Міністерство освіти і науки України

Київський національний університет імені Тараса Шевченка

МОСКАЛЬОВА Юлія Петрівна

УДК 513.88

СИСТЕМИ ПІДПРОСТОРІВ ТА *-ЗОБРАЖЕННЯ АЛГЕБР,

ПОРОДЖЕНИХ ПРОЕКТОРАМИ

01.01.06 – алгебра і теорія чисел

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ – 2006

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Таврійському національному університеті імені

В.І. Вернадського Міністерства освіти і науки України, м.

Сімферополь.

Науковий керівник

доктор фізико-математичних наук, професор,

член-кореспондент НАН України

САМОЙЛЕНКО Юрій Стефанович,

Інститут математики НАН України,

завідувач відділу функціонального аналізу.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор

ДРОЗД Юрій Анатолійович,

Київський національний університет імені Тараса

Шевченка, професор кафедри алгебри і математичної логіки;

кандидат фізико-математичних наук, доцент

КРУГЛЯК Станіслав Аркадійович,

Інститут підготовки кадрів зовнішньої розвідки

України, доцент кафедри алгебри.

Провідна установа

Львівський національний університет імені Івана

Франка МОН України, кафедра алгебри і логіки, м. Львів.

Захист відбудеться 3 липня 2006 р. о 14 годині на

засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.18 при Київському

національному університеті імені Тараса Шевченка за

адресою: 01127, м. Київ, проспект академіка Глушкова, 6, Київський

національний університет імені Тараса Шевченка,

механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського

національного університету імені Тараса Шевченка (вул.

Володимирська, 58).

Автореферат розіслано 30 травня 2006 р.

Учений секретар

спеціалізованої вченої ради Плахотник В.В.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Дисертація належить до одного з напрямків сучасної алгебри – теорії *-зображень алгебр в гільбертовому просторі. Ця теорія має різноманітні застосування в багатьох галузях математики: від лінійної алгебри і алгебраїчної геометрії до топології і математичної фізики. Зокрема, вона знаходить застосування при побудові моделей теоретичної фізики, при побудові символів оборотності сингулярних інтегральних операторів, в теорії квантових однородних просторів і їх застосуваннях для побудови точних розв'язків диференціальних рівнянь з частинними похідними, при вивченні певних класів несамоспряжених операторів, при побудові топологічних інваріантів вузлів тощо (див., наприклад, роботи Д. Еванса, Ю. Кавахігаши, В.А Марченко, В.Г. Каца, В. Джонса та інших).

Нехай А – *-алгебра, що задана системою твірних: , ,…, – n самоспряжених ідемпотентів та деякою системою співвідношень, H – гільбертів простір, B(H) – алгебра лінійних обмежених операторів у H. *-Зображення – *-гомоморфізм. Розглянемо – *-зображення *-алгебри A з простором зображення H та () – відповідним набором ортопроекторів і побудуємо систему з n підпросторів гільбертова простора H вигляду

.

Системи , породжені зображеннями , є предметом дослідження дисертаційної роботи. Вивчення таких систем спеціального вигляду дозволяє одержувати результати про властивості та структури систем підпросторів загального вигляду.

Перші результати теорії зображень, зокрема теорії зображень алгебр, були одержані в кінці XIX – на початку XX століття Г. Фробеніусом, І. Шуром, В. Бернсайдом та іншими.

Для групових алгебр *-структура виділяє унітарні зображення відповідних груп. Розвиток теорії зображень *-алгебр у 30-60 рр. XX сторіччя обумовлений значною мірою застосуваннями у теорії унітарних зображень груп і пов'язаний з вивченням операторних *-алгебр, зокрема C*-алгебр та W*-алгебр (Дж. фон Нейман, Дж. Діксм'є, І.М. Гельфанд, М.А. Наймарк, Д.А. Райков, А.А. Кирилов, І. Сігал та інши).

Подальший розвиток теорії зображень *-алгебр пов'язаний з відкриттям у 80-х рр. квантових груп і квантових однорідних просторів (В.Г. Дрінфельд, М. Джимбо, С. Воронович, Л.Д. Фадєєв, С. Клімек, А. Лісневський та інши) та їх застосуваннями у моделях атематичної фізики, теорії спеціальних функцій, моделях q-квантової механіки, квантової теорії поля Б. Зуміно, Дж. Весс, Е. Віттен, А.У. Клімик та інши).

Сучасні роботи по теорії зображень *-алгебр значною мірою присвячені вивченню алгебр, заданих твірними і співвідношеннями, та їх зображень. Значна кількість прикладів таких *-алгебр пов'язана з деформаціями класичних співвідношень квантової механіки (А. Макфарлейн, Л. Біеденхарн, С. Воронович, К. Шмюдген, П. Йоргенсен, Д. Фарлі та інши), аніонними статистиками (Г. Голдін, В. Шарп, Р. Менікофф та інши) і їх застосуваннями. Цікаві приклади *-алгебр та їх зображень, пов'язані з теорією вузлів, вивчалися у роботах В. Джонса, А. Окнеану, Х. Венцля та інших.

Ряд робіт, зокрема українських математиків, присвячені вивченню *-колчанів та їх інволютивних зображень (С.А. Кругляк, Л.О. Назарова, І.К. Редчук, А.В. Ройтер, В.В. Сергійчук та інши). В роботах С.А. Кругляка, В.Л. Островського, С.В. Поповича, В.И. Рабановича, Ю.С. Самойленка та інших вивчалися алгебри породжені скінченною кількістю самоспряжених ідемпотентів, сума яких кратна одиниці

,

їх узагальнення та їх *-зображення. Вивчення *-зображень таких алгебр пов'язано із задачами Г. Вейля про можливі спектри операторів, сума яких кратна одиниці, П. Деліня-К. Сімпсона – про можливі спектри добутків операторів із заданими спектрами, П. Халмоша – про можливі спектри сум ортопроекторів тощо.

Окрім *-алгебр , вивчалися зображення *-алгебр , що задані твірними-проекторами та співвідношеннями

Абревіатура ABO (all but one) підкреслює наявність співвідношень з винятковим положенням одного твірного елемента.

Ряд робот, зокрема Ш. Бренер, І.М. Гельфанда і В.О. Пономарьова, Л.О. Назарової та інших, присвячений опису систем підпросторів в лінійному просторі. Одним з важливих методів дослідження систем підпросторів є метод відповідних функторів Кокстера для зображень колчанів та частково впорядкованих множин. Вони були побудовані в роботах І.Н. Бернштейна, І.М. Гельфанда, В.О. Пономарьова, Ю.А. Дрозда, С.А. Кругляка та інших.

З *-зображеннями алгебр, породжених самоспряженими ідемпотентами, природно пов'язати системи підпрострів в гільбертовому просторі та проаналізувати їх властивості. Японські автори М. Єномото і Я. Вататані в роботі "Relative position of four subspaces in а Hilbert space" (2004) пишуть про співвідношення систем n підпросторів і зображень *-алгебр, породжених проекторами: "There seem to be interesting relations of systems of n-subspaces with the study of representations of *-algebras generated by idempotents by S. Kruglyak and Y. and the study on sums of projections by S. Kruglyak, V.and Y.. But we do not know the exact implication ..."

Мета цієї роботи – застосування теорії зображень *-алгебр до вивчення систем підпросторів, породжених *-зображеннями алгебр, які задані твірними-проекторами та співвідношеннями.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Результати досліджень, які ввійшли до дисертації, пов'язані з плановими науковими дослідженнями кафедри алгебри і функціонального аналізу Таврійського національного університету ім. В.І. Вернадського: бюджетна тема "Проблеми теорії функцій та оператор-функцій" (2001-2005 рр., номер державної реєстрації 0101U005081). Тема дисертації відповідає одному з напрямків роботи кафедри.

Мета і завдання дослідження. Метою роботи є застосування зображень *-алгебр до дослідження систем підпросторів гільбертова простору. Для цього були вирішені такі задачі: оцінка складності задачі ізоморфного опису транзитивних систем підпросторів при ; вибір додаткових співвідношень, що дозволяють будувати та описувати неізоморфні транзитивні системи підпросторів засобами теорії зображень *-алгебр; застосування функторів між категоріями зображень для побудови неізоморфних транзитивних сімейств підпросторів.

При досліджені використовувались методи теорії зображень та *-зображень, зокрема, метод функторів Кокстера в теорії зображень алгебр, методи аналізу та теорії операторів у гільбертовому просторі, тощо.

Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати дисертації, які виносяться на захист:

Побудовано повний список транзитивних четвірок підпросторів скінченновимірного лінійного простору за нееквівалентними незвідними зображеннями *-алгебри .

Доведено, що оцінка складності задачі ізоморфного опису систем n підпросторів гільбертова простору при є *-дикою.

Доведено неізоморфність і транзитивність систем з n підпросторів , породжених нееквівалентними незвідними *-зображеннями *-алгебр , що задані твірними-проекторами та лінійним співвідношенням, при з дискретного спектру зображень *-алгебр .

Доведено неізоморфність та транзитивність систем з підпросторів , породжених нееквівалентними незвідними *-зображеннями алгебр , що задані твірними-проекторами та співвідношеннями ABO, при з дискретного спектру зображень *-алгебри .

Побудовано сім'ю неізоморфних транзитивних п'ятірок підпросторів за зображеннями при всіх значеннях параметра , при яких є хоча б одне зображення *-алгебри .

Наведені застосування функторів теорії *-зображень для побудови не ізоморфних транзитивних систем підпросторів.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертаційна робота носить теоретичний характер. Результати дисертації розвивають теорію систем підпросторів в лінійних та гільбертових просторах і можуть бути використані: при побудові та дослідженні систем підпросторів гільбертова простору за зображеннями досліджених алгебр, при виборі додаткових співвідношень, що дозволять будувати і описувати неізоморфні транзитивні та нерозкладні системи підпросторів гільбертова простору, тощо.

Особистий внесок здобувача. Визначення загального плану досліджень та постановка задачі належать науковому керівникові. Основні результати дисертації отримано здобувачем самостійно. Доведення всіх включених до дисертаційної роботи результатів з сумісних з науковим керівником робіт [1,5] одержані автором самостійно. В роботі [3], яка написана в співавторстві з С.В. Івановим та Н.Д. Поповою, в дисертаційну роботу включена теорема про структуру алгебри з одним співвідношенням ортогональності, одержана автором самостійно. В роботі [4], яка написана разом з С.О. Кужелем автору належить п.3 про власні підпростори инваріантно збурених операторів.

Апробація результатів дисертації. Результати досліджень, що містяться в дисертації, доповідалися на семінарі кафедри алгебри і функціонального аналізу Таврійського національного університету ім. В.І. Вернадського (керівник – д.ф.-м.н., завідувач кафедри алгебри і функціонального аналізу, доц. І.В. Орлов), на семінарі відділу математичних методів у теоретичній фізиці Інститута теоретичної фізики ім. М.М. Боголюбова НАН України (керівник – д.ф.-м.н., професор, завідувач відділу А.У. Клімик), на семінарі з алгебраїчних проблем функціонального аналізу Інституту математики НАН України (керівник – д.ф.-м.н., професор, член-кореспондент НАН України Ю.С. Самойленко), на шведсько-українському семінарі "Algebraic versus analytic representations" (8-10 грудня 2005 р., Київ), на XVI Кримській осінній математичній школі-симпозіумі із спектральних і еволюційних задач (18-30 вересня 2005 р., Крим, Севастополь), на VI міжнародній конференції "Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics" (20-26 червня 2005 р., Київ).

Публікації. Результати дисертаційної роботи опубліковано в роботах [1-6].

Структура й об'єм дисертації. Дисертація складається зі вступу, трьох розділів, висновків та списку використаних джерел і містить 106 сторінок друкованого тексту. Список використаних джерел містить 50 найменувань.

Автор висловлює щиру подяку своєму науковому керівнику професору Самойленку Юрію Стефановичу за постійну увагу і підтримку під час виконання роботи.

Зміст роботи

Дисертація складається зі вступу, трьох розділів, висновків та списку використаних джерел.

В першому розділі наводиться коротка історична довідка з питань, що мають безпосереднє відношення до теми роботи. Наведений огляд літератури за темою дисертації та сформульовані основні результати, які отримані у вибраному напрямі.

В другому розділі досліджуються системи підпросторів, де – незвідні зображення *-алгебр

Всі незвідні *-зображення є об'єднанням за всіма незвідних *-зображень, де ( ) є множиною, для яких є хоча б одне *-зображення *-алгебри.

Опис множини для всіх отримано С.А. Кругляком, В.І. Рабановичем і Ю.С. Самойленком та має вигляд

При цьому числа множин , , , називаються точками дискретного спектру задачі унітарного опису *-зображень алгебри, а числа відрізка – точками неперервного спектру.

В п.2.1 списки неізоморфних транзитивних систем будуються за незвідними *-зображеннями, при n=1, 2, 3. Всі неізоморфні транзитивні системи з одного та двох підпросторів в довільному гільбертовому просторі побудовані як системи вигляду за всіма неізоморфними незвідними *-зображеннями *-алгебр та відповідно. Для неізоморфних транзитивних трійок підпросторів у скінченновимірному просторі системи, що побудовані за не ізоморфними незвідними *-зображеннями *-алгебри, утворюють повний список транзитивних трійок підпросторів. В нескінченновимірному гільбертовому просторі не тільки задача опису, а й навіть існування транзитивних нерозкладних трійок підпросторів є нерозв'язаною проблемою.

Істотним інструментом опису множини і *-зображень є функтори Кокстера між категоріями *-зображень алгебр при різних значення параметрів.

Розглянемо функтор. Нехай – *-зображення *-алгебри, ( ) – ортопроектори з простором зображення H, тоді зображення з визначається рівностями, () з простором зображення H.

Перейдемо до визначення функтора. Знов через позначимо *-зображення з і через , ,…, позначимо відповідні ортопроектори з простором зображення H. Розглянемо підпростори ( ). Нехай ( ) – природні ізометрії. Задамо оператор матрицею тоді природна ізометрія з ортогонального доповнення підпростору в підпростір H дає ізометрії, ( ). Ортопроектори ( ) в просторі утворюють відповідне зображення з, тобто зображення з визначається рівностями , ( ) з простором зображення.

Опис дій функторів T и S на морфі змах категорії опустимо як не важливі при вивченні властивостей систем вигляду , де.

За схемою дослідження множини введемо у розгляд функтор, заданий рівністю, при.

Для доведення коректності використання цих функторів за ізоморфним аналізом систем підпросторів, де – незвідне зображення з, у п.2.3 вводяться у розгляд допоміжні функтори і . Дії функторів та на об'єктах категорії задамо співпадаючими з діями еквівалентностей T і S, тобто

та .

Задамо морфізми категорії зображень з урахуванням визначення ізоморфізму систем підпросторів. Нехай та , лінійний оператор будемо називати морфізмом категорії зображень ( ), якщо ( ), тобто

Звуження ( ) позначимо та розглянемо оператор

Визначимо значення функторів на морфізмах таким чином: і для будь-якого. Властивості допоміжних функторів описує

Лема 2.3.1. Функтори і є еквівалентностями категорій.

Істотно використовуючи властивість еквівалентності і, у п.2.3 доводиться коректність використання функторів T, S і отже функтора, при побудові неізоморфних транзитивних систем підпросторів вигляду, де.

Лема 2.3.2. Якщо система підпросторів ( ) транзитивна, то система підпросторів транзитивна. При цьому тоді і тільки тоді, коли.

Розглянемо три факти. Очевидний факт: простіші зображення ( ), де ( ) з простором зображення C є єдиним незвідним, з точністю до унітарної еквівалентності, *-зображенням алгебри , , якщо, та з простором зображення C ( ) – n нееквівалентних незвідних зображень алгебри породжують неізоморфні транзитивні системи з n підпросторів простору C. Доведений факт: через Лему 2.3.2 функтори Кокстера неізоморфні транзитивні системи підпросторів переводять у неізоморфні транзитивні системи підпросторів. Відомий факт: будь-яка система n підпросторів вигляду, що побудована за незвідним зображенням, при з дискретного спектру, ізоморфна системі вигляду або, де зображення одне з простіших зображень ( ) та s – деяке натуральне число. З перерахованих фактів випливає наступна теорема

Теорема 2.3.1. Системи n підпросторів, що побудовані за незвідними нееквівалентними *-зображеннями , при з дискретного спектру, є неізоморфними та транзитивними.

В п.2.4 доводиться одна з центральних теорем дисертаційної роботи про побудову повного списку неізоморфних транзитивних четвірок підпросторів у скінченновимірному просторі за всіма нееквівалентними незвідними *-зображеннями *-алгебри. Існування прикладів неізоморфних транзитивних систем з чотирьох підпросторів у нескінченновимірному гільбертовому просторі означає, що не всі транзитивні четвірки підпросторів можуть бути побудовані за зображеннями алгебри .

Теорема 2.3.2. Незвідні нееквівалентні *-зображення породжують всі неізоморфні транзитивні системи з чотирьох підпросторів скінченновимірного лінійного простору.

Узагальненою розмірністю системи підпросторів називається вектор з розмірностей простору та підпросторів

У роботах В. Каца розв'язується задача ізоморфного опису узагальнених розмірностей транзитивних п'ятірок підпросторів. Тобто узагальнена розмірність систем з n підпросторів є важливою характеристикою транзитивних систем. В останньому пункті другого розділу (п.2.5) отримані формули для узагальнених розмірностей транзитивних систем, де, при з дискретного спектру.

Теорема 2.5.1. Якщо система n підпросторів, така що та з дискретного спектру. Тоді має або вигляд

(1)

або, з точністю до перестановки розмірностей підпросторів, вигляд

(2)

де послідовності і визначаються рекурентними співвідношеннями

та можуть бути обчислені за формулами

В першому пункті Розділу 3 (п.3.1) доводиться, що задача ізоморфного опису транзитивних систем n підпросторів ( ) скінченновимірного гільбертового простору надзвичайно складна (*-дика).

Введемо в розгляд систему з п'яти підпросторів, породжену п'ятіркою ортопроекторів вигляду

що діють у просторі, де H – гільбертів простір і , – пара унітарних операторів. Позначимо описану систему через, тобто

Теорема 3.1.1. Система транзитивна тоді і тільки тоді, коли пара унітарних операторів U, V незвідна. При цьому тоді і тільки тоді, коли пара унітарних операторів U, V унітарно еквівалентна парі унітарних операторів , .

Теорема 3.1.1 задачу опису неізоморфних транзитивних п'ятірок, породжених п'ятіркою ортопроекторів спеціального вигляду, ототожнює з задачею опису нееквівалентних незвідних пар унітарних операторів, яка є *-дикою задачею зображень *-алгебр.

Нехай тепер , , ортопроектори в гільбертовому просторі H, такі що , – ортогональні. Введемо у розгляд систему з п'яти підпросторів у просторі H, породжену набором ортопроекторів , , , ,. Позначимо:

Неважко перевірити, що сума п'яти проекторів , , , , дорівнює.

Теорема 3.1.2. Нехай , , ортопроектори в гільбертовому просторі H, такі що , – ортогональні й , , – ортопроектори в гільбертовому просторі , такі що , – ортогональні. Тоді система транзитивна тоді і тільки тоді, коли проектори , , незвідні. При цьому тоді і тільки тоді, коли трійка ортороекторів , , унітарно еквівалентна трійці ортопроекторів , , .

Теорема 3.1.2 задачу опису неізоморфних транзитивних п'ятірок підпросторів, породжених п'ятіркою ортопроекторів спеціального вигляду з сумою, що дорівнює, ототожнює з задачею опису нееквівалентних незвідних трійок , , ортопроекторів з умовою, яка є *-дикою задачею теорії *-зображень *-алгебр.

Оскільки задача ізоморфного опису транзитивних систем n підпросторів, навіть для cкінченновимірного простору, є складною, то природним є опис транзитивних систем, породжених *-зображеннями різних *-алгебр, що задані твірними проекторами. В другому розділі, дослідження систем n підпросторів вигляду , де зображення з, показало ефективність вибору відповідних додаткових співвідношень при розгляді систем підпросторів вигляду. В пп. 3.2-3.4 розглянуті системи, породжені *-зображеннями *-алгебр, що задані твірними-проекторами та співвідношеннями типу ABO, тобто співвідношеннями

для системи твірних-проекторів , , , …,.

Розглянемо *-алгебри, що задані твірними-проекторами, співвідношеннями ABO та одним співвідношенням лінійності. Позначимо через множину чисел таких, що є хоча б одне *-зображення *-алгебри. З сім'єю *-алгебр пов'язані *-алгебри.

З урахуванням визначення алгебр маємо, що всі незвідні *-зображення є об'єднанням за всіма незвідних *-зображень.

Істотним інструментом вивчення таких алгебр є функтор F між категоріями зображень і. Опишемо еквівалентність ( ). Нехай – *-зображення *-алгебри, ( ) – ортопроектори з простором зображення H. Як і в п.2.3, введемо у розгляд підпростори та природні ізометрії. Нехай . Задамо лінійний оператор матрицею розміру. Позначимо через n ортопроекторів вигляду

та ортопроектор, заданий рівністю та відповідно блоковою матрицею в просторі .

Визначимо дію функтора ( ) на об'єктах категорії зображень наступним чином:, де

Рівності

легко перевіряються. Опис дії функтора F на морфізмах категорії опустимо як не важліве.

Для доведення коректності застосування функтора F при побудові неізоморфних транзитивних систем введемо у розгляд допоміжний функтор, , дію якого на об'єктах категорії задамо співпадаючим з дією еквівалентності F, тобто

Морфізми при цьому задамо, як у разі допоміжних функторів , , тобто погодженими з визначенням ізоморфних систем.

Визначимо оператор

та задамо дію допоміжного функтора на морфізмах категорії таким чином.

Властивості допоміжного функтора описує

Лема 3.3.1. Функтор є еквівалентністю категорій.

Властивість еквівалентності допоміжного функтора забезпечує вірність наступної леми

Лема 3.4.1. Якщо система з n підпросторів ( ) транзитивна, то система з n+1-го підпросторів транзитивна. При цьому тоді і тільки тоді, коли

та далі, з урахуванням Теореми 2.3.1, вірність теореми

Теорема 3.4.1. Системи з n+1-го підпросторі, що побудовані за незвідніми неэквівалентними зображеннями при з дискретного спектру, є неізоморфними и транзитивними.

В п.3.5 третього розділу побудований список не ізоморфних транзитивних п'ятірок підпросторів вигляду за всіма незвідними *-зображеннями *-алгебри та виписані формули узагальнених розмірностей систем підпросторів, де – незвідне зображення з.

Теорема 3.5.2. Узагальнена розмірність п'ятірки підпросторів , де незвідне *-зображення *-алгебри , з точністю до перестановки розмірністей підпросторів, співпадає з однією з наступних формул

(2; 1,1,1,0,0),

(4; 2,1,1,1,1),

(4k-3; 2k-2, k, k-1, k-1, k-1),

(4k-3; 2k-1, k, k-1, k-1, k-1),

(4k; 2k+1, k, k, k, k),

(4k; 2k-1, k, k, k, k),

(4k-1; 2k, k-1, k, k, k),

(4k-1; 2k-1, k-1, k, k, k), .

Теореми 2.5.1, 3.5.2 дозволяють проаналізувати неізоморфність транзитивних п'ятірок підпросторів, де – незвідне *-зображення з, транзитивним п'ятіркам, де незвідне *-зображення з при з дискретного спектру.

Формули узагальнених розмірностей систем підпросторів, де незвідне *-зображення *-алгебр, що задані твірними-проекторами, співвідношеннями Темперлі-Ліба, з співвідношеннями комутації та хоча б одним співвідношенням ортогональності, для широкого класу графів-дерев, наведені в п.3.6, завершують розгляд систем підпросторів, породжених зображеннями алгебр, які задані твірними-проекторами та співвідношеннями.

Висновки

У дисертації вивчаються системи підпросторів , що побудовані за нееквівалентними незвідними *-зображеннями *-алгебр, які задані твірними проекторами і співвідношеннями.

Нееквівалентні незвідні *-зображення *-алгебр при і породжують всі не ізоморфні транзитивні системи одного та двох підпросторів, при породжують всі неізоморфні транзитивні трійки підпросторів скінченновимірного простору. Нееквівалентні незвідні *-зображення *-алгебри породжують всі неізоморфні транзитивні четвірки підпросторів скінченновимірного простору. При неізоморфність та транзитивність систем підпросторів вигляду , де , доведена для з дискретного спектру задачі унітарного опису *-алгебри . Для систем вигляду , де та з дискретного спектру, виписані формули узагальнених розмірностей.

Доведена *-дикість задачі ізоморфного опису транзитивних систем з n підпросторів при .

Обгрунтована неізоморфність і транзитивність систем з n+1підпросторів , породжених нееквівалентними незвідними *-зображеннями *-алгебр , що задані твірніми-проекторами та співвідношеннями ABO, при з дискретного спектру задачі унітарного опису *-зображень *-алгебри .

Побудована сім'я неізоморфних транзитивних п'ятірок підпросторів за та виписані формули узагальнених розмірностей цих п'ятірок.

Проаналізована неізоморфність транзитивних п'ятірок підпросторів де – незвідне *-зображення з , транзитивним п'ятіркам , де – незвідне *-зображення з при з дискретного спектру.

Список опублікованих робіт за темою дисертації:

Moskaleva Yu.P. and Samoilenko Yu.S. Systems of n subspaces and representations *-algebras generated by projections // Methods of Functional Analysis and Topology. – 2006. – Vol.12, no.1. – P.57-73.

Москалева Ю.П. О *-представлениях алгебры // Ученые записки Таврического нац. ун-та им. В.И. Вернадского, серия "Математика. Механика. Информатика и кибернетика". – 2005. – №1. – С.27-35.

Иванов С.В., Москалева Ю.П., Попова Н.Д. О наборах проекторов с соотношениями типа Темперли-Либа, коммутации и ортогональности // Межведомственный научный сборник "Динамические системы". – 2005. – Вып.19. – С.191-198.

Kuzhel S., Moskalyova U. The Lax-Phillips scatterring approach and perturbations of Schrodinger operator homogeneous with respect to scalling transformations// J. of Math. of Kyoto University. – 2005. – Vol.45, no.2. – P.265-286.

Moskaleva Yu.P. and Samoilenko Yu.S. On transitive systems of subspaces in a Hilbert space//math.RT/0602677 – 2006. – 19 p.

Moskaleva Yu.P. Systems of subspaces generated by *-representations of algebras // International conference on representation theory of algebras and applications "Algebraic versus analytic representations". List of Participants, Schedule and Abstracts of Tolks.Kyiv(Ukraine). – 2005. – P.14-16.

АНОТАЦІЇ

Москальова Ю.П. "Системи підпросторів та *-зображення алгебр, породжених проекторами". – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціаль-ністю 01.01.06 – алгебра і теорія чисел. Київський національний університет імені Тараса Шевченка , Київ, 2006.

У дисертації вивчаються системи підпросторів, що побудовані за нееквівалентними незвідними *-зображеннями *-алгебр, які задані твірними-проекторами та співвідношеннями.

Всі неізоморфні транзитивні системи одного та двох підпросторів побудовані за нееквівалентними незвідними *-зображеннями *-алгебр при та. Всі неізоморфні транзитивні трійки підпросторів скінченновимірного простору побудовані за нееквівалентними незвідними *-зображеннями *-алгебри. Всі неізоморфні транзитивні четвірки підпросторів скінченновимірного простору побудовані за нееквівалентними незвідними *-зображеннями *-алгебри . При неізоморфність і транзитивність систем вигляду, де, доведена для з дискретного спектру задачі унітарного опису *-алгебри. Для систем вигляду, де та з дискретного спектру, виписані формули узагальнених розмірностей.

Доведена *-дикість задачі ізоморфного опису транзитивних систем з n підпросторів при.

Обгрунтована неізоморфність та транзитивність систем з n+1 підпросторів, породжених нееквівалентними незвідними *-зображенями *-алгебр, що задані твірніми-проекторами та співвідношеннями ABO, при з дискретного спектру задачі унітарного опису *-зображень *-алгебри.

Побудована сім'я неізоморфних транзитивних п'ятірок підпросторів по та виписані формули узагальнених розмірностей цих п'ятірок.

Ключові слова: алгебра, твірни проектори, незвідні зображення, транзитивні системи підпросторів.

Москалева Ю.П. "Системы подпространств и *-представления алгебр, порожденных проекторами". – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 – алгебра и теория чисел. Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2006.

В диссертации изучаются системы подпространств, построенные по неэквивалентным неприводимым *-представлениям *-алгебр, которые заданы образующими проекторами и соотношениями.

Все неизоморфные транзитивные системы одного и двух подпространств построены по неэквивалентным неприводим *-представлениям *-алгебр при и. Все неизоморфные транзитивные тройки подпространств конечномерного пространства построены по неэквивалентным неприводим *-представлениям *-алгебр. Все неизоморфные транзитивные четверки подпространств конечномерного пространства построены по неэквивалентным неприводимым *-представлениям *-алгебр.

При неизоморфность и транзитивность систем вида, где, доказана для из дискретного спектра задачи унитарного описания *-алгебры. Для систем вида, где и из дискретного спектра, выписаны формулы обобщенных размерностей.

Доказана *-дикость задачи изоморфного описания транзитивных систем из n подпространств при .

Обоснована неизоморфность и транзитивность систем из n+1 подпространств, порожденных неэквивалентными неприводимыми *-представлениями *-алгебр, заданных образующими-проекторами и соотношениями ABO, при из дискретного спектра задачи унитарного описания *-представлений *-алгебры.

Построено семейство неизоморфных транзитивных пятерок по и выписаны формулы обобщенных размерностей этих пятерок.

Ключевые слова: алгебра, образующие проекторы, неприводимые *-представления, транзитивные системы подпространств.

Moskaleva Yu.P. "Systems subspaces and *-representation of algebras generated by projections". – Manuscript.

Thesis of the dissertation for obtaining of the degree of candidate of sciences in physics and mathematics, speciality 01.01.06 – algebra and number theory. Kyiv Taras Shevchenko University, Kyiv, 2006.

Let be an *-algebra, generated by the system of generators : , , …, – n self-adjoint idempotents and some system of relations, H – Hilbert space, B(H) – algebra of linear bounded operators in H. *-Representation – *-homomorphism. Let us consider the – *-representation of *-algebra with the space of representation H and ( ) – corresponding collection of orthogonal projections, and construct the system of n subspaces of Hilbert space H as

The thesis is devoted to investigations systems of type, constructed by nonequivalent irreducible *-representations of *-algebras, that are given by generators-projectors and relations.

All nonisomorphic transitive systems of one and two subspaces can be got by nonequivalent irreducible *-representations of *-algebras when and. All nonisomorphic transitive triples of subspaces of finite dimensional space can be got by nonequivalent irreducible *-representations of *-algebra. All nonisomorphic transitive quadruples of subspaces of finite dimensional space can be got by nonequivalent irreducible *-representations of *-algebra. For nonisomophism and transitivity of systems, where, are proved for from a discrete spectrum of the problem of unitary description of *-algebras.

For systems of type, where and from a discrete spectrum, formulas of generalized dimensions are written out.

In the thesis, we make an analysis of complexity of the description problem for transitive systems of n subspaces for as *-wild.

Nonisomophism and transitivity of n+1-subspaces systems, generated by nonequivalent irreducible *-representations of *-algebras, that are given by generators-projections and relations ABO, where from a discrete spectrum of the problem of unitary description of *-algebra , are obtained.

We construct nonisomorphic transitive quintuples of subspaces by and write formulas of generalized dimensions of these quintuples.

Key words: algebra, generators projections, irreducible *-representation, transitive systems of subspaces.