НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МАШИНОБУДУВАННЯ

ім. А. М. ПІДГОРНОГО

ПОВАЛЯЄВ СЕРГІЙ ІВАНОВИЧ

УДК 539.3

ОБЕРНЕНІ ЗАДАЧІ ІМПУЛЬСНОГО ДЕФОРМУВАННЯ

СТЕРЖНІВ, КОНІЧНИХ ТА ЦИЛІНДРИЧНИХ ОБОЛОНОК

01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Харків - 2006

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі деталей машин і теорії машин і механізмів Харківського національного автомобільно-дорожнього університету МОН України.

Науковий керівник: доктор технічних наук, професор

Янютін Євген Григорович,

Національний технічний університет “ХПІ”,

професор кафедри вищої математики.

Офіційні опоненти: доктор технічних наук, професор

Шупіков Олександр Миколайович,

Інститут проблем машинобудування

ім. А. М. Підгорного НАН України,

головний науковий співробітник.

кандидат технічних наук, доцент

Пугачов Олександр Федорович,

Харківський державний технічний

університет будівництва і архітектури,

доцент кафедри залізобетонних

і кам’яних конструкцій

Провідна установа: Інститут механіки ім. С. П. Тимошенка

НАН України, відділ теорії коливань, м. Київ

Захист відбудеться “ 12 ” _жовтня 2006 р. о 1400 на засіданні спе-ціалізованої вченої ради Д .180.01 в Інституті проблем машинобудування ім. А. М. Підгорного НАН України за адресою: 61046, м. Харків, вул. Дм. Пожарського, 2/10.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту проблем машинобудування ім. А. М. Підгорного НАН України за адресою: 61046, м. Харків, вул. Дм. Пожарського, 2/10.

Автореферат розісланий “ 9 ” _вересня 2006 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Д 64.180.01

доктор технічних наук Стрєльнікова О.О.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Елементи конструкцій у вигляді стержнів, конічних та циліндричних оболонок широко використовуються в техніці. Часто їх експлуатація здій-снюється в умовах дії нестаціонарних навантажень. На цей час існує багато опублікованих робіт з динамічного розрахунку різних елементів конструкцій за умови відомих зовнішніх навантажень. Такі задачі прийнято класифіку-вати як прямі задачі математичної фізики.

Менше приділялося уваги розвязанню обернених нестаціонарних за-дач, що часто є некоректними. Така ситуація обумовлена тим, що раніше розвязання некоректних задач було практично неможливе. Поява нових спе-ціалізованих математичних методів створила можливість побудування теорії обернених некоректних задач в механіці деформівного твердого тіла (МДТТ).

Актуальність роботи. Серед декількох видів обернених задач слід відмі-тити задачі, що пов’язані з ідентифікацією нестаціонарних зовнішніх наван-тажень на основі відомих параметрів напружено-деформованого стану (НДС) елементів конструкцій, та задачі керування їх коливаннями.

Створення та удосконалення елементів конструкцій сучасних машин і розвиток прогресивних технологічних процесів викликає необхідність вико-ристання сучасних методів, що найбільш повно і точно відповідають діючим нестаціонарним на-ван-таженням. Однак, на практиці не завжди відомі зміни в часі значень цих навантажень. Тому розв’язання задач ідентифікації неста-ціонарних зовнішніх навантажень, що діють на стержні та оболонки, є акту-альним напрямом механіки деформів-ного твердого тіла.

Розв’язання задач керування може бути застосовано як для демпфіру-вання, так і для забезпечення заданих параметрів НДС елементів конструк-цій, що може бути використано в різних практичних галузях МДТТ.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисерта-ційну роботу виконано на кафедрі деталей машин і ТММ Харківського наці-онального автомобільно-дорожнього університету у відповідності до планів:

- підготовки аспірантів Харківського національного автомобільно-дорож-нього університету (ХНАДУ);

- бюджетної теми “Теоретичне обґрунтування методів розв'язання задач (прямих, обернених і керування) для пружно-деформівних тіл під дією імпульсних навантажень” (ДР №0102U001764) за період 2002-2003 р.;

- бюджетної теми “Створення методів математичного моделювання з керу-вання нестаціонарними деформаційними процесами” (ДР №0104U002046) за період 2004-2006 р.

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є розробка аналітико-чисельних і чисельних методів ідентифікації нестаціонарних на-вантажень, що діють на стержні змінного перерізу, складені стержні, конічні та циліндричні оболонки; розв’язання задач керування; створення методів ідентифікації двох і більше навантажень; а також розробка методів віднов-лення довільних відносно осьової координати та за часом змін нестаціонар-них навантажень.

Задачі дослідження, що обумовлені темою дисертаційної роботи:

· створення математичних моделей для опису процесів динамічного де-формування елементів конструкцій, що розглядаються;

· розв’язання прямих задач по визначенню НДС елементів конструкцій, що є основою для розв’язання обернених задач і задач керування;

· розробка стійких обчислювальних алгоритмів ідентифікації невідомих нестаціонарних навантажень, що діють на стержні і оболонки;

· встановлення чисельних значень невідомих навантажень та їх характер-них особливостей;

· розв’язання задач керування НДС стержнів і оболонок.

Об’єкт дослідження – нестаціонарне деформування елементів конс-трукцій у вигляді стержнів, конічних та циліндричних оболонок.

Предмет дослідження – обернені задачі по ідентифікації нестаціонар-них навантажень, що діють на стержні та оболонки, а також задачі керування коливаннями цих елементів конструкцій.

Методи дослідження – перетворення Лапласа для розв’язання дифе-ренційних рівнянь; методи розв’язання інтегральних рівнянь Вольтерра 1-го та 2-го роду; ряди Фур’є для розв’язання прямих та обернених задач; метод скінченних різниць (МСР) і методи регуляризації А. М. Тихонова та А. С. Апарцина для розв’язання обернених задач.

Наукова новизна отриманих результатів:

- удосконалено методики ідентифікації нестаціонарних навантажень для стержнів та оболонок. Завдяки цьому були розглянуті задачі ідентифікації для стержнів змінного перерізу, складених стержнів та циліндричних обо-лонок з несиметричним закріпленням;

- вперше на базі методу регуляризації А. М. Тихонова та узагальненого методу Крамера розроблено методику ідентифікації двох нестаціонарних поперечних зосереджених сил, що діють на циліндричну оболонку;

- вперше за допомогою МСР одержані розв’язки задач ідентифікації не-стаціонар-них навантажень для стержнів змінного перерізу, циліндричних та конічних оболонок;

- розроблено методику ідентифікації довільного відносно осьової коорди-нати та за часом нестаціонарного навантаження, що діє на циліндричну оболонку;

- набула подальшого розвитку теорія розв’язання задач керування, метою яких є забезпечення реалізації наперед заданих параметрів НДС в деяких точках еле-мен-тів конструкцій (переміщення або деформації).

Практичне значення одержаних результатів. Одержані методи іден-тифікації мо-жуть бути використані для отримання інформації про точні зна-чення імпульсних навантажень, що діють на елементи конструкцій у вигляді стержнів, конічних та циліндричних оболонок в різних технологічних проце-сах. Це важливо, наприклад, в таких технологічних процесах: ліквідація при-хоплювань бурильних колон, вибухова, об’ємна гаряча і холодна штамповка металів, холодна різка металів зсувом, клепка, розчеканка, пробивка отворів у виробах, пресування порошків та ін. Використання методів ідентифікації до-зволило розробити методики розрахунку елементів робочого обладнання, що базуються на сучасних досягненнях механіки.

Результати розв’язання задач керування можуть бути використані при демпфіруванні коливань, а також для забезпечення заданої зміни у часі пара-метра НДС конструкції при застосуванні схем активного керування.

Окремі результати дисертаційної роботи були використані в Інституті машин і систем НАН України і Міністерства промислової політики України, про що свідчить відповідний акт у додатку А дисертації.

Особистий внесок здобувача. Основні наукові результати, що наведені в дисертаційній роботі й висвітлені в авторських публікаціях [1-10], отримані здо-бувачем самостійно. Внесок автора у роботи, що написані з співавторами, такий: у роботах [1, 3] здобувачем розроблені методи ідентифікації нестаціонарних на-вантажень, що діють на стержні змінного перерізу та складені стержні відпо-відно, а також методи керування їх нестаціонарними коливаннями; в роботах [2, 7] розв’язані прямі задачі для стержнів змінного перерізу і складених стержнів відповідно, на базі яких будується розв’язання обернених задач; у роботі [4] роз-роблені методи ідентифікації однієї або двох нестаціонарних сил, що діють на циліндричну оболонку, та метод керування її нестаціонарними коливаннями; у роботах [5, 10] здобувачем одержані результати з керування НДС циліндричної оболонки з несиметричним закріпленням; у роботах [6, 9] здобувачем виконана частина досліджень, що стосується розробки чисельного методу розв’язання оберненої задачі для стержня змінного перерізу з використанням МСР; у роботі [8] одержані результати ідентифікації нестаціонарних навантажень, що діють на циліндри-чну оболонку з несиметричним закріпленням.

Апробація результатів дисертації. Основні результати, що отримані в дисер-таційній роботі, доповідалися і обговорювалися на наукових семінарах кафедри деталей машин і ТММ Харківського національного автомобільно-дорожнього універ-ситету (2004-2006 рр.) та на конференціях і симпозіумах: Міжнаро-дній науково-технічній конференції "Автомобільний транспорт в XXI віці", Харків, 2003 р., ХНАДУ; I-й міжвузівській науково-практичній конференції “Можливості використання методів механіки для розв’язання питань безпеки в умовах надзвичайних ситуацій”, Харків, 2003 р., Академія пожежної безпеки України; IV-й Міжнародній науково-технічній конферен-ції “Проблеми механіки гірничо-металургійного комплексу”, Дніпропет-ровськ, 2004 р., Національний гірничий університет; VII-му Міжнародному симпозіуму українських інженерів-механіків, Львів, 2005 р.; Міжнародній конференції “Dynamical system modeling and stability investigation”, 2005 р., Київ, Київський національний університет ім. Т. Г. Шевченка; ХІІ-му Міжна-родному симпозіуму “Методи дискретних особливостей в задачах матема-тичної фізики”, Херсон, сел. Лазурне, 2005р.; XІ-й науково-практичній кон-фе-ренції "Інформаційні технології: наука, техніка, технологія, освіта, здо-ров'я" (МісrоСAD), Харків, 2005 р., НТУ “ХПІ”.

Публікації. За темою дисертаційної роботи опубліковано 10 друкова-них праць, серед яких 6 статей у журналах і збірниках наукових праць та 4 друкованих праці в матеріалах наукових конференцій.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, шести розділів, висновків, списку використаних джерел із 215 наймену-вань та одного додатку. Робота містить 182 сторінки, включаючи 85 рисунків та 4 таблиці.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертації, визначені мета і за-дачі дослідження, вказано на основні наукові результати, наведені відомості про публікації і апробацію основних положень дисертаційної роботи.

У першому розділі дисертації проведено огляд робіт, присвячених до-слідженню деформування елементів конструкцій при нестаціонарному на-вантаженні. Літературний огляд складається з чотирьох частин. В першій час-ти-ні наведені роботи, присвячені розв'язанню прямих задач динаміки стер-жнів та оболонок за допомогою аналітико-чисельних і суто чисельних мето-дів; в другій частині – роботи, в яких наведені математичні основи розв’язання обернених задач; третя частина присвячена роботам, в яких розв’язані конкретні обернені задачі механіки; в четвертій – розглянуті ро-боти, в яких розв'язуються задачі керування коливаннями механічних систем.

На основі літературного огляду в дисертаційній роботі зроблено висно-вок, що вивченню НДС стержнів та оболонок при нестаціонарному наванта-женні присвячена велика кількість досліджень, і що в цьому напрямку одер-жано багато результатів як прикладного, так і фундаментального характеру. Значний внесок у вивчення прямих нестаціонарних задач механіки деформів-ного твердого тіла (МДТТ) внесли українські вчені, серед яких: А. Е. Бабаєв, В. Є. Бреславський, Ю. С. Воробйов, Є. Г. Голоскоков, А. Н. Гузь, П. Д. Доценко, Б. Я. Кантор, Н. А. Кільчевський, С. С. Кохманюк, В. Д. Кубенко, Л. В. Курпа, В. П. Ольшанський, В. Л. Рвачов, І. Т. Селезов, М. С. Синєкоп, А. Ф. Улітко, А. П. Філіппов, О. М. Шупіков, Є. Г. Янютін.

Проте аналіз наявної літератури показав, що зовсім інша ситуація скла-лася в галузі розв'язання обернених задач теорії пружності. До цього часу не-достатньо досліджені питання ідентифікації імпульсних навантажень, а та-кож керування НДС конструкцій при нестаціонарних навантаженнях. Така ситуація обумовлена тим, що розв'язання некоректних задач, що складають більшість обернених задач, раніше було практично неможливо. І лише поява спеціалізованих математичних підходів (наприклад, метод регуляризації А. М. Тихонова) та ін. в сукупності з використанням ЕОМ дала можливість побудови теорії некоректних задач в МДТТ.

У другому розділі розглянуті обернені задачі для стержня змін-ного перерізу, один торець якого жорстко затиснений, а до іншого прикладена сила, що діє вздовж його осі (рис. ). Зміна площі попе-речного перерізу стержня визна-чалася співвідношенням (1).

(1)

де h – площа поперечного перерізу стер-жня на торці; в – параметр, що ви-значає зміну площі поперечного перерізу стержня вздовж його осі.

За допомогою перетворювання Лапласа було розв’язано хвильове рів-няння для стержня змінного перерізу та отримано вираз для визначення по-здовжніх переміщень точок стержня:

(2)

де а – швидкість повздовжніх хвиль в стержні; J0(x) – фун-кція Бесселя; – функція Хевісайда, а невідомі функції A(t) і В(t) знаходяться при викорис-танні грани-чних умов на основі відповідних залежностей за часом.

Описаний розв’язок задачі ідентифікації нестаціонарного навантаження N(t), що діє на стержень змінного перерізу. В роботі під задачею ідентифіка-ції невідомого навантаження розуміється розпізнавання закону зміни у часі цього навантаження. Ідентифікація здійснювалась на основі зміни у часі пе-реміщення або деформації в точці стержня з координатою х0, що вважаються відомими. Для визначення невідомого нестаціонарного навантаження N(t) було отримано дискретну за часом залежність (3).

(3)

де k=E[L/a?Дt].

При чисельних розрахунках були прийняті такі величини констант, що визначають геометрію стержня і фізичні властивості його матеріалу: a5150 м/с; L = 1 м; h= 0.000314 м2, Е = 2.11011 Па, н=0.3.

Серед інших розглянутий випадок, коли вважається, що в точці з коор-динатою х0 реєструється деформація, яка задається в вигляді:

, (4)

де 0 =10-6.

На рис. 2 наведений графік нестаціонарної сили, що викликає виникнення деформації (4) в точці стержня з координатою х0=0.5 м.

Роз-глянута можливість керу-вання ко-ливаннями в заданій точці стержня. Постановка задачі: на один торець стержня діє зовнішнє ім-пульсне на-вантаження N1(t), закон зміни в часі якого відомий; вимага-ється здійс-нити керування коливаннями стержня в точці з координатою x0. Для цього до іншого торця стержня прикладається додаткова сила N2(t). Знаходження закону зміни в часі цієї сили і є метою задачі керування.

В другому розділі дисертації були також розглянуті відповідні обернені задачі для стержня, що складається з двох стержнів змінного пе-рерізу, виготовлених із різних матеріалів. Пряма задача для складеного стер-жня була розв’язана за допомогою точного методу і МСР. Отримані розв’язки задач ідентифікації і керування, що будуються аналогічно відповідним зада-чам для стержня змінного перерізу.

У третьому розділі розглянуті обернені задачі для циліндричної обо-лонки з несиметричними граничними умовами: лівий торець шарнірно обпер-тий з проковзуванням вздовж осі обо-лонки, а правий – затиснений з проков-зуванням (рис. 3). На обо-лон-ку діє не-стаціонарне осесиметричне зосе-реджене поперечне навантаження. За-тиснення правого торця циліндричної оболонки було умовно замінено екві-ва-лентною схемою шарнірного обпирання з прикладеним зосередженим компен-суючим моментом. Згідно з теорією оболонок С. П. Тимошенка, рівняння руху циліндричної оболонки можуть бути зобра-жені у вигляді системи рівнянь:

(5)

де l – довжина оболонки; t – безрозмір-ний час; tp – розмірний час; u, w – переміщення точок серединної поверхні в осьовому та радіальному напрямках, відповідно; - кут повороту нормалі до серединної поверхні оболонки; , E – пружні сталі матеріалу оболонки; - густина матеріалу обо-лонки; k – коефіцієнт зсуву; x – координата в осьовому напрямку; M0(t) – компенсуючий момент; q(,t) – задане поперечне неста-ціонарне навантаження.

Спочатку розглянута пряма задача теорії пружності для деяких видів навантаження циліндричної оболонки. При цьому система (5) зводиться до трьох диференціальних рівнянь в частинних похідних, які розв'язуються за допомогою розкладання шуканих функцій в ряди Фур’є за координатними функціями, які забезпечують виконання граничних умов, що відповідають шарнірному обпиранню ци-ліндрич-ної оболонки:

. (6)

Після врахування ортогональності тригонометричних функцій задача зводиться до системи звичайних диференційних рівнянь. Потім виконується пряме інтегральне перетворення Лапласа за часом. В просторі зображень знаходяться коефіцієнти розвинення ak(t), bk(t) та ck(t) і виконується обернене перетворення Лапласа. В результаті отримані вирази для всіх компонент век-тора переміщення в довільній точці оболонки. Для цих виразів була переві-рена збіж-ність відповідних рядів. Розв’язок прямої задачі був отриманий за допомогою МСР. Підкреслена гарна збіжність результатів розв’язання пря-мої задачі, що були отримані аналітико-чисельним способом і за допомогою МСР. Вважаємо, що розв’язок відповідних прямих задач є необхідним ета-пом на шляху вирішення задачі ідентифікації, але тільки допоміжним. Ре-тельний аналіз прямих задач необхідний для правильної побудови інтеграль-них зображень, що використовуються при розв’язанні обернених задач.

Далі в розділі розглянута можливість ідентифікації поперечних імпуль-сних навантажень за їх непрямими проявами. Постановка задачі: на оболонку в точці з координатою xр діє поперечне навантаження, а в точці x, наприклад, встановлений датчик, що вимірює зміну в часі якого-небудь параметра НДС; треба визначити закон зміни в часі цього навантаження за даними, що ре-єструє датчик (рис. 3).

Аналітичний вираз для прогину циліндричної оболонки в довільній точ-ці є інтегральним рівнянням Вольтерра I-го роду

, (7)

де – ядро інтегрального рівняння.

Через те, що рівняння (7) є інтегральним рівнянням Вольтерра I-го роду з виродженим ядром, точного розв’язку цього рівняння відносно функції q(t) не існує. Тому для розв’язання цього рівняння застосований метод регуляри-зації А. М. Тихонова, згідно з яким слід розглядати задачу, що полягає в зна-ходженні **) Тихонов А. Н., Гончарский А. В., Степанов В. В., Ягола А. Г. Регуляризирующие алгоритмы и априорная информация. – М.: Наука, 1983. 200 с.).

Згладжувальний функціонал Ma[n] має вигляд:

(8)

де >0 – параметр регуляризації; t – час.

У матричному вигляді задача мінімізації функціонала (8) еквівалентна розв’язанню системи лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) типу:

де A – матриця, елементи якої знаходяться як aji=K[(j - i)Dt]; K[(j - i)Dt] – скінченно-різницевий аналог ядра K(t-t), AT – транспонована до А матриця, C – симетрична трьох діагональна матриця вектор q – відповідає шуканій функції неві-домого неста-ціонар-ного навантаження, а вектор w – вектору вихідних даних.

Значення параметра регуляризації обирається на основі принципу неув’язки – погодження величини неув’язки на регуляризованому розв’язку з урахуванням похибок в правій частині вихідної СЛАР, що може бути запи-сане так:

(9)

На рис. 4 наведені результати ідентифікації однієї поперечної сили, що діє на циліндричну оболонку. Позначення кривих: 1 – прогин в точці обо--лонки з координатою =0.75; 2 – ідентифікована сила (точка прикладення 0=0.5); 3 – точні значення сили.

У розділі наведені резуль-тати ідентифікації як зосередже-них, так і рівно-мірно розподілених вздовж осі оболонки навантажень з різними законами їх зміни у часі. Ідентифікація здійснювалась за значеннями прогину або деформа-ції, на які накладений "шум" 5%, що моделює, наприклад, неточно-сті експериментальних даних. Встановлено, що методика іден-тифікації нестаціонарних поперечних навантажень ефективна при збуренні вихідних даних до 20%, що дозволяє успішно застосовувати цю методику для обробки результатів експериментальних досліджень.

Також розглянуто можливість ідентифікації одночасно двох зосе-реджених попе-речних сил, що діють на циліндричну оболонку. Вихідні дані при цьому задавалися в двох різних точках оболонки. Розв’язок цієї задачі отриманий з використанням узагальненого алгоритму Крамера і методу регу-ляризації А. М. Тихонова.

Розглянутий випадок керування в точці циліндричної оболонки з ме-тою забезпечення заданих значень параметра НДС оболонки, що змінюються нестаціонарно. Постановка задачі аналогічна відповідній задачі для стержня змінного перерізу. На рис. 5 наведена схема керування: q1(t) – зовнішня сила, х0 – точка, в якій здійснюється керування, q2(t) - додаткова, керуюча сила.

При розв’язанні даної задачі також був використаний метод регуляри-зації А. М. Тихонова. На рис. 6 наведені результати керування деформацією серединної поверхні оболонки.

Позначення кривих на рис. 6: 1 – нестаціонарна зосереджена сила q1(t), що розглядалася як вихідні дані при розв’язанні прямої задачі; 2 – деформа-ція, що виникає в результаті дії сили 1; 3 – керуюча сила q2(t), яка повинна забезпечити виконання потрібного критерія керування (заданої зміни дефор-мації у часі); 4 – деформація, що виникає в заданій точці, за одночасної дії зовнішньої сили q1(t) і керуючої сили q2(t).

Добрий збіг відповідних функцій, що задаються за критерієм керу-вання, з тими, що реалізуються в результаті чисельного експерименту, дає підстави стверджувати про високу точність процедури керування.

У четвертому розділі розглядається можливість розв’язання задач іден-тифікації нестаціонарних навантажень, що діють на стержні змінного пе-рерізу, ци-ліндричні оболонки, а також конічні оболонки, за допомогою МСР.

Рівняння повздовжніх коливань стержня змінного перерізу має вигляд:

. (10)

Постановка задачі ідентифікації аналогічна задачам, що описані у дру-гому розділі роботи.

Розв’язок прямої задачі на основі явної трьохшарової схеми “хрест” (рис. 7) можна записати таким чином:

, (11)

де Дt–величина “кроку” за часом, Дx–за координатою, m=0,1,…,М; р=0,1,…,Р. Жирною лінією показане шукане значення переміщення в схемі. Відпо-відні значення в матриці переміщень знаходяться по рядках з урахуванням нестаціонарної осьової сили, що діє на торці стержня.

Для розв’язання оберненої задачі рівнянню (11) було надано форму:

(12)

При цьому був змінений і алгоритм зна-ходження дискретних значень переміщень, що позна-чені пунктиром (рис. 7). Він складався з двох ета-пів: в точках стержня з координатами від х0 до L переміщення знаходяться по рядках на основі рів-няння (11), а в точках з координатами від х0 до віль-ного торця - на основі рівняння (12) з наступним визначенням невідомої нестаціонарної сили.

На рис. 8 і рис. 9 наведені чисельні резуль-тати, що отримані при розв’язанні задачі ідентифі-кації. Позначення кривих на рис. 8: 1 – точні зна-чення нестаціонарної сили, 2 – переміщення, яке є наслідком дії сили 1, і за значеннями якого ідентифікується нестаціонарна сила. На рис. 9 наведена ідентифікована сила. На графіку сили явно виражені паразитні високочас-тотні коливання.

“Паразитні” високочастотні складові в функції ідентифікованої сили можна значно зменшити при використанні альтернативних схем МСР на першому етапі розв’язання оберненої задачі. При використанні неявної трьохшарової схеми диференційне рівняння (10) апроксимується у вигляді (13). При використанні явної чотирьохшарової схеми рівняння (10) апрокси-мується у вигляді (14).

(13)

(14)

де =0…1 – вагові коефіцієнти.

Результати ідентифікації сили, що діє на стержень (рис. 1), при ви-користанні явної чотирьохшарової схеми наведені на рис. 10.

У четвертому розділі МСР та-кож був використаний для ідентифі-кації нестаціонарних поперечних осесиметричних навантажень, що діють на циліндричну оболонку (рис. 3), консольну циліндричну оболонку (рис. 11), один з торців якої жорстко затиснений, а другий вільний, а також конічну оболонку (рис. 12), обидва торці якої затиснені.

Слід зазначити, що рівняння руху конічної оболонки (рис. 12) не інтег-руються в елементартних функціях, тому при дослідженні її коливань слід за-стосовувати суто чисельні методи. Продемонстровано добрий збіг результа-тів розв’язання прямої задачі, отриманих за допомогою МСР і методу скін-ченних елементів, що дало можливість судити при вірогідність розв’язання відповідної оберненої задачі. Також проведений аналіз щодо визначення точ-ності ідентифікації для задач, що були розглянуті. Результати показали, що при обиранні точних схем скінченних різниць похибка не перевищує 2%.

У п’ятому розділі розглядається можливість ідентифікації довільного відносно осьової координати та за ча-сом осесиметричного поперечного на-вантаження, що діє на шарнірно об-перту циліндричну оболонку типу Ти-мошенка (рис. 13). Принципова новизна ціє-ї задачі полягає в тому, що поновлю-ється і залежність невідомого наванта-ження у часі, і розподілення наванта-ження вздовж оболонки, тоді як в попе-редніх дослідженнях відновлювалась лише зміна навантаження за часом.

Шукане навантаження буле зображене К – частинною сумою ряду Фур’є

. (16)

В формулу (16) входять функції осьової координати, що є формами власних коливань оболонки, а також невідомі функції часу qk(t). Для їх ви-значення складається система з К рівнянь Вольтерра 1-го роду. Як вихідні дані треба задавати значення переміщень або деформацій в К різних точках вздовж осі обо-лонки. Система матричних рівнянь, до якої зводиться задача ідентифікації, була розв’язана за допомогою узагальненого алгоритму Гаусса і методу регуляризації А. М. Тихонова.

На рис. 14 наведені результати ідентифікації навантаження у вигляді імпульсу тиску, що роз-ширюється вздовж осі оболонки зі швидкістю V=542.193 м/с.

Вздовж осі аплікат на рисунку відкладені значення ідентифікова-ного навантаження, а вздовж осей о та t – дис-кретні значення осьової та часової координат, відповідно.

В дисертаційній роботі розглянути і інші види навантажень. Проведений аналіз точності іден-тифікації в залежності від кількості членів в апроксимаційній сумі, що вхо-дять в залежність (16).

Як альтернатива методу регуляризації А. М. Тихонова був використа-ний метод h – регуляризації А. С. Апарцина**) Верлань А. Ф., Сизиков В. С. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. – Киев: Наук. думка, 1986. – 543 с.). Його суть полягає в такому: якщо для рівняння Вольтерра 1-го роду або їх систем будуть виконані умови (18), то на основі методу прямокутників можна отримати стійкий розв’язок оберненої задачі з обмеженим оберненим оператором.

(17)

(18)

де k1, k2, k3 – додатні константи.

Для виконання умов (18) рівняння Вольтерра 1-го роду було приведено до вигляду (19) через диференціювання рівняння (17) за часом.

(19)

Далі шукане навантаження подається у вигляді (16). Розв’язок системи мат-ричних рівнянь, до якої зводиться розв’язок даної оберненої задачі, отри-маний за допомогою узагальненого алгоритму Гаусса.

На рис. 15 наведено порівняння результатів ідентифікації довільних на-вантажень за допомогою методу А. М. Тихонова та А. С. Апарцина.

Залежності навантаження від часу наведені на рис. 15, а, на рис. 15, б - від координати. Позначення кривих: 1 – задане навантаження, 2 - наванта-ження, що ідентифіковано з використанням методу h-регуляризації А. С. Апарцина, 3 - навантаження, що ідентифіковано з використанням ме-тоду регуляризації А. М. Тихонова, 4 – швидкості прогинів в 2 точках (коор-динати =0.25, 0.5) з 13, за значеннями яких ідентифікується навантаження.

При аналізі ефективності використання методу h-регуляризації А. С. Апарцина для розв’язання задач ідентифікації був досліджений вплив таких обставин і параметрів як неточності в завданні вихідних даних, величина “кроку” за часом, а також наявність точок розриву 1-го роду в залежності на-вантаження від часу на точність ідентифікації.

У шостому розділі дисертації описані можливі області використання ре-зультатів роботи, а саме: отримання інформації про значення нестаціонарних навантажень, що діють на різні деталі машин; застосування результатів розв’язання обернених задач при оцінці міцності під час проведення техно-логічних операцій обробки металевих і неметалевих виробів імпульсними на-вантаженнями. Більш детально описана методика ідентифікації сили вибуху в практиці експлуатації свердловин на основі виміру одного з параметрів напру-жено-деформованого стану бурильної колони, що реєструється в усті свердло-вини. Ця методика може бути використана для експрес-аналізу якості прове-дення вибухових робіт в свердловинах.

У додатку до дисертаційної роботи приводиться довідка про викорис-тання результатів дисертаційної роботи в Інституті машин і систем НАН України і Міністерства промислової політики України.

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі подальшого розвитку набули методи розв’язання обернених (в тому числі і некоректних) задач механіки дефор-мівного твердого тіла для елементів конструкцій у вигляді стержнів змінного перерізу, складених стержнів, конічних та циліндричних оболонок з іденти-фікації нестаціонарних навантажень, що діють на розглянуті елементи конс-трукцій, а також по керуванню їх НДС.

Головні наукові і практичні результати роботи:

1. Удосконалено методики розвязання задач ідентифікації нестаціонар-них навантажень для стержнів та оболонок. Це дозволило розширити коло задач ідентифі-кації, які можуть бути розв’язані за допомогою цих методик. Для розв’язання задачі ідентифікації для циліндричних обо-лонок з несиметричними граничними умовами, що зводяться до розв’язання рівнянь Вольтерра 1-го роду, розроблений метод на базі методу регуляризації А. М. Тихонова, застосування якого ефективне при похибках у вихідних даних до 20%;

2. Вперше з використанням методу регуляризації А. М. Тихонова та уза-гальненого алгоритму Крамера розроблена методика розв’язання задачі з ідентифікації двох нестаціонарних поперечних зосереджених сил, що діють на циліндричну оболонку;

3. Вперше за допомогою МСР розроблені методи ідентифікації неста-ціонарних навантажень для стержнів змінного перерізу, циліндричних та конічних оболонок. Використані різні схеми МСР і отриманий хоро-ший збіг результатів;

4. Вперше на базі методів регуляризації А. М. Тихонова та А. С. Апар-цина розроблений метод ідентифікації довільного відносно осьової ко-ординати та за часом нестаціонарного осесиметричного навантаження, що діє на циліндричну оболонку. Проведений аналіз ефективності ви-користання цих методів;

5. Набули подальшого розвитку методи розв’язання задач керування, ме-тою яких є забезпечення реалізації наперед заданих параметрів НДС елементів конструкцій, що змінюються нестаціонарно;

6. Проведено аналіз вірогідності одержаних результатів шляхом вивчення математичної збіжності отриманих розв’язків, узгодження розв’язків прямих і обернених задач, порівняння з результатами, отриманими різ-ними способами та узгодження з результатами інших авторів.

Результати, що наведені в дисертації, можуть бути використані для отримання інформації про значення нестаціонарних навантажень, що діють на елементи конструк-цій у вигляді стержнів, конічних та циліндричних обо-лонок. Результати розв’язання задач керування можуть бути використані при демпфіруванні коливань і для забезпечення заданої зміни у часі параметра НДС, що може бути реалізовано в технологічних процесах, а також в схемах активного керування приладів.

Результати дисертаційної роботи з ідентифікації нестаціонарних наван-тажень і керуванню коливаннями елементів конструкцій були впроваджені в Інституті машин і систем НАН України і Міністерства промислової політики при розрахунках елементів енергетичних машин у різних технологічних про-цесах.

НАУКОВІ ПРАЦІ, ОПУБЛІКОВАНІ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Янютин Е. Г., Поваляев С. И. Идентификация и управление в задачах импульсного деформирования стержней переменного сечения // Авто-мобильный транспорт. – 2003. – №13. – С. 187-189.

2. Янютин Е. Г., Поваляев С. И. Прямая и обратная задачи для неста-цио-нарно нагруженного стержня переменного сечения // Вестник Харь-ковского национального автомобильно-дорожного университета. – 2003. – №23. – С. 53-55.

3. Янютин Е. Г., Поваляев С. И. Некорректные задачи динамического де-формирования составного стержня // Сборник научных трудов Нацио-нального горного университета. – 2004. – №19, том 4. – С. 77-83.

4. Янютин Е. Г., Поваляев С. И. Некорректные задачи импульсного дефор-мирования для цилиндрической оболочки. // Вестник национального технического университета "ХПИ".– 2005. – №22. – С. 129-138.

5. Воропай А. В., Поваляев С. И., Шарапата А. С., Янютин Е. Г. Примене-ние теории интегральных уравнений Вольтерра при реше-нии динамических обратных задач для пластин и оболочек // Вестник Харьковского национального университета. – 2005. – № 661, вып. 4. – С. 69-82.

6. Янютiн Є. Г., Богдан Д. І., Поваляєв С. І. Обернені задачi iмпульсного деформування пластин та стержнів // Машинознавство. – 2006. – №2. – С. 17-22.

7. Янютин Е. Г., Поваляев С. И. Прямая и обратная задачи для состав-ного стержня переменного сечения // Материалы 1–й межвузовской научно-практической конференции “Возможности использования ме-тодов механики для решения вопросов безопасности в условиях чрез-вычайных ситуаций”. – Харьков. – 2003. – С. 11-15.

8. Янютин Е. Г., Воропай А. В., Шарапата А. С., Поваляев С. И. Идентифи-кация нестационарных нагружений, воздействующих на пластины и оболочки // Тезисы докладов Международной конферен-ции “International conference Dynamical system modeling and stability in-vestigation”. – Киев. – 2005. – С. 360.

9. Янютiн Є. Г., Богдан Д. І., Поваляєв С. І. Обернені задачi iмпульсного деформування пластин та стрижнів // Тези доповідей cьомого мiжнародного симпозiуму українських інженерів-механіків у Львові. – Львів. – 2005. – С. 33-34.

10. Янютин Е. Г., Воропай А. В., Шарапата А. С., Поваляев С. И. Примене-ние теории интегральных уравнений Вольтерра при реше-нии задач динамической теории пластин и оболочек // Труды ХІІ-го Междуна-родного симпозиума “Методы дискретных особенностей в задачах математической физики”. – Харьков-Херсон. – 2005. – С. 63-66.

АНОТАЦІЇ

Поваляєв С. І. Обернені задачі імпульсного деформування стержнів, конічних та циліндричних оболонок. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла. – Інститут проблем машинобудування ім. А. М. Підгорного НАН України, Харків, 2006.

У дисертаційній роботі свого подальшого розвитку набули методи розв’язання обернених задач механіки деформівного твердого тіла для еле-ментів конструкцій у вигляді стержнів змінного перерізу, складених стерж-нів, конічних і циліндричних оболонок з різними типами граничних умов.

Розв’язані нові задачі ідентифікації зовнішніх навантажень, що діють на вказані елементи конструкцій, серед яких слід відзначити: задачу з іден-тифікації зміни у часі одночасно двох зосереджених навантажень, що діють на циліндричну оболонку з несиметричними граничними умовами, і задачу з ідентифікації одночас-но залежності навантаження від часу і його розподілу вздовж осі шарнірно обпертої циліндричної оболонки. Отримані розв’язки нових задач по керуванню коливаннями стержнів і оболонок. При розв’язанні поставлених задач використовувалися: перетворення Лапласа, ряди Фур'є, метод скінченних різниць, метод регуляризації А. М. Тихонова, метод h - ре-гуляризації А. С. Апарцина, а також узагальнені алго-ритми Гаусса і Крамера. Доведена вірогідність отриманих результатів.

В останньому розділі наведені області можливого використання ре-зультатів, отриманих у дисертаційній роботі.

Ключові слова: нестаціонарне навантаження, стержень, оболонка, ди-намічна теорія пружності, інтегральні рівняння Вольтерра, обернені задачі, ідентифікація, керування, регуляризація, метод скінченних різниць.

Povalyaev S. I. The inverse problems of pulse deforming of cores, conical and cylindrical shells. – Manuscript.

Thesis for the scientific degree of Candidate of Technical Science by speciality 01.02.04 – mechanics of the deformable solids. – A. M. Pidgorny’s Institute for problems in machinery, National Academy of Sciences of Ukraine, Kharkiv, 2006.

In thesis methods of solving inverse problems in mechanics of the deformable solids for cores with variable cross-section, compound cores, conical and cyshells with different boundary conditions, received its future develop

Some new problems on identification of external loads, acting on structure elements considered, were solved. Among them: simultaneous time dependence identification of two concentrated load, acting on cylindrical shells with different boundary conditions, and simultaneous identification of load time dependence and load distribution lengthwise of the simply supported cylindrical shell axis.

Also solutions of new vibration control problems for cores and shells were obtained.

At the solving of problems posed Laplace transformation, theory of Fourier series, finite-difference method, A. N. Tikhonov regularization method, A.h - regularization method, as well as generalized algorithms of Gaus and Kramer were applied. Results reliability was proved.

Spheres of possible application of results, obtained in thesis, represented in the last part of thesis.

Key words: non-stationary loading, core, shell, dynamic theory of elasticity, Volterra integral equation, inverse problems, identification, control problem, regularization, finite-difference method.

Поваляев С. И. Обратные задачи импульсного деформирования стержней, конических и цилиндрических оболочек. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 01.02.04 – механика деформируемого твердого тела. – Ин-ститут проблем машиностроения им. А. Н. Подгорного НАН Украины, Харь-ков, 2006.

В диссертационной работе свое дальнейшее развитие получили методы решения обратных задач механики деформируемого твердого тела для эле-ментов конструкций в виде стержней переменного сечения, составных стержней, конических и цилиндрических оболочек.

В аналитическом виде получены решения задач идентификации внеш-них нагрузок, воздействующих на стержни переменного сечения и составные стержни, а также решения задач по управлению их напряженно-деформиро-ванным состоянием (перемещением или деформацией). Под идентификацией нестационарной нагрузки понималось восстановление ее временной зависи-мости при известных координатах точки приложения нагрузки и заданных значениях перемещения или деформации в определенной точке стержня. Ре-шение прямых задач получено с использованием преобразования Лапласа.

С применением рядов Фурье и метода регуляризации А. Н. Тихонова получены решения задач идентификации и управления для цилиндрической оболочки средней толщины С. П. Тимошенко с несимметричными гранич-ными условиями. Для выполнения полного набора граничных условий на торце оболочки вводились компенсирующие нагрузки. Рассмотрены различ-ные виды нестационарных осесимметричных нагрузок, разработана методика идентификации одновременно двух сосредоточенных нагрузок, воздейст-вующих на оболочку. Для шарнирно-опертой цилиндрической оболочки с применением методов регуляризации А. Н. Тихонова и А. С. Апарцина, а также обобщенного алгоритма Гаусса решена задача идентификации произ-вольной нестационарной осесимметричной нагрузки.

Для стержней переменного сечения, цилиндрических оболочек (в том числе и консольной), жестко защемленной конической оболочки разработаны способы идентификации нестационарных нагрузок, базирующиеся на чис-ленном методе – методе конечных разностей.

Достоверность результатов, полученных в диссертационной работе, подтверждается хорошим согласованием результатов решения задач, полу-ченных разными методами, результатами анализа математической устойчи-вости вычислительных процедур и численной сходимости полученных рядов, согласованием результатов решения прямых задач, в которых в качестве ис-ходных данных использовались результаты решения обратных задач, а также сопоставлением с данными, имеющимися в научной литературе.

Описаны области возможного применения результатов проведенных исследований.

Ключевые слова: нестационарное нагружение, стержень, оболочка, ди-намическая теория упругости, интегральные уравнения Вольтерра, обратные задачи, идентификация, управление, регуляризация, метод конечных разно-стей.

Підписано до друку 06.09.2006 р.

Формат 6084 1/16. Папір офсетний. Гарнітура Times New Roman.

Друк RISO. Обл.- вид. арк. 1,9.

Замовлення № 698/06. Тираж 100 прим.

Видавництво ХНАДУ, 61200, м. Харків-МСП, вул. Петровського, 25

Свідоцтво Державного комітету інформаційної політики, телебачення та радіомовлення України про внесення суб’єкта видавничої справи до державного реєстру видавців,

виготівників і розповсюджувачів видавничої продукції,

серія ДК №897 від 17.04.2002 р.