Нацiональна академiя наук України
Фiзико-технiчний iнститут низьких температур
iм. Б.I.Вєркiна
Масальцев Леонiд Олександрович
УДК 514.77
ГЕОМЕТРIЯ БАГАТОВИМIРНИХ ПIДМНОГОВИДIВ
ОДНОРIДНИХ РIМАНОВИХ ПРОСТОРIВ
01.01.04 - геометрiя i топологiя
Автореферат
дисертацiї на здобуття наукового ступеня
доктора фiзико-математичних наук
Харкiв - 2006
Дисертацiєю є рукопис.
Робота виконана в Харкiвському нацiональному унiверситетi
iм.В.Н.Каразiна.
Офiцiйнi опоненти:
доктор фiзико-математичних наук, професор
БАНАХ Тарас Онуфрiйович,
Львiвський нацiональний унiверситет iм.I.Франка
(м.Львiв), професор кафедри геометрiї i топологiї;
доктор фiзико-математичних наук, професор
ДIСКАНТ Валентин Iванович,
Черкаський державний технологiчний унiверситет
(м.Черкаси), завiдувач кафедри вищої математики;
доктор фiзико-математичних наук, професор
ФОМЕНКО Валентин Трофимович,
Таганрізький державний педагогичний iнститут
(м.Таганріг), Росiйська Федерацiя,
завiдувач кафедри алгебри і геометрії.
Провiдна установа:
Iнститут математики НАН України (м.Київ),
вiддiл топологiї.
Захист вiдбудеться 27 грудня 2006 р. об 11 год. на засiданнi
спецiалiзованої вченої ради Д 64.175.01 у Фiзико-технiчному iнститутi
низьких температур iм. Б.I.Вєркiна НАН України за адресою:
61103, Харкiв, пр.Ленiна,47.
З дисертацiєю можно ознайомитись в бiблiотецi Фiзико-технiчного
iнституту низьких температур iм.Б.I.Вєркiна НАН України
(61103, Харкiв, пр.Ленiна, 47)
Автореферат розiсланий 11.11. 2006 р.
Вчений секретар
спецiалiзованої вченої ради Горькавий В.О.
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальнiсть теми. Однорiднi рiманові многовиди є
природнiм узагальненням просторiв сталої кривини. Вони
характеризуються властивістю локальної однорiдностi i
класифiкованi у вимiрах 3 i 4 (W.Thurston, P.Scott, S.Ishihara,
L.Berard-Bergery, R.O.Filipkewicz). Методи побудови однорідних
ріманових просторів та їхні геометричні властивості висвітлено в
огляді Ю.Г.Никонорова, Е.Д.Родiонова і В.В.Славського.
Проблеми iзометричного занурення певних рiманових
многовидiв в iншi є класичними i вирiшувались у роботах багатьох
вiдомих математикiв (D.Hilbert, А.Д.Александров, Н.В.Ефімов,
О.В.Погорелов, L.Nirenberg, E.Calabi, М.Л.Громов, В.А.Рохлін).
Розвинутою є теорiя iзометричних занурень одних просторiв сталої
кривини в iншi (E.Cartan, А.Е.Лібер, T.Otsuki, S.S.Chern, N.Kuiper,
Н.В.Ефімов, О.В.Погорелов, Е.Г.Позняк, Е.Р.Розендорн, І.Х.Сабітов,
Е.В.Шикін, J.D.Moore, О.А.Борисенко, Ю.А.Амiнов,
Ю.А.Ніколаєвський). Проблема iзометричного занурення
однорiдних рiманових просторiв у простори сталої кривини є досить
новою (H.J.Rivertz(1999), J.D. Moore, J.-M.Morvan(2001)). Разом з
тим дуже важливою й актуальною є проблема гаусова вiдображення
в однорiдних просторах (E.Ruh, J.Vilms, D.Hoffman, R.Osserman, Liu
Xiabo, M.Obata, R.Bryant, Ch.Epstein, Ю.А.Амiнов, О.А.Борисенко,
Ю.А.Ніколаєвський, В.Т.Фоменко, J.Weiner, В.О.Горькавий).
Важливою є задача пошуку в однорiдних рiманових просторах
пiдмноговидiв з певними властивостями, наприклад - мiнiмальних
лiнiйчатих пiдмноговидiв, поверхонь з плоскими лiнiями кривини,
тощо (H.Wente, W.Y.Hsiang, H.B.Lawson, М.doCarmo, M.Dajczer,
J.Barbosa, L.P.Jorge, M.Kokubu, В.Т.Фоменко).
В диференцiальнiй геометрiї сутєву увагу та цікавість викликать
перетворення Бiанкi i Беклунда поверхонь вiд'ємної сталої кривини
та їх багатовимiрнi узагальнення (Ю.А.Амiнов, K.Tenenblat,
C.L.Terng, A.Sym, В.О.Горькавий).
Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами.
Дисертацiйне дослідження проведене в Харківському
національному університеті ім. В.Н. Каразіна. Воно є складовою
частиною таких проектів: "Дослідження локальних і глобальних
властивостей ріманових многовидів і підмноговидів" (номер
держреєстрації 0198U005532);
"Геометрія підмноговидів. Геометричні і топологічні методи в
теорії динамічних систем та алгебрі" (номер держреєстрації
0103U007812);
" Зовнішня геометрія багатовимірних підмноговидів" (номер
держреєстрації 0103U004243);
Мета і задачі дослідження. Мета дисертаційної роботи
полягає в доведенні певних зовнішньогеометричних властивостей
підмноговидів однорідних ріманових просторів.
Об'єкт і предмет дослідження Об'ектом і предметом
дослідження є підмноговиди однорідних просторів і, відповідно,
аналоги понять, добре відомі для підмноговидів евклідових
просторів. До числа таких понять можна віднести, наприклад,
поняття "плоскої" лінії кривини, гаусова образа поверхні, лінійчатої
мінімальної поверхні тощо.
Для досягнення поставленої мети ми формулюємо наступні
задачі.
1. Дослідити ізометричні занурення однорідних ріманових
многовидів в евклідові простори та простори сталої кривини.
2. Описати поверхні Іоахимсталя (з однією сім'єю плоских ліній
кривини) в сфері S3і просторі Лобачевського H3.
3. Вивчити властивості гаусова відображення в групі Лі S3і
знайти для нього аналог теореми Ру-Вильмса про його
гармонійність.
4. Вивчити гармонійні властивості гаусових відображень в просторі Лобачевського H3.
5. Узагальнити теореми Дж.Вайнера про дотичну індікатрису
(тантрису) на випадок кривих в S3 і H3.
6. Узагальнити теорему Ш.Делоне про властивість профільних
кривих поверхонь обертання сталої середньої кривини на мінімальні
поверхні обертання в S3 і H3.
7. Знайти мінімальні лінійчаті поверхні в однорідних геометріях
S2xR, H2xR, Nil3, Sol3.
8. Дослідити на стабільність мінімальні лінійчаті поверхні в
однорідних тривимірних геометріях.
9. Описати мінімальні поверхні в евклідовому просторі R5 з
гаусовим образом сталої кривини.
10. Знайти взаємозв'язок між багатовимірним перетворенням
Беклунда (в сенсі К.Тененблат-С.Тернг) і багатовимірним
перетворенням Біанкі (в сенсі Ю.А.Амінова).
11. Знайти вигляд геометричного перетворення Беклунда в S3 і
H3 в глобальних координатах.
12. Вивчити властивості бідотичного перетворення Біанкі для
псевдосферичних підмноговидів Hn в евклідовому просторі R2n.
Методи дослідження: методи диференціальної і ріманової
геометрії, теорії диференціальних рівнянь, теорії гармонійних
відображень ріманових просторів.
Наукова новизна одержаних результатів. В дисертаційній
роботі знайдені і досліджені нові властивості однорідних ріманових
многовидів, які пов'язані з їх зовнішньою геометрією:
1. Доведена неможливість ізометричного занурення площини
Лобачевського H2 в евклідів простір Rn у вигляді гелікоідальної
поверхні, а також неможливість ізометричного занурення
багатовимірного простору Лобачевського Hn в евклідів простір Rn+m
у вигляді мінімального підмноговиду з плоскою нормальною
зв'язністю.
2. Доведена неможливість ізометричного занурення деяких
однорідних геометрій в евклідові простори у вигляді
гіперповерхонь. Досліджена задача ізометричного занурення
тривимірних геометрій SL2, Nil3, Sol3 в чотиривимірний простір
сталої кривини.
3. Одержано представлення поверхонь Іоахимсталя в
тривимірній сфері S3 і просторі Лобачевського H3 і узагальнення
теореми Г.Венте для поверхонь сталої середньої кривини з сім'єю
"плоских" ліній кривини.
4. Одержані аналоги теореми Ру-Вильмса для гармонійних
гаусових відображень в S3 і H3.
5. Доведено узагальнення теореми Дж.Вайнера про дотичну
індикатрису для замкненої сферичної кривої в S3 і H3.
6. Одержано узагальнення класичної теореми Ш.Делоне для
мінімальних поверхонь обертання в S3і H3.
7. Визначені мінімальні лінійчаті поверхні в тривимірних
геометріях S2xR, H2xR, Nil3, Sol3.
8. Знайдені всі мінімальні поверхні в R5, гаусів образ яких має
сталу внутрішню кривину.
9. Встановлений зв'язок між багатовимірним перетворенням
Беклунда(в сенсі Тененблат-Тернг) і багатовимірним
перетвореннням Біанкі (в сенсі Ю.А.Амінова).
10. Досдіджено бідотичне перетворення Біанкі
псевдосферичних підмноговидів Hn в евклідовому просторі R2n.
Практичне значення одержаних результатів. Робота має
теоретичний характер. Результати дисертації можуть бути
використані для подальших досліджень з геометрії підмноговидів
однорідних ріманових просторів. Матеріали, що містяться в
дисертації, можуть бути використані для читання спецкурсів з
диференціальної геометрії і геометрії підмноговидів і проведення
геометричних семінарів.
Особистий внесок здобувача. Всі результати, що наведені в
дисертації і виносяться на захист, одержані особисто здобувачем.
Апробація результатів дисертації. Матеріали дисертації
доповідались і обговорювались на Міжнародних конференціях з
геометрії і топології (Черкаси,1997,1999,2001,2003,2005 роки), на
робочому семінарі "Актуальні проблеми в геометрії підмноговидів"
в Міжнародному математичному центрі С.Банаха у Варшаві
(листопад 2001р.), на семінарі фізичного факультету Варшавського
університету (грудень 2003р., керівник проф.А.Сим), на семінарі
"Геометрія в цілому", присвяченому 85-річчю з дня народження
О.В.Погорелова (травень 2004р.,Харків), на науковій конференції
"Каразінські читання" (червень 2004р., Харків), на міжнародній
конференції-школі з геометрії і аналізу, присвяченій 75-річчю акад.
Ю.Г.Решетняка(2004р., м.Новосибірськ), на семінарі з геометрії на
кафедрі математичного аналізу МДУ ім.М.В.Ломоносова(Москва,
листопад 2004р., керівник проф.І.Х.Сабітов), на семінарі "Topology
and its Applications" у Львівському національному університеті
ім.І.Франка (березень 2006р., керівники проф.М.М.Зарічний і
проф.Т.О.Банах), на семінарі з геометрії Черкаського державного
технологічного університету (квітень 2006р., керівник
проф.В.І.Діскант), на семінарі відділу топології інституту
математики НАН України (квітень 2006р., керівник член-кор. НАН
України проф.В.В.Шарко). Також результати неодноразово
доповідались і обговорювались на Харківському місцевому семінарі
з геометрії, (керівники акад. О.В.Погорелов, член-кор. НАН України
О.А.Борисенко, проф. Ю.А.Амінов).
Публікації. Основні результати за темою дисертації
опубліковані в 31 науковій праці: в 21 статті, що опубліковані в
журналах, включених до переліку видань ВАК України, і в 10 тезах
доповідей наукових конференцій. З статей [6], [13], [17] в
дисертацію включені тільки результати, що належать автору. В
работі [6] це леми 2-6 і теорема, в роботі [13] - теореми 1,2,3, в
роботі [17] - теорема 1. В статті [20] автором написаний розділ 5.
Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається зі
вступу, чотирьох розділiв, висновків та списку використаних
джерел, що містить 143 назви. Обсяг дисертації - 309 сторінок
тексту.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
У вступі окреслено стан і обгрунтовано актуальність проблеми, визначено мету, методи, задачі, предмет та об'єкт дослідження, висвітлено наукову новизну, теоретичне значення одержанних результатів дослідження та публікації автора за темою дисертації.
У першому розділі досліджується проблема ізометричного занурення однорідних ріманових просторів в простори сталої кривини.
У підрозділі 1.1. узагальнюється результат Е.Р.Розендорна щодо неможливості ізометричного занурення поверхні з метрикою ds2 = du2+ B2(u)dv2 з обмеженою функцією Bu, у вигляді гелікоідальної поверхні в евклідів простір R4. Поверхня F2 називається гелікоідальною в евклідовому просторі Rm, якщо існує базис з одиничних взаємно-ортогональних нормалей ni (i=1,…m-2), в якому від параметру v не залежать всі коефіцієнти других квадратичних форм і всі коефіцієнти скруту. Доведено наступне твердження.
Теорема 1.1 На кожній регулярній класу C3 гелікоідальній поверхні в евклідoвому просторі Rm (m>3) метрика ds2 = du2+ B2(u)dv2 є такою, що функція Bu обмежена.
У підрозділі 1.2. розглянуті ізометричні занурення областей -вимірного простору Лобачевського Hn з плоскою нормальною зв'язністю в евклідів простір Rn+m.
Підмноговид евклідoва простору з нульовим тензором скрута
називається підмноговидом з плоскою нормальною зв'язністю.
Задача ізометричного занурення областей простору Лобачевського Hn в евклідів простір Rn+m з плоскою нормальною зв'язністю досліджувалась в роботах Ю.А.Амінова і J.D.Moore'a. В дисертації доведена наступна теорема.
Теорема 1.2. Область D простору Лобачевского Hn не можна ізометрично в класі C3 занурити в евклідів простір Rn+m (m> n-2) у вигляді мінімального підмноговиду з плоскою нормальною зв'язністю.
Підрозділ 1.3. присвячено задачі ізометричного занурення нілмноговидів у вигляді гіперповерхонь в евклідів простір. У роботі Х.Я.Ривертца(1999) було доведено, що тривимірна група Гейзенберга Nil3 з довільною лівоінваріантною метрикою не допускає регулярного занурення в евклідів простір R4. В дисертації цей результат поширюється на дійсну групу Гейзенберга довільного непарного виміру.
Теорема 1.3. Не існує C3-регулярного ізометричного занурення 2n+1-вимірної групи Гейзенберга Hn в евклідів простір R2n+2 у вигляді гіперповерхні.
Відомо, що існує три однозв'язних 4-вимірних нільпотентних групи Лі: R4,N il3xR, Nil4. Для них одержано наступний результат.
Teорема 1.4. Не існує C3-регулярного ізометричного занурення 4-вимірних груп Nil3 xR, Nil4 з довільними лівоінваріантнимі метриками в евклідів простір R5.
У вступі було зауважено, що існує 19 чотиривимірних однорідних геометрій: S4, R4, H4, P2C, H2C, S2xS2, S2xR2, S2 xH2, R2 xH2, H2 xH2, S3xR, H3xR, SL2xR, Nil3xR, Sol40, F4 , Nil4 , Sol4m,n (включно з Sol3 xR), Sol41. Однорідність ріманова многовиду означає, що для довільних двох точок x,y існує ізометрія f, що відображає довільний окіл U точки x на окіл f(U) точки y=f(x).
У підрозділі 1.4. розглянуто питання про ізометричне занурення H3xR ,SL2 xR, Sol3 xR в п'ятивимірний евклідів простір R5.
Теорема 1.5. Не існує ізометричного занурення класу C3 кожної з однорідних геометрій: a)SL2xR, b)H3 xR, c)Sol3 xR в п'ятивимірний евклідів простір R5.
Пiдрозділ 1.5. присвячено розв'язанню задачі ізометричного занурення однорідних геометрій Nil3, SL2 , Sol3 в чотиривимірний простір M4c сталої секційної кривини c. Тривимірна геометрія Nil3 або група Гейзенберга представляє собою дійсну групу Лі з законом множення: (x,y,z)(x’,y’,z’)=(x+x’,y+y’,z+z’+xy’) і з лівоінваріантною рімановою метрикою. Доведена
Теорема 1.6. Не існує ізометричного класу C3 занурення довільної області геометрії SL2 в простір сталої кривини M4c.
Тривимірна геометрія SL2 є універсальним накриттям групи SL2 з лівоінваріантною метрикою.
Теорема 1.7. Не існує ізометричного класу C3 занурення довільної області геометрії SL2 в простір сталої кривини c.
Тривимірна геометрія Sol3 представляє собою групу Лі з законом множення
(x,y,z)(x’,y’,z’)=(x+e-z x’, y+ez y’, z+z’)
і з лівоінваріантною метрикою. Дослідження задачі ізометричного занурення цього ріманова многовиду в простір M4c дає іншу у порівнянні з Nil3 і SL2 відповідь.
Теорема 1.8. 1) Не існує ізометричного класу C2 занурення довільної області геометрії Sol3 в простір сталої кривини M4c коли c відмінно від 1.
2) Існує ізометричне аналітичне занурення геометрії Sol3 в гіперболічний простір H4(-1), наприклад,
x0 = 21/2cosh(z+z0),
x1 = 21/2 ez+z0 cos21/2x,
x2 = 21/2 ez+z0 sin21/2x,
x3 = 21/2 e-z-z0 cos21/2y,
x4 = 21/2 e-z-z0 sin21/2y
де H4(-1)= ((x0,x1, x2,x3,x4)|-x20 + x21 + x22 +x23 + x24 = -1, x0 >0)
верхня пола гіперболоїда в псевдоевклідовому просторі R4,1 з метрикою
ds2= -dx02 + dx12 + dx22 + dx32 + dx42 і z0- довільна стала.
У другому розділі досліджуються поверхні сталої середньої кривини і гаусове відображення у тривимірних просторах S3 і H3.
Підрозділ 2.1. присвячено поверхням Іоахимсталя в стандартній тривимірній сфері S3. Визначимо поверхню Іоахимсталя в S3 як поверхню, кожна лінія кривини якої з однієї сім`ї належить деякій цілком геодезичній 2-сфері, причому всі ці цілком геодезичні сфери проходять через фіксовану геодезичну лінію в S3. Відомо класичне представлення поверхонь Іоахимсталя в евклідoвому просторі. В підрозділі 2.1. одержано аналогічне представлення поверхонь Іоахимсталя в .
Теорема 2.1 Поверхня в S3, яка задана рівняннями (1) з довільними функціями R=R(s), T=T(t), є поверхнею Іоахимсталя.
X(s,t)= cos(R+s)+2sins sinR (T2 e-2r +1)-1 ,
Y(s,t)= sin(R+s)+2cos sinR (T2 e-2r +1)-1 , (1)
Z(s,t)= 2sint Te-r sinR (T2 e-2r +1)-1 ,
W(s,t)= 2cost Te-r sinR (T2 e-2r +1)-1 , (r’=cotR)
Якщо мінімальна поверхня в R3 має одну сім'ю плоских ліній кривини, то і інша сім'я також складається з плоских ліній. В евклідoвому просторі такими поверхнями є катеноїд, мінімальна поверхня Енепера і однопараметрична сім'я поверхонь Боне. H.Wente довів, що в гіперболічному просторі подібною властивістю "планарності" однієї сім'ї ліній кривини наділені лише мінімальні поверхні обертання. В дисертації встановлено, що аналогічне твердження справедливе в S3, але для більш широкого класу поверхонь сталої середньої кривини.
Теорема 2.2. Єдиними поверхнями сталої середньої кривини в S3 без омбілічних точок, що мають одну сім'ю ліній кривини, розміщених на цілком геодезичних сферах, є поверхні обертання (сферичні поверхні Делоне).
У підрозділі 2.2. досліджуються поверхні Іоахимсталя в просторі H3 Лобачевського в моделі Пуанкаре у верхньому напівпросторі. Поверхні Іоахимсталя визначимо як поверхні, в яких кожна лінія кривини з однієї сім'ї належить деякій цілком геодезичній площині, причому всі дані площини проходять через фіксовану геодезичну лінію в H3. В роботі одержано наступне представлення поверхонь Іоахимсталя в .
Теорема 2.4. Поверхня в H3, яка задана рівняннями (2) з довільними функціями R=R(s)>0, T=T(t) є поверхнею Іоахимсталя
X(s,t)= s sinhR(s) cost cosh-1 f(s,t),
Y(s,t)= s sinhR(s) sint cosh-1 f(s,t), (2)
Z(s,t)= s coshR(s) –s sinh R(s)tanh f(s,t),
Справедливе також узагальнення результата H.Wente на поверхні сталої середньої кривини з однією сім'єю плоских ліній кривини.
Теорема 2.5. Поверхнями сталої середньої кривини в H3 без омбілічних точок, які мають одну сім'ю ліній кривини, розміщених на цілком геодезичних площинах, є поверхні обертання (гіперболічні поверхні Делоне).
Підрозділ 2.3. присвячено задачі знаходження поверхонь в сфері S3, що мають гармонійне гаусове відображення. Нехай (M,g) і (N,g’) ріманови многовиди, f: M N диференційовне відображення. Інтегралом енергії відображення називається величина
E(f)=1/2gijfaifbjg’ab(detg)1/2 dx1 …dxn ,
Де xi - локальні координати на M ,ya -локальні координати на N, і відображення f задано ya =fa(x1,…,xn ). Диференційовне відображення ріманових просторів називається гармонійним, якщо воно є критичною точкой інтеграла енергії. Теорема E.Ruh-J.Vilms'а стверджує, що грасманове відображення підмноговиду евклідoвого простору гармонійне тоді і тільки тоді, коли вектор середньої кривини H є паралельним в нормальній зв'язності. Зокрема, якщо підмноговид представляє собой гіперповерхню Mn евклідового простору, то його гаусове відображення гармонійне тоді і тільки тоді, коли середня кривина поверхні є сталою. В 1995 р. Liu Xiabo запропонував новий підхід до визначення гаусова відображення підмноговиду Mk в компактній групі Лі G, який полягає в наступному. Позначим через Gk(g) грасманів многовид, що складається зі всіх k-вимірних лінійних підпросторів алгебри Лі g даної групи G. Нехай Lx - лівий зсув на елемент x і dLx - диференціал лівого зсува. Диференціал переводить дотичні вектори з TyM в дотичні вектори простору TxyM і по лінійності цю дію можна продовжити на підпростіри в TyM. Liu Xiabo назвав гаусовим відображенням підмноговиду наcтупне відображення
G: M Gk(g), x (dLx-1)TxM,
де x належить Mk. Таким чином, при гаусовому відображенні дотичному простору TxM до підмноговида Mk відповідає k-вимірий підпростір в алгебрі Лі g, яка розглядається як дотичний простір TeG в одиниці e групи G.
Тому, вивчаючи регулярну поверхню M2 в S3, визначимо гаусове відображення g(n) наступним чином
g(n):M2 S2 , x(dLx-1)(n), (3)
де x належить M2, n - вектор нормалі до поверхні M2 в точці x.
Ми розглядаємо поверхню M2 з метрикою, індукованою її ізометричним зануренням в S3, а сферу S2 з стандартною метрикою, індукованою її зануренням в R3. Справедливе наступне твердження.
Теорема 2.7. Гаусове відображення g(n): S2 є гармонійним тоді і тільки тоді, коли поверхня M2 має сталу середню кривину в S3.
В цьому підрозділі також досліджені і інші властивості гаусова відображення g(n). Доведена
Теорема 2.8. a) Нехай поверхня M2 занурена в S3, а її перша і друга фундаментальні форми мають вигляд
ds2 = e2w(u,v)(du2+dv2), (4)
II= L(u,v)du2 +2M(u,v)dudv + N(u,v)dv2. (5)
Тоді метрична форма S2, що індукована гаусовим відображенням g(n), дорівнює
ds2g = (e-2w(L2 +M2)+e2w–2M)du2+2(e-2w M(L+N)+L-N)dudv +
(e-2w(N2+M2)+e2w+2M)dv2. (6)
b) Гаусове відображення g(n) S2 є конформним тоді і тільки тоді, коли поверхня M2 є цілком омбілічною в S3.
Наслідок 2.1. Поверхня M2 має вироджений гаусів образ тоді і тільки тоді, коли її внутрішня кривина Kint=0.
Відомо, що гаусів образ мінімальної поверхні в евклідoвому просторі R3 утворює всюди щільну множину на сфері. В дисертації встановлено, що для поверхонь сталої середньої кривини в S3 справедливі наступні твердження.
Наслідок 2.3. Гаусове відображення g(n):M2 S2 компактної регулярної поверхні сталої середньої кривини в S3 перетинається з кожним великим колом.
Теорема 2.9. Гаусів образ регулярної поверхні g(n(M2 ))сталої середньої кривини в S3 вироджений тоді і тільки тоді, коли M2 є поверхнею обертання, ізометричною до поверхні
X(u,v)= (a cosu, a sinu, b cosv, b sinv ),
де a2+b2 =1. При цьому g(M2 )представляє собою велике коло на S2.
У підрозділі 2.4. досліджені гармонійні властивості гаусових відображень в просторі Лобачевського H3.
Поняття гіперболічного гаусова відображення незалежно ввели Ch. Epstein i R.Bryant. Наведемо його конструкцію для поверхні в H3.
В кожній точці поверхні X(u,v) в H3, в напрямку нормалі n(u,v) випустимо геодезичну, яка має своїм граничним значенням точку g(u,v), що належить ідеальній межі dH3. Якщо середня кривина поверхні H відмінна від нуля, то обравши орієнтацію нормалі так, щоб H була додатньою, одержимо однозначно визначене відображення g:X(u,v) g(u,v), яке і носить назву гіперболічного гаусова відображення. R.Bryant для поверхонь сталої середньої кривини 1 в H3(-1)знайшов аналог представлення Вейєрштраса і з'ясувалось, що багато властивостей цих поверхонь подібні до властивостей мінімальних поверхонь в R3.
Вивчаючи поверхні в просторі Лобачевського, ми використовуємо його модель на гіперболоїді
H3(-1)= ((x0,x1, x2,x3)|-x20 + x21 + x22 +x23 = -1, x0 >0)
в псевдоевклідовому просторі R3,1 з метрикою ds2= -dx02 + dx12 + dx22 + dx32. В цій моделі в кожній точці поверхні X(u,v) є рухомий репер з чотирьох векторів X, Xu, Xv, n, де n - вектор одиничної нормалі до поверхні в H3.
Можна кожній точці поверхні X(u,v)поставити у відповідність наступний вектор g(n), що належить до одиничної сфери S2,
g(n)=(G1/G0, G2/G0, G3/G0)= ((X1+n1)/(X0+n0), (X2+n2)/(X0+n0), (X3+n3)/(X0+n0)), (7)
Теорема 2.10. Відображення g(n): (X(u,v),ds2)(S2 ,g0 ) що задано формулою (7), є гармонійним, якщо поверхня має сталу середню кривину 1 в H3.
Інший варіант гаусова відображення в Hn був визначений М.Обатою. Це відображення ставить у відповідність кожній точці поверхні Fl цілком геодезичну площину pl, яка торкається поверхні в даній точці. В підрозділі 2.4. розглядається грасманове відображення, яке кожній точці поверхні X(u,v) ставить у відповідність вектор n(u,v) простороподібної нормалі до X(u,v) в просторі Мінковського R3,1. Таке визначення грасманова відображення раніше використовувалось в роботах О.А. Борисенка. За умови, що на поверхні n(u,v) індукується невироджена ріманова метрика, ми доводимо, що грасманове відображення є гармонійним, якщо середня кривина поверхні X(u,v) в H3 є сталою.
Теорема 2.11. Відображення f: (X(u,v),ds2(n(X),dn2) з невиродженим грасмановим образом є гармонійним тоді і тільки тоді, коли X(u,v) має сталу середню кривину.
Підрозділ 2.5. присвячено задачам, пов'язанним з поняттям дотичної індикатриси (тантриси) регулярних кривих у просторах сталої кривини. В статях J.Weiner'а і B.Solomon'а досліджувалося наступне питання: коли занурена сферична крива в S2, яка гомеоморфна колу, є тантрисою іншої замкненої сферичної кривої ? J.Weiner довів, що занурена крива, яка гомеоморфна колу, в S2 утворює тантрису іншої сферичної кривої в евклідовому просторі тоді і тільки тоді, коли її повна геодезична кривина дорівнює нулю і вона не містить ніякої дуги з повною геодезичною кривиною . Спочатку опишемо результати, одержані в дисертації у випадку сфери S3.
Ми розглядаємо варіант дотичної індикатриси гладкої кривої r(t)=(x(t),y(t),z(t),w(t)), причому вважаємо, що параметр t є довжиною дуги. Нехай m - деяка фіксована точка S3. З'єднаємо точку m і r(t) геодезичною g в S3 і перенесемо вектор r’(t) паралельно вздовж g з точки r(t) в точку m. Результат Tr’ паралельного переносу вектора r’ належить одиничній сфері дотичного простору TmS3. Назвемо тантрисою (індикатрисою дотичної) кривої r(t) в сфері S3, яка параметризована довжиною дуги t, сферичну криву Tr’(t) (таке визначення тантриси належить J.Weiner'у).
Теорема 2.12. Тантриса Tr’ кривої r(t) в S3 має наступне рівняння :
Tr’ =Atr’(t) = (1+w)((x/1+w, y/1+w,z/1+w )’.
Останнє рівняння означає, що сферична тантриса кривої r(t) в T(0,0,0,1)S3 (яке можно ототожнити з підпростіром w=1), співпадає, (після паралельного переносу простору R4: (x,y,z,w) (x,y,z,w-1)), з евклідівою тантрисою кривої r1 (t)= (x/1+w, y/1+w, z/1+w) яка є стереографічною проекцією r(t) на підпростір w=0, з діаметрально протилежної точки (0,0,0,-1).
За формою тантриси Tr’ кривої r в S3 можно відновити саму криву.
Теорема 2.13. Нехай Tr’=(a(t),b(t),c(t)) тантриса кривої r=(x(t),y(t),z(t),w(t)) в S3. Тоді
x(t)= 2a1/(1+a12 +b12 +c12), y(t)= 2b1/(1+a12 +b12 +c12),
z(t)= 2c1/(1+a12 +b12 +c12), x(t)=(1-a12–b12-c12)/(1+a12 +b12 +c12),
де a1, b1, c1 – відповідно, інтеграли від функцій a,b,c.
Доведене наступне твердження, що є аналогом відповідної теореми J.Weiner'а в евклідoвому просторі.
Теорема 2.14. 1) Занурене коло в S2 утворює тантрису деякої сферичної кривої в S3 тоді і тільки тоді, коли вона має повну геодезичну кривину нуль і не містить в собі ніякої дуги з повною геодезичною кривиною . Якщо тантриса не має самоперетинів в , то вона обмежує область на сфері площею 2.
У підрозділі 2.6. досліджуються поверхні з нульовим нормальним скрутом в евклідoвому просторі R4. Нагадаємо визначення нормального скруту. Нехай t - деякий дотичний вектор до поверхні F2 в точці x. Через вектор t, двовимірну нормальну площину і точку x проведемо тривимірний простір E3(t), який переріже поверхню F2 по лінії r. Значення скруту лінії r в точці x називається нормальним скрутом поверхні F2 для напрямка t в точці x.
В роботах С.Б. Кадомцева і В.Т.Фоменка досліджувалась множина A двовимірних поверхонь чотиривимірного евклідoвого простору R4, нормальний скрут яких в довільній точці за будь-яким напрямком дорівнює нулю. С.Б. Кадомцев одержав умову приналежності поверхні множини A до деякої гіперплощини в R4. В.Т.Фоменко досліджував поверхні множини A в залежності від властивостей еліпсу нормальної кривини. Він довів низку теорем, в яких в залежності від розташування еліпса нормальної кривини з приналежності поверхні до множини випливає, що або поверхня є гіперплоскою, або гіперсферичною зі сталою середньою і нульовою внутрішньою кривинами. В доповнення до його результатів ми доводимо наступне твердження.
Теорема 2.18. Нехай в кожній точці поверхні F класу C2 в R4 напівосі a i b еліпсу нормальної кривини зв'язані співвідношенням a=cb(c=const). Тоді, якщо F належить A, то F є або гіперплоска поверхня, або гіперсферична з сталою середньою і нульовою внутрішнньою кривинами.
В теоремі 2.18. одержано також вирази коефіцієнтів скрута у випадку, коли точка поверхні не є коловою, тобто a відмінно від b. З цього випливає,що якщо еліпс нормальної кривини не є колом, то справедливе наступне твердження відносно інваріанту Уітні, який дорівнює сумі індексів особливостей довільного нормального векторного поля на поверхні в .
Наслідок 2.6. Нехай F -замкнена компактна поверхня класу C4 в R4, кожна точка якої не є коловою. Тоді якщо F належить A, то її інваріант Уітні дорівнює нулю.
Якщо еліпс нормальної кривини поверхні в кожній точці не є колом, то справедливий також наступний висновок.
Наслідок 2.7. Нехай F - компактна замкнена поверхня класу C4 в R4, кожна точка якої не є коловою. Тоді якщо F належить A і її гаусів скрут є невід'ємним (недодатнім), то F є або гіперплоскою поверхнею, або гіперсферичною зі сталою середньою і нульовою внутрішньою кривинами.
У третьому розділі вивчаються мінімальні поверхні в однорідних геометріях.
У підрозділі 3.1. викладений новий метод доведення класичної теореми Ch.Delaunay про профільні криві поверхонь обертання сталої середньої кривини в евклідoвому просторі. Ідея полягає в представленні процеса котіння плоскої фігури вздовж осі за допомогою кривої в групі ізометрій площини. Це дозволяє одержати разом з новим методом доведення певне доповнення до класичного результату Ch. Delaunay.
Теорема 3.1. Тільки фокуси конічних перерізів при їх котінні вздовж прямої описують профільні криві поверхонь обертання сталої середньої кривини (поверхонь Делоне) в R3.
У підрозділі 3.2. метод попереднього підрозділу застосовується при вивченні профільних кривих мінімальних поверхонь обертання в тривимірній сфері S3 і просторі Лобачевського H3. Розглянемо спочатку випадок H3 і визначемо криву в гіперболічній площині H2, яка є аналогом евклідової параболи. Нехай d -відстань в моделі Пуанкаре гiперболічної площини H2 з метрикою ds2= (du2+dv2
)/v2 , w=u+iv, v>0. Визначимо множину точок PH, які задовольняють умові d(w,eit)= d(w,l), де l - пряма лінія в H2, що задана рівнянням Rew=0. Таким чином, PH представляє собою множину точок, равновіддалених від прямої l і від фіксованої точки eit. Виходячи з відомої властивості параболи в евклідoвій площині, крива PH може розглядатися, як аналог параболи для гіперболічної площини H2. Природно назвати точку eit фокусом параболи PH, а пряму l –директрисою.
Лема 3.2. Рівняння параболи PH з фокусом eit і з директрисою Rew=0 має вигляд: 2sinht|w|=|w|2+1 –2ucosht.
Далі за допомогою лем 3.2. - 3.7. доводиться наступне твердження, що є аналогом класичної властивості генератриси катеноїда в евклідoвому просторі.
Теорема 3.2. Генератриса катеноїда обертання гіперболічного простору H3 представляє собою траєкторію фокуса параболи PH, яка одержується при котінні її вздовж осі в площині H2.
У випадку сферичного простору S3 розглядаються профільні криві мінімальних поверхонь обертання.
Теорема 3.3. Генератриса катеноїда обертання сферичного простору S3 представляє собою траєкторію фокуса параболи PS, яка одержується при котінні її вздовж геодезичної в сфері S2.
У підрозділі 3.3 знайдено всі повні мінімальні лінійчаті поверхні в тривимірних геометріях S2 xR i H2 xR.
Нагадаємо, що підмноговид M ріманова простору N називається лінійчатим, якщо існує його шарування ковиміру одиниця на цілком геодезичні підмноговиди простору N.
Класична теорема Catalan'а стверджує, що єдиною повною мінімальною лінійчатою поверхнею в евклідoвому просторі R3, що не є площиною, є гелікоїд.
H.B.Lawson довів, що кожна геодезично-лінійчата мінімальна поверхня в тривимірной сфері представляє собою відкриту область на сферичному гелікоїді
F(x,y)=(coskx cosy, sinkx cosy, cosx siny, sinx siny ).
M.doCarmo і M.Dajczer знайшли рівняння гелікоїда простору Лобачевського H3.
При дослідженні лінійчатих поверхонь в S2 xR ми розглядаємо цей многовид як гіперповерхню евклідова простору R4 з координатами (x1 ,x2 ,x3 ,x4 ) i рівнянням (x1)2+(x2 )2 +(x3 )2 =1.
Теорема 3.4. Повними лінійчатими мінімальними поверхнями в S2 xR є: 1) цілком геодезичні поверхні вигляду S2x x40 i gxR, де g – геодезична S2 , 2) гелікоїд, що допускає наступну параметризацію ( з точністю до ізометрії):
X1(s,t)= coss cost, X2(t,s)= sint sins, X3(s,t)= sins, X4(s,t)=bt,
де b - стала.
В цьому підрозділі знайдено також всі повні мінімальні лінійчаті поверхні в H2 xR. Розглянемо многовид H2 xR як гіперповерхню в просторі Мінковського R3,1 з метрикою <x,y>=-x0y0+x1y1+x2y2+x3y3, що задана рівнянням: -(x0)2+(x1)2+(x2)2 =-1.
Теорема 3.5. Повними лінійчатими мінімальними поверхнями в H2 xR є: 1) цілком геодезичні поверхні вигляду H2 x(x30)і gxR, де g - геодезична H2, 2) два типа поверхонь, параметризованих наступним чином:
1) X0 =chs cht, X1 =chs sht, X2 =shs, X3 =bt,
2) X0 =chs, X1 = shs cost, X2 = shs sint, X3 =bt.
де b- стала.
У підрозділі 3.4. розглянуто мінімальні лінійчаті поверхні в групі Гейзенберга. Тривимірна група Гейзенберга або геометрія Nil3 представляє собою тривимірну дійсну групу Лі з множенням
Lax = (a1,a2,a3)(x,y,z) = (x+a1,y+a2,z+a3+a1y)
та з лівоінваріантною метрикою ds2= dx2 +dy2 +(dz-xdy)2. Секційна кривина в кожній точці групи Гейзенберга знаходится у межах –3/4< R(X,Y) < 1/4 і тому представляє собою тривимірну однозв`язну ріманову групу Лі зі знакозмінною секційною кривиною. Поперше ми вивчаємо поведінку геодезичних Nil3. Знайдено всі геодезичні лінії, що виходять з довільної точки цієї однорідної геометрії. Виявляється, що їх природньо класифікувати як "горизонтальні", "вертикальні" та "гвинтівні". Наступна теорема описує всі лінійчаті мінімальні поверхні, що розшаровані на "горизонтальні" геодезичні.
Теорема 3.6. Лінійчата мінімальна поверхня в Nil3, що розшарована на "горизонтальні" геодезичні, допускає параметризацію в одному з двох наступних виглядів
R(s,t)=(s cost-a0Ctgt+ b0, s sint, s2 /4sin2t+s(-a0 ctgt+b0 )ssint+
a20 /2ctgt+c0 t+d0),
де a0, b0, c0, d0 - довільні дійсні сталі, або
r(s,t)= (c3(t)s, c6(t), a0 c6(t)+b0 ),
де c3, c6 -довільні диференційовні функції від змінної t.
Знайдено також всі мінімальні лінійчаті поверхні, що є шаруванням з "вертикальних" геодезичних .
Теорема 3.7. Лінійчата мінімальна поверхня, що розшарована на "вертикальні" геодезичні, має параметризацію
R(s,t)= (s, as+b, t)
де a,b - довільні дійсні сталі.
В цьому підрозділі досліджено також стабільність деякіх повних лінійчатих мінімальних поверхонь в Nil3.
Нагадаємо деякі відомості, що відносяться до проблеми стабільності мінімальної поверхні M в тривимірному ріманову просторі N3. Нехай s,t - координати на поверхні M, r(s,t)- радіус-вектор поверхні, n(s,t)- вектор нормалі до M в даній точці і w(s,t) кусково-диференційовна функція з компактним носієм, що задана на поверхні. Тоді для другої варіації площи поверхні , що визначається радіусом-вектором r(s,t)+w(s,t)n(s,t) справедлива формула
D2S = (|dw|2 –(Ric(n,n)+||h||2)w2)ds
де Ric(n,n)- кривина Річі простору N3 в напрямі одиничної нормалі n, ||h||2 - квадрат довжини другої квадратичної форми поверхні, ds - елемент площи поверхні M. Мінімальна поверхня M називається стабільною, якщо D2S для довільних функцій-варіацій w з компактним носієм на M. В дисертації доведена
Теорема 3.9. Наступні повні мінімальні поверхні в Nil3 є стабільними для довільних дійсних сталих a,b,c:
* ,,вертикальна площина'' r(s,t)=(0,s,t),
* "вертикальна площина" r(s,t)=(s,as+b,t),
* експоненціальний образ вертикальної площини nil
r(s,t)=(s,as+b,t+1/2s(as+b),
* довільна "похила площина, паралельна осі Ох"
r(s,t)=(s,t,at+b)
* експоненціальний образ "похилої площини" nil r(s,t)=(s,t, as+
bt+c+1/2st.
При доведенні використано критерій стабільністі, який був доведений в роботі D.Fischer-Colbrie i R.Schoen'a: поверхня є стабільною тоді і тільки тоді, коли існує додатня функція g на M, що задовольняє рівнянню Lg=0 всюди на M.
У підрозділі 3.5. вивчаються мінімальні поверхні в стандартній тривимірній геометрії Sol3. Тривимірна геометрія Sol3 може бути представлена, як матрична група, що гомеоморфна R3, з лівоінваріантною метрикою ds2=e2z dx2 +e-2zdy2 +dz2. Ми знаходимо приклади мінімальних лінійчатих поверхонь в Sol, а також мінімальних поверхонь, інваріантних відносно деякої однопараметричної групи ізометрій Sol3. Техніка знаходження мінімальних лінійчатих поверхонь схожа з тою, що була використана в попередньому підрозділі, але на відміну від Nil3, в геометрії Sol3 є сім'я цілком геодезичних поверхонь.
Серед геодезичних, що виходять з довільної точки Sol3 є "вертикальна" (x=x0 , y = y0 ) i "горизонтальні" (x=2-1/2e-z0t+x0, y= 2-1/2ez0t+y0 , z=z0) з них можно утворити шарування, що і будуть лінійчатими мінімальними поверхнями.
Наслідок 3.2. Мінімальними лінійчатими поверхнями в Sol3, що є шаруваннями з "вертикальних" геодезичних, є поверхні r(s,t)=(s,as+b,t)або r(s,t)=(as+b,s,t), де a,b - довільні сталі.
Наслідок 3.3. Цілком геодезичними поверхнями в Sol3, що є шаруваннями з "вертикальних" геодезичних є поверхні вигляду r(s,t)=(s,b,t)i r(s,t)=(a,s,t).
Теорема 3.10 Довільна мінімальна поверхня, що є шаруванням з "вертикальних" геодезичних, є стабільною.
Знайдено також повні мінімальні поверхні, що є шаруваннями з "горизонтальних" геодезичних.
Теорема 3.11. Довільна повна мінімальна лінійчата поверхня, що є шаруванням з "горизонтальних" геодезичних представляє собою або аналог "площини " z=z0, або аналог "гелікоїда" з параметризацією (8) (а також поверхні, які одержуються з них діедральними ізометріями в Sol3)
x(s,t)= 2-1/2 e-st+a0 , y(s,t)=2-1/2 es t+b0 ,z(s,t)=s, (8)
Відомо, що коли метрика на групі Лі біінваріантна, то кожна однопараметрична підгрупа є геодезичною відносно відповідної зв'язностi Левi-Чiвiта. У випадку Sol3 лівоінваріантна метрика не є біінваріантною, і тому не кожна однопараметрична підгрупа є геодезичною. Алгебра Лі sol3 має базисними векторами e1, e2, e3 з дужками :[e1,e2]=0, [e1,e3]=e1, [e2,e3]= -e2.
Справедливе наступне твердження.
Теорема 3.12. Мінімальні поверхні в Sol3, інваріантні відносно дії однопараметричної підгрупи exp(ae1+be2) допускають параметризацію
R(s,t)=(at+s,bt,z(s))
де функція z(s) знаходится з рівнянням (a2 e2z+b2 e-2z )1/2 dz =cs.
У підрозділі 3.6. знайдено всі мінімальні поверхні в евклідoвому просторі R5, гаусів образ яких має сталу кривину.
Нехай X - ріманова поверхня, z=x+iy - її локальний параметр і відображення
F=(f1 ,…,fn ):X Rn представляє собою мінімальну поверхню в n-вимірному евклiдoвому просторі. Розглянемо Cn - значну функцію g=Fz. Тоді конформність відображення F равносильна умові g2=0, а те що відображення F задає мінімальну поверхню, рівносильно умові gz=0. В комплексному проективному просторі CPn-1 позначимо через Qn-2 квадрику, що визначається рівнянням
z12 +…+zn 2 =0
Голоморфні функції g:X Qn-2 задають гаусове відображення двовимірної мінімальної поверхні в евклідoвому просторі Rn в комплексну квадрику Qn-2, яка ізометрична дійсному грасманіану G(2,n) орієнтованих двовимірних площин в Rn. D.Hoffman і R.Osserman довели, що коли мінімальна поверхня лежить в R4, то внутрішня кривина k0 її гаусова образа може бути сталою тільки для двох значень k0 = 1 або k0 =2. Якщо k0 =1, то S лежить повністю в R3, якщо k0 =2, то S є комплексною кривою в C2. Ми знаходимо всі мінімальні поверхні в R5, гаусів образ яких має сталу внутрішню кривину.
Теорема 3.16. Нехай S - мінімальна поверхня в R5, гаусов образ якої має сталу кривину k0. Тоді k0 може приймати значення 1,2,1/2, причому
1) якщо k0 =1, то S лежить повністю в деякому R3,
2) якщо k0 =2, то S є комплексною кривою в деякому C2,
3) якщо k0 =1/2, то S лежить в R5 і є поверхнею вигляду
F = ReUzdz,
де zt=(1,2z,61/2z2,z3,z4),
а U- довільна cпеціальна унітарна матриця 5-го порядку.
У четвертому розділі досліджено перетворення Біанкі - Беклунда в просторах сталої кривини.
Підрозділ 4.1. присвячено висвітленню зв'язку між багатовимірним перетворенням Біанкі, що було знайдено Ю.А.Аміновим, і теорією лінійних псевдосферичних конгруенцій, започаткованою K.Tenenblat i C.L.Terng.
Класичне перетворення Біанкі переводе поверхню F сталої від'ємної гаусової кривини -1 в поверхню F’ в тривимірному евклідoвому просторі R3. Кожній точці p в F відповідає точка p’ в F’так, що виконані наступні умови :
1) відстань в R3 між p і p’ дорівнює одиниці: |pp’|=1;
2) кут між дотичними площинами в точках p i p’ дорівнює 900;
3) відрізок pp’ належить прямій перетину площин дотичних площин.
Л.Біанкі довів, що при ціх умовах поверхня F’ також має сталу від'ємну внутрішню кривину -1. Ю.А.Амінов встановив аналогічну властивість для області n-вимірного простору Лобачевського сталої від'ємної секційної кривини -1, що занурена в 2n-1-вимірний евклідів простір R2n-1. Відповідне перетворення визначається наступним чином. Нехай x=x(u1 ,…, un)- радіус-вектор області підмноговиду Hn сталої секційної кривини -1, (ui )- напівгеодезичні координати, в яких лінійний елемент має вигляд ds2 = e2un(du12+…+dun-12 )+dun2. Тоді багатовимірне перетворення Біанки підмноговиду
