Київський національний університет імені Тараса Шевченка

Пічкур Володимир Володимирович

УДК 515.126.83; 517.925.51

АНАЛІЗ І ОЦІНКА

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ ВКЛЮЧЕНЬ

МЕТОДАМИ ПРАКТИЧНОЇ СТІЙКОСТІ

01.05.04 – системний аналіз і теорія оптимальних рішень

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Київ – 2006

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі моделювання складних систем

факультету кібернетики Київського національного

університету імені Тараса Шевченка.

Науковий консультант: доктор технічних наук, професор

Гаращенко Федір Георгійович (Київський національний

університет імені Тараса Шевченка, завідувач кафедри).

Офіційні опоненти:

член-кореспондент НАН України, доктор фізико-математичних наук,

професор Чикрій Аркадій Олексійович (Інститут кібернетики

імені В.М. Глушкова НАН України, завідувач відділу);

доктор фізико-математичних наук, професор Остапенко

Валентин Володимирович (Інститут прикладного системного аналізу

Національного технічного університету України “КПІ”

Міносвіти і науки України та НАН України, завідувач відділу);

доктор фізико-математичних наук, професор Плотніков Віктор

Олександрович (Одеський національний університет

імені І.І. Мечникова, завідувач кафедри).

Провідна установа: Інститут космічних досліджень НАН України

та НКА України, відділ системного аналізу і керування, м. Київ.

Захист відбудеться 7 вересня р. на засіданні спеціалізованої Вченої

ради Д 26.001.35 Київського національного університету імені Тараса

Шевченка, м. Київ, пр. Академіка Глушкова, 2, корп. 6, факультет кібернетики,

ауд. о 14 год.

З дисертацією можна ознайомитися у Науковій бібліотеці Київського

національного університету імені Тараса Шевченка,

м. Київ, вул. Володимирська, .

Автореферат розісланий “23” червня 2006 р.

Вчений секретар

спеціалізованої Вченої ради Д 26.001.35 П.М. Зінько

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми.Математичне моделювання реальних процесів приводить до необхідності аналізу поведінки динамічних систем в умовах невизначеності. Як правило, параметри об’єкту, керуючі впливи та початкові дані відомі з похибкою. Крім того, модель описує поведінку лише основних характеристик явища, що означає наявність постійно діючих збурень. Тому внаслідок невизначеності наявний розкид правої частини та початкових умов відповідної системи диференціальних рівнянь. Отже, приходимо до постановки задачі стійкості незбуреного розв’язку диференціального включення.

Проблеми аналізу та оптимізації диференціальних включень пов’язані з розвитком теорії багатозначних функцій. Як правило, при дослідженні нових постановок виникають спеціальні відображення, для яких необхідно розв’язувати питання неперервності, вимірності, існування селекторів з відповідного простору функцій та інші. Застосування багатозначного аналізу дає змогу з єдиних позицій аналізувати проблеми, які виникають у методах оптимізації, теорії ігор та при дослідженні задач оптимального керування. Так, між розв’язками керованої системи і в спеціальний спосіб побудованого диференціального включення існує однозначна відповідність. Це робить можливим за допомогою апарату диференціальних включень аналізувати проблеми керованості, існування розв’язку задачі оптимального керування, стабілізації керованих систем і будувати множини досяжності.

У галузі багатозначного аналізу та теорії диференціальних включень важливу роль відіграють роботи Аумана Р., Благодатських В.І., Важевського Т., Варги Дж., Вітюка О.Н., Дем’янова В.Ф., Дончева А., Екланда І., Згуровського М.З., Кларка Ф., Красовського Н.Н., Курганського А.Б., Мельника В.С., Обена Ж.-П., Панасюка А.І., Панасюка В.І., Плотнікова А.В., Плотнікова В.О., Понтрягіна Л.С., Пшеничного Б.М., Толстоногова А.А., Філіппова О.Ф., Франківської Г., Хукухари М., Чикрія А.О. та інших вчених.

При дослідженні складних технічних систем одна з розповсюджених постановок полягає у тому, що на заданому інтервалі функціонування необхідно визначити параметри і початкові умови, при яких відповідні системні характеристики задовольняють заданим обмеженням. Зокрема, такі задачі виникають при оцінці області захвату частинок при розрахунку допустимих параметрів на етапі проектування систем прискорення і фокусування. В теорії динамічних систем такі дослідження проводяться в галузі практичної стійкості. В цій сфері важливу роль відіграють роботи Вайса Л., Гаращенка Ф.Г., Єругіна М.П., Інфанта Е., Кириченка М.Ф., Мартинюка А.А., Камєнкова Г.В., Карачарова К.А., Пілютика А.Г., Четаєва М.Г. та інших дослідників.

У пропонованій дисертаційній роботі розроблено теорію практичної стійкості диференціальних включень. Для цього введено нові класи багатозначних функцій і досліджуються їх властивості. Виділено чотири основних види практичної стійкості диференціального включення і показано їх взаємозв’язок. Центральне місце відведено дослідженню властивостей і розробці алгоритмів побудови максимальної за включенням множини практичної стійкості. Отже, тема дисертаційної роботи пов’язана з розробкою нового математичного апарату в галузі багатозначного аналізу та диференціальних включень, має суттєвий прикладний інтерес, що обґрунтовує актуальність дослідження.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами.Дисертація виконана відповідно до плану наукових досліджень кафедри моделювання складних систем факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка в межах науково-дослідної теми ТЗ НДР №01БФ015-05 „Розробка структурованих математичних та програмних технологій для моделювання, аналізу, оцінки та оптимізації складних систем” (номер держ. реєстрації 0101U000968), наукових грантів №97508 „Розвиток конструктивної теорії моделювання та оптимального керування складних систем з неповними даними” та №97544 „Розробка проблемно-орієнтованих математичних і програмних засобів моделювання, аналізу та синтезу керованих фізико-математичних систем” Міністерства науки і технологій України з фундаментальних та прикладних досліджень.

Мета і завдання дослідження.Метою дослідження є розробка теорії практичної стійкості диференціальних включень і дослідження пов’язаних із вказаною проблематикою властивостей багатозначних відображень.

Поставлена мета зумовлює такі завдання:

1). Провести дослідження властивостей рівномірних багатозначних відображень і трубки багатозначної функції. Отримати умови оптимальності оцінок компактів у неперервних монотонних класах.

2). Для різних видів практичної стійкості диференціального включення дослідити властивості максимальних за включенням множин. Розробити алгоритми побудови оптимальних за включенням множин практичної стійкості лінійних диференціальних включень.

3). Дослідити задачі оцінки множини початкових умов, фазових обмежень, правих частин, часу в задачах практичної стійкості диференціальних включень і розробити відповідні чисельні методи.

4). Отримані результати в галузі практичної стійкості диференціальних включень застосувати при дослідженні задач практичної стійкості різних класів систем: динамічних, у тому числі при постійно діючих збуреннях, з імпульсним впливом, множинних динамічних. Апробувати розроблені алгоритми для дослідження різних прикладних задач.

Об'єктом дослідженняє диференціальні включення та багатозначні відображення.

Предметом дослідженняє практична стійкість диференціальних включень.

Методи дослідження.В роботі використано методи багатозначного аналізу, теорії диференціальних рівнянь, теорії диференціальних включень, методи теорії практичної стійкості, методи опуклого аналізу, чисельні методи.

Наукова новизна одержаних результатівполягає в тому, що в дисертації вперше запропоновано теорію практичної стійкості диференціальних включень, зокрема:–

в галузі багатозначного аналізу введено означення рівномірних множин та проведено аналіз його властивостей (збереження рівномірності відносно операцій звуження та розширення, рівномірність опуклих компактів та інші);–

означено класи просторово рівномірних та локально рівномірних багатозначних відображень, досліджено властивості таких функцій, серед яких теорема про збереження внутрішньої точки, теорема про неперервність границі тощо;–

запропоновано означення трубки багатозначного відображення та описано її властивості (лема про замкнену трубку, теорема про структуру трубки просторово рівномірного неперервного відображення і інші), доведено теореми про існування і єдиність максимальної і мінімальної оцінки компакту у монотонних неперервних класах;–

в галузі практичної стійкості введено означення максимальної за включенням множини початкових умов. Для чотирьох видів практичної стійкості диференціального включення (внутрішня сильна, внутрішня слабка, зовнішня сильна, зовнішня слабка) досліджено властивості максимальної за включенням множини (теореми про границю, твердження про неперервну залежність від фазових обмежень та часу тощо). Побудовано алгоритми обчислення максимальних за включенням множин для лінійних диференціальних включень;–

на основі властивостей максимальної за включенням множини побудовано чисельні методи знаходження оптимальної оцінки множини початкових умов, фазових обмежень, правої частини, часу означених видів практичної стійкості диференціального включення;–

описано властивості максимальних за включенням множин практичної стійкості динамічних систем, систем при постійно діючих збуреннях, імпульсних систем, множинних динамічних систем (теореми про границю, про неперервну залежність від фазових обмежень тощо). Розроблено алгоритми побудови таких множин.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертації можуть бути використані при розв’язуванні задач практичної стійкості диференціальних включень та динамічних систем, при дослідженні різних класів багатозначних відображень. Зокрема, розроблені методи можуть бути застосовані при побудові області захвату частинок в системах прискорення і фокусування та при розв’язуванні інших прикладних задач.

Апробація результатів дисертації.Матеріали дисертаційного дослідження доповідались та обговорювались на наукових семінарах Київського національного університету імені Тараса Шевченка (керівники – проф. Гаращенко Ф.Г, проф. Наконечний О.Г.), Одеського національного університету імені І.І. Мечникова (керівник – проф. Плотніков В.О.), Інституту прикладного системного аналізу Національного технічного університету України “КПІ” Міносвіти і науки України та НАН України (керівник – член-кор. НАН України Мельник В.С.), Інституту кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України (керівник – член-кор. НАН України Чикрій А.О.), Інституту космічних досліджень НАН України та НКА України (керівник – академік НАН України Кунцевич В.М.), Львівського національного університету імені Івана Франка (керівник – проф. Савула Я.Г.), а також на таких наукових конференціях і в математичних школах: міжнародна конференція “Dynamical systems modelling and stability investigation” (травень 1999р., Київ); міжнародна конференція “Моделювання та оптимізація складних систем” (січень 2001р., Київ); математична школа “Оптимізація обчислень” (вересень 2001р., Київ); міжнародна конференція “Dynamical systems modelling and stability investigation” (травень 2003р., Київ); міжнародна математична школа “Метод функций Ляпунова и его приложения” (вересень 2004р., Алушта); міжнародна конференція “Dynamical systems modelling and stability investigation” (травень 2005р., Київ); VII міжнародна конференція "Системний аналіз та інформаційні технології" (червень 2005р., Київ).

Публікації.За темою дисертації опубліковано 33 наукові роботи, з яких 3 монографії [1-3], 22 статті у фахових виданнях із переліку ВАК України [4-25], 7 тез доповідей конференцій [27-33].

Структура та обсяг дисертації.Дисертаційна робота викладена на 272 сторінках, складається з переліку умовних позначень, вступу, 7 розділів, висновків, списку використаних джерел з 206 найменувань, містить 19 ілюстрацій.

ЗМІСТ РОБОТИ

У дисертаційній роботі прийняті такі позначення: – -вимірний евклідів простір; – множина векторів з з невід’ємними компонентами; – множина непорожніх компактів з ; – множина непорожніх опуклих компактів з ; – евклідова норма в ; , , , , , – внутрішність, зовнішність, границя, замикання, -розширення ( -окіл), опукле замикання множини ; – геометрична різниця, ; – замкнена куля радіусу з центром в ; – одинична сфера; – напівметрика Хаусдорфа; – метрика Хаусдорфа; – графік відображення ; – обопуклення функції за змінною ; – опорна функція множини , .

У вступі обґрунтовується актуальність вибраної теми, визначається наукова новизна отриманих результатів і висвітлюється їх теоретична та практична цінність.

У розділі 1 дисертаційної роботи проведено аналіз літератури, на основі якого обґрунтовано напрямки досліджень за темою дисертаційної роботи.

Розділ 2 висвітлює дослідження властивостей рівномірних неперервних багатозначних відображень. У пункті 2.1 вводиться означення звуження множини та досліджуються його властивості. Нехай , .

Означення 2.1.Сукупність усіх точок таких, що називається звуженням множини .

Оскільки , то . Маємо таке твердження.

Теорема 2.2. Якщо , , то .

Далі показано, що для за умови справедливі включення , . Крім того, виконуються співвідношення , , , , де , . За умови маємо включення , . Показано, що звуження опуклої множини є опуклим, а відображення є неперервним на деякому відрізку , де .

На основі поняття звуження множини у пункті 2.2 дисертації вводяться означення рівномірної зверху, рівномірної знизу та рівномірної множин.

Означення 2.2.Множина називається рівномірною зверху, якщо знайдуться , , такі, що , при і для довільних , існує , для якого .

Опукла множина є рівномірною зверху. Побудовано приклад компакту в , що не є рівномірним зверху. Пропонуємо таке твердження.

Лема 2.12.Для того, щоб множина була рівномірною зверху необхідно і достатньо, щоб знайшлись такі , , , що , при і для довільних , існує , при якому для будь-якого перетин .

Означення 2.3.Множина називається рівномірною знизу, якщо знайдуться такі , , , що , , і для довільних , існує , для якого . Множина називається рівномірною, якщо вона є рівномірною зверху і знизу.

Опукла множина є рівномірною. Показано, що для того, щоб множина була рівномірною зверху необхідно і достатньо, щоб множина була рівномірною знизу.

Лема 2.14. Нехай , . Якщо – рівномірна зверху (знизу) множина, то існує таке, що , є рівномірними зверху (знизу) множинами при довільному .

Для рівномірної зверху (знизу) множини показано, що її замикання є рівномірним зверху (знизу), а за умови рівномірною зверху (знизу) є .

У пункті 2.3 досліджуються властивості просторово рівномірних багатозначних відображень. Розглянемо багатозначну функцію , , , де -– замкнена обмежена область, .

Означення 2.5. Відображення називається просторово рівномірним на , якщо існують , такі, що , і для довільного знайдеться таке, що для всіх , для яких .

Опуклозначні відображення є просторово рівномірними. В дисертації побудовано приклади відображень, що не є просторово рівномірними.

Лема 2.19. Нехай відображення є напівнеперервним знизу і просторово рівномірним на , , . Тоді існує таке, що , . При цьому знайдеться , для якого , .

Наслідок.Нехай відображення є напівнеперервним знизу і просторово рівномірним на , . Якщо для деякого значення , то існує таке, що , .

Позначимо , .

Лема 2.20.Нехай відображення є неперервним і просторово рівномірним. Тоді графік багатозначної функції є замкненим.

Справджується таке твердження.

Теорема 2.7.Якщо відображення є неперервним і просторово рівномірним, то є неперервним.

Побудовано приклади відображень , для яких не є неперервним у випадку, якщо не справджується неперервність або просторова рівномірність .

Лема 2.22.Для того, щоб відображення було просторово рівномірним на необхідно і достатньо, щоб існували такі , , що , і для довільного можна вказати , для якого при всіх , для будь-якого множина .

Розглянемо багатозначну функцію , , – область, .

Теорема 2.8. Нехай існує опукла множина та число , для яких , . Розглянемо відображення таке, що , . Тоді якщо функція є просторово рівномірною і напівнеперервною знизу (зверху) на , то функція – напівнеперервна зверху (знизу) на .

Наслідок 1. Якщо в умовах теореми 2.8 відображення є неперервним, то – неперервне відображення.

Наслідок 2. Нехай відображення є обмеженим напівнеперервним знизу (зверху) і просторово рівномірним на . Тоді багатозначна функція є напівнеперервною зверху (знизу), . Якщо при цьому є неперервною, то відображення -– неперервне.

Наведено умови, за яких багатозначне відображення не є просторово рівномірним.

Лема 2.23. Нехай є напівнеперервним знизу відображенням і знайдуться точка та послідовності , такі, що , , , , , . Тоді відображення не є просторово рівномірним на .

Наслідок. Нехай є напівнеперервним знизу відображенням і існують та , для яких при , , . Тоді відображення не є просторово рівномірним на .

Доведено, що якщо множина є рівномірною зверху, то багатозначні відображення , є просторово рівномірними на деякому відрізку . Якщо множина є рівномірною, то існує проміжок , на якому відображення є неперервним і просторово рівномірним.

Лема 2.27. Нехай багатозначні функції є просторово рівномірними на області , , , . Тоді відображення є просторово рівномірним, .

Є справедливим таке твердження.

Лема 2.28. Нехай багатозначна функція є зірковозначною і неперервною, , , функція деформації множини є неперервною на . Тоді на відображення є просторово рівномірним.

Наслідок. Нехай відображення є строго зірковозначним і неперервним, , . Тоді є просторово рівномірним на .

Показано, що якщо відображення є просторово рівномірним на , то є просторово рівномірним, .

Розглянемо багатозначне відображення .

Означення 2.7. Точка називається захопленою відображенням у точці , якщо , і .

Лема 2.30. Нехай є напівнеперервним знизу, просторово рівномірним на відрізку відображенням. Якщо у точці виконується включення і при , то .

Наведено приклад монотонно неспадного неперервного відображення, для якого існує множина захоплених точок.

Пункт 2.4 розкриває умови збереження цілісності відносно розширення у багатозначних функцій. Нехай – деяка непорожня множина з .

Означення 2.8. Множина називається цілісною, якщо – однозв’язна. Якщо не є однозв’язною, то називається нецілісною. Компонента множини називається компонентою нецілісності множини .

Якщо , то є цілісним компактом. Якщо є зірковою множиною, то вона є цілісною.

Означення 2.9.Множина задовольняє умові збереження цілісності відносно розширення, якщо є цілісним компактом і існує таке, що – цілісна множина, .

Умові збереження цілісності відносно розширення задовольняють однозв’язні і зв’язні цілісні компакти.

Лема 2.35. Нехай множина задовольняє умові збереження цілісності відносно розширення, , . Тоді існує таке, що з умови випливає , .

Означення 2.10.Будемо говорити, що багатозначне відображення задовольняє умові збереження цілісності відносно розширення на множині , якщо є ціліснозначне і знайдеться , для якого множина є цілісним компактом для всіх та .

Так, якщо є напівнеперервним зверху, обмеженим і ціліснозначним на , графік є -зв’язною множиною у просторі , то відображення задовольняє умові збереження цілісності відносно розширення на множині .

Теорема 2.10.Якщо відображення є тілеснозначним, задовольняє умові збереження цілісності відносно розширення на множині і відображення є неперервним, то – неперервне відображення.

У пункті 2.5 вводиться означення трубки багатозначного відображення і аналізуються її властивості. Нехай – напівнеперервне зверху відображення, графік , -– область.

Означення 2.11. Неперервним стаціонарним –продовженнямвідображення називається така багатозначна функція , що: 1)  , якщо ; 2) при ; 3)  , .

Означення 2.12. Трубкоювідображення називається множина .

Є справедливою така необхідна і достатня умова.

Лема 2.36. Нехай – напівнеперервне зверху відображення. Для того, щоб необхідно і достатньо, щоб існувала послідовність така, що , , .

Встановлено зв’язок між властивістю напівнеперервності зверху багатозначного відображення і замкненістю його трубки.

Теорема 2.11.Нехай задане відображення , що задовольняє умові збереження цілісності відносно розширення. Тоді якщо трубка -– компакт, то відображення є напівнеперервним зверху.

Маємо таке твердження.

Теорема 2.12. Нехай є неперервним, просторово рівномірним відображенням. Тоді .

Наведено приклади, які показують суттєвість умов неперервності і просторової рівномірності в теоремі 2.12. Результати теореми 2.12 можуть бути розповсюджені на кусково неперервні відображення. Нехай задана багатозначна функція , що задовольняє такі умови: 1) існує множина точок таких, що і на відрізку відображення є неперервним, ; 2) є справедливою рівність , . Таке відображення ми назвемо кусково неперервним. Позначимо звуження відображення на , .

Теорема 2.13. Нехай є кусково неперервним і просторово рівномірним зверху відображенням. Тоді трубка складається з точок таких, що , у випадку, коли і при .

Наслідок. Перетин трубки гіперплощиною можна подати у вигляді

, .

Є справедливим твердження про неперервну залежність трубки від параметра. Припустимо, що , , , , .

Лема 2.38.Нехай відображення є напівнеперервним зверху, а відображення є неперервним і просторово рівномірним, , . Тоді відображення є неперервним, .

Маємо такі теореми.

Теорема 2.14.Якщо , є напівнеперервними зверху відображеннями, , , то існує таке, що , , де , , .

Теорема 2.15. Нехай , , є напівнеперервними зверху відображеннями, і . Тоді .

Означення 2.13.Відображення називається просторово двоїстим до напівнеперервного зверху відображення , якщо існує таке, що , .

Лема 2.46.Нехай задано напівнеперервне зверху відображення . Тоді існує просторово двоїсте до нього напівнеперервне зверху відображення .

Означення 2.14. Будемо говорити, що напівнеперервне зверху відображення є внутрішньо рівномірнозначним (зверху, знизу), якщо множина є рівномірною (зверху, знизу) для всіх .

Якщо напівнеперервне зверху відображення є внутрішньо рівномірнозначним (зверху, знизу), то можна побудувати просторово двоїсте до нього рівномірнозначне (знизу, зверху) відображення.

Нехай задана напівнеперервна зверху багатозначна функція , .

Означення 2.15. -звуженнямвідображення називається таке відображення , що . Тут – неперервне стаціонарне продовження .

Маємо рівність , за умови, що є напівнеперервним зверху.

Теорема 2.16. Якщо відображення є напівнеперервним зверху, то для , таких, що існує , для якого виконується умова , для всіх .

У пункті 2.6 розглядається задача оцінюванні компактів у неперервних класах множин. При цьому важливою є така лема.

Лема 2.49. Нехай -– неперервне просторово рівномірне відображення на . Тоді існує функція така, що: , якщо ; , якщо ; , якщо , .

Доведення леми конструктивне. Побудована функція задовольняє умові локальності відносно відображення , а саме, для послідовності , , існує послідовність , , така, що з умови випливає для всіх .

Лема 2.50. Нехай є замкненозначне відображення, , , і існує функція , для якої виконується умова локальності відносно така, що: , якщо ; , ; , якщо , . Тоді є неперервним відображенням на .

Нехай – багатозначне відображення і – клас компактів, який побудовано за відображенням . Зафіксуємо множину .

Означення 2.17. Значення називається максимальною внутрішньою оцінкою компакту у класі . Мінімальною внутрішньою оцінкою компакту у класі називається число

.

Маємо таке твердження.

Теорема 2.17. Нехай , відображення є неперервним, , . Тоді існує точка така, що і .

Наслідок 1. Нехай , є неперервним відображенням, , . Тоді існує таке, що і .

Показано, що якщо в умовах теореми 2.17 клас є строго зростаючим (спадним), то існує єдина максимальна (мінімальна) внутрішня оцінка компакту у класі . При цьому виконується умова .

Означення 2.18. Значення називається максимальною зовнішньою оцінкою компакту у класі . Мінімальною зовнішньою оцінкою компакту у класі називається величина .

Теорема 2.19. Якщо є неперервним просторово рівномірним на відображенням, і , то існує точка така, що і .

Наслідок 1. Нехай , є неперервним просторово рівномірним на відображенням, , . Тоді знайдеться таке, що і .

Показано, що якщо в умовах теореми 2.19 клас є строго спадним (зростаючим), то існує єдина максимальна (мінімальна) зовнішня оцінка компакту у класі . При цьому виконується умова .

Пункт 2.7. висвітлює умови локальної рівномірності багатозначної функції. Розглянемо напівнеперервне зверху багатозначне відображення , де – замкнена область.

Означення 2.19.Будемо говорити, що багатозначне відображення задовольняє умові локальної рівномірності в точці , якщо для і довільного знайдеться таке, що . Якщо є локально рівномірною в будь-якій точці з , то є локально рівномірною на множині .

Наведено приклади відображень, що задовольняють і не задовольняють означенню 2.19.

Нехай задана напівнеперервна зверху багатозначна функція . Позначимо відповідне відображення з в при фіксованому .

Означення 2.20.Будемо говорити, що багатозначне відображення задовольняє умові локальної рівномірності за змінною в точці , якщо для і довільного знайдеться таке, що . Якщо є локально рівномірним за в будь-якій точці з множини , то будемо говорити, що є локально рівномірною за на множині .

Лема 2.51. Припустимо, що відображення задовольняє умові локальної рівномірності, , відображення таке, що є неперервним і просторово рівномірним. Тоді є локально рівномірним за .

Для опуклозначного випадку справедливим є таке твердження.

Лема 2.53. Нехай відображення є таким, що , , , , – неперервне відображення, , . Тоді функція , є локально рівномірною за .

Розділ 3 дисертації висвітлює дослідження властивостей оптимальних за включенням множин практичної стійкості нелінійних диференціальних включень. В пункті 3.1 вводяться основні означення практичної стійкості диференціального включення і доводяться допоміжні твердження. Розглянемо диференціальне включення

, (3.1)

де – -вимірний вектор фазових координат, , – замкнена область в , багатозначне відображення , , є напівнеперервним зверху на , , . Крім того, існує абсолютно неперервна додатна функція , для якої , , . Множину багатозначних відображень , що задовольняють зазначеним умовам, позначимо . Нехай – множина досяжності (3.1), що відповідає початковій умові , – деякий розв’язок (3.1), , – множина розв’язків включення (3.1) за умови , , .

Задамо відрізок і багатозначну функцію , яка описує фазові обмеження, графік , , . Будемо розрізняти чотири види практичної стійкості нульового розв’язку диференціального включення на кінцевому інтервалі: внутрішню сильну, внутрішню слабку, зовнішню сильну, зовнішню слабку. Нульовий розв’язок (3.1) будемо називати також незбуреним. Для скорочення термінології внутрішню сильну практичну стійкість нульового розв’язку диференціального включення назвемо практичною стійкістю, внутрішню слабку практичну стійкість -– слабкою практичною стійкістю, зовнішню сильну --– зовнішньою практичною стійкістю.

Нехай задані множини , , , .

Означення 3.1. Нульовий розв’язок диференціального включення (3.1) називається - стійким (внутрішньо -сильно стійким), якщо для будь-якої точки виконується для усіх .

Означення 3.2. Незбурений розв’язок диференціального включення (3.1) називається - слабко стійким (внутрішньо -слабко стійким), якщо яким би не було , існує розв’язок диференціального включення (3.1), що справджується співвідношення , .

Означення 3.3. Розв’язок диференціального включення (3.1) називається зовнішньо -стійким (зовнішньо -сильно стійким), якщо для довільної точки для будь-якого розв’язку диференціального включення (3.1) знайдеться момент такий, що .

Означення 3.4. Нульовий розв’язок диференціального включення (3.1) називається зовнішньо -слабко стійким, якщо для будь-якої точки існує момент , для якого .

Позначимо – множину досяжності диференціального включення за умови , , , . Маємо таке твердження.

Лема 3.4.Якщо , , то існує таке, що , .

У пункті 3.2 досліджуються властивості максимальної за включенням множини початкових умов практичної стійкості.

Означення 3.5. Сукупність називається максимальною за включенням множиною практичної стійкості розв’язку включення (3.1) при фазових обмеженнях на інтервалі , якщо нульовий розв’язок є -стійким і для всіх множин , для яких справджується -стійкість розв’язку включення (3.1).

Якщо є замкненозначним відображенням, – обмежена множина, то сукупність є компактом.

Теорема 3.2. Нехай є напівнеперервним зверху компактозначним відображенням. Для того, щоб точка необхідно і достатньо, щоб і .

Теорема 3.3. Припустимо, що відображення є неперервним і просторово рівномірним на відрізку . Функція

є визначаючою для множини . Тут є визначаючою функцією для , .

Нехай функція є визначеною, неперервною і просторово рівномірною на інтервалі . Розглянемо відображення таке, що , , . В такий спосіб ставить у відповідність величинам початкового і кінцевого моментів часу , максимальну за включенням множину практичної стійкості нульового розв’язку диференціального включення (3.1) на відрізку . Маємо таке твердження.

Теорема 3.4. Відображення є неперервним.

Нехай задає фазові обмеження при кожному фіксованому , де , , , -– замкнена область. У цьому випадку максимальна за включенням множина практичної стійкості при обмеженнях , є залежною від значення параметру . Припустимо, що багатозначна функція є компактозначною, неперервною за , напівнеперервною зверху за , , , . Маємо таке твердження.

Теорема 3.5.Відображення є неперервним, .

З означення максимальної за включенням множини випливає, що якщо , то , , .

Теорема 3.7 Якщо існує , для якого , , то , , .

Пункт 3.3 розкриває дослідження основних властивостей множини початкових умов, для яких виконуються умови практичної слабкої стійкості нульового розв’язку диференціального включення (3.1).

Означення 3.6. Сукупність називається максимальною за включенням множиною практичної слабкої стійкості розв’язку включення (3.1) при фазових обмеженнях на часовому відрізку , якщо незбурений розв’язок є -слабко стійким у сенсі означення 3.2 і для всіх , для яких є наявною -слабка стійкість розв’язку диференціального включення (3.1).

Припустимо, що відображення є напівнеперервним зверху. Множина належить класу . Маємо такі властивості.

Теорема 3.9. Нехай точка . Тоді для всіх розв’язків , для яких , виконується співвідношення .

Побудуємо відображення , яке є -звуженням відображення (означення 2.15). Розглянемо багатозначну функцію , . Тут – максимальна за включенням множина практичної слабкої стійкості нульового розв’язку (3.1) при фазових обмеженнях , .

Означення 3.7.Будемо говорити, що розв’язок відтіняється відображенням , якщо та існує послідовність , така, що для будь-якого елементу , справджується .

Теорема 3.10. Нехай і для всіх розв’язків , для яких , виконується співвідношення . У такому разі існує така альтернатива: або або є захопленою відображенням у точці . Якщо для існує розв’язок , що відтіняється відображенням , то .

Побудовано приклад, у якому проілюстровано випадок, коли є захопленою відображенням у точці .

У пункті 3.4 наведено означення і досліджено властивості максимальної множини початкових умов зовнішньої практичної слабкої стійкості незбуреного розв’язку диференціального включення (3.1).

Припустимо, що – напівнеперервне зверху відображення. У цьому випадку множина -– компакт. Маємо такі властивості.

Теорема 3.12.Якщо , то , причому , .

Нехай відображення є напівнеперервним зверху внутрішньо рівномірнозначним знизу. Тоді виконується зворотне твердження.

Теорема 3.13.Якщо , , , то .

Якщо, крім вказаної умови, відображення є неперервним і просторово рівномірним на відрізку , то – визначаюча функція для множини , де функція є визначаючою для .

Нехай функція є внутрішньо рівномірнозначною знизу, неперервною і просторово рівномірною на відрізку . Розглянемо , для якого , , .

Теорема 3.15. Багатозначне відображення є неперервним.

Нехай багатозначна функція задає фазові обмеження і є внутрішньо рівномірнозначною знизу, компактозначною, неперервною за , напівнеперервною зверху за , , , , , -– замкнена область. У цьому випадку для кожного значення існує відповідна множина . Маємо таке твердження.

Теорема 3.16.Відображення є неперервним, .

Теорема 3.17. Нехай відображення є напівнеперервним зверху, внутрішньо рівномірнозначним знизу для кожного і знайдеться , для якого , , , . Тоді .

Наслідок. Якщо відображення є напівнеперервним зверху, внутрішньо рівномірнозначним знизу для всіх і , при , , то .

Пункт 3.5 дисертації висвітлює дослідження властивостей максимальної за включенням множини зовнішньої практичної стійкості

Означення 3.9. Якщо незбурений розв’язок (3.1) є зовнішньо - стійким згідно означення 3.3 і для всіх , для яких справджується зовнішня -стійкість розв’язку диференціального включення (3.1), то називається максимальною за включенням множиною зовнішньої практичної стійкості нульового розв’язку (3.1) при фазових обмеженнях на відрізку .

Припустимо, що відображення є напівнеперервним зверху. Тоді і справджується така теорема.

Теорема 3.19. Якщо точка , то знайдеться розв’язок , для якого , .

Означення 3.10.Будемо говорити, що розв’язок відтіняє відображення , якщо та існує послідовність розв’язків , така, що у рівномірній метриці і .

Розглянемо відображення , , де є максимальною за включенням множиною зовнішньої практичної стійкості розв’язку включення (3.1) при фазових обмеженнях , . Тут – -звуження відображення , .

Теорема 3.20. Нехай знайдеться розв’язок , для якого , . Тоді або або точка є захопленою відображенням у точці . Якщо цей розв’язок відтіняє відображення , то .

У пункті 3.6 досліджуються властивості оптимальних оцінок правих частин в задачі практичної стійкості диференціальних включень. Нехай компактозначне відображення , є напівнеперервним зверху, множина – компакт. Розглянемо клас . Розв’язок диференціального включення , який відповідає початковій умові назвемо незбуреним. Якщо елементи множини допускають представлення , , , , тоді клас доцільно визначити у такий спосіб: 2.1). Незбурений розв’язок диференціального включення є -стійким. 2.2).  , , . 2.3). При існує таке, що , . 2.4). Багатозначне відображення є неперервним. 2.5). Знайдеться , при якому для довільного існує , що виконується включення .

Означення 3.11. Значення параметру називається оптимальною оцінкою правої частини диференціального включення в класі відносно -стійкості незбуреного розв’язку, якщо для нульовий розв’язок диференціального включення є -стійким і при зазначена якість практичної стійкості відсутня.

У класі оптимальна оцінка є обмеженою. Позначимо множину досяжності задачі Коші , , , .

Теорема 3.22.Якщо значення є оптимальною оцінкою правої частини диференціального включення в класі для -стійкості незбуреного розв’язку, то при всіх і існує таке, що .

Також є справедливою зворотна теорема.

Теорема 3.23.Нехай при для всіх виконується включення і існує таке, що , . Тоді є оптимальною оцінкою правої частини диференціального включення в класі для -стійкості незбуреного розв’язку.

У пункті 3.7 аналізуються властивості оптимальних правих частин практичної стійкості диференціальних включень у строгомонотонних і напівмонотонних класах.

Розділ 4 дисертації розкриває дослідження властивостей та створення алгоритмів побудови максимальних за включенням множин практичної стійкості лінійних диференціальних включень. У пункті 4.1 розглядається задача внутрішньої сильної практичної стійкості. Нехай багатозначне відображення є неперервним. Розглянемо лінійне диференціальне включення

. (4.1)

Тут – -вимірний вектор фазових координат, – матриця з неперервними компонентами, . Позначимо – фундаментальна матриця системи , нормована за моментом , , , клас вимірних селекторів , , .

Будемо аналізувати (4.1) на практичну стійкість у припущенні, що відображення є неперервним, , , . У цьому випадку множина є опуклою, її опорна функція

, .

Якщо і є симетричними множинами, , то – симетрична. Справджується таке твердження.

Критерій 4.2. Для того, щоб точка необхідно і достатньо, щоб виконувалося співвідношення

за умови , , .

З критерію 4.2 випливає, що є визначаючою функцією множини , . Функція деформації (обернена функція Мінковського) множини має вигляд

,

де . Тоді . При цьому, якщо і є симетричними множинами, , то , . Функцію деформації максимальної за включенням множини практичної стійкості будемо називати оптимальною.

Алгоритм 4.1.

Будуємо сітки , , обчислюємо фундаментальну матрицю і задаємо опорні функції , , , , .

Крок 1.Знаходимо , , .

Крок 2. Перевіряємо умову , , . Якщо вона не виконується, то переходимо на крок 5.

Крок 3. Для кожного знаходимо

.

Крок 4.Множина є апроксимацією .

Крок 5.Вихід.

Наведено формули оптимальної функції деформації для конкретних видів відображень і .

У пункті 4.2 для лінійного диференціального включення (4.1) досліджуються умови слабкої практичної стійкості при фазових обмеженнях, що задаються опуклозначним і неперервним відображенням , , . Показано, що в цьому випадку максимальна за включенням множина є опуклою. При цьому, якщо і є симетричними множинами, , то – симетрична. У випадку , опорна функція множини виражається співвідношенням

, .

Маємо таке твердження.

Теорема 4.5.Нехай для кожного фіксованого сукупність є максимальною за включенням множиною практичної слабкої стійкості (4.1) при фазових обмеженнях, що задаються неперервним відображенням , , , , , – замкнена область. Тоді відображення є компактозначним і неперервним, . Якщо існує , для якого , , , , то .

Справджується теорема про неперервну залежність від часового інтервалу за умови, що є неперервною і опуклозначною функцією.

Теорема 4.7. Нехай і для всіх розв’язків диференціального включення (4.1), для яких , , існує момент , для якого . Тоді .

Критерій 4.3. Для того, щоб точка необхідно і достатньо, щоб справджувалось співвідношення

за умови , , .

Функція деформації множини має вигляд

, . (4.28)

Тоді . При