МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ТЕРНОПІЛЬСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ІВАНА ПУЛЮЯ

Мулик Наталія Володимирівна

УДК 519.218+620.92

МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ ТА МЕТОД ПРОГНОЗУ ГАЗОСПОЖИВАННЯ

З УРАХУВАННЯМ ЦИКЛІЧНОСТІ

01.05.02 - Математичне моделювання та обчислювальні методи

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Тернопіль – 2006

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Тернопільському державному технічному університеті

імені Івана Пулюя Міністерства освіти і науки України

Науковий керівник лауреат Державної премії України в галузі науки

і техніки, доктор фізико-математичних наук,

професор Марченко Борис Григорович,

Інститут електродинаміки НАН України,

провідний науковий співробітник,

м. Київ

Офіційні опоненти доктор технічних наук, професор

Мандзій Богдан Андрійович,

Національний університет „Львівська політехніка”,

професор кафедри радіоелектроніки та

радіоелектронної техніки,

м. Львів

доктор фізико-математичних наук, професор

Сопронюк Федір Олексійович,

Чернівецький національний університет

імені Юрія Федьковича,

декан факультету комп’ютерних наук,

м. Чернівці

Провідна установа Інститут проблем моделювання в енергетиці

імені Г.Є. Пухова, Національна академія наук України,

відділ теорії моделювання, м. Київ

Захист відбудеться “08” лютого 2007 р. о “11” год. “00” хв. на засіданні спеціалізованої вченої ради К 58.052.01 в Тернопільському державному технічному університеті імені Івана Пулюя, 46001, м. Тернопіль, вул. Руська, 56, ауд. 79

З дисертацією можна ознайомитися у науково-технічній бібліотеці Тернопільського державного технічного університету імені Івана Пулюя, 46001, м. Тернопіль,
вул. Руська, 56

Автореферат розісланий “05” січня 2007 р.

Вчений секретар спеціалізованої

вченої ради К 58.052.01

кандидат фізико-математичних наук Шелестовський Б.Г.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Аналіз показників світового енергетичного ринку засвідчує про стале зростання темпів споживання енергоносіїв, зокрема природного газу. Газ займає провідне місце в енергетичному балансі нашої держави, його частка у використанні первинних енергоресурсів перевищує 40%.

Неухильне вичерпування природних ресурсів і, як результат, зростання цін на енергоносії поставили проблему енергозбереження в ряд найважливіших питань розбудови нашої держави, її енергетичної безпеки та суверенітету. Як один з аспектів енергозбереження розглядають проблему підвищення ефективності функціонування та оптимізації управління систем газопостачання й газоспоживання. Існує кілька основних підходів до вирішення цієї проблеми, один із них – покращення метрологічного забезпечення обліку газу. В цьому напрямку опубліковано значну кількість праць, зокрема Пістуна Є.П., Химко О.М., Вощинського В.С. тощо.

Інший підхід полягає в раціоналізації режимів газоспоживання, що включає в себе задачі підвищення точності обліку і контролю надходжень та витрат газу, аналізу його використання, а також планування та прогнозування рівнів газонавантаження. Важливою передумовою для розв’язання поставлених задач є створення математичної моделі, яка враховувала б основні фізичні властивості досліджуваного сигналу та була б узгодженою з поставленими практичними задачами. Вибір та обґрунтування такої математичної моделі дозволяє розробляти ефективні алгоритми обробки газоспоживання, отримувати достовірні статистичні висновки з метою подальшого прогнозу для систем газопостачання.

Існує два основних підходи до математичних моделей та методів обробки газоспоживання – детермінований та стохастичний. На практиці в газовій промисловості, як відомо, споживання газу характеризують інтегральними показниками. Такий підхід має обмежені можливості стосовно опису реальних сигналів, оскільки не враховує їх стохастичності (випливає із фізичних властивостей сигналу). Газоспоживання за своєю природою є циклічним і стохастичним процесом. Існує низка праць Попадько В.Є., Приймака М.В. та Мацюка О.В., в яких для опису газонавантажень запропоновано ряд моделей, що враховують дві вище згадані основні властивості процесу. Проте ці моделі в повній мірі не відображають специфіку формування газоспоживання, не дозволяють проводити імітаційне моделювання, описують газоспоживання в рамках кореляційної теорії і, як результат, не дозволяють провести точний аналіз статистичних даних.

Наведені аргументи вказують на актуальність розробки нової моделі та створення на її основі обчислювальних методів статистичного аналізу та прогнозу для існуючих автоматизованих систем диспетчерського управління (АСДУ), які забезпечать отримання оперативних відомостей про режим газоспоживання, необхідних диспетчеру для прийняття рішень.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційне дослідження пов’язане із загальним напрямком наукової роботи кафедри комп’ютерних наук Тернопільського державного технічного університету імені Івана Пулюя, де його виконано. Тематика дисертаційної роботи пов’язана із науковою держбюджетною темою ДІ 117-05 „Розробка на основі періодичних ланцюгів Маркова методів статистичного аналізу і прогнозу графіків енергонавантажень”, номер держреєстрації № 0105U000743.

Мета і задачі дослідження. Метою даного дисертаційного дослідження є розробка математичної моделі та методу прогнозу газоспоживання з урахуванням циклічності й обґрунтування методів статистичного аналізу та імітаційного моделювання на основі побудованої моделі.

Досягнення поставленої мети вимагало розв’язання таких задач:

1. Провести огляд наукових публікацій з метою порівняльної класифікації відомих методів обліку та аналізу газонавантажень, а також – відомих математичних моделей для отримання початкових даних для дослідження.

2. Побудувати математичну модель газоспоживання з урахуванням стохастичності та циклічності його формування для розв’язання задач статистичної обробки та прогнозу навантажень газової системи.

3. Обґрунтувати методи статистичної обробки та імітаційного моделювання газоспоживання на основі створеної моделі.

4. Дослідити зв’язок газоспоживання з метеофакторами, на основі якого розробити метод прогнозу витрат газу та оцінити його точність.

5. Обґрунтувати можливість застосування нових інформативних параметрів в АСДУ.

6. Провести експериментальні дослідження газоспоживання побутовою групою споживачів з метою перевірки обґрунтованої в роботі математичної моделі та статистичних методів обробки.

Об’єкт дослідження. Динамічний процес газоспоживання в межах окремого регіону, області, міста.

Предметом дослідження. Математична модель, методи моделювання та статистична обробка даних газоспоживання.

Методи дослідження. Розв’язання задач:

– теоретичного характеру – виконано з використанням методів теорії ймовірностей, теорії випадкових процесів, лінійної алгебри, функціонального аналізу та математичної статистики;

– практичного характеру – виконано з використанням математичної статистики.

Наукова новизна одержаних результатів.

1. Вперше на основі аналізу механізму газоспоживання, породженого циклічним підключенням споживачів, обґрунтовано математичну модель газонавантажень у вигляді лінійного періодичного випадкового процесу (ЛПВП) та розроблено нову удосконалену модель у вигляді умовного лінійного періодичного випадкового процесу. Така модель добре узгоджується з задачами вимірювання та обробки даних, зокрема її використання дає можливість підвищити достовірність аналізу досліджуваного сигналу.

2. Вперше з метою аналізу математичної моделі газоспоживання визначено основні ймовірнісні характеристики умовного лінійного періодичного випадкового процесу, а саме: математичне сподівання, дисперсію, кореляційну та характеристичну функції.

3. Розроблено метод короткотермінового прогнозу добового газоспоживання з урахуванням температури навколишнього середовища, а також уперше досліджено точність прогнозу.

4. Створено методику імітаційного моделювання газоспоживання на основі побудованої математичної моделі. Результати комп’ютерного експерименту в ймовірнісному сенсі досить добре узгоджуються з експериментальними даними.

Практичне значення одержаних результатів.

Алгоритми оцінювання та прогнозу газоспоживання, що виконані на базі обґрунтованої математичної моделі, реалізовано у вигляді програмного забезпечення, призначеного для використання як складової частини АСДУ.

Отримані результати сприяють підвищенню ефективності оперативного управління режимами газоспоживання, дозволяють вчасно виявляти витоки чи несанкціонований відбір газу. Розроблений метод добового прогнозу витрат газу в залежності від температури навколишнього середовища дозволяє оптимально планувати подачу газу, вчасно вживати заходи для усунення нерівномірності його споживання. Побудована імітаційна модель газоспоживання може бути використана для тестування алгоритмів обробки витрат газу.

Досліджені та запропоновані методи мають практичне значення для потреб оперативного управління режимами навантажень газової системи. Отримані результати впроваджені в інформаційно-диспетчерському відділі ВАТ „Тернопільгаз”, що засвідчує відповідний акт.

Особистий внесок здобувача. Нові наукові результати, що увійшли до дисертаційної роботи, отримані здобувачем самостійно. У працях, опублікованих у співавторстві, автором дисертації у роботі [5] здійснено огляд математичних моделей та проаналізовано їх переваги і недоліки; в [1] проаналізовано механізм формування сигналу та обґрунтовано вибір ЛВП в якості математичної моделі газоспоживання; у [6] запропоновано нову конструктивну модель газонавантажень у вигляді умовного лінійного періодичного випадкового процесу; в [2] удосконалено та розширено математичну модель навантажень газової системи, знайдено математичне сподівання та дисперсію стаціонарного УЛВП на прикладі газоспоживання; у [7] проведено аналіз газоспоживання в рамках кореляційної теорії; в [4] визначено характеристичну функцію УЛВП; у [8] обґрунтовано методи статистичної обробки газонавантажень; в [3] проведено їх гістограмний аналіз; в [9] запропоновано метод короткотермінового інтервального прогнозу рівнів газоспоживання; в [10, 11] розроблено методику імітаційного моделювання.

Апробація результатів дисертації. За результатами дисертаційної роботи зроблено доповіді на восьмій, дев’ятій та десятій науково-технічних конференціях Тернопільського державного технічного університету імені Івана Пулюя „Інформаційні технології” (Тернопіль, 2004, 2005, 2006), на VІ міжнародній конференції студентів та молодих вчених „Політ-2006” (Київ, 2006), на І та ІІ міжнародних науково-практичних конференціях „Дні науки - 2005, ” (Дніпропетровськ, 2005, 2006), на XVIII Всеросійській науково-технічній конференції „Информационные технологии в науке, проектировании и производстве” (Нижній Новгород, 2006), наукових семінарах кафедри комп’ютерних наук Тернопільського державного технічного університету імені Івана Пулюя.

Публікації. За основними результатами дисертаційної роботи опубліковано 11 наукових праць, 4 із них – статті у наукових фахових виданнях (зокрема 1 – без співавторів), 7 – тези доповідей науково-технічних конференцій.

Структура і обсяг дисертації. Дисертація складається із вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел із 120 найменувань, містить 31 рисунок, 2 таблиці, 6 додатків. Повний обсяг дисертації складає 136 сторінок, основний зміст викладено на 119 сторінках.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У вступі шляхом аналізу та порівняння відомих математичних моделей з розробленими обґрунтовано актуальність теми дисертації, відзначено зв’язок роботи з науковими темами, сформульовано мету і задачі дослідження, визначено об’єкт, предмет і методи дослідження, показано наукову новизну та практичне значення отриманих результатів, розкрито питання апробації результатів дисертації на конференціях і семінарах та їх висвітлення у друкованих працях.

У першому розділі на основі аналітичного огляду літературних джерел описано основні особливості газової промисловості України та виявлено проблеми, пов’язані з оптимізацією її функціонування, проведено аналіз відомих методів реєстрації витрат газу й статистичної обробки газонавантажень, а також існуючих математичних моделей і методів прогнозу газоспоживання. Зважаючи на природну аналогію процесів газо- та енергоспоживання, проведено короткий огляд математичних моделей енергонавантажень.

Результати огляду існуючих моделей показали, що існує два основних підходи до математичних моделей та методів обробки газоспоживання – детермінований та стохастичний. Найпростіші методи аналізу газонавантажень пов’язані з дослідженням максимальних, мінімальних та усереднених рівнів газоспоживання за добу (Г.Шишко, М.Єнін). За математичну модель, в такому випадку, взято детерміновану функцію, яка описує газоспоживання протягом однієї доби. Такий підхід має обмежені можливості для опису реальних сигналів і може використовуватись для характеристики режимів споживання газу лише за одним зареєстрованим циклом.

Значною мірою наведені вище підходи удосконалюються при використанні стохастичних математичних моделей газоспоживання. Перші кроки у цьому напрямку було зроблено А.Гарляускасом, В.Панкратовим, М.Буланою. Характерною ознакою їх робіт є спроба ідеалізувати процес газоспоживання, математичною моделлю газонавантажень при цьому вважають ергодичний стаціонарний у широкому розумінні процес. Грубе „приведення” нестаціонарних процесів до стаціонарних та нехтування циклічними властивостями сигналу є спрощенням дійсності та не дозволяє поглибити опис сигналів до рівня, необхідного для потреб покращення управління режимами газоспоживання.

Однією з найпростіших моделей, яка враховує циклічність досліджуваного сигналу, є так звана „адитивна” модель (В.Попадько) – сума стаціонарного в широкому розумінні випадкового процесу та детермінованої періодичної функції.

Дослідники М.Приймак та О.Мацюк для опису газоспоживання пропонують наступні моделі: модель періодично-корельованого випадкового процесу (ПКВП) та стохастично-періодичний випадковий процес за Слуцьким. Ці моделі мають низку переваг у порівнянні з вищерозглянутими, проте не позбавлені і певних недоліків.

Результати порівняльної характеристики існуючих математичних моделей газоспоживання з отриманими в даній роботі наведено у таблиці.

Таблиця

Порівняльна характеристика математичних моделей газоспоживання |

Відомі математичні моделі |

Нові моделі

Детермі-нований підхід | Стохастичні моделі

Детермінована функція, що описує газоспоживання

за 1 добу | Стаціонарний випадковий процес у широкому розумінні | Детермінована періодична функція + стаціонарний випадковий процес | ПКВП | Стохастично періодичний ВП

за Слуцьким | Лінійний періодичний ВП | Умовний лінійний періодичний ВП

Враховує випад-ковий характер підключення споживачів– | + | + | + | + | + | +

Враховує випад-ковість тривало-стей перебуван-ня споживачів в системі–––––– | +

Враховує циклічність газоспоживання–– | + | + | + | + | +

Характеристики моделі | Максималь-ні,мінімальні та середні значення | Математичне сподівання, кореляційна функція | Математичне сподівання | Математичне сподівання, кореляційна функція | Моментні функції порядку | Момент-ні функції порядку | Момент-ні функції порядку

Описує газо-споживання у повному ймовір-нісному сенсі–––– | + | + | +

Відображає механізм форму-вання сигналу––––– | + | +

Дозволяє проводити імітаційне моделювання | +– | +–– | + | +

Проведений порівняльний аналіз існуючих математичних моделей газоспоживання показав, що відомі моделі мають вагомі недоліки, а тому існує об’єктивна необхідність побудови нової конструктивної моделі газонавантажень та розробки методів статистичної обробки і прогнозу на її основі для розв’язування основних задач оперативного управління.

Враховуючи специфіку поставлених задач, відомі підходи до їх розв’язання та особливості досліджуваного сигналу, сформульовано вимоги до нової математичної моделі.

У другому розділі проаналізовано механізм формування газонавантаження, обґрунтовано можливість застосування лінійного періодичного випадкового процесу як математичної моделі газоспоживання, розроблено нову удосконалену математичну модель навантажень на газову систему у вигляді умовного лінійного періодичного випадкового процесу, досліджено основні характеристики умовного лінійного стаціонарного процесу на прикладі газоспоживання.

Побудову моделі здійснено на основі аналізу поведінки окремого споживача в системі. Для цього було введено відповідні позначення. Момент часу, в який споживач починає вмикати газ, позначено (рис. ). На інтервалі часу тривалістю користувач нарощує необхідний для своїх потреб рівень інтенсивності газу .  – інтервал часу, протягом якого споживач користується газом. На наступному етапі споживач вимикає газ. Для спрощення математичної моделі було зроблено припущення, що час необхідний користувачеві для ввімкнення і вимикання газу, однаковий та рівний . Загальну тривалість перебування споживача у системі позначено : . Для подальшої побудови моделі прийнято положення, що – послідовності незалежних однаково розподілених випадкових величин з функціями розподілу відповідно та ; , – послідовність одинаково розподілених незалежних випадкових величин, що характеризує рівень інтенсивності споживання k-го споживача з функцією розподілу . Функцію, що характеризує зміну газоспоживання, позначено , де параметр – момент ввімкнення k-го споживача, аргумент t – момент спостереження. Моменти часу є випадковими.

Для спрощення моделі функцію замінено функцією

, | (1)

де

, . | (2)

Cередовище, де функціонують споживачі, має лінійні властивості, тому загальне газоспоживання дорівнює сумі витрат газу кожним споживачем зокрема. На основі цього положення, сумарне газоспоживання описано у вигляді випадкового процесу :

. | (3)

Щодо процесу ввімкнення споживачів в систему газопостачання зроблено низку припущень:

1.

2.

3.

4.

На основі пунктів 1-3 зроблено висновок, що процес ввімкнення споживачів в систему є нестаціонарним пуассонівським потоком з параметром .

В дисертаційній роботі вираз (3) записано у зручнішому для розв’язання теоретичних і практичних задач вигляді. Для цього було введено неоднорідний простий пуассонівський процес таким чином, щоб його стрибки відбувались у моменти часу ввімкнення споживача в систему і були рівними одиниці, та неоднорідний узагальнений пуассонівський процес , що відповідає нестаціонарному пуассонівському потокові з параметром , стрибки якого виникають у ті ж моменти часу, що й стрибки процесу ; величина кожного стрибка процесу дорівнює випадковій величині .

З урахуванням вище наведених припущень та позначень процес , що описує загальне газоспоживання, записано у вигляді стохастичного інтегралу

, . | (4)

Випадковий процес (4) названо умовним лінійним випадковим процесом (УЛВП). У цьому зображенні – функція (ядро УЛВП) з випадковими параметрами та ; – породжуючий процес з незалежними приростами, причому , .

У роботі обґрунтовано можливість застосування лінійного випадкового процесу як математичної моделі газоспоживання шляхом введення замість випадкових величин їх математичних сподівань та . Це дозволило вираз (4) записати в наступному вигляді:

, . | (5)

Випадковий процес, який допускає зображення (5), відомий під назвою лінійного випадкового процесу (ЛВП), причому - ядро ЛВП, що характеризує поведінку споживача в системі; - породжуючий процес, який описує моменти та інтенсивність ввімкнення споживачів газу.

Інтенсивність ввімкнення споживачів у газову систему визначається добовим циклом, а тому параметр процесу вважається періодичною функцією з періодом 24год. (1 доба), тобто . З цього випливає, що породжуючий процес є процесом з незалежними Т-періодичними приростами, а саме: функція розподілу приростів є періодичною функцією з тим же періодом Т:

.

Лінійний випадковий процес (5), за умови, що його породжуючий процес – це процес з незалежними Т-періодичними приростами, є періодичним за Слуцьким з тим же періодом Т. Таким чином, математична модель газоспоживання обґрунтована у вигляді лінійного періодичного випадкового процесу (ЛПВП).

Однак використання ЛПВП як моделі газонавантажень не дозволяє враховувати випадковість поведінки споживачів в системі, що є спрощенням дійсності і погано узгоджується з властивостями об’єкту досліджень. Тому остаточний вибір математичної моделі газоспоживання здійснено з урахуванням того, що процес, який описує навантаження газової системи, є стохастично періодичним за Слуцьким і, водночас, допускає зображення (4) у вигляді умовного лінійного процесу. Такий процес отримав назву умовного лінійного періодичного випадкового процесу.

З урахуванням фізіологічних особливостей функціонування людського організму, а також режиму роботи більшості людей, зроблено висновок, що інтенсивність підключення споживачів до системи газоспоживання протягом доби змінюється стрибкоподібно, тобто

, ,

де – індикаторна функція, .

Виходячи з цього припущення, загальне навантаження на газову систему представлено у вигляді кусково-стаціонарного процесу:

, , | (6)

де формують – вектор стаціонарних та стаціонарно-зв’язаних випадкових процесів, причому -та компонента вектора визначається виразом

. | (7)

Вираз (7) задає стаціонарний умовний лінійний випадковий процес із породжуючим узагальненим однорідним пуассонівським процесом з параметром .

З обґрунтованої вище стохастичної Т-періодичності процесу випливає існування такого цілого , що компоненти та , вектора є однаково розподіленими.

Нижче наведено отримані в роботі співвідношення для визначення основних ймовірнісних характеристик окремої компоненти вектора . Зокрема:

- математичне сподівання процесу (7) визначається виразом

, | (8)

де , та ;

- дисперсія процесу обчислюється за формулою

; | (9)

- автокореляційна функція задається співвідношенням

, | (10)

де є кореляційним перетворенням функції (2) з параметрами та ;

- одновимірна характеристична функція процесу (7) визначається за формулою

. | (11)

Таким чином, побудована в роботі математична модель газоспоживання у вигляді умовного лінійного періодичного випадкового процесу зі стаціонарними ділянками відображає основні закономірності формування газонавантажень, враховує циклічність досліджуваного сигналу, випадковість поведінки споживачів в газовій системі та може бути використана для розв’язання задач оперативного управління газоспоживанням, оскільки допускає визначення своїх характеристик за результатами експериментальних досліджень.

У третьому розділі на базі розробленої математичної моделі газоспоживання обґрунтовано методи статистичної обробки газонавантажень, висвітлено основні моменти проведення гістограмного аналізу досліджуваного сигналу з використанням кривих Пірсона, запропоновано методику прогнозу добових витрат газу з урахуванням середньодобової температури.

Методи статистичного аналізу стохастично періодичних процесів, до класу яких, власне, і належить газоспоживання, ґрунтуються на властивості стаціонарності та стаціонарної зв’язаності серій. -серією називається вкладена відносно стохастично періодичного процесу послідовність

, | (12)

де - крок дискретизації процесу , Т – період,  - кількість відліків процесу на одному періоді.

Згадані вище властивості серій дозволяють знаходити оцінки періодичних ймовірнісних характеристик процесу шляхом усереднення відліків через період. Необхідною умовою при цьому є знання періоду, оскільки він використовується у відповідних статистиках як параметр. Оцінювання періоду здійснено методом, описаним у працях Марченка Б.Г. та Приймака М.В.

У роботі проведено гістограмний аналіз газонавантажень. Підбір кривої щільності розподілу здійснено з використанням підходу Пірсона, який запропонував описувати одновимірні розподіли системою кривих з 13 типів. Тип отриманої кривої залежить від значень коренів квадратного рівняння, що відповідає квадратному тричлену в знаменнику правої частини диференціального рівняння:

, | (13)

де - щільність розподілу, - дійсні параметри.

Параметри виражаються через перших чотири моменти. На практиці для підбору кривої та при обчисленні параметрів рівняння (13) замість теоретичних моментів використовують їх оцінки (метод моментів).

Результати статистичного оцінювання математичного сподівання, дисперсії та щільності розподілу наведені у розділі 4.

Для добового прогнозу витрат газу в залежності від середньодобової температури запропоновано використати метод регресії. Проведено перевірку гіпотези про наявність параболічної регресії першого порядку, яка підтвердила лінійність зв’язку між газоспоживанням та температурою навколишнього повітря.

Випадкову величину, що описує добові витрати газу, позначено . Тоді для заданої температури справедливе наступне співвідношення:

(14)

де – невідомі коефіцієнти лінійної регресії, оцінки та яких знаходять на основі спостережень добового газоспоживання та середньодобової температури, використовуючи метод найменших квадратів.

Отже, знайшовши оцінки коефіцієнтів лінійної регресії і врахувавши задану середньодобову температуру, знаходимо оцінку математичного сподівання витрат газу за добу. На рис.  зображено результати регресійного аналізу, проведеного на основі реальної статистичної інформації, проте вони не можуть служити основою для оцінки ефективності методу прогнозу, тому що ефективність методу прогнозу визначається його точністю.

Для отримання більш точних оцінок досліджуваних параметрів та побудовані довірчі інтервали. Точність прогнозу математичного сподівання добового споживання газу для заданої температури визначається довірчою імовірністю та величиною довірчого інтервалу:

, | (15)

де - оцінка дисперсії добових витрат газу на основі вибірки нормально розподілених випадкових величин ; – відповідні значення температури; , - довірча границя для розподілу Стьюдента з ступенями свободи.

Розроблена методика прогнозу добових витрат газу полягає в наступному:

1. Оцінити коефіцієнти лінійної регресії за відомими співвідношеннями регресійного аналізу на основі реальних статистичних даних добового газоспоживання та відомостей про середньодобову температуру.

2. Побудувати лінію регресії, використовуючи знайдені оцінки параметрів регресії.

3. Задати середньодобову температуру доби, для якої здійснюємо прогноз.

4. Знайти для заданої температури оцінку математичного сподівання прогнозованого добового газоспоживання, використовуючи побудовану лінію регресії.

5. Задати довірчу ймовірність .

6. Обчислити межі довірчого інтервалу для знайденої оцінки математичного сподівання прогнозованого газоспоживання згідно з формулою (15).

На рис. наведено графічну ілюстрацію розробленої в дисертаційній роботі методики для прогнозу добового газоспоживання в залежності від середньодобової температури.

У четвертому розділі здійснено експериментальну перевірку побудованої у розділі 2 математичної моделі газоспоживання та обґрунтованих у розділі 3 методів статистичного аналізу газонавантажень на прикладі побутової групи споживачів; розроблено метод комп’ютерного імітаційного моделювання навантажень газової системи на основі запропонованої математичної моделі; проведено серію імітаційних експериментів на ЕОМ з метою моделювання газоспоживання.

На рис. наведено приклад реалізації газоспоживання в комунально-побутовому секторі. Очевидною є циклічність зображеної реалізації, для якої відсутня детермінована періо-дичність, але властива циклічна повторюваність характерних особливостей графіка через період Т.

З метою проведення подальшого статистичного аналізу газоспоживання спершу здійснено перевірку правильності припущення про циклічність газонавантажень з періодом Т=24 год. шляхом оцінки величини періоду. Оцінка періоду побудована на основі статистики , де - пробний період, , ( – ціла частина числа), - кількість елементів вибірки , за якою оцінюється період. Оцінка періоду визначається як . На рис. наведено результат оцінювання періоду газонавантажень. Як видно з рисунка, максимальне значення статистики спостерігається в точці =24, а отже, .

У результаті проведеного статистичного аналізу реальних даних газоспоживання побутової групи споживачів одержано статистичні оцінки математичного сподівання та середнього квадратичного відхилення. Графіки реалізацій отриманих оцінок (див. рис. ) мають циклічний характер, що підтверджує положення про стохастичну періодичність досліджуваного процесу.

Детермінована періодичність тут відсутня, оскільки наведені графіки є лише реалізаціями статистичних оцінок.

а) б)

Рис. Реалізація оцінки математичного сподівання газонавантаження (а) та реалізація оцінки його середнього квадратичного відхилення (б)

У роботі побудовано гістограми споживання газу для кожної години доби (рис.7) та здійснено вибір кривої Пірсона І типу як функції щільності розподілу. Для характеристики стану газоспожи-вання запропоновано використовувати нові інформативні параметри – коефіцієнти диференціального рівняння (13), що визначає різні типи кривих Пірсона.

На базі обґрунтованої математичної моделі газоспоживання побудовано імітаційну модель газонавантажень:

, | (16)

де - послідовність авторегресії р-ого порядку,

– індикаторна функція, .

Для моделювання стаціонарної лінійної випадкової послідовності використано наступний алгоритм.

1. Задати значення кореляційної функції.

2. Знайти коефіцієнти рівняння авторегресії (17) шляхом розв’язання системи рівнянь Юла-Уокера.

3. Обчислити дисперсію білого шуму та його математичне сподівання за послідовністю знайдених коефіцієнтів.

4. Згенерувати реалізації стаціонарного білого шуму із заданим математичним сподіванням та дисперсією.

5. Змоделювати реалізації стаціонарної лінійної випадкової послідовності.

Оскільки розроблена модель газоспоживання є стохастично періодичним процесом, то моделювання відліків , взятих через період Т, здійснено з одними і тими ж коефіцієнтами авторегресії.

Результати імітаційного моделювання наведені на рис. .

Адекватність розробленої моделі досліджуваному явищу підтверджується наступними аргументами:

– побудована математична модель газоспоживання враховує основні закономірності формування навантажень газової системи, а отже, добре узгоджується з досліджуваним фізичним явищем;

– обґрунтована стохастична періодичність процесу, що описує газо-навантаження, підтверджується експериментальними результатами;

– результати оцінювання періоду підтвердили гіпотезу про циклічність газоспоживання з періодом Т=24год.;

– ймовірнісні характеристики моделі визначаються за результатами експериментальних досліджень;

– характеристики імітаційної моделі газоспоживання відповідають у статистичному сенсі властивостям реального сигналу.

На основі розробленої математичної моделі та обґрунтованих методів статистичного аналізу газоспоживання створено пакет комп’ютерних програм для автоматизованої обробки, прогнозу та імітаційного моделювання навантажень газової системи, який може використовуватися як складова частина спеціалізованого програмного забезпечення АСДУ.

Висновки

У дисертації розв’язано актуальну науково-технічну задачу: побудовано математичну модель газоспоживання, адекватну досліджуваному явищу, і розроблено методику прогнозу та імітаційного моделювання газонавантажень. У результаті виконаних в роботі досліджень випливають такі висновки:

1. У результаті проведення порівняльного аналізу відомих математичних моделей сформульовано основні вимоги до математичної моделі газоспоживання: конструктивність, врахування стохастичного та циклічного характеру навантажень, можливість застосування для задач оперативного диспетчерського управління.

2. Розроблено нову стохастичну математичну модель газоспоживання у вигляді умовного лінійного періодичного випадкового процесу, яка, на відміну від існуючих, відображає механізм формування газонавантажень, допускає проведення повного ймовірнісного аналізу досліджуваного сигналу, визначення характеристик моделі за результатами експериментів, враховує випадковість тривалостей перебування споживачів в системі.

3. Отримано співвідношення для визначення основних ймовірнісних характеристик стаціонарного умовного лінійного випадкового процесу на прикладі газоспоживання, а саме: математичного сподівання, дисперсії, кореляційної та характеристичної функції, що дало можливість аналізувати газонавантаження з використанням моментних функцій порядку .

4. Розроблено метод короткотермінового інтервального прогнозу газоспоживання, який дає можливість розраховувати прогнозні значення витрат газу при заданій температурі навколишнього середовища.

5. Запропоновано метод імітаційного моделювання газонавантаження для потреб тестування розроблених алгоритмів обробки та прогнозу даних.

6. Створено пакет комп’ютерних програм для статистичної обробки та прогнозу газоспоживання, який може використовуватись як складова частина спеціалізованого програмного забезпечення АСДУ.

список опублікованих автором праць за темою дисертації

1. Марченко Б.Г., Мулик Н.В., Фриз М.Є. Обґрунтування математичної моделі газонавантажень // Вісник Тернопільського державного технічного університету. – 2005. – №2. – С.138-143.

2. Марченко Б.Г., Мулик Н.В., Фриз М.Є. Визначення основних імовірнісних характеристик газонавантаження // Вимірювальна та обчислювальна техніка в технологічних процесах. – Хмельницький: Вид-во Технологічного ун-ту Поділля, 2005. - №2. –С. .

3. Мулик Н.В. Гістограмний аналіз газонавантажень та вибір інформативних параметрів // Вісник Тернопільського державного технічного університету. – 2006. – №2. – С.163-170.

4. Марченко Б.Г., Мулик Н.В., Фриз М.Є. Характеристична функція умовного лінійного випадкового процесу як математичної моделі газоспоживання // Наукові праці Національного авіаційного університету. Серія: електроніка та системи управління. – 2006. – №3 (9). – С.40-46

5. Марченко Б.Г., Мулик Н.В. Математичні моделі газонавантажень // Матеріали Восьмої наукової конференції Тернопільського державного технічного університету ім. І.Пулюя (Тернопіль, 11-12 травня 2004р.). – Тернопіль: ТДТУ, 2004. - С.58

6. Марченко Б.Г., Мулик Н.В. Умовний лінійний випадковий процес як математична модель газоспоживання // Матеріали Дев’ятої наукової конференції Тернопільського державного технічного університету ім. І.Пулюя (Тернопіль, 12-13 травня 2005р.). – Тернопіль: ТДТУ, 2005. - С. 64

7. Мулик Н.В., Фриз М.Є. Аналіз газонавантаження в рамках кореляційної теорії // Матеріали Міжнародної науково-практичної конференції „Дні науки - 2005”. Т.18. Математика (Дніпропетровськ, 15-27 квітня 2005р.). – Дніпропетровськ: Наука і освіта, 2005. – С.39-40

8. Мулик Н.В. Методи обробки газоспоживання // Матеріали VI міжнародної наукової конференції студентів та молодих учених „Політ” (Київ, 11-12 квітня 2006р.). – Київ: НАУ, 2006. - С.60

9. Марченко Б.Г., Мулик Н.В., Фриз М.Є. Короткотерміновий прогноз газоспоживання з врахуванням метеофакторів // Матеріали Десятої наукової конференції Тернопільського державного технічного університету ім. І.Пулюя (Тернопіль, 17-18 травня 2006р.). – Тернопіль: ТДТУ, 2006. - С. 79

10. Мулик Н.В. Використання методів моделювання дискретних стаціонарних ЛВП в задачах імітаційного моделювання газоспоживання // Матеріали ІІ міжнародної науково-практичної конференції „Дні науки - 2006”. Т.35. Математика (Дніпропетровськ, 17-28 квітня 2006р.). – Дніпропетровськ: Наука і освіта, 2006. – С.53-54.

11. Мулык Н.В. Иммитационное моделирование газопотребления // Материалы Всероссийских научно-технических конференций (Computer-Based Conferences). XVIII ВНТК „Информационные технологии в науке, проектировании и производстве”. – Нижний Новгород: ННИМЦ „Диалог”, 2006. – С.28.

Анотації

Мулик Н.В. Математична модель та метод прогнозу газоспоживання з урахуванням циклічності – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за

спеціальністю 01.05.02 – Математичне моделювання та обчислювальні методи (технічні науки). – Тернопільський державний технічний університет імені Івана Пулюя, Тернопіль, 2006.

Дисертацію присвячено проблемам розробки математичної та імітаційної моделей газоспоживання та методу прогнозу витрат газу на базі стохастичного підходу з урахуванням циклічності. У дисертації обґрунтовано нове застосування лінійного періодичного випадкового процесу як математичної моделі газоспоживання та розроблено нову математичну модель у вигляді умовного лінійного періодичного випадкового процесу, яка має низку переваг, зокрема, враховує циклічність та механізм формування досліджуваного сигналу. На основі аналізу побудованої моделі отримано відповідні співвідношення для визначення основних ймовірнісних характеристик стаціонарного умовного лінійного випадкового процесу.

Для планування добових витрат газу в зимовий період запропоновано метод прогнозу добового газоспоживання з врахуванням середньодобової температури навколишнього середовища та досліджено його точність.

Розроблено метод імітаційного моделювання газонавантажень на базі побудованої математичної моделі газоспоживання. Створено пакет комп’ютерних програм для автоматизованої обробки витрат газу та проведення імітаційних експериментів для автоматизованих систем диспетчерського управління.

Ключові  слова: газоспоживання, газонавантаження, циклічність, умовний лінійний періодичний випадковий процес, прогноз, регресійний аналіз, статистичні методи аналізу, імітаційне моделювання.

Мулык Н.В. Математическая модель и метод прогноза газопотребления с учетом цикличности – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 01.05.02 – Математическое моделирование и вычислительные методы (технические науки). – Тернопольский государственный технический университет имени Ивана Пулюя, Тернополь, 2006.

Диссертация посвящена проблемам разработки математической и имитационной моделей газопотребления и метода прогноза расхода газа на базе стохастического подхода с учетом цикличности.

На основе анализа основных классов случайных процессов, используемых в качестве моделей газопотребления, сформулированы требования к новой модели. Вначале математическая модель газопотребления была обоснованна в виде линейного периодического случайного процесса. Эта модель имеет ряд преимуществ: отображает физику формирования исследуемого сигнала, учитывает его стохастичность и цикличность, позволяет исследовать газопотребление в рамках моментных функций порядка и проводить его имитационное моделирование. Данная математическая модель была конкретизирована с учетом случайности поведения потребителей газа в системе. Новая модель получила название условного линейного периодического случайного процесса.

Последующий анализ модели позволил получить соответствующие соотношения для определения математического ожидания, дисперсии, корреляционной и характеристической функций стационарного условного линейного периодического случайного процесса. Это дает возможность описывать газопотребление в полном вероятностном смысле.

Построение математической модели газопотребления с учетом цикличности позволило обосновать методы обработки в целом нестационарного процесса по его одной реализации. Базируясь на свойстве стационарности -серий - отсчетов процесса, взятых через период, а также используя систему кривых Пирсона, проведено оценивание плотности распределения. В качестве информативных параметров для оценки состояния режимов расхода газа предложено использовать коэффициенты дифференциального уравнения, что определяет разные типы кривых Пирсона.

С целью нормального обеспечения газом населения в зимний период в диссертационной работе разработан метод прогноза суточного газопотребления в зависимости от среднесуточной температуры воздуха. Данный метод прогноза построен с помощью регрессионного анализа, а его точность определяется величиной доверительного интервала для математического ожидания потребления газа за сутки.

Базируясь на предложенной модели, создан новый метод имитационного моделирования газопотребления с учетом его цикличности. Результаты моделирования и также полученные оценки параметров имитационной модели подтвердили корректность математической модели и эффективность методов обработки исследуемого сигнала.

Методы статистической обработки, прогноза и имитационного моделирования газопотребления реализованы в виде комплекса компьютерных программ. Внедрение полученных результатов подтверждено соответствующими документами.

Ключевые слова: газопотребление, газовая нагрузка, цикличность, условный линейный периодический случайный процесс, прогноз, регрессионный анализ, статистические методы обработки, имитационное моделирование.

Mulyk N.V. The mathematic model and the method for cycle-based gas consumption prognosis – Manuscript.

Thesis for the Scientific Degree of Candidate of Technical Sciences in the specialty 01.05.02 – Mathematical Modeling and Computational methods (Technical science). – Ternopil State Ivan Pul’uj Technical University, Ternopil, 2006.

The thesis focuses on the development of mathematical and simulation models of gas consumption. Gas consumption is prognosed using the stochastic approach and taking into consideration its cycling nature. For the first time, a linear periodical stochastic process is applied as a gas consumption mathematical model. Another mathematical model employs a conditional linear periodical stochastic process that ensures a number of advantages. For example, the cycling behavior and formation mechanism of a signal is considered. The analysis of the proposed model was performed to derive relations to determine the main stochastic parameters of a stationar conditional linear stochastic process.

To plan winter gas consumption, a method was developed to forecast a daily gas consumption taking into account an average ambient temperature. The method accuracy has been studied.

The mathematical gas consumption model was used to develop a simulation method for gas load. Application software has been developed to process the gas consumption volume and to simulate automated control systems.

Keywords: gas consumption, gas load, cycling, conditional linear periodical stochastic process, prognosis, regression analysis, statistical analysis, simulation.