МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ УКРАЇНИ

“КИЇВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ”

ПАВЛОВ Олександр Володимирович

УДК 515.2

АЛГОРИТМИ САМООРГАНІЗАЦІЇ В

ЗАДАЧАХ ПІДВИЩЕННЯ ІНФОРМАТИВНОСТІ

ГЕОМЕТРИЧНИХ МОДЕЛЕЙ ПРОЦЕСІВ, ЗАДАНИХ

ТОЧКОВИМ КАРКАСОМ

Спеціальність 05.01.01.

Прикладна геометрія, інженерна графіка

А В Т О Р Е Ф Е Р А Т

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Київ - 2006

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Національному технічному університеті України “КПІ”

Науковий керівник: - Заслужений працівник народної освіти України, доктор технічних наук, професор

Ванін Володимир Володимирович,

завідувач кафедри нарисної геометрії, інженерної та комп’ютерної графіки, Національний технічний університет України “КПІ”, м. Київ

Офіційні опоненти: - доктор технічних наук, професор

Ковальов Сергій Миколайович,

завідувач кафедри нарисної геометрії, інженерної та машинної графіки, Київський Національний університет будівництва та архітектури

- кандидат технічних наук,

Лопатюк Світлана Петрівна,

доцент кафедри природничих та технічних дисциплін, Київська Національна академія водного транспорту ім. гетьмана Петра Конашевича - Сагайдачного

Провідна установа: - Національний авіаційний університет, кафедра прикладної геометрії та комп’ютерної графіки, м. Київ

Захист відбудеться 30.11.2006 р. о 12 годині на засіданні спеціальної вченої ради Д 26.056.06 у Київському національному університеті будівництва і архітектури за адресою:

03680, м. Київ, Повітрофлотський проспект., 31, ауд. 466

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Київського національного університету будівництва і архітектури за адресою:

03680, м. Київ, Повітрофлотський проспект., 31, КНУБА.

Автореферат розісланий 28.10. 2006 року

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради В.О. Плоский

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Ефективність рішення економічних, екологічних, соціальних задач суспільства залежить від якості уміння відтворювати моделями відповідні економічні, природні та соціальні процеси. Геометричні моделі значної групи таких процесів задаються точковим каркасом. Одним з перспективних напрямків дослідження та моделювання складних процесів, що задані точковим каркасом, являються методи теорії самоорганізації. Це визначає актуальність проведених в роботі досліджень, запропонованих процедур, алгоритмів та програмного забезпечення.

Мета і завдання досліджень. Метою досліджень є розробка нових алгоритмів встановлення порядку та виду взаємозв’язку у складних системах для відтворювання поведінки складних процесів різної фізичної природи.

Об’єктом дослідження та удосконалення являються методи системного аналізу та синтезу моделей складних процесів.

Предметом дослідження та моделювання являються складні соціальні та економічні процеси, геометричні моделі яких задаються точковим каркасом.

Зв’язок роботи з науковими планами, програмами, темами. Теоретичні дослідження дисертації відповідають науковій направленості і тематиці кафедри нарисної геометрії, інженерної та комп’ютерної графіки НТУУ “КПІ”, держбюджетної теми “Теорія моделювання конструкторсько-технологічних поверхонь складної форми стосовно безплазового виробництва”, державний реєстраційний номер 0 105 U 001438

Методи досліджень. Сукупність методів та засобів відтворення кривих, що відображують об’єкт чи процес, заданий геометричними даними досить велика. Значний обсяг теоретичних та практичних досліджень виконано в межах графоаналітичних методів, в роботах з теорії неперервних та дискретно представлених каркасів, в роботах по геометричному моделюванню об’єктів, процесів та явищ. Значний вклад внесли вітчизняні та закордонні науковці Бадаєв Ю.І., Борисенко В.Д., Ванін В.В., Верещага В.І., Власюк Г.Г., Грибов С.М., Гумен М.С., Іванов Г.С., Ковальов Ю.М., Ковальов С.М., Корчинский В.М., Котов І.І., Лапшин М.Л., Линкин Г.А., Михайленко В.С., Надолинний В.О., Найдиш В.М., Найдиш А.В., Несвідомін В.М., Обухова В.С., Осипов В.А., Павлов А.В., Підгорний О.Л., Підкоритов А.М., Плоский В.О., Пилипака С.Ф., Рижов М.М., Сазонов К.О., Скидан І.А., Стоян Ю.Г., Тевлін О.М., Філіпов П.В., Четверухін М.Ф., Шепель В.П., Юрчук В.П., Якунін В.І. та інш. У випадку завдання процесу точковим каркасом часто доцільно застосування загальних підходів дискретного геометричного моделювання та неперервного моделювання - проекційні, ітераційні, проекційно-ітераційні методи, можливі комбінації зазначених підходів та відомих аналітичних методів. Розвитку ідей поєднання переваг різних математичних підходів для дискретного та неперервного моделювання присвячені роботи шкіл Ваніна В.В., Івахненко О.Г., Найдиша В.М., Павлова А.В. В застосуваннях робіт Бадаева Ю.І., Залевського В.І. Уставщикової А.А. результативно застосовано як статистичні, так і аналітичні методики. Великий внесок у розвиток моделювання складних процесів внесли ідеї теорії самоорганізації, що розвивалися академіком Івахненко О. Г. та науковцями його школи Степашко В.С., Висоцьким В.М., Зайченко Ю.П., Шелудько О.І., Юрачковським Ю.П. Дослідження методів теорії самоорганізації та математичного програмування в роботах Білецької Н.В., дозволило поєднати ці перспективні підходи та розширити границі застосувань і можливості алгоритмів самоорганізації для моделювання геометричних об’єктів. Подальше удосконалення зазначеного напрямку дослідження для моделювання процесів, що відображаються точковим каркасом є завданням цієї роботи. Задачі, що визначені для рішення в роботі, продиктовані природним порядком етапів розгляду проблем моделювання складної системи F процесів , що допускає опис дискретними моделями. Наведемо необхідні етапи розгляду проблеми моделювання складної системи процесів: дослідження причинно-наслідкових зв’язків системи, виділення списку зовнішніх для системи змінних, визначення списків змінних для моделювання виходів системи, моделювання структури складної системи процесів. Таким чином задачами роботи стає розробка та удосконалення засобів рішення завдання етапів досліджень складної системи методами самоорганізіції.

Цілі і задачі досліджень. Ц і л л ю дисертаційної роботи є розвиток алгоритмів самоорганізації дослідження та моделювання складних структур з можливістю врахування і управління при синтезі такими геометричними характеристиками моделей як гладкість, точність, властивості коридору помилки моделювання, присутність викидів. Звідси випливають основні з а д а ч і роботи:

1. Розробка алгоритмів самоорганізації синтезу моделей процесів з підвищеними імітаційними можливостями.

2. Розробка процедур системного аналізу на основі алгоритмів самоорганізації.

3. Розробка алгоритмів самоорганізації моделювання, що враховують критерії гладкості, точності, присутності викидів.

4. Формулювання задачі та розробка алгоритмів самоорганізації, що дозволяють одержати в аналітичному виді та мінімізувати коридор помилки моделювання.

5. Розробка програмного забезпечення алгоритмів моделювання.

6. Проведення синтезу моделей складних процесів в економічних та соціальних областях.

Наукові положення, розроблені особисто дисертантом, та новизна одержаних результатів. Дисертант розробив ряд теоретичних положень, що забезпечили створення нових алгоритмів самоорганізації для удосконалення дослідження та моделювання складних процесів, що задаються точковим каркасом. У роботі вперше:

- розроблено алгоритми самоорганізації моделювання для двох класів об'єктів з урахуванням поведінки моделей між точками заданого каркасу. До названих класів відносяться інерційні процеси та геометричні об'єкти, дані з яких зняті таким чином, що поведінка між вузлами каркасу об'єкту може рахуватися лінійною. Запропонований алгоритм моделювання має засоби контролю та впливу на поведінку моделі у міжвузловому просторі; в якості допоміжного критерію, що включається до критерію селекції, розглянуто точність та гладкість моделі на додаткових точках між вузлами каркасу;

- за допомогою алгоритмів самоорганізації формалізовано процедури системного аналізу складних об’єктів, що представлені взаємопов’язаними процесами: пошук списку екзогенних змінних системи, встановлення вірогідного напрямку зв’язку між змінними системи на основі чого запропоновано алгоритм фільтрації переліку змінних для моделювання виходів системи; запропоновано алгоритм моделювання для системи процесів, де неможливо визначитися з первісною структурою об’єкту типу “вхід-вихід”, чи для випадку, коли вихід системи у явному вигляді не моделюється.

- запропоновано математичну модель та алгоритми самоорганізації синтезу структурованого коридору помилки моделювання з умови його мінімізації та одержання відповідного сімейства моделей. Запропоновано принципи їх використання з метою мінімізації помилки моделювання. Досліджено модифікації основної математичної моделі задачі у різні доцільні варіанти алгоритмів синтезу коридору помилки моделювання

Вірогідність і обгрунтованість результатів. Теоретичні положення роботи одержано за допомогою відповідних конструктивних побудов, у необхідних випадках підтверджених доведеними твердженнями. Для більшості запропонованих алгоритмічних процедур виконана програмна реалізація, що дозволило ілюструвати обгрунтованість одержаних результатів відповідними прорахунками на реальних даних економічних та соціальних процесів. Якість одержаних в роботі моделей підтверджується високими показниками остаточних значень критеріїв синтезу на перевірочних послідовностях даних процесів.

Практичне значення отриманих результатів. Застосування отриманих результатів роботи ґрунтується на нових можливостях запропонованих алгоритмів при моделюванні складних процесів.

Розроблена у роботі версія комбінаторно-селекційного алгоритму з ортогоналізацією узагальнених змінних (алгоритм МАКСО) методу групового врахування аргументів (МГВА) має підвищені імітаційні засоби, дозволяє вирішувати задачі моделювання без огляду на ступінь складності моделі і, таким чином, практично знімає відому проблему “проклятих степенів” при моделюванні. В процесі синтезу забезпечується контроль та вплив на характеристики моделі між відомими вузлами процесу, що дозволяє одержати модель з бажаною поведінкою як у відомих вузлах каркасу, так і між ними. Наведено характерний приклад застосування алгоритму МАКСО на реальних економічних даних для знешкодження викиду моделі в міжвузловому просторі. Результати роботи одержані в розділі 2, дають ефективні інструменти для рішення практичних задач системного аналізу - дослідження та визначення причинно-наслідкових зв’язків змінних та структури складних систем, виділення переліку вхідних змінних об’єкту та фільтрації у список змінних для моделювання виходів системи. В роботі наведено застосування розроблених процедур для одного з економічних процесів в Україні.

Практичне значення алгоритмів, розроблених у розділі 3, полягає у можливості побудови не тільки моделі процесу, що розглядається, але й граничних кривих, що обмежують його варіації. В результаті маємо найбільш вузький коридор помилки моделювання, що його можливо одержати на основі вибраних опорних функцій алгоритму МГВА. Запропоновано алгоритм застосування одержаного сімейства моделей для мінімізації помилки моделювання.

Моделі демографічних та цінових процесів, що їх було розбудовано в розділі 4, мають необхідний рівень показників якості моделювання, а одержані прогнози світових цін нафти Brent та Urals використано при розрахунку та оптимізації витрат планових передислокацій озброєння та військової техніки, що здійснюється в межах виконання відповідних етапів держбюджетної теми “Створення інформаційно-аналітичної системи підтримки оборонного планування”, державний реєстраційний номер 0104U007396. Впровадження результатів роботи виконано в Науково-дослідному інституті автоматизованих комп’ютерних систем “ЕКОТЕХ”.

Апробація результатів дисертації. Основні положення дисертаційної роботи доповідалися та обговорювалися на:

- міжнародній науково-практичній конференції “Сучасні проблеми геометричного моделювання” (м. Харьків, 2001р.)

- десятій міжнародній конференції з геометрії та графіки (м. Київ, 2002 р.)

- восьмій міжнародній науково-практичній конференції “Сучасні проблеми геометричного моделювання” (м. Мелітополь, 2004р.)

- школі-семінарі „Індуктивне моделювання: теорія і застосування” (МННЦІ ТС, м. Київ, 2006 р.)

Публікації. За результатами досліджень опубліковано 8 робіт, з них одноосібно - дві, 6 статей у виданнях, які рекомендовано ВАК України.

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається із вступу, чотирьох розділів, висновку, списку використаних джерел із 104 найменувань та додатків. Робота містить 197 сторінок машинописного тексту та 43 рисунки.

ЗМІСТ РОБОТИ

Вступ містить обгрунтування актуальності теми дисертації, формулювання мети, задач досліджень, наукової новизни та практичної цінності одержаних результатів. Наведено етапи розгляду проблеми моделювання складної системи взаємопов’язаних процесів. Задачами роботи визначено розробку та удосконалення засобів рішення завдань наведених етапів.

У першому розділі роботи обгрунтовано вибір алгоритмів МГВА як перспективного напрямку дослідження та моделювання складних процесів, що задані точковим каркасом. Розглянуто можливості алгоритмів МГВА, що мають найчастіше застосування на практиці, питання класифікації, адаптації та вибору алгоритмів для конкретних задач. Проведений аналіз дозволив виділити спрощений алгоритм моделювання по МГВА з ортогоналізацією узагальнених змінних в якості базового для подальшого удосконалення та модифікації.

Вхідними даними для алгоритму є табличні дані вхідних та вихідного процесів, що можуть бути представлені векторами та відповідних розмірностей. Всього розглядається вибірка з N точок – множина , що поділена на навчальну та перевірочну множини даних; тут , – кількість вхідних процесів.

Нехай маємо наближення попереднього ряду -. При формуванні часткових описів для пошуку наступного наближення в алгоритмі застосовується комбінаторно-селекційний спосіб нарощування складності моделі: із множини змінних формується множина узагальнених змінних, , , або, де - кількість множників останнього доданку є параметром алгоритму. Після центрування та нормування вхідних змінних на кожному -му етапі часткові описи шукаємо у виді:, де - вектор, ортогоналізований до з умов та. Таким чином наближення -ого етапу шукається шляхом проекції вихідного вектору на напрямок ортогоналізованого вектору, що лежить у площині векторів та. Позначивши, остаточно маємо для :

, , ,

Кращу модель на кожному етапі вибираємо згідно значення критерію селекції, що має вид ,

,

Удосконалення наведеного алгоритму було проведено по двом напрямкам. По-перше, з метою підвищення моделюючих властивостей процедур синтезу було розширено клас опорних функцій алгоритму до дробовополіноміальних. Таким чином алгоритмом розглядаються часткові описи, як у класі поліноміальних, так і дробовополіноміальних функцій як додатних так і від’ємних степенів.

По-друге, було звернуто увагу на відому проблему “проклятих степенів”, що описується як осциляція поліноміальної функції між вузлами інтерполяції та апроксимації при зростанні рівня складності моделі. При цьому, принаймі для двох класів об’єктів, заздалегідь відомо, що їх поведінка між вузловими точками монотонна. Це геометричні об’єкти, коли сітка, якою зняті дані, вибрана таким чином, що поведінка його між вузлами може бути прийнята за лінійну, та суттєво інерційні процеси. Рішення було запропоновано шляхом модифікації зовнішнього критерію двома способами:

1) 2)

Тут - коефіцієнти ваги долей критерію селекції, щодо відхилень на навчальних, перевірочних та проміжних точках даних.

Вид критерію відрізняється третім доданком, що відображає два варіанти бажаної поведінки моделі в проміжних областях. В першому випадку ця складова критерію віддає перевагу моделі, що в проміжних точках має найменші відхилення від лінійної, відносно двох крайніх табличних точок для цієї дільниці, поведінки. Це еквівалентно вимозі максимальної точності моделі, що синтезується. В другому випадку ця складова критерію віддає перевагу моделі, що в проміжних точках має найменші відхилення від лінійної, відносно двох крайніх точок моделі для цієї дільниці, поведінки. Такий вид цієї складової критерію еквівалентний вимозі максимальної гладкості для моделей в проміжних областях.

,

, - для вхідних процесів та - для трендів

тут , - табличні точки та відповідні точки моделі, – функціональний вираз моделі, що оцінюється, - кількість проміжних точок між вузлами каркасу.

Приклад застосування запропонованого алгоритму МАКСО у порівнянні з його не модифікованою версією наведемо для випадку інерційного процесу - тенденції зміни індексу ВВП з листопада 1997 - до вересня 1999 року в Україні. На рис. 1 та 2 приведена ламана, що з’єднує вхідні дані процесу (крива 1) та криві моделей, що одержані за допомогою базового алгоритму (крива 2, рис.1) та алгоритму МАКСО (крива 3, рис.2).

Як видно з наведених результатів, застосування у другому випадку модифікованого критерію дозволило витіснити викид між першою та другою точками даних за межі області моделювання.

Якість прогнозуючих моделей, що було одержано модифікованим алгоритмом підтверджена на прикладах моделювання економічних та демографічних процесів в Україні (розділ 2,4)

Рис. 1

Рис. 2

Вид моделі, що знайдено базовим алгоритмом:

Вид моделі, що знайдено удосконаленим алгоритмом:

Розроблений алгоритм МАКСО дозволяє ефективно вирішувати проблему осциляції моделі для об’єктів типу плоских кривих чи процесів, де, - вихідний процес та відомий вектор вхідних процесів, відповідно. При розгляді більш загального випадку багатовимірних об’єктів алгоритм буде вимагати доробки у частині визначення проміжних областей, множини проміжних точок та процедур розрахунку міри близькості від проміжних точок до поверхні бажаної поведінки об’єкту.

У другому розділі розглядаються питання розробки нових доцільних методологій застосування засобів теорії самоорганізації для рішення задач дослідження структур складних об’єктів та їх системного аналізу. Алгоритмічні інструменти, що були тут одержані, поповнюють можливості методологій для вирішення ряду проблем аналізу складних об’єктів, що описуються системою F взаємопов’язаних процесів і допускають опис дискретними моделями. Для даної системи припускається невизначеність відносно її первинної структури, тобто невідомо, які змінні тут є вхідними, а які характеризують стан об’єкту і є вихідними, що їх належить моделювати. Нас цікавить визначеність із первинною структурою об’єкту та порядок взаємодії його складових. Характерними прикладами такого класу проблем та об’єктів являються процеси в економіці. Таким чином далі розглянуто задачі:

1.Визначення порядку причинно-наслідкових зв’язків в системі;

2.Визначення списку екзогенних (зовнішніх) змінних;

3.Фільтрації та скорочення списку змінних для моделювання вихідних змінних системи;

4. Дослідження та моделювання структури складної системи.

Нижче пропонуються алгоритмічні інструменти, що поповнюють можливості методологій для вирішення вказаних вище задач аналізу складних об’єктів.

1. Розглянемо між змінними та пару моделей (розглядаються фіктивні робочі моделі, що будуть використані для рішення тільки даної локальної задачі), що формуються з урахуванням лагу запізнення

Для синтезу цих моделей необхідно використовувати МГВА, так як саме методи самоорганізації дозволяють одночасно визначати і коефіцієнти і форму нелінійного зв’язку між змінними. В силу раніше вказаних причин для синтезу робочих моделей може бути залучено алгоритм МАКСО.

Для деякого, доцільно вибраного рівня складності (моделей оптимального рівня складності), порівнюємо оцінки точності одержаної пари моделей. Більш точна модель вказує в даній парі змінних більш ймовірний з двох напрямок залежності, тобто вказує, як встановити напрямок причинно-наслідкової залежності між ними – чи . Припущення того, що дана властивість є необхідною умовою відповідного напрямку зв’язку є очевидним фактом (що, в тому числі, легко доводиться модельним експериментом), проте застосування тут для порівняння тільки часткових робочих моделей роблять необхідним говорити про ймовірний характер визначеного напрямку зв’язку.

2. Розглянемо для змінної всі n-1 пари моделей вигляду (1). Якщо після закінчення порівняльних процедур маємо всі одержані співвідношення типу (для деяких допускається), тоді змінна є екзогенною для даної системи. Перебравши згідно алгоритму всі, одержимо множину екзогенних для даного об’єкту змінних . Компоненти системи, за виключенням одержаного списку компонент, створюють множину внутрішніх (ендогенних) для системи змінних -. Відповідна множина моделей задає структуру об’єкту.

3. Основою алгоритму фільтрації є результати визначення напрямків причинно-наслідкового зв’язку, що було описано вище. Для вхідного списку змінних для моделювання деякої ендогенної змінної допускаються тільки ті змінні, для яких одержано співвідношення типу. Розроблений в роботі алгоритм, здійснює фільтрацію, як з врахуванням ступені щільності зв’язку між змінними, так і напрямку впливу між ними.

4. З урахуванням результатів по п.2 для одержання структури об’єкту необхідно моделювати всі компоненти за виключенням одержаного списку компонент, що утворює множину.

В роботі було розглянуто застосування запропонованого алгоритму попередньої фільтрації та моделювання на прикладі багатофакторного процесу зміни індексу споживчих цін в Україні. Точність одержаної моделі практично не відрізняється від характеристик моделі, одержаної по всім аргументам. Одержаний результат дає непряме підтвердження доцільності запропонованих процедур аналізу зв’язків складної системи.

Для визначення можливості застосування різних форм модульних внутрішніх та зовнішніх критеріїв у дослідженні структури складних об’єктів у розділі 2.2 запропоновано комбінаторно-селекційний алгоритм МГВА, заснований на використанні критерію мінімізації суми модулів лінійних відхилень та відповідної задачі лінійного програмування (ЛПЗ).

Ефективність запропонованого алгоритму досліджувалась у порівнянні з алгоритмом МАКСО, на основі чого було зроблено висновок про доцільність застосування такого алгоритму тільки для випадків моделювання об’єкту у неявному вигляді та в умовах невизначеності „вхід-вихід” системи. Відповідна ЛПЗ має вид:

де її рішення дає рівняння об’єкту у неявному вигляді

В третьому розділі роботи було розроблено нові алгоритмічні засоби теорії самоорганізації для застосування їх у синтезі нечітких моделей та моделей коридору помилки моделювання. Нечітке моделювання переносить невизначеність відносин між моделлю та об’єктом на структуру коефіцієнтів системи. Залучення даного підходу до розширення різновидів алгоритмів МГВА викликано тим, що у ряді задач аналізу і застосувань теорії моделювання становить інтерес одержувати не тільки вираз для моделі процесу (назвемо її ЦМ - центральною моделлю), але і для крайніх кривих (та , рис. 3), що найкраще в значенні деякого критерію , минають “вище” і “нижче“ відомих значень процесу та відповідної ЦМ. Дані криві утворюють коридор, у який потрапляє модель, табличні точки, а тому і помилка моделювання. Чим вище якість синтезованої центральної моделі і чим більш гнучкі моделі крайніх кривих вдалося побудувати, тим більш вузький коридор помилки буде отриманий. Крім того, на окремих ділянках процесу в якості його чіткої моделі доцільно використовувати не центральну, а інші із сім’ї одержаних у коридорі моделей, що зменшить сукупну помилку моделювання у порівнянні з використанням тільки центральної моделі.

Для синтезу нечітких моделей було розроблено багатоетапний комбінаторно-селекційний алгоритм, де для одержання оцінок коефіцієнтів часткового опису на n–тому етапі (3) застосовується ЛПЗ (4):

Тут - нечітки симетричні числа визначаються як набір з трикутною функцією належності: , ; ; - спадаюча на [0, х) функція, r, c-мають значення, відповідно, центру та відхилень, – узагальнена змінна, що формується та вводиться в модель на n-му етапі аналогічним МАКСО чином. За рахунок втрати точності рішення у загальному випадку можливо розглядати моделі не виду (3), а виду. Проте, як правило, до 7-8 етапу селекції такої необхідності немає, і тому застосовуємо опис у виді (3). Критерій селекції тут комбінований та складається з трьох частин:, тут та характеризують ширину коридору помилки моделювання на навчальних та перевірочних точках, відповідно, - характеризує відхилення від бажаної поведінки центральної моделі у проміжних областях, - відповідні коефіцієнти. В якості приймемо значення критерію ЛПЗ (4), а. Позначимо (рис.3), і, з огляду на те, що завжди маємо формуємо. В програмній розробці реалізована версія алгоритму на основі ЛПЗ (4). За результатами моделювання обраховуються критерії на всій послідовності даних:

Рис. 3

- помилка моделювання ЦМ, показник ширини коридору помилки, їх різниця, та показник, що демонструє відносну ефективність моделювання коридору помилки. Можливості пропонованого підходу наводяться нижче на прикладі моделювання індексу споживчих цін в Україні в 1997-1999 роках по середнім місячним даним 21-єї змінної у 44 точках. Нижче наведено результати синтезу нечіткої моделі прогнозу індексу на три місяці. В дужках стоять лаги запізнень відповідних змінних.

Y(+3)=(99.6883, 0)+(824221115.8, 82637006.20)/XІ21(4)*X14(0)/ /X21(5)+(-530492.89, 0)/X22(3)*X14(1)/X07(4)/X08(2)+(2398760.35, 0)/ /X14(2)*X14(0)/X20(5)/X21(1)+ (-775504.2, 63036.6)/X22(4)*X20(3)/ /X20(5)/X02(3)+(82654.58154, 0)/X20(5)/ X14(0)*X21(3)/X08(3)+ +(4557496.35, 400296.35)*X14(5)/X14(3)/X20(0)/X20(3)+(-1.55112972, 0)*X02(4)/X02(3)/X19(1)*Х18(5)

Значення критеріїв для ЦМ:

- нормована середньоквадратична помилка

- відносна приведена помилка екзамену

-

Значення критеріїв для коридору помилки:,

Рис. 4

Таким чином, у даному випадку для досить задовільної ЦМ вдалося одержати вузький (мале значення =0.07) коридор помилки моделювання та пучок допустимих на рішень. Рішення з пучка можуть бути одержані з найдених оцінок нечітких коефіцієнтів та застосовані, при необхідності, в задачах інтерполяції на окремих ділянках.

Очевидно, що визначення нечітких моделей диктує необхідність зв’язаного характеру кривих ЦМ та коридору. Саме це є умовою породження пучка рішень. Проте, якщо відмовитись від одержання рішення задачі у виді запису нечітких моделей (3), але зберегти доцільність підходу з точки зору мінімізації коридору помилки ЦМ та одержання сімейства моделей у цьому коридорі, то можливо запропонувати узагальнення алгоритму на базі ЛП задачі (4) наступним чином. В роботі показано, що при довільному виді функції при наявності допустимих рішень відповідної ЛП задачі на точках множини завжди маємо відхилення. Проте за межами множини точок коридору може не існувати. Єдиною умовою існування коридору в заданій області є виконання

(5)

Таким чином одержуємо необхідне обмеження на вид функції граничної форми і, при виконанні вказаної умови, можемо запропонувати узагальнення алгоритму для випадку введення різних базисів для центральної моделі та граничної форми . Нижче пропонується ЛПЗ (6), з формою критерію, який за допомогою варіації коефіцієнтів і дозволяє впливати на відносну швидкість збіжності моделей та і, відповідно, одержувати різні варіанти центральних і граничних моделей. Значення введених змінних та очевидно з рис 3.

Як приклад, наведемо вид , що задовольняє умові (5)

,

На ділянках більш швидкої збіжності граничних кривих до табличних точок відносно збіжності центральної моделі, можна використовувати узагальнену модель об'єкта:

в околі точки j, при

в околі точки j, при

Однак, через невідомість знаку відхилення на прогнозних точках такий варіант використання результатів моделювання не підходить у випадку синтезу прогнозуючих моделей і перевагу в цьому випадку бажано віддавати (за рахунок впливу через коефіцієнти і ) більш швидкій збіжності центральної моделі.

У четвертому розділі роботи наведено результати розрахунків прогнозів, вибраних для апробації розроблених алгоритмів моделювання демографічних показників та деяких цінових показників у паливній сфері, зміни яких суттєво впливають на загальну економічну ситуацію в країні.

Дані процесів народжуваності (ПН) та смертності (ПС) наведені у відповідних кількостях на 1000 населення по осі ординат та роки від 1959 до 1999 по осі абсцис (рис.5 та 6). Модель прогнозу на інтервал L (в роках) шукали у виді , де F(t) – часовий тренд, f – деяка скалярна функція векторного аргументу, – частина моделі, що враховує автокореляційний ефект процесу y(t) на залишку. Таким чином задачу моделювання вирішуємо у два етапи:

1. Одержуємо часовий тренд F(t);

2. На залишку (різниці Y(t)-F(t)) шукаємо ту чаcтину моделі прогнозу, що враховує ефект автокореляції. Синтез проводився алгоритмом МАКСО, запропонованим у розділі 1.

В роботі одержано окремі моделі для прогнозу ПН та ПС на один (2000), два (2000, 2001) та три (2000, 2001, 2002) роки. В авторефераті наведемо результати для моделей прогнозу ПН та ПС з дворічним кроком, що дали достатньо вдалі прогнози по обох процесах. Одержано рівняння трендів ПН та ПС :

Нижче наведено моделі ПН та ПС однократного прогнозу на два роки за один крок, що враховує автокореляційний ефект на залишку:

Одержимо остаточні моделі прогнозу як суму знайдених складових (рис.5 і 6):

Рис. 5

7.63 ч./т.н. , 7.12 ч./т.н., = 1.87%, = 0.0306

Рис. 6

14.93 ч./т.н., 15.24 ч./т.н., =2.13%, = 0.0297

Відповідні показники прогнозних моделей з трьохрічним кроком:

= 2.5% , = 0.036, = 2.81% , = 0.0508

З погляду на показники моделей на робочих точках та на екзамені одержана точність моделей прогнозів може рахуватися прийнятною.

За описаною вище схемою проводилося моделювання світових цін на індикативні марки нафти Brent та Urals, що являються головними маркерами при визначенні поточних цін на нафту. Для цілей моделювання використано дані світових цін на нафту Brent та Urals (ЦНВ та ЦНU) за 1999 - 2004 та частково 2005 роки. В роботі провадився синтез окремих моделей поквартального однократного прогнозу на один, два, три та чотири квартали для 4-ого кварталу 2005 р., 1-го, 2-го та 3-го кварталів 2006 року. В авторефераті наведемо відповідні результати для однократних моделей на чотири квартали. Одержано рівняння трендів ЦНВ та ЦНU:

Моделі однократного прогнозу ЦНB та ЦНU на чотири квартали за один крок, що враховують автокореляційний ефект на залишку:

Одержимо остаточну модель прогнозу ЦНB та ЦНU у виді суми знайдених складових (рис.7, 8).

Рис. 7

Результати прогнозу:

60,36 $, 65,49 $, 72,85 $, 76,12 $;

= 0.06399

Рис. 8

Результати прогнозу:

57,17 $, 60,04 $, 70,26 $, 73,63 $; = 0.08551

ВИСНОВКИ

У дисертації запропоновано ряд теоретичних побудов для удосконалення існуючих та розробки нових алгоритмів самоорганізації з метою підвищення інформативності моделей, заданих точковим каркасом.

Значення для науки роботи полягає в подальшому удосконаленні методів моделювання та системного аналізу складних систем на основі методів теорії самоорганізації.

Значення для практики проведених досліджень полягає у розробці нових алгоритмів моделювання з необхідними властивостями щодо врахування поведінки моделей між заданими точками каркасу та величини коридору помилки моделювання, алгоритмічних процедур вирішення ряду задач системного аналізу складних об’єктів та процесів.

При цьому отримано наступні результати, що мають науково-практичну цінність:

1. Проведено аналіз методів моделювання складних об’єктів та обгрунтовано вибір алгоритмів самоорганізації МГВА, як таких що відповідають необхідним вимогам при моделюванні процесів, що задаються точковим каркасом.

2. Розроблено версію комбінаторно-селекційного алгоритму МГВА МАКСО з метою розширення імітаційних можливостей при моделюванні та введення засобів контролю та впливу на поведінку моделі між вузлами інтерполяції. Допоміжні критерії враховують вимоги точності та гладкості моделі. Наведено приклад застосування, що демонструє ефективність запропонованого алгоритму.

3. Розроблено процедури дослідження структури складних систем, що представлені взаємопов’язаними процесами – визначення ймовірного напрямку зв’язку між змінними об’єкту, визначення списку екзогенних змінних об’єкту, запропоновано процедури попередньої фільтрації для визначення скороченого переліку змінних для моделювання складного об’єкту, формалізовано задачу та запропоновано алгоритм для умов моделювання виходу об’єкту у неявному виді.

4. Проведено дослідження особливостей підходу нечіткого моделювання, проаналізовано співвідношення чіткого та нечіткого синтезу моделей. Розглянуто основні принципи моделювання коридору похибки з одержанням відповідного сімейства моделей, та запропоновано принципи їх використання з метою мінімізації помилки моделювання .

5. Розроблено багатоетапний комбінаторно-селекційний алгоритм МГВА для синтезу нечітких моделей процесів, заданих точковим каркасом.

6. Запропоновано математичну модель та алгоритми самоорганізації синтезу структурованого коридору помилки моделювання з умови його мінімізації.

7. Розроблено програмну реалізацію версій комбінаторно-селекційного алгоритму МГВА для чіткого та нечіткого моделювання.

8. Розроблене програмне забезпечення застосовано для прогнозу демографічних та окремих цінових показників в Україні. Результати роботи по прогнозуванню світових цін на нафту Brent та Urals впроваджено в Науково-дослідному інституті автоматизованих комп’ютерних систем “ЕКОТЕХ” при виконанні робіт по плануванню витрат передислокації озброєння та військової техніки, що здійснюється в межах виконання відповідних етапів держбюджетної теми “Створення інформаційно-аналітичної системи підтримки оборонного планування”, державний реєстраційний номер 0104U007396.

Публікації за темою дисертації

1. Ванін В.В., Павлов О.В., Алгоритм синтезу коридору помилки моделювання по МГВА на основі узагальненої опорної ЛП задачі.// Прикладна геометрія та інженерна графіка. Вип 72.,К.: КНУБА,2003. - C.2-17.

2. Ванін В.В., Павлов О.В., Застосування підходів нечіткого регресійного моделювання для синтезу коридору похибки моделі процесу. // Прикладна геометрія та інженерна графіка. Вип 73.,К.: КНУБА, 2003. - C.13-20.

3. Ванін В.В., Павлов О.В. Про розширення можливостей алгоритмів самоорганізації в задачах синтезу прогнозуючих моделей // Збірка праць міжнародної науково-практичної конференції, присвяченої 10-річчю незалежності України “Сучані проблеми геометичного моделювання”, ХДАТОХ, Харьків, 2001. - С.12-15.

4. Ванін В.В., Павлов О.В. Розробка елементів проекту Data mining для прогнозуючих компонент. // Прикладна геометрія та інженерна графіка. Вип.69, К.: КНУБА, 2001. - С.21-26

5. Ванін В.В., Павлов О.В. Розробка та застосування алгоритмів самоорганізації для моделювання складних процесів та об’єктів, що відображаються точковим каркасом // Праці Таврійської державної агротехнічної академії. Вип.4, Том 24, Мелітополь, 2004. Вип.4, Том 24. - С.51-56

6. Павлов О.В Алгоритми самоорганізації в задачах системного аналізу складних об’єктів // Прикладна геометрія та інженерна графіка. Вип.71, К.: КНУБА, 2002. - С.167-171

7. Павлов О.В. Багатоетапний комбінаторно-селекційний алгоритм МГВА для синтезу нечітких регресійних моделей. // Прикладна геометрія та інженерна графіка. Вип. 75.,К.: КНУБА, 2005. - С.188-192

8. Vanin V., Pavlov A. Self-organizing algorithms in the aproximating’s tasks of dot frame // The ten-th international conference on geometry and grafics.- vol. 1, Ukrain. Kiev, 2002, july 28- august 2. - pp. 254-257

АНОТАЦІЇ

Павлов О.В. Алгоритми самоорганізації в задачах підвищення інформативності геометричних моделей процесів, заданих точковим каркасом. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 05.01.01. Прикладна геометрія, інженерна графіка. - Київський національний університет будівництва і архітектури. Київ. 2006.

В дисертаційній роботі здійснено розробку алгоритмів самоорганізації дослідження та моделювання процесів, що задані точковим каркасом, з можливістю врахування і управління при синтезі такими геометричними характеристиками моделей, як гладкість, точність, властивості коридору помилки моделювання, присутність викидів. Запропоновано ряд алгоритмічних інструментів для застосування засобів теорії самоорганізації в задачах дослідження структури системи F взаємопов’язаних процесів що допускають опис в рамках дискретних моделей, та її системного аналізу: 1.Визначення порядку причинно-наслідкових зв’язків в системі; 2.Визначення списку екзогенних змінних; 3.Фільтрація та скорочення списку змінних для моделювання вихідних змінних системи; 4. Дослідження та моделювання структури складної системи. Одержано нові алгоритмічні засоби теорії самоорганізації для застосування їх у синтезі нечітких моделей та моделей коридору помилки моделювання. Розроблено програмне забезпечення запропонованих алгоритмів МГВА чіткого та нечіткого моделювання, та процедур системного аналізу. Застосування розроблених алгоритмів проведено у НДІАКС „ЕКОТЕХ” для прогнозу світових цін на деякі індикативні види паливної сировини.

Ключові слова: самоорганізація, МГВА, точковий каркас, викиди, моделювання, системний аналіз, нечіткий опис, коридор помилки.

Павлов А.В. Алгоритмы самоорганизации в задачах повышения информативности геометрических моделей процессов, заданных точечным каркасом. – Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата технических наук по специальности 05.01.01. Прикладная геометрия, инженерная графика. - Киевский национальный университет строительства и архитектуры. Киев. 2006.

В диссертационной работе проведена разработка алгоритмов самоорганизации исследования и моделирования процессов, заданных точечным каркасом, с возможностью учета и управления при синтезе такими геометрическими характеристиками моделей, как гладкость, точность, свойства коридора ошибки моделирования, присутствие выбросов. Предложен ряд алгоритмических инструментов для применения средств теории самоорганизации в задачах исследования структуры системы F взаимосвязанных процессов , которые допускают описание в рамках дискретных моделей, и её системного анализа: 1.Определение порядка причинно-следственных связей в системе; 2. Определение списка экзогенных переменных; 3.Фильтрация и сокращение списка переменных для моделирования переменных состояния системы; 4. Исследование и моделирование структуры сложной системы. Получены новые алгоритмические средства теории самоорганизации для применения их при синтезе нечетких моделей и моделей коридора ошибки моделирования. Разработано программное обеспечение предложенных алгоритмов МГУА четкого и нечеткого моделирования и процедур системного анализа. Применение разработанных алгоритмов моделирования проведено в НДИАКС „ЕКОТЕХ” для прогноза мировых цен на некоторые индикативные виды топливного сырья.

Ключевые слова: самоорганизация, МГУА, точечный каркас, выбросы, моделирование, системный анализ, нечеткое описание, коридор ошибки.

Pavlov A.V. Self-organizing algorithms in the tasks of information value increase of geometrical models of the processes given by point frame. – Manuscript.

Тhe dissertation on scientific degree competition of candidate of engineering sciences on speciality 05.01.01. Applied geometry, engineering graphics. – The Kyiv National University of Building and Architecture. – Kiev, 2006.

In the dissertation the development of self-organizing algorithms of process research and modelling given by point frame is conducted, with possibility of accounting and management during synthesis by such geometrical descriptions of models as smoothness, precision, properties of modelling error corridor, presence of spikes. A number of algorithmic instruments for application of self-organization theory facilities for the tasks of system structure research of the F associate processes which permit the description in the form of discrete models and its systems analysis is offered: 1. Determination of cause-effect relation in the system; 2. Determination of the exogenous variables list; 3. Filtration and reduction of variables list for state variables modelling of the system; 4. Research and modelling of complex system structure. New algorithmic facilities of self-organization theory for application at the synthesis of fuzzy models and modelling error corridor models are obtained. Offered algorithms software of the GMDH crisp and fuzzy modelling and systems analysis procedures is developed. Application of the developed modelling algorithms is conducted in RICAS „EKOTEH” for the prognosis of world prices on some indicative raw fuel material types.

Keywords: self-organization, GMDH, point frame, spike, modelling, systems analysis, fuzzy description, error corridor.