МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ

ЛЬВІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

імені Івана Франка

Говда Юрій Іванович

УДК 517.956.3

КРАЙОВІ ЗАДАЧІ ДЛЯ СИСТЕМИ РІВНЯНЬ,

ПОРОДЖЕНОЇ ЛОКАЛЬНО ГРАДІЄНТНОЮ ТЕОРІЄЮ ПРУЖНОСТІ

01.01.02 – диференціальні рівняння

А В Т О Р Е Ф Е Р А Т

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

ЛЬВІВ – 2000

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Львівському державному університеті імені Івана Франка

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник

Нагірний Тарас Семенович,

Центр математичного моделювання Інституту прикладних

проблем механіки і математики імені Я.С.Підстригача НАН України,

завідувач відділу некласичних задач тепломасопереносу

Офіційні опоненти: член-кореспондент НАН України, доктор фізико-математичних наук,

професор Хруслов Євген Якович,

Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І.Вєркіна НАН України,

заступник директора по математичному відділенню;

кандидат фізико-математичних наук, доцент

Бокало Микола Михайлович,

Львівський національний університет імені Івана Франка,

доцент кафедри диференціальних рівнянь

Провідна установа: Чернівецький державний університет імені Юрія Федьковича,

кафедра диференціальних рівнянь, Міністерство освіти України, м.Чернівці

Захист відбудеться “23” березня 2000 року о 1520 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д .051.07 у Львівському національному університеті імені Івана Франка за адресою: 79000, Україна, м.Львів, вул.Університетська, 1, ауд.377.

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Львівського національного університету імені Івана Франка (м.Львів, вул.Драгоманова, 5).

Автореферат розісланий “21” лютого 2000 року.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради,

кандидат фіз.- мат. наук, доцент Микитюк Я.В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Для кількісного дослідження полів різної фізичної природи у деформівних твердих тілах в останні десятиріччя широко використовуються моделі локально градієнтної термомеханіки. Це пов'язано, насамперед, із тим, що ці моделі у тривимірному підході описують приконтактні та приповерхневі явища. При побудові таких моделей в простір параметрів стану поряд із загальноприйнятими параметрами, такими, як тензори напруження та деформації, температура та ентропія, густина та хімічний потенціал, введено градієнт хімічного потенціалу (енергії взаємодії). Параметр, спряжений до нього, отримав назву вектора зміщень маси. У додатку А роботи побудовано модель локально градієнтного пружного тіла із врахуванням хвильового характеру поля хімічного потенціалу. Така модель, на відміну від відомих в літературі, враховує інерційність як механічного поступального руху, так і зміщень маси. Якщо за розв'язуючі функції вибрати вектори переміщення та зміщень маси , то ключова система рівнянь моделі локально градієнтного інерційного пружного тіла є нестрого гіперболічною системою рівнянь вигляду

,

, (1)

де – час, , – задані функції, – сталі величини.

Узагальненням даної системи рівнянь є система

, (2)

де ; , m – деяке натуральне число; , – обмежена область в Rm, .

Оператори L і B визначаються таким чином

, (3)

,

де – матриця розміром , елементами якої є достатньо гладкі на (замикан-ні області ) функції ;

,

,

,

,

;

– симетрична матриця розміром , елементами якої є функції з простору ;

причому – симетрична матриця розміром , елементами якої є функції з простору , ;

– матриці розміром , елементами яких є функції з простору ;

;

– матриця розміром , елементами якої є функції з .

У зв'язку з вище сказаним, систему рівнянь (2) називатимемо системою рівнянь, породженою локально градієнтною теорією пружності. Її характерною особливістю є те, що оператор L, який заданий співвідношенням (3), не є еліптичним. Предметом дослідження дисертації є вивчення коректності мішаних задач для даної системи рівнянь. Крайовим задачам для системи рівнянь виду (2) у випадку, коли на місці оператора L стоїть еліптичний оператор, присвячено праці О.А. Ладиженської, М.І. Вишика, Л. Морена (L. Maurin), К.О. Байкузієва, З.О. Мельника, С.Я. Якубова, Г. Фікери (G. Fichera) та інших. До таких систем належить, зокрема, система рівнянь динамічної теорії пружності. Серед робіт, що стосуються дослідження мішаних задач для гіперболічних систем рівнянь, зокрема, 2-го порядку, в яких на диференціальний оператор за просторовими змінними не накладається умова еліптичності, автору відомі лише праці Н.Г. Марчука, Я.А. Ройтберга, Є.В. Доропієнка та Й. Шевальє (J. Chevalier). Введене К. Фрідріхсом (K. Friedrichs) поняття симетричної гіперболічної системи рівнянь 1-го порядку узагальнено Н.Г. Марчуком на системи рівнянь 2-го порядку. Я.А. Ройтберг розглянув у чверті простору мішану задачу для строго гіперболічної системи довільного порядку. Є.В. Доропієнко результати Я.А. Ройтберга узагальнив на системи рівнянь нестрого гіперболічного типу. Й. Шевальє (J. Chevalier) розглянув, зокрема, систему рівнянь 2-го порядку, головна частина диференціального оператора за просторовими змінними якої має вигляд , причому на матриці накладено лише умову обмеженості.

Відзначимо, що система рівнянь (1), а, отже, і система рівнянь, породжена локально градієнтною теорією пружності, що вивчається в дисертації, не належить до тих класів систем рівнянь, які досліджувались вище згаданими авторами.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота проведена у відповідності з програмою Мм-200б наукових досліджень кафедри математичного моделювання Львівського держуніверситету імені Івана Франка та проектом 1.4/312 Державного фонду фундаментальних досліджень. Результати відображені у наукових звітах.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є встановлення умов коректності крайових задач для системи рівнянь (2) і, зокрема, для ключової системи рівнянь моделі локально градієнтного інерційного пружного тіла.

Для досягнення поставленої мети необхідно розв'язати такі задачі:–

ввести в розгляд та вивчити класи вектор-функцій, для яких дивергенції в сенсі теорії узагальнених функцій є регулярними узагальненими функціями;–

описати енергетичні простори симетричного додатно означеного оператора, який породжується співвідношенням (3);–

побудувати самоспряжені розширення оператора, який заданий співвідношенням (3), що відповідають різним мішаним задачам;–

довести існування, єдиність та неперервну залежність від вихідних даних слабких розв'язків крайових задач для системи рівнянь (2);–

довести існування, єдиність та неперервну залежність від вихідних даних сильних розв'язків крайових задач для системи рівнянь (2);–

сформулювати умови коректності мішаних задач локально градієнтної теорії пружності.

Наукова новизна одержаних результатів. Побудовано математичну модель локально градієнтного пружного тіла з врахуванням інерційності зміщення маси та введено в розгляд клас систем, породжених локально градієнтною теорією пружності.

Зроблено постановку нових крайових задач математичної фізики.

Вперше досліджено енергетичні простори додатно означеного оператора, який породжений співвідношенням (3), та описано деякі властивості функцій з узагальненими дивергенціями.

Побудовано самоспряжені розширення оператора, заданого співвідношенням (3), що відповідають різним областям його визначення.

Вперше одержано умови існування, єдиності та неперервної залежності від вихідних даних слабкого та сильного розв'язків мішаних задач для системи рівнянь, породженої локально градієнтною теорією пружності.

Практичне значення одержаних результатів. Результати роботи є певним внеском в теорію систем рівнянь з частинними похідними і можуть бути використані для подальших досліджень у цьому напрямку.

Ці результати є також важливими для фахівців у галузі математичного моделювання фізико-механічних процесів у деформівних твердих тілах з врахуванням поверхневих явищ, а також в галузі технічної діагностики.

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертації отримані автором самостійно. У спільних публікаціях автору належить побудова моделі локально градієнтного термопружного твердого тіла із врахуванням інерційності зміщень маси та проведення конкретних числових досліджень. Співавторам Я.Й. Бураку і Т.С. Нагірному належить розробка підходу до побудови локально градієнтних та узагальнених моделей термомеханіки, участь у постановці задач та обговоренні результатів.

Апробація результатів дисертації. Результати, викладені в дисертації, неодноразово доповідались у 1995-99 рр. на семінарі кафедри математичного моделювання ЛДУ ім. І.Франка (керівник: Я.Й. Бурак) та Львівському міському семінарі з диференціальних рівнянь (керівники: Б.Й. Пташник, С.П. Лавренюк, П.І. Каленюк); IV Міжнародній конференції з механіки неоднорідних структур (м.Тернопіль, 1995 р.); 4-ій Міжнародній нараді-семінарі "Инженерно-физические проблемы новой техники" (Росія, м.Москва, 1996 р.); XVII Міжнародному симпозіумі "Vibrations in physical systems" (Польща, м.Познань, 1996 р.), міжнародній конференції "Nonlinear partial differential equations", присвяченій 100-річчю з дня народження Ю. Шаудера (м.Львів, 1999 р.), науковій конференції “Математика та механіка у Львівському університеті”, присвяченій 255-річчю заснування кафедри математики в університеті (м.Львів, 1999 р.).

Публікації. За результатами дисертації опубліковано 8 наукових праць [1-8] (5 статей – у наукових журналах, що входять у перелік ВАК України для дисертацій; 3 – у матеріалах та тезах конференцій).

Структура та об'єм роботи. Дисертація складається з переліку умовних позначень, вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел, що нараховує 106 найменувань, та додатку. Повний обсяг роботи – 132 сторінки, обсяг додатку – 13 сторінок, обсяг списку використаних джерел – 11 сторінок.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовується актуальність теми дисертаційної роботи, сформульовано мету досліджень, викладено короткий зміст дисертації і отриманих в ній результатів, виділено їх наукову новизну та практичне значення.

У першому розділі наведено огляд результатів, які стосуються дослідження коректності мішаних задач для гіперболічних систем рівнянь другого порядку.

В першому підрозділі розділу 2 дано постановку мішаних задач для системи рівнянь (2). На нижній основі циліндра Q задано початкові умови

, , (4)

де , ,

,

, (i=1,2), x .

На бічній поверхні циліндра задано граничні умови:

, (51)

або

,

(52)

де – зовнішня нормаль до ,

, .

Крім умов, накладених вище на коефіцієнти оператора L, зроблено наступні припущення:

1) ("т" – індекс, що означає операцію транспонування);

2) для майже всіх , для довільного дійсного вектора виконується нерівність

;

3) для задачі (2), (4), (51) вимагається, щоб для довільного виконувалась нерівність

(6)

У випадку задачі (2), (4), (52) нерівність (6) має виконуватись для довільного з простору . Тут та – простори, утворені поповненням за нормою

множин та відповідно.

Наведено в алгебраїчній формі достатні умови виконання нерівності (6).

Підрозділ 2.2 присвячено вивченню спеціального класу вектор-функцій, для яких існує дивергенція в сенсі теорії узагальнених функцій.

Означення 2.1. Нехай , і для довільної функції виконується рівність

.

Функція називається узагальненою дивергенцією функції в області . Узагальнену дивергенцію функції позначаємо також .

Встановлено властивості функцій, для яких існує узагальнена дивергенція, аналогічні до властивостей функцій з узагальненими похідними.

Далі в підрозділі розглянуто такі лінійні простори функцій з узагальненими дивергенціями: (1) з нормою

,

, – банахові простори, утворені замиканням за нормою множин та відповідно.

Встановлено властивості функцій із вказаних просторів. Зокрема, доведено такі теореми.

Теорема 2.2. Простір з нормою є банаховим.

Теорема 2.5. Якщо область справджує умову локальних зсувів, то

= .

Теорема 2.7. Нехай . Функція належить простору тоді і лише тоді, коли належить простору і для довільної функції з виконується співвідношення

.

Через , позначено банахові простори, які утворені замиканням за нормою

лінійних просторів та відповідно. Одержано необхідні і достатні умови належності функцій до просторів , .

Теорема 2.8. . При цьому справедлива формула

,

де .

Теорема 2.9. .

В підрозділі 2.3 встановлено симетричність та додатну означеність операторів з областями визначення

,

які задано співвідношенням (3).

В цьому ж підрозділі описано енергетичні простори операторів (k=1,2).

Теорема 2.10. Якщо задовольняє умову локальних зсувів, то

1)

1)

Наслідок 2.2. Нехай , і задовольняє умову локальних зсувів. Тоді

1)

1)

В розділі 3 доведено існування, єдиність та неперервну залежність слабкого розв'язку мішаних задач (2), (4), (5k) (k=1,2).

Означення 3.3. Слабким розв'язком задачі (2), (4), (5k) будемо називати функцію з , яка справджує умови (4) та інтегральну тотожність

для довільної функції з такої, що для довільного , k=1,2.

Теорема 3.2. При довільних , , мішана задача (2), (4), (5k) має єдиний слабкий розв'язок і для нього справедлива оцінка

,

де .

При доведенні теореми використано результати О.А. Ладиженської про розв'язність задачі Коші для диференціально-операторного рівняння 2-го порядку в гільбертовому просторі.

Як наслідок з теореми 3.2 отримано умови коректності в класі слабких розв'язків крайових задач для ключової системи рівнянь моделі локально градієнтного інерційного пружного тіла.

В четвертому розділі одержано умови існування, єдиності та неперервної залежності сильного розв'язку мішаних задач (2), (4), (5k).

В цьому розділі додатково приймається, що

1) є поверхнею класу ;

2) елементи матриць належать простору (i,j =1,…,m), а елементи матриць , – простору ;

1)

1)

,

які справджують граничні умови

чи

,

є коерцитивними.

Для встановлення коректності в класі сильних розв'язків крайових задач (2), (4), (5k) в підрозділі 4.1 побудовано самоспряжені розширення операторів Lk (k = 1,2). Областями визначення операторів (k = 1,2) є множини

та

,

а їх дія задається співвідношенням (3).

Означення 4.1. Вектор-функцію будемо називати сильним розв'язком задачі (2), (4), (5k) (k=1,2), якщо вона справджує умови:

1)

1)

1)

1)

1)

Теорема 4.1. При довільних , , існує єдиний cильний розв'язок задачі (2), (4), (5k), і для нього справедлива оцінка

, ,

де

Як наслідок з теореми 4.1 одержано умови існування, єдиності та неперервної залежності сильного розв'язку крайових задач для ключової системи рівнянь моделі локально градієнтного інерційного пружного тіла.

Побудову повної системи рівнянь моделі локально градієнтного термопружного тіла з врахуванням інерційності механічного поступального руху, а також інерційності зміщень ентропії та маси та формулювання ключової системи рівнянь дано в додатку А. При цьому використано методи термодинаміки нерівноважних процесів та механіки суцільного середовища.

ВИСНОВКИ

Стан питання. В дисертаційній роботі розглянуто крайові задачі для класу систем рівнянь 2-го порядку, породжених локально градієнтною теорією пружності. Характерною особливістю таких систем рівнянь є те, що диференціальний оператор L за просторовими змінними не справджує умову еліптичності. Даний клас систем рівнянь виник при побудові математичної моделі локально градієнтної інерційної механіки, яка дозволяє описувати у тривимірному підході приповерхневі та приконтактні явища в деформівних твердих тілах і враховує хвильовий характер поля хімічного потенціалу. Відомі в літературі моделі не враховують хвильового характеру поля хімічного потенціалу, а питання коректності крайових задач для таких систем рівнянь не розглядалися.

Основні результати, одержані в роботі є такими.

·

· Дано постановку нових крайових задач для такого класу систем рівнянь і введено поняття слабкого і сильного розв'язків цих задач.

· Побудовано самоспряжені розширення диференціального оператора за просторовими змінними, що відповідають різним областям його визначення (різним граничним умовам мішаних задач).

· Встановлено умови існування, єдиності та неперервної залежності від вихідних даних слабкого та сильного розв'язків мішаних задач для системи рівнянь, породженої локально градієнтною теорією пружності. Як наслідок одержано умови коректності крайових задач локально градієнтної інерційної теорії пружності.

Публікації

1.

1.

1.

1.

1.

1.

1.

1.

Анотація

Говда Ю.І. Крайові задачі для системи рівнянь, породженої локально градієнтною теорією пружності. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 – диференціальні рівняння. – Львівський національний університет імені Івана Франка. Міністерство освіти України, Львів, 2000.

У дисертаційній роботі розглянуто крайові задачі для класу систем рівнянь 2-го порядку, породжених локально градієнтною теорією пружності. Такий клас систем рівнянь виник при побудові математичної моделі локально градієнтного інерційного пружного тіла, яка описує у тривимірному підході приповерхневі та приконтактні явища і враховує хвильовий характер поля хімічного потенціалу. Дано постановку нових мішаних задач для такого класу систем рівнянь і введено поняття слабкого і сильного розв'язків. Встановлено умови існування, єдиності та неперервної залежності від вихідних даних слабкого та сильного розв'язків крайових задач. Як наслідок одержано умови коректності крайових задач локально градієнтної інерційної теорії пружності.

Ключові слова: крайові задачі, коректність, слабкий розв'язок, сильний розв'язок, локальна градієнтність, інерційність.

Аннотация

Говда Ю.И. Краевые задачи для системы уравнений, порождённой локально градиентной теорией упругости. – Рукопись.

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 – дифференциальные уравнения. – Львовский национальный университет имени Ивана Франко. Министерство образования Украины, Львов, 2000.

В диссертационной работе рассмотрены краевые задачи для класса систем уравнений 2-го порядка, порождённых локально градиентной теорией упругости. Данный класс систем уравнений является обобщением ключевой системы уравнений сформулированной модели локально градиентного упругого тела с учстом инерционности как механического поступательного движения, так и смещений массы. Важность исследования таких уравнений обусловлена тем, что они в трёхмерном подходе описывают приповерхностную и приконтактную неоднородность в деформируемых твёрдых телах. Характерной особенностью рассматриваемых в работе систем уравнений является то, что дифференциальный оператор по пространственным переменным не удовлетворяет условию эллиптичности. Дана постановка новых краевых задач для такого класса систем уравнений и введено понятие слабого и сильного решений.

Рассмотрены пространства функций, для которых дивергенции в смысле теории обобщённых функций являются регулярными обобщёнными функциями, и изучены их свойства. Для таких функций доказаны аналоги теорем, верных для функций из пространств Соболева. В терминах пространств функций с обобщёнными дивергенциями и пространств Соболева описаны энергетические пространства дифференциального оператора по пространственным переменным рассмотренной системы уравнений. Построены жёсткие самосопряженные расширения дифференциального оператора по пространственным переменным, которые отвечают различным областям его определения (различным граничным условиям смешанных задач).

Установленны условия существования, единственности и непрерывной зависимости от начальных данных слабого и сильного решений смешанных задач для системы уравнений, порождённой локально градиентной теорией упругости. Как следствие получены условия корректности краевых задач локально градиентной инерционной теории упругости. Для доказательства корректности использованы результаты, о разрешимости задачи Коши для дифференциально-операторных уравнений 2-го порядка в гильбертовом пространстве.

Результаты работы являются важными для специалистов в отрасли теории систем уравнений в частных производных, а также математического моделирования физико-механических процессов в деформируемых твсрдых телах, теории поверхностных явлений, технической диагностики.

Ключевые слова: краевые задачи, корректность, слабое решение, сильное решение, локальная градиентность, инерционность.

Summary

Hovda Yu.I. Boundary value problems for the system of equations generated by locally gradient theory of elasticity. – Manuscript.

Thesis for a candidate's degree by speciality 01.01.02 – differential equations. – Ivan Franko Lviv National University, Ministry of education of Ukraine, Lviv, 2000.

Thesis is devoted to boundary value problems for a class of systems of second order equations generated by locally gradient theory of elasticity. Such class of systems of equations has arisen by construction of the mathematical model for locally gradient inertial solids. This model describes at three-dimensional approach the interface and nearcontact phenomena in solids taking into account wave character of chemical potential field. For such class of systems of equations the new mixed problems were set and a concept of weak and strong solutions of these problems was entered. The conditions of existence, uniqueness and continuous dependence on the initial data of weak and strong solutions of the boundary value problems were established. As a consequence correctness of the boundary value problems of locally gradient inertial elasticity was received.

Key words: boundary value problems, correctness, weak solution, strong solution, local gradientality, inertia.