НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЇ МАТЕМАТИКИ І МЕХАНІКИ

Неспірний Віталій Миколайович

УДК 531.3, 517.9, 62-50

Стабілізація динамічних систем

імпульсним і гібридним керуванням

01.02.01 – ТЕОРЕТИЧНА МЕХАНІКА

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Донецьк – 2006

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті прикладної математики і механіки НАН України.

Науковий керівник: | член-кореспондент НАН України,

доктор фізико-математичних наук, професор

Ковальов Олександр Михайлович,
Інститут прикладної математики і механіки НАН України, директор

Офіційні опоненти: | доктор фізико-математичних наук, професор

Вербицький Володимир Григорович,

Донецький інститут автомобільного транспорту, завідувач кафедри;

доктор фізико-математичних наук, професор

Жечев Михайло Михайлович,

Інститут технічної механіки НАН України та НКА України (м. Дніпропетровськ), провідний науковий співробітник;

Провідна установа: | Донецький національний університет,

кафедра теоретичної та прикладної механіки.

Захист відбудеться “ 4 ”   квітня 2007 р. о  16 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 11.193.01 при Інституті прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 83114, м. Донецьк, вул. Р.Люксембург, 74.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 83114, м. Донецьк, вул. Р.Люксембург, 74.

Автореферат розісланий “ 2 ”  березня  2007 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради |

О.А. Ковалевський

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Питання стабілізовності динамічних систем та побудови стабілізуючого закону керування зі зворотним зв’язком займають значне місце в сучасній теорії керування. Задача стабілізації була повністю розв’язана для лінійних систем, які описуються звичайними диференціальними рівняннями. Показано, що в цьому випадку необхідною і достатньою умовою стабілізовності є асимптотична нуль-керованість. Стабілізуюче керування при цьому лінійно залежить від фазового вектора. Довгий час дослідники намагалися узагальнити цей факт на нелінійні автономні системи. Для нелінійних систем, які можна лінеарізувати, тобто звести до лінійних за допомогою заміни змінних, задача стабілізації також може бути легко розв’язана. Для цього досліджуються властивості відповідної лінійної системи. Розроблено ряд методів аналізу нелінійних систем за лінійним наближенням. Але для критичних випадків із властивостей системи лінійного наближення не можна зробити ніяких висновків щодо стабілізовності вихідної системи. Більш того, R. Brockett) Brockett R.W. Asymptotic stability and feedback stabilization // Differential Geometric Control Theory (Brockett R.W., Millman R.S. and Sussmann H.J. eds.). – Boston: Birkhauser, 1983. – P. .) довів, що не кожна нелінійна система, яка має властивість керованості, може бути стабілізована за допомогою гладкого зворотного зв’язку. Співвідношення між якісними властивостями керованості та стабілізовності для різноманітних класів систем і зворотних зв’язків досліджувались у роботах Є.О. Гальперіна, М.М. Жечева, О.М. Ковальова, В.І. Коробова, М.М. Красовського, Ю.С. Ледяєва, А.І. Субботіна, Z. Artstein, A. Astolfi, A. Bloch, R. Brockett, J.-M. Coron, F.H. Clarke, A. Isidori, M. Kawski, L. Rosier, E.D. Sontag, H.J. Sussmann, E.P. Ryan та інших авторів. Аналіз цих робіт показує, що пошук як необхідних, так і достатніх умов стабілізовності для нелінійних систем, а також класів допустимих керувань, що стабілізують нелінійні керовані динамічні системи, є актуальною проблемою сучасної теорії керування, яка привертає увагу провідних фахівців у цій області.

В останні роки набула великої популярності теорія імпульсних диференціальних рівнянь, яка розробляється А.М. Самойленком, М.О. Перестюком)Самойленко А.М., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. – Киев: Вища школа, 1987. – 288 с.), D.D. Bainov, P.S. Simeonov, V. Lakshmikantham. Тут розглядаються системи керування, що складаються з двох частин – системи диференціальних рівнянь, яка описує рух з неперервною траєкторією, і різницевого рівняння, яке описує стрибки траєкторії в деякі моменти часу. Тим не менш, імпульсне керування може бути застосоване і для звичайних систем керування, для чого потрібно обчислити функцію стрибків у момент імпульсної дії. Використання імпульсного керування було зумовлено такими причинами: необхідністю розширення деяких класів стандартних задач керування і математичним моделюванням різноманітних реальних об’єктів. Багато задач керування ракетодинаміки, лазерної технології, робототехніки, математичної економіки і екології, що були поставлені як класичні, не мають розв’язку в традиційному класі абсолютно неперервних траєкторій та обмежених керувань. Крім того, важливим стимулом до розвитку теорії імпульсного керування є моделювання процесів, керування якими здійснюється на протязі настільки короткочасних проміжків, що їх можна ідеалізувати як миттєві, а результати їхньої дії призводять до швидкої зміни процесу – стрибків фазової траєкторії системи, що моделюється. Формалізація таких процесів неможлива без переходу до керування імпульсного типу і динамічних систем із розривними траєкторіями. Важливі приклади можна знайти у механіці, квантовій електроніці, робототехніці, медіотерапії, екології та економіці.

Інший напрямок дослідження динамічних систем, який недостатньо вивчений навіть для лінійних систем – стабілізація за виходом. Це важливо для механізмів, у яких керуючому пристрою доступна не повна інформація про фазовий вектор, а лише тільки частина змінних або їхня яка-небудь комбінація. Z. Arstein) Artstein Z. Example of stabilization with hybrid feedback // Hybrid System III: Verification and Control.Lecture Notes in Computer Sci. – 1996. – Vol. 1066. – P. 173-185.) поставив таку задачу і навів приклад двовимірної лінійної системи, яка, не зважаючи на керованість та спостережуваність, не може бути стабілізована звичайним (навіть нелінійним і розривним) керуванням зі зворотним зв’язком за виходом. Тим не менш, для запропонованої системи можлива побудова стабілізуючого керування, яке використовує автомат у ланцюгу зворотного зв’язку. У цьому напрямку слід відзначити роботи О. Ліцин, Ю.В. Непомнящих, А. Поносова, Z.M.S.С.A.

Важливим класом систем, для яких можуть бути поставлені задачі керування та стабілізації, є неголономні механічні системи. Зв’язок між неголономними системами і системами керування виникає природнім чином. Проте на відміну від механіки, де описується поведінка динамічних систем, яку можна спостерігати, в теорії керування вивчається можливість наперед заданого їх руху. Зародження динаміки неголономних систем слід віднести на кінець 19-го сторіччя. Незважаючи на велику кількість робіт, серед яких варто згадати роботи таких видатних вчених свого часу, як П. Аппель, Д.К. Бобильов, П.В. Воронець, В. Вольтерра, Г. Гамель, Г. Герц, М.Є. Жуковський, Г. Маджі, І. Ценов, С.О. Чаплигін, а пізніше В.Г. Вербицький, Л.Г. Лобас, Ю.І. Неймарк, В.В. Румянцев, М.О. Фуфаєв та інші, багато задач неголономної динаміки актуальні і сьогодні. В силу своєї специфіки неголономні системи не можуть бути стабілізовані неперервним керуванням. Тому для їхньої стабілізації слід використовувати розривне) Bloch A. Nonholonomic Mechanics and Control. – New York: Springer, 2000. – 482 p.) або імпульсне керування.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертації пов’язана з Планами наукових досліджень відділу технічної механіки Інституту прикладної математики і механіки НАН України на 2002–2006 роки.

Мета і задачі дослідження. Однією з головних цілей дослідження є знаходження умов керованості та стабілізовності динамічних систем за допомогою імпульсного і гібридного керування. Для цього, перед усім, слід визначити для таких керувань розв’язки відповідних замкнених систем.

Наступна мета дослідження – запропонувати способи побудови керувань в задачах стабілізації систем, для яких класичне керування не може забезпечити асимптотичну стійкість.

І, нарешті, остання мета дослідження – побудова стабілізуючого керування для механічних, у тому числі й неголономних систем. При цьому виникає задача зведення динамічних та кінематичних рівнянь руху до системи диференціальних рівнянь з керуванням.

Наукова новизна одержаних результатів. Основними результатами, що визначають наукову новизну і виносяться до захисту, є такі:

1. Вперше поставлено задачі керування та стабілізації неперервних динамічних систем за допомогою імпульсного керування, введено поняття порядку, степеня та форми імпульса. Вперше для широкого класу нелінійних систем знайдено функції стрибків, які є реакцією таких систем на імпульси різних степенів і порядків.

2. Вперше розв’язано задача стабілізації для інтегратора Брокетта та круга Арцтейна у класі імпульсних керувань. Доведена теорема про те, що імпульсне керування не розширює класу керованих систем.

3. Розглянуто задачу імпульсної стабілізації для неголономних механічних систем і розв’язано її для декількох прикладів. Показано, що при використанні узагальнених сил у якості керувань траєкторії механічних систем не мають розривів.

4. Набуло подальшого розвитку використання розривних керувань для систем, які не задовольняють умові Брокетта. Побудовано нове розривне керування зі зворотним зв’язком, що стабілізує інтегратор Брокетта за певних означень розв’язку.

5. Для лінійних систем керування третього порядку вперше знайдено явні умови керованості, стабілізовності, спостережуваності та детектабельності у термінах коефіцієнтів системи. Доведено необхідні умови існування керування, що залежить від виходу і забезпечує асимптотичну стійкість нульового розв’язку таких систем.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертації мають переважно теоретичне значення. Вони можуть бути використані для подальшого розвитку теорії керування, теорії імпульсних систем, а також при дослідженні керованості та стабілізовності механічних систем.

Особистий внесок здобувача. Результати розділу 5 одержані спільно з науковим керівником професором О.М. Ковальовим, якому належить ідея використання імпульсного керування для інтегратора Брокетта разом із розривним. Здобувачу належать постановки задач стабілізації та керування за допомогою імпульсів різних степенів і порядків та побудова стабілізуючих керувань.

Результати розділу 6 опубліковано спільно з О.М. Ковальовим, якому належить постановка задачі, і Н.В. Кравченко, якій належить обґрунтування отриманих результатів, які стосуються стабілізації динамічних систем за частиною змінних. Здобувачу належить метод введення керувань для неголономних динамічних систем.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідались та обговорювались на таких конференціях і семінарах: Восьмая международная конференция "Устойчивость, управление и динамика твердого тела" (Донецк, 2002), IFAC Workshop Modelling and Analysis of Logic Controlled Dynamic Systems (Irkutsk, Russia, 2003), Second Junior European meeting on Control Theory and Stabilization (Torino, Italy, 2003), 7th Conference on Dynamical Systems Theory and Applications (Lodz, Poland, 2003), VI Міжнародна молодіжна науково-практична конференція "Людина і космос" (Дніпропетровськ, 2004), Международная конференция "Классические задачи динамики твердого тела" (Донецк, 2004), VIII Международный семинар им. Е.С. Пятницкого "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Москва, 2004), 49 Internationales Wissenschaftliches Kolloquium "Synergies between Information and Automation" (Ilmenau, Germany, 2004), Украинско-польский коллоквиум "Математические проблемы механіки" (Донецк, 2004), VII Міжнародна молодіжна науково-практична конференція "Людина і космос" (Дніпропетровськ, 2005), Международная конференция "Моделирование и исследование устойчивости динамических систем" (Киев, 2005), Международная конференция "Проблемы управления и приложения (техника, производство, экономика)" (Минск, Беларусь, 2005), Девятая международная конференция "Устойчивость, управление и динамика твердого тела" (Донецк, 2005), 11-ая Международная научная конференция "Математические модели физических процессов" (Таганрог, 2005), IX Международный семинар им. Е.С. Пятницкого "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Москва, 2006), Девятая Международная научно-техническая конференция "Моделирование, идентификация, синтез систем управления'' (Канака, 2006), семінари відділів прикладної і технічної механіки ІПММ НАН України, керівник член-кор. НАНУ О.М. Ковальов (Донецьк, 2002_2006 рр.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 19 роботах, серед яких 5 статей у збірниках наукових праць, 5 статей в матеріалах міжнародних конференцій, і 9 робіт у збірниках тез доповідей конференцій.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається із вступу, основної частини з шести розділів, висновків та списку літератури. Загальний обсяг дисертації складає 170 сторінок, з яких 18 сторінок займає список використаної літератури, що складається з 155 джерел. Дисертація містить 22 рисунки.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У вступі обґрунтовано актуальність досліджуваної проблеми, сформульовано мету роботи, розкрито її наукову новизну, відзначено практичне значення, надано інформацію щодо апробації результатів та публікацій за темою дисертації.

У першому розділі наведено огляд робіт, пов’язаних з темою дослідження. У підрозділі .1 перелічено головні напрямки теорії керування, їхнє виникнення та розвиток, сформульовано основні задачі теорії керування. У підрозділі .2 наведено огляд робіт, що стосуються керованості та стабілізовності лінійних систем. Особлива увага приділена дослідженням зі стабілізації лінійних систем за виходом. У підрозділі .3 викладено основні результати, здобуті вітчизняними та зарубіжними авторами, що стосуються стійкості та стабілізації нелінійних керованих систем. Підрозділ .4 присвячений імпульсним системам. Перелічено результати перших праць з теорії імпульсних систем, а також робіт, що складають основу сучасної теорії.

У другому розділі викладено загальну методику дисертаційних досліджень. У підрозділі 2.1 наведені основні означення розв’язків диференціальних рівнянь з розривною правою частиною, умови існування, єдиності та неперервної залежності розв’язку від початкових даних, а також зв’язок між різними поняттями розв’язку. В підрозділі .2 викладено метод функцій Ляпунова в теорії стійкості та асимптотичної стійкості динамічних систем. У підрозділі .3 введено поняття диференціального рівняння з імпульсною дією, сформульовано означення розв’язку, а також умови існування, єдиності, неперервної залежності від початкових даних та стійкості нульового розв’язку імпульсної системи.

У третьому розділі розглядається автономна лінійна система керування:

(1)

де – фізичний стан системи, – вихід, – керування; A, B, C – задані дійсні матриці відповідно розмірів nЧn, nЧl, mЧn.

Задача полягає у тому, щоб синтезувати керування, асимптотично стабілізуюче систему (1). Однак при побудові керування невідома повна інформація про стан системи, і припустимо використовувати лише вихід системи y.

Означення 1. Пара (A,B) – керована, якщо .

Означення 2. Пара (A,C) – спостережувана, якщо .

Означення 3. Пара (A,B) – стабілізовна, якщо існує матриця F розміру lЧn така, що A+BF – стійка матриця (має власні значення лише з від’ємною дійсною частиною).

Означення 4. Пара (A,С) – детектабельна, якщо існує матриця K розміру nЧm така, що A+KC – стійка матриця.

З керованості пари (A,B) випливає її стабілізовність, а зі спостережуваності пари (A,С) – детектабельність.

Означення 5. Нехай Z – множина усіх допустимих керувань. Будемо казати, що система (1) – Z-стабілізовна, якщо існує функція u(•) з множини Z, що стабілізує систему (1).

Оскільки деякі системи не можуть бути стабілізовані за виходом з допомогою зворотного зв’язку u=u(y), навіть для нелінійних і розривних u(y), Z.запропонував новий клас, а саме гібридні керування, до ланцюгу зворотного зв’язку яких входить автомат.

Означення 6. Автоматом називається шістка , де

· Q – множина усіх можливих станів автомата;

· I – множина, що містить вхідний алфавіт;

· M: Q Ч I > Q – карта переходів, яка вказує новий стан у залежності від поточного стану q та входу i в момент переходу;

· T: Q > (0,?) – відображення, що встановлює період часу між моментами переходу, тобто T(q) – час, який автомат знаходиться у стані q до переходу в наступний стан;

· i: Rm > I – функція, що забезпечує елемент i(y) алфавіту I для будь-якого виходу y системи (1);

· q0 – стан автомата в початковий момент часу ф0 (без обмеження загальності можна вважати, що ф0=0).

Будь-який автомат Д визначає оператор FД. Для кожного він задається таким чином:

,

,

.

Таким чином, (FДy)(t) – стан автомата Д в момент часу t.

Означення 7. Керування u(•), що визначається співвідношенням

u(t)=Ц(y(t),(FДy)(t)), (2)

називається загальним керуванням з гібридним зворотним зв’язком, де Ц:mЧQ >l – деяка функція.

При побудові стабілізуючих керувань розглядається підклас LHn загального керування з гібридним зворотним зв’язком. Це клас лінійних елементарних керувань з гібридним зворотним зв’язком, який має максимум n станів, тобто керувань вигляду u=Ц(y,q)=G(q)y, де G: Q > Mlm(R), Mlm(R) – множина матриць розміру lЧm з дійсними елементами.

У підрозділах 3.2-3.5 розглянуто тривимірні системи виду (1) з одновимірним виходом і одновимірним керуванням (n=3, m=1, l=1). Матриці A, B, C мають відповідно розміри 3Ч3, 3Ч1, 1Ч3. На таких трійках визначена група перетворень GT, яка породжується наступними трьома перетвореннями:

T1(Д): (A,B,C) > (ДAД?1,ДB,CД?1), ДGL3(R);

T2(m1,m2,m3): (A,B,C) > (m1A,m2B,m3C), m1>0, m2,m3?0;

T3(б): (A,B,C) > (A+бBC,B,C), бR.

Тут GL3(R) – мультиплікативна група усіх оборотних 3Ч3-матриць з дійсними елементами.

Лема 1. Властивості керованості (стабілізовності) пари (A,B) та спостережуваності (детектабельності) пари (A,C) інваріантні відносно перетворень групи GT.

Лема 2. Нехай (A1,B1,C1)=T(A,B,C) для деякого перетворення TGT. Тоді система (1) допускає лінійну елементарну стабілізацію з гібридним зворотним зв’язком (LHn) тоді і лише тоді, коли таку ж стабілізацію (з таким самим числом станів n) допускає і система

Застосувавши перетворення T1, можна звести матрицю A до нормальної жорданової форми. Окрім тривіального випадку, коли матриця A стійка, можливі 10 різних форм. Для кожної з цих форм отримані умови керованості та стабілізовності пари (A,B) і спостережуваності та детектабельності пари (A,C) у термінах коефіцієнтів векторів B і C.

Теорема . Припустимо, що n=3, m=1, l=1, матриця A – нестійка і пара (A,B) не є стабілізовною або пара (A,C) не є детектабельною. Тоді система (1) не може бути стабілізована лінійним керуванням з гібридним зворотним зв’язком (uLHn).

Теорема 1 фактично визначає необхідні умови LHn-стабілізовності. Про те, що вони не є достатніми, свідчить наступна теорема.

Теорема . Нехай , , , де г1,г2<0, г1+г2>?1. Тоді система (1) не допускає лінійного керування з гібридним зворотним зв’язком, що стабілізує нульовий розв’язок.

Теорема 2 узагальнюється на n-вимірний випадок.

Теорема . Нехай , , , де г1,…,гn?1?1, ?1<г1+…+гn?1<n?2. Тоді система (1) не допускає лінійного керування з гібридним зворотним зв’язком, що стабілізує нульовий розв’язок.

У підрозділі 3.5 для декількох прикладів тривимірних систем, що не можуть бути стабілізовані звичайним керуванням за виходом, побудовано допоміжні автомати і керування, що лінійно залежать від виходу і стабілізують відповідні системи.

У четвертому розділі розглядаються динамічні системи з керуванням, які описуються рівняннями:

, (3)

де – фазовий вектор, – вектор керування, , , f(0,0)=0, що забезпечує існування нульового розв’язку.

Означення . Система (3) називається керованою (за час T), якщо для кожної пари станів x0,xTRn існує функція часу u(t), визначена на [0,T], така що розв’язок системи , який задовольняє умові x(0)=x0, набуває значення xT при t=T.

Означення . Система (3) називається стабілізовною, якщо існує керування зі зворотним зв’язком u(x) таке, що нульовий розв’язок системи локально асимптотично стійкий.

З теореми Брокетта випливає, що керована система

(4)

яка називається інтегратором Брокетта (або неголономним інтегратором), не може бути стабілізована неперервно диференційовним зворотним зв’язком. Більш того, з результату Райєна випливає, що ця система не є стабілізовною і в класі розривних керувань, якщо користуватися означенням розв’язку за Філіпповим.

У підрозділі 4.2 побудовано таке керування:

де л>0. (5)

Це розривне керування, при якому система (4) має стійкий ковзний режим на поверхні розриву x3=0. Рух на поверхнях x1=0 та x2=0 не можливий. Але за Філіпповим можливий рух вздовж координатної осі Ox1, який забезпечує лише потрапляння в окіл початку координат з радіусом 1/л (те ж саме стосується й осі Ox2) Взагалі, керування (5) є стабілізовним для системи (4) лише усередині конуса

. (6)

Поза конусом (6) керування визначається таким чином:

де м>0. (7)

Якщо на осі Ox3 доозначити керування (7) як u=(м|x3|,0)T, то керування (5), (7) буде стабілізуючим для інтегратора Брокетта (4) за умови, що розв’язки визначаються за Каратеодорі. Для означення розв’язків за Філіпповим, можна побудувати лише s-стабілізуюче керування, тобто таке, яке забезпечує потрапляння в будь-який наперед заданий окіл нуля за рахунок вибору деякого параметра. Таке керування визначається знову формулами (5), (7), але вважається, що функція sign x у формулі (5) дорівнює 0 при |x|<е. Тоді будь-яка траєкторія системи (4) наближається з часом до початку координат, але потрапляє лише в його е-окіл і зупиняється.

Підрозділ 4.3 присвячено моделюванню розривного керування при чисельних розрахунках. Дається обґрунтування збіжності чисельних методів для запропонованих керувань, і побудовані траєкторії інтегратора Брокетта під дією цих керувань.

У п’ятому розділі ставляться задачі керування і стабілізації для систем з імпульсним керуванням:

(8)

де S – множина у фазовому просторі, а u і w – керування.

Задача керування. Нехай задана система (8), відрізок часу [0,T], початкове та кінцеве значення x0, xT фазового вектора керованого об’єкта. Потрібно знайти такі можливі керування u(t), w(t) та сім’ю підмножин S(t), що розв’язок системи (8), який задовольняє початковій умові x(0)=x0, при t=T має значення x(T)=xT.

Задача стабілізації. Нехай задана система (8), f(0,0)=0. Потрібно знайти такі можливі керування зі зворотним зв’язком u(x), w(x) та множину S (яка не залежить від часу) в фазовому просторі, що нульовий розв’язок системи (8) є локально асимптотично стійким.

У підрозділі 5.2 розглянуто класичні неперервні системи (3), керування яких належать класу узагальнених (імпульсних). Узагальнене керування вводиться за допомогою заміни dU=u•dt. Система тоді набуває вигляду

. (9)

Коли функція U(t) має розрив, розв’язком x(t) системи (9) при керуванні U(t) вважається границя при е>0 розв’язків x(е)(t) системи (3) при керуваннях , де U(е)(t) – сім’я абсолютно неперервних функцій, які відрізняються від U(t) на множині міри е. Тоді в момент імпульсної дії (в точці розриву U(t)) траєкторія має розрив, величина якого залежить від величини стрибка ДU. Щоб користуватися методами, розробленими у сучасній теорії імпульсних систем, необхідно звести систему (3) з імпульсним керуванням до вигляду (8), тобто обчислити функцію стрибків g, яка буде залежати від стану системи x і стрибка узагальненого керування ДU.

Для лінійних систем

(10)

функція стрибків має вигляд

,

для лінійних за керуванням або афінних систем

отримано таку формулу для функції стрибків

, (11)

де x(е)(t) – розв’язок інтегрального рівняння

.

Більш корисну формулу отримано для важливого часткового підкласу афінних систем (який містить в собі й інтегратор Брокетта), а саме, систем, які лінійні і за керуванням, і за фазовими змінними:

.

Тут Aij, Bik, Cijk (,, ) – дійсні сталі величини, і передбачено підсумовування за повторюваним індексом.

Функція стрибків виражається явним чином

,

де E – одинична nЧn-матриця, [BikДUk] – вектор-стовпець із зазначеними компонентами, exp[CijkДUk] – матрична експонента від nЧn-матриці [CijkДUk], і [CijkДUk]l – l-й степінь тієї ж матриці.

У підрозділі 5.3 головну увагу приділено нелінійним системам. Для них пропонується використовувати більш загальну заміну змінних.

Означення . Виберемо деяке натуральне число k та додатні дійсні числа pj (). Виконаємо у системі (3) заміну змінних . Кусково-неперервні функції Uj(t), які мають кусково-неперервні похідні до k-го порядку включно, будемо називати узагальненими (імпульсними) керуваннями k-го порядку степеня pj. Нехай у точці t=и має розрив функція Uj(t). Тоді будемо казати, що на систему в цей момент часу діє імпульс k-го порядку степеня pj за керуванням uj.

Реакція системи на такий імпульс буде залежати не тільки від стрибків ДUj функцій Uj(t), але і від порядку k, від стрибків ДUj(i) похідних diUj/dti (), від степенів pj імпульсів за різними керуваннями, а також від форми імпульсу, тобто способу апроксимації функцій Uj(t) сім’ями Uj(е)(t).

Значення степенів pj повинні вибиратися так, щоб функція стрибків була обмеженою.

Для систем з одновимірним керуванням є єдиний вибір p=1/m. І стрибок може бути обчислений за формулою .

У багатовимірному випадку

,

де бij?0, бi1+бi2+…+бim>0 для усіх , , значення pj треба вибирати з області (у протилежному випадку, отримаємо необмежені стрибки). Формула для функції стрибків має в цій області такий вигляд

.

І, нарешті, для одномірних систем вигляду

допустимий степінь імпульсу p=1/m i стрибок можна отримати з формули

.

Тут t= t0 позначає момент часу, близький до точки розриву функції U(t) і розташований праворуч (ліворуч). Тоді записана формула визначає залежність між x+=x(t+), x?=x(t?) і ДU, з якої може бути отримана функція стрибка g(x?,ДU)=x+?x?.

Поняття імпульсів високого порядку виникає, коли ставиться задача стабілізації лінійної системи (10) за допомогою виключно імпульсів. Для лінійних систем допустимі імпульси лише першого степеня (pj=1). Функція стрибків лінійної системи (10) для імпульсу порядку k задається таким виразом:

.

На основі цієї формули М.М. Красовський довів, що критерій Калмана керованості лінійних систем зберігається при розширенні класу допустимих керувань включенням імпульсних. Не змінює таке розширення і класу стабілізовних лінійних систем. Проте для нелінійних систем загального вигляду ситуація інша.

У підрозділі 5.4 досліджується яким чином форма імпульсу впливає на функцію стрибків та ліву і праву неперервність траєкторій системи. Умовою незалежності стрибків від форми імпульсу є умова Фробеніуса.

Підрозділ 5.5 присвячений дискретним системам, що утворюються з імпульсних систем, в яких множина S, де діють імпульси, співпадає з усім фазовим простором D. Для дискретних систем без керування, які описуються рівняннями

на усьому фазовому просторі DRn, 0D, g(0)=0, доведено такі теореми про стійкість та асимптотичну стійкість нульового розв’язку.

Теорема . Якщо існує функція V(x): D > R+ така, що для деяких функцій a,bK (функцій класу Хана) і будь-яких xD:

1) a(||x||)?V(x)?b(||x||);

2) V(x+g(x))?V(x),

то розв’язок x?0 стійкий.

Теорема . Якщо існує неперервна в нулі функція V(x): D > R+ така, що для деякого значення r<1 функції aK і будь-яких xD:

1) V(x)?a(||x||), V(0)=0;

2) V(x+g(x))?rV(x),

то розв’язок x?0 асимптотично стійкий.

Зауваження. Якщо замінити 2) умовою V(x+g(x))<V(x), то теорема стає, взагалі, невірною. На це вказує контрприклад системи з , де . Наведена умова стає достатньою, якщо накласти деякі додаткові умови на функції g(x) та V(x).

Теорема 6. Нехай функція g(x) неперервна і D – замкнена множина. Якщо існує неперервна функція V(x): D > R+, така, що для деякої функції aK і будь-яких xD:

1) V(x)?a(||x||), V(0)=0;

2) V(x+g(x))<V(x) при x?0,

то розв’язок x?0 асимптотично стійкий.

Можна зняти вимоги неперервності V(x), дещо посиливши умову на різницю.

Теорема . Якщо існує неперервна в нулі функція V(x): D > R+, така, що для деякої функції aK, неперервної додатно визначеної функції c(x): D > R+, і будь-яких xD:

1) V(x)?a(||x||), V(0)=0;

2) V(x+g(x)) ?V(x)?c(x),

то розв’язок x?0 асимптотично стійкий.

На основі цих теорем здобуто достатні умови стабілізовності систем з допомогою імпульсного керування, визначеного на всьому фазовому просторі:

.

Теорема 8. Якщо існує неперервна в нулі функція V(x): D > R+, така, що для деякої функції aK, неперервної додатно визначеної функції c(x): D > R+, і будь-яких xD:

1) V(x)?a(||x||), V(0)=0;

2),

то розв’язок x?0 асимптотично стабілізовний.

Наслідок. Якщо виконується умова , де r=const<1, то при виконанні умови 1) теореми буде існувати стабілізуюче керування.

У підрозділі 5.6 отримана формула для стрибків інтегратора Брокетта (4):

(12)

Щоб уникнути тих проблем, що виникали при використанні керувань (5), (7) для системи (4), застосуємо на координатних осях імпульсне керування:

(13)

Керування (5), (7), (13) забезпечують стабілізацію інтегратора Брокетта (4). Крім того, можна побудувати імпульсне керування, визначене на всьому фазовому просторі, так зване суто імпульсне керування:

(14)

(15)

(16)

(17)

Тут л, б1, б2 – дійсні сталі величини, які задовольняють умови л>0, .

Функція Ляпунова

задовольняє умови теореми 7 (a(r)=r2, c(x)=?x2) для системи (12) при керуванні (14)_(17), тому нульовий розв’язок замкненої системи асимптотично стійкий. Причому, побудоване керування переводить систему (12) з будь-якої точки фазового простору до початку координат не більш ніж за три стрибки.

Для системи з одновимірним керуванням, яка називається кругом Арцтейна

також неможливо побудувати неперервного або розривного за Філіпповим стабілізуючого керування. Функція стрибків для цієї системи має такий вигляд:

Для цієї системи може бути застосоване суто імпульсне керування

,

яке стабілізує нульовий розв’язок системи, а параметр r>0 визначає швидкість наближення до початку координат.

У підрозділі 5.7 дається пояснення того факту, що клас систем, які стабілізуються з допомогою імпульсного керування, ширший за клас систем, стабілізовних звичайним керуванням зі зворотним зв’язком. Проте введення нового класу керувань не розширює суттєво класу керованих систем.

Означення 11. Система називається приблизно керованою (за час T), якщо для будь-якого x0D, замикання множини досяжності (за час T) A(x0) співпадає з цілим фазовим простором D.

Теорема . Мають місце включення CoCiACo, де Co – клас систем, керованих за допомогою звичайного (локально обмеженого) керування, Ci – клас систем, керованих за допомогою імпульсного керування, ACo – клас систем, приблизно керованих за допомогою звичайного керування.

Шостий розділ присвячено стабілізації механічних систем за допомогою імпульсних керувань. У підрозділі 6.1 розглядається голономна механічна система, рух якої описується рівняннями Лагранжа другого роду

,

де – кінетична енергія системи, qi – узагальнені координати, Qi – узагальнені сили, які беруться за керування.

За допомогою формули (11) доведено, що при застосуванні імпульсних дій першого порядку, траєкторія системи у конфігураційному просторі не має розривів, функція стрибків ненульова лише для компонент фазового вектора, які відповідають узагальненим швидкостям. Проте, імпульси більш високих порядків можуть призвести до розривних траєкторій.

У підрозділі 6.2 розглядаються механічні системи, що підпорядковані неголономним в’язям

. (18)

У якості керувань вибираються (n?m) узагальнених швидкостей або незалежних квазішвидкостей

. (19)

Тоді, розв’язавши n рівнянь (18), (19) відносно швидкостей, отримаємо систему керування

.

Показано, що отримана система є керованою, але не задовольняє умови Фробеніуса і Брокетта, і тому не може бути стабілізована гладким керуванням.

У підрозділі 6.3 розглянуто такі неголономні системи, як диск, що котиться без проковзування по площині, сани Чаплигіна, коліщатко з гострим краєм, коліщатко з тонким закругленим краєм або з поперечною насічкою, двоколісний візок на шорсткуватій поверхні. За допомогою методу, викладеного в попередньому підрозділі, у рівняння руху цих систем введені керування.

У підрозділі 6.4 для саней Чаплигіна отримано розв’язок задачі стабілізації, а для двоколісного візка – двоточкової задачі та задачі стабілізації за частиною змінних.

ВИСНОВКИ

У дисертації досліджено динамічні системи, які не можуть бути стабілізовані за допомогою класичних керувань зі зворотним зв’язком. Розглянуто деякі розширення класів допустимих керувань і для деяких прикладів розв’язано задачу стабілізації в нових класах керувань. У процесі дослідження одержані такі наукові результати:

1. Встановлено умови, за яких неможлива стабілізація за виходом тривимірних систем з одновимірним керуванням в класі лінійних гібридних зворотних зв’язків.

2. Побудовано та досліджено деякі розривні керування, які у певному сенсі стабілізують інтегратор Брокетта. Надано обґрунтування збіжності чисельних методів і побудовано траєкторії інтегратора Брокетта під дією цих керувань.

3. Розроблено загальний алгоритм зведення систем з імпульсним керуванням до вигляду, який прийнято у сучасній теорії імпульсних систем. Для лінійних систем, а також для систем лінійних і за керуванням, і за станом знайдено явний вираз для функції стрибків. Для афінних систем функцію стрибків виражено через розв’язки сім’ї інтегральних рівнянь.

4. Введено поняття степеня та порядку імпульсу. Поставлено задачу знаходження допустимих степенів імпульсів з умови обмеженості стрибка. Ця задача розв’язана для систем з одновимірним керуванням. У багатовимірному випадку побудовано область допустимих степенів імпульсів і вираз для функції стрибків у кожній точці цієї області. Обчислена реакція лінійної системи на імпульси високих порядків.

5. Розв’язано задачу імпульсної стабілізації для інтегратора Брокетта та круга Арцтейна. Доведена теорема про вкладеність класу систем, керованих за допомогою імпульсного керування, у клас приблизно керованих систем.

6. Для голономних механічних систем показано, що при застосуванні імпульсів першого порядку траєкторія залишається неперервною. Одержано алгоритм побудови системи керування для неголономної системи за рахунок вибору незалежних квазішвидкостей у якості керувань. Показано, що отримані таким чином системи є керованими, але не можуть бути стабілізовані та не задовольняють умові Фробеніуса.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Неспирный В.Н. Стабилизация трехмерных линейных динамических систем при помощи управления с гибридной обратной связью // Механика твердого тела. – 2002. – Вып. 32. – С. 172-178.

2. Неспирный В.Н. Достаточные условия устойчивости дискретных динамических систем // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. – 2005. – Т. 10. – С.145-150.

3. Ковалев А.М., Неспирный В.Н. Импульсно-разрывная стабилизация интегратора Брокетта // Известия Академии Наук. Теория и системы управления. – № 5. – 2005. – С. 5-15.

4. Kovalev A.M., Nespirnyy V.N. Impulsive discontinuous stabilization of Brockett integrator // Journal of Computer and Systems Sciences International – Vol. 44. – № 5. – 2005. – P. .

5. Ковалев А.М., Кравченко Н.В., Неспирный В.Н. Необходимое условие стабилизируемости по части переменных нелинейных систем в классе разрывных управлений // Украинский мат. журнал. – 2006. – №10. – С. 1434-1441.

6. Kovalev A.M., Nespirnyy V.N. Impulsive-discontinuous stabilization of Brockett integrator // Proceedings of IFAC Workshop Modelling and Analysis of Logic Controlled Dynamic Systems. – Irkutsk, Russia. – 2003. – P. _.

7. Kovalev A.M., Kravchenko N.V., Nespirnyy V.N. Stabilization of systems with impulsive control with respect to all and part of the variables // Proceedings of 7th Conference on Dynamical Systems Theory and Applications. – Lodz, Poland. – 2003. – Vol. . – P. _351.

8. Nespirnyy V.N. Impulsive stabilization of mechanical systems // Proceedings of 49 Internationales Wissenschaftliches Kolloquium "Synergies between Information and Automation" – Ilmenau, Germany: Shaker Verlag, 2004. – Vol. 1. – P. _.

9. Ковалев А.М., Неспирный В.Н. Импульсно-разрывная стабилизация интегратора Брокетта // Избранные труды VIII Международного семинара "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления". – Москва, ИПУ. – 2004. – С. .

10. Ковалев А.М., Кравченко Н.В., Неспирный В.Н. Стабилизация по всем и по части переменных динамических систем с импульсным управлением // Материалы 11-й Международной научной конференции "Математические модели физических процессов". – Т.1. – Таганрог, изд-во Таганрог. гос. пед. ин-та. – 2005. – С. 184-190.

11. Неспирный В.Н. Стабилизация трехмерных линейных систем при помощи автомата в цепи обратной связи // Восьмая международная конференция "Устойчивость, управление и динамика твердого тела". Тезисы докладов. – Донецк: Ин_т прикл. математики и механики НАНУ. – 2002. – С. 41_.

12. Неспирный В.Н. Стабилизация механических систем с помощью импульсного управления // VI Міжнародна молодіжна науково-практична конференція "Людина і космос". Збірник тез. – Дніпропетровськ: НЦАОМУ. – 2004. – с. 136.

13. Неспирный В.Н. Управляемость и стабилизируемость нелинейных систем с помощью импульсного управления // Классические задачи динамики твердого тела. Тезисы докладов Международной конференции. – Донецк: Ин_т прикл. математики и механики НАНУ. – 2004. – С. 43-44.

14. Ковалев А.М., Неспирный В.Н. Импульсно-разрывная стабилизация управляемых систем // VIII международный семинар им. Е.С. Пятницкого "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления". Тезисы докладов. – Москва: Изд_во ИПУ РАН. – 2004. – С. 91-92.

15. Неспирный В.Н. Импульсная стабилизация вращений летательного аппарата // VII Міжнародна молодіжна науково-практична конференція "Людина і космос". Збірник тез. – Дніпропетровськ: НЦАОМУ. – 2005. – с. .

16. Неспирный В.Н. Устойчивость автономных дискретных систем // Международная конференция "Моделирование и исследование устойчивости динамических систем". Тезисы докладов конференции. – Киев: КНУ им. Т.Г.Шевченко. – 2005. – с. 87.

17. Неспирный В.Н. Неголономные механические системы и их стабилизация с помощью импульсного управления // Девятая международная конференция "Устойчивость, управление и динамика твердого тела". Тезисы докладов. – Донецк: Ин_т прикл. математики и механики НАНУ. – 2005. – С. 52_.

18. Ковалев А.М., Кравченко Н.В., Неспирный В.Н. Стабилизация динамических систем импульсным управлением по всем и по части переменных и применение в механике // IX международный семинар им. Е.С. Пятницкого "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления". Тезисы докладов. – Москва: Изд_во ИПУ РАН. – 2006. – С. 122-123.

19. Неспирный В.Н. Импульсное управление в неголономной механике. Управляемость и стабилизируемость неголономных систем // Девятая Международная научно_техническая конференция "Моделирование, идентификация, синтез систем управления". Тезисы докладов. – Донецк: Ин_т прикл. математики и механики НАНУ. – 2006. – С. .

АНОТАЦІЇ

Неспірний В.М. Стабілізація динамічних систем імпульсним і гібридним керуванням. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.01 – теоретична механіка. – Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк, 2006.

Дисертація присвячена проблемам стабілізації динамічних систем, що не мають класичного стабілізуючого керування. Одержано явні умови керованості, стабілізовності, спостережуваності та детектабельності в термінах коефіцієнтів для лінійних систем керування третього порядку. Встановлено необхідні умови існування керування, що залежить від виходу і забезпечує асимптотичну стійкість нульового розв’язку таких систем. Побудовано розривне керування зі зворотним зв’язком, яке стабілізує інтегратор Брокетта за певних означень розв’язку. Надано обґрунтування збіжності чисельних методів та побудовано траєкторії інтегратора Брокетта під дією цього керування. Поставлено задачі керування та стабілізації неперервних динамічних систем за допомогою імпульсного керування, введено поняття порядку, степеня та форми імпульса. Для широкого класу нелінійних систем знайдено функції стрибків, які є реакцією таких систем на імпульси різних степенів і порядків. Розв’язано задачу імпульсної стабілізації для інтегратора Брокетта та круга Арцтейна. Доведено теорему про вкладеність класу систем, керованих за допомогою імпульсного керування, у клас приблизно керованих систем. Розглянуто задачу імпульсної стабілізації для неголономних механічних систем і розв’язано її для декількох конкретних систем. Показано, що при використанні узагальнених сил у якості керувань траєкторії механічних систем не мають розривів.

Ключові слова: стабілізація, стійкість, зворотний зв’язок, гібридне керування, розривне керування, імпульсне керування, інтегратор Брокетта, неголономні системи.

Неспирный В.Н. Стабилизация динамических систем импульсным и гибридным управлением. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.01 – теоретическая механика. – Институт прикладной математики и механики НАН Украины, Донецк, 2006.

Диссертация посвящена проблемам стабилизации динамических систем, которые не имеют классического стабилизирующего управления. Получены явные условия управляемости, стабилизируемости, наблюдаемости и детектабельности в терминах коэффициентов для линейных систем управления третьего порядка. Установлены необходимые условия существования зависящего от выхода управления, стабилизирующего такие системы. Построено разрывное управление с обратной связью, стабилизирующее интегратор Брокетта при определенных определениях решения. Дано обоснование сходимости численных методов и построены траектории интегратора Брокетта под действием этого управления. Поставлены задачи управления и стабилизации непрерывных динамических систем с помощью импульсного управления, введены понятия порядка, степени и формы импульса. Для широкого класса нелинейных систем найдены функции скачков, которые являются реакцией таких систем на импульсы различных степеней и порядков. Решена задача импульсной стабилизации для интегратора Брокетта и круга Арцтейна. Устойчивость положений равновесия обоснована с помощью метода