НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ
ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

ОВЧИННИКОВ Дмитро Володимирович

УДК 534.1.131.2

ДОСЛІДЖЕННЯ НЕЛІНІЙНИХ КОЛИВАНЬ РІДИНИ
В ЦИЛІНДРИЧНОМУ РЕЗЕРВУАРІ
НА ОСНОВІ ТЕОРІЇ П’ЯТОГО ПОРЯДКУ МАЛОСТІ

01.02.01 – теоретична механіка

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук

КИЇВ – 2006

исертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті математики НАН України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук,
професор, академік НАН України
ЛУКОВСЬКИЙ Іван Олександрович, Інститут математики НАН України,
завідувач відділу

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор
СЕЛЕЗОВ Ігор Тимофійович,
Інститут гідромеханіки НАН України,
завідувач відділу;

кандидат фізико-математичних наук, доцент
ПАВЛОВСЬКИЙ Володимир Степанович,
Національний технічний університет України "КПІ"
доцент кафедри

Провідна установа: Інститут механіки імені С.П. Тимошенка НАН України.

Захист відбудеться "25" квітня 2006 р. о 15.00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д .026.02 Інституту математики НАН України за адресою:

01601, Київ 4, ву. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України.

Автореферат розісланий "22" березня 2006 року.

Учений секретар
спеціалізованої вченої ради Пелюх Г.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Розвиток сучасної техніки сприяє постановці ряду задач, що стосуються руху абсолютно твердого або деформованого тіла з порожнинами, частково заповненими рідиною. Коливання вільної поверхні рідини в таких тілах можуть бути дуже небезпечними, зокрема в аерокосмічних об’єктах (коливання рідини в паливних баках), під час транспортування великих мас рідини (коливання рідини в танкерах, залізничних цистернах), при експлуатації об’єктів такого типу в сейсмічно небезпечних зонах.

Перші роботи, присвячені дослідженню коливань рідини в твердих тілах, з’явилися на початку XIX століття і належать відомим вченим: Д. Г. Стоксу, Г. Л. Гельмгольцу, К. Г. Нейману, М. Е. Жуковському, Г. Ламбу, М. Фарадею та іншим.

Основні досягнення сучасної теорії руху твердого тіла з порожниною, що частково заповнена рідиною, подано в роботах таких вчених: І. Б. Богоряда, Л. В. Докучаєва, О. С. Лимарченка, І. О. Луковського, Г. М. Мікішева, Н. Н. Мо-і-се-єва, Г. С. Наріманова, Д. Е. Охоцімського, Б. І. Рабіновича, В. В. Румянцева, а також H.F.R.J. Miles та інших.

В більшості робіт досліджуються механічні та фізичні явища, які виникають при коливанні вільної поверхні рідини. При цьому, як правило, вико-рис-то-ву-ються наближені методи розв’язування відповідних крайових задач, на основі яких будуються практично важливі математичні моделі досліджуваних про-цесів.

Встановлено, що більшість цікавих з фізичної точки зору явищ мають нелінійний характер. Їх опис можливий за умов побудови адекватних нелі-ній-них математичних моделей. Точність опису якісних та кількісних характеристик фізичних явищ залежить від повноти математичної моделі.

Побудова більш повних, на відміну від існуючих, нелінійних математичних моделей дає можливість з більшою точністю описувати нелінійні ефекти у сис-темах, що вивчаються, уточнювати та встановлювати межі застосування існу-ючих моделей, що в свою чергу стимулює пошукові дослідження по розробці альтернативних наближених методів розв’язування прикладних задач динаміки складних механічних систем. Тому побудова та дослідження нових, більш пов-них математичних моделей є актуальними як в теоретичному, так і в при-клад-но-му плані.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Результати досліджень дисертації пов’язані з науковими темами Інституту математики НАН України на 2001-2005 рр. Вони були частково використані та увійшли у звіти науково-дослідної роботи, яка проводилась у відділі динаміки та стійкості багатовимірних систем за темою "Якісні та чисельно-аналітичні методи дослі-дження нелінійних задач динаміки та стійкості механічних систем" (державний реєстраційний номер 0101U00184).

Мета і завдання дослідження. Метою роботи є створення на основі модаль-ного підходу нелінійної математичної моделі п’ятого порядку малості, що опи-сує коливні процеси в системі "тіло – рідина", і дослідження на її основі нелі-ній-них фізичних явищ, викликаних взаємодією рідини і твердого тіла.

Об’єкт і предмет дослідження. Об’єктом дослідження є механічна система, що складається із абсолютно твердого прямого кругового циліндра і ідеальної нестисливої рідини, що його частково заповнює.

В дисертації вивчаються задачі, що торкаються: проблеми силової взаємодії абсолютно твердого резервуару з обмеженим об’ємом рідини, що здійснює коливальні рухи; проблеми динамічної стійкості вільної поверхні рідини при русі механічної системи в околі основного резонансу; границь застосовності багатомодових математичних моделей, що ґрунтуються на гіпотезах теорії тре-тього порядку малості тощо.

Методи дослідження. Рух ідеальної нестисливої рідини вивчається в ейле-ро-вих змінних, описується рівнянням Лапласа з двома нелінійними граничними умовами на невідомій вільній поверхні і умовою неперетікання на твердій стінці резервуара.

Нелінійна крайова задача зводиться до варіаційної, для розв’язування якої використовується прямий метод Майлса – Луковського.

Періодичні розв’язки одержаних нелінійних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку будуються методом Бубнова – Гальор-кіна. Досліджен-ня стійкості періодичних розв’язків проводиться на основі рівнянь у варіаціях. Точність знайдених стійких розв’язків контролюється чисельним інтегруванням методом Рунге – Кутта.

Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати, які визнача-ють наукову новизну і виносяться на захист, такі:

1. Запропоновано підхід комп’ютерної реалізації варіаційного методу Майлса – Луковського зі спеціально сформульованими гіпотезами теорії п’ятого порядку малості.

2. Одержано нову математичну модель у вигляді одинадцяти нелі-нійних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку, що описує вільні та вимушені коливання рідини в резервуарі в формі прямого кругового цилін-дра. Чисельні значення коефіцієнтів цих рівнянь знайдено в широ-кому ді-апа-зоні геометричних параметрів резервуару та подано у вигляді окремих таблиць.

3. На основі одержаної моделі в околі основного резонансу побудовано уста-лені періодичні рухи рідини, досліджено їх стійкість, визначено сили взає-модії тіла і рідини.

4. Проведено порівняльний аналіз одержаних результатів з аналогічними ре-зуль-татами за теорією третього порядку малості та експериментальними даними.

5. Окреслено межі застосовності теорії третього порядку малості.

Достовірність результатів та висновків дисертаційної роботи забезпечу-ються коректністю постановок задач дослідження; обґрунтованістю матема-тич-них підходів при розв’язанні задач; контролем точності обчислень, виконаних на ПК, а також задовільним узгодженням теоретичних та експериментальних результатів.

Практичне значення одержаних результатів. Одержані в дисертаційній ро-боті результати можна використати при розв’язанні прикладних проблем стійкості і керування об’єктами, які містять в собі рухомі рідинні маси, а також в задачах дослідження на міцність аналогічних механічних систем, які експлу-ату-ються в екстремальних умовах (землетруси, урагани тощо).

Особистий внесок здобувача. Визначення загального плану дослідження, постановка задачі та участь в обговоренні теоретичних результатів і результатів чисельних експериментів належать науковому керівникові І. О. Луковському. Всі результати дисертації, які виносяться на захист отримано автором самостійно.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповіда-лись і обговорювались на таких семінарах та конференціях: *

Науковий семінар "Математичні проблеми механіки та обчислювальна математика". Інститут математики НАН України (керівники – академік НАН України, доктор фіз.-мат. наук, професор І. О. Луковський та член-коре-спондент НАН України, доктор фіз.-мат. наук, професор В. Л. Ма-ка-ров) (м. Київ, 22 грудня 2005 р.).*

Наукові семінари кафедри вищої математики Ніжинського державного університету імені Миколи Гоголя (керівник – доктор фіз.-мат. наук, професор В. П. Яковець) (2002-2005 р.).*

Науковий семінар кафедри прикладної математики і інформатики Ніжинського державного університету імені Миколи Гоголя (керівник – кандидат фіз.-мат. наук, доцент В. С. Кладинога) (2003 р.).*

Міжнародна конференція "International Workshop on Potential Theory and free Boundary Flows" (Ukraine, Kiev, 19–27 september 2003).*

Міжнародна конференція "Диференціальні рівняння та їх застосування" (Київ, Україна, 7–9 червня 2005 р.).*

Міжнародна конференція "International workshop on free boundary flows and related problems of analysis" (Ukraine, Kiev, 25–30 september 2005).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 5 друкованих пра-цях, з яких 3 статті – у виданнях із переліків, затверджених ВАК України, а також 2 – тези доповідей на конференціях.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі всту-пу, трьох розділів, висновків та списку використаних джерел. Загальний обсяг дисертації становить 132 сторінки, які містять 21 таблицю, 13 рисунків, у спис-ку використаних джерел 136 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, визначено об’єкт, предмет, мету дослідження, описано методи дослідження, наукову новиз-ну і практичне значення, подано дані про апробацію результатів дослі-дження.

Перший розділ складається з двох підрозділів.

Підрозділ .1 містить опис історичного розвитку задачі коливання рідини в твердих тілах. В ньому наведено огляд сучасного стану теорії руху тіл з поро-жнинами, частково заповненими рідиною.

Підрозділ .2 присвячено математичній постановці задачі просторового руху абсолютно твердого тіла з циліндричною порожниною, яка частково заповнена ідеальною нестисливою рідиною.

При цьому вважається, що рідина займає область , обмежену твердою стінкою та вільною поверхнею рідини . Рухома система координат , яка зв’язана з центром незбуреної вільної поверхні , введена таким чином, що вісь напрямлена в сторону, протилежну вектору сил земного тяжіння.

Розглядається безвихровий рух рідини в резервуарі, який має форму прямого кругового циліндра та рухається поступально зі швидкістю.

Тоді потенціал швидкостей, що визначає абсолютний рух рідини в рухомій системі координат, та форма збуреної вільної поверхні визначаються в рамках моделі Ейлера з розв’язку такої нелінійної крайової задачі

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

де – орт зовнішньої нормалі до області; – радіус-вектор точок області .

Розподіл тиску в об’ємі рідини визначається за допомогою інтеграла Лагран-жа – Коші

(6)

де – густина рідини; – тиск газу над вільною поверхнею рідини. Рівняння (5) задає умову збереження об’єму. Можна показати, що інтегральна умова (5) є умовою розв’язності крайової задачі Неймана (1)–(4).

Крайова задача (1)–(5) відноситься до складних нелінійних задач математичної фізики. Її складність обумовлена, в першу чергу, тим, що частина границі змінної в часі області (вільна поверхня, а отже, і область визначення) є наперед невідомою і повинна бути визначена в процесі розв’язування задачі. Якісна теорія задач цього класу знаходиться в початковому стані розвитку, на відміну від лінійної теорії. В нелінійній задачі про стоячі хвилі скінченної амплітуди ніяких теорем розв’язності крайової задачі (1)–(4) до цього часу не отримано.

Другий розділ присвячено отриманню нелінійних рівнянь руху ідеальної нестис-ливої рідини, що частково заповнює тверде циліндричне тіло, яке здій-снює поступальні гармонічні коливання в полі сил тяжіння з частотою, близь-кою до частоти власних коливань рідини.

В підрозділі .1 показано, що для загального випадку просторових рухів системи "тіло – рідина" нелінійна крайова задача (1)–(4) випливає з варіаційного принципу Бейтмана – Люка як необхідна умова існування стаціонарних значень функціоналу

(7)

де

(8)

Виходячи з класичного принципу Гамільтона – Остроградського, варіаційний принцип стаціонарної дії у формі Бейтмана – Люка для функціоналу (7) полягає в тому, що для дійсних рухів, якими є хвильові рухи вільної поверхні рідини, інтеграл (7) набуває стаціонарні значення, тобто

(9)

Варіаційна задача, до якої приводить принцип Гамільтона – Остро-градського, формулюється в такий спосіб: серед всіх неперервних функцій та, які мають неперервні похідні по просторовим змінним і часу, потрібно знайти ті, які надають інтегралу стаціонарного значення.

У підрозділі .2 вводиться до розгляду прямий метод Майлса – Луковського розв’язання варіаційної задачі про хвильові рухи обмеженого об’єму рідини.

Суть методу полягає в представленні рівняння збуреної вільної поверхні рідини у вигляді

(10)

де – повна ортогональна разом з константою система функцій, задана на незбуреній вільній поверхні, а – узагальнені коефіцієнти Фур’є, що залежать від часу як від параметру і мають в подальшому зміст узагальнених координат, що характеризують відхилення вільної поверхні рідини від незбуре-ного положення:

(11)

Зазначимо, що потенціал швидкостей можна розбити на дві складові

(12)

для яких внаслідок кінематичних умов крайової задачі (1)–(4) з точністю до довільної функції часу, а функція є розв’язком нелінійної крайової задачі, що описує рух рідини в нерухомому контейнері

(13)

(14)

(15)

(16)

при умові збереження об’єму рідини.

Враховуючи лінійність рівняння (13) та крайової умови (14) крайової задачі (13) – (16), подамо потенціал швидкостей у вигляді

(17)

де – невідомі параметри, що характеризують зміну потенціалу швидкостей від часу; – система гармонічних функцій, що задовольняють умову неперетікання на змоченій твердій стінці резервуару.

Сукупність гармонічних функцій та функцій отримуємо з такої задачі на власні значення з параметром в граничній умові:

(18)

Розв’язки цієї задачі утворюють на незбуреній вільній поверхні повну ортогональну разом з константою систему функцій

З умови стаціонарності функціоналу) для шуканих узагальнених координат і параметрів одержуємо нескінченну систему нелінійних звичайних диференціальних рівнянь:

(19)

(20)

де величини

(21)

є функціями в наслідок (10).

Система рівнянь (19) лінійна відносно параметрів. Розв’язав-ши її, підставимо знайдені представлення для в систему (20) та отримаємо нелі-нійну систему диференціальних рівнянь другого порядку відносно параметрів, що характеризують відхилення вільної поверхні рідини від незбуреного положення.

Далі ми обмежимось розглядом скінченновимірної системи рівнянь руху, одержаної із (19) – (20) за припущень теорії п’ятого порядку малості відносно узагальнених координат.

В підрозділі .3 за викладеною схемою виведено рівняння, які описують рух вільної поверхні рідини в циліндричному резервуарі радіуса та глибини. Використана циліндрична система координат, яка зв’язана з незбуреною вільною поверхнею рідини, а вісь має напрямок, протилежний вектору. Зв’язок декартових координат з циліндричними реалізується за допомогою співвідношень:

(22)

Форма вільної поверхні рідини та потенціал швидкостей подано у вигляді:

(23)

(24)

де

(25)

(26)—

деяка комбінація циліндричних функцій типу Бесселя і Неймана, яка ґрунтується на розв’язках гідродинамічної проблеми в лінійній постановці.

Застосування нескінченної системи нелінійних звичайних диференціальних рівнянь до розв’язування задач динаміки твердих тіл з порожнинами, частково заповненими рідиною, можливе за умов коректної редукції цієї системи до нелі-нійної системи зі скінченним числом ступенів вільності. Так, при досліджені коливних процесів рідини, викликаних гармонічними зовнішніми силами, дово-дит-ься враховувати резонансні частоти вільних коливань рідини, в околі яких спо-стерігається найбільш інтенсивна силова взаємодія рідини з твердим тілом. Найбільш резиковним в цьому відношенні є окіл основної частоти вільних коли-вань , пов’язаної з частотним параметром співвідношенням

(27)

В зв’язку з цим узагальнені координати і в теорії третього порядку малості за гіпотезою Г.С.Наріманова наділяються пріоритетом по відношенню до інших узагальнених координат, оскільки найближчі за власними значеннями до них параметри, і є величинами другого порядку малості параметрів і а і – величинами третього порядку малості Ця гіпотеза була підтверджена в процесі виведення рівнянь руху системи “тверде тіло – рідина”.

Нашою метою є побудова аналогічної математичної моделі руху механічної системи з врахуванням членів п’ятого порядку малості основних узагальнених координат і при одинадцятимодовій апроксимації вільної поверхні та потенціалу швидкостей у відповідності до (23) і (24). При цьому до розгляду залучаються узагальнені координати і, причому приймається, що і Ця гіпотеза підтверджується при реалізації варіаційного алгоритму, про що свідчать наведені нижче результати.

Виведення рівнянь руху циліндричного резервуару розпочнемо з визначення виразів (21) , які входять у рівняння (19), враховуючи при цьому представлення (23) та (24), а також обумовлені вище порядки малості узагальнених координат, ,. При визначенні квадратур (21) по змінній в часі області функції, що залежать від змінної , замінимо відповідними степеневими рядами.

Знайшовши величини, , як функції від узагальнених координат, на основі (19) – (20) одержуємо систему нелінійних звичайних диференціальних рівнянь, яка описує коливання рідини у циліндрі.

В роботі наведено класичне подання одержаної системи диференціальних рів-нянь, що дозволяє порівняти її з існуючими математичними моделями мен-шого порядку малості. Порівняльний аналіз свідчить, що у випадку нехтування доданками, порядок малості яких вищий ніж третій, наведена система диферен-ці-альних рівнянь повністю співпадає з існуючими аналогами.

Коефіцієнти знайденої системи визначаються деякими квадратурами від ци-ліндричних функцій. Їх числові значення одержано для циліндра радіуса з різною глибиною заповнення рідиною. Отримана система звичайних дифе-рен-ціальних рівнянь дозволяє дослідити різноманітні коливні режими руху рідини, а також їх стійкість при заданому законі руху резервуару.

Зважаючи на розмір отриманої системи, з метою зручності подальших дослі-джень, у розділі .4 систему диференціальних рівнянь подамо у векторній фор-мі.

Позначивши через вектор-стовпчик узагальнених координат та згрупувавши члени при, , , зазначену вище систему рівнянь подамо у вигляді:

(28)

де – симетрична матриця з поліноміальними елементами, – діагональна матриця з елементами, , а вектор-функції і вектор-стовпчик представляються через компоненти:

(29)

Виходячи з наведеного представлення, -те рівняння системи (28) матиме вигляд ()

(30)

Знаходження оберненої до матриці дозволяє представити систему (28) у вигляді

(31)

де, ,.

Система (31) є принципово важливою з точки зору застосування чисельних методів до знаходження її розв’язків.

Коефіцієнти системи (28), (31) одержано для різної глибини заповнення рідини .

Третій розділ присвячено дослідженню нелінійних ефектів, що мають місце на вільній поверхні рідини при її взаємодії з жорстким резервуаром. Вивчається випадок коливань рідини з частотою, яка знаходиться в околі найнижчої час-тоти власних коливань вільної поверхні рідини.

У підрозділі .1, базуючись на отриманій математичній моделі (28), (31), про-ве-дено дослідження вимушених коливань рідини в круговому циліндрі, що здій-снює гармонічні в часі коливання вздовж осі за законом

(32)

де – амплітуда зовнішнього гармонічного збурення з частотою.

Аналіз усталених вимушених коливань рідини пов’язаний з відшуканням пе-рі-одичних розв’язків системи (28). Наближений розв’язок даної системи знахо-диться методом Бубнова – Гальоркіна. Подамо його в класі допустимих функцій однакового періоду з шуканою функцією у вигляді відрізків Фур’є з неви-зна-че-ними коефіцієнтами

(33)

де — невідомі сталі.

Для їх визначення, після підстановки виразів (33) в рівняння Бубнова – Галь-оркіна, отримаємо систему нелінійних рівнянь

(34)

де – ліва частина -го рівняння з системи (28) або (31).

Система (34) визначає коефіцієнти – представлень узагальнених коорди-нат (33).

Обмежуючись в) значеннями, знаходимо наближений пері-одич-ний розв’язок системи (34).

В залежності від значень, при умові, можливі два типи стійких рухів рідини: просторові (коли збурюються всі узагальнені координати ) та плоскі коливання (коливання в площині дії збурюючої сили). У випадку плоских коливань рідини в представленні (33).

Отримані чисельні значення коефіцієнтів представлення), в залежності від і , порівняно з результатами досліджень отриманих за припущень теорії третього порядку малості. Встановлена добра погодженість результатів по модам, порядок малості яких не перевищує третій.

Періодичні коливання, що описуються виразами (33), не завжди фізично реа-лі-зуються. В дійсності мають місце лише ті коливання рідини, що опису-ються стійкими розв’язками системи (28), (31) у вигляді представлень (33).

У підрозділі .2 досліджується стійкість розв’язку (33) залежно від значень коефіцієнтів, які ми отримуємо при розв’язанні системи алгебраїчних рів-нянь (34). Дана система являє собою нелінійну систему рівнянь, розмірність якої залежить від модальності системи (28) та кількості доданків узагальненого ряду Фур’є в представленнях (33). При заданих та ми можемо отри-мувати декілька десятків наборів значень, які визначають розв’язки системи (28). Наша задача полягає в знаходженні серед усіх можливих розв’язків систе-ми (34) такого набору значень, який би визначав стійкий розв’язок системи (28) у вигляді (33).

Задача про динамічну стійкість рідини досліджується за допомогою рівнянь першого наближення.

Виходячи з теорії стійкості за Ляпуновим, разом з розв’язком(33), який приймемо за незбурений, розглянемо також досить близький до нього:

(35)

У відповідності до загальної теорії складемо рівняння в варіаціях, що відпо-відають заданій системі нелінійних диференціальних рівнянь (28). Підставимо збурений розв’язок в систему (28), враховуючи, що незбурений розв’язок задовольняє дану систему. Лінеаризуючи одержану систему відносно збурень, отримаємо таку систему рівнянь у варіаціях:

(36)

Оскільки подано у вигляді (33), то рівняння (36) є лінійним рівнянням з періодичними коефіцієнтами. Основні способи розв’язування таких рівнянь дає теорія Флоке.

Отже, задача про стійкість періодичних розв’язків системи) звелася до дослі-дження розв’язків відповідної збуреної систем (36). Після лінеаризації збу-рена системи (36) представляє собою систему диференціальних рівнянь з пері-одич-ними коефіцієнтами, а фундаментальна система її розв’язків, у відповід-ності до теореми Флоке – Ляпунова, має вигляд:

(37)

де – характеристичний показник системи, а —– періодична функція.

Стійкість розв’язку (33) залежить від значень характеристичного показника. Якщо всі характеристичні показники мають від’ємні, або рівні нулю дійсні частини то періодичні розв’язки) будуть стійкими. Якщо серед характерис-тичних показників буде принаймні один з додатною дійсною частиною, то стійкість буде втрачено.

Представивши періодичні функції у вигляді рядів Фур’є зі збереженням лише перших гармонік, отримаємо рівняння для визначення характеристик

(38)

де та — деякі сталі.

Підставимо вирази (37), (38) в систему рівнянь у варіаціях (36). Розв’язки отриманої системи будемо шукати методом Бубнова-Гальоркіна. Відповід-на система алгебраїчних рівнянь з параметром, з якої визначаються коефі-ці-єнти , , буде мати вигляд:

(39)

де – ліва частина -го рівняння збуреної системи).

Систему (39) після спрощення можна записати як

(40)

де та – поліноміальні структури від та.

З умови існування нетривіального розв’язку системи (40) випливає характеристичне рівняння для визначення, яке в спрощеному вигляді можна подати:

(41)

де, , – матриці зі сталими коефіцієнтами.

Таким чином, задача про дослідження стійкості періодичних розв’язків (33) системи (28), яка описує плоскі (або просторові) коливання рідини, звелася до знаходження коренів характеристичного рівняння (41).

Розроблено інтерактивне середовище, що дозволяє знаходити характерис-тич-ні корені рівняння (41) за допомогою ПК, а також проводити аналіз отриманих значень.

У підрозділі .3 з метою контролю на точність, знайдених методом Бубнова – Гальоркіна стійких розв’язків системи (28), проведемо чисельне інтегрування системи (31) методом Рунге – Кутта.

Порівняльний аналіз отриманих методом Бубнова – Гальоркіна розв’язків систе-ми (28) з результатами чисельного інтегрування системи (31) методом Рунге – Кутта проводився для широкого спектру значень , . Отримані дані свідчать, що результати, одержані двома незалежними методами, добре узго-джу-ються. У випадку плоских коливань абсолютна різниця амплітуд коливань рідини становить величину порядку , а у випадку просторових коливань – порядку .

Зазначимо, що чисельне інтегрування виконує суто контролюючу функцію, оскільки унеможливлює відокремлення стійких розв’язків від решти можливих розв’язків системи (28). Дослідження розв’язків на стійкість можливе лише за наявності їх аналітичного представлення, яке ми отримали методом Бубнова – Гальоркіна.

У підрозділі .4 проведено порівняльний аналіз кінематики вільної поверхні рідини, а також амплітудно частотних характеристик нелінійних коливань віль-ної поверхні в області основного резонансу за теорією п’ятого та третього по-ряд-ків малості.

Для усталених режимів руху, у випадку плоских коливань рідини спостері-га-ється співпадіння чисельних результатів до чотирьох значущих цифр. Розбіж-ність між теоретичними і експериментальними значеннями становить 5%, збе-ріга-ються основні нелінійні ефекти: несиметричність збуреної вільної поверхні, перевищення висоти горба плоскої хвилі глибини впадини, рухомість та непере-рвність вузлової лінії.

У випадку усталених просторових коливань рідини узгодженість між тео-рі-ями п’ятого та третього порядків малості погіршується. Теорія п’ятого порядку малості зберігає нелінійні ефекти, що мають місце на вільній поверхні рідини, але разом з тим зменшується амплітуда коливань рідини, в середньому на 10%, а також інтервал частот, при яких спостерігаються стійкі просторові коливання. Спостерігається зменшення глибини “впадини” та особливо висоти “горба” хви-лі при її обертальному русі, а також збільшення амплітуди коливань рідини в околі осі симетрії резервуару (спостерігається “переливання” рідини через центр баку, це явище зафіксовано експериментально, але не фіксується теорією третього порядку малості). Ці явмща обумовлено тим, що чисельні значення коефіцієнтів при основних гармоніках головних мод зменшуються, а значення коефіцієнтів при вищих гармоніках зростають.

У підрозділі 3.5 досліджено силову взаємодію рідини та резервуару. Відомо, що сумарна гідродинамічна сила взаємодії рідини з резервуаром визначається співвідношенням

(42)

Тут – орт зовнішньої нормалі до змоченої поверхні, – тиск рідини, який визначається з інтегралу Лагранжа – Коші

(43)

де – потенціал швидкостей, – радіус-вектор області, – густина рідини.

У випадку задання форми збуреної вільної поверхні рідини рівнянням (10), проекції вектора кількості руху на осі декартової системи координат матимуть вигляд:

(44)

де

(45)

Виходячи з представлення (10), узагальнені координати визначаються величинами, а проекції гідродинамічної сили на осі зв’язаної системи координат, з точністю до членів п’ятого порядку малості, набудуть вигляду:  

(46)

(47)

де

(48)

Встановлено, що у випадку плоских коливань рідини значення силової взає-модії між рідиною та твердим тілом, отримані на основі моделі п’ятого порядку малості, відрізняються на величину порядку від значень, отриманих на основі моделі третього порядку малості.

У випадку просторових коливань встановлено, що значення модуля серед-ньої амплітуди , який характеризує силову взаємодію між рідиною та жорст-ким резервуаром, зменшилось на 0.06% за рахунок зменшення на 4.1% значення модуля середньої амплітуди – компоненти, яка характеризує вплив хвильо-вих рухів вільної поверхні. Амплітуда в теорії п’ятого порядку малості ста-но-вить 5.89% величини , на відміну від 6.14% за теорією теорії третього порядку малості. Отже, теорія п’ятого порядку малості не вносить істотних уточнень у визначення силової взаємодії рідини та твердого резервуару, тому для опису гідродинамічної взаємодії між твердим тілом та рідиною у випадку просторових коливань рідини цілком достатньо теорії третього порядку малості.

ВИСНОВКИ—

Базуючись на варіаційному формулюванні задачі, за припущень теорії 5-го порядку малості та певних підпорядкувань відносно узагальнених коор-ди-нат в представленні форми вільної поверхні, отримано скінченновимірну нелі-ній-ну математичну модель, яка описує рух жорсткого циліндричного баку, частково заповненого ідеальною нестисливою рідиною.—

Створено програмне забезпечення реалізації варіаційного алгоритму побу-до-ви нелінійної системи звичайних диференціальних рівнянь та визначення її гідродинамічних коефіцієнтів в широкому діапазоні геометричних параметрів. Виконано реалізацію вказаного алгоритму на ПК.—

Методом Бубнова – Гальоркіна побудовано періодичні розв’язки системи нелінійних звичайних диференціальних рівнянь, яка описує усталені вимушені коливання рідини в циліндричному резервуарі в околі основного резонансу.—

Досліджено стійкість усталених періодичних режимів руху рідини. Знай-дено області стійкості та нестійкості побудованих режимів руху і представлено фізичну інтерпретацію основних нелінійних ефектів поведінки рідини в околі головного резонансу.—

Проведено порівняльний аналіз амплітуд вимушених коливань вільної поверхні рідини в області основного резонансу за теорією п’ятого та третього по-ряд-ків малості. У випадку плоских коливань рідини спостерігається співпа-дін-ня чисельних результатів до чотирьох значущих цифр. Розбіжність між тео-ре-тичними і експериментальними значеннями становить не більше ніж 5%. У випадку просторових коливань рідини узгодженість теорії п’ятого та третього порядків малості погіршується. Теорія п’ятого порядку малості призводить до зменшення амплітуди коливань рідини, в середньому на 10%, а також до зву-жен-ня інтервалу частот, при яких спостерігаються стійкі просторові коливання.—

Встановлено, що у випадку плоских коливань рідини різниця між вели-чи-нами гідродинамічної взаємодії рідини та твердого тіла, отриманих на основі моделей третього та п’ятого порядків малості не перевищує величину порядку , а у випадку просторових коливань рідини різниця між значеннями модуля середньої амплітуди , який характеризує силову взаємодію між рідиною та жорстким резервуаром, становить 0.06%.

Список опублікованих праць за темою дисертації.

1. Луковський І. О., Овчинников Д. В. Нелінійна математична модель п’ято-го порядку малості в задачі про коливання рідини в циліндричному резервуарі // Праці інституту математики НАН України. – 2003. – Т. . – C. –160.

2. Луковський І. О., Овчинников Д. В. Дослідження вимушених коливань рідини у циліндричному резервуарі на основі моделі п’ятого порядку малості // Комплексний аналіз і течії з вільними границями: Зб. праць Ін-ту математики НАН України. – 2004. – Т. 1, № . – С. –234.

3. Овчинников Д.В. Дослідження стійкості вимушених нелінійних коливань рідини у циліндричному резервуарі на основі моделі п’ятого порядку // Сучасні проблеми аналітичної механіка : Зб. праць Ін-ту математики НАН України. – 2004. – Т. 1, № . – С. –176.

4. Луковський І. О., Овчинников Д. В. Нелінійна математична модель п’ято-го порядку малості в задачі про коливання рідини в циліндричному резервуарі // International Workshop on Potential Theory and free Boundary Flows: Abstracts. – Kiev: Institute of Mathematics of National Academy of Sciences of Ukraine, 2003. – P. 33.

5. Овчинников Д. В. Дослідження вимушених коливань рідини у циліндрич-ному резервуарі на основі моделі п’ятого порядку малості // Міжнародної конференції "Диференціальні рівняння та їх застосування": Тези доп. – Київ: Нац. ун-т ім. Тараса Шевченка Україна, 7–9 червня 2005 р. – С. 79.

6. Овчинников Д. В. Про оптимальну модель третього порядку малості в за-да-чі про вимушені нелінійні коливання рідини в циліндричному резервуарі// International workshop on free boundary flows and related problems of analysis: Abstracts. – Kiev: Institute of Mathematics of National Academy of Sciences of Ukraine, 2005. – P. 57.

АНОТАЦІЇ

Овчинников Д.В. Дослідження нелінійних коливань рідини в циліндрич-ному резервуарі на основі теорії п’ятого порядку малості. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.01 – теоретична механіка, Інститут математики НАН України, Київ, 2006.

Дисертаційна робота присвячена дослідженню вимушених нелінійних коли-вань, що виникають на вільній поверхні ідеальної нестисливої рідини, яка част-ково заповнює твердий циліндричний бак, що здійснює гармонічні в часі коли-ван-ня в околі найнижчої частоти власних коливань рідини.

В дисертації розглянуто задачу про вимушені коливання ідеальної нестис-ливої рідини, яка частково заповнює абсолютно твердий циліндр. Базуючись на варіаційному формулюванні задачі, побудовано скінченновимірну нелінійну математичну модель п’ятого порядку малості, що описує рухи рідини в околі основного резонансу. Методом Бубнова – Гальоркіна побудовано періодичні роз-в’язки системи нелінійних диференціальних рівнянь, що описують рух ріди-ни в рухомій циліндричній порожнині. За допомогою рівнянь першого набли-ження проведено аналіз стійкості отриманих періодичних розв’язків. Визначено форму вільної поверхні рідини та основні характеристики взаємодії рідини з тілом. Побудовано амплітудно-частотні характеристики вимушених коливань вільної поверхні рідини в околі основного резонансу. Досліджено поведінку вуз-лової лінії. Проведено порівняння в кількісному та якісному сенсі теоретич-них результатів з експериментальними даними.

Ключові слова: динаміка твердого тіла з рідиною, приєднані маси рідини, метод Бубнова – Гальоркіна, системи диференціальних рівнянь, силова взаємо-дія, стійкість.

Овчинников Д.В. Исследование нелинейных колебаний жидкости в цилин-дри-ческом резервуаре на основании теории пятого порядка малости. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-матема-ти-ческих наук по специальности 01.02.01 – теоретическая механика, Институт математики НАН Украины, Киев, 2006.

Диссертационная работа посвящена исследованию вынужденных нелиней-ных колебаний, возникающих на свободной поверхности идеальной несжима-е-мой жидкости, которая частично заполняет твердый цилиндрический бак, совер-ша-ющий гармонические колебания в окрестности собственной частоты коле-баний жидкости.

В диссертации рассмотрена задача о вынужденных колебаниях идеальной несжи-маемой жидкости, которая заполняет абсолютно твердый цилиндр. Исходя из вариационной формулировки задачи, построена конечномерная нели-нейная математическая модель пятого порядка малости, которая описывает движение жидкости в области основного резонанса. Методом Бубнова – Галёр-кина построены периодические решения системы нелинейных дифференци-альных уравнений, которые описывают движение жидкости в цилиндрической полости. При помощи уравнений первого приближения проведен анализ устой-чивости полученных решений. Определены формы свободной поверх-ности жидкости, а также основные характеристики взаимодействия жидкости с твер-дым телом. Построены амплитудно-частотные характеристики колебаний сво-бод-ной поверхности жидкости в окрестности основного резонанса. Исследо-вано поведение узловой линии. Проведены сравнения в количественном и каче-ствен-ном смысле теоретических результатов с экспериментальными данными.

На основе проведенного анализа амплитуд вынужденных колебаний в окрестности основного резонанса, полученных исходя из теории пятого и третьего порядков малости, установлено:—

в случае плоских колебаний жидкости наблюдается совпадение чис-лен-ных результатов с точностью до четырех значащих цифр, различия между теоретическими и экспериментальными данными составляет около 5%;—

в случае пространственных колебаний жидкости согласование между теорией пятого и третьего порядков малости ухудшается, теория пятого порядка малости приводит к уменьшению амплитуд колебаний жидкости, в среднем на 10%, а также к сужению интервала частот, при которых наблюдаются устой-чивые пространственные колебания.

Показано, что в случае плоских колебаний жидкости, разница между величи-нами гидродинамического взаимодействия жидкости и твердого тела, получен-ных исходя из теории пятого и третьего порядков малости, не превышает величину порядка . При пространственных колебаниях жидкости различия между значениями модуля средней амплитуды , характеризующего силовое взаимодействие между жидкостью и твердым телом, составляет 0.06%.

Ключевые слова: динамика твердого тела с жидкостью, присоединенные массы жидкости, метод Бубнова – Галёркина, система дифференциальных урав-не-ний, силовое взаимодействие, устойчивость.

Ovchynnykov D. V. Investigation of nonlinear fluid sloshing in a rigid cylindrical tank on the fifth-order asymptotic mathematical model. – Manuscript.

Theses for a Candidate’s Degree in Physics and Mathematics by the speciality 01.02.01 – theoretical mechanics, Institute of Mathematics NAS of Ukraine, Kiev, 2005.

The thesis is devoted to studying of the nonlinear fluid sloshing in a rigid cylindrical tank partly filled by the ideal incompressible liquid. Basing on the variational wording of problem finite dimensional nonlinear mathematical model is built. This model describe a moving of liquid in the field of the main resonance. Using Bubnov – Halyorkin method periodic solutions of a nonlinear differential equation system, which describe liquid motion in oscillating cylindrical cavity, are built. Cavity moves onward on the periodic law. Main physical phenomena are described using equations of the first approximation. Analysis of stability of periodic solution received is made. Amplitude-frequency features in the field of the main resonance of liquid fluctuations are built. Form of the free surface and main features of forces interaction of body with liquid are determined. Behavior of node line is explored. Comparisons in quantitative and qualitative attitude of theoretical results with experimental data are made.

Keywords: dynamics of solid with liquid, associated masses of liquid, Bubnov – Halyorkin method, differential equation system, power interaction, stability.

Підписано до друку 20.03.06 р. Формат 60х84/16. Папір офсетний.

Гарнітура Computer Modern. Ум. друк. арк. 1,0 Тираж 110 прим.

Замовлення №

идавництво

Ніжинського державного університету

імені Миколи Гоголя.

м. Ніжин, вул.Кропив’янського,2, к. 217.

Свідоцтво про внесення до Державного реєстру

суб’єкта видавничої справи ДК №2137 від 29.03.05 р.

8(04631) 2-22-37

E-mail: vidavn@ndpu.net