НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНЕ КОСМІЧНЕ АГЕНТСТВО УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ КОСМІЧНИХ ДОСЛІДЖЕНЬ

Максимюк Любов Володимирівна

УДК 517.977

ПРЯМІ ТА ОБЕРНЕНІ ЗАДАЧІ ПРИ КЕРУВАННІ
ДЕФОРМОВАНИМ СТАНОМ АДАПТИВНИХ ДЗЕРКАЛ ТЕЛЕСКОПІВ
В УМОВАХ НЕВИЗНАЧЕНОСТІ

01.05.04 – Системний аналіз та теорія оптимальних рішень

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Київ – 2006

Дисертацією є рукопис.

Роботу виконано в Інституті космічних досліджень НАН України та НКА України.

Науковий керівник: | доктор фізико-математичних наук,

старший науковий співробітник,

Личак Михайло Михайлович,

Інститут космічних досліджень НАН України та НКА України

завідувач відділу “Системного аналізу та керування”

Офіційні опоненти: | доктор технічних наук,

професор,

Коваленко Ігор Іванович,

Національний університет кораблебудування ім. адмірала Макарова,

завідувач кафедри програмного забезпечення автоматизованих систем

доктор фізико-математичних наук,

професор,

Ладіков-Роєв Юрій Павлович,

Інститут космічних досліджень НАН України та НКА України,

провідний науковий співробітник

Провідна установа: | Інститут кібернетики ім. В.М.Глушкова,

відділ математичних методів і програмних засобів прикладної інформатики,

НАН України,

м. Київ

Захист відбудеться “ 13 ” липня 2006 р. о 15-00 годині

на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.205.01 при Інституті космічних досліджень НАН України та НКА України, 03187, м. Київ, пр. Глушкова, 40

З дисертацією можна ознайомитися в архіві Інституту космічних досліджень НАН України та НКА України.

Автореферат розісланий “ 12 ” червня 2006 р.

Вчений секретар спеціалізованої

вченої ради Д 26.205.01, д.т.н. Куссуль Н.М.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Проблема керування деформованим станом (ДС) адаптивних дзеркал телескопів (АДТ) виникає при спотворенні робочої поверхні дзеркала під дією чинників різної природи. Вона полягає у знаходженні розподілу і величини корегуючих зовнішніх сил з метою відновлення початкової ідеальної поверхні дзеркала шляхом належного його деформування. При спотворенні АДТ виникають малі тангенціальні переміщення, які експериментально важко визначити оскільки оптичні вимірювання є нечутливими до них, на відміну від нормальних угинів. Такі невизначені тангенціальні спотвореннями, як правило, нехтуються в геометричних рівняннях і рівняннях рівноваги без належних на те підстав. Це веде до необхідності побудови математичної моделі та алгоритму керування ДС АДТ в умовах невизначеності тангенціальних переміщень.

На даний час для математичного моделювання АДТ використовуються, в основному, лінійні теорії, або, навіть такі, що спрощують геометрію і кінематику дзеркала. Нелінійні моделі дзеркал розглядаються значно рідше. Очевидно, для забезпечення належної високої точності формовідтворення актуальним є вибір адекватної математичної моделі АДТ, врахування нелінійності, кінематики, невизначеностей, вибір крайових умов адекватних до реальних умов закріплення АДТ, що є основою прийняття оптимальних рішень для побудови алгоритму керування ДС АДТ. Особливо це актуально стосовно космічних телескопів, оскільки на орбіті важко виправити упущення, методичні помилки та конструктивні дефекти, що виникли в земних умовах.

Проблема керування ДС монолітних АДТ стала особливо актуальною в Україні, коли колектив КрАО на чолі з М.В.Стешенком прийняв участь в міжнародному проекті “Спектр-УФ” за участю України, Росії, Італії і Німеччини, зокрема, у виготовленні космічного телескопа з головним дзеркалом діаметром 170 см для прийому випромінювання в ультрафіолетовому діапазоні. До співробітництва з КрАО для вирішення цієї проблеми долучилась група співробітників ІКД НАНУ-НКАУ на чолі з В.М.Кунцевичем, М.М.Личаком та Ю.П.Ладіковим-Роєвим. В Росії над нею працювали - О.О.Боярчук, В.І.Прокоп’єв, Б.М.Шустов та ін. Оптимальному керуванню ДС середовищ присвячені монографія і праці І.В.Сергієнка та В.С.Дейнеки, аналізу складних фізичних систем присвячені праці І.І.Коваленка.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження, результати яких наведені в дисертації, виконані у відділі системного аналізу і керування Інституту космічних досліджень НАН України та НКА України за такими темами:

1) Науково-технічний проект Міністерства освіти і науки України реєстр. № 06.01/04802 “Розробити інформаційно-керуючу систему для автоматизації процесу корекції форми елементів великогабаритної високоточної оптики” (№ 0197U016282).

Роль автора - розрахунки деформованого стану АДТ.

2) Науково-технічний проект “Розробка методів розрахунку оптимального розміщення опорних стержнів для розгрузки і корегування профілю головного дзеркала космічного телескопу з метою підвищення якості зображення. 2 етап: “Аналіз і співставлення теоретичних та експериментальних результатів” (№ 0101U004707), що входить до Загальнодержавної (Національної) космічної програми України (тема “Спектр-УФ”).

Роль автора - виконавець розділу, присвяченого впливу різних крайових умов на деформування АДТ.

3) Частина цієї роботи виконана за підтримки гранта (постанова Президії НАН України від 9 липня 2003 р. № 203) “Управління формою тонкого дзеркала космічного телескопа в умовах невизначеності тангенціальних переміщень” (№ 0103U006627).

Роль автора - одноосібний керівник і виконавець теми.

Мета і задачі дослідження. Метою даної праці є підвищення якості керування ДС АДТ для покращення оптико-механічних характеристик адаптивних дзеркал на основі розвитку методів аналізу та їх застосування для прийняття оптимальних рішень при керуванні формою монолітних дзеркал космічних телескопів.

Для досягнення поставленої мети в роботі розв’язуються такі задачі:

- встановлення особливостей конструкцій АДТ, які визначають можливості виявлення спотворень поверхні дзеркала та способи його формовідтворення;

- побудова математичної моделі ДС АДТ, адекватної як для товстих так і для тонких АДТ;

- розроблення методики, алгоритму та комп’ютерної програми для чисельного розв'язання прямих задач по спотворенню АДТ під дією заданих сил;

- дослідження ДС АДТ в полі тяжіння при різних способах закріплення країв, обпирання на розвантажувальні кільця;

·

- комп’ютерне моделювання процесів імітації спотворення, наступного формовідтворення АДТ та перевірки якості формовідтворення;

- розроблення методики ідентифікації невизначених крайових умов на закріпленому краї як для тонких, так і товстих АДТ;

- оцінка похибок спрощених підходів до розв'язання прямих задач по спотворенню АДТ з метою доказу необхідності врахування реальної геометрії, кінематики, нелінійності, тангенціальних переміщень.

Об’єктом наукового дослідження є суцільне монолітне АДТ з невідомими тангенціальними переміщеннями, яке моделюється тонкою сферичною оболонкою з врахуванням геометричної нелінійності в квадратичному наближенні.

Предметом наукового дослідження є осесиметричний ДС АДТ, його спотворення та керування ним для формовідтворення.

Методи дослідження. Для досягнення поставленої мети задача керування АДТ зводиться до нелінійної оберненої задачі формовідтворення, яка методом послідовних наближень (МПН) зводиться до послідовності прямих задач з додатковими кінематичною та силовою умовами. Для розв’язання прямої задачі застосовуються метод скінченних різниць (МСР) та МПН.

Наукова новизна отриманих результатів. У даній роботі отримані такі основні результати:

- побудована математична модель ДС АДТ, в якій вперше одночасно враховано нелінійність, тангенціальні переміщення, геометрію форми і кінематику формовідтворень дзеркала;

- розроблена нова методика і побудовано оригінальний алгоритм для чисельного розв’язання нелінійних прямих задач про спотворення АДТ під дією заданих сил на основі адекватної математичної моделі;

- розроблена нова методика і побудовано оригінальний алгоритм чисельного розв’язання обернених задач для прийняття оптимальних рішень при керуванні деформованим станом монолітних АДТ в умовах невизначеності;

- розв’зано клас нових взаємоузгоджених нелінійних прямих та обернених задач при керуванні АДТ;

- розроблена методика ідентифікації невизначених крайових умов на закріпленому краї як для товстих так і для тонких АДТ;

- шляхом системного аналізу доказана необхідність врахування реальної геометрії, кінематики, нелінійності, тангенціальних переміщень при розв'язанні прямих задач по спотворенню АДТ для тонкого дзеркала.

Достовірність одержаних результатів підтверджується:

- математичною коректністю постановки нелінійних прямих та оберненої задач і виведення розв’язувальних рівнянь;

- коректним введенням додаткових кінематичної та силової умов, що забезпечує однозначність оберненої задачі;

- практичною перевіркою збіжності розв’язків конкретних нелінійних задач;

- результатами всебічного тестування розробленої методики і узгодженiстю отриманих результатiв з вiдомими в літературі даними інших авторів;

- узгодженими розв’язками прямих та оберненої задач;

- якісною узгодженістю отриманих результатів з міркуваннями фізичного характеру.

Практичне значення одержаних результатів. Наукові результати досліджень є основою прийняття оптимальних рішень при керуванні ДС АДТ і можуть бути використані для моделювання ДС (спотворення, формовідтворення, розвантаження) монолітних АДТ як на етапі виготовлення та юстування в земних умовах, так і на різних етапах на орбіті. Висновки про необхідність врахування реальної кривини, кінематики, нелінійності, невизначених тангенціальних переміщень дозволять уникнути можливих помилок у побудові реальної системи керування тонкими АДТ. Це дозволить уникнути дорогих наземних та орбітальних експериментiв або iстотно скоротити їх обсяг, вдосконалити конструктивнi рiшення. Результати праці доцільно використати для розробки модифікованого телескопа Т-170М, що передбачається створити в рамках нового варіанту міжнародного проекту "Спектр - УФ" за участю Росії, України та інших країн.

Особистий внесок здобувача. Всі подані до захисту результати були отримані дисертантом особисто. У праці [1] у співавторстві з науковим керівником авторові належить: постановка задачі (за винятком загального задуму) про математичне моделювання деформування АДТ в полі земного тяжіння; методика розв’язання прямої задачі; числові результати та висновки. У праці [5] зі співавтором авторові належить: постановка (за винятком загального задуму) задачі про осесиметричне деформування АДТ, що обертається; методика розв’язання прямої задачі; виведення системи розв’язувальних рівнянь; побудова алгоритмів та програм для ЕОМ; чисельне моделювання та висновки.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідалися й обговорювалися на таких науково-технічних конференціях та школах-семінарах: Міжнародних конференціях “Dynamical Systems Modeling and Stability Investigation” (Київ, 2001, 2003, 2005); Міжнародній конференції по автоматичному управлінню “Автоматика - 2004” (Київ, 2004); 1-й (2001 р.), 2-й (2002 р.), 3-й (2003 р.) Українських конференціях з перспективних космічних досліджень та 4-й (2004 р.) Українській конференції з космічних досліджень; Школах-семінарах для молодих науковців “Наукові космічні дослідження” (2003р., 2004р.); Міжнародній науковій конференції “Математичні проблеми технічної механіки” (Дніпропетровськ, 2005), - а також на наукових семінарах в Інституті космічних досліджень у 2002-2005 роках.

В повному обсязі дисертаційна робота доповідалась та обговорювалась на семінарі відділу системного аналізу та керування (Київ, 2005-2006).

Публікації. Результати дисертації опубліковані в 13 працях. Серед них 3 статті у фахових наукових виданнях, 2 статті у наукових журналі і віснику, 8 у матеріалах конференцій.

Структура та обсяг роботи. Дисертація містить перелік умовних скорочень, вступ, п’ять розділів, висновки. Повний обсяг дисертації 131 сторінка, включаючи 31 рисунок, 25 таблиць та список використаних літературних джерел з 137 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність проблеми; сформульовано мету дослідження; відзначено наукову новизну, достовірність та практичну цінність одержаних результатів; наведено відомості про публікації.

В першому розділі дано історичний огляд праць з проблеми. Висвітлені основні досягнення і проблеми АДТ. Наведена класифікація АДТ та їх порівняльна характеристика. Дано критичний аналіз математичних моделей ДС монолітних АДТ.

Відзначено, що: W.Babcock (1953) вперше запропонував ідею адаптивної оптики (АО) для наземних астрономічних телескопів; H.J.Robertson та ін. (1966) вперше застосували АО для космічних телескопів (КТ); D.Bushnell (1979) показав, що важко керувати АДТ з дуже великими відношеннями ### і ###; J.G.R.Hansen та ін. (1982) показали, керування формою тонкого АДТ є значно складнішою задачею, ніж товстого; Ю.І.Рубежанському (1995) належать перші праці в області керування АДТ в Україні. Підсумок застосування різних теорій в математичному моделюванні ДС монолітних АДТ показано на рис.1.

###

Рис. 1.

Наведено приклади парадоксальних результатів застосування моделі пластинки для оберненої задачі формоутворення В.В.Васильева, Н.А.Алфутова, В.Д.Кошура та Ю.В.Немировского. В.В.Васильев показав на прикладі задачі формоутворення з пластинки параболічної поверхні

###, (1)

що згідно з бігармонічним рівнянням

### (2)

випливає результат, який не узгоджується з фізичним змістом. А саме: реально наявний не нульовий контактний тиск виявляється відсутнім, бо після підстановки (1) в (2) ###, а формоутворення забезпечується крайовими силами.

Дано аналіз використовуваних кінематичних умов формовідтворення - точної, лінеаризованої та примітивно спрощеної. А.В.Бурлаков та Г.И.Львов розвинули теорію обернених задач формозміни тонких оболонок, сформулювали ряд ідей, положень та висновків теоретичного, практичного та методологічного характеру, які можна використати в задачах керування ДС монолітних АДТ. Для досягнення бажаної форми серединної поверхні оболонки в ДС ### вони використали точну кінематичною умову без спрощень, в якій декартові координати вектора переміщень мають задовольняти рівняння

###. (3)

D.B.Koconis, L.P.Kollar та G.S.Springer до певної міри послідовно врахували дотичні корегуючі переміщення в побудові функціонала квадратичної похибки. В їхній праці початкова поверхня оболонки задається рівнянням ###, а бажана -###; ### - нормальний до початкової поверхні угин; ### - дотичні переміщення. Функціонала квадратичної похибки визначається інтегралом

###, (4)

###; (5)

Найчастіше безпідставно використовується примітивно спрощена кінематична умова

### (6)

з непередбачуваними наслідками.

На основі наведеного огляду зроблено висновок про відсутність на цей час системного підходу щодо моделей, теорії та методів керування ДС монолітними АДТ в умовах невизначеності дотичних переміщень. Проблема є актуальною навіть в осесиметричній постановці та при керуванні розподіленими силами. Для розробки методики доцільно використати ряд поступової складності лінійних та нелінійних математичних моделей.

В другому розділі описано конструкцію й властивості монолітних АДТ. Сформульоване положення, що задача керування ДС монолітних АДТ є задачею при невизначених дотичних переміщеннях. Дана фізико-математична класифікація задач при керуванні ДС АДТ (табл.1). Показані зв’язки між задачею керування, прямою і оберненою задачами. Показані шляхи зведення задачі керування до оберненої. Обрана методологія дослідження.

Таблиця 1.

№ п/п Тип фізичної задачі Схематичний рисунок Відоме Невідоме Тип мате-матичної задачі

1 ДС АДТ, обпертого за краї ### ### ###, ### Пряма

2 ДС АДТ на опорних кільцях ### ### ### ###, ### ###, ### Пряма, елементи оберненої

3 Розвантаження ДС АДТ ### ###, ### ###, ### Пряма

4 Керування ДС АДТ розподіленими силами ### ###### ### Обернена

5 Ідентифікація крайових умов ### ###, ### ###, ###, ### Обернена

Найчастіше головне АДТ має форму сферичного сегмента (рис.2) товщиною h, радіусом сфери R, радіусом отвору ###, радіусом зовнішнього контуру ### (радіус телескопа). Матеріал АДТ є лінійно пружним ізотропним однорідним з малим коефіцієнтом теплового розширення. Властивості такого матеріалу описуються двома параметрами: модулем пружності ### та коефіцієнтом Пуасона ###. Найчастіше це - ситал (E=98,0665 ГПа; ###=0,236). Для АДТ ультрафіолетового діапазону внутрішня (увігнута) робоча поверхня покрита тонкими дзеркальним (Al) та захисним (MgF2) шарами, які дають інтерференційний максимум біля 115 нм і не впливають на механічні властивості дзеркала.

### ###

Рис.2.

Показано, що умова рівності нулю похибки (5) випливає з точної кінематичної умови (3). Для цього (3) подано явно відносно ###. Розкладено отриманий вираз у ряд Тейлора поблизу точки ### по переміщенням ###, обмежуючись членами першого порядку. Замінено декартові проекції переміщень ### через угин ### та дотичні переміщення ###, покладаючи ###, ###, ###, ###, ###. Таке нехтування допустиме за двох умов: при достатньо малих дотичних переміщеннях та при пологій початковій формі ### оболонки відносно площини ###, тобто коли

### та ###, (7)

що для реальних АДТ може не виконуватись. Тому за основу прийнято точну умову (3) з відповідною методологією.

Геометричні параметри типових АДТ такі, що найпростішою моделлю може служити класична кругова лінійно-пружна пластина з круглим отвором (модель 1). Для тонких монолітних АДТ можливі такі складніші моделі: тонка сферична оболонка (модель 2), гнучка сферична оболонка з урахуванням геометричної нелінійності в квадратичному наближенні (модель 3). Обмежуючись монолітними АДТ , зупинимося на перших трьох моделях 1, 2, 3, серед яких, остання, очевидно, може бути найбільш адекватною для реального АДТ. Оцінка адекватності моделей проведено за такою схемою (рис.3).

###

Рис.3.

Спочатку на основі моделі 3 (найадекватнішої із трьох) у прямій задачі моделюються спотворення АДТ під дією вибраних спотворюючих сил. В оберненій задачі на основі всіх трьох моделей знаходяться відтворюючі сили, які компенсують ці спотворення. У прямій перевірочній задачі на основі моделі 3 знаходяться корегуючі переміщення спотвореного у першій прямій задачі дзеркала під дією відтворюючих сил з оберненої задачі. Нарешті, порівняються спотворючі переміщення з першої прямої задачі з трьома варіантами корегуючих переміщень з прямої перевірочної задачі. Кожне з трьох порівнянь дасть оцінку моделей в оберненій задачі.

В третьому розділі конкретизована постановка прямої задачі про деформування АДТ під дією заданих сил. Розроблена методика й алгоритм чисельного розв’язування нелінійних крайових задач на основі МСР та МПН.

Постановка задачі і методика розв’язання. Серединну поверхню сферичної оболонки віднесено до півгеодезичної (рис.4) системи координат ###, де ### - довжина дуги меридіана сфери, що вимірюється від краю отвору.

###

Рис. 4.

Згідно з гіпотезами Кирхгофа-Лява компоненти ### вектора переміщень довільної точки оболонки виражаються лінійно через дотичне переміщення ### і нормальне (угин) ### (рис.4) точки її серединної поверхні та кут повороту нормалі ###

### (8)

Кут повороту нормалі ### навколо вісі ### визначається формулою

### (9)

і збігається з кутом повороту дотичної до вісі ###. Деформації довільної точки оболонки

### (10)

виражаються загалом нелінійно через деформації серединної поверхні

###; ###;

### ; ###. (11)

Використовуються за законом Гука лінійні залежності між напруженнями і деформаціями, вводяться, прийняті в теорії оболонок замість напружень статично еквівалентні їм середні по товщині оболонки внутрішні зусилля ###, ### та моменти ###, ###. З рівнянь рівноваги елемента серединної поверхні оболонки

###;

### ; (12)

###,

де ###, ### - проекції вектора поверхневого навантаження; ### - перерізуюча сила; ### - проекція перерізуючої сили у деформованому стані, отримано нелінійну систему диференціальних рівнянь в переміщеннях зі змінними коефіцієнтами:

###;

###. (13)

Зауважимо, що в (11) присутня нелінійна залежність від кута повороту нормалі (###), а в (12) є нелінійним добуток ###. У рівняннях (13) усі нелінійності згруповані в нелінійних членах ### і ###; ### - циліндрична жорсткість на згин. Після дискретизації (13) центральними різницями отримано замкнуту систему нелінійних алгебраїчних рівнянь з відповідними крайовими умовами в матричній формі виду

###, (14)

яка лінеаризується МПН. На кожній ітерації стрічкова система лінійних алгебраїчних рівнянь розв’язується методом Гауса з частковим вибором головного елемента.

Тестування програми. Розглянуто ряд тестових задач. Серед них задача, яку розглядали Калугин В.Н., Никитенко О.В., Мудрагель С.А., про деформування під власною вагою плоского АДТ, що лежить на опорах. При цьому точкові опори було замінено на кільця. В результаті зіставлення розрахунків розбіжність угинів біля отвору становила ~2%. Були підраховані сили реакції ### та ### від опор радіусами ### та ### відповідно. Отримано ###=-1864Н та ###=-2910Н, які з достатньою точністю врівноважують вагу плоского АДТ ###=4835Н, що свідчить про достовірність чисельного розв’язку в таких інтегральних характеристиках, як рівновага зовнішніх сил.

Дзеркало під дією власної ваги. Оцінка математичних моделей 1,2,3 в прямих задачах проводилась на розрахунках деформування реального відносно товстого АДТ у полі ваги з такими параметрами ###=9,333м, ###=0,33м, ###=0,857м, ###=0,1м, ###=98,0665 ГПа, ###=0,236, ###=2,46*103 кг/м3. Дія власної ваги на горизонтально закріплене дзеркало зводиться до дії поверхневих сил

###; ###. (15)

Моделювались різні крайові умови, розглядалось також відносно тонке (###=0,01м) дзеркало.

Тонке дзеркало на опорних кільцях під дією власної ваги. Спочатку розглядається задача про сферичне дзеркало (модель 3 або 2) на кільцевих опорах. Знаходяться сили реакції від опорних кілець. Далі розглядається задача про розвантаження цими силами дзеркала за моделями 3 або 2 (сферична оболонка) та спрощеною моделлю 1 (пластинка). Порівнюється точність розвантаження.

Для забезпечення високої точності знаходження сил реакції була вибрана значна кількість вузлів дискретизації (###=3200). Сили реакції ### та ### в Н від опорних кілець наведено в табл.2, угини в кількох точках меридіана - в табл.3 (остання колонка). Видно, що сили реакції за моделлю 1 відрізняються у 3-тій значущій цифрі, а їхня сума близька до ваги сферичного АДТ.

Таблиця 2.

Сили Моделі 3,2 Модель 1

### -184,93 -188,96

### -299,65 -295,68

### -484,58 -484,64

Розвантаження тонкого дзеркала. Для фіксації тіла вздовж вісі ### внутрішній край вважається вільно опертим. Розподіл угинів в мкм після розвантаження показано в табл.3. Угини в задачі розвантаження власними силами реакції за моделями 2,3 збігаються з відносними (зміщеними на угин біля отвору) угинами в задачі про дзеркало на опорних кільцях. А використання сил реакції, отриманих за спрощеною моделлю 1 (пластинка), дає значну похибку - 12% посередині радіуса дзеркала, де угини досягають максимуму, та майже похибку в три разі на зовнішньому краї.

Таблиця 3.

### Розвантаження сферичного АДТ власними силами реакції Розвантаження сферичного АДТ силами реакції плоского АДТ Сферичне АДТ на опорних кільцях

### 0 0 -2,689

### 2,789 2,947 0

(###-###)/2 6,688 7,438 3,943

### 2,752 3,986 0

### 0,663 2,083 -2,094

·

·

·

·

·

В четвертому розділі деталізована математична постановка задачі керування монолітним АДТ на основі розв’язання оберненої задачі. Отримано нелінійне диференціальне рівняння другого порядку та сформульовані крайові умови оберненої задачі. Побудований ітераційний алгоритм розв’язання нелінійної оберненої задачі шляхом зведення до послідовності прямих задач з додатковими умовами. Чисельно продемонстрована збіжність алгоритму та показані похибки від нехтування дотичними силами. Знайдено відтворюючі сили для дзеркала, спотвореного у полі тяжіння. Дана оцінка похибок в оберненій задачі при використанні спрощених математичних моделей (лінійна, пластинка) дзеркала.

Розглядаються три конфігурації (рис.5) дзеркала: 1 - початкова ідеальної форми, 2 - спотворена, 3 - відтворена. З початкової конфігурації дзеркало під дією в загальному випадку невідомих факторів деформується в другу спотворену конфігурацію, яка відома з оптичних вимірювань. Необхідно знайти розподіл нормальних сил, що деформують дзеркало з другої спотвореної конфігурації в третю відтворену, максимально близьку до початкової ідеальної.

###

Рис.5.

Запропоновано підхід, у якому, за недеформований стан оболонки приймається початкова конфігурація дзеркала, а за деформований - спотворена. В результаті розв’язання оберненої задачі знаходяться сили, які могли б здеформувати дзеркало з ідеальної конфігурації в спотворену. Тоді шукані відтворюючі сили будуть такими ж за величиною, але прикладеними в протилежному напрямку, тобто утримуючими дзеркало від спотворюючих чинників. АДТ в початковій конфігурації відноситься до півгеодезичної системи координат ###, його сферична серединна поверхня буде

###. (16)

Нехай серединна поверхня дзеркала в спотвореній конфігурації буде

###. (17)

Компоненти вектора переміщень мають задовольняти кінематичну умову

###, (18)

Оскільки ###, то еквівалентного реальному спотворення можна досягти нормально прикладеними до ідеального дзеркала силами при

###. (19)

Невідомими функціями є переміщення ###, ### та нормальний тиск ###. Крайовими умовами можуть бути: умови закріплення або симетрії

###=0; (20)

відсутність тангенціального зусилля (вільний контур)

###=0. (21)

Отже, обернена задача керування формою відбиваючої поверхні АДТ, доповнена кінематичною та додатковою силовою умовою (19), вирішується однозначно.

Визначаючи з алгебраїчної кінематичної умови (19) угин

### , (22)

подамо перше рівняння у вигляді

###. (23)

Угин у (22) розв'язується МПН:

###, (24)

починаючи з ###.

Обернену задачу алгоритмічно зведено до послідовності прямих, в ###-тому наближенні маємо замкнуту систему алгебраїчних рівнянь порядку ###

### . (25)

Нормальне відтворююче навантаження обчислюється за другим в (14) рівнянням

###. (26)

Ітераційний процес рішення нелінійної системи (25) має вигляд (рис.6).

###

Рис.6.

Вхідними даними програми є: кінематична умова (17), геометричні (###), фізичні (###) і механічні (тип крайових умов) параметри АДТ, кількість інтервалів розбиття ###, відносна точність розв’язування нелінійної задачі ###. У результаті одержуємо таблиці значень у вузлових точках дотичних переміщень серединної поверхні і нормальних поверхневих сил, а також деформації і напруження в серединній, на зовнішній і внутрішній поверхнях. У результаті розв’язування тестових задач були встановлені алгоритмічні особливості чисельного розв’язання оберненої задачі. Найбільш істотні з них обумовлені втратою точності при чисельному диференціюванні угинів ### у рівняннях (22).

Для оберненої задачі при керуванні ДС сферичних АДТ похибка вихідних даних значно перевищує похибку вхідних даних. При цьому це перевищення зростає зі зменшенням кроку дискретизації. При табличній формі завдання кінематичної умови (18) виникають похибки заокруглення вхідних даних. Для зменшення вихідних похибок необхідно застосовувати згладжування табличних функцій поліномом Лагранжа за допомогою методу найменших квадратів. Так, у випадку згладжування поліномом десятого степеня було достатньо 5 значущих цифр в таблицях. У випадку завдання спотвореної конфігурації дзеркала (17) у табличному вигляді виникає необхідність апроксимації кінематичної умови (18) по координаті ###, оскільки ### може не збігатися з вузловою точкою. Для цього достатньо лінійної апроксимації, що є наслідком малості ###.

Зменшення кроку дискретизації, з одного боку, згідно з теорією МСР веде до зменшення похибок апроксимації диференціальної задачі різницевою, а з другого боку, веде до збільшення похибок, обумовлених вхідними табличними даними. Наявність двох таких суперечливих тенденцій в оберненій задачі керування вимагає відповідності гладкості апроксимації вхідних даних кроку дискретизації.

Отримано числові результати трьох узгоджених задач: пряма (індекс ### у позначеннях) -обернена (індекс ###) -пряма перевірочна (індекс ###). Схема (вхідні дані тип задачі вихідні дані) розрахунків така:

###, ### пряма ###;

### обернена ###;

###, ### пряма перевірочна ###.

У табл.4 наведені величини ### (КПа) на зовнішньому вільному краї дзеркала, отримані в лінійній постановці при розбитті ###=80 залежно від кількості ітерацій ### (### відповідає методу “зіпсованої” оберненої задачі з нехтування дотичних переміщень). В останньому рядку для зіставлення наведене точне значення ###, яке є нормальною проекцією сили тяжіння в першій прямій задачі.

Для реального сферичного АДТ Т-170 метод “зіпсованої” оберненої задачі дає більш, ніж у 2 рази завищені відтворюючі сили, а для тонкого - майже в 10 разів. Для пологого дзеркала таке спрощення є прийнятним.

Таблиця 4

### Варіанти дзеркал

Реальне Пологе Плоске Тонке

###м ###9,333м ###м ###93,33м ###м ###м ###м ###9,333м

0 (“зіпс.”) 5,5352 2,4964 2,4601 2,09465

1 2,4522 2,4598 2,4602 0,24522

2 2,4522 2,4598 2,4602 0,24523

###, КПа 2,4496 2,4599 2,4600 0,24496

Результати розрахунків тонкого дзеркала (###=0,01м) наведені в табл.5 Тут показані переміщення ### (мкм), угини ### (мкм) і тиск ### (КПа) на зовнішньому вільному краї дзеркала для трьох задач (пряма, обернена, перевірочна) у залежності від конкретної схеми (рис.3) розрахунку. Вихідні дані відзначені курсивом.

Таблиця 5

Задача № стр. Схема ### ### ###

1, пряма (###) 1 Г -3,84007 76,3521 0,24496

2, обернена (###) 2 Г-Л -3,833 76,3521 0,24608

3 Г-Г -3,838 76,3521 0,24523

3, пряма 4 Г-Л-Г -3,85726 76,7124 0,24608

перевірочна(###) 5 Г-Г-Г -3,83793 76,3527 0,24523

Отже, при нехтуванні геометричною нелінійністю у випадку тонкого АДТ зростає величина похибок керування на істотну в оптиці величину.

При розв’язанні задач керування сферичним АДТ (обернена задача) та задач про знаходження сил реакції сферичного АДТ (частково обернена задача) необхідно в більшій мірі, ніж при розв’язанні задач деформування АДТ під дією відомих сил або в задачі про розвантаження АДТ відомими силами (прямі задачі), враховувати адекватність математичних моделей, точність дискретизації, порядок апроксимації, допустимість спрощень.

В п’ятому розділі акцентована увага на впливові крайових умов на закріпленому краї АДТ на його поведінку, на що рідко звертається увага в земних умовах, і що може проявитися на орбіті. Дана постановка задач ідентифікації крайових умов на закріпленому краї АДТ, запропонована математична модель закріплюючого пристрою, проаналізовано вплив його параметрів на жорсткість дзеркала, запропоновано алгоритми ідентифікації для товстого й тонкого дзеркал, ефективність алгоритмів показана на модельних розрахунках.

Запропоновано моделювати закріплюючий пристрій (рис.7) з’єднанням внутрішнього краю АДТ із тонким пружним стрижнем невідомого прямокутного поперечного перетину і жорсткості (рис.8). Невідомі параметри стрижня підлягають визначенню з контрольного експерименту в земних умовах, тобто задача зводиться до ідентифікації крайових умов.

### ###

Рис. 7. Рис. 8.

Встановлено, що у випадку товстого дзеркала ідентифікації підлягає один параметр, що визначає жорсткість кільця на вигин, а у випадку тонкого - два, що визначають вигин і розтягання. В другому випадку використовується ітераційне почергове уточнення кожного з параметрів. Процес ідентифікації демонструється трьома етапами: моделюється експеримент із відомим кільцем; параметри кільця передбачаються невідомими й ідентифікуються; моделюється деформування дзеркала з ідентифікованими параметрами і зіставляється з модельним експериментом. Показано точність запропонованого алгоритму.

·

·

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі розвинуті методи аналізу, побудовано алгоритм та програму для чисельного розв’язання взаємоузгоджених нелінійних осесиметричних прямих та обернених задач, показано їх застосування для прийняття оптимальних рішень при керуванні деформованим станом монолітних АДТ в умовах невизначеності для покращення оптико-механічних характеристик адаптивних дзеркал.

1. Побудована математична модель ДС АДТ на основі аналізу трьох математичних моделей АДТ: пружна пластинка, сферична оболонка, нелінійна сферична оболонка, в якій вперше одночасно враховано нелінійність, тангенціальні переміщення, геометрію форми і кінематику формовідтворень дзеркала;

2. Чисельно досліджено деформування АДТ в полі тяжіння при різних способах закріплення країв та при обпиранні на розвантажувальні кільця з виявленням найсуттєвіших чинників. Встановлено, що в прямих задачах вибір адекватної математичної моделі істотно залежить від способу закріплення і товщини дзеркала.

3. Зведено задачу керування АДТ в умовах невизначеності до оберненої задачі з врахування нелінійного характеру деформування та додатковими кінематичною і силовою умовами. Проведено узгоджене чисельне моделювання процесів імітації спотворення, наступного формовідтворення АДТ та перевірки якості формовідтворення.

4. Вперше дана оцінка похибок керування від нехтування тангенціальними переміщеннями залежно від товщини та кривини дзеркала. Так для реального розглянутого товстого (###м; ###9,333м) дзеркала таке нехтування дає більш, ніж у 2 рази завищене значення відтворюючих сил, а для тонкого (###м; ###9,333м) - майже в 10 разів. Для пологого (###м; ###93,33м) дзеркала таке спрощення є прийнятним.

5. Дана оцінка похибок керування від нехтування нелінійністю. Неврахування геометричної нелінійності для тонкого дзеркала дає дещо завищені по абсолютній величині відтворюючі сили, що веде до перекомпенсації прогинів на істотну в оптиці величину 0,36мкм.

6. Розв’язана задача про ідентифікацію крайових умов на закріпленому краї АДТ, розроблена методика та запропоновані різні алгоритми ідентифікації для товстого й тонкого дзеркал.

7. Шляхом системного аналізу доказана необхідність одночасного врахування реальних кривини, кінематики, нелінійності, закріплення, невизначених тангенціальних переміщень при побудові реальної системи керування тонким адаптивним дзеркалом космічного телескопа.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Лычак М.М., Максимюк Л.В. Математическое моделирование деформаций зеркала телескопа, обусловленных силой гравитации // Проблемы управления и информатики. - 2002. - № 1. - С. 140-146.

Авторові належить: постановка задачі (за винятком загального задуму) про математичне моделювання деформування АДТ в полі земного тяжіння; методика розв’язання прямої задачі; числові результати та висновки.

2. Максимюк Л.В. Управление геометрией зеркала телескопа на основе решения обратной задачи // Проблемы управления и информатики. - 2002. - № 6. - С. 34-43.

3. Максимюк Л.В. Идентификация граничных условий на закрепленном крае монолитного тонкого главного зеркала космического телескопа // Проблемы управления и информатики. - 2005. - № 2. - С. 112-120.

4. Максимюк Л.В. Оптимізація управління формою дзеркала космічного телескопа на основі оберненої задачі // Вісник Київського університету. Серія: фіз.-мат. науки. - 2001. - 5. - С. 113-116.

5. Гончаренко В.М., Максимюк Л.В. Осесиметричне деформування дзеркала космічного телескопа, що обертається // Журнал обчислювальної та прикладної математики. - 2001. - № 1. - С. 13-19.

Авторові належить: постановка (за винятком загального задуму) задачі про осесиметричне деформування АДТ, що обертається; методика розв’язання прямої задачі; виведення системи розв’язувальних рівнянь; побудова алгоритмів та програм для ЕОМ; чисельне моделювання та висновки.

6. Максимюк Л.В. Про один підхід до оптимізації управління формою дзеркала космічного телескопа // Thesis of conf. reports. “Dynamical systems modelling and stability investigation”. - Kyiv, 2001.- P.194.

7. Максимюк Л.В. О выборе адекватной математической модели адаптивного зеркала космического телескопа // Сборник тез. Второй Украинской конференции по перспективным космическим исследованиям. - Кацивели, Крым, 2002. - С. 140.

8. Максимюк Л.В. Розвиток концепцій щодо управління формою дзеркала космічного телескопа // Матеріали виступів школи-семінару для молодих науковців “Наукові космічні дослідження”. - Київ, 2003. - С. 55 - 57.

9. Максимюк Л.В. Проблеми управління формою тонкого дзеркала космічного телескопа в умовах невизначеності // Сборник тез. Третьей Украинской конференции по перспективным космическим исследованиям. - Кацивели, Крым, 2003. - С. 184.

10. Максимюк Л.В. Про кінематичну умову формовідтворення спотвореного дзеркала космічного телескопа // Матеріали виступів школи-семінару для молодих науковців “Наукові космічні дослідження”. - Київ, 2004. - С. 13-14.

11. Максимюк Л.В. Нелінійне управління в умовах невизначеності формою тонкого монолітного головного дзеркала космічного телескопа // Сборник тез. Четвертой Украинской конференции по космическим исследованиям. - Понизовка, Крим, 2004. - С. 235.

12. Maksymyuk L.V. Nonlinear shape control in uncertainties of a thin monolithic primary mirror for a space telescope // Міжнародна наукова конференція “Математичні проблеми технічної механіки”. - Дніпропетровськ, 2005. - С. 132.

13. Максимюк Л.В. Обернена задача про ідентифікацію граничних умов на закріпленому краю керованого головного дзеркала космічного телескопа // Thesis of conf. reports. “Dynamical systems modelling and stability investigation”. - Kyiv, 2005. - P. 300.

АНОТАЦІЇ

Максимюк Л.В. Прямі та обернені задачі при керуванні деформованим станом адаптивних дзеркал телескопів в умовах невизначеності. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.05.04 - системний аналіз і теорія оптимальних рішень. - Інститут космічних досліджень НАН України та НКА України, Київ, 2006.

Дисертація присвячена розвитку методів аналізу та їх застосування для прийняття оптимальних рішень при керуванні формою монолітних дзеркал космічних телескопів. Для розв’язання задачі керування використано принцип оберненої задачі з врахуванням невизначених тангенціальних переміщень та ідентифікації невідомих крайових умов. Математичне моделювання основане на нелінійній теорії тонких оболонок. Розроблена методика чисельного розв’язування з належною точністю прямих і обернених задач для розрахунку формовідтворення тонких дзеркал. Вона включає імітацією осесиметричних процесів спотворення під впливом силових навантажень при різних способах закріплення краю, моделювання формовідтворення дзеркала та перевірку його якості. Показано, що у випадку спотворення тонкого дзеркала силами гравітації неврахування нелінійності веде до перекомпенсації прогинів на істотну в оптиці величину.

Ключові слова: керування формою, ідентифікація, нелінійність, космічний телескоп, монолітне дзеркало, тангенціальні переміщення.

Максимюк Л.В. Прямые и обратные задачи при управлении деформированным состоянием адаптивных зеркал телескопов в условиях неопределенности. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 01.05.04 - системный анализ и теория оптимальных решений. - Институт космических исследований НАН Украины и НКА Украины, Киев, 2006.

Диссертация посвящена развитию методов анализа и их применению для принятия оптимальных решений при управлении формой монолитных зеркал космических телескопов. Для решения задачи управления использован принцип обратной задачи с учетом неопределенных тангенциальных перемещений и идентификации неизвестных краевых условий. Восстановление формы адаптивного зеркала осуществляется нормальными силами. Показана однозначность нелинейной обратной задачи при дополнительных кинематическом и силовом условиях. Математическое моделирование основано на нелинейной теории тонких оболочек. Апробированы три математические модели адаптивного зеркала: упругая пластинка, сферическая оболочка, нелинейная сферическая оболочка. Разработана методика численного решения с надлежащей точностью прямых и обратных задач для расчета восстановления формы тонких зеркал. Она включает имитацию осесимметричных процессов искажения под влиянием силовых нагрузок при разных способах закрепления края, моделирование восстановления формы зеркала и проверку его качества. Предложен алгоритм идентификации параметров закрепления края на основе измерений прогибов зеркала под собственным весом. Численно исследовано пять типов физических задач для адаптивного зеркала в поле тяготения: деформирование на краевых опорах, опирание на разгрузочные кольца, разгрузка дискретными концентрически распределенными силами в процессе изготовления, управление непрерывно распределенными силами, идентификация граничных условий.

Выявлена высокая чувствительность решения обратной задачи к адекватности математической модели зеркала, к гладкости входных данных, к точности сил реакции от опорных колец и к пренебрежению касательными перемещениями. Показано, что в случае искажения тонкого зеркала силами гравитации неучет нелинейности ведет к перекомпенсации прогибов на существенную в оптике величину. Для реального сферического зеркала Т-170 пренебрежение касательными перемещениями дает более, чем в 2 раза завышенные воспроизводящие силы, а для тонкого - почти в 10 раз. Упрощенная модель упругой пластинки неадекватно описывает деформирование и разгрузку тонкого зеркала, а для толстого зеркала дает удовлетворительные результаты в случае шарнирного или свободного опирания на кольцевые опоры.

Ключевые слова: управление формой, идентификация, нелинейность, космический телескоп, монолитное зеркало, тангенциальные перемещения.

Maksymyuk L.V. Direct and inverse problems under a strain state control in uncertainties of