ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА
ПЕТРИЧКОВИЧ Василь Михайлович
УДК 512.64+512.55
УЗАГАЛЬНЕНА ЕКВІВАЛЕНТНІСТЬ МАТРИЦЬ
І ЇХ НАБОРІВ ТА ФАКТОРИЗАЦІЯ МАТРИЦЬ
НАД КІЛЬЦЯМИ
01.01.06 – алгебра та теорія чисел
АВТОРЕФЕРАТ
дисертації на здобуття наукового ступеня
доктора фізико-математичних наук
Київ – 2006
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана у відділі у відділі алгебри Інституту прикладних проблем
механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України.
Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор
Артамонов В'ячеслав Олександрович,
Московський державний університет
імені М. В. Ломоносова,
професор кафедри вищої алгебри;
доктор фізико-математичних наук, професор
Гудивок Петро Михайлович,
Ужгородський національний університет,
завідувач кафедри алгебри;
доктор фізико-математичних наук, професор
Дрозд Юрій Анатолійович,
Київський національний університет
імені Тараса Шевченка,
професор кафедри алгебри та математичної логіки.
Провідна установа – Львівський національний університет імені Івана Франка, кафедра алгебри та логіки, м. Львів.
Захист відбудеться _12 червня 2006 р. о _14_ год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.18 у Київському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою: 03127, м. Київ, проспект академіка Глушкова, 6, механіко-математичний факультет.
З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою: 01033, м. Київ, вул. Володимирська, 58.
Автореферат розісланий _5_ травня 2006 р.
Вчений секретар
спеціалізованої вченої ради _____________ Плахотник В.В.
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. Дисертаційна робота присвячена вивченню різних типів еквівалентностей матриць, їх пар та скінченних наборів над кільцями, зокрема, узагальненої еквівалентності пар та скінченних наборів матриць над кільцями головних ідеалів та адекватними кільцями, напівскалярної еквівалентності матриць і їх наборів над кільцями многочленів та застосуванню встановлених форм матриць щодо таких перетворень в задачах факторизації матриць. Особлива увага зосереджена на факторизації матриць над кільцями многочленів.
Нехай – комутативне кільце з . Набори матриць і називаємо еквівалентними, якщо , , для деяких оборотних матриць і над .
Задача про еквівалентність наборів матриць розв'язана Вейерштрасом та Кронекером лише для пар матриць () у випадку, коли – поле. М.П.Кравчук вказав елементарний метод зведення пари матриць над полем до канонічної форми Кронекера. П.М.Гудивок Гудивок П.М. Об эквивалентности матриц над коммутативными кольцами // Беск. группы и примыкающие алгебр. структуры.– Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1993. С. 431–437. довів, що задача еквівалентності пар матриць над кільцями є дикою і тому сподіватися на її повне розв'язання не має підстав. Проте багато задач в теорії зображень груп та скінченновимірних алгебр, факторизації матриць і мультиплікативності їх канонічних діагональних форм потребують вивчення еквівалентності пар та скінченних наборів матриць лише зі спільною односторонньою перетворювальною матрицею.
Так, В.Длаб і М.Рінгель Dlab V., Ringel C.M. Canonical forms of pairs of complex matrices // Linear Algebra Appl.– 1991. – 147.– P. 387–410. розглянули еквівалентність пар комплексних матриць , яку можна схематично записати у вигляді , де – комплексна, а – дійсні оборотні матриці. Вони встановили канонічну форму для пар таких матриць, яка досягається перетвореннями зазначеного типу.
Т.Н.Гайдук і В.В.Сергійчук Gaiduk T.N., Sergeichuk V.V. Generic canonical form of pairs of matrices with zeros // Linear Algebra Appl.– 2004.–380.– P. 241–251. запропонували канонічну форму для пари матриць над полем стосовно спільних рядкових і різних стовпцевих перетворень.
Наведенні міркування показують природність такого поняття.
Означення 2.3. Набори матриць і над кільцем називаємо узагальнено еквівалентними, якщо , , для деяких оборотних матриць і над .
Задача про узагальнену еквівалентність, як і задача про звичайну еквівалентність пар матриць над кільцями, є дикою. Тому її повне розв'язання можливе лише в окремих випадках.
Незважаючи на це, актуальною залишається проблема встановлення простіших форм пар та скінченних наборів матриць стосовно узагальненої еквівалентності, які в окремих випадках визначаються однозначно, тобто є канонічними.
У 1977 році П.С.Казімірським і автором введено поняття напівскалярної еквівалентності многочленних матриць та їх скінченних наборів над кільцем многочленів P[x], де P – поле. Це один із типів узагальненої еквівалентності наборів матриць. У випадку, коли поле P – алгебраїчно замкнене характеристики нуль і многочленні матриці неособливі або повних рангів, то для скінченних наборів таких матриць стосовно напівскалярно еквівалентних перетворень встановлено трикутну форму з інваріантними множниками на головних діагоналях. Ця форма суттєво використана П.С.Казімірським при розв'язанні задачі про виділення регулярного множника із матричного многочлена над алгебраїчно замкненим полем характеристики нуль.
Схожий результат щодо напівскалярної еквівалентності неособливих многочленних мат-риць набагато пізніше формулюють L.Baratchart Baratchart L. Un theoreme de factorization et son application a la representation des systemes cycliques causaux // C. R. Acad. Sci. Paris. Serie I.–1982. –295, No 3.– P. 223–226. у 1982 році, J.A.Dias da Silva і T.J.Laffey Dias da Silva J.A., Laffey T.J. On simultaneous similarity of matrices and related questions // Linear Algebra Appl.– 1999.– 291.– P. 167–184. у 1999 році.
Задача про напівскалярну еквівалентність многочленних матриць тісно пов'язана з відомою проблемою про подібність пар та скінченних наборів матриць над полем. Унітальні матричні многочлени подібні тоді і тільки тоді, коли вони напівскалярно еквівалентні, а, отже, є подібними і набори матриць, складені із коефіцієнтів цих матричних многочленів. Цей факт і встановлена трикутна форма многочленної матриці щодо напівскалярної еквівалентності використовується при розв'язуванні задач про подібність певних класів пар матриць над алгебраїчно замкненим полем характеристики нуль.
Усі наведені вище результати щодо напівскалярної еквівалентності многочленних матриць та їх наборів, так само як і їх застосування, стосуються матриць над кільцем многочленів P[x], де P– алгебраїчно замкнене поле характеристики нуль, а самі матриці – неособливі або ж повних рангів. В інших випадках многочленні матриці і їх набори можуть не зводитись до трикутних форм з інваріантними множниками на головних діагоналях. Тому важливим питанням є встановлення (стосовно напівскалярної еквівалентності) форми для будь-яких многочленних матриць та їх наборів над довільними полями. Не менш важливі застосування таких форм при вивченні структури матричних многочленів, зокрема, їх факторизацій.
Видатний російський математик З.І.Боревич Боревич З.И. О факторизациях матриц над кольцом главных идеалов // Тез. докл. III Всес. симп. по теории колец, алгебр и модулей. – Тарту: Тартуский ун-т.– 1976. – С. 19. вперше сформулював умови існування єдиної з точністю до асоційовності факторизації неособливої матриці над кільцем головних ідеалів, яка відповідає факторизації її канонічної діагональної форми. Задача полягає в описі всіх (з точністю до асоційовності) факторизацій та дільників довільних матриць над кільцями, зокрема, у встановленні критеріїв єдиності (з точністю до асоційовності) факторизацій довільних матриць. Разом з тим виникла задача єдиності дільників матриці із заданими канонічними діагональними формами.
Особливо важливою є задача про розкладність многочленної матриці (матричного многочлена) на регулярні, зокрема, унітальні множники. Це зумовлено, зокрема, таким фактом. З узагальненої теореми Безу випливає, що коли двочлен B(x)=Ex-B є лівим дільником матричного многочлена над полем P, то матриця Y_0=B є розв'язком відповідного матричного рівняння . Тому задача факторизації матричних многочленів містить задачу про розв'язність матричних многочленних рівнянь.
У багатьох прикладних задачах виникає алгебраїчне рівняння Ріккаті XAX+BX+XC+D=0 Lancaster P., Rodman L. Algebraic Riccati Equations. – Oxford: Clarendon Press, 1995. – 492 p. Алиев Ф.А. Методы решения прикладных задач оптимизации динамических систем. – Баку: Элм. 1989.–320 с. Алиев Ф.А., Ларин В.Б. Особые случаи в задачах оптимизации стационарных линейных систем, функционирующих по принципу обратной связи // Прикладная механика. – 2003. – 39, № 3. – С. 3–26., яке у випадку, коли матриця A – неособлива, зводиться до матричного квадратного рівняння Y2+MY+N=0. Тому методи факторизації матричних многочленів можна використовувати для пошуку розв'язків матричних рівнянь типу Ріккаті та інших матричних різносторонніх рівнянь.
Добре відома важлива роль многочленних матриць (-матриць), зокрема, їх факторизацій, в теорії систем диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами. Я.Б.Лопатинський в 50-х роках минулого століття Лопатинский Я.Б. Разложение полиномиальной матрицы на множители // Научные записки Львовского политехн. ин-та. Серия физ.-матем. – 1957. – 38, № 2. – С. 3–7. сформулював задачу про розкладність матричного многочлена на регулярні множники у зв'язку із розв'язуванням систем диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами. В термінах власних і приєднаних векторів, жорданових ланцюгів відповідних многочленних матриць, Ланкастер, Лангер, Віммер, Гохберг, Родман та ін. описують розв'язки диференціальних рівнянь та їх систем.
Вивчення факторизацій матричних многочленів також пов'язане із задачами, що виникають в теорії операторних пучків, коливних і динамічних систем, оптимального керування та ін. Так, М.Г.Крейн і Г.Лангер Крейн М.Г., Лангер Г. К теории квадратических пучков самосопряженных операторов // Докл. АН СССР. – 1964. – 154, № 6. – С. 1258 – 1261. Крейн М.Г., Лангер Г. О некоторых математических принципах теории демпфированных колебаний континуумов // Труды междун. симп. по применению теории функций комплексного переменного в механике сплошной среды. М: Наука. – 1965. – 2. – С. 283–322. вперше застосували метод дослідження спектральних властивостей квадратичного операторного пучка, який ґрунтується на аналізі коренів відповідного квадратичного операторного рівняння, а це приводить до задачі про факторизацію квадратичного пучка. В роботах В.А.Якубовича, Б.Д.Любачевського, В.Р.Зеліска та ін. досліджується проблема факторизації симетричних матричних многочленів, зокрема, многочленів над кільцями з інволюцією, які знаходять застосування у прикладних задачах.
Відомими є два основних підходи до розв'язування задач факторизації матричних многочленів.
Перший підхід ґрунтується на класичних поняттях власних і приєднаних векторів, що від-повідають характеристичним кореням матричних многочленів та жорданових ланцюгів (Лан-ка-стер, Лангер, Віммер, Деніс,Трауб, Вебер, Гохберг, Родман, Маркус, Мереуца, Малишев, та ін).
П.С.Казімірський запропонував оригінальний підхід до розв'язування цих задач. На основі введених нових і дуже вдалих понять значення многочленної матриці на системі коренів многочлена та супровідної матриці, він розробив метод факторизації матричних многочленів. Це дало можливість отримати розв'язок задачі про виділення регулярного множника із матричного многочлена над алгебраїчно замкненим полем характеристики нуль. Так був знайдений критерій існування та встановлено спосіб знаходження унітальних дільників матричного многочлена над алгебраїчно замкненим полем характеристики нуль.
Обидва ці підходи, так само і розроблені на їх основі методи, можна застосовувати до матричних многочленів у випадку, коли основне поле – поле комплексних чисел або будь-яке алгебраїчно замкнене поле характеристики нуль.
Задача факторизації матричних многочленів над довільним полем розв'язана лише в окремих випадках. Тому є необхідність розробити методи факторизації матричних многочленів над загальними полями і навіть над кільцями.
Крім загальної проблеми про встановлення умов існування унітальних дільників та розробки методів їх побудови для многочленних матриць над різними полями, виникають ще й інші задачі, серед яких виділимо такі:–
Опис класів розкладних на унітальні множники матричних многочленів. Відомо, що регулярний матричний многочлен розкладається на лінійні унітальні множники, якщо він має просту структуру (тобто його елементарні дільники лінійні), кратності його характеристичних коренів не перевищують 2, степені елементарних дільників не перевищують 2. Тому актуальною є задача розширення цих класів, зокрема, виділення розкладних матричних многочленів, кратності характеристичних коренів та степені елементарних дільників яких є більшими від 2.–
Оцінка числа дільників та факторизацій матричних многочленів. M.H.Ingraham Ingragam M.N. Rational metod in matrix equation // Bull. Amer. Math. Soc. – 1941. – 47. – P. 61 – 70., J.H.Bell Bell J.H. Families of solutions of the unilateral matrix equation // Proc. Amer. Math. Soc. – 1950. – 1. – P. 151 – 159. виділили класи многочленних матричних рівнянь, які мають нескінченну кількість розв'язків, зокрема, і класи матричних многочленів, які мають нескінченну кількість лінійних унітальних дільників. П.С.Казімірський вказав класи матричних многочленів, які можуть мати лише скінченну кількість лінійних унітальних дільників. У зв'язку з цим виникає природнє запитання: якщо ця кількість дільників та факторизацій матричних многочленів скінченна, в яких межах вона знаходиться?–
Розклад матричних многочленів у добуток довільного числа унітальних нерозкладних множників, зокрема, у добуток лінійних множників. Навіть для матричних многочленів над алгебраїчно замкненим полем характеристики нуль ця задача розв'язана лише в часткових випадках.
Розв'язанню вищесформульованих та споріднених з ними задачам присвячена ця дисертаційна робота. Наведений огляд підтверджує, що тематика роботи справді є актуальна, а її результати важливі як з теоретичної точки зору так і в плані їх застосувань.
Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертаційної роботи пов'язана із дослідженнями структури матриць над кільцями, зокрема, многочленних матриць, а також розв'язуванням матричних рівнянь, які проводяться в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С.Підстригача НАН України протягом багатьох десятиліть. Автор брав активну участь у цих дослідженнях як науковий керівник та виконавець бюджетних тем „Розробка методів дослідження структури матриць над поліноміальними кільцями та їх застосування“, 1994 –1997 рр. (номер держреєстрації: 0194U015279), „Розробка методів дослідження структури матриць над кільцями і скінченновимірних алгебр Лі та їх застосування“, 1998 – 2002 рр. (номер держреєстрації: 0198U002532), „Алгебраїчні та комбінаторні методи в матричних кільцях, скіннченнопараметричних групах та топологічних групах“ (номер держреєстрації: 0103U000127) з 2003 р. відділу алгебри Інституту.
Мета i задачi дослiдження. Об'єктом дослідження є різні типи еквівалентностей матриць, їх пар і скінченних наборів над кільцями та факторизації матриць.
Предмет дослідження складають форми пар та скінченних наборів матриць (стосовно узагальненої еквівалентності), умови існування та методи побудови факторизацій матриць.
Мета дослідження мотивується такими завданнями:
1) запропонувати методи зведення пар та скінченних наборів матриць над кільцями до простіших форм і отримати певні їх застосування;
2) описати факторизації матриць над адекватними кільцями;
3) розробити метод розкладності на унітальні множники матричних многочленів над довільними полями:
а) описати класи розкладних на множники матричних многочленів;
б) оцінити кількості дільників многочленної матриці та встановити співвідношення між кількістю дільників та її звідністю;
в) встановити зв'язки між факторизаціями клітково-трикутних та клітково-діагональ-них матриць і факторизаціями їх діагональних кліток;
г) вказати умови існування унітальних дільників матричних многочленів та спосіб їх побудови;
д) розробити метод розкладності матричних многочленів у добуток унітальних множників.
У дослідженнях використані методи лінійної алгебри та теорії кілець.
Наукова новизна одержаних результатiв. У дисертаційній роботі отримані такі нові результати:
1) встановлена стандартна форма пари матриць стосовно узагальненої еквівалентності, на основі якої:
а) вказані умови узагальненої еквівалентності пар матриць;
б) встановлені критерії діагоналізовності пар матриць та наборів, що складаються з матриці та її дільників;
в) розширені відомі до цього класи матриць, що володіють властивістю мультиплі-ка-тивності канонічних діагональних форм;
2) описані -факторизації матриць над адекватним кільцем:
а) вказаний вигляд усіх таких факторизацій;
б) встановлені критерії єдиності (з точністю до асоційовності) факторизацій матриць та їх дільників із заданими канонічними діагональними формами;
3) знайдені умови розкладності многочленної матриці на унітальні множники залежно від кратностей її характеристичних коренів та степенів елементарних дільників, які можуть бути більшими від 2, що значно розширює відомі до цього класи розкладних многочленних матриць;
4) описана структура многочленних матриць без кратних характеристичних коренів:
а) доведено існування абсолютно розкладних матричних многочленів та вказано критерій абсолютної розкладності матричного многочлена;
б) встановлені нижня та верхня межі для кількості лінійних унітальних дільників та розкладів на лінійні множники многочленної матриці;
в) вказані зв'язки між числом дільників та звідністю матриць до кліткових виглядів, зокрема, виділені області для чисел дільників матриць, в яких вони звідні або незвідні;
5) встановлені умови, за яких факторизації клітково-трикутних та клітково-діагональних многочленних матриць є відповідно клітково-трикутними та клітково-діагональними, тобто в цих випадках факторизації клітково-трикутних та клітково-діагональних матриць зводяться до факторизацій їх діагональних кліток;
6) вказані умови існування унітальних дільників матричних многочленів та спосіб їх побудови з умовою паралельності відповідних розкладів многочленів;
7) встановлені умови існування паралельних розкладів матричних многочленів на довільну кількість унітальних множників, якими охоплюються значно ширші класи розкладних матричних многочленів відомих до цього.
Наведені результати одержані вперше.
Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертаційної роботи мають теоретичний характер. Їх можна використати при подальшому вивченні структури матриць над кільцями, в задачах, сформульованих на початку вступу, в суміжних розділах алгебри.
Особистий внесок здобувача. Результати дисертаційної роботи належать автору і опуліковані у працях без співавторів.
Апробацiя роботи. Результати дисертаційної роботи оприлюднено на: ХVІІ (м. Мінськ, 1983 р.), ХVІІІ (м. Кишинів, 1985 р.), ХІХ (м. Львів, 1987 р.) Всесоюзних алгебраїчних конферен-ціях, Міжнародній конференції з алгебри, присвяченій пам'яті О.І.Мальцева (м. Новосибірськ, 1989 р.), VІ симпозіумі з теорії кілець, алгебр і модулів (м. Львів, 1990 р.), Міжнародній конферен-ції з алгебри, присвяченій пам'яті А.І.Ширшова (м. Барнаул, 1991 р.), Міжнародній конференції, присвяченій пам'яті академіка М.П. Кравчука (м. Київ – м. Луцьк, 1992 р.), Третій міжнародній конференції з алгебри, присвяченій пам'яті М.І. Каргаполова (м. Красноярськ, 1993 р.), Міжна-род-ній науковій конференції, присвяченій 100-річчю з дня народження Н.Г.Чеботарьова (м. Казань, 1994 р.), Всеукраїнській науковій конференції, присвяченій 70-річчю від дня народження П.С.Казімір-ського (м. Львів, 1995 р.), V Міжнародній конференції ім. академіка М.Кравчука (м. Київ, 1996 р.), Міжнародній конференції з теорії кілець (м. Мішкольц, Угорщина, 1996 р.), Першій (м. Слов'янськ, 1997 р.), Другій (м. Київ – м. Вінниця, 1999 р.), Третій (м. Суми, 2001 р.), Четвертій (м. Львів, 2003 р.) та П'ятій (м. Одеса, 2005 р.) міжнародних алгебраїчних конференціях в Україні, Міжнародній науковій конференції, присвяченій 70-річчю від дня народження академіка Я.С.Підстригача (м. Львів, 1998 р.), Міжнародній алгебраїчній конференції (м. Ужгород, 2001 р.), Міжнародній математичній конференції, присвяченій сторіччю від початку роботи Д.О.Граве (1863 -- 1939) в Київському університеті (м. Київ, 2002 р.), Міжнародній алгебраічній конференції, присвяченій пам'яті проф. З.І.Боревича (1922 – 1995) (м. Санкт–Петербург, 2002 р.), конференції Наукового Товариства імені Шевченка (м. Львів, 2003 р.).
Крім того, результати дисертаційної роботи неодноразово доповідались на алгебраїчному семінарі Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, на розширеному алгебраїчному семінарі, присвяченому 20-річчю кафедри алгебри і топології Львівського національного університету імені Івана Франка (2001 р.), на Львівському міському ал-гебраїчному семінарі (2003 --- 2005 р.р.), на розширеному алгебраїчному семінарі Київського на-ціонального університету імені Тараса Шевченка, присвяченому 80-річчю Л.А.Калужніна (1994р.), на алгебраїчному семінарі Київського національного університету імені Тараса Шевченка (2004р.).
Публiкацiї. Результати дисертації опубліковані у 24 статтях, з яких 22 – у фахових виданнях з переліку, затвердженого ВАК України та у 18 тезах доповідей і матеріалах наукових конференцій. Усі ці публікації без співавторів.
Структура та обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, шести розділів – „Попередні відомості та огляд літератури за темою“, „Узагальнена еквівалентність наборів матриць“, „Стандартна форма пари матриць та факторизація матриць“, „Розкладність на множники та звідність многочленних матриць“, „Факторизація кліткових матриць“, „Дільники та факторизації матричних многочленів“, висновків та списку використаних джерел і має обсяг 291 сторінку. Список використаних джерел налічує 262 найменування і займає 31 сторінку.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
У вступі обгрунтована актуальність тематики, визначено мету та задачі дослідження, вказано наукову новизну, апробацію одержаних результатів, коротко викладений зміст дисертації та методи досліджень.
У першому розділі наведено відомі поняття та результати, які стосуються еквівалентностей матриць, їх пар та скінченних наборів, а також методи факторизації многочленних матриць, їх зв'язки з іншими задачами, зокрема, із розв'язуванням матричних многочленних рівнянь.
У другому розділі досліджується узагальнена еквівалентність пар та наборів матриць. Встановлена стандартна форма для пари матриць, форма для скінченного набору многочленних матриць над довільним полем стосовно напівскалярної еквівалентності, наведені умови узагальненої еквівалентності пар матриць та критерій їх діагоналізовності.
У третьому розділі встановлюються важливі застосування стандартної форми пари матриць при вивченні властивостей інваріантних множників та канонічних діагональних форм матриць, в задачах їх подільності і факторизації.
У четвертому розділі виділено клас розкладних на множники матричних многочленів, степені елементарних дільників яких можуть перевищувати 2. Вказано межі для кількості лінійних дільників матричного многочлена без кратних характеристичних коренів та встановлено співвідношення між кількістю дільників і звідністю многочленної матриці.
У п'ятому розділі досліджуються факторизації клітково-трикутних та клітково-діагональних многочленних матриць, зокрема, встановлено умови, за яких факторизації таких матриць мають такий самий клітково-трикутний та клітково-діагональний вигляд. У цих випадках факторизації кліткових матриць зводяться до факторизацій їх діагональних кліток. Вказано метод побудови клітково-трикутних факторизацій клітково-трикутних многочленних матриць на основі розв'язків відповідних лінійних матричних многочленних рівнянь Сильвестра.
У шостому розділі на основі запропонованого способу регуляризації та встановленої трикутної форми многочленних матриць над довільним полем щодо напівскалярної еквівалентності, розроблено метод їх факторизації.
ВИСНОВКИ
У дисертаційній роботі вивчаються різні типи еквівалентностей матриць, їх пар та скінченних наборів над певними кільцями, зокрема, головних ідеалів, адекватними кільцями та кільцями многочленів. Вперше знайдено форми пар та скінченних наборів матриць щодо цих перетворень та наведено їх застосування, зокрема, в задачах факторизації матриць.–
Введено поняття узагальненої еквівалентності пар та скінченних наборів матриць. Встановлено стандартну форму для пари матриць над адекватним кільцем щодо узагальненої еквівалентності. Вказані умови узагальненої еквівалентності пар матриць. Виділені класи пар матриць, для яких стандартна форма визначена однозначно, тобто, є канонічною. Встановлено критерій діагоналізовності пар матриць. Для набору матриць, що складається з матриці та її дільників, встановлено умови його діагоналізовності; для трійки матриць вказано деяку форму стосовно узагальненої еквівалентності.–
Для скінченного набору довільних многочленних матриць над полем встановлено форму щодо напівскалярної еквівалентності. У випадку скінченного основного поля, вказані умови звідності набору многочленних матриць такими перетвореннями до цієї форми. Це є узагальненням результатів, одержаних раніше іншими авторами, для неособливих многочленних матриць над алгебраїчно замкненим полем характеристики нуль та нескінченними полями щодо їх напівскалярної еквівалентності.–
Для довільних прямокутних матриць доведено, що коли матриця є дільником матриці , то її канонічна діагональна форма є дільником канонічної діагональної форми матриці . Вказано умови, за яких канонічна діагональна форма добутку матриць дорівнює добутку їх канонічних діагональних форм та виділено класи матриць, канонічні діагональні форми яких мають властивість мультиплікативності. Це узагальнює результати, одержані Інграгамом, Ньюменом та ін.–
Описано -факторизації матриць над адекватним кільцем. Вказано вигляд усіх таких факторизацій та критерії єдиності з точністю до асоційовності факторизацій матриць, паралельних та відповідних до факторизацій їх канонічних діагональних форм і єдиності їх дільників із заданими канонічними діагональними формами. Встановлено зв'язки між спільними дільниками матриць, їх канонічних діагональних форм та спільними дільниками матриць із стандартної пари матриць.–
Вказано умови розкладності многочленної матриці на унітальні множники залежно від кратностей її характеристичних коренів та степенів елементарних дільників, які можуть бути більші від 2, що значно розширило відомі класи розкладних многочленних матриць, виділених багатьма авторами.–
Описано структуру многочленних матриць без кратних характеристичних коренів. Введено поняття абсолютно розкладних матричних многочленів. Доведено існування абсолютно розкладних матричних многочленів із будь-якими наперед заданими різними характеристичними коренями. Вказано критерій абсолютної розкладності матричних многочленів. Доведено, що абсолютно розкладний матричний многочлен є незвідним. Встановлено нижню та верхню межі для кількості лінійних унітальних дільників матричного многочлена та кількості його розкладів на лінійні унітальні множники. Вказано зв'язки між кількістю дільників та звідністю многочленних матриць до кліткових виглядів, зокрема, виділено області для кількостей дільників многочленних матриць, в яких матриці є звідними чи незвідними.–
Встановлено умови, за яких факторизації клітково-трикутних та клітково-діаго-нальних матриць мають відповідно клітково-трикутний та клітково-діагональний вигляд, тобто множники у цих факторизаціях мають відповідний клітковий вигляд. Виділено класи клітково-трикутних та клітково-діагональних многочленних матриць, які можуть мати лише клітково-трикутні та клітково-діагональні факторизації відповідно. Для таких класів матриць їх факторизації зводяться до факторизацій діагональних кліток. Знайдено необхідні і достатні умови розкладності клітково-трикутних многочленних матриць на клітково-трикутні множники та вказано метод побудови таких факторизацій за розв'язками лінійних матричних рівнянь типу Сильвестра.–
На основі встановленої трикутної форми для набору многочленних матриць та запропонованого способу регуляризації матричних многочленів над довільним полем розроблено метод їх факторизації.Встановлено умови існування унітальних дільників матричних многочленів над довільним полем з умовою паралельності відповідних розкладів многочленів та вказаний спосіб їх побудови. Наведено умови єдиності -факторизацій з унітальними множниками та унітальних дільників із заданими канонічними діагональними формами матричних многочленів.–
Встановлено умови існування та спосіб побудови паралельних розкладів матричних многочленів на довільну кількість унітальних множників. На основі цього описано факторизації для значно ширших класів матричних многочленів, відомих раніше.
При розв'язанні задач дисертації автор розробив методи, які можна використати при подальшому вивченні структури матриць над кільцями, для розв'язування різного типу матричних рівнянь (многочленних односторонніх, різносторонніх типу Ріккаті та різносторонніх многочленних матричних рівнянь загального вигляду).
СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ
Петричкович В. М. Абсолютная разложимость матричных многочленов // Мат. методы и физ.-мех. поля. – 1979. – Вып. 9. – С. 37 – 41.
Петричкович В. М. О числе решений матричного уравнения // Мат. методы и физ.-мех. поля. – 1980. – Вып. 12. – С. 56 – 58.
Петричкович В. М. О линейных делителях и приводимости многочленных матриц // Укр. мат. журн. – 1984. – 36, № 2. – С. 195 – 200.
Петричкович В.М. Розкладність на множники клітково-трикутних та клітково-діагональних многочленних матриць // Доп. АН УРСР. Сер. А. – 1984. – № 10. – С. 38 – 40.
Петричкович В.М. Клеточно-треугольная и клеточно-диагональная факторизации клеточно-треугольных и клеточно-диагональных многочленных матриц // Мат. заметки. – 1985. – 37, вып. 6. – С. 789 – 796.
Петричкович В. М. О полускалярной эквивалентности и нормальной форме Смита многочленных матриц // Мат. методы и физ.-мех. поля. – 1987. – Вып. 26. – С. 13 – 16.
Петричкович В.М. Про паралельні факторизації многочленних матриць // Доп. АН УРСР. Сер. А. – 1989. – № 9. – С. 18 – 21.
Петричкович В. М. Полускалярная эквивалентность и факторизация многочленных матриц // Укр. мат. журн. – 1990. – 42, № 5. – С. 644 – 649.
Петричкович В. М. Разложение многочленных матриц на множители с заданными каноничес-кими диагональными формами // Мат. методы и физ.-мех. поля. – 1990. – вып. 26. – С. 17 – 19.
Петричкович В.М. Паралельні факторизації многочленних матриць // Укр. мат. журн. – 1992. – 44, № 9. – С. 1228 – 1233.
Петричкович В.М. Про подільність матриць і їх одночасну звідність до канонічних діагональних форм // Доп. АН УРСР. – 1996. – № 1. – С. 5 – 6.
Петричкович В. М. Критерій діагоналізовності пари матриць над кільцем головних ідеалів спільними рядковими і різними стовпцевими перетвореннями // Укр. мат. журн. – 1997. – 49, № . – С. 860 – 862.
Petrychkovych V. Generalized equivalence of pairs of matrices // Математичні студії. – 1997. – 8, № . – С. 147 – 152.
Петричкович В. М. Про паралельні факторизації матриць над кільцями головних ідеалів // Мат. методи та фіз.-мех. поля. – 1997. – 40, № 4. – С. 96 – 100.
Петричкович В. М. Про діагоналізовність наборів матриць та єдиність їх факторизацій // Вісн. держ. ун-ту "Львівська політехніка". Прикл. матем. – 1999. – № 364. – С. 177 – 180.
Petrychkovych V. Generalized equivalence of pairs of matrices // Linear and Multilinear Algebra. – 2000. –48, No 2. – P. 179 – 188.
Петричкович В. М. Про напівскалярну еквівалентність многочленних матриць // Вісн. держ. ун-ту "Львівська політехніка". Прикл. математика. – 2000. – № 407. – С. 115 – 118.
Петричкович В. М. Звідність пар матриць узагальнено еквівалентними перетвореннями до трикутних та діагональних форм і їх застосування // Мат. методи і фіз.- мех. поля. – 2000. –43, № 2. – С. 15 – 22.
Petrychkovych V. Standard form of pairs of matrices with respect to generalized equivalence // Visnyk Lviv. Univ., Ser. Mech-Math. – 2003. –61. – P. 148 – 155.
Petrychkovych V.M. Generalized equivalence of collections of matrices and common divisors of matrices // Algebra and Discrete Mathematics. – 2004. – No 2. – P. 84 – 91. (A note to my paper "Generalized equivalence of collections of matrices and common divisors of matrices"// Algebra and Discrete Mathematics. – 2005. – No 2. – P. 94 – 95.)
Петричкович В. М. Про подільність та факторизацію матриць // Математичні студії. – 2004. –22, № 2. – С. 115 – 120.
Петричкович В. М. Про кратності характеристичних коренів, степені елементарних дільників та факторизацію многочленних матриць // Мат. методи і фіз.- мех. поля. – 2005. – 48, № 2. – С. 7 – 17.
Петричкович В. М. Про узагальнену еквівалентність пар матриць // Вісн. держ. ун-ту ``Львівська політехніка''. Прикл. математика. – 1998. – № 346. – С. 57 – 59.
Петричкович В. М. Про розкладність матричних многочленів в добуток унітальних множників // Алгебра і топологія. Темат. зб. наук. праць. Львів: Львівський державний ун-т. – 1996. – С. 112 – 124.
Петричкович В. М. О линейных делителях и приводимости многочленных матриц // ХVІІ Всес. алгебр. конф. Тез. сообщ., ч. ІІ. Минск, 1983 г. – С. 182.
Петричкович В. М. О полускалярной эквивалентности и мультипликативных свойствах нормальной формы Смита многочленных матриц // ХVІІ Всес. алгебр. конф., Тез. сообщ., ч. ІІ. Кишинев: Штиинца, 1985. – С. 92.
Петричкович В. М. О факторизации многочленных матриц // ХІХ Всес. алгебр. конф. Тез. сообщ., ч. І. ИППММ АН УССР. Львов, 1987. – С. 217.
Петричкович В. М. Параллельная факторизация многочленных матриц // Междун. конф. по алгебре, посвященная памяти А.И.Мальцева ( 1909 – 1967 ). Тез. докл. по теории колец, алгебр и модулей. Новосибирск. – 1989. – С. 104.
Петричкович В. М. Приведение многочленных матриц полускалярно эквивалентными преобразованиями к специальной треугольной форме и их факторизация // VІ Симпозиум по теории колец, алгебр и модулей. Тезисы сообщ. – Львов: Львовский гос. ун-т, ИППММ АН УССР. – 1990. – С. 99.
Петричкович В. М. Мультипликативные свойства матричных многочленов // Междун. конф. по алгебре памяти А.И. Ширшова. Тез. докл. по логике и универсальным алгебрам, прикладной алгебре, Новосибирск. – 1991. – С. 107.
Петричкович В. М. Еквівалентність многочленних матриць та їх факторизація // Тези міжн. конф., присвяченої пам'яті акад. М.П. Кравчука, Київ – Луцьк. – 1992. – С. 158.
Петричкович В. М. О наибольших общих делителях миноров и инвариантных множителях произведения матриц над кольцом главных идеалов // Алгебра и анализ. Тез. докл. междун. научной конф., посвященной 100-летию со дня рождения Н.Г. Чеботарева. Ч. І. Казань: Казанский ун-т. – 1994. – С. 75.
Петричкович В. М. Про паралельні факторизації матриць // V Міжн. конф. ім. акад. М. Кравчука. Тези доп., Київ. – 1996. – С. 334.
Petrychkovych V. Diagonalization of pair of matrices over the principal ideal ring // Ring Theory Conference. Abstracts, Miskolc. – 1996. – P. 47 – 48.
Petrychkovych V. A generalized equivalence of pair of matrices over the principal ideal ring // Міжнар. алгебр. конф., присвячена пам'яті проф. Л.М. Глускіна. Київ: Ін-т матем. НАНУ. – 1997. – C. 110 – 111.
Петричкович В. М. Про факторизації многочленних матриць та їх класифікацію // Міжнар. наук. конф. "Суч. пробл. механіки і математики", присвячена 70-річчю від дня народження акад. НАН України Я.С.Підстригача. Львів. – 1998. – С. 251.
Петричкович В. М. Узагальнена еквівалентність пар матриць та їх факторизація // Друга міжнар. алгебр. конф. в Україні, присвячена пам'яті проф. Л.А.Калужніна. Вінниця. – 1999. – С. 98 – 100.
Петричкович В.М. Про дільники та факторизації матричних многочленів // Третя міжнар. алгебр. конф. в Україні. Суми. – 2001. – С. 228 – 229.
Петричкович В. М. Про характеристичні корені, елементарні дільники та структуру многочленних матриць // Міжнар. алгебр. конф. Тези доп. – Ужгород: Ужгородський нац. ун-т. – 2001. – С. 45.
Petrychkovych V.M. The standard form of a pair of matrices and their divisors and common divisors // Міжн. матем. конф., присвячена сторіччю від початку роботи Д.О.Граве (1863–1939) в Київському ун.-ті. Київ. – 2002. – С. 39 – 40.
Петричкович В. Про стандартну форму пари матриць та їх спільні дільники // Матем. пробл. Механіки неоднорідних структур. Матер. УІ міжн. наук. конф., присвяченої 75-річчю від дня народження академіка Я.С. Підстригача. Львів. – 2003. –С. 535 – 537.
Petrychkovych V.M. Generalized equivalence of matrices and its collections and factori- zation of matrices over rings // 5th International Algebraic Conference in Ukraine. Abstracts. Odessa. – 2005. – P. 155.
АНОТАЦІЇ
Петричкович В.М. Узагальнена еквівалентність матриць і їх наборів та факторизація матриць над кільцями. – Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 – алгебра та теорія чисел. – Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2006.
Дисертаційна робота присвячена вивченню різних типів еквівалентностей матриць і їх скінченних наборів над певними кільцями та факторизаціям матриць. Встановлено стандартну форму для пари матриць над адекватним кільцем стосовно введеного поняття узагальненої еквівалентності та форму набору многочленних матриць над довільним полем щодо напівскалярної евівалентності. Вказано умови узагальненої еквівалентності пар матриць та критерій їх діагоналізовності. На основі встановлених форм розроблено метод факторизації матриць. Описано паралельні факторизації матриць над адекватними кільцями та кільцями многочленів над довільним полем. Вказано критерії єдиності факторизацій матриць та їх дільників. Встановлено умови розкладності многочленної матриці на унітальні множники залежно від кратностей її характеристичних коренів та степенів елементарних дільників. Описано структуру многочленних матриць без кратних характеристичних коренів. Встановлено межі для кількості лінійних унітальних дільників многочленної матриці та вказано зв'язки між кількістю дільників і звідністю матриць до кліткових виглядів.
Ключові слова: пара матриць, набір матриць, еквівалентність, напівскалярна еквівалентність, узагальнена еквівалентність, канонічна форма, стандартна форма, многочленна матриця, матричний многочлен, матричне рівняння, унітальний дільник, факторизація матриць.
Петричкович В.М. Обобщенная эквивалентность матриц и их наборов и факторизация матриц над кольцами. – Рукопись.
Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.01.06 – алгебра и теория чисел. –- Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2006.
Диссертационная работа посвящена изучению различных типов еквивалентностей матриц и их конечных наборов над некоторыми кольцами и факторизациям матриц.
Введено понятие обобщенной эквивалентности пар и конечных наборов матриц. Установлена стандартная форма пары матриц над адекватным кольцом относительно обобщенной эквивалентности. Указаны условия обобщенной эквивалентности пар матриц. Выделены классы пар матриц, для которых стандартная форма определена однозначно, т.е. является канонической. Установлен критерий диагонализируемости пар матриц. Для набора матриц, состоящего из матрицы и ее делителей, установлены условия их диагонализируемости и для тройки матриц указана некоторая форма относительно обобщенной эквивалентности. Для набора произвольных многочленных матриц над полем установлена форма относительно полускалярной эвивалентности. В случае конечного основного поля указаны условия приводимости набора многочленных матриц такими преобразованиями к этой форме. Это является обобщением предыдущих результатов, полученных другими авторами для неособенных многочленных матриц над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль и бесконечными полями относительно полускалярной эквивалентности.
Изучены свойства канонических диагональных форм произведения матриц. Указаны условия, при которых каноническая диагональная форма произведения матриц равна произведению их канонических диагональных форм. Описаны классы матриц, канонические диагональные формы которых обладают свойством мультипликативности. Это является обобщением результатов, полученых Инграгамом, Ньюменом и др.
Разработан метод факторизации матриц, базирующийся на установленных формах пар и наборов матриц. Описаны -факторизации матриц над адекватным кольцом. Указан вид таких факторизаций. Установлены критерии единственности с точностью до ассоциированости факторизаций матриц, параллельных и соответствующих факторизациям их канонических диагональных форм и единственности их делителей из заданными каноническими диагональными формами. Установлены связи между общими делителями матриц, их канонических диагональных форм и общими делителями матриц из стандартной формы пары матриц.
Установлены условия разложимости многочленной матрицы на унитальные множители в зависимости от кратностей их характеристических корней и степеней элементарных делителей, которые могут быть больше 2, что существенно расширило известные до этого классы разложимых многочленных матриц, описаных многими
