Міністерство освіти і науки України

Тернопільський державний технічний університет імені Івана Пулюя

ПРИСЯЖНЮК Ігор Михайлович

УДК 519.63:532.5

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ НЕЛІНІЙНИХ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНИХ ПРОЦЕСІВ ТИПУ “КОНВЕКЦІЯ-ДИФУЗІЯ-МАСООБМІН“

01.05.02 математичне моделювання та обчислювальні методи

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Тернопіль – 2006

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Рівненському державному гуманітарному університеті

Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник: доктор технічних наук, доцент

Бомба Андрій Ярославович,

Рівненський державний гуманітарний університет,

професор кафедри інформатики та прикладної математики.

Офіційні опоненти: доктор технічних наук, професор

Власюк Анатолій Павлович,

Національний університет водного

господарства та природокористування,

завідувач кафедри прикладної математики, м. Рівне;

кандидат фізико-математичних наук, старший науковий співробітник

Чернуха Ольга Юріївна,

Інститут прикладних проблем механіки і математики

імені Я.С. Підстригача НАН України,

старший науковий співробітник відділу “Математичне моделювання нерівноважених процесів” Центру математичного моделювання, м.Львів.

Провідна установа: Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, відділ математичних систем моделювання проблем екології та енергетики, м.Київ.

Захист відбудеться “ 5 жовтня 2006р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К58.052.01 у Тернопільському державному технічному університеті імені Івана Пулюя за адресою: 46001, м. Тернопіль, вул. Руська, 56.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Тернопільського державного технічного університету імені Івана Пулюя за адресою: 46001, м. Тернопіль, вул. Руська, 56.

Автореферат розіслано “1” вересня 2006р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Шелестовський Б.Г.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. В останні десятиріччя (зокрема, після аварії на ЧАЕС) геологічне середовище практично втратило можливість самостійно стабілізувати свій стан за рахунок власних механізмів і створювати умови для безпечного розвитку природних екосистем. Як наслідок, спостерігається катастрофічне розвинення таких процесів як зарегульованість поверхневого стоку із суттєвим зниженням природної дренованості та стійким підйомом рівня водоносних горизонтів, що сприяло частішому і масштабнішому підтопленню та перезволоженню верхньої зони порід, з наступним зниженням їхньої міцності і появі та поширенню небезпечних зсувних, карстових та подібних процесів, а також руйнуванню природної геохімії та техногенному забрудненню аграрних, міських та інших ландшафтів. Отже, проблема моделювання та дослідження процесів міграції забруднень (масопереносу) в пористих середовищах є нагальною, досить важливою та актуальною.

Сучасні експериментальні та теоретичні дослідження в галузі моделювання процесів масопереносу (конвекція, дифузія, масообмін, тощо) базуються на доробках Н.Н. Веригіна, І.Г. Богуського, А.Н. Патрашева, В.Н. Ніколаєвського, С.Н. Нумерова, Д.Ф. Шульгіна, Б.С. Шержукова, В.І. Лаврика та інших вчених. Зокрема, використавши перехід до координат області комплексного потенціалу у рівнянні конвективної дифузії разом з аналітичними та аналітико-числовими методами, В.І. Лаврик та його учні отримали точні або наближені аналітичні розв’язки типових двовимірних задач масопереносу при плоско-вертикальному і плановому, (квазі-) усталеному процесах фільтрації, що виникають при моделюванні міграції забруднення або засолення ґрунтових вод.

Роботи вчених В.М. Булавацького, Я.Й. Бурака, А.П. Власюка, В.С. Дейнеки, І.І. Ляшка, Я.Г. Савули, І.В. Сергієнка, В.В. Скопецького, Г.А. Шинкаренка, Є.Я. Чаплі, О.Ю. Чернухи присвячено, зокрема, математичному моделюванню волого- і солепереносу, поширенню забруднень у навколишньому середовищі та суміжних процесів геогідродинаміки, розробці різних методів аналітичного та числового, аналітико-числового розв’язування відповідних одно- та двовимірних задач.

Одним із основних засобів дослідження сингулярно збурених процесів (крайових задач з малим параметром при старших похідних) є асимптотичний метод Вішика-Люстерника з використанням спеціально розробленої процедури згладжування внутрішніх та зовнішніх примежових функцій, який дає достатньо точне наближення розв’язку. На даний момент розроблено В.Ф. Бутузовим асимптотичний метод розв’язування типових крайових задач для сингулярно збурених параболічних та еліптичних рівнянь у прямокутних областях з урахуванням різного рівня гладкості початкової та граничних умов, а також їхньої узгодженості у кутових точках. Бомбою А.Я. відповідні алгоритми модифіковано для дослідження конвективної дифузії при фільтрації в чотирикутних криволінійних областях, обмежених двома лініями течії та двома еквіпотенціальними лініями, коли конвективний механізм процесів масопереносу превалює над дифузійним. Проте залишається нерозв’язною проблема кількісного дослідження масопереносу забруднення у випадку концентраційної залежності коефіцієнта дифузії частинок. Випадки, коли область фільтрації є багатозв’язна і обмежена більшою кількістю ліній течії та еквіпотенціальних ліній, також залишаються актуальними при математичному моделюванні фільтраційних процесів. При цьому, побудова розв’язків такого класу задач вимагає розвинення принципово нових методик їхнього розв’язування, у т. ч. на базі спеціальних асимптотичних розвинень.

Біохімічні процеси масопереносу, зокрема процеси очищення стічних вод, можна описати задачами конвективної дифузії за умов масообміну для систем сингулярно збурених рівнянь. Тому важливим є поширення розробленої методики побудови асимптотичних розкладів на такого роду задачі, а також розробка нових числово-асимптотичних методів їх розв’язання.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалася у рамках держбюджетної теми кафедри інформатики та прикладної математики Рівненського державного гуманітарного університету “Математичне моделювання нелінійних збурень еко-енергосистем” (2000–2002 р., номер державної реєстрації № 0100U004897).

Мета і задачі дослідження. Метою дослідження є математичне моделювання нелінійних сингулярно збурених процесів конвективної дифузії в пористих середовищах за умов масообміну та розвинення асимптотичних методів розв’язання відповідних задач для одно- та багатозв’язних областей. Досягнення мети передбачає вирішення таких задач:–

поширити використання відомих математичних моделей процесів конвективної дифузії в однозв’язних областях, обмежених лініями течії та еквіпотенціальними лініями на аналогічні нелінійні випадки, а також на задачі конвективної дифузії в багатозв’язних областях;–

побудувати асимптотичні наближення розв’язків відповідних нелінійних модельних задач у випадках, коли коефіцієнт дифузії має многочленну залежність від концентрації забруднюючої речовини, залежить від концентрації речовини в деякий попередній момент часу (задача із запізненням) і залежить від сукупної концентрації, що пройшла за певний проміжок часу (інтегро-диференціальна задача);–

отримати асимптотичні наближення нових модельних просторових задач конвективної дифузії при плоскій фільтрації;–

розробити підхід до моделювання та дослідження процесів очищення стічних вод, які описуються задачами конвективного переносу, а також задачами конвективної дифузії за умов масообміну для сингулярно збурених рівнянь (систем рівнянь).

Об’єкт дослідження. Нелінійні сингулярно збурені процеси типу „фільтрація-конвекція-дифузія-масообмін”.

Предмет дослідження. Нелінійні сингулярно збурені крайові задачі конвективної дифузії у одно- та багатозв’язних областях – математичні моделі еко-енергосистем за умов взаємовпливу та числово-асимптотичні методи їхнього розв’язання.

Методи дослідження. При розв’язанні поставлених задач використано асимптотичні методи теорії сингулярних збурень, методи теорії функцій комплексної змінної, методи теорії рівнянь математичної фізики та числові методи наближеного їх розв’язку.

Наукова новизна отриманих результатів. Проведені у роботі дослідження дали можливість отримати ряд нових результатів.

1. Вперше одержані конструктивні формули, побудовані обчислювальні алгоритми, створені програмні комплекси для комп’ютерного моделювання нелінійних сингулярно збурених процесів типу „конвекція-дифузія” з урахуванням зворотного впливу шуканої концентрації на коефіцієнт дифузії (запізнення, многочленної та інтегральної залежностей коефіцієнта дифузії від шуканої концентрації); зокрема, отримані підвищеної точності асимптотичні розвинення розв’язків нових задач для диференціальних рівнянь параболічного типу з малим параметром при старших похідних; вперше проведено відповідні комп’ютерні експерименти з метою виявлення реального взаємовпливу характеристик середовища та процесу.

2. Розроблено системний підхід до побудови асимптотичних розкладів розв’язків сингулярно збурених задач для багатозв’язних областей (періодичних задач для відповідних областей комплексного потенціалу), обмежених еквіпотенціальними лініями, до яких уведені нового типу пограншарові поправки вздовж ліній розділу течії, а регулярна частина конструюється в залежності від шуканого значення потенціалу керування. На цій основі вперше проведено комп’ютерне моделювання впливу на процес забруднення середовища басейну-перехоплювача.

3. Вперше на основі побудованих обчислювальних алгоритмів, відповідних програмних комплексів проведено комп’ютерне моделювання просторових процесів конвективної дифузії при фільтрації у плоскому криволінійному пласті з метою виявлення впливу „вертикальної” дифузії.

4. Вперше проведено математичне та комп’ютерне моделювання сингулярно збуреного процесу конвективної дифузії типу „хижак-жертва” (очищувач – забруднювач) за умов малого масообміну, залежного від кількостей та „числа зустрічей” цих речовин та отримано розв’язок задач конвективної гетеродифузії в двозв’язному криволінійному середовищі за умов превалювання масообміну та конвективних складових процесу над дифузійними.

5. Побудовано нову модель процесу очищення стічної води на двошарових каркасно-засипних фільтрах, яка враховує втрату водою концентрації забруднень, зв’язок між кількостями накопичених у фільтрі відкладень та завислих речовин (що вилучаються із забрудненої рідини). На основі запропонованого аналітико-числового методу розв’язання відповідних задач встановлено зв’язок між відносною довжиною фільтра та часом його ефективної роботи з метою інженерного прогнозування залежності між затратами на виробництво фільтра та ступенем ефективності його роботи. Отримано розрахункові залежності часу ефективної роботи фільтру від швидкості фільтрації.

Достовірність отриманих у роботі результатів забезпечується математичною строгістю постановок задач, застосуванням надійних і обґрунтованих числово-асимптотичних методів їхнього розв’язування, використанням основних положень теорії сингулярних збурень стосовно стійкості розв’язків, дослідженням теоретичної та комп’ютерної збіжності відповідних алгоритмів, фізичною несуперечністю отриманих числових результатів та їх узгодженням в окремих випадках з відомими у науковій літературі.

Практичне значення отриманих результатів. Проведені в роботі дослідження дають можливість аналізувати та прогнозувати поширення забруднень при фільтрації в пористих середовищах (земляних пластах) за умов взаємовпливу різних характеристик середовища та процесу, наявності інших збурюючих факторів, з метою запобігання їхнього негативного впливу на окремі ділянки територій. Розроблено теоретичні основи і побудовано методику розрахунку часу ефективної роботи каркасно-засипних фільтрів, що дає можливість уточнити діючі державні стандарти.

Подані в роботі моделі та асимптотичні наближення розв’язків відповідних нелінійних сингулярно збурених крайових задач в одно- та двозв’язних областях застосуються і при побудові моделей аналогічних просторових процесів конвективної дифузії. Отримані результати є основою для подальшого системного дослідження відповідних нелінійних процесів у багатозв’язних областях за умов керування.

Результати, одержані в дисертації, впроваджені фірмою “АКВА-УК” (м. Рівне) на об’єкті “Очисні споруди смт. Ворохта, продуктивністю 100 м3/добу” (Івано-Франківська область) та на об’єкті “Тимчасові очисні споруди готельно-туристичного комплексу “Буковель” продуктивністю від 100 до 700 м3/добу” (Івано-Франківська область).

Більшість результатів, отриманих в роботі, подано у вигляді формул, алгоритмів і графіків, внаслідок чого вони можуть бути включені в різні посібники, довідники і використані в інженерній практиці. Викладені числово-асимптотичні методи розв’язування нелінійних сингулярно збурених крайових задач конвективної дифузії використовуються при читанні спецкурсу “Методи теорії збурень” для студентів РДГУ за спеціальністю “Прикладна математика”.

Апробація результатів дисертації. Основні наукові результати роботи доповідалися і обговорювалися на звітних конференціях викладачів, співробітників, аспірантів і докторантів Рівненського державного гуманітарного університету (2002–2005 р.р.); XIV, XV, XVI наукових сесіях НТШ (відповідно березень 2003р., 2004р., 2005р.); Регіональній науково-практичній конференції студентів та молодих науковців (Рівне, листопад 2005р.); Всеукраїнських наукових конференціях “Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики” (Львів, вересень 2004р., жовтень 2005р.); Конференціях молодих учених із сучасних проблем механіки і математики імені академіка Я.С. Підстригача (Львів, травень 2004р., 2005р.); XIX відкритій науково-технічній конференції молодих науковців і спеціалістів Фізико-механічного інституту ім. Г. В. Карпенка НАН України (Львів, вересень 2005р.); Міжнародних конференціях, присвячених пам’яті акад. М. Кравчука (м. Київ, травень 2002р., 2004р.).

В повному об’ємі робота доповідалася і обговорювалася на семінарах: кафедри інформатики та прикладної математики Рівненського державного гуманітарного університету; кафедри математичних методів в інженерії Тернопільського державного технічного університету імені Івана Пулюя; відділу математичних систем моделювання проблем екології та енергетики Інституту кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України; кафедри прикладної математики Національного університету водного господарства і природокористування.

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковано в 13 наукових працях (11 статей та 2 тез доповідей), з них 6 статей – у фахових виданнях за обраною спеціальністю, 5 статей опубліковано у фахових виданнях суміжних галузей за напрямком досліджень.

Особистий внесок здобувача полягає в безпосередній участі в проведенні теоретичних досліджень, розробці алгоритмів та самостійному проведенні числових експериментів, самостійному узагальненню окремих етапів досліджень, оформленні проміжних результатів роботи у вигляді публікацій і доповідей, дисертаційної роботи в цілому. Всі результати, що складають основний зміст дисертаційної роботи, отримані автором самостійно.

У дослідженнях, результати яких відбиті у публікаціях, написаних у співавторстві з науковим керівником, А.Я.Бомбою був запропонований загальний підхід до моделювання нелінійних сингулярно збурених процесів конвективної дифузії та побудови асимптотичних розвинень розв’язків відповідних задач. У публікаціях, написаних у співавторстві, здобувачеві належить: у роботах [1 – ], [9 – ], [13] – побудова асимптотичних наближень розв’язків відповідних задач, проведення числових розрахунків для модельних задач, комп’ютерне опрацювання, аналіз та систематизація отриманих результатів; [5], [6], [12] – постановка відповідних задач математичної фізики, розв’язання сформульованих задач, реалізація алгоритмів у вигляді пакету комп’ютерних програм, аналіз та систематизація отриманих результатів.

Структура та обсяг дисертації. Робота складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел та додатків. Загальний обсяг дисертаційної роботи (148 сторінок) містить 140 сторінок основної частини, включає 44 рисунки, та 137 джерел бібліографічних найменувань на 14 сторінках, а також чотирьох додатків.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність роботи, сформульовано мету та основні задачі дослідження, визначена її наукова новизна та зв’язок з науковими програмами, планами, темами. Наводяться також основні результати, отримані в роботі, їх практичне значення, особистий внесок здобувача та дані про апробацію результатів.

У першому розділі міститься огляд праць за темою дисертації, зокрема, висвітлено основні етапи розвитку асимптотичних методів, аналіз сучасного стану проблеми моделювання різного роду сингулярно збурених процесів типу „конвекція-дифузія”. Зазначимо, що під сингулярно збуреним процесом ми розуміємо такий процес, в якому хоча б одна із його складових превалює над найбільш розподіленою в просторі або часі компонентою.

Наведено методику дослідження сингулярно збурених крайових задач конвективної дифузії при фільтрації в пористому середовищі на прикладі відповідної задачі для криволінійної чотирикутної області , обмеженої чотирма гладкими кривими

(рис.1. а), які в точках перетинаються під прямими кутами:

(1)

(2)

(3)

де – концентрація розчинної речовини у фільтраційній течії у точці в момент часу , – біжуча точка відповідної кривої, – зовнішня нормаль до відповідної кривої, ( ) – малий параметр (характеризує превалювання одних складових процесу над іншими), – відповідно потенціал та компоненти його швидкості (швидкості фільтрації в пористому середовищі ),

– достатньо гладкі функції, узгоджені між собою на ребрах області .

Припустивши, що задача (3), шляхом конформного відображення (або ) є розв’язаною, здійснюємо заміну змінних , у рівнянні (1), та умовах (2) і приходимо до відповідної “дифузійної задачі” для області , розв’язок якої з точністю шукаємо у вигляді такого асимптотичного ряду:

де – залишковий член ряду, () – члени регулярної частини асимптотики, , () – функції типу пограншару в околі (поправки на виході фільтраційної течії із даного пласта ), – функції типу пограншару відповідно в околах , (відповідно поправки на лініях течії та ),

– відповідні регулятивні перетворення (змінні розтягів).

У цьому ж розділі здійснено загальну постановку задач дослідження.

У другому розділі отримані умови для підвищення точності асимптотичного розвинення розв’язку задачі (1)-(3) (див. теореми 2.1, .2, п. 2.1). Досліджується процес масопереносу забруднюючої речовини при фільтрації в чотирикутній криволінійній області, обмеженій двома лініями течії та двома еквіпотенціальними лініями у випадку концентраційної залежності коефіцієнта дифузії частинок. Для фізико-математичної моделі конвективної дифузії розчинної речовини розглядається наступна сингулярно збурена задача для області , де задана вище (рис.1. а) криволінійна чотирикутна область:

(4)

за таких умов залежності коефіцієнта дифузії від концентрації:

(інтенсивність проникнення розчинних речовин у рідину залежить від шуканої концентрації і описується многочленною залежністю); (забруднення концентрації в даній точці здійснює зворотній вплив на коефіцієнт дифузії через деякий момент часу );

(на величину коефіцієнта дифузії у даній точці у даний момент часу вносять впливи величини концентрацій, що мали місце в усі попередні моменти часу ). Тут , – біжуча точка та нормаль до відповідної кривої, – концентрація розчинної речовини в точці в момент часу – відповідно потенціал та компоненти його швидкості фільтрації в пористому середовищі , – малий параметр,

– достатньо гладкі функції, узгоджені між собою на ребрах (зокрема в кутових точках) області . Крім цього вважаємо, що функція при задовольняє умови, які забезпечують необхідну гладкість розв’язку .

Так, наприклад, у випадку інтегральної залежності розв’язок знайдено з точністю у вигляді такого асимптотичного ряду:

де – залишковий член, – члени регулярної частини асимптотики, –

функції типу пограншару в околі (поправка на виході фільтраційного потоку з даного пласта ), – функції типу пограншару відповідно в околах , (відповідно поправки до розв’язку в околах ліній течії і ),

– відповідні їм регуляризуючі перетворення (розтяг).

Для розрахунку такого процесу на ідеальному фільтраційному фоні, породженому двома особливими точками та (відповідно витік та втік однакових інтенсивностей ), комплексний потенціал якого – , при фіксованих , , покладемо

На рис. 1 а), б) зображено рівномірну сітку області комплексного потенціалу та відповідну динамічну сітку в :

величину швидкості фільтрації у вузлах , та лінії фронту конвективного переносу , при (криві 1-6 відповідно).

а) б)

Розподіл концентрації розчинної речовини при

в моменти часу вздовж лінії течії та вздовж еквіпотенціальної лінії зображено на рис. 2 а), та вздовж ліній течії в момент часу зображено на рис. 2 б), де спостерігається відповідно „зсув” максимуму концентрації з часом вздовж ліній течії, та монотонну залежність (зростання) концентрації від величини .

а) б)

У роботі побудовано асимптотичне наближення розв’язку просторової задачі конвективно дифузійного переносу при плоскій фільтрації для області , де – однозв’язна чотирикутна криволінійна область (пористий пласт), обмежена чотирма гладкими ортогональними між собою в точках перетину кривими

(рис. 3 а):

а) б)

де – концентрація розчинної речовини у точці в момент часу t, – зовнішня нормаль до відповідної поверхні, Т – потужність проникного пласту, – напір в точці – коефіцієнт конвективної дифузії, – пористість середовища, – коефіцієнт фільтрації, – біжуча тачка відповідної поверхні, – малий параметр (він характеризує переваги одних складових процесу над іншими), компоненти масової швидкості, – відповідно потенціал та компоненти його швидкості (швидкості фільтрації в пористому середовищі ),

– достатньо гладкі функції і узгоджені між собою на ребрах (гранях) області .

Розв’язок поставленої задачі після заміни змінних , в області комплексного потенціалу (рис. 3 б) з точністю знайдено у вигляді такого асимптотичного ряду :

де – залишковий член – члени регулярної частини асимптотики, зокрема: – розв’язок відповідної виродженої задачі (конвективного переносу), – поправки, що враховують “вклад” дифузії всюди в даній області (за винятком деякої її приграничної зони), – функції типу пограншару в околі (поправки на виході фільтраційного потоку із області ), –

функції типу пограншару відповідно в околах що враховують вплив бічних джерел забруднень,

– відповідні регуляризуючі перетворення (розтяги).

Третій розділ присвячено дослідженню процесів типу “конвекція-дифузія” у багатозв’язних областях. Поширено використання математичних моделей нелінійних процесів конвективної дифузії в однозв’язних областях, обмежених лініями течії та еквіпотенціальними лініями, на аналогічні нелінійні випадки в двозв’язних областях. Зокрема для області , де – двозв’язна криволінійна область (пористий пласт), обмежена двома замкненими гладкими контурами – внутрішній,  – зовнішній (рис. 4 а), побудовано асимптотичне наближення розв’язку задачі:

(5)

(6)

(7)

а) б)

де – концентрація розчинної речовини в точці в момент часу – біжуча точка та нормаль до відповідної кривої, – малий параметр, – запізнення,

– достатньо гладкі функції, узгоджені між собою на ребрах (зокрема в кутових точках) області . Крім цього вважаємо, що функція при та задовольняє умови, які забезпечують необхідну для проведення подальших викладок гладкість розв’язку

при

.

Припускаємо, що задача (7) розв’язана. Здійснивши заміну змінних

у (5) та (6), приходимо до відповідної “дифузійної задачі” для області (рис.4 б):

Розв’язок цієї задачі із запізненням шукаємо як об’єднання розв’язків задач без запізнення на кожному із часових проміжків :

де

Розв’язок кожної із періодичних щодо змінної задач (3.6) з точністю знайдено у вигляді асимптотичного ряду:

Де – члени регулярної частини асимптотики, зокрема: – розв’язок відповідної виродженої задачі (конвективного переносу); – поправки, які враховують “вплив” дифузії всюди в даній області (за виключенням деякої її приграничної ділянки); – функції типу пограншару в околі (поправки на виході фільтраційного потоку), – змінна розтягу, – залишковий член.

Побудовано асимптотичне наближення розв’язку задач типу “фільтрація - конвекція - дифузія” у тризв’язних та чотиризв’язних областях. Зокрема розв’язана задача типу “фільтрація-конвекція” з умовами усереднення у деякій тризв’язній криволінійній області (рис.  а), обмеженій замкнутими гладкими контурами

:

де , – задані досить гладкі та узгоджені на функції, – потенціал швидкості фільтрації

n – вектор внутрішньої нормалі до , – довжина ділянки . Значення потенціалу на “контурі-поповнювачі“ є таким, що

. Друга із умов (3.15) (умова усереднення) означає, що басейн, обмежений контуром , миттєво розчиняє та перерозподіляє речовину, яка поступає до нього через ділянку , а ,отже, має місце її рівномірний розподіл вздовж . Коефіцієнт характеризує ступінь поглинання басейном забруднень (поповнення при ). Відповідна область комплексного потенціалу зображена на рис. б), де комплексний потенціал течії, функція течії. Щодо шуканих параметрів (відповідно величин перетоків: від до ; від до , від до , де

відомо лише, що

а) б)

Зазначимо, що в даному конкретному випадку граничні умови задаються лише на контурі та невідомій ділянці , межові точки якої визначаються в процесі розв’язання задачі фільтрації за умови . Причому умова на не задається явно, а залежить від надходжень розчинної речовини у відповідний басейн у даний момент часу, тобто вона характеризується як формою області , так і явно заданими початковою на та граничною на

умовами.

На рис.6 зображено розподіли концентрації розчинної речовини при:

вздовж еквіпотенціальних ліній

в моменти часу , відповідно.

Для чотиризв’язної області, обмеженої трьома замкнутими гладкими внутрішніми контурами та зовнішнім контуром (див. рис. 7) розв’язано таку модельну задачу конвективної дифузії:

де , – біжуча точка відповідної ділянки границі даної області ( ),

, , – коефіцієнт конвективної дифузії (малий параметр), – задані значення потенціалу . Розв’язок задачі у випадку (тоді ) за сильної узгодженості початкової та граничних умов (після переходу від змінних до області комплексного потенціалу (рис.7.)) знайдено у вигляді :

де – функція типу пограншару в околі яка служить для врахування дифузійних процесів вздовж границі виходу фільтраційного потоку.

У випадку не достатньої узгодженості функцій

проведемо процедуру згладження відповідних негладкостей вздовж ліній течії

Четвертий розділ присвячено моделюванню сингулярно збурених процесів масопереносу речовин двох сортів за умов їх масообміну та процесів руху одного сорту речовини яка перебуває у двох фізично різних станах (задачі гетеродифузії). Розроблено підхід до моделювання та дослідження процесів очищення стічних вод на каркасно засипних фільтрах, які описуються задачами конвективного переносу.

Для першого із згаданих вище процесів розглянуто модельну задачу конвективної дифузії для області , де () – двозв’язна криволінійна область (пористий пласт), обмежена двома замкненими гладкими контурами – внутрішній та

 – зовнішній:

Тут та – відповідно концентрації двох сортів розчинних речовин фільтраційної течії в точці в момент часу , – біжуча точка відповідної кривої, малий параметр (характеризує переваги одних складових процесу над іншими), – відповідно потенціал та компоненти його швидкості (швидкості фільтрації в пористому середовищі ),

– достатньо гладкі функції, узгоджені між собою на ребрах області . Функції масообміну в залежності від типу масообміну рівні

за умов його залежності від зустрічі забруднюючих речовин двох сортів, та

за умов залежності масообміну від кількості забруднюючих речовин

двох сортів, – задані додатні дійсні числа коефіцієнти інтенсивності масообміну.

Результати розрахунку описаного вище процесу подано на ідеальному плоско паралельному фільтраційному фоні, породженому двома особливими точками та (відповідно витік та втік однакових інтенсивностей ), комплексний потенціал якого –

, при

Регулярні частини , та , розв’язку поставленої задачі за умов залежності масообміну від зустрічей забруднюючих речовин при

зображено на рис. (криві та відповідно в моменти часу вздовж лінії течії ). Вплив масообміну на розподіл концентрації (вздовж лінії течії в момент часу ) зображено на рис. 9 при , (криві 1-4 відповідно).

Також у даному розділі досліджено процес очищення стічних вод на двошаровому каркасно-засипному фільтрі, який змодельований наступною задачею:

де – висота фільтру, – концентрація забруднюючої речовини у воді, що фільтрується, – концентрація забруднень, що залишаються в фільтрі, – функція швидкості масообміну (описує швидкість масообміну у першому (гравійному) та другому (гравійно-піщаному) шарі, – концентрація граничного насичення, , - задані достатньо гладкі, узгоджені між собою в точці функції. Функція встановлює зв’язок між концентраціями та (зокрема залежність між кількостями вилучених із рідини та осілих у фільтрі забруднень).

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ РОБОТИ ТА ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі вирішено актуальну науково-технічну задачу, а саме: побудовано та досліджено нові математичні моделі нелінійних сингулярно збурених процесів типу “конвекція-дифузія-масообмін” в пористих середовищах, розвинуто асимптотичний метод розв’язання відповідних задач для чотирикутних криволінійних областей, обмежених двома лініями течії та двома еквіпотенціальними лініями, а також для багатозв’язних областей, обмежених еквіпотенціальними лініями.

Основні результати роботи полягають у наступному.

1. Отримано асимптотичні розклади розв’язків сингулярно збурених задач, які описують нелінійні процеси конве ктивної дифузії в однозв’язних областях у випадках: (многочленна залежність коефіцієнта дифузії від концентрації); ( - запізнення у часі); (інтегральна залежність коефіцієнта дифузії від концентрації забруднюючої речовини). При цьому встановлено вплив “нелінійності” на процес розподілу концентрації за умов малої дифузії, а також підтверджено факт, що при невеликих проміжках часу та незначній зміні значень початкової та крайових умов сумарний вплив дифузії є незначним і ним можна знехтувати.

2. Розвинуто асимптотичний метод розв’язування сингулярно збурених задач типу “конвекція-дифузія” для дво- та тризв’язних областей, з допомогою якого досліджено процес розподілу концентрації в таких областях, а також взаємовплив коефіцієнта дифузії та характеристик процесу. Зокрема, на основі ідеї “конформного переходу” від даної області з розрізом вздовж однієї із ліній розділу течії до відповідної області комплексного потенціалу, одержано розв’язки класу задач типу “фільтрація-конвекція” у тризв’язній області, обмеженій еквіпотенціальними лініями, у випадку, коли на невідомій ділянці виходу течії з одного із внутрішніх контурів – складових її границі, задається умова усереднення (миттєвого перемішування).

3. Здійснено системний опис основних можливих випадків формування течії у чотиризв’язних областях і на цій основі для симетричного випадку формування течії вперше побудовано асимптотичний розклад розв’язків сингулярно збурених задач конвективної дифузії.

4. На основі побудованих асимптотичних наближень розв’язку просторових задач конвективної дифузії при плоскій фільтрації досліджено процес міграції забруднень у плоскому горизонтальному пористому пласті (плоскому криволінійному паралелепіпеді).

5. Побудована математична модель процесу конвективної дифузії двох речовин (забруднювача та очищувача) у двозв’язному фільтраційному середовищі за умов малого залежного від кількостей та „числа зустрічей” цих речовин масообміну. На основі побудованих асимптотичних розвинень розв’язків відповідних сингулярно збурених задач та проведених числових досліджень встановлено, що навіть при малих коефіцієнтах масообміну його вплив на розподіл концентрації речовини одного сорту може бути суттєвим (залежить як від тривалості процесу так і від величини концентрації речовини другого сорту).

6. Вперше отримано розв’язок задач конвективної гетеродифузії в двозв’язному криволінійному середовищі за умов превалювання масообміну та конвективних складових процесу над дифузійними.

7. Побудовано нову модель процесу очищення стічної води на двошарових каркасно-засипних фільтрах, яка враховує втрату водою концентрації забруднень, зв’язок між кількостями накопичених у фільтрі відкладень та завислих речовин (що вилучаються із забрудненої рідини). Встановлено зв’язок між відносною довжиною фільтра та часом його ефективної роботи з метою інженерного прогнозування залежності між затратами на виробництво фільтра та ступенем ефективності його роботи. Отримано розрахункові залежності часу ефективної роботи фільтру від швидкості фільтрації.

Усі запропоновані методи розв’язування нелінійних сингулярно збурених задач конвективної дифузії у одно- та багатозв’язних областях, обмежених лініями течії та еквіпотенціальними лініями, ілюструються конкретними прикладами. Числові розв’язки задач подані у вигляді формул та зручних для сприймання графіків. Розроблено програмні комплекси для побудови динамічних сіток та знаходження швидкостей у випадку аналітичного представлення комплексного потенціалу відповідного поля, а також для визначення розподілу концентрації в такому полі та її графічної ілюстрації.

Результати роботи можуть бути використані проектно-конструкторськими організаціями, які займаються розробкою систем очищення стічних вод, а також при дослідженні процесів взаємодії - випромінювання з наповненим полівінілхлоридом (ПВХ).

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

Анотація. Присяжнюк І.М. Математичне моделювання нелінійних сингулярно збурених процесів типу “конвекція-дифузія-масообмін“. Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.05.02 математичне моделювання та обчислювальні методи. Тернопільський державний технічний університет імені Івана Пулюя, Тернопіль, 2005.

Дисертацію присвячено математичному моделюванню нелінійних сингулярно збурених процесів конвективної дифузії в пористих середовищах за умов масообміну та розвиненню асимптотичних методів розв’язання відповідних задач для чотирикутних криволінійних областей, обмежених двома лініями течії та двома еквіпотенціальними лініями, а також для багатозв’язних областей, обмежених еквіпотенціальними лініями за умов наявності ліній розділу течії.

Досліджено процес міграції забруднень у плоскому горизонтальному пористому пласті – криволінійному паралелепіпеді. Для цього побудовано асимптотичне наближення розв’язку просторових задач конвективної дифузії при плоскій фільтрації.

Запропоновано нові моделі процесів фільтрації речовин двох сортів за умов їх масообміну, побудовано відповідні асимптотичні наближення. Отримано асимптотичні розклади розв’язку гетеродифузійної задачі, яка описує процес міграції одного сорту речовини, що перебуває у двох фізично різних станах. Розроблено підхід до моделювання та дослідження процесів очищення стічних вод на каркасно-засипних фільтрах, які описано задачами конвективного масопереносу за умов масообміну.

На основі отриманих асимптотичних розкладів та алгоритмів проведено велику кількість числових експериментів, результати яких засвідчують як високу ефективність запропонованих моделей, так і належну точність побудованих асимптотичних наближень.

Ключові слова: математичне моделювання, нелінійні сингулярно збурені задачі, конформні відображення, асимптотичні методи, фільтрація, конвекція, дифузія, масообмін, задачі з післядією, запізнення, крайові задачі.

Аннотация. Присяжнюк И.М. Математическое моделирование нелинейных сингулярно возмущенных процессов типа “конвекция-диффузия-массообмен”. Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата технических наук по специальности 01.05.02 математическое моделирование и вычислительные методы. Тернопольский государственный технический университет имени Ивана Пулюя, Тернополь, 2005.

Диссертация посвящена математическому моделированию нелинейных сингулярно возмущенных процессов конвективной диффузии в пористых средах при условиях массообмена и развитию асимптотических методов решения соответствующих задач для четырехугольных криволинейных областей, ограниченных двумя линиями течения и двумя эквипотенциальными линиями, а также для многосвязных областей, ограниченных эквипотенциальными линиями.

Получены асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных задач, которые описывают нелинейные процессы конвективной диффузии в односвязных областях в случаях: (многочленная зависимость коэффициента диффузии от концентрации), ( - запаздывание во времени), (интегральная зависимость коэффициента диффузии от концентрации загрязняющего вещества). На основании числовых расчетов установлено влияние “не линейности” на процесс распределения концентрации при условиях малой диффузии.

Разработан системный подход к построению асимптотических приближений решений сингулярно возмущенных задач типа “конвекция-диффузия” для многосвязных областей при наличии линий раздела течения, с помощью которого исследован процесс распределения концентрации в таких областях, а также влияние на него коэффициента диффузии. В частности установлено, что при небольших промежутках времени и незначительном изменении своих значений начальным и краевыми условиями влияние диффузии также незначительное и им можно пренебречь.

Предложен подход к решению задач конвективной диффузии в четырехсвязных областях при условиях наличия линий раздела течения, осуществлено эвристическое описание основных возможных случаев формирования течения. На этой основе получено асимптотическое разложение решения задачи для основного (симметричного) случая формирования течения. На основе построенных асимптотических приближений решения пространственных задач конвективной диффузии при плоской фильтрации исследован процесс миграции загрязнения в плоском горизонтальном пористом пласте – криволинейном параллелепипеде.

Смоделирован процесс фильтрации веществ двух сортов при условии их массообмена, который, в частности, дает возможность исследовать процессы очищения загрязненной фильтрующейся жидкости. Впервые получены соответствующие асимптотические приближения таких задач в случаях зависимости массообмена от встречи загрязняющих веществ двух сортов, а также его зависимости от количества загрязняющих веществ двух сортов. На основе проведенных числовых исследований установлено, что даже при маленьких коэффициентах масообмена его влияние на распределение концентрации вещества одного сорта может быть существенной (зависит как от продолжительности процесса так и от величины концентрации вещества второго сорта). Впервые построено асимптотику гетеро- диффузийной задачи, которая описывает процесс фильтрации вещества в пористой среде, которое физически находится в двух разных состояниях и может переходить из одного состояния в другое.

Предложена модель процесса очищения сточной воды на двухслойных каркасно-засыпных фильтрах, которая учитывает потерю водой концентрации загрязнения, связь между количествами накопленных в фильтре отложений, и зависших веществ (что изымаются из загрязненной жидкости). Установлена связь между относительной длиной фильтра и временами ее эффективной работы с целью инженерного прогнозирования зависимости между затратами на производство фильтра и степенью эффективности ее работы. Получены расчетные зависимости времени эффективной работы фильтра от скорости фильтрации.

Результаты работы могут быть использованы проектно конструкторскими организациями, которые занимаются разработкой систем очищения сточных вод, а также при исследовании процессов взаимодействия - излучение с наполненным поливинилхлоридом (ПВХ).

Ключевые слова: математическое моделирование, нелинейные сингулярно возмущенные задачи, конформные отображения, асимптотические методы, фильтрация, конвекция, диффузия, массообмен, задачи с последействием, запаздывание, краевые задачи.

Abstract. Prysjazhnjuk I.M. Mathematical modeling non-linear singular indignant process such as "convection-diffusion-mass exchange".– Manuscript.

Thesis for a degree of candidate of technical sciences by speciality 01.05.02 Mathematical modeling and calculating methods. – Ivan Pul’uj Ternopil State Technical University, Ternopil’, 2005.

The dissertation is devoted to mathematical modeling non-linear singular indignant process of convection diffusion in porous environmentsfor under conditions of a mass exchange and to development asymptotic methods of the decision appropriate problems for four-cornered curvilinear area bounded by two lines of current and two equipotent lines, and also for multivariable areas bounded by equipotent lines.

The process of migration of pollution in a