течій на вході в осьовий шнековий переднасос [13]; розробка наукового, методичного й програмного забезпечення для чисельного моделювання просторових турбулентних течій рідини й газу в лопаткових машинах [15, 18 – 22, 26]; теоретичне обґрунтування пропонованих технічних вирішень [4, 24, 25].

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідалися й обговорювалися: на семінарах відділу динаміки гідромеханічних систем Інституту технічної механіки НАН України і НКА України, керівник семінарів академік НАНУ В.В. Пилипенко; на постійно діючому семінарі по динаміці гідромеханічних систем у Науково-дослідному інституті теплових процесів (м. Москва, 1984, 1986 й 1989 р.), керівник семінару проф. Б.Ф. Глікман; на республіканському семінарі в Інституті гідромеханіки НАН України (2005 р.), керівник семінару академік НАНУ В.Т. Грінченко; на об’єднаному семінарі Інституту технічної механіки НАН України і НКА України та Дніпропетровського національного університету (2005 р.), керівник семінару чл.-кор. НАНУ В.І. Тимошенко; на V й VI Всесоюзних нарадах по проблемі “Кавітаційні коливання й динаміка систем живлення РРДУ” (м. Дніпропетровськ, 1986 й 1990 р.). Основні результати роботи обговорювалися на наступних конференціях, конгресах і симпозіумах: III Всесоюзній науково-технічній конференції МАІ (м. Москва, 1986 р.); Всесоюзній науково-технічній конференції “Проблеми динаміки пневмогідравлічних і паливних систем літальних апаратів” (м. Куйбишев, 1990 р.); Всесоюзному семінарі по динаміці просторових і нерівноважних течій рідини й газу (м. Міасс Челябінської обл., 1991 р.); Second Russian-Sino Symposium on Astronautics and Technique (Samara, Russia, 1992); II і III Конгресах двигунобудівників України з іноземною участю (с. Рибальське, Україна, 1997 й 1998 р.); The XIV International Symposium on Air Breathing Engines (Florence, Italy, 1999); V Міжнародному конгресі двигунобудівників України (с. Рибальське, Україна, 2000 р.).

Публікації. Усього за темою дисертації опубліковано 30 наукових праць, у тому числі в спеціалізованих виданнях, що відповідають вимогам ВАК України – 23 статті (з них 8 – без співавторів) і 2 авторські свідоцтва на винаходи.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, семи розділів, висновків і списку використаних джерел, що включає 201 найменування. Документ про впровадження додається. Загальний обсяг роботи становить 299 сторінок, у тому числі 276 сторінок основного тексту. Робота містить 101 рисунок і 6 таблиць.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У першому розділі відповідно до обраного об’єкта дослідження розглянуто існуючі підходи до математичного моделювання наступних гідрогазодинамічних процесів у лопаткових машинах.

Стаціонарне кавітаційне обтікання лопатей осьових і відцентрових насосів. Основною характеристикою, що визначає динамічні властивості гідравлічної системи з кавітуючим шнековідцентровим насосом, є, як показано в роботах В.В. Пилипенка, залежність об’єму кавітаційних каверн у проточній частині насоса від тиску й витрати на вході в насос – . У рамках припущення про квазістаціонарність обтікання лопатей осьового шнекового переднасоса й відцентрового колеса при відсутності зворотних течій (режими часткової кавітації), зазначена залежність може бути визначена на основі розв’язання задач про стаціонарне кавітаційне обтікання решіток профілів у двовимірній постановці.

Створенню теоретичних моделей для розрахунку профільних каверн на лопатях шнековідцентрових насосів присвячені роботи В.В. Пилипенка, Ю.А. Семенова, П. Купера, Р. Девіса, Л. Кунса, Д. Шира, Л. Б. Стриплінга, А. Дж. Акости, J.L. Schultz, J.L.R. Finzel, G. Will, H.-J. Kleinert, S.та ін. У даному розділі відзначено, що різні підходи до розрахунку профільних каверн, засновані як на безпосередньому застосуванні гідромеханічних законів збереження, так і на класичному методі комплексного потенціалу, завжди вимагають попереднього задання деякої схеми замикання каверни на поверхні лопаті. Вибір схеми замикання, що являє собою самостійну задачу, у загальному випадку є довільним і, зокрема, може бути зроблений із залученням результатів експерименту. Тому представляє інтерес одержання розв’язку задачі стаціонарного кавітаційного обтікання лопатей осьових шнекових переднасосів і відцентрових коліс, який дозволяв би розраховувати контури приєднаних каверн без додаткових припущень про характер течії наприкінці каверни.

Нестале й нестаціонарне кавітаційне обтікання лопатей осьових шнекових переднасосів. Розв’язанню актуальної задачі урахування впливу несталого кавітаційного обтікання лопатей осьового шнекового переднасоса на динамічні характеристики насоса присвячено ряд фундаментальних теоретичних і експериментальних робіт В.В. Пилипенка, Дж. Кіма, А. Дж. Акости, Т. Нісіями, Х. Нісіями, А. Штирнеманна, Дж.Еберла, С. Нг, C.E.C.Проведений аналіз можливостей існуючих методів теоретичного визначення динамічних характеристик частково кавітуючих осьових насосів дозволяє сформулювати питання, вирішення яких вимагає подальших досліджень. По-перше, застосування класичного методу потенціалу швидкостей у нелінійній задачі про нестале кавітаційне обтікання решіток профілів у режимі часткової кавітації завжди пов’язано з вибором деякої схеми замикання каверни. По-друге, подальший розвиток методів, заснованих на використанні інтегральних законів збереження, приводить до необхідності урахування розподіленості параметрів кавітаційної течії по довжині лопаті. Тому слід розробити такий підхід до розв’язання зазначеної задачі, що давав би можливість розраховувати розподіл параметрів несталого потоку уздовж міжлопатевого каналу й контури приєднаних каверн у решітці без попереднього вибору певної схеми замикання.

У даному розділі відзначено внесок R.J.-L.S.Y.у дослідження нестаціонарного характеру кавітаційних утворень на лопатях насосів. Обґрунтовано доцільність проведення подальших досліджень стійкості часткового кавітаційного обтікання лопатей насосів на основі числово-аналітичних підходів і методів чисельного моделювання.

Математичне моделювання течій у проточній частині осьових шнекових переднасосів, що працюють на режимах знижених витрат рідини. У цій частині розділу розглянуто основні методи, що застосовуються для розрахунку течій в обертових лопатевих системах: аналіз на основі спрощених рівнянь радіальної рівноваги й рівняння Ейлера; методи, що засновані на одержанні розв’язку для течії в меридіональній площині; квазітривимірні методи розрахунку течії рідини в міжлопатевих каналах турбомашин, що засновані на розгляді поля течії у вигляді сукупності поверхонь , що перетинають лопаті, і поверхонь , приблизно нормальних до перших; тривимірні методи, що базуються, зокрема, на використанні рівнянь руху в наближенні тонкого шару. Проаналізовано роботи Л.Г. Бойко, В.В. Барліта, Б.І. Боровського, Ю.Б. Воронцова, Г.М. Моргунова, Б. В. Овсянникова, Б. Лакшмінараяни, Д. Чой, Ч. Дж. Найта, H.K. Minemura, T. Katsanis. Зроблено висновок про доцільність подальших чисельних досліджень структури течії в проточній частині осьових шнекових переднасосів у вісесиметричному наближенні та на основі повних тривимірних рівнянь Нав’є-Стокса. Зазначені дослідження необхідні для з’ясування питання про межі застосовності вісесиметричного наближення і для вивчення механізму утворення радіальної течії (порушення радіальної рівноваги) рідини поблизу усмоктувальної поверхні лопаті, що приводить до появи зворотного потоку на вході у шнекове колесо при знижених витратах рідини.

Чисельне моделювання просторових турбулентних течій рідини і газу в лопаткових машинах. У даній частині розділу розглянуто в основному такі підходи до створення розрахункових методик для лопаткових машин, які базуються на використанні повних рівнянь Нав’є-Стокса (перші роботи із зазначеної тематики були опубліковані наприкінці 1980-х років). Відзначено велике значення робіт А.В. Бойка, С.В. Єршова, О.А. Приходька, А.В. Русанова, М.Л. Угрюмова, М.Я. Іванова, Р.З. Нігматулліна, Б. Лакшмінараяни, Дж. Лейлока, Д. Уіслера, J.G.J. Moore, H.B.R.C.P.C.M.G.V.S.H.W.N.S.M.J.M.Підкреслено, що існує досить багато методик чисельного моделювання просторового турбулентного потоку рідини й газу в лопаткових машинах, заснованих на повних осереднених рівняннях Нав’є-Стокса. Ці методики відрізняються методами дискретизації основних рівнянь, способами розв’язання дискретних аналогів диференціальних рівнянь, використовуваними моделями турбулентності й видами застосовуваних розрахункових сіток. Судячи з літературних даних, жодна з існуючих методик не має значної переваги над іншими по всій сукупності показників ефективності, з яких можна відзначити наступні: високий порядок точності різницевої схеми; найбільш наближена до дійсності модель турбулентності; можливість найбільш точної апроксимації границь розрахункової області; можливість розрахунку течій нестисливої рідини і трансзвукових течій газу в рамках єдиного алгоритму; прийнятний для практичних цілей час розрахунку течії на існуючих комп’ютерах. Практична реалізація майже кожної описаної в літературі методики потребує значних витрат часу, що вимірюються декількома роками. Продажна ж вартість комерційних варіантів досить ефективних методик на світовому ринку програмної продукції досить висока. У цій ситуації не можна провести докладний аналіз точності конкретної методики й обмежень її застосовності. Тому представляє інтерес розробка науково-методичного забезпечення для чисельного моделювання просторових турбулентних течій рідини й газу в лопаткових машинах на основі найбільш ефективних підходів, описаних у літературі.

У другому розділі на основі аналізу стану проблеми підвищення точності теоретичного прогнозування статичних і динамічних характеристик лопаткових машин, проведеного в розділі 1, виділено наступні напрямки досліджень та обґрунтовано вибір вихідних співвідношень.

1. Розв’язання нелінійних задач стаціонарного кавітаційного обтікання лопатей осьових і відцентрових насосів у режимі часткової кавітації, несталого й нестаціонарного кавітаційного обтікання лопатей осьових шнекових переднасосів. У роботах В.В. Пилипенка при виводі рівнянь динаміки кавітаційних каверн у проточній частині осьових шнекових переднасосів застосовано підхід, заснований на використанні рівнянь збереження маси, кількості руху й енергії ідеальної рідини, представлених в інтегральній формі. Перевага використання інтегральних співвідношень полягає у можливості вибору простих апроксимуючих залежностей для невідомих параметрів рідини на границях й усередині виділеного контрольного об’єму. При цьому значення параметрів рідини, що знайдені в процесі розв’язання алгебраїчних аналогів інтегральних співвідношень, завжди відповідають основним гідродинамічним законам збереження для обраного об’єму. З урахуванням зазначених обставин, у дисертаційній роботі як вихідні співвідношення при розв’язанні задач стаціонарного, а також несталого кавітаційного обтікання лопатей насосів ідеальною рідиною прийняті закони збереження в інтегральній формі. Прийнято, що у кінцевому виді розроблювальні математичні моделі повинні являти собою системи звичайних диференціальних рівнянь із відповідними граничними умовами. Ефективність такого представлення при розв’язанні різних задач аеродинаміки продемонстровано в роботах О.М. Білоцерковського і А.О. Дородніцина. Можливість одержання розв’язків задач кавітаційного обтікання лопатей насосів, що розглядаються, без попереднього вибору певної схеми замикання каверни на поверхні лопаті повинна бути реалізована шляхом постановки задачі Коші (початкової задачі) для системи звичайних диференціальних рівнянь.

Відзначено, що як необхідну альтернативу описаному вище підходу слід також розглянути задачу чисельного моделювання кавітаційного обтікання решітки пластин в’язкою рідиною на основі нестаціонарних рівнянь Нав’є-Стокса.

2. Аналіз застосовності спрощених підходів до чисельного моделювання течії в проточній частині осьових шнекових переднасосів, що працюють на безкавітаційних режимах. Тут повинні бути отримані розв’язки задач про визначення параметрів вісесиметричного потоку ідеальної рідини та тривимірного в’язкого потоку в шнекових переднасосах. Розгляд можливостей цих підходів і ролі припущень, що спрощують задачу, при моделюванні складної просторової структури потоку в шнекових переднасосах є необхідним для вироблення остаточної концепції побудови математичної моделі течії в лопаткових машинах.

У даному розділі зазначено, що розрахунок параметрів вісесиметричного потоку ідеальної рідини в лопаткових машинах може бути виконаний двома шляхами: на основі методу кривизни ліній течії або в процесі розв’язання крайової задачі для квазілінійного рівняння, що описує розподіл функції течії. Для проведення досліджень обрано другий підхід, що, на відміну від методу кривизни ліній течії, дозволяє розраховувати вісесиметричні течії з рециркуляційними зонами в проточній частині лопаткових машин.

Прийнято, що математична модель просторової в’язкої течії рідини в осьових шнекових переднасосах повинна бути побудована на основі повних рівнянь Нав’є-Стокса, записаних у циліндричній системі координат. Застосування циліндричної системи координат, не адаптивної до форми міжлопатевого каналу, при всіх її недоліках дозволяє виділити таку розрахункову область перед лопатями шнека, у якій площі бічних обмежуючих поверхонь (де ставляться умови періодичності) мінімальні, що важливо для забезпечення стійкості обчислювальної процедури. Введено наступні спрощення: турбулентність у потоці запропоновано враховувати коефіцієнтом турбулентної в’язкості, постійним у всій розрахунковій області; як граничні умови на поверхнях лопатей шнека і на обмежуючих стінках каналу – використовувати умови прилипання (умови прилипання – досить грубе допущення, якщо застосовуються розрахункові сітки з невеликим числом вузлів). У цілому застосування описаного підходу в значній мірі спрощує математичну модель течії й чисельну процедуру розв’язання рівнянь Нав’є-Стокса, забезпечуючи в той же час можливість чисельного моделювання складної тривимірної структури течії в осьових шнекових переднасосах.

3. Розробка науково-методичного забезпечення для чисельного моделювання просторових в’язких течій рідини та газу в лопаткових машинах. У даній частині розділу відзначено, що зазначене науково-методичне забезпечення повинно ґрунтуватися на використанні повних осереднених рівнянь Нав’є-Стокса, моделі турбулентності, що підходить, фізично обґрунтованих граничних умов і системи координат, адаптивної до форми міжлопаткового каналу.

Як вихідні співвідношення прийнято систему осереднених рівнянь Нав’є-Стокса стисливого теплопровідного газу й рівняння моделі турбулентності. Всі рівняння записані в криволінійних неортогональних координатах у формі, що запропонована у роботах М.М. Яненка, у якості основних змінних обрано контраваріантні складові швидкості потоку

(1)

(2)

, (3)

(4)

, (5)

де

;

;

;

– криволінійні координати; – фундаментальні тензори риманового простору; ; – символи Кристофеля; – густина; – тиск; – контраваріантні компоненти вектора швидкості потоку ; – контраваріантні компоненти вектора масових зовнішніх сил ; ; – коефіцієнт сумарної в’язкості (молекулярної і турбулентної); – коефіцієнт турбулентної в’язкості ( ,09); – кінетична енергія турбулентності; – швидкість дисипації кінетичної енергії турбулентності; , , = 1,44, = 1,92 – константи в моделі турбулентності; – сума внутрішньої й кінетичної енергій газу; – коефіцієнт теплопровідності.

У розділі відзначено, що модель та її різні модифікації широко застосовуються при чисельних дослідженнях течій рідини й газу поряд з моделями переносу напружень Рейнольдса й методами моделювання великих вихорів. Вибір моделі для опису турбулентності є виправданим у тому випадку, коли граничні умови поблизу твердих поверхонь ставляться на основі методу пристінних функцій. Тому надалі в дисертаційній роботі при формулюванні граничних умов на поверхнях лопаток, на втулці й периферії проточної частини лопаткових машин використано метод пристінних функцій.

У третьому розділі наведено розв’язки трьох плоских задач стаціо-нарного кавітаційного обтікання решіток профілів ідеальною рідиною в нелінійній постановці, отримані на основі запропонованого автором методу. Загальна схема застосування методу включає наступні етапи.

Для контрольного об’єму в області течії, положення вихідної границі якого є змінним і визначається значенням деякого параметра, записуються рівняння збереження маси, кількості руху й енергії рідини в інтегральній формі з урахуванням обраних залежностей, що апроксимують розподіли параметрів потоку на вихідній границі контрольного об’єму. До зазначених рівнянь додається замикаюче диференціальне співвідношення для контуру профільної каверни. Шляхом диференціювання по параметру отримана система нелінійних функціональних рівнянь, що включають похідні й інтеграли від невідомих функцій, приводиться до системи звичайних диференціальних рівнянь, для якої формулюється задача Коші.

У підрозділі .1 розглянуто кавітаційне обтікання решітки напівнескін-ченних пластин. Показано, що застосування законів збереження до контрольного об’єму (рис. 1) дозволяє після диференціювання відповідних рівнянь по незалежній змінній отримати систему звичайних диференціальних рівнянь, що описують кавітаційне обтікання решітки пластин

, (6)

, (7)

, (8)

де – кут нахилу дотичної до контуру каверни; – безрозмірна осереднена швидкість потоку на границі (рис. 1); – безрозмірна ордината точки на контурі каверни;  – кут установки лопаті; – число кавітації; – швидкість потоку на нескінченності перед решіткою; – тиск на нескінченності перед решіткою; – тиск у каверні.

Для визначення початкових значень невідомих функцій , , закони збереження застосовані до контрольного об’єму на вході в решітку, в результаті отримані співвідношення

, , , (9)

де – кут атаки потоку, що набігає.

Таким чином, сформульовано задачу Коші для системи звичайних диференціальних рівнянь (6) – (8) з початковими умовами (9). Розв’язок такої задачі залежить тільки від геометрії решітки й умов на нескінченності перед решіткою, що дозволяє знаходити контур приєднаної каверни в процесі розрахунку. Із представлених на рис. 2 результатів видно, що контури кавітаційної каверни на відрізку її зростання, отримані за рішенням Стриплінга й Акости (позиція 1) і за пропонованим методом (позиція 2), задовільно погоджуються. Розрахункові залежності об’єму каверн у міжлопатевих каналах шнека постійного кроку й пружності каверн від тиску на вході в насос при  ,7 ( – відношення витрати через шнек до витрати при нульовому куті атаки) показані на рис. 3. Наведені дані свідчать, що розрахунок за пропонованим методом (позиція 3) дозволяє врахувати об’єм хвостової частини каверни й одержати задовільне узгодження з теоретичними залежностями, отриманими В.В. Пилипенко з використанням напівемпіричного поправочного коефіцієнта (позиція 2). У той же час розрахунок на основі розв’язку Стриплінга і Акости (позиція 1) дає істотно занижені значення об’єму каверн у шнеку.

У підрозділі 3.2 отримано розв’язок задачі кавітаційного обтікання решітки криволінійних профілів кінцевої товщини, що відповідає розгорненню на площину циліндричного перетину лопатей шнека змінного кроку. Розв’язання зазначеної задачі також зведено до розв’язання задачі Коші для системи звичайних диференціальних рівнянь. Показано, зокрема, що збіль-шення кута вигину профілю при незмінних значеннях числа кавітації , кута входу потоку й кута установки лопаті на виході із решітки приводить до істотного зменшення об’єму кавітаційної каверни (рис. ).

У підрозділі 3.3 сформульовано задачу Коші для системи звичайних диференціальних рівнянь, що описують кавітаційне обтікання кругової решітки профілів (кругова решітка відповідає плоскому перетину проточної частини відцентрового колеса з радіальним входом). Звичайні диференціальні рівняння в безрозмірному виді, що описують течію, містять два критерії подоби: число кавітації й безрозмірний комплекс, обумовлений наявністю масових сил у відносному русі. Розрахунковим шляхом показано (рис. 5), що спостережувана в експериментах увігнута форма передньої частини каверни є наслідком сумарного впливу на потік рідини поверхневих сил тиску й масових сил інерції (відцентрової та коріолісової).

Четвертий розділ присвячений розв’язанню плоских задач несталого й нестаціонарного кавітаційного обтікання лопатей осьових шнекових переднасосів.

У підрозділі 4.1 розглянуто задачу несталого кавітаційного обтікання решітки пластин ідеальною рідиною. Для розв’язання зазначеної задачі застосовано підхід, що є узагальненням описаного в розділі 3 методу розв’язання стаціонарних задач. На основі нестаціонарних рівнянь збереження маси, кількості руху й енергії рідини, представлених в інтегральній формі, отримано наступну систему нелінійних диференціальних рівнянь із частинними похідними у безрозмірному вигляді

, (10)

, (11)

, (12)

де , – проекції вектора швидкості рідини в точці (див. рис. 1) на осі й ; ; – довжина границі на рис. ; – місцеве число кавітації, визначене за середнім значенням тиску на границі ; .

Співвідношення (10) - (12) доповнені умовою на границі каверни

. (13)

Система диференціальних рівнянь (10) – (13), де незалежними змінними є координата й час, замкнута щодо невідомих функцій , , , . Ця система апроксимує точні співвідношення, що описують двовимірне нестаціонарне кавітаційне обтікання решітки пластин.

Далі в даному підрозділі проведено лінеаризацію системи (10) – (13) біля стаціонарного розв’язку, і до отриманої системи застосовано перетворення Лапласа при нульових початкових умовах. У результаті сформовано систему звичайних диференціальних рівнянь щодо зображень по Лапласу малих відхилень параметрів кавітаційної течії. Систему рівнянь для визначення параметрів стаціонарного кавітаційного обтікання решітки пластин також виведено із системи (10) – (13). У результаті отримано систему з восьми звичайних диференціальних рівнянь щодо безрозмірних параметрів стаціонарної кавітаційної течії , , , і зображень по Лапласу відхилень зазначених параметрів , , , , де – комплексна змінна. Для останньої системи на основі застосування законів збереження до контрольного об’єму на вході в решітку (рис. 1) сформульовано задачу Коші. При зазначеному підході кавітуюча решітка представлена як система з розподіленими по довжині пластини параметрами.

Описана вище модель застосована для розрахунку елементів передавальної матриці кавітуючого осьового шнекового переднасоса, що зв’язує відхилення тисків і об’ємних витрат на його вході й виході

,

де індексами 1 й 2 відзначені зображення по Лапласу відхилень тисків і витрат відповідно на вході й виході переднасоса. З урахуванням того, що модель ідеальної рідини не дозволяє знайти втрати тиску в нестаціонарному турбулентному сліді за каверною, у дисертаційній роботі викладено метод визначення тільки елементів другого рядка передавальної матриці шнекового переднасоса – коефіцієнтів рівняння

. (14)

При великому опорі навантаження переднасоса, що звичайно має місце, саме коефіцієнти та головним чином визначають вхідний імпеданс насоса, а отже, і динаміку системи живильний трубопровід – насос. Так, при , тобто при , з (14) отримуємо вхідний імпеданс насоса

.

У даному підрозділі представлені результати розрахунків частотних характеристик кавітуючої решітки і шнекових переднасосів, коли весь потік гармонічно коливається з однією частотою . При розрахунках як параметр задавалася чисто мнима величина . На рис. 6 простежується характерна для розподілених систем поведінка розрахованих частотних характеристик і шнекового переднасоса. Видно, що при низьких частотах ця поведінка узгоджується з моделлю В.В. Пилипенка в зосереджених параметрах, що враховує кавітаційну пружність, від’ємний кавітаційний опір і постійну часу встановлення об’єму каверни. Отримані на основі запропонованої моделі розрахункові залежності модулів і аргументів вхідного імпедансу насоса (рис. 7), коефіцієнтів підсилення насоса по тиску й по витраті від частоти коливань задовільно узгоджуються з наявними в літературі експериментальними даними.

У підрозділі 4.2 запропоновано підхід до чисельного моделювання плоского нестаціонарного кавітаційного обтікання решітки пластин на основі повних рівнянь Нав’є-Стокса і баротропного рівняння стану парорідинної суміші (рис. 8). Граничні умови задачі сформульовані слідуючим чином. На вхідній границі (рис. 8) задані компоненти й вектора швидкості . Число кавітації перед решіткою задано в точці . Параметри потоку на границях і відповідають умові періодичності течії. На поверхнях пластин і прийнята умова прилипання: . Границя обрана на достатньому видаленні вниз по потоку від входу в решітку, тому напрямок потоку тут практично повністю співпадає з напрямком пластин і використана гранична умова .

Дискретні аналоги рівнянь Нав’є-Стокса отримані на основі методу контрольного об’єму. Обчислювальна процедура побудована на основі неявної за часом схеми із застосуванням алгоритму корекції швидкості й тиску .

Правомочність представлення кавітації у використовуваній моделі течії підтверджена фактом задовільного узгодження розрахункових значень коефіцієнта статичного тиску уздовж поверхонь пластин з експериментальними даними (рис. 9). У результаті проведення серії обчислювальних експериментів показано можливість існування стаціонарної профільної каверни при = 8°, = 2,86° (позначення величин див. на рис. 8), = 0,134 і 0,46.

При 8°, = 3,76°, = 0,1 (тобто при збільшенні кута атаки й зменшенні числа кавітації на вході в решітку) отримано істотно інші – нестаціонарні характеристики течії. Результати представлені на рис. 10 у вигляді ізоліній густини парорідинної суміші для декількох моментів безрозмірного часу. При проведенні обчислювальних експериментів був накопичений великий числовий матеріал, що представляв собою сукупність масивів фізичних змінних на кожному з 110 розрахованих часових шарів. Це дозволило реалізувати унікальну можливість осереднення за часом параметрів потоку в розрахунковій області (як при виводі рівнянь Рейнольдса осередненого турбулентного руху) з метою визначення компонент тензора додаткових напруг, породженого нестаціонарною кавітацією в решітці.

У підрозділі 4.3 проведено розрахункове дослідження стійкості часткового кавітаційного обтікання решітки пластин потоком ідеальної рідини. Частотні характеристики решітки визначалися на основі описаного в підрозділі 4.1 підходу до визначення передавальної матриці решітки, представленої як система з розподіленими уздовж пластини параметрами. Для аналізу стійкості кавітаційної течії застосовано імпедансний метод.

На рис. 11 показана розрахункова границя області стійкості кавітаційної течії в решітці з кутом установки пластин = 8°у площині коефіцієнт режиму – число кавітації . В області параметрів, що позначена позицією 1, течія є стійкою при всіх частотах коливань аж до 20000 Гц. В області, що позначена позицією 2, відбувається втрата стійкості кавітаційної течії або на одній частоті (при > 0,6), або на декількох частотах (при < 0,6). На границі області стійкості наведені значення частот коливань, що відповідають власним частотам коливань рідини в міжлопатевому каналі решітки. Для порівняння на рис. 11 відзначені також точки (, і ), для яких є результати чисельного моделювання кавітаційного обтікання цієї ж решітки в'язкою рідиною на основі рівнянь Нав’є-Стокса й баротропного рівняння стану парорідинної суміші (ці результати описані в підрозділі 4.2). Відповідно до останніх результатів, при умовах на вході в решітку, що відповідають точкам і , кавітаційна течія у решітці є стійкою, а при умовах, що відповідають точці – нестійкою. Деяке протиріччя результатів, описаних у підрозділі 4.2, і даних, наведених на рис. 11 (точка перебуває в області нестійкості), може бути пояснено впливом в’язкості рідини при чисельному моделюванні даних течій.

У п'ятому розділі виконано аналіз можливостей основних підходів до математичного моделювання течії в осьових шнекових переднасосах. Розглянуто два основних підходи: спрощений опис течії ідеальної рідини в шнеку в наближенні осьової симетрії потоку й більш точна математична модель, заснована на використанні повних рівнянь Нав’є-Стокса, але при наявності ряду припущень, що спрощують задачу, щодо представлення в’язкості рідини й виду граничних умов.

У підрозділі 5.1 сформульовано крайову задачу для еліптичного рівняння, що описує розподіл функції течії вісесиметричного потоку в шнековому переднасосі. Побудовано різницеву схему для розв’язання зазначеної задачі й доведено збіжність різницевої схеми. У процесі розрахунків встановлено, що в широкому діапазоні зміни коефіцієнта режиму існує розвинена рециркуляційна зона поблизу втулки осьових шнекових переднасосів (рис. 12, 13). Факт існування такої зони узгоджується з експериментальними даними різних авторів.

Описаний підхід, заснований на розв’язанні крайової задачі, не дозволяє розраховувати периферійну зону рециркуляційної течії на вході в переднасос. Це пов’язано з різною природою виникнення периферійної та втулочної рециркуляційних зон. Існування першої в значній мірі обумовлено в’язкістю рідини (яка не враховується в пропонованій методиці), а друга, втулочна зона, виникає через силову взаємодію лопатей з потоком, що набігає.

У підрозділі 5.2 запропоновано методику чисельного моделювання просторового в’язкого потоку в осьових шнекових переднасосах на основі повних стаціонарних рівнянь Нав’є-Стокса. Граничні умови задачі: на вхідній границі розрахункової області (рис. 14) задаються розподіли компонентів швидкості потоку в циліндричній системі координат; на вихідній границі значення похідних всіх швидкостей у напрямку течії покладаються рівними нулю; на втулці й периферії осьового шнекового переднасоса, а також на поверхнях лопатей прийнято умову прилипання; на бічних поверхнях розрахункової області, розташованих у живильному трубопроводі й віддалених одна від другої на кутову відстань, що відповідає періоду решітки лопатей, задаються умови періодичності для забезпечення симетрії задачі.

Чисельне розв’язання зазначеної задачі побудовано на основі методу контрольного об’єму і алгоритму корекції швидкості й тиску .

У даному підрозділі представлені результати серії обчислювальних експериментів, що моделюють роботу шнекових переднасосів при різних значеннях коефіцієнта режиму. Проведено оцінки величин схемної в’язкості та реальної в’язкості рідини в міжлопатевих каналах шнека, обумовленої турбулентним режимом течії. Продемонстровано якісне і багато в чому кількісне узгодження результатів розрахунку параметрів потоку у зворотних течіях на вході в шнековий переднасос із наявними в літературі експериментальними даними (рис.15). З урахуванням зазначеного узгодження виконано чисельне дослідження ефективності системи перепуску, що застосовується для зменшення інтенсивності зворотних течій у шнекових переднасосах.

На основі аналізу результатів чисельного моделювання течії в шнеку, що працює на режимі нульової подачі, виявлено основні закономірності утворення розвинених радіальних течій поблизу поверхонь лопатей, які, у свою чергу, приводять до виникнення зворотних течій на вході в шнек.

Шостий розділ присвячений розробці науково-методичного забезпечення для чисельного моделювання стаціонарних просторових