НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МАШИНОБУДУВАННЯ

ім. А.М. ПІДГОРНОГО

МІСЮРА Євгенія Юріївна

УДК 539.3

ВЕЛИКІ ДЕФОРМАЦІЇ КУСКОВО-ОДНОРІДНИХ АНІЗОТРОПНИХ

ГІПЕРПРУЖНИХ ТІЛ ОБЕРТАННЯ

01.02.04 – Механіка деформівного твердого тіла

А В Т О Р Е Ф Е Р А Т

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Харків – 2006

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі теоретичної механіки в Харківському національному університеті ім. В.Н. Каразіна Міністерства освіти і науки України

Науковий керівник – доктор технічних наук, професор

Кантор Борис Якович,

Інститут проблем машинобудування

ім. А.М. Підгорного НАН України,

завідувач відділу міцності тонкостінних конструкцій

Офіційні опоненти – доктор технічних наук, професор

Морачковський Олег Костянтинович,

Національний технічний університет

“Харківський політехнічний інститут” МОН України

завідувач кафедри теоретичної механіки

доктор технічних наук, доцент

Сало Валентин Андрійович,

Військовий інститут внутрішніх військ МВС України

професор кафедри інженерної механіки

Провідна установа – Інститут технічної механіки НАН України і НКА України, відділ міцності, динаміки і технології виготовлення конструкцій, м. Дніпропетровськ

Захист відбудеться 18 травня 2006 р. о 14-00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д .180.01 в Інституті проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України за адресою: 61046, Харків – 46, вул. Дм. Пожарського, 2/10.

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Інституту проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України за адресою: 61046, Харків – 46, вул. Дм. Пожарського, 2/10.

Автореферат розісланий “ 15 ” квітня 2006 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради

доктор технічних наук О.О. Стрельнікова

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Інтерес до фізично і геометрично нелінійних задач механіки деформівного твердого тіла пов'язаний з їх великим теоретичним значенням для розвитку нелінійної механіки, а також з потребами сучасної техніки. На цей час у науковій літературі відома значна кількість публікацій, присвячених вивченню задач про визначення напружено-деформованого стануНДС) однорідних та кусково-однорідних ізотропних тіл обертання при малих деформаціях. Однак істотно менше робіт, в яких одночасно враховуються фізична і геометрична нелінійності (піддатливість тіла при великих деформаціях) і анізотропія матеріалу. Врахування двох видів нелінійності необхідно для дослідження поведінки гумовоподібних тіл.

Саме така постановка проблеми характерна, зокрема, для розрахунків НДС антисейсмічних опор, амортизаторів, шлангів та інших конструкцій, виконаних з піддатливих матеріалів, які з'єднані з жорсткими елементами. Становить інтерес розвиток методів розв'язання задач у контактній постановці, тому що в деяких випадках при роботі таких конструкцій виникає змінна зона контакту між піддатливими та жорсткими деталями.

Іншою широкою галуззю застосування зазначеної постановки проблеми є задачі біомеханіки – одного з порівняно нових та перспективних напрямів механіки деформівного твердого тіла. Так, багато досягнень є в галузі моделювання серцево-судинної системи людини та дослідження різних захворювань серця з точки зору механіки. Особливий інтерес становить аналіз НДС стінок серця, зокрема стінок його лівого шлуночка (ЛШ). Матеріал серця має нелінійні властивості, трансверсальну ізотропію (транстропію), велику піддатливість та кускову однорідність при різних захворюваннях.

Перераховані вище задачі є нелінійними, тому для їхнього розв'язання необхідно застосовувати чисельні методи.

Таким чином, розвиток методики розв'язання фізично і геометрично нелінійних задач для майже нестисливих кусково-однорідних анізотропних гіперпружних тіл обертання методом скінченних елементів (МСЕ) на основі варіаційного принципу можливих переміщень є актуальною проблемою.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана на кафедрі теоретичної механіки Харківського національного університету ім. В.Н. Каразіна в період з 2003 по 2005 р. у рамках досліджень за темою: “Математичні моделі процесів утворення та еволюції макроскопічних структур у суцільних середовищах” (номер держреєстрації 0103U004223).

Мета та основні задачі дослідження. Метою даної роботи є розробка методики чисельного розв'язання осесиметричних фізично і геометрично нелінійних задач для майже нестисливих кусково-однорідних транстропних гіперпружних тіл обертання та аналіз їх НДС.

Основні задачі дослідження:

· розвиток варіаційного принципу можливих переміщень у прирощеннях;

· побудова нового потенціалу для майже нестисливого транстропного гіперпружного матеріалу;

· розробка алгоритму та програми для персонального комп'ютера;

· побудова та аналіз НДС математичної моделі ЛШ серця при наявності жорстких включень, вивчення впливу їхнього розташування, розмірів та форми моделі на НДС та внутрішньопорожнинний об'єм (ВПО);

· врахування неоднорідної транстропії моделі та чисельне дослідження впливу ступеня анізотропії на НДС;

· аналіз НДС броньованого шланга, різних видів гумових опор та амортизаторів.

Об'єкт дослідження – НДС гумово-технічних конструкцій і моделі ЛШ.

Предмет дослідження – майже нестисливі кусково-однорідні ізотропні і транстропні гіперпружні тіла обертання (броньований шланг, гумові циліндричні опори та амортизатори з різною формою пружних блоків, радіальні переміщення яких обмежені жорсткою стінкою, і модель ЛШ серця).

Метод дослідження – кроковий алгоритм МСЕ для розв'язання нелінійних задач, що ґрунтується на принципі можливих переміщень у прирощеннях.

Наукова новизна отриманих результатів:

· розвинуто та удосконалено метод чисельного розв'язання МСЕ нелінійних задач для майже нестисливих кусково-однорідних транстропних гіперпружних тіл обертання на основі принципу можливих переміщень у прирощеннях;

· побудовано та науково обґрунтовано новий вид потенціалу для майже нестисливого транстропного гіперпружного матеріалу;

· уперше побудовано математичну модель ЛШ серця як майже нестисливого кусково-однорідного транстропного гіперпружного тіла обертання з урахуванням неоднорідної транстропії;

· отримано нові результати чисельних досліджень впливу ступеня анізотропії, аналізу НДС і ВПО моделі ЛШ за наявності жорстких включень у залежності від їхнього розташування і розмірів, а також геометричних і механічних параметрів моделі;

· вперше одержано результати розв'язання задач визначення НДС різних видів гумових опор та нових конструкцій амортизаторів у залежності від форми і величини зазору між пружними елементами та жорсткою стінкою у контактній постановці.

Практичне значення роботи. Розроблені та наведені в дисертації методика, алгоритм та програма дозволяють одержувати чисельне розв'язання осесиметричних фізично і геометрично нелінійних задач для майже нестисливих кусково-однорідних транстропних гіперпружних тіл обертання. Побудована математична модель ЛШ серця дозволяє чисельно досліджувати НДС, враховувати вплив на нього геометричних та механічних параметрів моделі. Розвинута в дисертації методика визначення НДС моделі ЛШ застосовується в навчальній роботі на механіко-математичному факультеті та факультеті фундаментальної медицини Харківського національного університету ім. В.Н. Каразіна, що підтверджується довідкою. Розроблена програма дозволяє вибирати раціональні параметри гумових опор і амортизаторів, використовуваних у різних галузях техніки. Отримано деклараційний патент на корисну модель “Амортизатор”.

Особистий внесок здобувача. Основні результати за темою дисертації отримано особисто автором. У працях, опублікованих у співавторстві, особистий внесок здобувача полягає у розвитку методики розв'язання фізично та геометрично нелінійних задач для майже нестисливих кусково-однорідних транстропних гіперпружних тіл обертання на основі варіаційного принципу можливих переміщень у прирощеннях та МСЕ [2, 4, 6], вивченні НДС гумових опор та амортизаторів [7, 9, 16], побудові математичної моделі ЛШ серця з урахуванням неоднорідної транстропії, проведенні чисельних досліджень впливу ступеня анізотропії та аналізі НДС моделі при наявності відносно жорстких включень у залежності від їх розташування, розмірів та форми моделі [1, 2, 4, 8, 11, 13].

Апробація результатів дисертації. Матеріали і результати дисертаційних досліджень доповідалися та обговорювалися на: семінарах кафедри теоретичної механіки Харківського національного університету ім. В.Н. Каразіна; 6-7 міжнародних симпозіумах українських інженерів-механіків (Львів, Україна, 2003 р., 2005 р.); 5-6 міжнародних конференціях “Сучасні проблеми науки та освіти” (Харків, Україна, 2004-2005 рр.); 12-13 міжнародних науково-практичних конференціях MicroCad'2004, 2005 (Харків, Україна, 2004-2005 рр.); міжнародному математичному симпозіумі “First Karazin Scientific Readings” (Харків, Україна, 2004 р.); конференціях молодих науковців і фахівців “Сучасні проблеми машинобудування” (Харків, Україна, 2003-2004 рр.); конференції молодих учених із сучасних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача (Львів, Україна, 2005 р.).

Публікації. Основні результати досліджень, наведених у дисертаційній роботі, опубліковано в 16 наукових працях [1-16] (з них 6 без співавторів), серед яких 8 – статей (7 з них опубліковано в наукових журналах з переліку фахових видань ВАК України); 1 – патент і 7 – тез доповідей конференцій.

Структура і обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, п'яти розділів, висновків, списку використаних джерел з 126 найменувань (на 12 стор.) і одного додатка (на 1 стор.). Повний обсяг роботи складає 150 сторінок, у тому числі 82 рисунки і 4 таблиці.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертації, визначено об'єкт і предмет дослідження, сформульовано мету і задачі роботи, визначено наукову новизну, практичне значення та апробацію отриманих результатів.

У першому розділі наведено огляд точних та чисельних розв'язків МСЕ лінійних і нелінійних задач для тіл обертання, дано огляд робіт з чисельного дослідження НДС шлангів, гумових опор і амортизаторів, вивчення НДС моделей здорового ЛШ і ЛШ при інфаркті міокарда (ІМ), описано потенціали для гіперпружного матеріалу стінок ЛШ.

Теоретичним і прикладним проблемам механіки деформівного твердого тіла, позв'язаним з вивченням НДС тіл обертання, присвячено велику кількість робіт вітчизняних і закордонних авторів. Найбільш складну проблему становить аналіз НДС анізотропних тіл обертання складної форми і неоднорідної структури у фізично і геометрично нелінійній постановці. Інтерес до цієї галузі досліджень викликаний не тільки внутрішніми стимулами розвитку науки, але і запитами практики.

Точні розв'язки лінійних задач для товстостінного циліндра і полої сфери наведено в роботах І.Н. Снеддона, Л.І. Сєдова, С.П. Тимошенка та ін., фізично і геометрично нелінійних задач – О.І. Лур'є і К.Ф. Черних.

Аналітичні методи практично неможливо застосовувати при некласичній формі тіла, неоднорідності його механічних властивостей, анізотропії і т.п. У таких випадках використовують чисельні методи, зокрема методи, які ґрунтуються на варіаційних принципах механіки. Найбільше поширення одержали МСЕ, метод Рітца і варіаційно-різницевий метод.

Великий внесок у чисельне розв'язання МСЕ нелінійних задач про НДС високоеластичних елементів конструкцій простої форми (циліндр, конус, кругла пластина) внесено Дж. Оденом, О.С. Сахаровим, В.В. Киричевським та ін.

Ефективні методи чисельного дослідження анізотропних оболонок неоднорідної структури і фізично нелінійних задач розвинуто, зокрема, у роботах О.О. Рассказова, В.Г. Піскунова, В.А. Сала, О.К. Морачковського та ін.

Однією з актуальних проблем, що вивчають поведінку високоеластичних тіл, є дослідження НДС стінок серця. У сучасній науковій літературі, а також у дисертації їй приділяється значна увага. Складність цих задач позв'язана із сильною нелінійністю механічних властивостей матеріалу, а також з тим, що не можна зневажити величиною переміщень у порівнянні з характерними розмірами об'єкта (геометричною нелінійністю).

У роботах T.R.S.J.G.T.S.Y.C.I.та ін. модель ЛШ прийнято у вигляді циліндра, тонко- або товстостінної сфери. Останнім часом найбільш часто використовують еліпсоїдальні моделі ЛШ (K.D.A.L. Yettram, J.M.L.A.T.P.та ін.). НДС здорового ЛШ і при патологіях (без урахування кускової неоднорідності) вивчено в роботах J.M.M.P.T.P.A.F.C.P.та ін.

Побудова математичної моделі ЛШ при ІМ (наявність кускової неоднорідності – жорстких включень) і вивчення закономірностей розподілу напружень у ній дано в роботах Б.Я. Кантора, М.І. Яблучанського, О.В. Мартиненка, В.Є. Шляховера, T.E. Lowe, I.R.F.C.A.D.K.А.L.A.та ін.

При розв'язанні задач біомеханіки серцево-судинної системи, зокрема серця, матеріал стінок якого має властивості майже нестисливості, транстропії та гіперпружності, застосовуються потенціали складної структури (K.D.J.M.A.T.P.та ін.). Однак при інфінітезимальних деформаціях фізичні закони, що випливають з цих потенціалів, не прямують до закону Гука анізотропного матеріалу.

У техніці набувають широкого застосування пружно-демпферні опори різних видів і форм. Особливу групу утворюють опори з нелінійно-пружними елементами. Нелінійність дозволяє поліпшити амплітудно-частотну характеристику системи, зменшити перевантаження і запобігти жорсткому удару при граничному для опори переміщенні.

Чисельному вивченню НДС різних форм опор і амортизаторів, що містять гумові елементи, порожніх циліндрів, зокрема двошарових (гума – метал), в осесиметричній постановці присвячено публікації О.С. Сахарова, В.В. Киричевського, П.П. Ворошка, О.Л. Квітки та ін.

Одним з найважливіших напрямків теорії пружності є розвиток теорії та методів розв'язання контактних задач, яким присвячено дослідження Л.О. Галіна, В.М. Александрова, В.Л. Рвачова, С.М. Айзіковича, Б.Я. Кантора, В.С. Гудрамовича, Г.І. Львова та ін. Представляє інтерес їх застосування до аналізу контактної взаємодії гіперпружних та жорстких тіл.

Таким чином, розвиток досліджень, які спрямовані на розв'язання фізично і геометрично нелінійних задач для майже нестисливих кусково-однорідних анізотропних гіперпружних тіл обертання, чисельне розв'язання задач визначення НДС амортизаторів і опор у контактній постановці і ЛШ серця при наявності локальних зон підвищеної жорсткості матеріалу, є актуальним.

У другому розділі викладено методику розв'язання осесиметричних (зі скрутом і без нього) фізично і геометрично нелінійних задач для майже нестисливих кусково-однорідних транстропних і ізотропних гіперпружних тіл обертання на основі варіаційного принципу можливих переміщень у прирощеннях, який реалізовано кроковим алгоритмом МСЕ. Запропоновано новий потенціал майже нестисливого ортотропного матеріалу.

Віднесемо тіло до циліндричної системи координат xi ( i = 1, 2, 3 відповідають r, ц, z). Тензор деформацій Коші-Гріна має вигляд

, i, k = r, ц, z, (1)

де ur, u, uz – компоненти вектора переміщень, матричний вид якого , .

Похідні від компонентів vi прирощення вектора переміщень по координатах є такими

, , , при i = j = 2, 3, .

Прирощення деформацій eik за крок по параметру навантаження буде

, , i, j, k = r, , z. (2)

де ui – повні переміщення, які накопичено на попередніх кроках.

Зобразимо (2) у матричному вигляді за допомогою операторної матриці

, (3)

Фізичний закон гіперпружного матеріалу визначається потенціалом W

, (4)

де (G і g – треті інваріанти тензора міри деформації Коші-Гріна Gik і метричного тензора середовища до деформації gik, відповідно), tik – тензор істинних напружень (тензор Коші), ik – тензор напружень Піоли-Киргоффа; у загальному випадку потенціал , гik = 2еik, i ? k.

Зв'язок компонентів прирощення напружень Піоли-Киргоффа sik і деформацій eik є

. (5)

Замінюючи індекси у векторах , , i  k і на 1, …, 6 і вводячи матрицю 6Ч6 дотичних модулів пружності з компонентами , запишемо (5) у матричному вигляді .

Наведемо потенціали гіперпружних матеріалів, які використано в дисертації. Потенціал Муні-Ривліна:

, (6)

де J1, J2, J3 – інваріанти тензора міри деформацій Коші-Гріна.

Потенціал Джона (напівлінійний матеріал):

, (7)

де – подовження, k = r, , z (по k немає підсумовування).

При розв'язанні задач біомеханіки ЛШ звичайно застосовують потенціали

Другі доданки в (8) і (9) є функціями штрафу, які пропорційні квадрату об'ємної деформації при інфінітезимальних деформаціях.

Фізичний закон гіперпружного матеріалу при ik 0, i, k = 1, 2, 3 повинний прямувати до закону Гука анізотропного матеріалу. Структура матриць, які одержано з потенціалів (8) і (9), не відповідає такій вимозі.

Введемо новий потенціал, який позбавлено зазначеного недоліку:

, (10)

,

де C – константа з розмірністю напруження; б, сс і c1 – c9 – безрозмірні.

Функція W0 відрізняється від Q введенням мішаних добутків лінійних деформацій з коефіцієнтами с4, с5, с6, що дозволяє точно описати транстропний або ортотропний матеріал. Множник C визначає жорсткість матеріалу, показник б керує ступенем нелінійності жорсткості, ріст сс збільшує ступінь нестисливості матеріалу. Нагадаємо, що тут деформації віднесено до правої матеріальної системи координат, осі якої є осями транстропії матеріалу.

Для побудови методу розв'язання виходимо з варіаційного принципу можливих переміщень. Відповідно до нього в стані рівноваги варіація повної енергії системи, що складається з потенційної енергії деформації U і роботи A зовнішніх сил, матиме вигляд

. (11)

Запишемо формули для варіації U і A на m- і m+1-м кроках

, ,

, ,

де V0 – об'єм тіла до деформації, Sm – поверхня деформованого тіла на m-му кроці, q – зовнішній тиск, який задано на поверхні Sm, un – переміщення по нормалі до поверхні Sm, q – прирощення тиску за крок, vn – прирощення переміщення по нормалі до поверхні Sm+1.

У стані рівноваги . Зберігаючи лише квадратичні щодо прирощення переміщень доданки, перетворимо (11) так:

, (12)

де .

Для застосування МСЕ зобразимо (12) у матричному вигляді

де – матриця 3Ч3 компонент тензора повних напружень; перший і другий інтеграли правої частини – вектори-стовпці, що відповідають навантаженню і коректуючій крок нев'язці.

Далі за допомогою МСЕ проводимо алгебраїзацію принципу можливих переміщень у прирощеннях.

Вектор переміщень довільної точки скінченного елемента (КЕ) буде

, ,

де – матриця функцій форми восьмивузлового КЕ; – вектор вузлових переміщень елемента. Тоді співвідношення для vi і будуть

, , (14)

де – прирощення вектора вузлових переміщень.

Підставляючи співвідношення (14) у рівняння (13), одержимо

. (15)

Підсумовуючи (15) по всіх КЕ і дорівнюючи до нуля множники при , приходимо до системи лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР)

, (16)

де – матриця жорсткості; і – вектори-стовпці прирощення навантажень і нев'язок рівнянь рівноваги.

Кінематичні граничні умови вводимо в (16) способом заміни діагональних компонентів , що відповідають дорівняним нулю компонентам вектора переміщень, значеннями істотно більшими, ніж інші компоненти матриці, а також анулюючи відповідні елементи вектора правої частини.

У третьому розділі описано алгоритм, структуру та особливості програми чисельного розв'язання, проведено оцінку вірогідності результатів, яку підтверджено збігом чисельних і точних розв'язків лінійних (задачі Ламе) і нелінійних задач (О.І. Лур'є, напівлінійний матеріал Джона (7)) деформування полих циліндра і сфери під внутрішнім тиском з відносною похибкою 10-4.

У четвертому розділі наведено дані про прийняту в сучасній науковій літературі методику розв'язання задач механіки деформування серця, побудовано математичну модель ЛШ у вигляді усіченого і замкненого кусково-однорідного складених товстостінних еліпсоїдів, проведено аналіз впливу на НДС моделі ЛШ чотирьох видів жорстких включень.

При побудові моделі ЛШ серця прийнято такі припущення:

1) ЛШ апроксимовано складеним товстостінним еліпсоїдом;

2) матеріал стінки задано гіперпружним майже нестисливим однорідним, або кусково-однорідним ізотропним, або транстропним;

3) у стінці розташовано два жорстких включення: перше моделює основу серця (куполоподібна структура, в якій розміщено його клапани), друге – зону одного з видів ІМ (ендокардіальний, інтрамуральний, епікардіальний, або трансмуральний), яку розташовано у вершині. Обидва включення моделюються ділянками стінки з підвищеною жорсткістю (модуль пружності включень у 5-8 разів більше, ніж в основної (здорової) частини (D.K.S.A.K.B.L.A.та ін.)).

Розв'язуємо осесиметричну квазістатичну фізично і геометрично нелінійну задачу деформування ЛШ під дією заданого внутрішнього тиску, що змінюється від нуля до кінцево-діастоличного. Вводимо кінематичні граничні умови: на осі обертання ur=0, u=0 (у зоні основи) і uz=0 на зовнішній поверхні основи.

В алгоритмі і програмі визначення НДС моделі ЛШ враховано неоднорідність анізотропії матеріалу стінки, тобто залежність кута м'язових волокон від нормальної координати до товщини стінки. Це позв'язано з тим, що матеріал ЛШ можна розглядати як однорідну сполучну тканину, армовану більш жорсткими спірально розташованими м'язовими волокнами. Тому матеріал стінки приймають транстропним з віссю ізотропії, дотичної в кожній точці до напрямку м'язового волокна. Кут спіралі змінюється по товщині стінки ЛШ серця по лінійному закону від –60о на внутрішній поверхні стінки до +60о на зовнішній.

Розрахунки показали, що модель ЛШ з умовно відсіченою основою і жорстким закріпленням зрізу, яку часто використовують в літературі, призводить до нереально великих напружень на зрізі. Для усунення цього недоліку далі застосовується розрахункова схема моделі ЛШ у вигляді замкненого кусково-однорідного складеного товстостінного еліпсоїда (базова модель, рис. , а).

Геометрію базової моделі ЛШ визначено такими параметрами: av і – мала і велика піввісі внутрішньої поверхні, – відношення цих півосей; he і ha – товщини еліпсоїда на екваторі (z ) і у вершині (див. рис.1, а); і – мала і велика піввісі верхньої половини, – велика піввісь нижньої половини зовнішньої поверхні. Таким чином, внутрішню поверхню моделі ЛШ утворено одним еліпсоїдом, а зовнішню – двома еліпсоїдами з різними великими піввісями.

У розрахунках прийнято: av ,257 см, сab ,25, he  см, ha ,5 см, кут охоплення основи  о, її відносна жорсткість – 8. Величину av обчислюємо з умови, що початковий об'єм порожнини ЛШ дорівнює 60 см3. До внутрішньої поверхні прикладено тиск q = ,6 кПа, що відповідає кінцево-діастоличному, який дорівнює 12 мм рт. ст. Ці дані є усередненими параметрами ЛШ людини.

Прийнято C = E1 ,94 кПа і E2 ,2E1 ,128 кПа, 1 2 ,45 (індексам 1 і 2 відповідають площина і вісь ізотропії), ВПО дорівнює 120 см3. Константи потенціалу (10) визначено за вказаними механічними параметрами;  (при такому значенні криві “деформація-напруження”, які одержано при розрахунку і вимірюваннях на зразках міокарда, найбільш близькі).

Розрахунки проведено із сіткою КЕ (див. рис. 1, а) nh Ч nf  Ч 32 (за товщиною і меридіаном), при цьому кількість вузлових невідомих дорівнює 2547. Чисельне інтегрування при обчисленні елементів матриці і правої частини СЛАР виконувалося за допомогою триточкових квадратурних формул Гаусса. Число кроків по навантаженню дорівнює 10. Збільшення густоти сітки, числа вузлів формули Гаусса і числа кроків практично не змінило результатів.

Найбільше значення i (14,82 кПа) має на внутрішній поверхні в зоні переходу стінки в основу (рис. 1, б), що значно менше величини, яку отримано за усіченою моделлю. Основний внесок у величину i зроблено окружним напруженням (14,56 кПа). Внаслідок спірального розташування м'язових волокон розширення моделі ЛШ під дією тиску супроводжується невеликим її закручуванням навколо осі обертання (рис. 1, в).

Проведено аналіз впливу основних геометричних параметрів моделі (ha ,25 см, ha ,75 см, cab 1,0 (сфера, av ,428 см) і cab ,5 (еліпсоїд, av 2,121 см)) на НДС і ВПО (див. таблицю 1).

Більшу відмінність від базової дає модель при cab ,0, у якої трохи менші напруження і деформації, а ВПО знижено від 120 до 117,9 см3. Ріст витягнутості моделі (cab ,5) призводить до збільшення ВПО до 122,0 см3. Збільшення ha від 1,25 до 1,75 см при cab ,25 помітно зменшує максимальні напруження і небагато знижує ВПО, не змінюючи характеру розподілу напружень і деформацій. Таким чином, зміна геометричних параметрів моделі ЛШ з незміненими механічними параметрами матеріалу стінки не призводить до суттєвих наслідків для ВПО.

Урахування транстропії помітно впливає на жорсткість стінки ЛШ, причому підвищення відношення E2/E1 від 1 до 1,2 (ступінь збільшення анізотропії) призводить до зниження ВПО на 6,8і зменшення i на 13,3в екваторі.

Для оцінки впливу величини жорсткості матеріалу стінки наведено результати розрахунку базової моделі ЛШ, модуль пружності стінки якої збільшено на 20(E1 ,37 кПа, E2 ,84 кПа). Отримано, що i,max ,32 кПа зменшилося в порівнянні з базовим 14,82 кПа на 10,2але ВПО – на 7,58 см3, що складає 12,6ударного об'єму (УО) у нормі (різниця між кінцевим і початковим ВПО, у нормі – 60 см3) і призводить до погіршення кровообігу.

Застосування в розрахунках потенціалів (8) або (9) при с6 призводить до збільшення базових ВПО і i на 5 і 10відповідно. Це можна розглядати як похибку, яку спричинено відхиленням породжуваного цими потенціалами інфінітезимального фізичного закону від закону Гука. Форма функції штрафу впливає на результати не більш ніж на 0,01

Далі проведено аналіз впливу на НДС і ВПО жорстких включень, що моделюють зони стінки ЛШ, які зарубцювалися в хронічній стадії ІМ, при їх різному розташуванні і розмірах (рис. 2). Чорним кольором відзначено включення, сірим – основна частина стінки.

Розглянуто модель з включенням першого виду (трансмуральне) (рис. , а), яке пронизує всю товщину стінки і розташовано у вершині ЛШ. Зберігаючи всі геометричні і механічні параметри базової моделі, замінимо зону стінки у вершини, котру обмежено кутом охоплення 45о, включенням, жорсткість якого збільшено в 5 разів у порівнянні з жорсткістю основної частини стінки. Включення, що моделює основу серця, залишено тим самим. Для того, щоб у місцях з'єднання включень і основної частини оболонки не виникало похибки, зв'язаної з скінченністю кроку сітки, застосовано лінійну зміну жорсткості і згущення сітки КЕ.

Розподіли i та інтенсивності деформацій i показано на рис. 3, а, б, відповідно. Як видно, i,max розташовано в місцях переходу від включень до основної частини стінки та біля екватора, у той час, як максимальна i (i,max) має місце тільки біля екватора. ВПО дорівнює 113,6 см3, так що УО складає 53,6 см3, що на 10,7менше норми (60 см3). З ростом кута охоплення включення падіння УО стає завеликим. Так, при куті охоплення 60о ступінь розширення ЛШ зменшується, ВПО дорівнює 108,0 см3, УО стає меншим нормального на 20i,max складає 14,66 кПа.

Розглянуто вплив на НДС моделі ЛШ жорстких включень, що займають половину товщини стінки і розташовані біля внутрішньої поверхні (другий вид, ендокардіальне, рис. 2, б), усередині товщини (третій вид, інтрамуральне, рис. , в) і біля зовнішньої поверхні (четвертий вид, епікардіальне, рис. 2, г).

У таблиці 2 дано ВПО і i,max для чотирьох видів включень.

Як видно з таблиці 2, найбільш важкі наслідки для УО виникають при другому виді включення. Зі зміщенням включення від внутрішньої до зовнішньої поверхні ВПО наближається до норми. При першому виді включення значення ВПО ненабагато менше, ніж при другому.

Розглянуто вплив геометричних параметрів базової моделі на НДС і ВПО при ha ,25ч1,75 см (cab ,25) і cab ,0ч1,5 (ha ,5 см). При першому виді включення більшу відмінність від базової дає модель при cab ,0, в якої трохи менше i, а ВПО знижено від 120 до 109,1 см3. Ріст витягнутості моделі (cab ,5) призводить до зменшення ВПО до 116,1 см3. Збільшення ha від 1,25 до 1,75 см при cab ,25 також призводить до зниження ВПО, не змінюючи характеру розподілу i. Зі зміщенням включення від внутрішньої до зовнішньої поверхні відбувається збільшення ВПО. Це пояснюється тим, що напруження в стінці мають великі значення біля внутрішньої поверхні і зменшуються при зміщенні до зовнішньої, що викликає зменшення впливу включення. Мінімальним є ВПО, який дорівнює 109,9 см3, у випадку другого виду включення при cab ,0. Падіння УО складає 16,8При першому виді включення і такому ж cab ВПО дорівнює 109,1 см3. Таким чином, основну роль у зменшенні УО відіграє частина включення, що примикає до внутрішньої поверхні ЛШ. Істотне падіння УО при першому виді включення спостерігається в практиці кардіології. При cab ,5 і третьому виді включення ВПО не зменшується в порівнянні з нормою. Таким чином, ця форма моделі і вид включення приводять до найменшого зниження ВПО.

Збільшення кута охоплення включення від 45 до 60о веде до подальшого падіння ВПО, причому якісний вплив геометрії ЛШ і виду включення не залежить від їхнього об'єму. До найбільш важких наслідків призводить випадок cab ,0 при другому виді включення – падіння УО складає 25,7 %.

Проведені дослідження дозволили визначити вплив геометричних і механічних параметрів ЛШ на якість кровообігу.

У п'ятому розділі досліджено НДС гумово-технічних конструкцій: двошарового шланга, циліндричних гумових опор і амортизаторів з різною формою пружних блоків і обмеженням радіальних переміщень.

Гумові елементи описано потенціалом Муні-Ривліна (6) з механічними параметрами Ег  МПа, г ,4995 для шланга; Ег  МПа, г ,475 – для опор і амортизаторів; Ем ,1105 МПа, м ,3 – для металевих деталей.

Розв'язано задачу про плоский деформований стан навантаженого внутрішнім тиском двошарового шланга у вигляді кусково-однорідного ізотропного товстостінного циліндра, зовнішній шар якого утворено металевим обплетенням, внутрішній – наповненою гумою. Внутрішній радіус циліндра дорівнює 1 см, товщина гумового шару – 0,5 см, металевого – 0,1 см. До внутрішньої поверхні прикладено тиск, який дорівнює 1 МПа.

Шланг без обплетення зазнає великих деформацій і не може витримати великого навантаження. При наявності металевого обплетення переміщення і деформації малі. Результати визначення НДС шланга з обплетенням, які наведено в дисертації і монографії В.В. Киричевського** Киричевский В.В. Метод конечных элементов в механике эластомеров. – Киев: Наук. думка, 2002. – 655 с. , практично збіглися.

Вивчено НДС і характеристики жорсткості навантажених осьовим тиском циліндричних гумових опор з постійним або змінним за висотою зазором d(z) між поверхнею гуми і жорсткою (циліндричною або конічною) стінкою. Така конструкція опори дає можливість змінювати ступінь нелінійності характеристики жорсткості (залежності осьового навантаження від переміщення).

Для розв'язання контактних задач у варіаційний принцип (12) введено додатковий доданок , де C0 – безрозмірна константа, E0 і R – характерні значення модуля пружності і радіуса гуми, vn – прирощення переміщення un(z) = ur(z) по нормалі до поверхні контакту Sc, функція дорівнює одиниці в області контакту і нулю поза нею.

Розрахунки проведено при таких геометричних параметрах: радіус циліндра R дорівнює 0,05 м, висота – 0,05 м, максимальний зазор – 0,005 м. Осьовий тиск q0 p/R2, p 2104 Н.

У випадку циліндричної стінки зона контакту виникає при навантаженні, яке дорівнює 40від q0. При подальшому рості навантаження вона розширюється. Розподіли i і i в циліндрі при q ,7q0 дано на рис. 4, а, б. Найбільш напружена зона виникає на периферії верхнього торця циліндра.

Рис. 5, а, б ілюструє можливість керування характеристикою жорсткості опори за допомогою задання форми і величини зазору ( – відносне осідання, – відносний тиск). Розрахунки виконано для чотирьох значень зазору (0,025R, 0,05R, 0,075R, 0,1R). Початкова частина кривих відповідає відсутності контакту. Зі збільшенням зони контакту відбувається швидкий ріст жорсткості опори, причому співвідношення довжин початкової і кінцевої ділянок характеристики жорсткості суттєво залежить від величини зазору. Аналізуючи рис. 5, а, можна помітити, що характеристики жорсткості за винятком невеликих перехідних ділянок можна умовно вважати кусково-лінійними. Особливо це помітно при менших значеннях зазорів. Цей недолік можна усунути, використовуючи конструкцію опори з конічною стінкою (рис. , б, , б). На рис. 5, б характер розподілу радіального переміщення і контактного тиску суттєво змінюється і, що найважливіше, жорсткість змінюється більш плавно.

Таким чином, змінюючи форму і величину зазору, можна одержати опору з необхідною характеристикою жорсткості.

Розглянуто НДС амортизатора спеціальної конструкції (рис. 6, а), в якій передбачено введення змінного за висотою зазору між гумовими блоками і корпусом. Метою запропонованої конструкції є надання амортизатору нелінійності характеристики жорсткості.

Амортизатор має два однакових пружних блоки 1, 2 (рис. 6, б) (тіла обертання: циліндр, бочка, складений конус або конус), торці яких привулканізовано до металевих пластин 5, 6, 10 і 11, розміщених у закритому кришкою 8 корпусі 7, в який входить шток 4, з'єднаний з поршнем 3. Між поверхнями пружних блоків 1, 2 і внутрішньою поверхнею корпуса 7 виконано радіальний зазор 9, який визначається формою блока. Амортизатор встановлюється в конструкцію технічного пристрою за допомогою отворів 12 у кінці штока і 13 – у вушці днища.

Для розрахунків прийнято такі геометричні параметри: висота гумового блока дорівнює 0,05 м, малий радіус – 0,05 м, великий R – 0,055 м, висота поршня – 0,01 м, висота штока – 0,05 м, радіус – 0,008 м. До плити прикладено тиск q p/R2, p = 104 Н.

Характер розподілу контактного тиску конічного та складеного конічного блоків істотно відрізняється, тому що зона контакту конічного блока несиметрична щодо його середини і більше, ніж у складеного конічного. Коефіцієнт підвищення жорсткості амортизатора з конічною формою блоків дорівнює 2,59, зі складеною конічною – 2,24 (рис. , а, б).

Розглянуто конструкцію пружного блока у вигляді котушки. Його особливістю є те, що гуму привулканізовано до металу по площах з найбільшим діаметром. Це запобігає випинанню гуми за радіальну границю металевих пластин і можливості її руйнування і дозволяє суттєво збільшити діапазон допустимих навантажень.

У додатку наведено довідку про використання результатів дисертаційної роботи у навчальному процесі ХНУ ім. В.Н. Каразіна при читанні лекцій на факультетах механіко-математичному та фундаментальної медицини.

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі розвинуто та удосконалено методику чисельного дослідження великих деформацій майже нестисливих кусково-однорідних ізотропних і транстропних гіперпружних тіл обертання на основі МСЕ, що реалізує варіаційний принцип можливих переміщень у прирощеннях, на прикладі розв'язання осесиметричних (зі скрутом і без нього) фізично і геометрично нелінійних задач деформування таких тіл.

1. Побудовано та науково обґрунтовано новий потенціал майже нестисливого транстропного гіперпружного матеріалу.

2. Вперше одержано результати розв'язання задач визначення НДС різних видів гумових опор та нових конструкцій амортизаторів у залежності від форми і величини зазору між пружними елементами та жорсткою стінкою у контактній постановці.

3. Уперше побудовано математичну модель ЛШ серця з урахуванням неоднорідності транстропії матеріалу стінки і отримано нові результати чисельних досліджень впливу ступеня анізотропії, аналізу НДС і ВПО моделі ЛШ за наявності жорстких включень у залежності від їхнього розташування і розмірів, а також геометричних і механічних параметрів моделі.

4. Проведено оцінку вірогідності результатів, яку підтверджено збігом чисельних і точних розв'язків лінійних і нелінійних задач деформування полих циліндра і сфери під дією внутрішнього тиску.

5. Результати роботи по визначенню НДС моделі ЛШ застосовуються в навчальній роботі на механіко-математичному факультеті та факультеті фундаментальної медицини ХНУ ім. В.Н. Каразіна.

6. Отримано деклараційний патент на корисну модель “Амортизатор”.

ОПУБЛІКОВАНІ ПРАЦІ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Кантор Б.Я., Мисюра Е.Ю. Напряженно-деформированное состояние модели левого желудочка сердца при инфаркте миокарда // Пробл. машиностроения. – 2002. – № 4. – Т. 5. – С. 92–101.

2. Кантор Б.Я., Мисюра Е.Ю. Метод конечных элементов в задачах биомеханики сердца // Медицина и …. – 2004. – № 1(10). – С. 23–31.

3. Мисюра Е.Ю. Численное решение геометрически нелинейной задачи для толстостенного цилиндра, выполненного из материала Джона // Вестник НТУ “ХПИ”: Динамика и прочность машин. – 2004. – №19. – С. 141–148.

4. Кантор Б.Я., Яблучанский Н.И., Мисюра Е.Ю. Исследование НДС толстостенной гиперупругой эллипсоидальной оболочки с относительно жесткими включениями (модель левого желудочка сердца) // Вестник НТУ “ХПИ”: Динамика и прочность машин. – 2004. – №31. – С. 106-117.

5. Мисюра Е.Ю. Нелинейное деформирование бронированного шланга // Вестник НТУ “ХПИ”: Динамика и прочность машин. – 2005. – № 47. – С. 107-112.

6. Кантор Б.Я., Мисюра Е.Ю. Потенциал почти несжимаемого трансверсально-изотропного гиперупругого материала // Вестник НТУ “ХПИ”: Динамика и прочность машин. – 2005. – № 20. – С. 111-120.

7. Кантор Б.Я., Мисюра Е.Ю. Об управлении нелинейной жесткостью цилиндрических резиновых опор // Пробл. машиностроения. – 2005. – № 2. – Т. 8. – С. 50-56.

8. Кантор Б.Я., Мисюра Е.Ю. Нелинейное моделирование напряженно-деформированного состояния левого желудочка сердца в хронической стадии инфаркта миокарда // Пробл. машиностроения. – 2005. – Т. 8, № 4. – С. 79–87.

9. Деклараційний патент 9984 Украина, МКИ3 7 F16F3/00. Амортизатор / Б.Я. Кантор, Г.И. Львов, Е.Ю. Мисюра (Украина); № u 2005 04269; Заявлено 04.05.2005; Опубл. 17.10.2005, Бюл. № 10. – 2005. – С. 4.

10. Місюра Є.Ю. Дослідження напружено-деформованого стану стінки лівого шлуночка серця при інфаркті міокарду // Тези доповідей 6-го міжнародного симпозіуму українських інженерів-механіків у Львові (МСУІМЛ – 6). – Львів, 2003. – С. 73.

11. Кантор Б.Я., Мисюра Е.Ю. Влияние размеров зон инфаркта на напряжения в стенке левого желудочка сердца и его насосную функцию // Тезисы докладов 5-й международной междисциплинарной научно-практической конференции “Современные проблемы науки и образования”. – Харьков, 2004. – C. .

12. Мисюра Е.Ю. Численное решение геометрически нелинейной задачи для толстостенного цилиндра, выполненного из материала Джона // Тезисы докладов XII-й международной научно-практической конференции “Информационные технологии: наука, техника, технология, образование, здоровье”. – Харьков, 2004. – С. 74.

13. Kantor B.Ya., Misura E.Yu. Numerical solution of nonlinear problem for the thick-wall hyper-elastic ellipsoidal shell with relatively hard inclusions (the model of a left ventricle heart) // Mathematical symposium “First Karazin Scientific Readings”. – Kharkiv, 2004. – Book of Abstract. – P. 46-47.

14. Мисюра Е.Ю. О влиянии соотношения осей на НДС толстостенной гиперупругой эллипсоидальной оболочки с относительно жесткими включениями // Тезисы докладов конференции молодых ученых и специалистов “Современные проблемы машиностроения”. – Харьков, 2004. – С. 8.

15. Місюра Є.Ю. Напружено-деформований стан броньованого шланга // Тези доповідей конференції молодих учених із сучасних проблем механіки і математики ім. академіка Я.С. Підстригача. – Львів, 2005. – С. 153-154.

16. Мисюра Е.Ю., Кантор Б.Я. Исследование нелинейной жесткости резиновых опор с ограниченным радиальным перемещением // Тезисы докладов 6-й международной междисциплинарной научно-практической конференции “Современные проблемы науки и образования”. – Харьков, 2005. – C. 29.

АНОТАЦІЯ

Місюра Є.Ю. Великі деформації кусково-однорідних анізотропних гіперпружних тіл обертання. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла. – Інститут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України, Харків, 2006.

У дисертації вивчено напружено-деформований стан однорідних і кусково-однорідних ізотропних і трансверсально-ізотропних гіперпружних тіл обертання при великих деформаціях. Розвинуто методику, розроблено алгоритм і програму чисельного розв'язання фізично і геометрично нелінійних задач в осесиметричній (зі скрутом і без нього) постановці на основі МСЕ, що реалізує варіаційний принцип можливих переміщень у прирощеннях. Побудовано та обґрунтовано новий вид потенціалу для майже нестисливого трансверсально-ізотропного гіперпружного матеріалу. Вірогідність результатів, які одержуються, підтверджено збігом чисельних і точних розв'язків лінійних та нелінійнох задач деформування товстостінного циліндра і полої сфери під дією внутрішнього тиску. Побудовано математичну модель лівого шлуночка серця як майже нестисливий кусково-однорідний трансверсально-ізотропний гіперпружний складений товстостінний еліпсоїд з урахуванням неоднорідної трансверсальної ізотропії матеріалу стінки. Проведено чисельне дослідження впливу ступеня анізотропії, аналіз НДС і внутрішньопорожнинного об'єму моделі за наявності жорстких включень у залежності від