НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

Нестеренко Олексій Никифорович

УДК 517.5

ОБЕРНЕНА ЗАДАЧА НАБЛИЖЕННЯ ТА

ОЦІНКИ НОРМ ЦІЛИХ ФУНКЦІЙ ЕКСПОНЕНЦІАЛЬНОГО ТИПУ І МНОГОЧЛЕНІВ

01.01.01 – математичний аналіз

А В Т О Р Е Ф Е Р А Т

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ – 2006

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Київському національному університеті імені Тараса Шевченка

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор

ШЕВЧУК Ігор Олександрович,

Київський національний університет

імені Тараса Шевченка,

завідувач кафедри математичного аналізу

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

Маслюченко Володимир Кирилович,

Чернівецький національний університет

імені Юрія Федьковича,

завідувач кафедри математичного аналізу;

кандидат фізико-математичних наук

Покровський Андрій Володимирович,

Інститут математики НАН України,

старший науковий співробітник

відділу комплексного аналізу та теорії потенціалу

Провідна установа: Дніпропетровський національний університет МОН України

Захист відбудеться “30” січня 2007 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.01 Інституту математики НАН України за адресою: 01601, Київ-4, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України за адресою: 01601, Київ-4, вул. Терещенківська, 3.

Автореферат розісланий “15” грудня 2006 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Романюк А.С.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. У 1938 році С.Н.Бернштейном було доведено теорему про існування неперервної на відрізку функції з наперед заданою послідовністю величин її найкращих рівномірних наближень алгебраїчними многочленами. Цим самим була розв’язана (в позитивному сенсі) задача: з’ясувати, чи для будь-якої монотонно незростаючої та збіжної до нуля послідовності дійсних чисел існує така функція , що

, , (1)

де – сукупність алгебраїчних многочленів степеня не вище , . Задачі такого роду прийнято називати оберненими задачами теорії наближення. Функція , що задовольняє співвідношення (1), називається розв’язком оберненої задачі (1). Зауважимо, що умови, накладені на послідовність , є, очевидно, також необхідними для існування розв’язку цієї оберненої задачі.

Відзначимо принципову важливість наведеного результату С.Н.Бернштейна для забезпечення змістовності обернених теорем теорії наближення. Дійсно, коли в якійсь оберненій теоремі на основі властивостей послідовності величин найкращих наближень функції (наприклад, швидкості збіжності цієї послідовності до нуля) робляться висновки про диференціально-різницеві характеристики самої функції, то важливо гарантувати, що знайдеться хоч одна функція, послідовність величин найкращих наближень якої має задані властивості. Теорема С.Н.Бернштейна зводить питання про існування такої функції до питання про існування звичайної числової послідовності з властивостями, виконання яких вимагається в умові відповідної оберненої теореми.

С.М.Нікольським було помічено, що в цій теоремі С.Н.Бернштейна простір можна замінити на довільний банахів простір, а сукупність підпросторів – на довільну сукупність його строго вкладених (, ) скінченновимірних підпросторів. Відтоді подібні результати було отримано і для величин найкращого наближення в інших видах апроксимації. У зв’язку з цим слід згадати роботи М.М.Джрбашяна, В.М.Нікольського, І.С.Тюремських, Є.П.Долженка та Є.О.Севастьянова, Ю.Г.Абакумова, В.Г.Баніна, О.С.Шведова, В.Плешняка, Г.Левіцкі, А.А.Пекарського, О.П.Старовойтова, М.А.Назаренка, А.Я.Гордона.

У 1958 році М.М.Джрбашян розв’язав обернену задачу наближення у просторі функціями з , де – клас функцій з , які допускають продовження до цілих функцій експоненціального типу степеня не вище . Він встановив, що для довільної монотонно незростаючої абсолютно неперервної функції такої, що , , існує парна дійснозначна функція , яка задовольняє співвідношення

, , (2)

а також вказав явну формулу для функції .

У зв’язку з оберненою задачею (1) розглядалась також аналогічна багатопараметрична задача (в якій параметр заміняється на -вимірний вектор з цілими невід’ємними координатами), поставлена І.П.Натансоном для випадку простору неперервних на квадраті функцій і апроксимації алгебраїчними многочленами і М.П.Тіманом – для простору і апроксимації тригонометричними поліномами. Ні задача І.П.Натансона, ні задача М.П.Тімана (при ), наскільки нам відомо, досі не розв’язані. Отримані у роботах В.М.Малоземова і А.П.Хвостова результати для частинних випадків задачі І.П.Натансона показують, наскільки вона є складною.

У роботах М.І.Кадєца та О.П.Тімана показано зв’язок обернених задач наближення з проблемами гомеоморфності та існування ізометричного вкладення просторів.

Однак далеко не для всіх видів апроксимації були отримані умови існування точних (чи навіть порядково точних) розв’язків обернених задач. Особливо мало таких результатів у багатопараметричному випадку. Саме обернена задача (2), умови розв’язності якої встановлені М.М.Джрбашяном, з одного боку, та задачі І.П.Натансона і М.П.Тімана та їх узагальнення, з іншого, і були відправними пунктами для постановки задач, розглянутих у другому розділі дисертації.

Вперше задачу про найкраще рівномірне наближення функцій з умовою монотонності розглянув ще П.Л.Чебишов; він побудував монотонний алгебраїчний многочлен степеня з одиничним старшим коефіцієнтом, який найменше відхиляється від нуля на заданному відрізку.

Сучасний етап у розвитку монотонного і комонотонного наближення започаткували в 60-х – 70-х роках ХХ ст. О.Шиша, Г.Г.Лоренц, К.Л.Целлер, Р.А. Де Вор, Д.Ньюмен, Р.К.Бітсон, Д.Левіатан та ін. Під монотонним (комонотонним) наближенням розуміють наближення заданої монотонної (кусково-монотонної) функції монотонними многочленами (відповідно, кусково-монотонними многочленами, котрі мають ті ж самі проміжки і той же напрямок монотонності на цих проміжках, що і сама функція). Крім названих вчених, дослідженню різноманітних питань для монотонного і комонотонного, а також для інших видів формозберігаючого наближення (зокрема,

встановленню нерівностей типу Джексона з різними модулями неперервності) присвячені роботи О.С.Шведова, Я.Гілевича, Д.Левіатана, І.О.Шевчука, К.А.Копотуна та ін. Однак, незважаючи на те, що теорія монотонного і комонотонного наближення, взагалі кажучи, добре розроблена, у ній ще є відкриті питання.

Нерівності різних метрик для тригонометричних поліномів та функцій експоненціального типу, вперше отримані в роботах Д.Джексона та С.М.Нікольського, знайшли широке застосування не тільки в теорії наближення, але й в інших розділах аналізу. Тому посиленню та узагальненню згаданих піонерських результатів Д.Джексона та С.М.Нікольського присвячені численні роботи; зокрема, це праці Н.К.Барі, І.І.Ібрагімова, Л.В.Тайкова, М.К.Потапова, М.І.Ганзбурга, Дж.І.Мамедханова, В.О.Кофанова та ін. При розв’язанні конкретних задач інколи виникає необхідність встановлення нових нерівностей. Тому отримання нових нерівностей для норм тригонометричних і алгебраїчних поліномів, а також перенесення класичних оцінок норм цілих функцій експоненціального типу на нові класи таких функцій видається актуальним.

Операторний підхід до задач апроксимації розвивався у роботах М.Л.Горбачука і В.І.Горбачук (зокрема, вони розглядали і обернену задачу наближення цілими векторами експоненціального типу) та роботах Г.В.Радзієвського (де, зокрема, були встановлені нерівності різних метрик для цілих векторів експоненціального типу).

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана на кафедрі математичного аналізу Київського національного університету імені Тараса Шевченка в рамках науково-дослідницьких тем № 97044 “Математичний аналіз еволюційних систем в абстрактних просторах”, яка входить до програми “Побудова та застосування математичних методів дослідження детермінованих та стохастичних еволюційних систем” (номер державної реєстрації № 0197U003014), та № 01БФ038-05 “Побудова та дослідження математичних моделей взаємодії суцільних середовищ при наявності поверхонь розриву” (номер державної реєстрації № 0101U002482).

Мета і завдання дослідження. Метою роботи є встановлення необхідної та достатньої умови розв’язності багатопараметричної оберненої задачі наближення в цілими функціями експоненціального типу багатьох змінних, отримання аналогів деяких відомих нерівностей для таких функцій та алгебраїчних многочленів, а також з’ясування того, істинним чи хибним є для комонотонного наближення аналог другої нерівності Джексона з узагальненим модулем неперервності Діціана – Тотіка при та . Об’єктом дослідження є обернені задачі теорії наближення, величина найкращого рівномірного комонотонного наближення алгебраїчними многочленами та цілі функції експоненціального типу багатьох змінних. Предметом дослідження є необхідна та достатня умова розв’язності багатопараметричної оберненої задачі наближення в цілими функціями експоненціального типу багатьох змінних, оцінки величини найкращого рівномірного комонотонного наближення алгебраїчними многочленами та оцінки норм цілих функцій експоненціального типу та алгебраїчних многочленів.

Методи дослідження. У роботі використовуються класичні методи математичного аналізу, теорій функцій дійсної та комплексної змінної, методи гільбертового простору, а також методи побудови контрприкладів у формозберігаючому наближенні та методи отримання нерівностей різних метрик для тригонометричних поліномів та цілих функцій експоненціального типу.

Наукова новизна одержаних результатів. Усі результати, одержані в дисертаційній роботі (за винятком результатів з підрозділу 2.2, формулювання яких було відоме раніше і котрі подані як ілюстрація теореми 2.1.1), є новими і наведені з повними доведеннями. Основними результатами, що виносяться на захист, є наступні:

1. Знайдено необхідну та достатню умову розв’язності багатопараметричної оберненої задачі наближення в цілими функціями експоненціального типу багатьох змінних і наведено явну формулу для розв’язку цієї оберненої задачі.

2. Доведено хибність аналога другої нерівності Джексона для комонотонного наближення у випадку та (для решти випадків відповідь була відома).

3. Узагальнено нерівності типу нерівностей С.М.Нікольського (нерівностей різних метрик) для цілих функцій експоненціального типу.

4. Посилена одна нерівність для норм алгебраїчних многочленів та встановлено її аналог для цілих функцій експоненціального типу.

Практичне значення одержаних результатів. Робота носить теоретичний характер. Одержані результати можуть бути використані при розв’язанні інших обернених задач теорії наближення, для отримання нових оцінок норм цілих функцій експоненціального типу та поліномів, а також для побудови контрприкладів у формозберігаючому наближенні.

Особистий внесок здобувача. Постановки задач, що розглядаються у розділі 2, загальний план роботи та критичний аналіз отриманих у цьому розділі результатів належить професору Г.В.Радзієвському. Постановки задач, що досліджуються у розділі 3 і підрозділі 4.2, та загальний план роботи належать науковому керівнику професору І.О.Шевчуку. Результати розділу 3 отримані спільно з Т.О.Петровою, підрозділу 4.1 – спільно з А.В.Чайковським; у кожному з цих випадків внески обох авторів у спільні результати є рівнозначними. Всі інші результати дисертації отримані автором самостійно.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались на семінарі відділу теорії функцій Інституту математики НАН України (керівник семінару – член-кореспондент НАН

України О.І.Степанець), на Київському міському семінарі з функціонального аналізу (керівники семінару – академік НАН України Ю.М.Березанський, член-кореспондент НАН України М.Л.Горбачук), семінарі відділу комплексного аналізу та теорії потенціалу Інституту математики НАН України (керівник семінару – доктор фіз.-мат. наук Ю.Б.Зелінський), семінарі з теорії наближень Дніпропетровського національного університету (керівники семінару – член-кореспондент НАН України В.П.Моторний, професор В.Ф.Бабенко), семінарі кафедри математичного аналізу Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича (керівник семінару – професор В.К.Маслюченко), семінарі з теорії наближень Київського національного університету імені Тараса Шевченка (керівник семінару – професор І.О.Шевчук), а також на таких міжнародних конференціях: “Український математичний конгрес – 2001”, м. Київ (21-23 серпня 2001р.); “Функціональні методи в теорії наближень, теорії операторів, стохастичному аналізі і статистиці”, м. Київ (19-22 жовтня 2001р., 1-5 жовтня 2004р.); “Десята міжнародна наукова конференція імені академіка М.Кравчука”, м. Київ (13-15 травня 2004р.); ”Міжнародна конференція пам’яті В.Я.Буняковського”, м. Київ (16-21 серпня 2004р.); Міжнародна конференція “Диференціальні рівняння та їх застосування”, м. Київ (6-9 червня 2005р.).

Публікації. Результати дисертації опубліковані у фахових виданнях [1-5] та в тезах міжнародних конференцій [6-11]. Робота [4] написана у співавторстві з професором Г.В.Радзієвським, якому належить постановка задачі та загальний план роботи. Робота [3] є спільною з Т.О.Петровою; внесок обох співавторів у неї рівнозначний. Стаття [5] написана разом з А.В.Чайковським. Теорема 1 з цієї роботи встановлена пошукачем спільно з А.В.Чайковським, інші результати належать пошукачеві.

Структура і об’єм роботи. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаних джерел. Обсяг дисертації становить 148 сторінок. Список використаних джерел включає 113 найменувань та займає 11 сторінок.

Автор висловлює щиру подяку покійному професору Григорію Вадимовичу Радзієвському за постановку задач, увагу до їх розв’язання та численні корисні обговорення отриманих результатів.

Автор щиро дякує своєму науковому керівникові – професору Ігорю Олександровичу Шевчуку за постановку задач, постійну увагу та підтримку в роботі.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі дано обгрунтування актуальності теми, сформульовано мету та задачі дослідження, наведено основні результати роботи.

У першому розділі зроблено огляд літератури за темою дисертації.

Другий розділ присвячено встановленню необхідної та достатньої умови розв’язності багатопараметричної оберненої задачі наближення в цілими функціями експоненціального типу багатьох змінних, а також дослідженню розв’язності деяких допоміжних та споріднених обернених задач.

У підрозділі 2.1 встановлюються умови розв’язності (взагалі кажучи, допоміжної) багатопараметричної оберненої задачі наближення в функціями з заданими носіями.

Нехай , , а – нульовий вектор в . Для , , вважаємо, що (), якщо () при всіх . Для позначимо через та , декартів добуток відрізків та півінтервалів відповідно.

Нехай , , – простір -вимірних числових функцій на , для яких величина скінченна, причому рівні майже скрізь функції вважаємо рівними ( – норма для ). Нехай також – задане вимірне відображення (точніше, -вимірне, де – борельова -алгебра підмножин ) і , . Покладемо , , і припускатимемо, що та , .

Задача полягає у з’ясуванні, за яких умов на функцію існує такий елемент , що

, , (3)

або, що те саме, , . При цьому будемо називати розв’язком задачі (3).

Відомо, що коли функція є неспадною за сукупністю змінних (тобто для всіх , справедлива нерівність , де – приріст функції на брусі , а – приріст функції по -тій змінній на півінтервалі ) і неперервною справа (тобто , ), то вона породжує

міру Лебега – Стілтьєса на борельовій -алгебрі , яка позначається через ; при цьому =, .

Продовжимо функцію зі співвідношення (3) на так: , . Для сукупності множин покладемо , а також , . Тоді функція неспадна за сукупністю змінних і неперервна справа на .

Теорема 2.1.1. Для існування функції , що задовольняє співвідношення (3), необхідно і достатньо, щоб функція була неспадною за сукупністю змінних, неперервною справа на , , , а також (тобто міра була абсолютно неперервною відносно міри ). При цьому можна задати так: , ,, , де – відповідна похідна Радона – Никодима.

У підрозділі 2.2 як приклад застосування теореми 2.1.1 наведено кілька наслідків (формулювання яких були відомі), що дають умови розв’язності деяких обернених задач у випадку дискретного параметра.

У підрозділі 2.3 встановлено необхідну та достатню умову розв’язності багатопараметричної оберненої задачі наближення в цілими функціями експоненціального типу багатьох змінних.

Нехай – симетричне тіло, тобто опукла компактна симетрична (для довільного елемент ) множина, що має хоч одну внутрішню точку. У монографії І.Стейна та Г.Вейса розглядається наступний клас функцій. Кажуть, що ціла функція має експоненціальний тип , якщо для довільного існує таке , що , . Нехай , а – клас функцій , що допускають аналітичне продовження до цілих функцій комплексних змінних експоненціального типу . Зауважимо, що . Якщо , де , то .

Нехай – симетричне тіло; тоді , , також симетричне тіло, де , , , , . Нехай , , – функціонал Мінковського, , , – міра Лебега у просторі , – границя послідовності в , – замкнена куля в з центром у точці та радіусом , а – межа множини .

Відомо, що коли , то для -майже всіх існує границя і .

Наведемо тепер основний результат другого розділу.

Теорема 2.3.1. Для існування функції , що задовольняє співвідношення

, (4)

необхідно і достатньо, щоб функція була неперервною справа на , , , , , для всіх і . При цьому можна задати так:

, ;

для цієї функції і фіксованого інфімум в (4) реалізує функція

, .

З урахуванням унітарності перетворення Фур’є та теореми Вінера-Пелі доводиться, що обернена задача (4) розв’язна тоді і тільки тоді, коли розв’язна обернена задача (3), в якій і , (тоді , ); умови розв’язності оберненої задачі (3) у цьому випадку співпадають з умовами на з теореми 2.3.1, і встановлюються вони за допомогою теореми 2.1.1.

У випадку , , наведена теорема була отримана М.М.Джрбашяном. У випадку, коли , , а – одинична куля з центром у початку координат в евклідовому просторі , теорема 2.3.1 є безпосереднім узагальненням теореми Джрбашяна на випадок функцій багатьох змінних. Якщо , , , , то . При розгляді цього класу природно виникає багатопараметрична обернена задача теорії наближення, умови розв’язності та формула для розв’язку якої і даються теоремою 2.3.1.

У підрозділі 2.4 розглянуто операторний аналог обернених задач (3) і (4) в гільбертовому просторі.

У третьому розділі встановлено, що для комонотонного наближення аналог другої нерівності Джексона з узагальненим модулем неперервності Діціана – Тотіка при та є хибним навіть зі сталою, залежною від функції.

У підрозділі 3.1 наведена постановка задачі та формулювання основного результату. Нехай () – множини дійсних неперервних ( разів неперервно диференційовних) на відрізку функцій. Нехай для – набір точок: , – сукупність неспадних на функцій , що змінюють напрямок монотонності в точках і лише в них, а – величина найкращого рівномірного комонотонного наближення функції алгебраїчними многочленами степеня не вище , .

Для , , покладемо

, ; , , ;

, .

Функція називається узагальненим (при – звичайним) модулем неперервності Діціана – Тотіка функції . Визначимо підпростір

.

К.А.Копотун, Д.Левіатан та І.О.Шевчук дослідили питання про те, чи для кожної функції існують такі сталі та , що справджується нерівність типу Джексона , , і чи можна при цьому вибрати номер незалежним від та . Вони розглянули усі випадки, крім та . Нами встановлено, що для цих і відповідь на дане питання негативна.

Теорема 3.1.1. Нехай або , , – набір точок: . Тоді існує функція , для якої

.

Доведення, отримане методами робіт К.А.Копотуна, Д.Левіатана та І.О.Шевчука, де аналогічна задача розв’язана для опуклої та коопуклої апроксимації, наведене у підрозділі 3.2.

Четвертий розділ дисертації присвячений встановленню деяких нерівностей для поліномів та цілих функцій експоненціального типу.

У підрозділі 4.1 наводиться нова оцінка рівномірної норми тригонометричного полінома порядку не вище через його інтегральну норму, котра важлива для подальшого.

Теорема 4.1.1. Нехай , – тригонометричний поліном порядку не вище . Тоді , де .

Ця оцінка може бути переписана у вигляді , . Вона використовується для доведення теореми 4.2.2. Відзначимо, що ні подібна асимптотична оцінка , одержана в роботі Л.В.Тайкова, ні стандартна оцінка , , не є достатніми для доведення теореми 4.2.2.

У підрозділі 4.2 отримане узагальнення та посилення однієї нерівності для норм алгебраїчних многочленів.

Означення. Вимірну за Лебегом функцію назвемо допустимою зі сталою , якщо вона задовольняє наступним умовам: 1) ; 2) монотонно не зростає на і не спадає на ; 3) , .

Позначимо , , , а при число визначимо як найменше , для якого .

Теорема 4.2.2. Нехай , , числа визначаються так, як вище, , , . Нехай також і функція така, що її модуль для кожного як функція однієї -ї змінної при всіх фіксованих інших змінних є допустимою функцією з . Тоді для довільного алгебраїчного полінома , степінь якого по -й змінній не вище, ніж , виконується нерівність

.

При , отримуємо . Ця нерівність виконується для алгебраїчних многочленів степеня не вищого, ніж , при всіх та алгебраїчних многочленів степеня не вищого, ніж , при всіх . Для алгебраїчних многочленів степеня не вищого, ніж , при всіх та монотонної непарної функції вона була одержана К.А.Копотуном, Д.Левіатаном та І.О.Шевчуком.

У підрозділі 4.3 встановлюються нерівності типу нерівностей С.М.Нікольського (нерівностей різних метрик) для цілих функцій експоненціального типу , де – симетричне тіло.

У випадку, коли , де , вперше оцінки для -норм цілих функцій (та їх похідних) з більшим індексом через норми з меншим індексом отримав С.М.Нікольський, а І.І.Ібрагімов у цьому ж випадку одержав подібні оцінки з більш точними, а інколи і з непокращуваними сталими. Наведені нижче результати отримані в цілому методами І.І.Ібрагімова, однак, на відміну від нього, ми використовуємо не інтегральну формулу Коші, а інше інтегральне зображення.

Для симетричного тіла покладемо , . Нехай – найменше ціле число, що не менше, ніж (тут – ціла частина числа ), – характеристична функція (індикатор) множини , – перетворення Фур’є в , а також при і , , , де .

Для функції справджуються такі нерівності (теореми 4.3.1, 4.3.2 та наслідки 4.3.1 і 4.3.2):

,

(при і на функції досягається рівність);

, , ,

де , , (при і на функції досягається рівність);

, , ;

, , , .

Зауважимо, що при в залежності від і з двох останніх нерівностей точнішою може виявитись як перша, так і друга.

У підрозділі 4.4 встановлюється аналог нерівності з підрозділу 4.2 для цілих функцій експоненціального типу.

Вимірну за Лебегом функцію назвемо допустимою зі сталою , якщо монотонно не спадає на і .

Теорема 4.4.1. Нехай – симетричне тіло, , , а функція є допустимою зі сталою . Тоді

,

.

ВИСНОВКИ

У дисертації проведено дослідження умов розв’язності багатопараметричної оберненої задачі наближення в цілими функціями експоненціального типу багатьох змінних, встановлено аналоги деяких відомих нерівностей для норм таких функцій та алгебраїчних многочленів, а також з’ясовано, істинним чи хибним є для комонотонного наближення аналог другої нерівності Джексона з узагальненим модулем неперервності Діціана – Тотіка при певних значеннях параметрів. Отримано наступні результати:

1. Знайдено необхідну та достатню умову розв’язності багатопараметричної оберненої задачі наближення в цілими функціями експоненціального типу багатьох змінних і наведено явну формулу для розв’язку цієї оберненої задачі.

2. Доведено хибність аналога другої нерівності Джексона для комонотонного наближення у випадку та (для решти випадків відповідь була відома).

3. Узагальнено нерівності типу нерівностей С.М.Нікольського (нерівностей різних метрик) для цілих функцій експоненціального типу.

4. Посилена одна нерівність для норм алгебраїчних многочленів та встановлено її аналог для цілих функцій експоненціального типу.

Робота носить теоретичний характер. Одержані результати можуть бути використані при розв’язанні інших обернених задач теорії наближення, для отримання нових оцінок норм цілих функцій експоненціального типу та поліномів, а також для побудови контрприкладів у формозберігаючому наближенні.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

АНОТАЦІЇ

Нестеренко О.Н. Обернена задача наближення та оцінки норм цілих функцій експоненціального типу і многочленів. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 – математичний аналіз. – Інститут математики НАН України, Київ, 2006.

Дисертацію присвячено оберненим задачам наближення та встановленню деяких нерівностей для норм цілих функцій і многочленів. Знайдено необхідну та достатню умовурозв’язності багатопараметричної оберненої задачі наближення в цілими функціями експоненціального типу багатьох змінних і наведено явну формулу для розв’язку цієї оберненої задачі. Побудовано контрприклад, який показує, що для комонотонного наближення аналог другої нерівності Джексона з узагальненим модулем неперервності Діціана – Тотіка при певних значеннях параметрів є хибним навіть зі сталою, залежною від функції. Отримано нерівності типу нерівностей С.М.Нікольського (нерівностей різних метрик) для цілих функцій експоненціального типу. Посилена одна нерівність для норм алгебраїчних многочленів та встановлено її аналог для цілих функцій експоненціального типу.

Ключові слова: обернена задача наближення, цілі функції експоненціального типу, комонотонне наближення, нерівності Джексона, нерівності різних норм.

Нестеренко А.Н. Обратная задача приближения и оценки норм целых функций экспоненциального типа и многочленов. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 – математический анализ. – Институт математики НАН Украины, Киев, 2006.

Диссертация посвящена обратным задачам теории приближения и получению некоторых неравенств для норм целых функций экспоненциального типа и многочленов.

Во введении дано обоснование актуальности темы, сформулированы цель и задачи исследования, приведены основные результаты работы.

В первом разделе сделан обзор литературы по теме диссертации.

Второй раздел посвящен получению необходимого и достаточного условия разрешимости многопараметрической обратной задачи теории приближения в случае аппроксимации в целыми функциями экспоненциального типа многих переменных. Кроме вышеупомянутого условия, установлена и явная формула для решения этой задачи. Указанный результат является качественным обобщением известной теоремы М.М.Джрбашяна, относящейся к обратной задаче приближения целыми функциями экспоненциального типа одной переменной. Наряду с этой обратной задачей изучена также обратная задача приближения функциями с носителями в заданной системе множеств, являющаяся, вообще говоря, вспомогательной по отношению к исходной, но представляющая также и некоторый самостоятельный интерес. Рассматривается также операторный аналог упомянутых задач. Приведены иллюстрирующие примеры.

В третьем разделе построен контрпример, показывающий, что для комонотонного приближения аналог второго неравенства Джексона с обобщенным модулем непрерывности Дициана-Тотика при определенных значениях параметров не имеет места.

Четвертый раздел посвящен неравенствам для норм тригонометрических и алгебраических полиномов, а также целых функций экспоненциального типа. Вначале устанавливается новая оценка равномерной нормы тригонометрического полинома через его интегральную норму, используемая в дальнейшем для усиления и обобщения одного неравенства для алгебраических многочленов. Также для некоторого класса целых функций экспоненциального типа получены неравенства типа неравенств С.М.Никольского (неравенств разных метрик). Как известно, оценки такого рода важны не только для теории приближений, но и в других разделах анализа. В заключение для целых функций экспоненциального типа получен аналог неравенства, ранее в этом разделе уже установленного для алгебраических многочленов.

Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы при решении других обратных задач теории приближения, для получения новых оценок норм целых функций экспоненциального типа и полиномов, а также для построения контрпримеров в формосохраняющем приближении.

Ключевые слова: обратная задача приближения, целые функции экспоненциального типа, комонотонное приближение, неравенства Джексона, неравенства разных норм.

Nesterenko O.N. Inverse approximation problem and norms estimates for entire functions of exponential type and polynomials. – Manuscript.

The thesis for the degree of candidate of phisical and mathematical sciences in speciality 01.01.01 – mathematical analysis. – Institute of mathematics of NAS of Ukraine, Kyiv, 2006.

The thesis is devoted to inverse approximation problems and to the establishment of certain estimates for the norms of entire functions and polynomials. The necessary and sufficient conditions are obtained for solvability of multiparameter inverse approximation problems in by exponential type multivariable entire functions. Explicit formula for this solution is presented. A counterexample to show that second Jackson inequality with generalized Ditzian – Totik modulus of smoothness for comonotone approximation under some parameters isn’t true even with constant depending on a function is constructed. S.M.Nikolskii – type inequalities (inequalities involving different norms) for entire functions of exponential type, the improvement of some inequality for the norm of algebraic polynomials and its analogue for entire functions of exponential type are proved.

Key words: inverse approximation problem, entire function of exponential type, comonotone approximation, Jackson inequality, various norms inequalities.