НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЇ МАТЕМАТИКИ І МЕХАНІКИ

ПУЗИРЬОВ Володимир Євгенович

УДК 531.36, 531.391.3

ДОСЛІДЖЕННЯ СТІЙКОСТІ НЕАВТОНОМНИХ МЕХАНІЧНИХ СИСТЕМ МЕТОДОМ ЛЯПУНОВА

01.02.01 – теоретична механіка

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Донецьк – 2006

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті прикладної математики і механіки НАН України.

Офіційні опоненти: доктор фіз.– мат. наук, старший науковий співробітник

Нікітіна Нелі Володимирівна,

Інститут механіки НАН України ім. С.П. Тимошенка (м. Київ), провідний науковий співробітник відділу стійкості процесів;

доктор фіз.– мат. наук, професор

Лесіна Марія Юхимівна,

Донецький національний технічний університет,

професор кафедри вищої математики.

доктор фіз.– мат. наук, професор

Лещенко Дмитро Давидович,

Одеська державна академія будівництва і архітектури, зав. кафедрою теоретичної механіки

Провідна установа: Інститут математики НАН України (м. Київ).

Захист відбудеться " 7 " вересня 2006 р. о 14 00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 11.193.01 при Інституті прикладної математики і механіки НАН України за адресою:

83114, м. Донецьк, вул. Р. Люксембург, 74.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладної математики і механіки НАН України (м. Донецьк–114, вул. Р.Люксембург, 74).

Автореферат розісланий "____" серпня 2006 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради О.А. Ковалевський

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Дисертаційна робота присвячена дослідженню питань стійкості і поведінки розв'язків неавтономних механічних систем – як систем загального вигляду, так і певних систем сполучених твердих тіл з пружними шарнірами, а також вивченню проблеми впливу дисипативних сил з неповною дисипацією енергії на стійкість руху консервативних систем.

Актуальність теми. Питання стійкості і оцінки поводження розв'язків динамічних систем більш сторіччя знаходяться в центрі уваги численних дослідників в області математики і механіки. При цьому одним з основних засобів вивчення зазначених проблем є прямий метод Ляпунова. Універсальність цього методу обумовлена тим, що розв’язання задачі стійкості можна проводити, уникая безпосереднього інтегрування рівнянь збуреного руху. Істотними труднощами на цьому шляху є відсутність загального алгоритму побудови відповідної допоміжної функції. Хоча для деяких класів нелінійних систем розроблені досить ефективні засоби її побудови, але ця проблема залишається дуже актуальною для неавтономних систем, зокрема, неперіодичних за часом.

Основний внесок у розвиток і становлення прямого методу Ляпунова зробили В.І. Зубов, Г.В. Каменков, В.М. Кошляков, М.М. Красовський, І. Г. Малкин, А.А. Мартинюк, Х. Л. Массера, В. М. Матросов, Д.Р. Меркин, К.П. Персидський, В.А. Плісс, В.В. Румянцев, Н. Руш, О.Я. Савченко, Л. Чезарі, М.Г. Четаєв і багато іншіх вчених.

Критичні за Ляпуновим випадки займають важливе місце в задачах стійкості, а їх застосування, як правило, пов'язане з застосуванням спеціальних методів аналізу і громіздкими перетворюваннями. Ці випадки виникають, коли аналіз лінеаризованої системи залишає можливість змінювання встановленного результату за рахунок нелінійних членів. Критичні випадки часто трапляються, зокрема, в прикладних дослідженнях, про що свідчуть праці Д. Максвелла, І.О. Вишнеградського, О.М. Крилова, М.Г. Четаєва, А.І. Лур'е, Н.В. Бутеніна та іншіх вчених., тому є великий сенс до їх вивчення. Критичні випадки, крім О.М. Ляпунова, вивчали Г.В. Каменков, І.Г. Малкін, В.Г. Веретенніков, Л. Сальвадорі, О.Я. Савченко та багато інших дослідників.

Дослідження стійкості неавтономних систем можна поділити на дві групи – це системи періодичні (майже періодичні) за часом і системи з неперіодичними коефіціентами. Для першої групи багато важливих результатів було отримано в роботах М. М. Боголюбова, Ю. О. Митропольского, А. М. Самойленка, А. А. Мартинюка, В. А. Плісса, Ю. Н. Бібікова, В. Г. Гребеннікова, А. Н. Філатова, М. М. Хапаєва та іншіх. Системи другої групи вивчалися менше, що пояснюється значним зростанням труднощів, однією з яких є неможливість застосування класичних теорем прямого методу Ляпунова при спробі адаптації відповідної методики дослідження для періодичних систем. Тут варто пригадати роботи О.Я. Савченка, И.Є. Вітріченка, О.О. Ігнатьєва, А.В. Костіна.

Відомо, що вертикальні високочастотні коливання точки опори маятника можуть зробити нестійким його нижній стан рівноваги. Аналогічний, з математичної точки зору, ефект може визивати вібраційна дія на рівновагу прямолінійного пружного стержня при значеннях поздовжного навантаження, значно менших критичного эйлерова значення. З іншого боку, не менш цікавою і важливою для прикладних задач є зворотня задача – про стабілізацію верхнього положения рівноваги маятника. Умови такої стабілізації були незалежно отримані в першій половині минулого сторіччя в роботах різних авторів, з яких відзначимо М.М. Боголюбова, Дж. Стокера, а також П.Л. Капіцу, який експериментально підтвердив теоретично передвіщені результати. Надалі задача про маятник (а згодом, і тверде тіло) з точкою опори, що коливається, застосовувалась багатьма авторами для ілюстрації ефективності різних методів нелінійної механіки і відігравала роль модельної задачі при дослідженні впливу вібрації на рух різноманітних механизмів. Із робіт, присвячених цій тематиці, пригадаємо праці Т.Г. Стрижак, І.І.Блехмана, Б.С. Бардіна і А.П. Маркеєва, К.Г. Валєєва, О.А. Зевіна і Л.А. Філоненка, В.М Челомея та ін.

Близьким до згаданого напряму є питання, пов'язане з відходом різних гіроскопічних приладів під впливом вібрації. Одне з перших таких досліджень належить О.Ю. Ішлинському, який пояснив виникнення прецесії гіроскопа, як наслідок вібрації його основи, за рахунок піддатності елементів підвіса. Із досліджень цього напряму зазначимо роботи С. В. Малашенка, В. М. Рубановського, В. В. Румянцева, В.О. Стороженка, М.Є. Темченко та ін.

Проблема впливу сил тертя на стійкість стану рівноваги механічної системи була поставлена У. Томсоном і П. Тейтом. Вони сформулювали умови, при яких цей стан стає асимптотично стійким чи хитливим при додаванні в консервативну механічну систему дисипативних сил. Ці результати були уточнені, узагальнені і строго доведені М.Г. Четаєвим та Л. Сальвадорі. При доказі результатів істотним було припущення, що сила тертя є знаковизначеною функцією усіх узагальнених швидкостей – так звана "повна дисипація енергії". Однак нерідко при дослідженні питань стійкості руху механічних систем має місце випадок "неповної" ("часткової" ) дисипації енергії – коли дисипативна функція є знакосталою, тим не менш у деяких випадках (але не завжди) досліджуваний стан рівноваги стає асимптотично стійким. Великий внесок в дослідження питань стійкості дисипативних механічних систем зробили С.А. Агафонов, О.С. Андрєєв, О. В. Карапетян, В. М. Кошляков, В. Л. Макаров, Д. Р. Меркін, В.В. Новицький, К. Пайфер, Г.К. Пожарицький, В.О. Стороженко, Д. Стретт, Л. Хатвані, Н. Руш, П. Хагедорн та ін.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження, представлені в дисертації, проводилися у відповідності з планами наукових досліджень відділів прикладної і технічної механіки Інституту прикладної математики і механіки НАН України на 1996 – 2000 роки з бюджетної теми "Математичні методи конструктивного дослідження сучасних проблем стійкості, керування і динаміки взаємодіючих тіл" (номер держ. реєстрації 0196U002837); на 2001 – 2005 роки – з бюджетної теми "Математичні методи дослідження задач стійкості і керування динамічних систем і їхнє використання в динаміці системи твердих тіл" (номер держ. реєстрації 0101U0001094), які виконувалися відповідно до постанов Президії НАН України; а також у 1997 – 1998 роках у рамках проекту 1.4/155 "Математичні методи конструктивного дослідження сучасних проблем динаміки систем зв'язаних твердих тіл " Держ. фонду фундаментальних досліджень Міністерства України в справах науки і технологій.

Мета і задачі досліджень. Об'єктом дослідження є динамічні системи, як правило, неавтономні за часом. Предметом дослідження є стійкість розв'язків таких систем, а також питання оцінки їх поводження (не тільки асиптотично загасаючого). Методи дослідження базуються на методі функцій Ляпунова і його узагальненні. Основними цілями досліджень даної роботи є розширення методу функцій Ляпунова на задачі стійкості для неавтономних систем і використання отриманих результатів для розв’язання задачі стійкості руху механічних систем як загального вигляду, так і різних систем зв'язаних твердих тел.

Безпосередніми задачами досліджень є: одержання умов асимптотичної стійкості і нестійкості, а також оцінок поводження неавтономних динамічних систем; отримання умов стійкості положень відносної рівноваги різних систем двох зв'язаних твердих тіл; дослідження впливу дисипативних сил з неповною дисипацією енергії на стійкість руху консервативних механічних систем.

Наукова новизна одержаних результатів. Результати дисертаційної роботи є новими і полягають у наступному:

n доведено теореми про оцінки поводження розв'язків неавтономної динамічної системи загального вигляду з використанням ідей прямого методу Ляпунова, знайдено умови еквіасимптотичної стійкості нульового розв'язку такої системи;

n отримано умови асимптотичної стійкості і нестійкості не+автономної системи другого порядку в критичному випадку подвійного нульового кореня з двома групами розв'язків;

n для лінійних періодичних за часом систем з малою правою частиною запропоновано ефективний алгоритм асимптотичного представлення розв'язків і побудови показникової матриці;

n досліджено питання стійкості різних систем двох зв'язаних твердих тіл – подвійного математичного маятника з пружною ланкою, вагомого несиметричного гіроскопа на пружній основі, гіростата, вісь ротора якого закріплена в носії за допомогою пружного циліндричного шарніра;

n знайдено умови стійкості різних типів руху системи двох гіроскопів Лагранжа, з'єднаних пружним універсальним шарніром, що утворюють напівзамкнений ланцюг;

n розв’язана задача стійкості для лінійної механічної системи, що знаходиться під дією потенціальних, гіроскопічних і дисипативних (з неповною дисипацією енергії) сил;

n вивчено вплив дисипативних сил з неповною дисипацією енергії на стійкість стану відносної рівноваги консервативної механічної системи загального вигляду. Доведені теореми узагальнюють класичні результати Томсона – Тейта – Четаєва (з додаванням Сальвадорі) на випадок неповної дисипації;

n розв'язана задача про пасивну стабілізацію обертового фізичного маятника. Визначено припустимі параметри стабілізуючого пристрою, що розв’язують поставлену задачу;

n розв'язана задача про стійкість руху вагомого гіроскопа з пружно закріпленим ротором. Встановлено, що коливання ротора в площині, перпендикулярній осі обертання, можуть робити стабілізуючий вплив на рух носія.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертація має в основному теоретичне значення. Результати дисертації можуть бути використані для подальшого розвитку якісної теорії неавтономних динамічних систем, а також при дослідженні різних аспектів поводження складних механічних систем.

1. Результати підрозділів 3.1 – 3.3 можуть бути використані для дослідження умов стійкості і оцінювання розв'язків динамічних систем, на підставі побудови допоміжних функцій з менш жорсткими обмеженнями, ніж в класичних теоремах прямого методу Ляпунова.

2. Результати підрозділу 3.4 призначені для дослідження умов стійкості періодичних рухів механічних систем, що знаходяться під впливом вібраційних сил різного походження, а також для застосування в прикладних задачах, пов'язаних з гасінням коливань.

3. Результати підрозділів 5.1 – 5.2 можуть бути використані при вивченні питань, пов'язаних з рухом неконсервативних механічних систем с частковою дисипацією, зокрема, в задачах пасивної стабілізації Peiffer K., Savchenko A.Ya. On passive stabilization in critical cases // J. of Math. Analysis and Applications. – 2000. – 244. –P. 106 - 119., Peiffer K., Savchenko A.Ya. On the some asymptotic behavior of a passively stabilized system with one critical variable // Rend. Acc. Sc. fis. mat. Napoli. – 2000 – LXVII. – P. 157-168..

Особистий внесок здобувача в спільних публікаціях. Всі наукові результати, що включені в дисертацію, отримані автором особисто. Відзначимо внесок автора в спільних публікаціях. У роботах [10, 13, 14] здобувачеві належить визначення напряму дослідження, вибір методики і аналіз отриманих результатів, співавторам – отримання умов стійкості руху. В статті [16] здобувачеві належить вибір методики дослідження і аналіз механічного змісту отриманих результатів, співавтору - чисельно-аналітична обробка умов стійкості. В роботі [23] здобувачеві належить постановка задачі, співавтору – отримання умов стійкості.

Апробація результатів досліджень. Основні результати дисертаційної роботи були повідомлені та обговорені на:

n 3rd Colloquium on the Qualitative theory of differential equations (Szeged, 1988);

n 7-th Czechoslovak Conference on Differential Equations and their Applications (Praga, 1989);

n Міжнародній математичній школі "Метод функций Ляпунова и его приложения" (Іркутськ, 1989);

n Конференції "Динамика твердого тела и устойчивость движения" (Донецьк, 1990);

n Міжнародній математичній конференції "Ляпуновские чтения" (Харків, 1992);

n 8-th Czecho-Slovak Conference on Differential Equations and their Applications (Bratislava, 1993) ;

n XVII наукових читаннях з космонавтики (Москва, 1993);

n Кримській математичній школі "Метод функций Ляпунова" (Симферополь – Алушта, 1993);

n VI – IX Міжнародних конференціях "Стійкість, керування і динаміка твердого тіла" (Новоазовськ, 1996; Донецьк, 1999; Мелекіно, 2002, 2005);

n Міжнародній конференції "Математика в индустрии" (Таганрог, 1998);

n Міжнародній конференції "Классические задачи динамики твердого тела" (Донецьк, 2004);

n науковому семінарі кафедри теоретичної механіки механіко-математичного факультету Московського державного університету ім. М.В Ломоносова (керівник – член-кор. РАН В.В. Румянцев, 1991);

n науковому семінарі математичного факультету Католицького університету Лувена (Лувен-ла-Нев, Бельгія, 1991);

n науковому семінарі відділу стійкості процесів Інституту механіки НАН України ім. С.П. Тимошенка (керівник – член-кор. НАН України А.А. Мартинюк, 2006);

n наукових cемінарах відділів прикладної механіки и технічної механіки Інституту прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк, 1990 – 2005 р.р. (керівники – член-кор. НАН України П.В. Харламов, член-кор. НАН України О.М. Ковальов).

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковані в 24 наукових статтях [1 – 24], працях міжнародних конференцій і препринті [25 – 31]. 23 роботи [1 – 4, 6 – 24] опубліковані в фахових виданнях, затверджених ВАК України.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота викладена на 284 сторінках і містить вступ, основну частину з шести розділів, висновки та список використаних джерел, який складається з 387 найменувань, а також 14 рисунків.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У вступі проаналізовано сучасне становище досліджень з теорії стійкості неавтономних механічних систем, а також з теорії стійкості дисипативних механічних систем. Обґрунтовано актуальність розглянутих у дисертаційній роботі задач, визначені мета та задачі досліджень, вказано наукову новизну і практичне значення роботи.

У першому розділі зроблено огляд праць за тематикою дисертаційної роботи. Він складається з огляду робіт, що стосуються стійкості неавтономних систем, рухів консервативних та дисипативних механічних систем, а також систем, на рух яких суттєво впливають коливання їх окремих частин.

У другому розділі роботи викладено загальну методику дисертаційних досліджень. Наведені певні поняття, що стосуються неавтономної динамічної системи загального вигляду, та основні означення з теорії стійкості, сформульовано базові теореми прямого методу Ляпунова, і деякі критерії стійкості для лінійних періодичних за часом систем.

Третій розділ дисертаційної роботи присвячений дослідженню стійкості неавтономних динамічних систем і отриманню оцінок їх розв'язків. В основу покладено використання функції Ляпунова, яка є необмеженою за часом і не є знаковизначеною в класичному розумінні. Тим не менш, вона дозволяє встановлювати "межі" в розширеному фазовому просторі , в яких змінюються збурені траекторії, зокрема, дає умови еквіасимптотичної стійкості незбуреного руху.

Розглянемо систему звичайних диференціальних рівнянь

= F (t, x ) (1)

з початковими умовами

, (2)

де x R; F – така неперервна вектор-функція, що на множині I D задача Коші для (1) з початковими умовами (2) має єдиний розв'язок, неперервно залежний від початкових значень t, x; I = [0 , +), D – деяка однозв'язна область, що містить початок фазового простору.

Нижче такий розв'язок будемо позначати через x(t,t,x), а максимальний правий інтервал, у якому він визначений, через J = [t, T), T .

Доведено наступні теореми.

Теорема 1. Припустимо, що функції a(t), c(t), f(t), (t),

h(t), С, причому a(t) монотонно зростає, c, f, додатні ((0) = = c(0) = 0 ), і існує допоміжна функція V така, що в деякому околі початку координат виконуються умови:

1)

2)

А. Тоді для будь-якого розв'язку системи (1) – (2) є вірною оцінка

(3)

Б. Якщо, крім того,

, (4)

а функції f (t), 1 / f(t) обмежені, то нульовий розв'язок системи (1) еквіасимптотично стійкий.

Зауваження 1. У випадку, коли функції f, , h тотожно дорівнюють одиниці, а c() монотонна, твердження Б теореми 1 співпадає з твердженням відомої теореми J.L. Massera33 Massera J.L. Contributions to stability theory // Ann. Math. – 1956. – 64. – P. 182 – 206.

.

Теорема 2. Якщо у формулюванні теореми 1 вимогу 1) замінити на умову

V (t, x) f (t) , (t) > 0, j = ,

то оцінка (3) набере вигляду

| x(t, t, x)|

Якщо ж функції обмежені, то виконання умови (4) забезпечує асимптотичну стійкість щодо змінних .

Найбільше широко розповсюдженим є випадок, коли

F (t, x ) = A (t) x + X (t, x ),

Теорема 3. Припустимо, що існує додатно-визначена квадратична форма

V (t, x) = ,

похідна якої за лінійною системою не перевищує виразу -h(t) V (t, x). Нехай, далі, С – деяка додатна функція така, що для будь-якого t J, а функція монотонно зростає, і

Тоді, якщо нелінійні члени розкладу правих частин задовольняють умови

(5)

то є вірною оцінка

(6)

де стала c залежить від початкових значень

Зауваження 2. Якщо то теорема 3 дає умови асимптотичної стійкості тривіального розв'язку системи (1).

Як приклад використання теореми 3 розглянуто рівняння коливань математичного маятника з тертям, що залежить від часу [4],

(7)

де f – деяка неперервна додатна функція часу.

Рівняння (7) було об'єктом вивчення для багатьох вітчизняних і закордонних авторів (див., зокрема, 44 Corne J.L. On the asymptotic stability // Ann. Soc. Sci. Bruxelles Ser. I. – 1973. – 87. – P. 217 – 235., 55 Ballieu R.J., Peiffer K. Attractivity of the origin for the equation // J. Math. Anal. Appl. – 1978. – V. 65. – P. 321 – 332., 66 Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. – М.: Мир, 1980. – 300 с., 77 Хатвани Л. О действии демпфирования на свойства устойчивости равновесий неавтономных систем // ПММ. – 2001. – 65, вып. 4. – С. 725 – 732., 88 Karsai J., Graef J.R. Behavior of solutions of second order differential equations with sublinear damping // Нелін. колив. –2005. – 8, № 2. – С. 186 – 200.). Нижній стан рівноваги маятника, якому відповідає розв'язок , очевидно є стійким (за функцію Ляпунова можна взяти – збурення інтегралу енергії системи). У випадку, коли тертя змінюється в межах між двома сталими значеннями, цей стан рівноваги є еквіасимптотично стійким (навіть рівномірно асимптотично стійким). Також відомо , що у разі, коли первісна функції f є обмеженою функцією часу, стійкість є неасимптотичную – серед збурених розвязків можуть бути такі що, прямують до нуля, але обов'язково є й такі, що "не притягуються". Аналогічною є ситуація, коли f (t) є "сильно" необмеженою ("over damping" , наприклад, порядку . Проблему складає виявлення меж величини тертя між "надслабким" ("under damping" ) і "надмірним", що забеспечує притяжіння всіх збурених розв'язків до початку фазового простору.

Так, в монографії N. Rouche, P. Habets, M. Laloy отримані відносно широкі межі змінювання функції f (t), що забезпечують асимптотичну стійкість стану рівноваги:

(8)

де – сталі.

Окремо розглядалися також випадки необмежено зростаючого тертя – "large damping" (порядок t ) і тертя, що прямує до нуля – "small damping" (порядок ).

Якщо використовувати теорему 3, то можна вибрати за допоміжну функцію квадратичну форму (її коефіцієнти повинні задовольняти певну систему диференціальних нерівностей)

де g – деяке додатне число, функція неперервно диференційовна, додатна і монотонно спадає до нуля, причому монотонно незростаюча. Доведено, що умови теореми 3 виконуються при , де a – деяке додатне число, менше за , якщо функція f задовольняє обмеження

(9)

Умова (4) накладає таке обмеження на функцію

(10)

Якщо задатися метою одержати найменш жорсткі обмеження на функцію f, що забезпечують асимптотичну стійкість тривіального розв’язку, то можна взяти (Можна взяти навіть , але не можна , де e – як завгодно мале додатне число). Обмеження (9), (10) є при цьому більш слабкими в порівнянні з умовами (8), крім того тертя може мінятися від "малого" до "великого", і швидкість цього змінювання може бути великою. Крім того, згідно умові (6), у якості верхньої границі швидкості притяжіння збурених розв’язків до нуля виявляється величина Якщо ж обмеження, що накладаються на функцію f a priori, дозволяють вибрати функцію (яка задовольняє обмеженням (9), (10)) так, що

то функція в оцінці (6) має більш високий порядок мализни, ніж Наприклад, при (A, B – деякі сталі) можна взяти тоді теорема 3 свідчить про експоненціальну стійкість досліджуваного стану рівноваги.

У підрозділі 3.3 отримано умови асимптотичної стійкості і нестійкості для неавтономної системи в критичному випадку подвійного нульового кореня з двома групами розв'язків, тобто коли розклад правих частин рівнянь збуреного руху містить тільки нелінійні доданки. Наведено приклади, що ілюструють порядок побудови функції Ляпунова, зокрема, наступний

Приклад 2. Розглянемо систему

(11)

де – довільні дійсні числа.

Використовуючи описану в підрозділі процедуру побудови функції Ляпунова, що являє собою поширення відомого підходу І.Г. Малкина99 Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. – М.: Наука, 1966. – 530 с. для автономної системи, з урахуванням теореми 1 встановлено, що нульовий розв'язок системи (11) є асимптотично стійким, якщо a b < 1, і нестійким, якщо a b > 1. Відзначимо також, що у випадку система (11) стає автономною, і отримані умови стійкості і нестійкості цілком погоджуються з відомими результатами , включаючи і той факт, що відкритим залишається питання про стійкість при a b = 1 ( a > 0, b > 0).

Даний спосіб розв'язання задачі стійкості легко може бути розповсюджений на систему з інтегровним нейтральним лінійним наближенням.

Приклад 3 [О.О. Ігнатьєв110 Игнатьев А.О. Исследование устойчивости с помощью знакопостоянных функций Ляпунова // Укр. мат. вісник. – 2005. – Т.2. - C.61-70.0]. Розглянемо систему

(12)

Лінійна частина системи (12) є нейтральною. Справді, інтегруючи, знаходимо її загальний розв'язок

де – довільні сталі.

Виконуючи заміну

де u, v – нові змінні і використовуючи результати підрозділу 3.3, можна переконатися у тому, що нульовий розв'язок системи (12) еквіасимптотично стійкий (що встановлено також і в згаданій роботі в іншій спосіб).

У підрозділі 3.4 запропоновано досить простий алгоритм побудови показникової матриці для лінійної системи з періодичними коефіцієнтами і малою правою частиною. Цей алгоритм можна використовувати як для асимптотичного зображення розв'язків, так і для оцінки характеристичних показників системи.

Розглянемо систему рівнянь вигляду

(13)

де R, N, P – неперервні 2p-періодичні функції t, аналітичні за параметром e, N ( t, 0 ) = N – стала матриця.

Нехай, крім того, H – неперервна T-періодична матриця-функція. Позначимо через її середнє значення за період, а через – її "інтегральний відхил", тобто

При цьому

Виписано перші три наближення для матрицанта системи (13). У разі, якщо , ці формули істотно спрощуються. Зокрема, для показникової матриці маємо

(14)

Варто відзначити, що у випадку, коли матриці N і P залежать не тільки від e, але і від інших параметрів (як звичайно і буває в прикладних дослідженнях) практичний запис матриці , а, як наслідок, і розв'язку y (t, e ), є досить трудомістким. Однак, якщо цікавитися лише питаннями якісного аналізу (стійкість, порядок зростання розв'язків чи їх прямування до нуля), то можна обмежитися дослідженням характеристичного рівняння для матриці K (e), яку обчислено з точністю до

У четвертому розділі вивчено умови стійкості станів відносної рівноваги різних систем зв'язаних твердих тел. У підрозділі 4.1 отримано умови стійкості (у першому наближенні) періодичного руху дволанкового математичного маятника з однією пружною ланкою (рис. 1) у випадку, коли одна з ланок маятника займає верхній стан рівноваги, а інша – нижнє. Рівняння руху, записані в формі Лагранжа другого роду, мають вигляд

(15)

Тут

m, m – маси матеріальних точок і , l, lu – довжини відповідно першої і другої ланок маятника; l – довжина недеформовної ланки ; g – прискорення вільного падіння; k – жорсткість пружини; штрих означає диференціювання по “швидкому” часу .

Рівняння (15) мають окремий розвязок

(16)

що описує періодичний рух, в якому ланки розташовані вертикально і спрямовані в протилежних напрямах, а матеріальна точка O здійснює гармонічні коливання з частотою і амплітудою .

Припускаючи що величина є великою, а відносна амплітуда a -малою, мализни не менш ніж , лінеарізовані в околі розвязку (16) рівняння записано у вигляді (13), і для них виписано показникову матрицю згідно формули (14). Умови стійкості досліджуваного руху за першим наближенням еквівалентні умовам того, що власні значення цієї матриці є різними і суто уявними. У разі, коли перша ланка спрямована вниз, а друга уверх, ці умови мають вигляд

(17)

і мають простий механічний зміст. Першу з цих нерівностей можна інтерпретувати у такий спосіб: на кінцях вертикально розташованого невагомого твердого стержня довжиною закріплені дві точкові маси: – на верхньому кінці і – на нижньому. Стержень має нерухому точку P, яка знаходиться на відстані від його нижнього кінця. Тоді перша умова (17) означає, що точка закріплення стержня знаходиться вище центра мас, тобто стан рівноваги такої системи стійкий. Якщо ж ця нерівність має протилежний знак, то точка закріплення міститься нижче центра мас, і стан рівноваги хитливий.

Друга умова (17) накладає обмеження знизу на величину швидкості руху матеріальної точки – її коливання повинні бути "досить швидкими" .

У підрозділі 4.2 розглянуто питання про стійкість рівномірних обертань вагомого гіроскопа на основі, що робить малі пружні коливання (рис. 2). Дана задача є природним продовженням досліджень А.М. Федорченка111 Федорченко А.М. Об одном динамическом методе повышения устойчивости быстровращающегося симметричного гироскопа // ПММ. – 1961. – 25, вип. 5. – С. 938 – 940.1, В.Ф. Журавльова112 Журавлев В.Ф. Об одной форме уравнений движения симметричного твердого тела // Изв. АН СРСР. Механика твердого тела. – 1986. – № 3. – С. 5 – 11.2, Ю.Г. Маркова113 Марков Ю.Г. О движении вязкоупругого твердого тела с вибрирующей точкой подвеса // Изв. АН СРСР. Механика твердого тила. – 1991. – № 6. – С. 16– 23.3, О.В. Холостової114 Холостова О.В. Об устойчивости "спящего" волчка Лагранжа с вибрирующей точкой подвеса // ПММ. –2000. – 64, вип. 5. – С. 858 – 868.4 і інших авторів. Знайдені умови зіставлено з "базовими" результатами – необхідними умовами стійкості рівномірних обертань випрямленого гіроскопа з нерухомою точкою115 Граммель Р. Гироскоп, его теория и применение: В 2-х т. – М.: Изд-во иностр. лит., 1952. – Т.1. – 351 с.5. Доведено, що коливання основи з частотою, яка перевищуює деяке граничне значення, стабілізують хитливе обертання гіроскопа з будь-яким розподілом мас. Це стосується, серед іншого, і того відомого факту, що рівномірні обертання гіроскопу навколо середньої головної осі, тобто при ( головні моменти інерції), є нестійким і (на відміну від симетричного гіроскопу) не стабілізується за рахунок збільшення швидкості обертання. У той же час встановлено, що, у залежності від розподілу мас тіла, можлива поява "проміжного" інтервалу критичних значень частоти коливань, у якому рух нестійкий. Іншими словами, при поступовому збільшенні частоти коливань стійкий режим може змінюватися хитливим.

Також у даному розділі отримані умови асимптотичної стійкості обертань симетричного гіростата на пружній основі з урахуванням сил тертя [12] і умови стійкості обертань симетричного гіроскопа з ротором, що робить малі високочастотні коливання уздовж осі симетрії носія [3].

У підрозділі 4.5 вивчене питання про стійкість руху системи двох гіроскопів Лагранжа, що зв'язані пружним універсальним шарніром і утворюють напівзамкнений ланцюг. Отримано достатні умови стійкості в першому наближенні регулярної прецесії такої системи і стійкості рівномірних обертань у випадку, якщо вісі тіл утворюють з вертикаллю ненульовий кут.

П'ятий розділ присвячено вивченню питання про вплив дисипативних сил з часткової дисипацією енергії на стійкість руху консервативної голономної механічної системи. Доведено теореми про асимптотичну стійкість і нестійкість стаціонарного руху, що поширюють класичні результати Кельвіна – Четаєва на випадок неповної дисипації. На конкретних прикладах механічних систем описано процедуру використання цих теорем.

Розглянемо консервативну механічну систему, що має m+n позиційних та k циклічних узагальнених координат, з кінетичною енергією

де q, r – вектори, – квадратні симетричні додатно означені матриці вимірності m+n та k відповідно; – прямокутна матриця вимірності k (m+n).

Припускаємо, що всі три матриці мають неперервні частинні похідні другого порядку; координати є позиційними, а – циклічними; верхній індекс t означає транспонування. Вважаємо, що система припускає стаціонарний рух (стан відносної рівноваги):

(18)

причому величину можна, не зменшуючи загальності, вибрати рівною нулю.

Виразимо вектор циклічних швидкостей з рівності

(19)

і в звичайний спосіб введемо кінетичний потенціал Рауса116 Лурье А.И. Аналитическая механика. – М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1961. – 824 с.6

Тут R – функція Рауса, P -- потенціальна енергія,

(20)

Введемо до розгляду сталі матриці A, B, C за допомогою формул

(21)

Нижче ми будемо використовувати блокове представлення для будь-якої квадратної матриці M порядку m + n у формі

де – квадратні матриці порядків m та n відповідно, –

прямокутні матриці відповідних вимірностей.

Зокрема, не важко переконатися в тому, що

Рівняння руху у формі Рауса мають вигляд

(22)

Вектор Q являє собою вектор непотенціальних сил і на даному етапі (для консервативної системи) дорівнює нулю.

Розіб'ємо вектор позиційних координат q на підвектори порядків m та n відповідно і припустимо, що на дану механічну систему діє сила тертя Припускається, що матриця f (t, 0, 0 ) додатно визначена при Позначимо через лінійні диференціальні оператори

а через D (l), D(l) – відповідні l-матриці:

Доведено наступну теорему.

Теорема 4. Розглянемо консервативну механічну систему с матрицями A, B, C, які визначаються за формулами (21), і припустимо, що ні для якого з власних значень оператора d і відповідного йому власного вектора не виконується рівність

(23)

Тоді додавання в систему довільної дисипативної сили яка є періодичною чи майже періодичною функцією часу, а є додатно означеною функцією відносно приводить до наступних результатів:

1) Якщо усі власні значення матриці C додатні, то стан рівноваги (18) стає асимптотично стійким стосовно позиційних координат і швидкостей. Стійкість є експоненціальною і рівномірною. Рух є стійким неасимптотично за циклічними швидкостями, які при необмеженому зростанні часу прямують до деяких граничних значень, як завгодно близьких до початкових.

2) Якщо матриця C має хоча б одне від'ємне власне значення, то стан рівноваги (18) нестійкий, навіть у тому випадку, коли попередньо був стабілізовано за допомогою гіроскопічних сил. Серед збурених окремих розв'язків системи принаймні один має від'ємне характеристичне число Ляпунова.

Зауваження. Твердження теореми залишається вірним у випадку, коли поряд із силами тертя на механічну систему діють довільні гіроскопічні за сили.

Відзначимо, що умови теореми 4, є е к в і в а л е н т н и м и відповідному результату Г.К. Пожарицького117 Пожарицкий Г.К. Об асимптотической устойчивости равновесий и стационарных движений механических систем с частичной диссипацией // ПММ – 1961. – 25, вып. 4. – 657 – 667.7, 118 Пожарицкий Г.К. Характеристические показатели затухающих колебаний механических систем с частичной диссипацией // ПММ – 1965. – 29, вып. 5. – 927– 931.8, х о ч а і у я в л я ю т ь с я більш зручними для використання. Основною перевагою є розщеплення системи на підсистеми порядків m та n, у той час, як згідно згаданим результатам Пожарицького необхідно знаходити ранг матриці порядку m + n. Крім того, в цих роботах в и х і д н а с и с т е м а передбачається записаною в нормальних координатах, що у випадку виконання аналітичних викладень може привести до серйозних додаткових ускладнень, а теорема 4 дозволяє працювати з довільно обраними узагальненими координатами.

Отримані результати використані в задачі пасивної стабілізації руху обертового маятника119 Krupa M., Schagerl M., Steindl A., Troger H. Stability of relative equilibria. Comparison of four methods // Meccanica – 2001 – 35. – P. 325 – 351.9 (рис. 3). Знайдено характеристики стабілізуючого пристрою, що забезпечують асимптотичну стійкість досліджуваного режиму, а також "критичні" значення, при яких стабілізація не відбувається. Окремо розглянуто випадок виконання умови (23), тобто невиконання умов теореми 4. Встановлено, що стаціонарний рух системи також є асимптотично стійким, хоча і не експоненціально. Для дослідження застосовано "прямий" шлях – використання методики

О.Я. Савченка220 А.Я. Савченко, А.О. Игнатьев. Некоторые задачи устойчивости неавтономных динамических систем. – Киев: Наук. думка, 1989. – 208 с.0 дослідження стійкості в критичному випадку суто уявних коренів.

У шостому розділі роглянуто задачу про рух механічної системи, що складається з абсолютно твердого динамічно симетричного твердого тіла (носія) з нерухомою точкою, і розташованого в ньому тіла (рис. 4). Останнє, поряд з обертальним рухом навкруг осі, колінеарної до осі симетрії носія, робить вільні пружні (відносні) коливання в площині, що перпендикулярна до осі обертання. Виявлено стаціонарні рухи системи. Досліджено вплив відносного руху тіла, що несеться, (у першу чергу коливного) на стійкість рівномірних обертань носія. Отримано достатні умови стійкості руху – умови знаковизначенності функції Рауса, а також необхідні умови стійкості – умови існування чотирьох різних власних частот для системи першого наближення. Розглянуто випадок консервативної системи – без урахування сил опору середовища, а також випадок наявності в'язкого тертя в підвісі ротора. При цьому коефіцієнт тертя може бути як сталим, так і періодично (майже періодично) залежним від часу.

В И С Н О В К И

В диссертаційній работі розв’язана задача узагальнення прямого методу Ляпунова для дослідження питань стійкості і оцінювання розв'язків неавтономних, неперіодичних динамічених систем із застосуванням необмеженої за часом допоміжної функції. Результати використано для отримання умов стійкості відносних станів рівноваги різних механічних систем. Також доведено теореми про асимптотичну стійкість і нестійкість рухів неконсервативних механічних систем с частковою дисипацією енергії. Ці результати використано для розв'язання задачи пасивної стабілізації маятника, що обертається, і знаходження умов стійкості обертань симетричного твердого тіла з пружно закріпленим ротором.

Серед основних результатів роботи відзначимо слідуючі:

1. Доведено теореми про оцінки поведінки розв'язків неавтономної динамичної системи загального вигляду з застосуванням необмеженої за часом функції Ляпунова. Знайдено умови эквіасимптотичної стійкості нульового розв'язку такої системи. Доведено теорему про стійкість за лінійним наближенням. Як приклад розглянуто питання асимптотичної стійкості стану рівноваги маятника с тертям, що залежить від часу. Отримані умови накладають більш слабкі обмеження у порівнянні з відомими аналогічними результатами різних авторів (R.J. Ballieu і K. Peiffer , J.L. Corne , L. Hatvani, J. Karsai і J.Graef, N. Rouche та ін.).

2. Вперше отримано умови асимптотичної стійкості и нестійкості неавтономної системи другого порядку в критичному випадку подвійного нульового кореня с двома групами розв'язків. Запропонований підхід може бути основою для розповсюдження існуючого способу побудови функції Ляпунова для автономних і періодичних систем на випадок неперіодичних систем більш високого порядку.

3. Для лінійних періодичних за часом систем із