Міністерство освіти і науки України

Львівський національний університет імені Івана Франка

Микитюк Любов Ярославівна

УДК 517.53

АПРОКСИМАЦІЯ РЯДІВ ДІРІХЛЕ

ЕКСПОНЕНЦІАЛЬНИМИ МНОГОЧЛЕНАМИ

01.01.01 - математичний аналіз

А В Т О Р Е Ф Е Р А Т

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Львів – 2006

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі теорії функцій і теорії ймовірностей

Львівського національного університету імені Івана Франка

Міністерства освіти і науки України

Науковий керівник –

доктор фізико-математичних наук, професор

Шеремета Мирослав Миколайович,

завідувач кафедри теорії функцій і теорії ймовірностей

Львівського національного університету імені Івана Франка

Офіційні опоненти –

доктор фізико-математичних наук, професор

Сторож Олег Георгійович, професор кафедри математичного та

функціонального аналізу Львівського національного університету

імені Івана Франка,

кандидат фізико-математичних наук, доцент

Кучмінська Христина Йосифівна, доцент кафедри обчислювальної

математики та програмування Національного університету

Львівська політехніка.

Провідна установа:

Інститут математики НАН України, (м. Київ),

відділ комплексного аналізу і теорії потенціалу .

Захист відбудеться "22" вересня 2006 р. о 15.05 год. на засіданні

спеціалізованої вченої ради Д 35.051.18

у Львівському національному університеті імені Івана Франка

за адресою: 79000, м. Львів, вул. Університетська, 1, ауд. 377 .

З дисертацією можна ознайомитись у Науковій бібліотеці Львівського

національного університету імені Івана Франка за адресою: м. Львів, вул. Драгоманова, 5.

Автореферат розісланий "3" липня 2006 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради _____________ Тарасюк С.І.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальнiсть теми. Одним з важливих об'єктів дослідження в теорії функцій є ряди Дiрiхле з невiд'ємними зростаючими до показниками, які є безпосереднiм узагальненням степеневих рядiв. Роль рядів Діріхле як в математичному аналiзi, так i в теорiї чисел, теорiї диференцiальних рiвнянь та iнших роздiлах сучасної математики добре вiдома. У другiй половинi XX столiття зацiкавленiсть рядами Дiрiхле сильно зросла завдяки дослiдженням росiйського математика А.Ф. Леонтьєва та його учнiв про зображення аналiтичних функцiй рядами Дiрiхле та їх узагальненнями.

Дещо iнший напрям дослiджень властивостей аналiтичних функцiй, зображених рядами Дiрiхле, розробляється М.М. Шереметою та його учнями Б.В. Винницьким, О.Б. Скаскiвим, а також М.В. Заболоцьким та багатьма іншими львівськими математиками.

Наприкінці минулого століття А.Натяль і Д.Шукла для рядів Діріхле з показниками і нульовою абсцисою абсолютної збіжності за умови додатності кроку послідовності дослідили наближення суми ряду Діріхле на вертикальній прямій з області абсолютної збіжності експоненціальними многочленами в термінах порядку і типу. У термінах нижнього порядку і нижнього типу таку ж задачу вивчали Г.Срівастава та С.Рені.

Природним стало питання про можливість узагальнення результатів А.Натяля і Д.Шукли та Г.Срівастави і С.Рені, з одного боку, замінивши умову додатності кроку послідовності (тобто ) слабшою і більш природною умовою , , а з іншого боку, на будь-яку шкалу зростання, зокрема, узагальнені порядки М.М. Шеремети.

У 70-х роках ХХ століття Р.Ердеш, А.Редді та інші математики опублікували ряд праць, в яких вивчалась раціональна апроксимація на цілих функцій з невід'ємними тейлоровими коефіцієнтами. Оскільки ця апроксимація тісно зв'язана зі швидкістю збіжності часткових сум степеневих розвинень цілих функцій, а ряди Діріхле є безпосереднім узагальненням степеневих рядів, то природно було вивчити швидкість збіжності часткових сум рядів Діріхле з додатними коефіцієнтами та показниками. У 1988 році М.М. Шеремета довів досить загальну теорему, з якої випливали не тільки багато відомих на той час теорем, але і їх уточнення. Дослідження, започатковані М.М. Шереметою, продовжили О.Б. Скасків, О.Г. Орищин та інші. Зокрема, Р.Д. Боднар і О.Б. Скасків довели аналог теореми М.М. Шеремети для рядів Діріхле з нульовою абсцисою абсолютної збіжності. Актуальною стала проблема отримання загальної теореми про швидкість збіжності часткових сум ряду Діріхле з додатними коефіцієнтами та показниками і довільною абсцисою абсолютної збіжності, з якої випливали би як результат М.М. Шеремети, так і результат Р.Д. Боднара і О.Б. Скасківа. Природними також є уточнення цієї теореми та інших раніше відомих результатів.

Поводження нулів часткових сум степеневого розвинення цілої функції вивчали багато авторів. Зокрема, Є.Нечюшкіте і Ш.Стреліц ще у 1961 році в термінах порядку вказали швидкість прямування послідовності нулів часткових сум до нуля функції. Таку ж задачу вони намагались розв'язати і в термінах типу, але, як виявилось, наведена ними формула є неправильною. Тому актуальною стала проблема доведення загальної теореми, яка би в термінах узагальнених порядків М.М. Шеремети вказувала на зв'язок між зростанням цілої функції та поводженням нулів часткових сум її степеневого розвинення і з якої випливав би правильний результат у випадку, коли має скінченний тип.

Розв'язанню наведених вище проблем присвячена запропонована дисертаційна робота.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Напрямок дослiджень, обраний у дисертації, передбачений планами наукової роботи Львiвського нацiонального унiверситету iменi Iвана Франка.

Дослідження виконані в рамках держбюджетної теми МГ-79Б "Асимптотичні властивості голоморфних функцій, алгебро-топологічні структури та їх застосування" (номер держреєстрації: 0101U001437).

Мета i задачi дослiдження.

1) для ряду Діріхле з нульовою абсцисою абсолютної збіжності вивчити у довільній шкалі зв'язок між зростанням його суми та апроксимацією експоненціальними многочленами на вертикальній прямій з області абсолютної збіжності; зокрема, в результатах А.Натяля і Д.Шукли умову додатності кроку послідовності показників ряду Діріхле замінити умовою , ;

2) дослідити асимптотичне поводження залишку ряду Діріхле з довільною абсцисою абсолютної збіжності;

3) дослідити швидкiсть збіжності часткових сум рядів Діріхле з додатними коефіцієнтами та довільною абсцисою абсолютної збіжності; застосувати отримані результати до вивчення раціональної апроксимації аналітичних функцій з невід'ємними тейлоровими коефіцієнтами;

4) в термінах узагальнених порядків встановити зв'язок між зростанням цілої функції та поводженням послідовності нулів часткових сум її степеневого розвинення.

Об'єктом дослідження є ряди Діріхле з невід'ємними показниками та цілі функції.

Предметом дослідження є зв'язок між зростанням суми ряду Діріхле з нульовою абсцисою абсолютної збіжності та апроксимацією експоненціальними многочленами на вертикальній прямій з області абсолютної збіжності, а також зв'язок між зростанням цілої функції та поводженням послідовності нулів часткових сум її степеневого розвинення.

Методи дослiдження. У дисертації використовуються методи математичного та комплексного аналізу, зокрема деякі прийоми з праць М.М. Шеремети.

Наукова новизна отриманих результатiв. Усi основнi результати дисертацiї є новими. У роботi вперше:

1) теореми А.Натяля та Д.Шукли про зв'язок між зростанням суми ряду Діріхле з нульовою абсцисою абсолютної збіжності і апроксимацією експоненціальними многочленами на вертикальній прямій з області абсолютної збіжності узагальнено на довільну шкалу зростання; доведено, що умову додатності кроку послідовності показників ряду Діріхле можна замінити умовою , ;

2) отримано ряд результатів критеріального характеру про поводження залишку ряду Діріхле з довільною абсцисою абсолютної збіжності в залежності від поводження його коефіцієнтів та показників;

3) отримано загальну теорему про швидкість збіжності часткових сум рядів Діріхле та її уточнення для одного класу абсолютно збіжних у півплощині рядів Діріхле; одержані результати застосовано до вивчення раціональної апроксимації аналітичних функцій з невід'ємними тейлоровими коефіцієнтами;

4) описано швидкість прямування до границі нулів часткових сум тейлорового розвинення цілої функції в термінах узагальнених порядків.

Практичне значення отриманих результатів. Результати дисертації мають теоретичний характер і є певним внеском у теорію рядів Діріхле та в теорію цілих функцій. Вони можуть бути використані у теорії наближень функцій та прикладних проблемах математики.

Особистий внесок здобувача. Викладені в дисертації результати отримано автором самостійно. В опублікованих спільно з М.М. Шереметою статтях співавтору належать постановка задач та обговорення отриманих результатів.

Апробацiя результатiв дисертацiї. Результати дисертацiї доповiдались та обговорювались на

1) Мiжнароднiй конференцiї "Нелiнiйнi диференцiальнi рiвняння в частинних похiдних", присвяченiй 100-рiччю з дня народження Ю.Шаудера (Львiв, 23-29 серпня 1999 року);

2) Мiжнароднiй конференцiї "Цiлi та мероморфнi функцiї", присвяченiй 70-рiччю з дня народження А.А.Гольдберга (Львiв, 23-25 травня 2000 року);

3) Мiжнароднiй конференцiї "Нові напрями в комплексному аналiзі та теорiї потенцiалу" (Львів, 6-10 жовтня 2000 року);

4) Мiжнароднiй конференцiї "Функціональний аналіз та його застосування" присвяченiй 110-рiччю з дня народження С. Банаха (Львів, 28-31 травня 2002 року);

5) Мiжнародному семінарі з теорії потенціалу (Київ, 19-27 серпня 2003 року);

6) Львiвському регiональному семiнарi з математичного аналiзу (керiвник проф. М.М. Шеремета);

7) Львiвському мiжвузiвському семiнарi з теорiї аналiтичних функцiй (керiвники проф. А.А. Кондратюк i проф. О.Б. Скаскiв);

8) Семінарі з теорії функцій, Інститут математики, м. Вюрцбург, Німеччина;

9) Семінарі вiддiлу комплексного аналiзу та теорії потенціалу, Інститут математики HAH України, м. Kиїв.

Публiкацiї. Результати дисертацiї опублiковано в 11 статтях i наукових повiдомленнях [30-40] (4 без спiвавторiв), з яких 8 (2 без спiвавторiв) опублiковано у виданнях, включених у перелiк ВАК України, в яких слiд опублiкувати результати дисертацiї.

Структура і об'єм дисертації. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, розбитих на підрозділи, висновків і списку використаних джерел, який займає 6 сторінок і включає 40 найменувань. Загальний обсяг праці - 145 сторінок.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовується актуальність вибраної теми, окреслюється мета досліджень, наукова новизна, подається загальна характеристика дисертації.

У першому розділі "Огляд літератури та основних результатів дисертації" наведено результати А.Натяля, Д.Шукли, Г.Срівастави, С.Рені про зв'язок між зростанням суми ряду Діріхле з нульовою абсцисою абсолютної збіжності та апроксимацією експоненціальними многочленами на вертикальній прямій з області абсолютної збіжності у термінах порядку, типу, нижнього порядку і нижнього типу. Подано огляд результатів М.М. Шеремети, Р.Д. Боднара і О.Б. Скасківа, що стосуються швидкості збіжності часткових сум рядів Діріхле з додатними коефіцієнтами, а також результат Є.Нечюшкіте і Ш.Стреліца про швидкість прямування до границі нулів часткових сум ряду Тейлора цілої функції. Наведені основні результати дисертації.

У другому розділі "Апроксимація експоненціальними многочленами рядів Діріхле з нульовою абсцисою абсолютної збіжності", що складається з п'яти підрозділів і висновків, доведено теореми, які узагальнюють результати А.Натяля і Д.Шукли, з одного боку, на ряди Діріхле з показниками, що не обов'язково мають додатний крок, а, з другого боку, на ряди Діріхле довільного зростання.

Нехай -- зростаюча до послідовність невід'ємних чисел, , a -- клас рядів Діріхле

()

що мають абсцису абсолютної збіжності . Для через позначено клас рядів Діріхле (1), для яких абсциса абсолютної збіжності .

Якщо в ряді (1) для і , то називається експоненціальним многочленом степеня . Клас усіх експоненціальних многочленів, степінь яких не перевищує , позначено через .

Приймемо де

Підрозділ 2.1 присвячений питанню оцінок знизу і зверху величини . Зокрема, встановлено, що, якщо ряд Діріхле (1) має абсцису абсолютної збіжності і , то для всіх виконуються нерівності

Приймемо

і

Одним з основних результатів цього підрозділу є

Теорема 2.1. Нехай ряд Діріхле (1) має абсцису абсолютної збіжності . Тоді для кожного справедливі нерівності

Як наслідок цієї теореми отримано наступне узагальнення результатів А.Натяля і Д.Шукли на ряди Діріхле з показниками, що не обов'язково мають додатний крок.

Наслідок 2.1. Нехай для деякого і або , або . Тоді для того щоб , необхідно і досить, щоб

Теорема 2.3. Нехай , ряд Діріхле (1) має нульову абсцису абсолютної збіжності, а --додатна неперервно диференційовна зростаюча до на функція.

Через позначено клас додатних неперервних зростаючих до на функцій (будемо вважати, що на), якщо і при . , якщо при для кожного , тобто - повільно зростаюча функція.

Нехай і . Узагальнений порядок абсолютно збіжного в ряду Діріхле (1) визначається формулою.

З теореми 2.3 випливає наступний результат, який встановлює зв'язок між зростанням і поводженням в термінах узагальненого порядку.

Наслідок 2.3. Нехай функції такі, що ряд Діріхле (1) має нульову абсцису абсолютної збіжності.

Основною у підрозділі 2.3 є

Теорема 2.4. Нехай ряд Діріхле (1) має нульову абсцису абсолютної збіжності і, .

Підрозділ 2.4 присвячений вивченню асимптотичного поводження залишку абсолютно збіжного у півплощині ряду Дiрiхле. Зокрема, вказано на зв'язок між асимптотичними поводженнями залишку ряду Діріхле (1) та його коефіцієнтами .

Розглянуто клас рядів Діріхле, близьких до своїх мажорант Ньютона, тобто таких, що .

З умови випливає, що .

У підрозділі встановлено, що, якщо коефіцієнти ряду Діріхле з нульовою абсцисою абсолютної збіжності задовольняють умову (2) і , а показники -- умову.

Для нехай. Основною у підрозділі 2.4 є така

Теорема 2.6. Нехай коефіцієнти ряду Діріхле з нульовою абсцисою абсолютної збіжності задовольняють умову.

Через позначено клас абсолютно збіжних в рядів Діріхле (1) із заданою послідовністю показників таких, що і виконується умова (3). Справедливою є така

Отримані результати застосовано до вивчення асимптотичного поводження. У роботі наведено також два твердження, які доповнюють теореми 2.6 -- 2.8 у випадку, коли умова (3) може не виконуватись.

Підрозділ 2.5 присвячений вивченню асимптотичного поводження залишку цілого ряду Діріхле. Зокрема, встановлено, що, якщо коефіцієнти цілого ряду Діріхле задовольняють умову.

Наступна теорема є аналогом теореми 2.6 для цілого ряду Діріхле.

Теорема 2.10. Нехай коефіцієнти цілого ряду Діріхле задовольняють умову

Розділ 2 "Швидкість збіжності часткових сум рядів Діріхле і раціональна апроксимація функцій, заданих степеневими рядами з невід'ємними коефіцієнтами" складається з чотирьох підрозділів і висновків. Нехай функція аналітична в крузі -- радіус збіжності ряду (4) (у випадку вважаємо трансцендентною), а клас алгебраїчних многочленів степеня не вище . Тоді отримаємо очевидну нерівність, а тому з оцінок зверху величини випливають такі ж оцінки величини.

Для ряду Діріхле з абсцисою абсолютної збіжності і зростаючими до показниками нехай часткова сума ряду (5). Оскільки ряд Діріхле (5) є узагальненням ряду (4), то з оцінок зверху величини , яка вказує на швидкість збіжності часткових сум ряду (5), випливають такі ж оцінки для .

Підрозділ 3.1 містить загальну теорему про швидкість збіжності часткових сум ряду Діріхле.

Теорема 3.1. Для всіх , яка б не була абсциса абсолютної збіжності ряду (5).

У підрозділі 3.2. подано наступне уточнення загальної теореми для одного класу абсолютно збіжних у півплощині рядів Діріхле.

Теорема 3.2. Нехай ряд Діріхле (5) має нульову абсцису абсолютної збіжності .

Підрозділ 3.3 присвячений оцінкам зверху величини на деякій підпослідовності індексів. M.М. Шеремета і Р.Д. Боднар вказали оцінки зверху величини на деякій послідовності індексів у випадку накладання умови на коефіцієнти зверху для цілих рядів Діріхле і умови на коефіцієнти знизу для рядів Діріхле з нульовою абсцисою абсолютної збіжності. Отримані у підрозділі 3.3 теореми доповнюють вищезгадані результати у випадку накладання умови на коефіцієнти знизу для цілих рядів Діріхле і умови на коефіцієнти зверху для рядів Діріхле з нульовою абсцисою абсолютної збіжності.

Теорема 3.3. Нехай ряд Діріхле (5) має нульову абсцису абсолютної збіжності, коефіцієнти задовольняють умову де функція така, що, а показники -- умову .

Теорема 3.4. Нехай показники цілого ряду Діріхле (5) задовольняють умову, а коефіцієнти – умову.

Підрозділ 3.4 містить наступну оцінку знизу в раціональній апроксимації степеневих рядів з невід'ємними коефіцієнтами.

Теорема 3.5. Нехай ряд (4) має радіус збіжності, а функції та задовольняють умови.

Тоді, якщо виконується умова то для кожного існує послідовність натуральних чисел.

Розділ 4 "Нулі часткових сум тейлорового розвинення цілої функції" складається із двох підрозділів і висновків. Нехай - ціла трансцендентна функція, -- її нуль кратності , а -- збіжна до послідовність нулів часткових сум .

Задачі, які розв'язуються в цьому розділі, виникли у зв'язку з результатами Є. Нечюшкіте та Ш. Стреліца, опублікованими у 1961 році. Вони показали, що для того щоб була цілою функцією скінченного порядку і типу .

У доведення рівності (7) вкралася помилка і, як показано в підрозділі 4.1, рівність (7) є неправильною. Узагальненим порядком цілої функції називається величина .

У підрозділі 4.1 доведено наступну теорему, яка вказує на поводження у термінах узагальнених порядків.

Теорема 4.1. Нехай неперервно диференційовні функції. Припустимо, що виконується одна з умов.

У підрозділі 4.2 як наслідки з цієї теореми отримано рівність (6) і правильну формулу для типу. Також доведено теорему, яка вказує на поводження у термінах логарифмічного порядку і типу.

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі вивчається апроксимація на вертикальних прямих ряду Діріхле (1) з нульовою абсцисою абсолютної збіжності і зростаючими показниками експоненціальними многочленами. Зокрема, узагальнено на довільну шкалу зростання теореми А.Натяля та Д.Шукли про зв'язок між зростанням суми ряду Діріхле з нульовою абсцисою абсолютної збіжності і апроксимацією експоненціальними многочленами на вертикальній прямій з області абсолютної збіжності. Доведено, що умову додатності кроку послідовності показників ряду Діріхле можна замінити слабшою умовою..

Отримано ряд результатів критеріального характеру про поводження залишку ряду Діріхле з нульовою абсцисою абсолютної збіжності і цілого ряду Діріхле в залежності від поводження його коефіцієнтів та показників.

Доведено загальну теорему про швидкість збіжності часткових сум рядів Діріхле та її уточнення для одного класу абсолютно збіжних у півплощині рядів Діріхле; одержані результати застосовано до вивчення раціональної апроксимації аналітичних функцій з невід'ємними тейлоровими коефіцієнтами.

У термінах узагальнених порядків описано швидкість прямування до границі нулів часткових сум тейлорового розвинення цілої функції.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Микитюк Л.Я., Шеремета М.М. До апроксимації рядів Діріхле експоненціальними многочленами // Вісник Львів. ун-ту, сер. мех.-мат. -- 1999. -- Вип. 53. -- C. 35-39.

2. Шеремета М.М., Микитюк Л.Я. Про збіжність часткових сум рядів Діріхле та раціональну апроксимацію функцій // Мат. методи та фіз.-мех. поля. -- 1998. -- Т.41, № 4. -- C. 73-77.

3. Микитюк Л.Я. Зауваження до апроксимації рядів Діріхле експоненціальними многочленами // Вісник Львів. ун-ту, сер. мех-мат. -- 2000. -- Вип.57. -- С. 25-28.

4. Микитюк Л.Я., Шеремета М.М. Про швидкість збіжності часткових сум ряду Діріхле // Мат. методи та фіз.-мех. поля.-- 2002. -- Т.45, № 1. -- C. 50-55.

5. Микитюк Л.Я., Шеремета М.М. Про асимптотичну поведінку залишку абсолютно збіжного у півплощині ряду Діріхле // Укр. мат. ж. -- 2003. -- Т.55, № 3. -- C. 379-388.

6. L.Ya. Mykytyuk, М.М. Sheremeta On the remainder of Dirichlet series // Матем. студії. -- 2000. -- Т.19, № 1. -- C. 55-60.

7. Микитюк Л.Я., Шеремета М.М. Про нулі часткових сум тейлорового розвинення цілої функції // Доп. НАН України, сер. А. -- 2003. -- № 6. -- С. 16-20.

8. Микитюк Л.Я. Про нулі часткових сум тейлорового розвинення цілої функції скінченного логарифмічного порядку // Вісник Львів. ун-ту, сер. мех-мат. -- 2003. -- Вип.62. -- С. 85-88.

АНОТАЦІЯ

Микитюк Л.Я. Апроксимація рядів Діріхле експоненціальними многочленами. -- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математич-них наук за спеціальністю 01.01.01 -- математичний аналіз. Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів, 2006.

Вивчається апроксимація на вертикальних прямих ряду Діріхле з нульовою абсцисою абсолютної збіжності і зростаючими до показниками експоненціальними многочленами. Узагальнено на довільну шкалу зростання теореми А.Натяля та Д.Шукли про зв'язок між зростанням суми ряду Діріхле з нульовою абсцисою абсолютної збіжності і апроксимацією експоненціальними многочленами на вертикальній прямій з області абсолютної збіжності. Отримано ряд результатів критеріального характеру про поводження залишку ряду Діріхле з нульовою абсцисою абсолютної збіжності і цілого ряду Діріхле в залежності від поводження його коефіцієнтів та показників. Досліджено швидкість збіжності часткових сум рядів Діріхле; одержані результати застосовано до вивчення раціональної апроксимації аналітичних функцій з невід'ємними тейлоровими коефіцієнтами. Описано швидкість прямування до границі нулів часткових сум тейлорового розвинення цілої функції у термінах узагальнених порядків.

Ключові слова: ряд Діріхле, залишок ряду Діріхле, ціла функція, порядок функції, тип функції.

ABSTRACT

Mykytyuk L.Ya. Approximation of Dirichlet series by exponential polynomials. -- Manuscript.

The thesis for obtaining the Candidate of Physical and Mathematical Sciences degree on the speciality 01.01.01 -- Mathematical Analysis, Ivan Franko Lviv National University, Lviv, 2006.

The approximation of Dirichlet series with zero abscissa of absolute convergence and exponents increasing to on the vertical lines by exponential polynomials is investigated. The theorems of A.Nautiyal, D.Shukla on the connection between the growth of Dirichlet series with zero abscissa of absolute convergence and approximation by exponential polynomials on the vertical line from domain of absolute convergence are generalized for arbitrary scale of growth. There are found criteria concerning behaviour of the remainder of Dirichlet series with zero abscissa of absolute convergence and entire Dirichlet series according to the behaviour of coefficients and exponents. The rate of convergence of partial sums of Dirichlet series is studied; obtained results are applied to the study of rational approximation of analytic functions with nonnegative coefficients. The rate of tendency of zeros of partial sums of Taylor development of entire function to limit is described in the terms of generalized order.

Key words: Dirichlet series, remainder of Dirichlet series, entire function, order of function, type of function.

АННОТАЦИЯ

Микитюк Л.Я. Аппроксимация рядов Дирихле экспоненциальными многочленами. -- Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математи-ческих наук по специальности 01.01.01 -- математический анализ. Львовский национальный университет имени Ивана Франко, Львов, 2006.

Диссертация состоит из введения, четырех разделов, разбитых на подразделы, выводов и списка использованных источников.

В первом разделе "Обзор литературы и основных результатов диссертации" приведены результаты А.Натяля, Д.Шуклы, Г.Сриваставы, С.Рени о связи между возрастанием суммы ряда Дирихле с нулевой абсциссой абсолютной сходимости и аппроксимацией экспоненциальными многочленами на вертикальной прямой с области абсолютной сходимости в терминах порядка, типа, нижнего порядка и нижнего типа; результаты М.Н. Шереметы, Р.Д. Боднара и О.Б. Скаскива касающиеся скорости сходимости частичных сумм рядов Дирихле с положительными коэффициентами, а также результат Э.Нечюшките и Ш.Стрелица о скорости стремления к границе нулей частичных сумм ряда Тейлора цeлой функции. Приведены основные результаты диссертации.

В разделе 2 "Аппроксимация экспоненциальными многочленами рядов Дирихле с нулевой абсциссой абсолютной сходимости", доказаны теоремы, которые обобщают результаты А.Натяля и Д.Шуклы, с одной стороны, на ряды Дирихле з показателями, не обязательно имеющих положительный шаг, а, с другой стороны, на ряды Дирихле произвольного возрастания. Получено ряд результатов критериального характера о поведении остатка ряда Дирихле с нулевой абсциссой абсолютной сходимости и целого ряда Дирихле в зависимости от поведения его коэффициентов и показателей.

В разделе 3 "Скорость сходимости частичных сумм рядов Дирихле и рациональная аппроксимация функций, заданных степенными рядами с неотрицательными коэффициентами" приведена общая теорема о сходимости частичных сумм рядов Дирихле и ее уточнение для некоторого класса абсолютно сходящихся в полуплоскости рядов Дирихле. Полученные результаты применены к изучению рациональной аппроксимации аналитических функций с неотрицательными коэффициентами.

Раздел 4 "Нули частичных сумм ряда Тейлора целой функции" посвящен изучению скорости стремления к границе нулей частичных сумм ряда Тейлора целой функции в терминах обобщенных порядков.

Ключевые слова: ряд Дирихле, остаток ряда Дирихле, целая функция, порядок функции, тип функции.

Підписано до друку 15.06.2006 р. Формат 60х90/16

Папір офсетний. Ум. друк. арк. 1,1. Тираж 100. Зам. № 288.

Видавничий центр ЛНУ ім.І.Франка. 79000 Львів, вул. Дорошенка, 41.