НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНИХ ПРОБЛЕМ

МЕХАНІКИ І МАТЕМАТИКИ ІМ. Я.С. ПІДСТРИГАЧА

МУСІЙ

Роман Степанович

УДК 539.3

ТЕРМОМЕХАНІКА НЕФЕРОМАГНІТНИХ ЕЛЕКТРОПРОВІДНИХ ТІЛ

ЗА УМОВ ДІЇ ІМПУЛЬСНИХ ЕЛЕКТРОМАГНІТНИХ ПОЛІВ

З МОДУЛЯЦІЄЮ АМПЛІТУДИ

01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Львів – 2006

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Національному університеті „Львівська політехніка” та

Інституті прикладних проблем механіки і математики

ім. Я.С. Підстригача НАН України (м. Львів).

Науковий консультант – доктор фізико-математичних наук, професор

Гачкевич Олександр Романович,

Інститут прикладних проблем механіки і математики

ім. Я.С. Підстригача НАН України (м. Львів),

завідувач відділу.

Офіційні опоненти: академік НАН України, доктор фізико-математичних наук, професор

Грінченко Віктор Тимофійович,

Інститут гідромеханіки НАН України,

директор інституту;

доктор фізико-математичних наук, професор

Карнаухов Василь Гаврилович,

Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України,

завідувач відділу термопружності;

доктор фізико-математичних наук, професор

Осадчук Василь Антонович,

Національний університет „Львівська політехніка”,

завідувач кафедри „Зварювальне виробництво, діагностика

та відновлення металоконструкцій”.

Провідна установа: Донецький національний університет Міністерства освіти і науки

України, кафедра теорії пружності та обчислювальної математики

Захист відбудеться “19” вересня 2006 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д .195.01 в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України за адресою: 79060, м. Львів, вул. Наукова, 3-б.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України (79060, м. Львів, вул. Наукова, 3-б).

Автореферат розісланий “18” серпня 2006 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради,

доктор фізико-математичних наук Мартиняк Р.М.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Елементи конструкцій сучасної техніки перебувають в умовах багатофакторних навантажень, які зумовлюють їх відповідну термомеханічну поведінку. Одним з цих навантажень часто виступає електромагнітне, зокрема, імпульсного характеру. Дія такого навантаження покладена в основу роботи різних електротехнічних пристроїв, а також використовується в сучасних технологіях обробки конструктивних елементів в багатьох галузях промисловості. Серед згаданих пристроїв широке застосування набули пристрої для зняття небажаних чужорідних нашарувань на функціональних елементах виробів різного технічного призначення (шляхом створення механічних коливань, за яких відбувається зняття небажаних нашарувань) та індукційні імпульсні системи багаторазового використання, зокрема, для імпульсної обробки деталей машин, механізмів і приладів. Ці застосування в основному потребують забезпечення граничної несучої здатності відповідних конструктивних елементів.

Основним джерелом отримання імпульсних електромагнітних полів (ЕМП) у вищезгаданих пристроях, як і імпульсних ЕМП промислового використання, є технічні засоби, що працюють на принципі розряду конденсаторної системи на соленоїд. Імпульсні ЕМП можуть створюватись також генераторами високочастотних електромагнітних коливань. Зміна в часі цих імпульсних ЕМП має характер режиму з модуляцією амплітуди. Такий клас імпульсних ЕМП набув різноманітного практичного застосування в зв’язку з можливістю керування наявними процесами за рахунок вибору параметрів цих полів, зокрема, характеру зміни в часі модулюючої функції і частоти несучого сигналу.

За останні роки розв’язано ряд інженерних проблем в галузі розробки технічних систем для створення імпульсних ЕМП, запропоновано методики розрахунку окремих типів імпульсних ЕМП, наближену розрахункову схему оцінки квазістатичних напружень при „магнітному ударі” – частковому типі імпульсної електромагнітної дії. Відомі також методики визначення термонапруженого стану електропровідних тіл за умов дії усталених і квазіусталених ЕМП. Однак в літературі відсутні математичні моделі і методи опису термонапруженого стану електропровідних тіл за умов дії широко розповсюджених в практиці електромагнітної обробки типів імпульсних ЕМП з модуляцією амплітуди. Тому виникає проблема розробки варіанту теорії термомеханіки неферомагнітних електропровідних тіл за умов дії імпульсних ЕМП з модуляцією амплітуди з врахуванням особливостей дії таких полів на матеріальний континуум для раціонального проектування і розробки пристроїв для зняття чужорідних нашарувань (зокрема, обледеніння) з допомогою імпульсних ЕМП, індукційних імпульсних систем багаторазового використання, а також режимів їх функціонування та режимів магнітоімпульсних обробок конструктивних елементів, за забезпечення граничної несучої здатності як цих елементів, так і виробів у цілому.

Зв’язок роботи з науковими планами і темами. Дослідження за темою дисертації виконувались в рамках наукової теми Національного університету „Львівська політехніка” „Питання алгебри, функціонального аналізу, математичної фізики, гіллясті ланцюгові дроби та їх застосування” (1986-2005рр., № держреєстрації 01870095011) та науково-дослідної тематики Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України: „Розробка математичних моделей і методів дослідження та оптимізації процесів деформування, тепломасопереносу і структурних перетворень в багатокомпонентних електропровідних тілах при комплексних зовнішніх діях” (1999-2003рр., № держреєстрації 0199U000627); „Математичне моделювання дослідження та оптимізація механотермодифузійних процесів і фазових змін в електропровідних тілах за локальних комплексних зовнішніх дій” (2004-2007рр., № держреєстрації 0104U000203)), а також конкурсних держбюджетних тем „Математичне моделювання і методи розрахунку кусково-однорідних структур під дією полів різної фізичної природи” (1994-1995рр., № держреєстрації 0194U029517); „Розробка математичних моделей для опису впливу зовнішніх полів на рівноважні і нерівноважні системи” (1998-2000рр., № держреєстрації 0198U007870).

Метою дисертації є побудова варіанту теорії термомеханіки неферомагнітних електропровідних тіл за умов дії імпульсних ЕМП з модуляцією амплітуди для прогнозування деформативності механічних систем та оцінки граничної несучої здатності елементів конструкцій.

Досягнення мети передбачає:

· формулювання фізичних положень математичної моделі пружного деформування неферомагнітних електропровідних тіл імпульсними ЕМП та встановлення меж їх застосовності;

· виведення загальних вихідних співвідношень моделі стосовно визначальних функцій (компонент вектора напруженості магнітного поля, температури та компонент тензора динамічних напружень) та подання їх у декартовій, циліндричній та сферичній системах координат;

· розвиток методики наближеного розв’язування три-дво-та одновимірних динамічних граничних задач термомеханіки електропровідних циліндричних і сферичних тіл з використанням кубічної апроксимації розподілів визначальних функцій за радіальною координатою;

· здійснення математичної постановки модельних задач термомеханіки електропровідних тіл канонічної форми (шар, суцільні та порожнисті циліндр і куля) та знаходження їх розв’язків за однорідної нестаціонарної електромагнітної дії;

· математичне моделювання двох широко використовуваних в інженерній практиці типів імпульсних ЕМП з модуляцією амплітуди, що характеризуються відповідно режимом з імпульсним модулюючим сигналом (ІМС) та режимом згасної синусоїди (РЗС);

· знаходження з використанням запропонованої методики розв’язків нових задач термомеханіки електропровідних тіл канонічної форми при вказаних типах імпульсних електромагнітних навантажень та виявлення на їх основі закономірностей впливу часових та амплітудно-частотних параметрів імпульсної дії, характеристик матеріалу та геометричних параметрів на тепловий і напружений стан тіла;

· розробку розрахункових схем розв’язування задач термомеханіки електропровідних тіл в залежності від особливостей імпульсних електромагнітних дій.

Об’єкт дослідження – термомеханічна поведінка неферомагнітних електропровідних тіл за умов дії імпульсних електромагнітних навантажень.

Предмет дослідження – розвиток математичних моделей і методів термомеханіки для дослідження взаємозв’язку, зумовлених імпульсними ЕМП, механічних, теплових та електромагнітних полів в неферомагнітних електропровідних тілах.

Методи досліджень. При побудові варіанту теорії термомеханіки неферомагнітних електропровідних тіл за умов дії імпульсних ЕМП з модуляцією амплітуди використано методи математичного аналізу (ряди Фур’є), теорії функцій (апроксимація функцій скінченними сумами), теорії рівнянь з частинними похідними (зведення крайових задач до задач на ключові функції, побудова розв’язків задач за неоднорідних граничних і початкових умов), фізики твердого тіла (моделювання взаємодії імпульсного ЕМП з матеріальним континуумом), механіки суцільного середовища (побудова математичних моделей механіки зв’язаних полів, отримання системи вихідних рівнянь динамічної термопружності в напруженнях), а також числові методи при кількісному аналізі розв’язків конкретних задач.

Наукову новизну становить:

· побудований варіант термомеханіки неферомагнітних електропровідних тіл за умов дії імпульсних ЕМП з модуляцією амплітуди, який включає математичні моделі кількісного опису у взаємозв’язку електромагнітних, теплових і механічних процесів в циліндричних та сферичних тілах і тілах з плоскопаралельними границями при врахуванні особливостей дії імпульсних ЕМП на електропровідне тіло, зокрема, для двох характерних типів модулюючого сигналу, а також методики побудови розв’язків відповідних задач математичної фізики;

· формулювання задач термомеханіки електропровідних тіл канонічної форми стосовно компонент тензора динамічних напружень;

· спосіб моделювання фізико-механічних полів на основі експериментально спостережуваної за дії імпульсних ЕМП адіабатичності процесів;

· розвиток поліноміально-апроксимаційного методу наближеного розв’язування сформульованих граничних задач термомеханіки електропровідних порожнистих і суцільних циліндричних та сферичних тіл;

· отримані з використанням запропонованих методик розв’язки практично важливих задач термомеханіки електропровідних тіл канонічної форми для розглядуваних типів однорідних за координатами імпульсних електромагнітних навантажень;

· виявлені нові дані про вплив параметрів імпульсного електромагнітного навантаження, геометрії тіл та характеристик матеріалу на термомеханічну поведінку, зокрема, резонансні явища.

Теоретичне та практичне значення. Теоретичне значення отриманих результатів полягає в узагальненні теорії термомеханіки на комплексні зовнішні дії, які включають імпульсні ЕМП з модуляцією амплітуди.

Практична цінність роботи заключається в можливості більш повного врахування реальних електрофізичних властивостей матеріалу і параметрів електромагнітного навантаження при дослідженні, зумовленого дією зовнішнього ЕМП, напруженого стану елементів конструкцій, машин і приладів на основі розробленого в дисертації варіанту теорії термомеханіки. Результати конкретних досліджень, які наведені у вигляді графіків і таблиць, можуть бути корисні при розробці теоретичних основ проектування окремих магнітоімпульсних пристроїв цільового призначення, а також раціональних режимів нагрівання виробів з допомогою імпульсних ЕМП.

Обгрунтованість і достовірність основних наукових засад і отриманих результатів забезпечується фізичною обґрунтованістю вихідних положень і математичних моделей, узгодженістю запропонованого варіанту теорії термомеханіки неферомагнітних електропровідних тіл за умов дії імпульсних ЕМП з модуляцією амплітуди з відомою раніше розрахунковою моделлю дослідження термомеханічної поведінки електропровідних тіл при індукційному нагріві, співпадінням отриманих часткових результатів з відомими.

Апробація результатів дисертації. Основні наукові результати роботи доповідалися і обговорювалися на наукових конференціях професорсько-викладацького складу Національного університету „Львівська політехніка”, IV Всесоюзному симпозіумі „Теоретические вопросы магнитотермоупругости” (Єреван, 1989), III-IV Регіональних конференціях „Динамические задачи сплошной среды” (Краснодар, 1990, 1992), ІІІ Всесоюзній науковій конференції „Нові підходи до розв’язування диференціальних рівнянь” (Дрогобич, 1991), науково-технічній конференції „Применение вычислительной техники и математических методов в научных исследованиях” (Севастополь, 1990), Всеросійській науково-технічній конференції „Математическое моделирование технологических процессов обработки металлов давлением” (Пермь, 1990), Республіканському семінарі „Прочность и формоизменение конструкций при воздействии динамических физико-механических полей” (Київ, 1990), ІІІ-VI Міжнародних наукових конференціях „Математичні проблеми механіки неоднорідних структур” (Львів, 1995, 1997, 2000, 2003), I-VII Міжнародних симпозіумах українських інженерів-механіків у Львові (Львів, 1993, 1995, 1997, 1999, 2001, 2003, 2005), Науковій нараді „Термовязкоупругопластические процессы дефформирования в элементах конструкций” (Канів, 1992), Міжнародній конференції AMSE Conference „Applied Modellinq ond Simulation” (Львів, 1993), І Міжнародній конференції „Конструкційні та функціональні матеріали” (Львів, 1993), Всеукраїнській науковій конференції „Застосування обчислювальної техніки, математичного моделювання та математичних методів у наукових дослідженнях” (Львів, 1994), ІІІ Міжнародному симпозіумі „Некласичні проблеми теорії тонкостінних елементів конструкцій та фізико-хімічної механіки композиційних матеріалів” (Івано-Франківськ, 1995), Міжнародному конгресі „Modellinq and investiqation of systems stability” (Київ, 1997), ХХІІ Jugoslav conqress of theretical and applicd mechanics (Vrniacka Banja, Jugoslavia, 1997), Міжнародній науковій конференції „Сучасні проблеми механіки і математики” (Львів, 1998), Міжнародній науково-технічній конференції „Проблеми математичного моделювання сучасних технологій” (Хмельницький, 2002), ХІ Міжнародному симпозіумі „Динаміка конструкцій” (RzeszуwArlamуw, 2002), І-V Міжнародних наукових конференціях „Актуальні проблеми механіки суцільних середовищ” (Донецьк, 2001-2005), VІ-VІІ Всеросійських нарадах-семінарах „Инженерно-физические проблемы новой техники” (Москва, 2001, 2003), V і VI Міжнародних наукових школах-семінарах „Импульсные процессы в механике сплошных сред” (Миколаїв, 2003, 2005).

В повному обсязі робота доповідалась на науковому семінарі кафедри вищої математики Національного університету „Львівська політехніка” під керівництвом д. ф.-м. наук, проф. Ю.К. Рудавського, на науковому семінарі Центру математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України під керівництвом чл.-кор. НАН України, д. ф.-м. наук, проф. Я.Й. Бурака і д. ф.-м. наук Є.Я. Чаплі, на семінарі відділу теорії фізико-механічних полів Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України під керівництвом д. ф.-м. наук, проф. О.Р. Гачкеви-ча, на семінарі кафедри механіки Львівського національного університету ім. І. Франка під керівництвом д. ф.-м. наук, проф. Г.Т. Сулима, на об’єднаному семінарі кафедр прикладної механіки та комп’ютерних технологій і теорії пружності та обчислювальної математики Донецького національного університету під керівництвом акад. НАН України, д. ф.-м. наук, проф. В.П. Шевченка і д. ф.-м. наук, проф. С.О. Калоєрова, на науковому семінарі відділу термопружності Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України під керівництвом д. ф.-м. наук, проф. В.Г. Карнаухова, на науковому семінарі кафедри теоретичної механіки Київського національного університету ім. Т. Шевченка під керівництвом акад. НАН України, д. ф.-м. наук, проф. В.Т. Грінченка і чл.-кор. НАН України, д. ф.-м. наук, проф. А.Ф. Улітка, на загальноінститутському кваліфікаційному семінарі „Механіка взаємозв’язаних полів” Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України під керівництвом д. ф.-м. наук, проф. Р.М. Кушніра.

Публікації та особистий внесок здобувача. Основні результати дисертаційної роботи викладено в 24 наукових публікаціях у фахових виданнях зі списку ВАК України. Всього за темою роботи опубліковано 35 наукових праць. Результати, що складають основний зміст роботи, отримані дисертантом самостійно. У працях опублікованих самостійно подано основні результати теоретичних досліджень, зокрема, з отримання системи вихідних співвідношень варіанту теорії термомеханіки електропровідних тіл, обгрунтування методики розв’язування відповідних задач математичної фізики для тіл канонічної форми та знаходження розв’язків конкретних задач, а також проведеного числового аналізу. [3-6, 8-12, 14-16, 19, 25-28]. У роботах, опублікованих у співавторстві, здобувачеві належать: виведення ключових рівнянь термомеханіки в напруженнях для розглядуваних тіл канонічної форми, математична постановка крайових задач термомеханіки електропровідних тіл та розробка методики їх розв’язування [2, , , , , ]; отримання розв’язків крайових задач термомеханіки електропровідних тіл за умов дії імпусних ЕМП з модуляцією амплітуди, що характеризуються режимом з імпульсним модулюючим сигналом та режимом згасної синусоїди, участь у розробці відповідних числових алгоритмів та аналізі отриманих результатів [14, , , , , ].

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, шести розділів, які містять 148 рисунків і 3 таблиці, висновків та додатків, а також списку літературних джерел із 335 найменувань. Загальний обсяг дисертації становить 365 сторінок.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі подано загальну характеристику роботи і аналіз стану досліджень з наукової проблеми, обгрунтовано актуальність теми дисертації та її зв’язок з науковими програмами, сформульовано мету роботи і задачі дослідження, окреслено новизну отриманих результатів і їх практичне значення, наведено дані про апробацію дисертаційної роботи та публікації її основного змісту і особистий внесок здобувача у публікаціях, підготовлених у співавторстві, зроблено короткий опис структури дисертації.

В першому розділі подано огляд літератури за темою дисертації. Відзначено, що дія імпульсних ЕМП є основою функціонування ряду електромагнітних пристроїв різного цільового призначення, а також використовується в технологіях сучасних електромагнітних обробок.

Імпульсний характер зміни в часі ЕМП створює ряд особливостей взаємодії поля та матеріального континууму, які не властиві для усталених чи квазіусталених ЕМП. Тому вирішення проблеми проектування пристроїв для зняття нашарувань чи створення імпульсних ЕМП, прогнозування закономірностей протікання зумовлених ними термомеханічних процесів, а також розробки раціональних режимів магнітоімпульсної обробки чи експлуатації виробів за імпульсних електромагнітних дій вимагає вирішення ряду технічних, експериментальних і теоретичних завдань термомеханіки та електромагнітомеханіки електропровідних тіл.

Питання інженерного розрахунку та практичного застосування імпульсних ЕМП досить повно висвітлені в роботах І.В. Білого, П.Н. Дашука, А.А. Дудіна, С.Л. Зайєнца, В.С. Камелькова, В.Р. Карасика, І.Н. Кідіна, В.М. Михайлова, А.Б. Новгородцева, В.І. Ожогіна, Б.Б. Тимофеєва, Л.Т. Хіменка, С.М. Фертіка, Г.А. Шнеєрсона, F. Herlach, H. Knopfel, B. Malholl, G.А. Maugin, C.І. Mocanu, D. Monthomery, D. Parkinson та ін. В цих роботах розв’язані завдання розробки і створення конденсаторно-соленоїдальних систем, які генерують імпульсні ЕМП в режимах одиночного імпульса або згасної синусоїди з максимальною величиною напруженості магнітного поля (НМП) рівною А/м, а також генераторів, що створюють імпульсні ЕМП в режимі з модуляцією амплітуди за імпульсного модулюючого сигналу з величиною НМП до А/м. Встановлено залежності характеристик модулюючого сигналу і відповідних швидкостей нагріву та деформування електропровідного тіла від технічних параметрів конденсаторно-соленоїдальних систем і генераторів та експериментально визначено клас „неруйнівних” імпульсних ЕМП, параметри яких допускають збереження деформативності електропровідного тіла та забезпечують граничну несучу здатність відповідних конструктивних елементів.

Особливості механічної поведінки деформівних тіл за умов динамічних та імпульсивних навантажень і характеристики матеріалу при таких навантаженнях встановлено, зокрема, з використанням експериментальних досліджень, в роботах Ю.С. Воробйова, В.Н. Іонова, В.І. Кир’яна, А.А. Лєбєдєва, С.А. Новікова, В.І. Похмурського, В.А. Синіцина, Л.Д. Соколова, П.М. Огібалова, Л.П. Орленка, Г.С. Писаренка, А.Я. Учаєва, P.W. Bridgman, А. Nadai, J. Pirson, J.S. Reinchart та ін.

Вирішення теоретичних завдань термомеханіки електропровідних тіл за імпульсних електромагнітних навантажень пов’язане як з розвитком загальної теорії термомеханіки електропровідних тіл – важливої галузі механіки деформівного твердого тіла, так і необхідністю побудови конкретних моделей та методів термомеханіки електропровідних тіл за умов дії різних типів електромагнітних навантажень, а також і потребами вирішення актуальних проблем створення технології цільової обробки елементів конструкцій з використанням ЕМП, розробки раціональних режимів експлуатації елементів машин і пристроїв, які працюють за електромагнітних навантажень.

Важливе місце при цьому належить встановленню сучасних уявлень про закономірності взаємовпливу нестаціонарних процесів різної фізичної природи, здійсненому О.Є. Андрейківим, Я.Й. Бураком, О.Г. Горшковим, В.Т. Грінченком, Е.І. Гри-голюком, Я.М. Григоренком, О.М. Гузем, В.Г. Карнауховим, Г.С. Кітом, А.Д. Кова-ленком, В.Д. Кубенком, В.В. Лободою, І.О. Луковським, В.В. Мелешком, І.М. Мото-виловцем, Ю.В. Немировським, Ю.І. Няшиним, В.В. Панасюком, Я.С. Підстригачем, Б.Є. Победрею, Г.Я. Поповим, В.Г. Поповим, Ю.М. Постольником, В.Б. Поручико-вим, М.П. Савруком, І.Т. Селєзовим, В.І. Сторожевим, Г.Т. Сулимом, В.А. Осадчу-ком, Д.В. Тарлаковським, І.І. Федиком, Л.А. Фільштинським, Р.М. Швецем, В.П. Шевченком, Ю.М. Шевченком, G., Е. Меlаn, W. Nowacki, H. Pаrcus та ін.

Загальні підходи до побудови нових термомеханічних моделей суцільного середовища для опису механічних процесів у взаємозв’язку з тепловими, електромагнітними, дифузійними та дослідження цих моделей зробили як вітчизняні (Я.Й. Бу-рак, Б.П. Галапац, О.Р. Гачкевич, О.М. Гузь, В.Т. Грінченко, В.Г. Карнаухов, І.Ф. Киричок, Ю.М. Коляно, Л.Я. Косачевський, Ф.Г. Махорт, С.В. Пелетмінський, Я.С. Підстригач, Н.М. Подільчук, І.Т. Селєзов, А.Ф. Улітко, Л.П. Хорошун, М.О. Шульга та ін.), так і зарубіжні (С.А. Амбарцумян, Г.Е. Багдасарян, Н.І. Долбін, В.І. Дресвянніков, А.А. Ільюшин, М.І. Кисельов, М.Р. Короткіна, Б.А. Кудрявцев, В.З. Партон, Л.І. Сєдов, А.Г. Ципкін, W. Brown, L. Chu, R. Dixon, J. Dunkin, A. Eringen, S. De Groot, K. Hutter, S. Kaliski, L. Knopof, B. Maruszcewski, G. Maugin, R. Mindlin, F. Moon, W. Nowacki, Y. Pao, H. Parcus, D. Slettery, J. Stefaniak, L. Suttorp, H. Tiersten та ін.) вчені.

Проблема моделювання і дослідження електромагнітних, теплових і механічних явищ в матеріальних середовищах є дуже різноманітна. Розглядаються різні як типи матеріалів: електропровідні неферомагнітні і феромагнітні, діелектричні, феритові і п’єзоелектричні (зокрема, в зв’язку з інтенсивним використанням електромеханічних перетворювачів енергії), так і моделі дослідження специфіки взаємодії ЕМП з конкретними матеріальними континуумами: магнітопружності, на основі яких вивчають механічну поведінку (зокрема стійкість) електропровідних (струмонесучих) тіл в сильному магнітному полі; поширення хвиль в деформівних тілах за врахування зв’язаності механічних та електромагнітних полів (стосовно проблем геофізики, сейсмології та створення методів неруйнівного контролю напружень в тілах); опису фізико-механічних процесів при термообробці тіл, основаній на використанні зовнішнього електромагнітного випромінювання (радіочастотного та світлового діапазонів) тощо.

Ефективні числові та числово-аналітичні методики розв’язування різних задач механіки зв’язаних полів та електромагнітотермомеханіки запропоновані в роботах С.А. Амбарцумяна, Г.Е. Багдасаряна, М.В. Белубекяна, Я.М. Григоренка, О.Я. Гри-горенка, В.Т. Грінченка, В.С. Гудрамовича, В.І. Дресвяннікова, К.Б. Казаряна С.О. Калоєрова, В.Г. Карнаухова, В.І. Козлова, Ю.М. Коляно, О.М. Макарова, В.В. Мелешка, Л.В. Мольченка, З.Т. Назарчука, В.Л. Рвачова, Я.Г. Савули, В.С. Сар-кісяна, М.Г. Угодчикова, А.Ф. Улітка, Г.А. Шинкаренка, М.Л. Фільштинського та ін.

Оскільки в даній роботі розглядається важлива в застосуваннях проблема дослідження впливу імпульсних ЕМП з модуляцією амплітуди на термомеханічну поведінку твердих електропровідних деформівних тіл далі детальніше зупинимось на результатах, які тісно пов’язані з розглядуваним предметом досліджень.

Для розробки теоретичних основ конкретних технологій обробки тіл за допомогою усталених і квазіусталених ЕМП, зокрема індукційної, в працях Я.Й. Бурака, О.Р. Гачкевича, Б.І. Колодія, Н.М. Родигіна, Я.С. Підстригача, О.М. Шаблія та ін. запропоновано орієнтовані до більш вузьких класів матеріалів (електропровідних, феромагнітних, діелектричних) моделі термомеханіки деформівних твердих тіл при дії ЕМП радіочастотного діапазону. О.Р. Гачкевичем і Р.Ф. Терлецьким побудовано варіант теорії термомеханіки багатокомпонентних деформівних твердих тіл низької електропровідності при електромагнітному опроміненні. Я.Й. Бураком і В.Ф. Кон-дратом розроблено математичні моделі і методи нелінійної механіки віброеволюційних процесів в локально неоднорідних електропровідних тілах при періодичних навантаженнях. Моделі електропровідних і напівпровідникових твердих сумішей розвинуто в роботах Я.Й. Бурака, К.П. Гурова, Я.С. Підстригача, Є.Я. Чаплі, В.Ф. Чекуріна, S. De Groot та ін. Вплив постійного магнітного поля на хвильові процеси в електропровідних тілах, коливання тонкостінних об’єктів вивчено в роботах С.А. Амбарцумяна, В.Ф. Кондрата, Т.С. Нагірного, С.В. Пелетмінського, І.Т. Селє-зова, М.О. Шульги, S. Kaliski та ін. Задачі про поширення плоских хвиль в провідному тілі і дослідження впливу однорідних початкових деформацій на швидкості поширення і згасання електромагнітних хвиль розглянуто О.М. Гузьом і Ф.Г. Махортом.

Термомеханічні та електромеханічні процеси у пружних та в’язкопружних тілах з п’єзоелектричними властивостями за гармонічних силових навантажень, зокрема, з врахуванням температурної залежності характеристик матеріалу та за наявності тріщин, проаналізовано в роботах В.Т. Грінченка, Б.П. Гуменюка, В.Г. Карна-ухова, С.О. Калоєрова, І.Ф. Киричка, В.І. Козлова, Б.А. Кудрявцева, В.В. Лободи, В.З. Партона, І.К. Сенченкова, А.Ф. Улітка, В.П. Шевченка, М.О. Шульги, Л.А. Фільштинського та ін.

Становлення магнітотермомеханіки електропровідних тіл за умов дії сильних імпульсних ЕМП пов’язане з роботами F. Moon, в яких визначено напружено-деформівний стан електропровідного півпростору за магнітного удару, встановлено, що вплив рухомості середовища на характеристики ЕМП є нехтовний, результати досліджень підтверджено експериментом.

Варіант теорії квазістатичної термопружності провідних тонких оболонок при дії імпульсних магнітних полів, в основу якого закладені запропоновані в роботах С.А. Амбарцумяна, Г.Е. Багдасаряна, М.В. Белубекяна гіпотези магнітопружності тонких тіл, побудовано В.І. Дресвянніковим. Новий клас задач нестаціонарної магнітопружності про занурення електропровідних тіл в неоднорідне магнітне поле сформульовано А.Ф. Улітком і В.Ф. Ковальчуком. Розв’язок задачі про тепловий удар на провідний пружний півпростір з „вмороженим” магнітним полем за врахування скінченої швидкості поширення тепла отримали Ю.М. Коляно і М.А. Кондра-тюк. Новий напрям нелінійної магнітопружності гнучких струмонесучих оболонок розвинуто Л.В. Мольченком.

Таким чином, з приведеного огляду випливає, що стосовно розглядуваної наукової проблеми розв’язано ряд інженерних завдань в галузі розробки технічних систем для створення імпульсних ЕМП, експериментально встановлено закономірності динамічної поведінки деформівних тіл при імпульсних навантаженнях та визначено відповідні характеристики матеріалу, запропоновано методики розрахунку окремих типів імпульсних ЕМП, наближену розрахункову схему оцінки двовимірних квазістатичних і одновимірних динамічних напружень при „магнітному ударі” – частковому типі імпульсних ЕМП. Відомі також методики визначення термонапруженого стану електропровідних тіл за умов дії усталених і квазіусталених ЕМП. Проте в літературі відсутні математичні моделі і методи опису термонапруженого стану електропровідних тіл за умов дії широко розповсюджених в практиці електромагнітної обробки імпульсних ЕМП з модуляцією амплітуди.

В другому розділі викладено варіант теорії термомеханіки неферомагнітних електропровідних тіл за умов дії імпульсних ЕМП з модуляцією амплітуди, який включає математичні моделі кількісного опису у взаємозв’язку електромагнітних, теплових і механічних процесів в циліндричних та сферичних тілах і тілах з плоскопаралельними границями при врахуванні особливостей дії ЕМП на електропровідне тіло для характерних типів модулюючого сигналу.

В П.2.1 отримано загальні співвідношення розглядуваного варіанту теорії термомеханіки за дії імпульсних ЕМП з модуляцією амплітуди, які описуються значеннями вектора напруженості магнітного поля на поверхні електропровідного тіла вигляду

(чи ). (1)

Тут: – модульована амплітуда; – амплітуда несучого сигналу, – функція імпульсного характеру зміни в часі, що описує закон зміни в часі сигналу, який модулює амплітуду електромагнітних коливань і задовольняє умови , ; – частота несучого сигналу; – час тривалості електромагнітної дії; і – радіуси-вектори точок об’єму і поверхні електропровідного тіла. Прийнято, що параметри , , , є такими, що діюче імпульсне ЕМП відноситься до класу імпульсних „неруйнівних” ЕМП, дія яких ще не приводить до виникнення ударних хвиль (з імпульсом тривалістю меншою від долей секунди (с) і найбільшим значенням напруженості магнітного поля в тілі меншим від (А/м), де – найбільше значення напруженості магнітного поля в тілі).

При окреслених величинах параметрів електромагнітної дії напруження і деформації, а також їх швидкості в тілі є настільки малі, що виконуються залежності лінійної теорії пружності і впливом рухомості середовища на характеристики ЕМП можна знехтувати. Процес деформування електропровідного тіла має динамічний характер, для якого властиві відомі особливості механічної поведінки деформівних тіл за динамічних та імпульсивних силових і теплових навантажень (значення динамічних модулів пружності металів та їх сплавів мало відрізняються від статичних, а значення динамічної межі пружної деформації може зростати в рази в порівнянні зі статичним і є визначене експериментально для різних матеріалів в залежності від швидкості деформації).

Розглянуто широко розповсюджені ізотропні однорідні недіелектричні неферомагнітні тіла, для яких електромеханічні та термоелектричні ефекти є неістотні і вектори індукцій і є паралельні до векторів напруженостей електричного та магнітного полів і струм провідності – паралельний до . В цьому випадку прийнято, що матеріальні рівняння електродинаміки мають вигляд: де , ; , – постійні відносні електрична і магнітна проникливості, – коефіцієнт електропровідності (величини, що визначені експериментально або теоретично для конкретних фізичних моделей твердих тіл), , – відповідно електрична і магнітна сталі. За прийнятих припущень вплив імпульсного ЕМП з модуляцією амплітуди на процеси теплопровідності та пружного деформування в електропровідному тілі, як і в відомих моделях для квазіусталених ЕМП, враховано через зумовлені цим полем джоулеві тепловиділення і пондеромоторні сили . Ці фактори приводять до виникнення нестаціонарних температурних та механічних полів. Пондеромоторні моменти (, де – електричні моменти, а – магнітні моменти; і – відповідно вектори поляризації і намагнічування) за рахунок паралельності векторів індукцій і напруженостей електричного і магнітного полів є рівні нулю. В такому наближенні і при постійних характеристиках матеріалу (зокрема, рівних середнім значенням в розглядуваному інтервалі зміни температур) вихідні співвідношення для кількісного опису параметрів, що характеризують електромагнітні, теплові та механічні процеси в тілах за імпульсної електромагнітної дії, сформульовано за два етапи. На першому етапі записано рівняння на визначення параметрів ЕМП та вирази для виробництва тепла і пондеромоторних сил, як функцій електромагнітних параметрів. На другому етапі отримано залежності, що описують механічні і теплові параметри при заданих початкових і граничних умовах на температуру і компоненти тензора напружень , в яких джерелами тепла і об’ємними силами є джоулеві тепловиділення і пондеромоторні сили, знайдені на першому етапі. При відомих температурі та компонентах тензора напружень аналізуються параметри наявних фізико-механічних процесів та їх особливості в залежності від імпульсних електромагнітних навантажень, а також з умови

(2)

(де – інтенсивність напружень; – інваріанти тензора напружень; – межа пружної деформації) визначаються допустимі параметри імпульсного ЕМП, які забезпечують граничну несучу здатність розглядуваних тіл.

Розв’язування такої комплексної задачі, навіть, для тіл простої геометричної конфігурації, зв’зане зі значними математичними труднощами. З метою використання наближених підходів до розв’язування складових задач (зокрема, термопружності на другому етапі) за ключові функції вибрано , , , відносно яких сформульовано відповідні задачі математичної фізики. Формулювання прямих задач відносно цих ключових функцій дало можливість ефективно використати наближений метод побудови розв’язків – метод поліноміальної апроксимації і підвищити їх точність.

На першому етапі за нехтування струмами зміщення і відсутності вільних зарядів в тілі, на основі рівнянь Максвелла для неферомагнітного електропровідного тіла записано рівняння для визначення параметрів ЕМП (вектора напруженості магнітного поля )

, , (3)

і вирази для тепловиділень і пондеромоторних сил

, . (4)

Рівняння (3) розв’язуються за граничної умови (1) і початкової (відсутність поля в початковий момент часу ).

При визначенні параметрів, що описують термопружний стан тіла, за ключові функції вибрано температуру і тензор напружень . Приймаючи, що в початковий момент часу переміщення і швидкості є рівні нулю, а температура є рівна , К отримано початкові умови

, , , .(5)

Тут: – відхилення температури від початкової ; ; – модуль зсуву; – коефіцієнти лінійного теплового розширення і Пуасона; – модуль Юнга; – символи Кронекера.

Згідно з означеними залежностями (4) чинниками дії ЕМП на тіло, температуру і компоненти тензора напружень подано у вигляді суми двох складових

, , (6)

де , і , – складові, зумовлені відповідно джоулевим теплом і пондеромоторними силами.

Дослідниками експериментально встановлено, що для електромагнітної дії класу імпульсних „неруйнівних” ЕМП, тіла протягом такої дії нагріваються адіабатично – температура в точці визначається тільки кількістю енергії ЕМП незворотньо поглинутої у відповідному елементарному об’ємі тіла (джоулевим теплом). За таких умов температурне поле описується рівнянням , де – коефіцієнти температуро-і теплопровідності. Тому в розглядуваному випадку для складової температури отримано

. (7)

Приймається, що тіло є вільне від силового навантаження. Тоді сформульована відносно тензора напружень система рівнянь термопружності для визначення зумовлених температурою компонент складової тензора напружень буде

, (8)

за початкових

, , , (9)

і граничних при умов. Тут – густина матеріалу тіла; – одиничний тензор.

При знаходженні складових температури і напружень , зумовлених дією пондеромоторної сили, враховано той факт, що термічне збурення в електропровідному тілі в цьому випадку викликане деформацією від динамічної силової дії, яка має також імпульсний характер. За таких дій процес деформування вважають адіабатичним і приріст температури при малих термічних збуреннях визначають за формулою

, (10)

де – перший інваріант тензора деформацій ; – ізотермічні коефіцієнти Ляме. Враховуючи, що у випадку адіабатичної деформації тіла закон Гука визначається співвідношенням , де – адіабатичний коефіцієнт Ляме, – параметр зв’язаності полів деформації і температури, записано вираз об’ємної деформації тіла у вигляді . Тоді приріст температури , відносно початкової буде рівний

, (11)

а компоненти складової тензора напружень задовольняють рівнянням

, (12)

початковим

, (13)

і граничним при умовам, де

.

Діючи на рівняння (8) і (12) оператором несумісності і враховуючи, що , а також початкові умови (9) і (13) на тензори напружень і , отримано і , тобто, що умови неперервності деформацій виконуються тотожньо при виконанні рівнянь (8) і (12).

При розгляді температур і напружень для моментів часу (більших за тривалість імпульсної дії) температура визначається з рівняння за початкової умови і граничних умов, що відповідають конвективному теплообміну тіла із зовнішнім середовищем. Напруження за врахування відомих результатів про заникання динамічних механічних ефектів при тепловому ударі за скінченої швидкості росту температури на поверхні тіл, шукаються в квазістатичній постановці з випливаючої зі співвідношень (8) системи рівнянь

, , (14)

за граничних умов на поверхні електропровідного тіла.

При дослідженні фізико-механічних полів в тілах конкретної геометрії вигідно використовувати відповідні ортогональні криволінійні системи координат, в яких зручно параметризуються граничні поверхні тіл. Розглянуті в П.2.1 загальні співвідношення термомеханіки електропровідних тіл, в П.2.2-П.2.4 записано в широко вживаних прямокутній декартовій, циліндричній та сферичній системах координат. Зокрема, в циліндричній системі координат () система рівнянь (3), що описує компоненти вектора напруженості магнітного поля , буде

, , ,

, , (15)

де – оператор Лапласа в циліндричних координатах. Складові температури і напружень , зумовлених дією джоулевого тепла, задовольняють системі рівнянь

,

,

,

,

,

, (16)

, ,

за випливаючих з (5) початкових при умов

,

. (17)

Складові напружень , зумовлених дією пондеромоторної сили , описуються системою рівнянь

,

,

,

,

, (18)

,

, ,

за початкових (при ) умов

, ,

. (19)

Складова температури за знайденими напруженнями визначається співвідношенням (11). Система рівнянь для визначення компонент отримується зі системи (14) і має вигляд системи (16) за нехтування похідними за часом.

В П.2.2-П.2.4 подана також математична постановка одновимірних крайових задач термомеханіки електропровідних тіл канонічної форми (шар, довгі суцільний і порожнистий циліндри та порожниста і суцільна кулі) за однорідної по координатах довільної за часом нестаціонарної електромагнітної дії. Записані співвідношення плоскої осесиметричної задачі для циліндрів і центрально-симетричної задачі для куль та задачі для шару при заданих на поверхнях цих тіл значеннях відповідної компоненти вектора : осьової , азимутальної або . Вихідне рівняння на відповідну компоненту вектора буде

. (20)

Тут: , , – для пластини; , – для циліндрів; , – для куль. Початкова умова за відсутності ЕМП в даному тілі при буде . За знайденою функцією вирази питомих густин джоулевих тепловиділень і пондеромоторної сили записуються на основі формул (4). Складові температури і напружень описуються системою рівнянь

, (21)

, (22)

(а), (б) (23)

за початкових умов

, , . (24)

Тут: для шару – ; ; ; ; і визначається з рівняння (21); для циліндрів – ; ; ; і розв’язки плоскої осесиметричної задачі шукаємо на основі рівнянь (21), (22) і (23а); для куль – ; ; ; і розв’язки центрально-симетричної задачі шукаємо на основі рівнянь (21), (22) і (23б).

Вихідна система рівнянь (18) на складові температури і напружень у цьому випадку має вигляд

,

, ,

, , (25)

а початкові умови запишуться

, , . (26)

Тут: для шару – ; ; ; ; ; ; ; для циліндрів у випадку плоскої осесиметричної задачі – ; ; ; ; ; для куль у випадку центрально-симетричної задачі – ; ; ; ; . Квазістатичні напруження , зумовлені температурою , визначаються з відповідної системі рівнянь (21)-(23) системи співвідношень квазістатичної задачі термопружності. Записані вище системи рівнянь на напруження і розв’язуються за умов відсутності навантажень на поверхнях розглядуваних тіл.

Розв’язки сформульованих навіть одновимірних модельних задач (знайдені в Додатку А відомими методами, зокрема, з використанням інтегральних перетворень) мають вигляд багатократних функціональних рядів, які погано збіжні за умов імпульсної електромагнітної дії. Це суттєво ускладнює їх числовий аналіз. Тому актуальною є розробка методики наближеного розв’язування задач такого типу за врахування особливості широко використовуваних в техніці імпульсних ЕМП модулюючих сигналів (що описуються функцією ) – їх величина монотонно зростає до максимального значення і далі спадає до нуля.

В третьому розділі запропоновано методику наближеного розв’язування, сформульованих в другому розділі стосовно ключових функцій складових задач електродинаміки, теплопровідності і термопружності для циліндричних () і сферичних () тіл та тіл з плоскопаралельними границями () за вказаної особливості модулюючих сигналів, з використанням апроксимації ключових функцій многочленом третього степеня за координатною змінною . При цьому тривимірна крайова задача зведена до двовимірної на інтегральні характеристики відносно координатної змінної (радіальної для циліндричного і сферичного шарів, суцільних циліндра і кулі та товщинної для шару з плоскопаралельними границями). Відповідно до вищезгаданого при формулюванні такої задачі для розглядуваних тіл з плоскопаралельними, циліндричними і сферичними границями шукані функції (при відповідній їх гладкості за розглядуваних монотонних модулюючих функцій ) подано у вигляді

. (27)

Коефіцієнти подаються через інтегральні характеристики ключових функцій (віднесені до відповідної елементарної площі чи елементарного моменту), тобто

, (28)

і задані граничні значення цих функцій чи відомі граничні умови стосовно них на граничних поверхнях. Тут ; ; , ( – товщина) – для шару з плоскопаралельними границями; ; – для циліндричного тіла; ; – для сферичного тіла; і – внутрішній і зовнішній радіуси порожнистих циліндра чи кулі; і ( – радіус) – для суцільних циліндра і кулі.

Рівняння для визначення інтегральних характеристик знайдено шляхом домноження на вихідних рівнянь для відповідних величин і інтегруванням по з врахуванням співвідношення (28).

При неоднорідних граничних умовах на ключові функції для підвищення точності апроксимації за недостатньої гладкості функцій або коли значення є невідомі, використано подання ключових функцій у вигляді

. (29)

Функція задовольняє заданим неоднорідним граничним умовам і має відповідну структуру в залежності від геометрії тіла. Для розглядуваних тіл функцію вибирано у вигляді:

(30)–

для циліндричного і сферичного шарів,

(31)–

для шару з плоскопаралельними границями та

(32)–

для суцільних циліндра і кулі, де – задане значення функції на поверхні циліндра чи кулі. При цьому знаходження розв’язків вихідних задач на ключові функції зведено до задач на ключові функції , що описуються рівнянням за однорідних граничних умов. Тут – диференціальний оператор вихідного рівняння на функцію , а – визначається співвідношеннями (30)-(32). Тоді за стосування апроксимації (27) вже до функцій коефіцієнти подано через аналогічні до (28) інтегральні характеристики цих функцій та їх нульові граничні значення.

В розділі приведено також вихідні співвідношення для визначення параметрів електромагнітних, температурних та механічних полів за зведення сформульованих двовимірних крайових задач (плоскої для шару з плоскопаралельними границями – П.3.1; плоскої і осесиметричної для циліндричних тіл – П.3.2 і П.3.4; осесиметричної для сферичних тіл – П.3.3 і П.3.5) до одновимірних на інтегральні характеристики, а також одновимірних (відповідної задачі для шару – П.3.1.3; плоскої осесиметричної для циліндрів – П.3.2.3 і П.3.4.3; центрально-симетричної для куль – П.3.3.3 і П.3.5.3) – до задач Коші на введені інтегральні характеристики.

Розв’язки отриманих на усереднені характеристики ключових функцій задач можуть бути знайдені з використанням відомих аналітичних чи числових методів, зокрема, тривимірних задач – повторної апроксимації інтегральних характеристик за просторовими змінними , кубічним законом.

Використання вихідних рівнянь термомеханіки в напруженнях дозволило ефективно застосувати метод поліноміальної апроксимації для визначення компонент тензора напружень без підвищення степеня апроксимаційних поліномів. Поліноміальна апроксимація всіх ключових функцій на кожному етапі розрахункової схеми дала можливість звести тривимірні складові задачі до двовимірних і тим самим значно спростити побудову розв’язків вихідної складної комплексної задачі термомеханіки електропровідних тіл.

В четвертому розділі розглянуто задачі термомеханіки для електропровідних тіл канонічної форми за однорідної