ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ
ІНСТИТУТ ГЕОТЕХНІЧНОЇ МЕХАНІКИ им. М. С. ПОЛЯКОВА
ЛАПШИН Євген Семенович
УДК [622.742.002.5](0.43)
РОЗВИТОК ТЕОРІЇ ВІБРАЦІЙНОГО ГРОХОЧЕННЯ НА ОСНОВІ
УДОСКОНАЛЮВАННЯ МОДЕЛЬНИХ УЯВЛЕНЬ
КІНЕТИКИ ПРОЦЕСУ
05.15.11 – "Фізичні процеси гірничого виробництва"
Автореферат
дисертації на здобуття наукового ступеня
доктора технічних наук
Дніпропетровськ – 2006
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана в Інституті геотехнічної механіки ім. М. С. Полякова Національної академії наук України (ІГТМ НАН України).
Науковий консультант:
доктор технічних наук, професор Надутий Володимир Петрович, Інститут геотехнічної механіки ім. М. С. Полякова НАН України, завідувач відділом.
Офіційні опоненти:
доктор технічних наук, професор Блюсс Борис Олександрович, Інститут гео-технічної механіки ім. М. С. Полякова НАН України, завідувач відділом;
доктор технічних наук, професор Франчук Всеволод Петрович, Національний гірничий університет Міністерства освіти і науки України, завідувач кафедрою;
доктор технічних наук, старший науковий співробітник Полулях Олександр Дани-ло-вич, Український науково-дослідний та проектно-конструкторський інститут збагачення і брикетування вугілля Міністерства вугільної промисловості, начальник відділу.
Провідна установа: Донецький Національний технічний університет Міністерства освіти і науки України, кафедра збагачення корисних копалин.
Захист відбудеться 29 вересня 2006 р. у 1330 годин на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 08.188.01 Інституту геотехнічної механіки ім. М. С. Полякова НАН України за адресою: 49005 Дніпропетровськ, вул. Сімферопольська, 2а, факс (0562) 462426.
З дисертацією можна ознайомиться в бібліотеці Інституту геотехнічної механіки ім. М. С. Полякова НАН України за адресою: 49005 Дніпропетровськ, вул. Сімферопольська, 2а
Автореферат розісланий 25 серпня 2006 р.
Вчений секретар
спеціалізованої вченої ради
доктор технічних наук В. Г. Перепелиця
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. Вібраційне грохочення широко застосовується в гірничій, металургійній, хімічній та багатьох інших галузях, які зв'язані з переробкою сипкої сировини. Ефективність і продуктивність цього процесу істотною мірою визначає якість і собівартість продукції, тому не випадково увага багатьох дослідників спрямована на його удосконалювання. Для забезпечення високої продуктивності грохочення здійснюють товстим шаром у режимі з підкиданням. Загальновизнано, що цей процес у даному випадку відбувається у результаті сегрегації, просівання і вібротранспортування. Інтенсивність цих складових залежить від гранскладу, форми частинок, фізико-механічних властивостей сировини, висоти шару, конструктивних і динамічних параметрів грохота. Особливо слід зазначити, що в процесі грохочення змінюється висота шару, а це істотно позначається на всіх трьох складових.
З розвитком комп'ютерної техніки намітилася така тенденція: вибір раціональних конструктивних і режимних параметрів грохота виконувати на основі чисельного моделювання, а не трудомістких і тривалих натурних випробувань. Розроблено велику кількість як теоретичних, так і емпіричних моделей. У ряді моделей вплив на кінетику грохочення таких факторів, як початковий розподіл частинок по висоті шару, форма частинок, зміна висоти шару в результаті просівання взагалі ігнорується чи враховується введенням поправкових коефіцієнтів. У результаті відбувається втрата інформації про зв'язки і відношення між складовими процесу, що приводить до великих похибок при математичному описі кінетики грохочення, внаслідок чого не вдається досягти високої ефективності і продуктивності.
Нинішня сировинна, енергетична й екологічна ситуації вимагають подальшого удосконалювання процесу грохочення, що стримується відсутністю можливості розгляду ролі складових процесу з урахуванням їх імовірнісної природи, а це не дозволяє синтезувати процес грохочення з раціональним сполученням сегрегації і просівання.
Таким чином, визначення закономірностей, що пояснюють і описують вплив на кінетику вібраційного грохочення сегрегації, просівання, вібротранспортування, форми частинок і отворів сита, а також змінної у результаті просівання висоти шару є актуальною науковою проблемою, що має важливо значення для галузей, які переробляють мінеральну сировину, і для розвитку фізики процесів гірничого виробництва.
Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалась за науковим напрямом відділу механіки машин і процесів переробки мінеральної сировини Інституту геотехнічної механіки ім. М. С. Полякова НАН України, а саме за держбюджетними темами: № 33 “Розробка наукових принципів підвищення якості продуктів переробки гірничо-металургійної сировини на основі врахування залежності технологічних показників класифікації від режимних, конструктивних параметрів устаткування і розробка методу комп'ютерного аналізу його роботи” (1998–2000), № ДР 0198U002675; № 75 “Математичне моделювання вібраційного грохочення з урахуванням взаємного впливу сегрегації і просівання як основи удосконалювання і підвищення ефективності процесу класифікації гірничо-металургійної сировини” (2001–2003), № ДР 0101U001265; № 4 “Розвиток модельних уявлень вібраційного грохочення гірничої сировини з урахуванням транспортування і циркуляційних процесів на перфорованій поверхні, що просіває” (2004-2006), № ДР 0104U002498. По першій темі автор був виконавцем, а в інших – відповідальним виконавцем.
Мета і задачі дослідження.
Мета роботи – удосконалення технології вібраційного грохочення на основі врахування закономірностей складових процесу, їх математичного моделювання і визначення раціональних параметрів.
Ідея роботи полягає в деталізації модельних уявлень кінетики процесу грохочення з урахуванням комплексного впливу сегрегації, просівання, вібротранспортування, форми частинок гірничої маси й отворів сита, а також змінної висоти шару.
Для досягнення поставленої мети в роботі сформульовано наступні задачі:
1.
На основі теоретичних і експериментальних досліджень створити математичну модель кінетики грохочення, що описує сегрегацію, просівання, вібротранспортування і зміну висоти шару гірничої маси.
2.
Розробити модельні уявлення сегрегації гірничої маси при віброзбудженні.
3.
Розробити методи визначення ймовірностей просівання частинок найрізноманітніших форм через сита з різними отворами.
4.
З урахуванням експериментальних даних розробити модельні уявлення вібротранспортування шару гірничої маси, висота якого змінюється в результаті просівання.
5.
Виконати експериментальну перевірку математичної моделі кінетики процесу грохочення.
6.
Розробити методики розрахунків параметрів процесів сегрегації, просівання, вібротранспортування і загальної методики кінетики процесу вібраційного грохочення. Упровадити результати роботи.
Об'єкт досліджень – процес поділу за крупністю гірничої маси на вібруючій перфорованій поверхні у гравітаційному і вібраційному полях.
Предмет досліджень – процеси сегрегації, просівання, вібротранспортування та їх вплив на кінетику грохочення.
Методи досліджень. Робота виконана на основі комплексного підходу. При розробці математичної моделі кінетики грохочення використовувалася теорія марковських процесів і основні положення статистичної фізики. Ймовірності просівання визначалися методами геометричних імовірностей і алгебри подій. Швидкість вібротранспортування обчислювалася методами класичної механіки. При чисельному моделюванні застосовувався метод Монте-Карло. Перевірка адекватності модельних уявлень виконувалася методами математичної статистики. В експериментальних дослідженнях використовувалися стандартні методи тензо- і віброметрії. Генерація випадкових чисел і статистична обробка здійснювалася за допомогою програм Excel, Mathcad, Statistica і Matlab.
Наукова новизна отриманих результатів.
У роботі захищаються такі наукові положення:
1.
Витягання дрібного класу в підрешетний продукт змінюється у часі за степеневим законом, основа якого – стохастична матриця ймовірностей переходів частинок по висоті шару, а показник степеня – кількість взаємодій гірничої маси із ситом. При цьому відношення ймовірностей перебування дрібних частинок у суміжних елементарних шарах експоненціально залежить від довжини вільного пробігу, діаметрів і густини частинок, висоти шару в статиці і при віброзбудженні, а також висоти підкидання.
2.
При стохастичних обертаннях опуклої частинки в площині сита ймовірність просівання квадратично залежить від відношення периметра її проекції до довжини сторони квадратного отвору сита. Якщо математичне чекання кількості "трудних" частинок, що припадає на одну комірку, перевищує одиницю, то ймовірність просівання зменшується відповідно за експонентного закону.
3.
Критерієм раціонального віброзбудження сита, при якому досягається максимальне витягання за мінімальний час, є рівність нулю різниці між вхідним і вихідними з контактного шару потоків імовірностей при максимальному потоці ймовірностей просівання.
Наукова новизна отриманих результатів:
1.
Уперше при математичному описі кінетики процесу вібраційного грохочення враховані закономірності сегрегації, просівання, вібротранспортування, форми частинок і отворів сита, зміни висоти шару. Це досягнуто за рахунок моделювання процесу марковським ланцюгом змінної структури.
2.
Уперше кінетика процесу грохочення на одно- і багатоситових грохотах описана з єдиних методологічних позицій при класифікації як товстим, так і тонким шаром.
3.
Уперше визначена ймовірність переходу частинок дрібного класу крупності по висоті шару. Показано, що відношення ймовірностей перебування дрібних частинок у суміжних елементарних шарах експоненціально залежить від довжини вільного пробігу, діаметрів і густини частинок, висоти шару в статиці і при віброзбудженні, а також висоти підкидання. Запропоновано ідентифікацію параметрів моделі кінетики грохочення виконувати за вимірами висоти підкидання, коефіцієнта розпушення шару в динаміці, фаз відриву і падіння.
4.
У розвиток теорії грохочення аналітично визначена ймовірність просівання частинки довільної форми, що робить стохастичні обертання в площині паралельної поверхні, що просіває. Рішення отримане для прямокутних отворів і рівномірних розподілів випадкових лінійних і кутових координат частинки при падінні на поверхню, що просіває.
5.
Уперше розроблено чисельний метод визначення ймовірності просівання частинки, що робить просторові стохастичні обертання. Рішення отримано для загального випадку: форми частинки й отвори сита не обмежені, закони розподілу випадкових лінійних і кутових координат – довільні.
6.
У розвиток теорії вібротранспортування при визначенні швидкості враховано зміни висоти шару в результаті просівання і випадковий характер фаз відриву і падіння шару гірничої маси.
7.
Уперше математично описане явище конкуренції "трудних" частинок при їх просіванні. Показано, що порівняно з просіванням одиночної частинки, ймовірність просівання шару частинок експоненціально залежить від математичного чекання кількості "трудних" частинок, що приходяться на одну комірку. Сформульовано критерій раціонального віброзбудження сита, при якому досягається максимальне витягання за мінімальний час.
Практичне значення отриманих результатів. На основі досліджень розроблені і впроваджені:
1. “
Методика визначення імовірностей вібраційного просівання частинок різної форми в режимі стохастичного обертання в площині сита” впроваджена в інституті “Механобрчормет”, де використовувалася при розробці технічних пропозицій по модернізації дробильно-сортирувальних фабрик рудоуправлінь і дробильних фабрик гірничо-збагачувальних комбінатів, зокрема, для обґрунтування вибору форми, розміру комірок і площі сит віброгрохотів з метою підвищення ефективності їх роботи, а також для розрахунків імовірності виходу частинок граничної крупності.
2. “
Методика математичного моделювання вібраційного просівання при просторових стохастичних обертах частинок довільної форми” впроваджена в Національному гірничому університеті. Методика використовувалася на кафедрі гірничих машин при виконанні комплексної наукової тематики, зв'язаної з розробкою засобів і методів переробки різної гірничої маси. Зокрема, при підготовці технічних пропозицій до проекту розробки устаткування другої черги ЗАТ Новгород-Сіверського заводу будівельних матеріалів для одержання тонкодисперсної крейди, а також у лекційному матеріалі і практичних заняттях зі студентами за курсом “Машини для підготовчих і заключних процесів збагачення”.
3. “
Методика математичного моделювання кінетики вібраційного процесу грохочення” впроваджена в інституті “Укрндівуглезбагачення”. Її основні положення використовувалися при розробці вібраційних грохотів. У результаті дослідження процесу грохочення з позиції забезпечення раціональної взаємодії його складових (сегрегації, просівання і вібротранспортування) були визначені амплітуда і частота віброзбудження, довжина і ширина сита, що забезпечують досягнення заданих технологічних показників. Вона також застосовувалася для аналізу процесу грохочення працюючих вібраційних грохотів. Це дозволило виявити напрями модернізації і шляхи вибору раціональних параметрів процесу.
4. “
Методика розрахунку технологічних показників грохочення” впроваджена в інституті “Діпромашзбагачення”. На основі методики (з позиції раціонального сполучення сегрегації, просівання і вібротранспортування) для нового грохоту SkH-6,0Ч2k визначена довжина і ширина поверхні, що просіває, змінні кути її установки, амплітуда і частота віброзбудження. Випробування віброгрохота SkH-6,0Ч2k в умовах ПГЗКа показали, що порівняно з експлуатованими грохотами ГІТ-51 ефективність класифікації зросла на 23,4 % . Очікуваний економефект в умовах ПГЗКа, порахований на одну машину, установлену після дробарки середнього дроблення, складав 124,6 тис. грн (на дробильній фабриці чотирнадцять ділянок середнього дроблення).
5. “
Методика розрахунку технологічних показників грохочення” також упроваджена на Державному підприємстві “Укрвуглеякість”, що дозволило збільшити ефективність грохочення до 15 %.
6. “
Методика визначення ймовірності проходження мінеральної частинки довільної форми через кільцевий зазор між плазматроном і стінкою свердловини” впроваджена в інституті “Кривбаспроект”. Вона використовувалася для вибору діаметра плазматрона і режиму його роботи в технології термічного створення котлових порожнин для вибухових речовин.
7. “
Методика визначення часу планово-запобіжного очищення сита грохота” впроваджена в Національному гірничому університеті. Вона використовувалася на кафедрі гірничих машин при читанні лекцій з курсу “Експлуатація та обслуговування гірничих машин”, а також у курсовому і дипломному проектуванні за спеціальностями “Гірничі машини і комплекси” і “Збагачувальне устаткування”.
Методики рекомендується застосовувати при проектуванні грохотів, при аналізі роботи існуючих грохотів з метою виявлення резервів для їх модернізації, у навчальному процесі, при створенні автоматизованих систем керування грохоченням. Розроблено комплект програм для ПЕОМ, що дозволяє чисельно моделювати процес грохочення. Метод визначення ймовірності проходження частинки через отвір може бути використаний для розрахунку різних машин і апаратів, що мають прохідні отвори спільномірні з розміром частинок, наприклад високоградієнтні магнітні сепаратори.
Обґрунтованість і вірогідність наукових положень, висновків і рекомендацій підтверджується застосуванням фундаментальних методів теорії імовірностей, статистичної фізики, теоретичної механіки, адекватністю математичних моделей реальним процесам з розбіжністю теоретичних і експериментальних даних не більш 15 %, позитивними результатами промислових випробувань.
Особистий внесок здобувача полягає у формулюванні проблеми, мети, ідеї, задач дослідження, наукових положень, висновків і рекомендацій, а також у теоретичному вирішенні поставлених задач, у проведенні експериментальних досліджень, обробці й аналізі отриманих результатів, розробці методик, алгоритмів і програм, упровадженні результатів роботи. Текст дисертації автором написаний особисто.
Апробація результатів дисертації. Основні положення дисертаційної роботи доповідалися й одержали схвалення на засіданнях: міжнародної науково-практичної конференції (МНПК) "XXI сторіччя – проблеми і перспективи освоєння родовищ корисних копалин" (Дніпропетровськ, 1998); міжнародної конференції "Динаміка і міцність машин" (Тбілісі, 1999); міжнародної науково-технічної конференції (МНТК) "Обогащение-2000" (Санкт-Петербург, 2000); МНТК "Перспективи розвитку гірничорудної, вуглевидобувної і збагачувальної галузей" (Краматорськ, 2001); міжнародної наукової школи-семінару "Імпульсні процеси в механіці суцільних середовищ" (Миколаїв, 2001); МНТК "Проблеми механіки гірничо-металургійного комплексу" (Дніпропетровськ, 2002); МНТК ""Технологическое оборудование для горной и нефтегазовой промышленности" (Екатеринбург, 2002); МНТК "Вібрації в техніку і технологіях" (Вінниця, 1998, 2002, 2004, Полтава, 2005); науково-практичної конференції "Збагачення руд росипних родовищ і шляхи їх вирішення" (Дніпропетровськ, 2003); МНПК "Збагачення корисних копалин" (Маріуполь, 2003); МНТК "Теорія і практика процесів подрібнення, розділення, змішування і ущільнення" (Одеса, 2002, 2003); міжнародних симпозіумів "Механіка еластомерів" (Дніпропетровськ, 2001, 2003); міжнародної наукової школи-семінару "Імпульсні процеси в механіці суцільних середовищ" (Миколаїв, 2003); МНТК "Ефективність реалізації наукового, ресурсного і промислового потенціалу в сучасних умовах" (Славське, 2002, 2004, 2005); МНПК "Інтенсифікація технологічних процесів збагачення корисних копалин" (Маріуполь, 2004 р.), МНТК "Теорія і практика збагачення і переробки мінеральної сировини" (Маріуполь, 2005), МНТК "Вібрація машин: вимір, зниження, захист" (Донецьк, 2005).
Публікації. Основний зміст роботи опублікований у 58 наукових працях, з яких 1 монографія, 38 публікацій у наукових фахових виданнях, 10 авторських свідоцтв на винаходи, 7 доповідей, 2 тези доповідей; 12 робіт видано без співавторів.
Обсяг і структура роботи. Дисертація складається із вступу, семи розділів, висновків, списку використаних джерел з 218 найменувань, містить 342 сторінки, у тому числі 52 рисунки, 31 таблицю, 45 сторінок додатків.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
У першому розділі виконано аналіз стану теорії грохочення, сформульовано проблему, ідею, мету і задачі досліджень.
Про масштабність задач, яки вирішуються за допомогою грохочення, свідчить той факт, що у світі існують десятки великих фірм. Вони випускають сотні типів вібраційних грохотів. У країнах СНД тільки в гірничій, металургійній і нерудній галузях експлуатуються їх близько 10 тис. Ефективність грохочення істотно впливає на якість і собівартість продукції, енерго- і ресурсозбереження.
Продуктивність грохотів складає від сотень кілограм до тисячі тонн у годину. Грохоти відрізняються конструктивним виконанням і по особливостями віброзбудження. Передбачено регулювання амплітуди і частоти коливань поверхні, що просіває, а також по куту нахилу останньої до горизонту. Усе це зв'язано з необхідністю вибору грохота для конкретного виду гірничої маси, що надзвичайно різноманітна за фізико-механічними властивостями і гранулометричним складом. Звідси випливає перша задача – вибір грохота для конкретних умов з номенклатури існуючих. Якщо вони не задовольняють вимоги виробництва, то потрібна розробка нового грохота чи модернізація існуючого – друга задача. Особливо необхідно відзначити, що в процесі видобутку і переробки гірничої маси її властивості змінюються в широких межах, також коливається і продуктивність. Має місце третя задача – забезпечення автоматичного регулювання режиму роботи грохота. Експериментальне вирішення перших двох задач сполучено з великими матеріальними витратами, а вирішення третьої – узагалі проблематичне.
З огляду на рівень розвитку комп'ютерної техніки, ці задачі можуть бути вирішені на основі математичного моделювання процесу грохочення. Світова тенденція в області створення грохотів і керування їх роботою – максимальне скорочення трудомістких натурних експериментів і заміна їх математичним моделюванням, що враховує фізику процесу.
Значний внесок у створення наукових основ грохочення, а також у розробку і впровадження нових конструкцій грохотів зробили вчені й інженери таких інститутів і організацій України як “Держпромашзбагачення”, “Укрндівуглезбагачення”, ДНТУ, ІГТМ, НГУ, а також ближнього зарубіжжя – НПК “Механобртехніка”, МДГУ й ін.
При проектуванні чи адаптації грохота для конкретного виду сировини необхідно знати амплітуду, частоту і закон коливань, розмір, живий переріз і кут нахилу поверхні, що просіває, при яких досягаються необхідні ефективність і продуктивність. Коли в результаті дослідження кінетики процесу, зазначені режимні і конструктивні параметри визначені, то їхня реалізація забезпечується динамічним і міцнісним розрахунками грохота, які досить точні. Незважаючи на важливість, найменш вивчений сам процес грохочення, що зв'язано зі складністю і трудомісткістю експериментів і математичних труднощів при моделюванні. Нинішній стан теорії не враховує вплив на процес вібраційного грохочення закономірностей сегрегації, просівання, вібротранспортування, форми частинок гірничої маси і зміни висоти шару в унаслідок просівання. Параметрична ідентифікація існуючих моделей виробляється побічно за результатами трудомістких технологічних випробувань, по суті виконується апроксимація експериментальних даних. Це знижує точність аналізу і прогнозу процесу.
У другому розділі розглянуто математичне моделювання процесу грохочення, розрахункова схема якого наведена на рис. 1. Грохот має верхнє сито 1 і нижнє – 2. Грохочений матеріал 3 подають на верхнє сито 1. У результаті вібраційного впливу відбуваються сегрегація і просівання – одержують три різних за крупністю продукти, один із яких залишається на ситі 1, другий – на ситі 2, а третій проходить через його отвори. Унаслідок вібротранспортування продукти поділу переміщаються в зону розвантаження, причому висота шару змінюється по довжині сита: на ситі 1 зменшується, а на ситі 2 може як збільшуватися, так і зменшуватися. Для аналізу змін розподілу частинок по шару площинами П1і П2 виділений контрольний обсяг 4. Матеріал на ситах 1 і 2 розділений на елементарні шари 5 і 6, висоти яких h1 і h2 дорівнюють довжинам вільного пробігу частинок мінусової крупності. Сита 1 і 2 умовно названі шарами s1 і s2, а простір під ними – відповідно шарами s1+1 і n. Тут і далі цифра, що стоїть за буквою, означає номер сита. Всім елементарним шарам привласнений індекс i. Нехай сита 1 і 2 мають отвори розміром d1 і d2. Частинки крупністю – d2, – d1+d2 і +d1 позначені d, де = 1,2,3.
Розподілу частинок d1, d2, і d3 по висоті контрольного об'єму описувалися n – мірними векторами , і ймовірностей станів, компонентами яких є такі ймовірності:
Pi,1(t) = Mi,1(t)/M1(t), Pi,2(t) = Mi,2(t)/M2(t), Pi,3(t) = Mi,3(t)/M3(t),
де t – час; Mi, і M ( = 1,2,3) відповідно маси зазначених частинок у i-ом шарі й у контрольному об'ємі.
Рис. 1. Розрахункова схема процесу грохочення:
а) складові процесу; б) імовірності переходів; в) імовірність
просівання
1 і 2 – верхнє і нижнє сито; 3 – грохочений матеріал; 4 – контрольний
об'єм; 5 і 6 – елементарні шари; 7 – контур отвору; 8 – частинка
Спочатку визначалося, як змінюється вектор імовірності стану в процесі транспортування контрольного об'єму уздовж сита, що в остаточному підсумку дозволило обчислити технологічні показники грохочення.
Під дією вібрації частинки з імовірністю ij переходять з елементарного шару i в шар j. Перехід відбувається за час tn, кратний періоду коливань. Ця подія названа кроком k. Передбачалося, що ймовірність переходу на кроці k не залежить від її значення на кроці k1. При таких допущеннях грохочення є дискретним марковським процесом з дискретними станами (ланцюг Маркова). Розподіл частинок на k-у кроці описується виразом
, (1)
де – вектор-рядок імовірностей початкового стану; ij – стохастична матриця розміру nn.
Вектор імовірностей початкового стану і стохастична матриця мають вигляд
, , (2)
де
, ,
A12 – блок, усі елементи якого, крім , дорівнюють нулю; A21 = 0; e1– кількість елементарних шарів на верхньому ситі; e2 – максимальна кількість елементарних шарів на нижньому ситі (поточне значення будемо записувати без штриха).
У блоці A11 імовірності переходів ij описують: сегрегацію в матеріалі на верхньому ситі (i, j = 1…s1-1); улучення частинок в отвори сита (i = 1…s1-1, j = s1); забивання отворів (i, j = s1); самоочищення сита (i = s1, j = 1…s1-1). Оскільки частинки з верхнього сита на нижнє надходять у результаті проходження через отвори, то всі елементи блоку A12, крім , дорівнюють нулю. Блок A22 описує процеси на нижньому ситі s2. Частинки не можуть потрапити під сито s2, якщо вони не пройдуть через його отвори, тому елементи з індексами i = s2-e2…s2-1 і j = s2+1 дорівнюють нулю. Тому що частинки з під сита s2 не повертаються в шар на ситі, то nn = 1. У A21 всі елементи нульові – цим враховано, що частинки із сита s2 не можуть повернутися на сито s1.
Після k кроків на верхньому ситі знаходяться частинки d1, d2 і d3, а на – нижньому d1 і d2, сумарні маси яких
, , ,
, .
де – вміст частинок у вихідному грохоченому матеріалі; M– маса всіх частинок у контрольному обсязі. З урахуванням цього висоти шарів на ситах визначається так:
H1(k) = [M1(s1,k) + M2(s1,k) + M3(s1,k)]/(1kbclk1н),
H2(k) = [M1(s2,k) + M2(s2,k)]/(2kbclk2н),
де 1k і 2k – емпіричний коефіцієнт, що залежить від гранскладу грохоченого матеріалу; 1н і 2н – насипні густини продуктів на ситі 1 і 2.
Безперервна зміна висоти шару моделювалася дискретною. На кожнім кроці обчислювалися зміни висоти шарів
1 = Hlm(km) – Hlm-1(km-1), 2 = H2m(km) – H2m-1(k2m-1),
де m – кількість змін висоти шару. При 1 = h1 висота шару H1m зменшувалася на h1. Оскільки першого елементарного шару вже немає, то перехід частинок з нього й у нього неможливий. Тому змінювалася структура вектора стану і стохастичної матриці: , перший рядок і стовпець у блоці A11приймалися рівними нулю.
Коли виконувалася рівність 2 = h2, висота шару на ситі s2 збільшувалася на один елементарний шар h2. Тепер у нього і з нього можуть переходити частинки d, щоб це врахувати в моделі виконувалося коректування вектора станів і стохастичної матриці. Висота шару на ситі s2 зменшиться, якщо 2 = h2. При кожній зміні висоти шару визначалися ймовірності переходів ij(d,m) для блоків A11 і A22 (розрахунок цих імовірностей розглядається далі). Частинка d, що пройшла крізь сито s1, падає на верхній елементарний шар надрешетного матеріалу сита s2, тому в блоці A12 імовірність переходу s1,j перебувала в стовпці з індексом j = s2 – e(m). З урахуванням цих змін вектора станів і стохастичної матриці рівняння (2) має вигляд
. (3)
Тривалість грохочення і шлях, що пройдений контрольним об'ємом, відповідно знайдені з формул
, , (4)
де Vf – швидкість вібротранспортування.
Залежності (1) – (4) моделюють кінетику грохочення. Вони дозволили розрахувати ймовірності виходу в підрешетні продукти частинок крупністю d, здрібненість, укрупнення, ефективність і продуктивність. Показано, що запропонований метод математичного моделювання кінетики може бути застосований для грохотів з довільною кількістю сит. Розроблена математична модель кінетики грохочення комплексно враховує такі фактори: особливості початкового розподілу частинок по висоті шару; сегрегацію; перемішування; просівання. Далі при обчисленні ймовірностей просівання врахована і форма частинок; забивання і самоочищення сита; особливості вібротранспортування: швидкість, кратність і кількість падінь за період вібротранспортування; зміна висоти шару.
Стосовно до грохочення найбільший інтерес викликає такий різновид сегрегації, при якій дрібні частинки переміщаються в середовищі великих. Міграція можлива як при нормальному впливі на сировину, так і при зсувному.
При нормальному вібровпливі, коли гірнича маса знаходиться у віброкипінні, дрібні частинки роблять випадкові переміщення. Ймовірність проходження частинкою відстані визначена в припущенні про те, що великі частинки в просторі розподілені за законом Пуассона. Отримано формулу
P = exp[-iCC(D + d)2/4kp],
де iC – кількість великих частинок в одиницю об'єму гірничої маси в статиці; D і d – діаметри великої і дрібної частинки; kp– коефіцієнт розпушення шару, що дорівнює відношенню висоти шарів у динаміці і статиці.
На основі відомого зі статистичної фізики канонічного розподілу частинок по рівнях енергії врахований вплив гравітаційного поля на ймовірність P, що дозволило визначити відношення ймовірностей перебування дрібних частинок у суміжних елементарних шарах
.
Установлено такі залежності для ймовірностей переходів:
i,i-1 = P , i,i+1 = P + , i,i = 1 i,i-1 i,i+1,
де = P(1)/(+1), , d*c = d/D,
1 і 2 – густина дрібної і великої частинки. Методом лінеаризації врахований випадковий розкид діаметрів частинок d і D.
Для визначення ймовірностей переходів при зсуві виділялися два суміжних елементарних шари. Висота такого шару дорівнює діаметру великої частинки. У верхньому шарі була обрана довільна дрібна частинка – пробна, а вільний простір між великими частинками названий вакансією. Розмір вакансії характеризувався діаметром сфери, що вписана між великими частинками.
Елементарні шари переміщаються один відносно одного. У результаті зіткнень частинок діаметр вакансії змінюється. Пробна частинка з верхнього елементарного шару під дією сили ваги перейде в нижній, коли під нею виявиться вакансія, діаметр якої перевищує діаметр пробної частинки. У противному випадку вона залишиться у тому же елементарному шарі. Можливості переходу характеризувалися індикатором In, що обчислювався за формулою
де Dв – діаметр вакансії; – відстань між центрами пробної частинки і вакансією; x и y – координати центра пробної частинки. При In = 1 відбувається перехід, якщо ж In = 0, то частинка залишається у тому же елементарному шарі.
Імовірність переходу визначалася методом Монте-Карло. Комп'ютер генерував випадкові значення змінних d, D, Dв, x, y , за якими обчислювалися Inu, де u – номер випробування. Провівши U випробувань, отримали ймовірність переходу частинок по висоті шару , що описує сегрегацію.
У третьому розділі визначені ймовірності просівання частинок різної форми. При вібраційному грохоченні в режимі з підкиданням, що найбільш характерний для грохотів, які експлуатуються в гірничо-металургійній промисловості, частинка до моменту просівання робить багаторазові падіння на сито. Залежно від параметрів віброзбудження можливі два випадки: перший, при якому площа і форма проекції частинки на площину сита залишаються практично постійними, а змінюється випадково тільки її орієнтація і другий, коли випадково змінюються як площа, так і форма проекції. У зв'язку з цим, при визначенні ймовірності просівання частинки довільної форми, ураховуючи характер зміни її проекції, розглянуті просівання при стохастичних обертаннях у площині сита й у просторі.
Аналітичне визначення ймовірностей просівання засновано на геометричній інтерпретації імовірності. Базовим є рішення для ідеальної щілинної поверхні, що просіває, моделлю якої служать паралельні прямі. Суть аналітичного методу полягає в такому. У площині поверхні, що просіває, проводилася нормаль до однієї з паралельних прямих і на неї проектувалася частинка. Записувалася умова, за якої проекція частинки знаходиться між двома паралельними прямими. До умови ввійшли випадкові лінійні та кутові координати частинки, що мають рівномірні розподіли.
Для обчислення міри MC події – просівання, якою є безліч точок в елементарному просторі подій, виконувалося інтегрування за лінійними і кутовими координатами. Далі визначалася міра MO всіх елементарних подій. При стохастичних обертаннях частинки в площині поверхні, що просіває, MC є площа, а при просторових – об'єм. Тоді ймовірність просівання P = MC/MO. Основні труднощі, що визначають можливість одержання аналітичного рішення, зв'язані з інтегруванням при обчисленні MC і MO. На ці труднощі також впливає і співвідношення між розмірами частинки й отвору.
Якщо максимальний розмір частинки менше відстані між перемичками сита, то аналітично визначені такі ймовірності просівання:
·
частинки довільної форми (lч,max L), що робить стохастичні обертання в площині
Pч = [1 – lч/(L)],
де lч,max – максимальний розмір частинки; lч – дина замкненої кривої мінімальної довжини, що охоплює проекцію частинки; – коефіцієнт живого перерізу сита; L – розмір отвору (для щілиноподібних отворів – найменший розмір, а для квадратних – довжина сторони); = 1 – для щілиноподібних отворів і = 2 для квадратних.
·
лещадної частинки, що стохастично обертається в просторі,
Pл = [1 – 2lч(2L)];
·
частинки, форма якої апроксимується циліндром з торцевими півкулями.
Якщо ж lч,max > L, то аналітично знайдені ймовірності просівання голкоподібних, циліндричних та еліпсоїдних частинок (обертання в площині).
Розроблено універсальну модель просівання, що дозволяє визначати ймовірності просівання у найзагальнішій постановці: форма частинки й отвори довільні; закони розподілу розмірів частинки і її випадкових координат не обмежуються. Суть моделі полягає в такому. У системі координат x,y,z, що зв'язана із ситом, контур отвору апроксимувався прямими (рис. 1). Точкам перетину прямих надавалися номери n = 1,2,3,…,2N. Рівняння n-ї прямої, що проходить через точки з координатами xn,yn і xn+1,yn+1 записані в такому вигляді:
Anx + Bny + Cn = 0, (5)
де An = yn+1 – yn; Bn = xn – xn+1; Cn =Anxn – Bnyn.
Система координат x, y, z зв'язана з частинкою. На її поверхні виділена довільна безліч точок i = 1,2,3,…,I з координатами xi, yi, zi.
Координати i-ї точки частинки в нерухомій системі x,y,z обчислювалися за формулою
, (6)
де xO, yO, zO – координати центра мас частинки; u – індекс, який вказує на те, що матриця обчислюється при u-у положенні частинки;–
матриця, що описує обертання частинки; , , – кути Ейлера.
Відносне положення точки з координатами xi, yi і прямою n визначали за знаком числа, що виходить у результат підстановки xi та yi у рівняння (5). Це число назване індикатором положення точки і позначене Ini,n.
Для обчислення ймовірності просівання частинки застосований метод Монте-Карло. Усі величини, що належать до одного випробування, додатково наділені індексом u (u = 1,2,3,…,U). Комп'ютер задавав випадкові координати центра частинки xou, you, zou і кути u, u, u, а також випадкові координати точок частинки xiu, yiu, ziu,. Останні моделюють розкид розмірів частинок у межах заданого класу крупності. За формулою (6) розраховувалися координати xiu, yiu точок поверхні частинки в нерухомій системі координат x,y,z. Індикатори для цих точок обчислювалися відносно прямих n = 1,2,3,…,N, що дозволило визначити проходить частинка через отвір чи ні. Повторюючи багаторазово випробування u = 1,2,3,…,U і визначаючи кількість випробувань Unpc, при яких відбулося просівання, одержано оцінку ймовірності цієї події Pnpc = Unpc/U.
Вплив форми частинок і відносного розміру lч,max/L показане на рис. 2. Тут позначено Cч = dц/lц, де dц і lц – діаметр і довжина частинки. На рисунку доведено, що розрахунок імовірності просівання при класичному підході, коли частинку вважають кулеподібною, приводить до похибки, яка для “трудних” частинок перевищує 100 %.
У четвертому розділі розроблена феноменологічна модель, що описує вібротранспортування шару гірничої маси, висота якої зменшується в результаті просівання.
При вібротранспортуванні в режимі з підкиданням відривання сипкої сировини від сита порівняно з частинкою відбувається з запізнюванням. І.Ф. Гончаревич зважав на запізнювання за рахунок уведення додаткової сили, пропорційної силі тяжіння, а А.Г. Червоненко вважав цю силу залежною від переносного прискорення. У розробленій математичній моделі розглянутий загальний випадок, при якому не вводяться зазначені допущення щодо сили опору відриву гірничої маси від сита. Опір на етапі польоту моделювався в’язким тертям, а інерційні властивості – зосередженою масою. Передбачалося, що при падінні шару відбувається повна втрата імпульсу.
Рис. 2. Вплив на ймовірності просівання ( = 1, = 2) відносного розміру і форми частинок: 1 – куля; 2 і 3 – циліндрична частинка з торцевими півсферами (Cч = 0,5) при плоских і просторових обертах; 4 і 5 – голкоподібна частинка при плоских і просторових обертах | Рис. 3. Залежності швидкості вібротранспортування від висоти шару, що змінюється в результаті просівання (A = 8 мм, = 78,54 рад/с): 1 і 2 – розрахункові й експериментальні значення (залізна руда -5 мм); 3 і 4 – розрахункові й експериментальні значення (полістирольні кульки -5мм)
Рис. 4. Залежність ефективності грохочення щебеню від продуктивності: –
розрахунок; – матсподівання (експеримент);
– середнє квадратичний відхил; I – розкид
Рух шару аналізувався у системі координат хоу, яка зв'язана із ситом (вісь х спрямована вздовж сита, а у по нормалі). У результаті розв’язання диференціальних рівнянь отримані залежності, що дозволяють визначити переміщення гірничої маси при колових коливаннях короба грохота
де
і О – фаза і її значення при відриві гірничої маси від сита, С – кут нахилу сита до горизонту, bx і by – приведені коефіцієнти в'язкості. Тут верхні і нижні знаки відповідають обертанню дебаланса по ходу руху гірничої маси і проти.
Фаза падіння частинки n знаходилася з рівняння
. (7)
Отримані також залежності для визначення переміщень гірничої маси при спрямованих коливаннях короба грохота.
Середня швидкість вібротранспортування
(8)
де kрж– коефіцієнт кратності режиму, jС – кількість зіткнень шару за період вібротранспортування, T – період коливань сита.
Ідентифікація виконувалася в такий спосіб. На стенді з вертикальними гармонійними коливаннями і горизонтальним ситом для шару гірничої маси висотою H1 експериментально визначалися фази відриву і падіння. З рівняння (7) чисельним методом знаходилися коефіцієнти еквівалентної в'язкості. За формулами (8) обчислювалися швидкості вібротранспортування. Змінювалася висота Н і повторювалася зазначена процедура. У результаті обробки даних після вимірів фаз відриву і падіння встановлено, що вони є корельованими випадковими величинами, які розподілені за нормальним законом. На рис. 3 показано вплив висоти шару на швидкість транспортування надрешетного продукту. Методом чисельних статистичних випробувань отримано розподіл для швидкості залежно від випадкових фаз O і n. На конкретному прикладі показано, що допущення про сталість фаз відриву і падіння, як це прийнято в традиційному підході, приводить до більш ніж 30 % похибки визначення витягання в надрешетний продукт.
У п'ятому розділі розглянуто вплив конкуренції частинок при просіванні, що найбільш істотно, коли в контактному шарі великий вміст "трудних" частинок. Далі "трудні" частинки називаються просто частинками. У наступному аналізі важливу роль відіграє ймовірність переходу n-2,n-1, що є ймовірністю просівання, а також імовірність Pn-2 перебування в контактному шарі. Їх відповідно позначимо Pnpc і Pk.
Перехід частинки з контактного шару під поверхню, що просіває, (просівання) – випадкова подія, що відбувається в результаті елементарних подій: A = {центр частинки попадає в область, обмежену осьовими лініями перемичок навколо отвору}; B = {контур частинки й отвору не мають загальних точок}. На підставі теореми про множення ймовірностей визначена ймовірність просівання Pnpc = P(A)P(B/A), де P(A) – ймовірність події A; P(B/A) – умовна ймовірність події B. У припущенні про пуассонів розподіл частинок у контактному шарі отримана формула для розрахунку ймовірності просівання з урахуванням конкуренції
де = Pk/Pnpг, Pnpг = d3Sknя/(6uM), Sk – площа основи контрольного об'єму, nя – кількість комірок на одиницю площі сита.
Процес грохочення істотно залежить від інтенсивності сегрегації. Подальший аналіз виконаний на основі такої характеристики марковського ланцюга, як потік імовірності Qв = Piij переходу зі стану i в j. Імовірності переходів униз позначені через p, а нагору – через q. З урахуванням цього потік імовірності переходів частинок з елементарного шару n–3 в контактний шар дорівнює Qс = Pn-3p. Він викликаний сегрегацією. Потік імовірності в зворотному напрямку Qn = Pkq має назву перемішуючого. Знайдено потік просівання Qnpc = PkPnpc. Співвідношення між Qnpc, Qc і Qn (при Qc
