МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ЛУЦЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

МАКСИМОВИЧ ЯРОСЛАВ ВОЛОДИМИРОВИЧ

УДК 539.3

РОЗРАХУНОК ТРАЄКТОРІЙ ТА ШВИДКОСТІ ПОШИРЕННЯ ВТОМНИХ ТРІЩИН У ПЛАСТИНЧАТИХ ЕЛЕМЕНТАХ КОНСТРУКЦІЙ

01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Луцьк – 2006

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Луцькому державному технічному університеті Міністерства освіти та науки України.

Науковий керівник | доктор технічних наук, професор

Божидарнік Віктор Володимирович,

Луцкий державний технічний університет,

ректор університету

Офіційні опоненти: | доктор технічних наук, професор

Сяський Андрій Олексійович,

Рівненський державний гуманітарний університет,

проректор з наукової роботи

кандидат фізико–математичних наук,

старший науковий співробітник

Книш Віталій Васильович,

Інститут електрозварювання ім. Є.О. Патона

НАН України, старший науковий співробітник

Провідна установа | Інститут прикладних проблем механіки і математики

ім. Я.С. Підстригача НАН України, м. Львів

Захист відбудеться “ 22 ” листопада 2006 року о “ 15 ” годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 32.075.01 при Луцькому державному технічному університеті Міністерства освіти та науки України за адресою: 43018, м. Луцьк, вул. Львівська, 75.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Луцького державного технічного університету за адресою: 43018, м. Луцьк, вул. Львівська, 75.

Автореферат розіслано “ 21 ” жовтня 2006 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради,

кандидат технічних наук |

Бондарський О.Г.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність роботи. Відомо, що в елементах конструкцій та машин, які перебувають в умовах циклічних навантажень, виникають та поширюються втомні тріщини. Проблема оцінки довговічності пластинчатих елементів конст-рук-цій при таких навантаженнях зводиться до прогнозування кількості циклів, за яких тріщина підростає до критичних розмірів. Для вирішення постав-леної проблеми необхідно визначити траєкторії та швидкості підростання тріщин. Розвязання цієї задачі може бути здійснене методами механіки руйнування на основі детального вивчення напружено-деформованого стану (НДС) пластинок з тріщинами з повним урахуван-ням їх форми і прикладеного навантаження.

На даний час у літературі достатньо повно розроблені методики дослідження процесів прямо-лінійного розпов-сюд-ження втомних тріщин. Питанням роз---ра--хунку процесів поширення тріщин вздовж криволінійних траєкторій присвячена відносно невелика кількість робіт. Зокрема, в роботах Саврука М.П. запропоновано метод визначення статичних симетричних траєкторій розповсюдження тріщин. Пана-сю-ком В.В. і Дацишин О.П. розглядались процеси поширення крайової втомної тріщи-ни у півнескінченній пластині, коли пере-мі-щується одна з вершин. Аналітичні підходи до розра-хун-ку втомних руй-ну--вань розроблено в ро-ботах Андрейківа О.Є., Салганика Р.Л., Черепанова Г.П. Питання розповсюдження втомних тріщин у зварних елементах конструкцій розглядались Кир’яном В.І. і Книшом В.В. Загальний ви--па-док процесу руйнування, коли обидві вер-ши-ни тріщини поширюються несимет-рич-но і з різ--ни-ми швидкостями, най-менш вивчений у літературі. Недос-тат-ньо досліджено також питання впливу форми границь на втомні руйнування плас-тинок. Таким чином, для практики є актуальною проблема узагальнення ві-до-мих розрахункових методик на випадок несиметричного розповсюдження втом-них тріщин вздовж криволінійних траєкторій у пластинках складної форми.

Розрахунок поширення втомних тріщин здійснюють на основі методів механіки руйнування, для застосування яких необхідно визначити НДС, що виникає біля тріщин. Для дослідження НДС плас-тинок з криволінійними тріщинами най-більш застосовним є метод граничних інтегральних рівнянь (МГІР). Значний внесок у його розвиток внесли Андрейків О.Є., Бережницький Л.Т., Божидарнік В.В., Гудрамович В.С., Гриліцький Д.В., Грінченко В.Т., Камінський А.О., Калоєров С.О., Красовський А.Я., Кіт Г.С., Лобода В.В., Осадчук В.А., Панасюк В.В., Попов Г.Я., Саврук М.П., Стащук М.Г., Сулим Г.Т., Сяський А.О., Фільштинський Л.А., Черепанов Г.П., Еrdogan F., Irwin G.R., Clementc D.L., Sih G.C.

Для дослідження процесу втомних руйнувань, в основному, використо-вують метод прослідковування, при застосуванні якого необхідно бага-то-разово розра-хо-вувати НДС в околі тріщин. У зв’язку з цим для таких розрахунків доціль-но засто-сову-вати алгоритми, реалізація яких вимагала би мінімального часу роботи ЕОМ.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконувалась у рамках науково-дослідних тем Луцького державного техніч-ного університету: “Розробка методів оптимізації напруженого стану анізотропних пластинок, послаблених отворами і тріщинами” (№ держреєстрації 0103U000280) у 2003-2004 рр., “Розробка методів розрахунку криволінійних траєкторій поширення тріщин стосовно проблеми гальмування руйнувань" (№ держреєстрації 0105U000805) у 2005-2006 рр.

Мета і завдання досліджень. Метою дисертаційної роботи є розробка методики розрахунку криволінійних траєкторій та швидкостей руху вершин втомних тріщин у пластинчатих елементах конс-т-рукцій і дослідження на її основі харак-терних закономірностей процесу втом-них руйнувань залежно від форми пластинок та прикладеного навантаження.

Досягнення мети передбачає розв'язання таких задач:

· побудувати ефективні алгоритми розрахунку НДС біля криволінійних тріщин у пластинках стосовно до методу прослідковування;

· розробити методику опису тріщин довільної форми та обґрунтувати її застосовність при дослідженні процесу поширення втомних тріщин;

·

·

Об’єктом досліджень є пластинки складної форми, послаблені отворами та тріщинами, які перебувають в умовах циклічних навантажень.

Предметом досліджень є процеси розповсюдження втомних криволінійних тріщин у пластинках.

Методи досліджень. Методика побудована на основі крокової процедури про-слід--ко-вування за траєкторією втомної тріщини, методів механіки руйнування, діа-г-рам втомного руйнування. Визначення НДС пластинок з тріщинами проведено за допомогою методу інтегральних рівнянь, розв’язків типу Гріна, кубічних сплайнів.

Наукова новизна одержаних результатів полягає у наступному:

· побудовано алгоритми розрахунку НДС біля криволінійних тріщин у пластинках складної форми на основі методу інтегральних рівнянь та розв’язків типу Гріна, оптимізованих за швидкодією при реалізації на ЕОМ;

· автоматизовано опис форми криволінійних тріщин за допомогою кубічних сплайнів та обґрунтовано його застосовність у розрахунках процесу поши-рення втомних тріщин;

·

·

Вірогідність отриманих результатів забезпечується: коректним засто-су-ван-ням методів теорії функцій комплексної змінної та граничних інтегральних рівнянь, що використовується при визначенні НДС у пластинках з тріщинами; застосуванням для розв’язування інтегральних рівнянь широко апробованих у літературі числових ме-тодів; вико-рис-танням теоретично і практично обґрунтованих у механіці руйну-ван-ня крите-ріїв підростання втомних тріщин; узгодженням отриманих розв’яз-ків ря-д-у задач із відомими результатами, одержаними в літературі іншими мето-д-а--ми.

Теоретичне значення роботи полягає у розробці: ефективної методики розрахунку криволінійних траєкторій і швидкостей руху вершин втомних тріщин у пластинках різної форми; методики роз-в'я-зування крайових задач плоскої теорії пружності з тріщинами довільної кон-фігурації за допомогою сумісного використан-ня методів теорії функцій комплексної змінної, граничних інтегральних рівнянь і розв'язків типу Гріна. Побудовано ефективний фундаментальний розв’язок задачі теорії пруж-ності для смуги.

Практичне значення. Розроблений підхід до дослідження процесу підрос-тан-ня втомних тріщин може бути використаний для прогнозування довговічності плас-ти--нок різної форми з повним урахуванням умов навантаження. Методика може бути за-стосована для створення методів гальмування втомних трі-щин за допомогою коро-т-кочасної зміни навантаження. Отримані в роботі результати використовуються у ВАТ „Дрого-бицький долотний завод” для прогнозування довго-віч-ності роликів та для оцінки швидкості під-ростання втомних тріщин, які виникають у пода-ю-чих бара-ба-нах при виготов-ленні роликів для доліт у науково-виробничій фірмі „Корунд” (м. Луцьк).

Публікації та особистий внесок здобувача. За темою дисертації опуб-лі-ко-вано 14 наукових праць [1-14], у тому числі 6 статей [1-6] у науко-вих жур-налах, які входять до переліку фахових видань, затвердженого ВАК України.

У публікаціях, що висвітлюють результати досліджень та написані у спів-авторстві, виконана наукова робота розподіляється таким чином. Здобувач разом із співавторами: у роботах [1, 2, 4, 7, 8] отримав розв’язки типу Гріна для розглянутих у роботі класів задач; побудував на їх основі інтегральні рівняння [2, 5, 9, 11-14]; розробив методику розрахунку криволінійних траєкторій поширення втомних тріщин [3, 6, 10]. В усіх роботах дисертант брав участь у постановці задач, виборі методів їх розв’язування, аналізі результатів досліджень. Автором самостійно: створено програми для ЕОМ; виконано перевірку точності та достовірності розроблених алгоритмів на тестових задачах; проведено числові розрахунки.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідались і обговорювались на: Всеукра-їнській конференції “Нові підходи до розв'язування диференціаль-них рівнянь" (Дрогобич, 1997), Міжнародній науковій конференції “Сучасні проблеми механіки і математики” (Львів, 1998), І науковому семінарі "Сучасні проблеми інженерної механіки" (Луцьк, 2000), V Міжнародній науковій конференції “Математичні проблеми механіки неоднорідних структур” (Львів-Луцьк, 2000), IV-ому Міжнародному симпозіумі “Механіка і фізика руйнування будівельних матеріалів і конструкцій” (Львів, 2002), Всеукраїнській науковій конференції "Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики" (Львів, 2003). Дисертаційна робота в цілому доповідалася на міжкафедральному науковому семінарі Луцького державного технічного університету „Механіка і міцність неоднорідних матеріалів та конструкцій” під керівництвом д.т.н., проф. Шваб'юка В.І., науковому семінарі відділу термомеханіки Інституту прикладних проблем механіки і математики ім.  Підстригача Я.С. НАН України під керівництвом д.ф.-м.н., проф. Кушніра Р.М. і д.т.н. Поповича В.С., науковому семі-нарі відділу міцності зварних конструкцій інституту електрозварювання ім. Пато-на Є.О. НАН України під керівництвом члена-кор. НАН України Кир’яна В.І.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, загальних висновків, переліку використаних джерел та додатків. Обсяг основного тексту роботи становить 143 сторінок. Дисертація містить 116 рисунків, 13 таблиць, 159 найменувань бібліографічного списку на 14 сторінках та додатку на 2 сторінках.

Автор висловлює щиру подяку науковому керівнику, д. т. н., професору Божидарніку В.В. за постійну допомогу й підтримку в процесі виконання цієї роботи, а рівно ж канд. фіз.-мат. н., доц. Гембарі В.М. за його цінні поради та увагу.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність обраної теми, сформульовано мету і зав-дання досліджень, наведено методи розв’язування поставлених задач, показано наукову новизну та достовірність отриманих результатів, їх теоретичне і практичне значення, висвітлено дані про апробацію результатів роботи і опубліковані праці за темою дисертації.

У першому розділі подано огляд праць за темою дисертації та подано стислий аналіз сучасного стану проблеми. Наведено також основні рівняння плоскої задачі теорії пружності та основні положення механіки руйнування..

У другому розділі розроблено методику розрахунку траєкторій і швидкості підростання втомних тріщин у пластинках довільної форми та виконано дослід-ження процесу руйнування у пластинках великих розмірів.

У роботі розглядаються нескінченні або обмежені пластинки, послаб-лені системою тріщин, які розміщені вздовж ліній Lj=1,…,I. Приймається, що плас-тин-ка перебуває під дією одновісного або все-сто-рон-нього розтягу зусиллями ; зосереджених масових сил (CXj,CYj), j=1,…,J; зусиль (CX,CY) та , які прикладені до границі пластинки та берегів тріщин відповідно. Тут введено циклічний параметр , що характеризує зміну наван-та-жен-ня в циклі, макси-мальне значення якого Cmax=1.

Для знаходження форми тріщини в процесі руйнування використано кроковий метод прослідковування за траєкторією тріщини. На кожному з кро-ків роз-в’язуються такі три задачі: описується форма тріщини в кінці попе-ред-ньо-го етапу; ви-зна-чаються коефіцієнти інтенсивності напружень (КІН) для цієї тріщини; знаходиться при-ріст тріщини, зумовлений рухом обох вершин.

У розробленому алгоритмі параметричні рівняння тріщини, що підростає в процесі прослідковування, описано кубічними сплайнами, які будува-ли на ос-нові координат вузлових точок на тріщині та кутів нахилів дотичних у її вершинах.

При знаходженні НДС пластинки (друга задача) введено допо-між-ну статичну задачу для заданої пластинки з тріщиною, коли у прикладеному навантаженні цик-лі-ч--ний множник С замінено на одиницю. Визначення такого НДС проведено на основі інтегральних рівнянь, ядра в яких є розв’яз-ками типу Гріна допоміжної задачі теорії пружності. За такі розв’язки вибрано комп-лексні потенціали Мусхе-ліш-вілі для області S, яким відповідає вільна від навантаження її межа за умови, що ці функції мають особливості вигляду…

Показано, що такі потенціали існують для обмежених та нескінченних пластинок при довільних значеннях і мають вигляд (1)

Тоді комплексні потенціали для області S з тріщинами набудуть вигляду (2)

Загальний роз-в’я-зок (2) автоматично задовольняє задані умови на границі пластинки, що відповідно дозволяє зменшити об’єм обчислень при розрахунках НДС.

Підставивши потенціали (2) в умови на берегах тріщини, отримуємо інтег-раль-не рівняння для визначення функції Q. Розв’язування рівняння проведено методом механіч-них квадратур, який ґрунтується на квадратурних формулах Лобатто. При цьому використовується параметричний опис тріщини у вигляді , та зображення . Для знаходження функції U у вуз-лових точках отримано систему лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) вигляду (3)

Доповнивши рівняння (3) дискретним аналогом умови однозначності переміщень, отримуємо замкнену СЛАР, на підставі розв’язків якої визна-чаємо КІН.

Знаходження форми тріщини в кінці n – го кроку (третя задача), проводилось за припущення, що вершини підрос-тають вздовж прямолінійних від-різ-ків, напрямки яких знаходили на основі – критерію руйнування (4). Враховуючи, що у формулу (4) входить відношення КІН k, кути нахилу дотичних до вісі Ох знаходили на основі КІН для статичної задачі.

У зв’язку з тим, що при використанні критерію (4) , для визначення швидкості підростання втомних тріщин v застосовано рівняння, які описують процес руйнування за механізмом нормального відриву вигляду (5).

Покладемо, що відстань, на яку пере-міс-тилась вершина з більшим зі значень КІН на кожному з етапів дорівнює деякій величині , яка є малою порівняно з довжиною початкової тріщини. Тоді на підставі (5) отримано де =Fn(B)/Fn(A), якщо Fn(A)>Fn(B) або =Fn(A)/Fn(B), і в іншому випадку. Тут –довжини відріз-ків, вздовж яких під-рос-тає тріщина; , С=А, В; Аn, Вn – вершини тріщини на n– ому кроці. Кількість циклів, за яких тріщина підростає на кроці, визначається за формулою / Fn, де Fn більше зі значень Fn(B), Fn(A)..

На основі наведених співвідношень знаходяться коорди-нати вершин та кути нахилу дотичних до тріщини на початку n+1– го кроку, які разом із відомими координатами тріщини на попередньому кроці дозволяють описувати рівняння тріщини за допомогою сплайнів.

Зазначимо, що у випадках, коли тріщини поширюються симетрично або антисимет-рич-но відносно їх центру, то , внаслідок чого траєкторії по-ширення тріщин можуть бути знайдені без використання співвідношень вигляду (5).

На основі наведених співвідношень розроблено універсальні комп’ютерні програ-ми для дослідження процесу втомних руйнувань у пластинках різної форми, при створенні яких враховано, що у запропонованому підході розрахунок НДС пластинок з тріщинами зводиться до обчислень розв`язків типу Гріна.

Виконані розрахунки НДС біля тріщин зі зламами, які описувались прак-тично точно сплайнами або наближено гладкими функціями, показали, що при визначенні КІН у таких випадках достатньо з високою точністю забезпечити близькість форми тріщин тільки в околі їх вершин. Звідси випливає можливість засто-сування у пропонованій методиці МГІР, який ефективніший для гладких тріщин.

При розгляді конкретних задач про поширення втомних тріщин у роботі діаграми втомних руйнувань (ДВР) описували формулою Яреми - Микитишина (6).

За прийнятих припущень щодо наванта-ження , де -– КІН для введеної допоміжної статичної задачі, . Далі в роботі всі розрахунки виконано стосовно до сталі 75ХГСТ, параметри якої у формулі (6) є такими: q=1.26, 4.3 МПа, 37 МПа, .

Спочатку розроблений алгоритм використано для розрахунку статичних симетричних траєкторій поширення тріщин у пластинках, що перебувають в умовах одно-сто-роннього розтягу та під дією зосереджених сил. Отримані результати узгоджуються з відомими в літературі даними, знайденими іншим шляхом.

Детально вивчено випадок одностороннього розтягу пластинок з прямо-лі-ній-ними і слабовикривленими тріщинами. Результати розрахунків процесу поширення тріщини, що розміщена на колі радіуса R=0.1 м при за роз-тягу плас-тин-ки зусиллями Cp під кутом до вісі Ox зображено на рис. 1. Розрахунки проведено при p=5 МПа, C=1 (тобто в циклі макси-маль-не значення зусиль є р, а міні-мальне – 0), N=60, K=80, де – кількість кроків. Траєкторії підростання тріщини подано на верхньому ри-сун-ку; швидкість поширення тріщини (кількості циклів), залежно від номеру кроків, зображено на середньому рисунку; значення КІН у вершинах тріщини – на нижньому рисунку. Тут і далі числам 0,…,4 на графіках відпові-дають кроки з номерами: 0 (почат-ко-ва трі-щина), K/4, K/2, 3K/4, K. На підставі вико-на-них розрахунків встановлено, що прямо-лінійні та слабо-ви-крив-лені трі-щи-ни у нескін-ченних плас--тин-ках, що перебу-вають в умо-вах одно-віс-ного роз---тягу, підрос--тають, як пра-вило, пер-пен-ди-кулярно до напрямку дії зусиль.

Виконані дослідження процесу втомних руйнувань за розтягу пластинки зосередженими силами вказують на істотний вплив коефіцієнту Пуассона і розміщення сил на траєкторії та швидкості підростання тріщин.

Взаємовплив тріщин на процес втомних руйнувань досліджено на при-кла-ді тріщин, що розміщені симетрично або періо-дич-но відносно координатних осей. На рис. 2 кривими 1, 2, 3 зобра-жено траєкторії поширення пара-лель-них зсунутих тріщин півдовжини a=1 м, центр яких розміщено в точках (a,0,1a), (a,0,2a) (a,0,31a) при розтязі пластинки зусиллями Ср перпен-дикулярно до тріщин, коли p=3 МПа. Тут і далі покладено C=1. Із наведених траєкторій розповсюдження лівих тріщин випливає, що ближні вершини тріщин відда-ляються на початковому етапі. Після зміни напрямку руху ці вершини наближаються до сусідньої тріщини і далі зупиняються. Протилежні вер-ши-ни тріщин спочатку дещо на---бли--жаються до вісі Ox, а далі відда-ляють-ся від неї вздовж нахилених прямих. Ці результати на перших кроках узгоджуються з даними досліджень Саврука М.П., які от-ри--мані в припущенні, що переміщується тільки вершина з максимальним зна-чен-ням КІН. Наведено висновки щодо впли-ву форми початкової тріщини і типу при-кладеного навантаження на процес руй-нування пластинок та їх довговічність.

У третьому розділі розроблено методику розрахунку траєкторій і швидкостей руху вершин втомних тріщин у смузі та півнескінченній плас-тинці і досліджено на цій основі процес поширення тріщин біля прямолінійних границь у пластинчатих елементах конс-т-рукцій при циклічних навантаженнях. Розрахунки виконано за розробленими у розділі 2 алгорит-мом та про-гра--мами, до яких додатково включено процедури обчислення розв’язків типу Грі-н-а.

Комплексні потенціали Мусхелішвілі, що відповідають розв’язку типу Гріна для півплощини з вільною від навантаження межею мають вигляд…

Для смуги аналогічний розв’язок отримано у вигляді(7), (8)

Таким чином інтеграл (8) зобра-же-но у вигляді суми двох складових. Першу складову, яка отримана заміною функцій на , виражено через еле-мен--тар-ні функції, а другу – визначено через швид-ко--збіжні регулярні інтег-ра-ли. За способом побудови друга скла-до-ва є малою вели-чи-ною і практично не впливає на КІН. Виконані для тесту-ван-ня розра-хун-ки КІН для нахи-ле--ної тріщини в смузі вказують на ефективність розробленого алгоритму.

Дослідження процесу руйнування виконано для смуги та півплощини з нахиленою прямолінійною тріщиною, які перебувають під дією поздов-жнього, поперечного і всестороннього розтягів та зосереджених сил, що прикладені до границі, в тому числі за триточкового згину для балки-смуги.

На основі проведених роз-ра-хунків для смуги –H<y<0 з центральними та зміщеними тріщинами, які нахилені під кутами до границі, ви-пли-ває, що при її поздовжньому циклічному розтязі тріщина розповсюджується пер-пен-дикулярно до дії зусиль, при-чо-му траєкторії поширення тріщин у смузі практично такі ж, як у нескінченній та півнес-кін-чен-ній плас-тинках. Водночас швидкості поширення тріщин для смуги і півнескін-чен--ної пластинок близькі між собою і значно більші, ніж для нескінченної пластин-к-и.

Результати роз-ра-хун-ків для ви-падку рівно-мір-ного по-переч-ного розтягу сму-ги з цент---ра--льною, нахи-ле-ною під кутом до вісі Ох, тріщиною півдов-жи-ни a=0.25H при p=10 МПа наве-дено на рис. 3. Видно, що вер-ши-ни тріщини спо-чат-ку дещо відда-ля-ють-ся від ближчої гра-ниці, а далі після зміни напрямку руху по--вільно набли-жа-ють-ся до неї. У півпло-щи-ні ближча до границі вершина ру-хаєть-ся практично так само, як і в смузі, а віддалена пере-міщується вздовж прямої, яка повільно наближається до границі.

Проведені розрахунки за все-сто-роннього розтягу смуги показали, що на-хилені тріщини поширюються практично вздовж прямої, на якій вони розміщені. Вздовж такої ж траєкторії переміщується ближча до границі вершина в півплощині, а віддалена – рухається вздовж слабовикривленої траєкторії, що повертається в напрямку границі без зламів.

Досліджено процес розповсюдження трі-щин у смузі та півплощині при навантаженні зо-се-редженими силами. Потенціали , які входять у формули (2) і відповідають дії сил, знаходили на основі розв’язку типу Гріна при відповідному виборі параметру . Спочатку для окремих випадків визначено ста-тич-ні симетричні траєк-то-рії підростання тріщин у смузі. Зокрема, розгляну-то смугу з цент-раль-ною прямоліній-ною тріщиною пів-дов-жи-ни а і центром у точці (0,-H/2), яка нахилена під кутом до вісі Ох, коли пластинка роз-тя-гує-ться дво-ма силами в напрямку вісі Oy, що при-кла-дені до верхньої та нижньої границі. Обчислені ста-тич-ні траєк-то-рії поши-рення тріщин при k=1,2,3 (номе-рам біля кривих відповідає зна-чення k) та зна-ченні коефіцієнта Пуассона =0.3 наведено на рис. 4. Видно, що вер-ши-ни тріщин спочатку від-да-ля-ються від ближчої границі, а далі, змі-нюючи напря-м, наближаються до неї.

Виконані розра-хунки пока--зали, що анало-гічний характер мають статичні траєк-торії при рівномір-но-му поперечному роз-тязі смуги. Траєкторії поширення гори-зон-тальних нецен-т--раль-них тріщин півдов-жи-ни a=0.2H, центр яких розмі-ще-но в точках (0,-0.2H), (0,-0.3H), (0,-0.4H), при навантаженні зосе-редже-ни-ми силами та попереч-ному розтязі наближа-ють-ся до ближчої границі, причому для півплощини і смуги ре-зуль-тати розрахунків практично збігаються.

Вплив границь при несиметричному навантаженні досліджено для тріщини півдовжини a=0.1H, центр якої розміщено в точці (0,-0.2H). Смуга перебуває під дією зосереджених сил (0,PC) що прикладені в точках (ka,0), (ka,-H) при значенні циклічного параметру C=1 та k=0,0.5,1,1.5 відповідно. Результати одержаних траєкторій при k=1.5 для нескінченної пластинки при P/H=10 МПа та для смуги і пів-пло-щи-ни при P/H=5МПа наведено на рис. . З аналізу результатів обчислень випли-ває, що ближча до сил вершина спочатку переміщується у напрямку віддаленої сили, далі змі-нює напря-м і також на-бли-жаєть-ся до ближчої границі. Відда-лена вершина тріщини одразу переміщується до ближчої границі, причому найбільша швидкість її переміщення є у смузі.

Дослідження процесу руйнування балки-смуги за триточкового згину прове-де-но для вертикальної тріщини півдовжини 0.1H, коли зосереджені сили , -PC/2 I PC/2 прикладені до границь у точках (0,0), (-d,-H) i (d,-H) при d=2H відповідно. Виконані розрахунки для тріщин, що розміщені посередині централь-ного перерізу або зсунуті вниз на 0.1H і 0.2H, показали, що переміщується тільки ближча до границі вершина.

Розглянуто вертикальні центральні тріщини, які зсунуті вправо відносно вісі Оу з центрами в точках (kH,-0.5H), при k=0.1,0.25,0.5,1,1.5,2. В усіх випадках верхня вершина тріщини нерухома, а нижня переміщується вздовж пря-мих, що відхи-ляються вправо від вісі Оу, причому най-більше відхилення має місце, коли центр розміщено в околі точки з координатами (H,-0.5H). Резуль--тати розра-хунків при k=0.5, P/H=10 МПа подано на рис. . Най--біль-ша швид-кість розповсюд-жен-ня має місце для тріщин, центр яких розміщено в точках з координатами (0.25H,-0.5H) та (5H,-0.5H).

Встановлено випадки, коли поширюються паралельні до границі тріщини, які розміщені у верхній половині смуги. Зокрема, для тріщин півдовжини a=0.1H з центром у точках (0.5H,-0.3H) та (H,-0.35H) при P/H=40 МПа переміщується тільки права вершина в напрямку до віддаленої границі.

У четвертому розділі розроблено методику розрахунку траєкторій і швидкостей руху вершин втомних тріщин у кругових пластинках і пластинках з еліптичним отвором та досліджено на цій основі процес поширення втомних тріщин біля криволінійних границь у пластинчатих елементах конс-т-рукцій при циклічних навантаженнях. Для розв’язування задачі про визначення НДС у таких плас-тин-ках з тріщинами спочатку побудовано відповідні розв’язки типу Гріна.

Розв'язок типу Гріна для кругової пластинки радіуса R знайдено за допомогою методу Мусхелішвілі. Комплексні потенціали, що відповідають введеному розв’язку визначаються за формулами …

Доповнивши розроблений вище алгоритм визначення НДС процедурою обчислення побу-до-ва-ного розв’язку типу Гріна, отримано розширену методику розрахунку поширення втомних трі-щин, яка додатково дає можливість розглядати кругові плас-тинки.

Спочатку побудовано симетричні та антисиметричні статичні траєкторії поширення початково гори-зон-тальної тріщини півдовжини а з центром у точці (0,kR) в обмеженій круговій пластинці радіуса . Пластинка розтягується зосеред-же-ни-ми силами, прикладеними до границі вздовж вертикального діаметру при a/R=0.25, k=0.5, 0.4, 0.3, 0.2. Показано, що тріщини підростають вздовж пря-мих, які напрямлені до ближчої границі пластинки, при цьому кут нахилу цих прямих зростає при наближенні тріщини до границі. У круговій пластинці з центральною та зсунутою нахиленими тріщинами, які перебувають під дією зосереджених сил, що прикладені до границі, траєкторії підростання тріщин виявились близькими за формою до відповідних траєкторій для нескінченної пластинки.

За допомогою розробленого алгоритму дослід-жено також процес руйнування кругової плас-тинки, яка стиснута вздовж діа-мет-ру зосе-ред-женими силами. Вершини симетрич-но розмі-щених і паралельних діаметру тріщин набли-жаються до прямої, вздовж якої діють сили. У несиметричному випадку ближча до границі вершина тріщини також наближається до лінії дії сил, а віддалена – переміщується вздовж прямої, на якій розміщена тріщина. Центральні нахилені та слабо-ви--крив-лені тріщини при стиску також на-бли--жаються до прямої, вздовж якої діють сили. На рис. 7 наведено резуль-тати роз-ра-хунків траєкторії та швид-кості підрос-тан-ня тріщини пів-дов-жини 0.2R у кру-го-вій пластинці радіуса , коли зосе-ред-жені сили діють вздовж горизон-тального діаметру при P=100МПа м і тріщина нахи-лена під кутом до напрямку дії сил.

Наведені результати та розроблені програми використовуються у ВАТ „Дро-го-бицький долотний завод” для роз-ра-хункового прогнозування довго-віч-нос-ті роликів з мікротрі-щи-на-ми, які мо-жуть виникати в процесі експлуатації доліт.

Розроблено також методику дослідження процесу поширен-ня втом-них тріщин біля отворів еліптичної форми. Розв'язок типу Гріна для такої області знай-де-но з вико-рис-танням методу Мусхелішвілі і записано в простому вигляді.

Проведено дослідження впливу отвору на траєкторії поширення тріщин залежно від їх розміщення та виду навантаження. Детально вивчено процес руйнування на прикладі вертикальної тріщини довжини R, яка розміщена симетрично відносно кругового отвору. При усесторонньому розтязі отвір “відштовхує” тріщину, причому чим ближче тріщина до отвору, тим більше траєкторії відхиляються від отвору. При розтязі пластинки у перпендикулярному до тріщини напрямку траєкторії руху вершин спочатку відхиляються від отвору, а далі поширюються, як і у випадку суцільних пластинок, перпендикулярно до дії наван-таження. У випадку розтягу плас-тинки паралельно до тріщини, ха-рак-тер руй-ну-вання істотно залежить від відстані с між тріщиною і отво-ром. При близь-ких відстанях, коли c/R 1.12, в про-цесі руйну-вання тріщина віддаляється від отвору і поши--рю-є-ть-ся практично перпенди-ку-ляр-но до напрямку дії зу-силь. Розра-хо-вані траєк-то-рії та швид-кості поши-рення тріщин для цього випадку при c/R=1.11 наве-дено на рис. . При c/R 1.13 тріщини набли-жаються до отвору, при-чо-му зі збільшенням від-стані тріщини підростають прак--тично вздовж нахилених прямих. При c=2R отвір уже не впливає на процес руйнування.

Досліджено процес руйнування за несиметричного розміщення тріщин біля отвору. Ближча до отвору вершина поширюється у напрямку до отвору вздовж траєкторії, яка знайдена для симетрично розміщеної тріщини. При незначному змі-щен-ні тріщи-ни віддалена вершина також наближається до отвору з істотно мен-шою швид-кістю. При подальшому зміщенні тріщини віддалена вершина стає нерухомою.

Проведено також дослідження процесу руйнування пластинок з витягнутим еліптичним отвором, на основі яких показано, що встановлені вище закономірності підростання тріщин справджуються і для більш загальних випадків, в тому числі і для криволінійної та нахиленої тріщин.

Досліджено ефективність способу сповільнення руху втомних тріщин, шляхом короткочасної зміни виду навантаження. Підхід проілю-стро-вано на випадку нескінченної пластинки з нахиленою під кутом 450 тріщиною півдов-жи-ни a=0.1 м, що пере--буває в умовах одновісного розтягу при p=10 МПа. У цьому випадку, для підростання тріщини втричі, необхідно 5*104 циклів. Розгля-нуто інший варіант навантаження, у якому від першого до 0.3K кроку пластин-ка розтя-гу-ється вказа-ним навантаженням. Далі, з метою зміни траєкторії, цю пластинку до 0.3K +K/5 кроку на-ва-н-тажували зусиллями 3p (при менших зусиллях тріщина не поши-рю-ва-лась) у напрямку, перпенди-ку-ляр-ному до по-чат-кового, піс-ля чого знову повер-та-лись до експлуатаційного наван-тажен-ня. Після зміни наванта-ження на екс-п-луа-та-ційне -тріщина далі не по-ши--рю-ва-лась. При більшому зна-чен-ні експлуа-та-ційного наван-та--жен-ня p=20 МПа трі-щи--на поши-рюється і після зміни траєк-торії, причому швидкість її підростання змен-шується вдвічі. Отри-мані таким чином результати, коли зміна наван-та-жен-ня від-бу-ва-лась на 24 – ому кроці при K=80 зображено на рис. . Одер-жа-ні результати засто-совані для прог-но--зу-вання швидкості під-ростання втомних тріщин, що вини-кають при експлуатації пода-ю-чих бара-ба-нів в процесі виготов-лення роликів для доліт у науково-виробничій фірмі „Корунд”.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ТА ВИСНОВКИ

Дисертаційна робота спрямована на розв'язання наукового завдання щодо розробки ефективної методики розрахунку криволінійних траєкторій та швидкості поширення втом-них тріщин у пластинках різної форми за допомогою методу прослідковування. На основі проведених досліджень отримано такі результати і сформульовані висновки:

1. Розвинено методику розрахунку НДС пластинок з криволінійними трі--щи---нами стосовно до методу прослідковування. Для мінімізації часу ро-бо-ти ЕОМ у цьому підході НДС плас--тинок знаходили на основі інтегральних рівнянь з невідомими на трі--щинах функціями, ядра яких визначали через введе-ні розв’яз-ки типу Грін-аРозв’язування інтегральних рівнянь проведено методом ме-ха-нічних квад-ратур, причому коефіцієнти відповідної їм СЛАР обчис-лю-ють-ся безпо-се-ред--ньо через введені розв’язки типу Гріна. Форму тріщини в процесі прослідковування визна-чено на основі КІН для тріщини на попередньому кроці, відомих положень механіки руйнування та діаграм втомних руйнувань. Параметричне рівняння описували сплайнами, які будува-ли на ос-нові координат вузлових точок на тріщині та кутів нахилів дотичних у її вершинах.

2. Побудовано універсальні ком-п’ю-тер-ні програми для розрахунку про-це-су втомних руйнувань у смузі, півнескінченній і круговій плас--тинках, пластинках з еліптичним отвором. Ура-ху-ван-ня їх форми в прог-ра-мах здійснюється шляхом використання проце-ду-р для обчислення відповідного розв’яз-ку типу Гріна. Для смуги такий розв’язок зобра-жено у вигляді суми двох скла-до-вих, причому перша, виражена через еле-мен-тар-ні функ-ції, виявилась прак-тич-но точ-ним розв'язком задачі.

3. Досліджено вплив форми і розміщення тріщин, виду прикладеного на-ва-н--таження на процес втомних руйнувань у пластинках різної форми стосовно до ста-лі 75ХГСТ з використанням – критерію для визначення напрямків та фор---мули Яреми-Микитишина для опису швидкості підростання втомних тріщи-н.

4. Прямолінійні нахилені або слабовикривлені тріщини в пластинках за од-но-вісного розтягу підростають, як правило, перпендикулярно до напрямку дії зусиль. У смузі за такого розтягу траєкторії поши-рен-ня центральних тріщин практично такі ж, як і в нескінченній пластинці.

5. При поперечному розтязі смуги рівномірно розподі-ле-ни-ми зусиллями або зосередженими силами, вершини центральної нахиленої трі--щи--ни спочатку дещо віддаляються від ближчої границі, а далі, після зміни на-прямку руху, повільно наближаються до неї. У нецентральній тріщині ана-логічно переміщується ближча до границі вершина, а віддалена – одразу набли-жається до тієї ж границі вздовж прямої. Пара-лельні до границі тріщини підростають безпосередньо в напрямку до границі. Центральна нахилена тріщина в смузі за всестороннього розтягу поширюється практично вздовж прямої, на якій вона розміщена. У тріщинах в смузі та крузі, які розміщені близько до границі, за такою ж траєкторією переміщується ближча до границі вершина, а віддалена – рухається в тому ж напрямку вздовж слабовикривленої кривої. При триточковому згині балки-смуги у центральних зсунутих вправо тріщинах пе-ре-мі-щує-ться тільки нижня вершина вздовж прямої, що нахилена вправо від центральної сили. Найбільше відхиляється тріщина, що розміщена посе-ре-ди-ні між централь-ною си-лою та опорою. Встановлено випадки, коли підростають паралельні до границь тріщини.

6. При стис-ку зосередженими силами кругової пластинки па-ра-лельні до них або центральні нахилені і слабовикривлені тріщини підростають до пря-мої, вздовж якої діють сили. У несиметричному випад-ку аналогічно переміщується ближча до границі вершина тріщини, а віддалена – рухається вздовж пря-мої, на якій роз-мі-ще-на тріщина. Отримані результати використано у ВАТ „Дро-гобицький долотний завод” для прогнозування втомних руйнувань роли-кі-в.

7. Досліджено процес руйнування вертикальної тріщини біля кругового от-во---ру радіуса R. При всесторонньому розтязі пластинки отвір “відштовхує” си-метрично розміщену тріщину довжини R. У випадку розтягу пластинки перпен-ди-ку-лярно до тріщини її вершини в процесі руйнування спочатку відхи-ля-ються від отвору, а далі переміщуються, як і у випадку суцільних пластинок, пер-пенди-ку-ляр-но до дії зусиль. При розтязі пластинки паралельно до трі-щи-ни характер руйнування істотно залежить від відстані c між тріщиною і отво-ром. При близьких відстанях, коли 1.12 в процесі руйнування тріщи-на спочатку віддаляється від отвору і далі поширюється практично перпен-ди-ку-ляр-но до напрямку дії зусиль. При 1.13 тріщини наближаються до от-во-ру. Встановлені особливості поширення тріщин справджуються і для більш загаль-них випадків, у тому числі, і для початково криволінійної та нахиленої тріщини.

8. Встановлено ефективність методу сповільнення руху втомних трі-щин спо-со-бом короткочасної зміни виду на-ван-та-жен-ня. Після такої зміни тріщина не поши-рю-єть-ся, або при високих рівнях навантаження підростає з меншою швидкістю.

Список опублікованих праць

1. Саврук М.П., Максимович Я.В. Побудова розв'язку типу Гріна задачі теорії пружності для смуги // Фіз.-хім. механіка мате-ріалів. – 1999. – 35, № 6. – С.17-21.

2. Гембара В.М., Максимович Я.В., Шваб'юк В.І. Пружна рівновага смуги, навантаженої штампом і зосередженими силами // Наукові записки Української академії друкарства. –Львів, 1999. – Вип. . С. – 129-133.

3. Дубецький С.А., Когут М.С., Максимович Я.В. Дослідження руйнування крихких тіл внаслідок їх контактної взаємодії з жорсткими штампами // Проблемы прочности. – 2001. – № 2.  – С.45-51.

4. Шваб’юк В.І., Максимович Я.В., Максимович О.В. Розрахунок напружень в анізотропних пластинках, навантажених зосередженими силами // Ме-ха-ніка і фізика руйнування будівельних матеріалів і конструкцій. – Львів: Каме-няр, 2002. – Вип. 5. – С.203-210.

5. Кушнір Р.М., Максимович Я.В., Соляр Т.Я. Термопружний стан багато-зв’язних пластинок з тепловіддачею // Машинознавство. – 2004. – № 3. – С.13 – 17.

6. Максимович Я.В., Шваб’юк В.І. Розрахунок криволінійних і ламаних траєкторій квазістатичного підростання тріщин в пластинках // Наукові нотатки: Міжвузівський збірник (за напрямом “Інженерна ме---ха-ніка”). – Луцьк: Луцький держ. технічний ун-тет, 2004. – Вип. 14 – С.176-186.

7. Новосад Є.М., Максимович Я.В. Визначення методом Мусхелішвілі напружено-деформованого стану тіла з масовими силами // Вісн. держ. ун-ту “Львів. політехніка”. Прикл. математика. – 1996. – № 364. – С.117-121.

8. Осадчук В.А., Гембара В.М., Максимович Я.В. Покращення збіжності розв'язку Мусхелішвілі для пружного кільця // Вісн. держ. ун-ту “Львів. політехніка”. Прикл. математика. – 1998. – № 346. – С.48-52.

9. ГембараВ.М., МаксимовичЯ.В. Алгоритми та програми для розрахунку напружень у багатозв'язних пластинках з тріщинами // Механіка руйнування мате-ріа-лів і міцність конструкцій (ви-п. ) / Під ред. В. В. Панасюка: В 3 т. – Т. 2: Ана-лі-тичні методи в механіці руйнування матеріалів. – Львів: Каменяр, 1999. – С.264-268.

10. Божидарнік В.В., Максимович О.В., Максимович Я.В. Алгоритм та комплекси програм для розрахунку траєкторій та швидкості розповсюдження втомних тріщин в пластинках // Механічна втома металів: Праці міжнародного колоквіуму, Тернопіль, 2006.- Тернопільський державний технічний університет ім. Пулюя. – С. 456-461.

11. Гембара В.М., Максимович Я.В. Застосування методу Майзеля для визначення термопружного стану пластинок з тепловіддачею // Сучасні проблеми механіки і матема-ти-ки Матеріали міжнар. конф., Львів, 25–28 травня 1998. – Львів, 1998. – C.102.

12. Божидарнік В.В., Максимович Я.В., Думанський О.І. Розрахунок напруженого стану в обмежених багатозв’язних пластинах з тріщинами // I наук. симп. “Сучасні проблеми інженерної механіки”: Тези доп. – Луцьк, 2000. – С.10.

13. Думанський О.І., Гембара В.М., Максимович Я.В. Чисельний алгоритм визначення пружного стану пластин на основі методів інтегральних рівнянь і функцій типу Гріна // Всеукр. наук. конф. “Нові підходи до розв’язання диферен-ц. рівнянь” (Дрогобич, 15–19 вер. 1997): Тези доп. – С.45.

14. Кушнір Р.М., Максимович Я.В., Соляр Т.Я. Уточнення перетворення Лапласа на основі рядів Фур’є і його застосування до розв’язування квазістатичних задач термопружності // Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики: Матеріали Всеукр. наук. конф. (Львів, 23-25 вересня 2003 р.) – Львів. нац. ун-т. ім. Івана Франка, 2003. – С. 80 – 81.

АНОТАЦІЯ

Максимович Я.В. Розрахунок траєкторій і швидкості поширення втомних тріщин у пластинчатих елементах конструкцій. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла. – Луцький державний технічний університет, Луцьк, 2006.

Розроблено методику розрахунку криволінійних траєкторій та швидкостей руху вершин втом-них тріщин у пластинках різної форми, яка ґрунтується на методі про-слід-ковування.

Рівняння тріщини, що змінюється в процесі прослідковування, описано за допомогою сплайну, який має задані кути нахилу дотичних при вершинах. Розвинуто методику розрахунку напруженого стану пластинок з криволінійними тріщинами стосовно до методу прослідковування. Форма тріщини після підростання визначається на основі коефіцієнтів інтенсивності напружень для тріщини на попередньому кроці, відомих положень механіки руйнування, діаграм втомних руйнувань.

Досліджено процес втомних руйнувань у нескінченних, півнескінченних і кругових пластинках, смузі та в пластинці з еліптичним отвором стосовно до ста-лі 75ХГСТ з використанням – критерію для визначення напрямків та фор-мули Яреми-Микитишина для опису швидкості підростання втомних тріщин.

Встановлено закономірності підростання прямолінійних і ви-крив-лених трі-щин у пластинках різної форми при їх односторонньому і все-сто-рон-ньому роз-тязі та при дії зосереджених сил. Встановлено ефективність способу галь-му-вання руху втомних трі-щин шляхом короткочасної зміни виду на-ван-та-жен-ня.

Ключові слова: пластинки, криволінійні тріщини, метод інтегральних рівнянь, втома, траєкторії поширення тріщин.

АнНотацИя

Максимович Я. В. Расчет траекторий и скорости распространения усталостных трещин у пластинчатых элементах конструкций. – Рукопись.

Диссертация на соискание