НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

ПРИКАРПАТСЬКИЙ Ярема Анатолійович

УДК 517.9

ДОСЛІДЖЕННЯ АЛГЕБРО-АНАЛІТИЧНИХ ТА ТОПОЛОГО-ГЕОМЕТРИЧНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ІНТЕГРОВНИХ ДИНАМІЧНИХ СИСТЕМ ТА ЇХ АДІАБАТИЧНИХ ЗБУРЕНЬ

01.01.02 — диференціальні рівняння

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Київ — 2006

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті математики НАН України.

Науковий консультант:

академік НАН України,

доктор фіз.–мат. наук, професор

САМОЙЛЕНКО Анатолій Михайлович,

Інститут математики НАН України, директор

Офіційні опоненти:

доктор фіз.-мат. наук, професор

Парасюк Ігор Остапович,

Київський національний університет

імені Тараса Шевченка,

декан механіко-математичного факультету;

член-кореспондент НАН України,

доктор фіз.-мат. наук, професор

Шарко Володимир Васильович,

Інститут математики НАН України,

завідувач відділу топології;

доктор фіз.-мат. наук, професор

Теплінський Юрій Володимирович,

Кам’янець-Подільський державний університет,

завідувач кафедри диференціальних рівнянь та геометрії.

Провідна установа: Одеський національний університет ім. І.І. Мечникова МОН України, кафедра диференціальних рівнянь.

Захист відбудеться 26 вересня 2006 р. о 15 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.02 при Інституті математики НАН України за адресою: 01601, м. Київ, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Інституту математики НАН України: 01601, м. Київ, вул. Терещенківська, 3.

Автореферат розісланий 23 серпня 2006 р.

Учений секретар спеціалізованої вченої ради ПЕЛЮХ Г.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальнiсть теми. Проблеми динаміки захоплювали фізиків і математиків на протязі тисячоліть. Однією з найяскравіших таких проблем є задачі небесної механіки, присвячені вивченню руху тіл в Сонячній системі. Це привело, зокрема, І. Ньютона до обгрунтування законів Кеплера і до розвитку диференціального та інтегрального числення, а також поклало початок побудови теорії диференціальних рівнянь для аналізу задач динаміки. Проте, незважаючи на зовнішню простоту цих рівнянь, розв’язок певних проблем наштовхувався на значні труднощі. Якщо для лінійних звичайних диференціальних рівнянь була розвинута відносно повна теорія, то нелінійні системи залишалися майже за межею недоступності. В XIX столітті Пуанкаре започаткував якісні методи дослідження диференціальних рівнянь і тим самим дав поштовх бурхливому розвитку теорії динамічних систем. Оскільки ця теорія виникла зі спроб аналізу проблем реального світу, її конструкції і методи стають з часом основою для досліджень не тільки в математиці та фізиці, але і в біології, медицині, економіці тощо.

Дисертаційна робота присвячена одному з найцікавіших розділів сучасної теорії динамічних систем – дослідженню інтегральних многовидів цілком інтегровних гамільтонових систем. Дослідження в дисертації проводиться по кількох взаємопов’язаних напрямках. Одним з них є симплектичний аналіз важливої проблеми теорії вкладень інтегральних многовидів цілком інтегровних гамільтонових систем. З часу формулювання теореми де Бура–Ліувілля про інтегровність в квадратурах та тополого-аналітичних результатів В. Арнольда щодо гамільтонових систем, проблема вкладення відповідних інтегральних многовидів в фазовий простір залишається актуальною і досі нерозв’язаною остаточно задачею аналітичної теорії динамічних систем. За останні десятиріччя використання симплектичних, теоретико-групових, спектральних та алгебро-геометричних методів, зокрема теорії абелевих многовидів, при вивченні динамічних систем розкрило суть деяких містичних результатів обчислень в працях попередників і привело до кращого розуміння інтегровності гамільтонових систем та визначальної ролі їх внутрішньої геометрії та групової структури. Вивчення диференціально-геометричних та відповідних теоретико-групових аспектів інтегровних динамічних систем дає можливість встановити їх характер і природу відповідних симетрійних структур та адекватно їх застосовувати до проблеми опису інтегральних многовидів за допомогою аналітичних методів, зокрема інтегрування в квадратурах.

Однією з дуже цікавих та важливих для застосувань проблем теорії динамічних систем є дослідження інваріантних підмноговидів цілком інтегровних гамільтонових систем під дією адіабатичних збурень. У випадку компактності, як відомо, ці підмноговиди є дифеоморфні скінченновимірним торам. При дослідженні стійкості інваріантних тороїдних многовидів було розвинуто та застосовано різні підходи. Активно вивченням цієї проблеми займалося багато фахівців, зокрема В. Арнольд, Дж. Бургейн, М. Боголюбов, Ю. Митропольський, В. Мельніков, А. Самойленко та інші. Проблема стійкості цих інваріантних торів при адіабатичному збуренні поставлена і частково розв’язана в працях В. Мельнікова та А. Самойленка. Важливим аспектом проблеми стійкості Мельнікова–Самойленка є виключне використання канонічних змінних дія-кут для вкладення незбуреного многовиду в фазовий простір. Ці змінні не задані в майже всіх важливих для застосувань випадках інтегровних гамільтонових систем і знаходження їх в загальному випадку на сьогоднішній день є складною досі не розв’язаною проблемою. В зв’язку з цим актуальним є дальший розвиток симплектичного підходу до розв’язку адіабатичної проблеми стійкості Мельнікова–Самойленка, на основі якого можна вивчати структуру осциляторно-збуреного інваріантного многовиду та його стійкість в залежності від заданих параметрів.

При вивченні інтегровних нелінійних динамічних систем на функціональних многовидах в працях П. Лакса, С. Новікова та О. Богоявленського було частково поставлено та розв’язано проблеми їх редукції на скінченновимірні інваріантні підмноговиди, що допускають локально дифеоморфні вкладення у відповідні джет-многовиди, встановлено їх канонічну гамільтоновість, а при певних додаткових умовах — повна інтегровність за Ліувіллем, а також запропоновано нові підходи до проблеми редукції. За останні роки теорія скінченновимірних редукцій була розширена в працях Ю. Мозера, Ю. Митропольського, Н. Боголюбова, А. Самойленка, а також їх учнів, на так звані нелокальні інваріантні підмноговиди, породжені власними функціями відповідних спектральних задач типу Лакса. Окрему увагу становлять так звані перетворення Дельсарта–Ліонса, які дозволяють знаходити нові операторні вирази для операторів в гільбертовому просторі, з якими асоційовані відповідні інваріантні функціональні підмноговиди та комутативні векторні поля. Використання перетворень Дельсарта–Ліонса є цілком еквівалентним побудові скінченновимірних інваріантних функціональних підмноговидів як критичних точок певних інваріантних функціоналів на многовиді , асоційованих з відповідними еволюційними потоками на коефіцієнтному функціональному многовиді . Ці інваріантні функціонали на многовиді є породжені в загальному випадку функціоналами Казиміра відповідної структури Лі–Пуасона на асоційованій алгебрі псевдодиференціальних виразів, і їх можна вивчати в рамках Лі-алгебраїчного підходу.

В зв’язку з тим, що ергодичний потік на інваріантних многовидах адіабатично збурених гамільтонових систем може залишитись ергодичним, важливо вивчати асоційовані ергодичні міри на них. При аналізі структури періодичних та квазіперіодичних розв’язків неавтономних гамільтонових систем на компактних симплектичних многовидах були запропоновано нові математичні методи їх дослідження, що грунтуються на аналогу теорії Морса для нескінченновимірних многовидів петель та симплектичній геометрії лагранжевих многовидів. Так, вивчаючи ергодичні міри, асоційовані з лагранжевими динамічними системами на дотичних просторах до конфігураційних замкнутих многовидів, Дж. Мазер Mather J.N. Action minimizing measures for positive definite Lagrangian systems // Math.Zeitschr. – 1991. – V. 207. – P.169–207. запропонував для випадку лагранжевих динамічних систем новий підхід до вивчення відповідних інваріантних ергодичних мір за допомогою спеціально сконструйованої -функції на групі гомологій лагранжевого многовиду. Ця функція дає, зокрема, можливість опису відповідних гомологій інваріантних ймовірнісних мір, що мінімізують лагранжевий функціонал дії. Винятково важливим для застосувань є розвиток підходу Дж. Мазера у випадку ергодичних мір, асоційованих природним чином з заданою неавтономною періодичною гамільтоновою системою на замкненому симплектичному многовиді.

Мета і задачі дослідження. Метою дослідження є отримання істотно нових результатів в аналітичній теорії динамічних систем, зокрема в теорії вкладення інтегральних многовидів цілком інтегровних гамільтонових систем в фазовий простір, її застосування до вивчення тополого-геометричних і метричних властивостей адіабатично-збурених гамільтонових систем та в загальній теорії скінченновимірних редукцій нелінійних динамічних систем на функціональних многовидах.

Об’єктом дослідження є цілком інтегровні динамічні системи, їх збурення та структура їх інтегральних підмноговидів, симплекична теорія редукції на інваріантні многовиди, ергодичні міри, асоційовані з лагранжевими многовидами гамільтонових динамічних систем, диференціально-геометричні структури скінченновимірних інтегральних підмноговидів нелінійних динамічних систем на функціональних многовидах.

Предметом дослідження є властивості інтегральних підмноговидів цілком інтегровних динамічних систем, їх стійкість при адіабатичних збуреннях, існування ергодичних мір та їх властивості, диференціально-геометричні структури, асоційовані з лагранжевими підмноговидами нелінійних динамічних систем, та властивості операторних комплексів, асоційованих з нелінійними динамічними системами на функціональних многовидах.

Наукова новизна одержаних результатів. В дисертації запропоновано та описано нові аналітичні та тополого-геометричні підходи до проблеми вкладень інтегральних многовидів цілком інтегровних динамічних систем та їх збурень на основі сучасних алгебро-аналітичних, метричних, диференціально-геометричних та симплектичних методів. Результати є новими і суть основних з них полягає в такому.

1. Для неабелевої алгебри Лі інваріантів, що задовольняють умови теореми Міщенка–Фоменка, за допомогою теорії Картана інтегровних ідеалів в алгебрі Грасмана проведено вивчення структури інтегрального многовиду асоційованих динамічних систем. Сформульовано і доведено аналог теореми Галісо–Ріба для неабелевої алгебри інваріантів.

2. Розглянуто питання існування глобальної інтегровності динамічної системи з неабелевою алгеброю інваріантів на всьому фазовому просторі і отримано теорему про неабелеву алгебро-аналітичну інтегровність в квадратурах.

3. Вивчено властивості диференціально-геометричної редукції симплектичної структури, асоційованої з відображенням момента на головному розшаруванні зі зв’язністю. Доведено теорему про симплектоморфізм між редукованим простором та прообразом кодотичного відображення проекції головного розшарування на прообразі відображення моменту.

4. Сформульовано геометричний критерій адіабатичної інваріантності адіабатично-збурених гамільтонових динамічних систем. Для загального класу таких систем на симплектичному многовиді з заданою пуассоновою дією групи Лі і многовидом адіабатичних параметрів побудовано вирази для коваріантної похідної та форми кривини зв’язності.

5. Запропоновано новий підхід до класичної проблеми Мельнікова–Самойленка аналізу стійкості інваріантного тору адіабатично-збуреної цілком інтегровної гамільтонової системи на основі спеціальної конструкції так званих "віртуальних" канонічних перетворень фазового простору в змінних Гамільтона–Якобі та зведено її до аналізу відповідної проблеми в канонічній формі Боголюбова. Встановлено стійкість інваріантного тору в в спеціальній осциляторній проблемі Мельнікова–Самойленка.

6. Запропоновано аналог -функції типу Дж. Мазера для конструктивної побудови ергодичних мір, асоційованих з неавтономними періодичними гамільтоновими системами на слабко точних симплектичних многовидах.

7. Проведено симплектичний аналіз і гамільтонове формулювання так званої проблеми скінченновимірних редукцій, яка полягає у зведенні заданої на нескінченновимірному функціональному многовиді нелінійної динамічної системи до скінченновимірного функціонального підмноговиду критичних точок відповідного інваріантного функціоналу Лагранжа.

8. Розвинуто нові підходи до побудови інваріантних функціоналів Лагранжа для нелінійних еволюційних динамічних систем на нескінченновимірних дискретних та функціональних підмноговидах.

9. Описано загальну схему побудови симплектичної редукції на нелокальні інваріантні функціональні підмноговиди для алгебраїчно-інтегровних нелінійних динамічних систем на функціональних многовидах.

10. Описано диференціально-геометричну та інтегрально-операторну структуру операторів перетворень Дельсарта–Ліонса для поліноміальних пучків диференціальних операторів в просторі Гільберта, які мають застосування як в спектральній теорії багатовимірних операторних пучків, так і в теорії солітонів багатовимірних інтегровних динамічних систем на функціональних многовидах.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертація має теоретичний характер і її результати знайдуть застосування в розвитку загальних напрямків теорії динамічних систем на симплектичних многовидах. Її результати можуть використовувати в своїх дослідженнях фахівці з аналітичної теорії динамічних систем, математичної фізики та суміжних дисциплін.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертацію виконано в рамках держбюджетної теми ”Теорія диференціальних рівнянь та нелінійних коливань”, номер держреєстрації N0101U00526 та підтримано грантом Президента України для молодих вчених NGP/F8/109. Робота проводилась згiдно з загальним планом дослiджень вiддiлу звичайних диференцiальних рiвнянь та теорії коливань Iнституту математики НАН України.

Особистий внесок здобувача. Загальний план та основний напрямок досліджень дисертації визначені науковим консультантом – академіком НАН України А.М. Самойленком. З праць, написаних в співавторстві, в дисертацію включені лише результати, які отримано автором самостійно.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідалися та обговорювалися на семінарі відділу диференціальних рівнянь та теорії коливань Інституту математики НАН України (керівник — академік НАН України А.М. Самойленко), семінарі відділу топології Інституту математики НАН України (керівник — член-кореспондент НАН України В.В. Шарко) та семінарі з якісної теорії звичайних та функціонально-диференціальних рівнянь відділу диференціальних рівнянь Гірничої Академії м. Кракова (Польща); на мiжнародних наукових конференцiях та школах: CIME Summer School "Theory and Applications of Hamiltonian Dynamics", Четраро, Італія, 27 червня - 8 липня 1999 р.; 38-ій сесії Seminaire de Mathematiques Superieures, ”Integrable Systems: from Classical to Quantum”, Монреаль, Канада, 26 липня-6 серпня 1999 р.; Одинадцятому Інтернаціональному Колоквіумі з диференціальних рівнянь, Пловдів, Болгарія, 18-23 серпня 2000 р.; Дванадцятій науковій сесії Наукового Товариства ім. Тараса Шевченка, Львів,16-17 березня, 2001 р.; 33-му Симпозіумі з математичної фізики з спеціальною сесією ”Nonholonomic Systems and Contact Structures”, Торунь, Польща, 5-9 червня 2001 р.; міжнародній конференції "Multi-hamiltonian structures: geometric and algebraic aspects”, Бендлєво, Польща, 9-17 серпня 2001 р.; Друга Європейська конференція ”’Vortex Matter in Superconductors”, Кріт, Греція, 15-25 вересня, 2001 р.; міжнародних конференціях "Симетрія в нелінійній математичній фізиці”, Київ, 23-29 червня 2003 р. і 20-26 червня 2005 р.; The 13th European Conference on Mathematics in Industry, Eindhoven, Голландія, 21-24 червня 2004 р.; 77th Annual Meeting of GAMM 2006, Берлін, Німеччина, 27-31 березня 2006 р.

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковано в 1 монографії та 26 статтях в українських та зарубіжних наукових фахових виданнях. З них 23 написано в співавторстві.

Структура і обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, 5 розділів, висновків та списку цитованих джерел, що містить 195 назв. Обсяг роботи — 281 сторінка.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

У вступі обгрунтовується актуальність теми, формулюється мета дослідження, висвітлюється питання про наукову новизну, теоретичне і практичне значення, апробацію отриманих результатів, кількість публікацій.

У першому розділі зроблено огляд літератури та окреслено основні результати дисертації.

Другий розділ присвячено симплектичному аналізу теорії вкладень інтегральних многовидів цілком інтегровних гамільтонових систем на основі диференціально-геометричної теорії Картана та Галісо–Ріба. Розділ містить кілька підрозділів.

У першому підрозділі проведено огляд сучасного стану диференціально-геометричних аспектів інтегровних в квадратурах гамільтонових динамічних систем,і наведено основні означення та теореми симплектичної теорії інтегровних динамічних систем. Нехай динамічна система задається як гамільтонове векторне поле

(1)

на кодотичному многовиді , , симплектична структура якого задається в канонічних координатах у вигляді точної 2-форми . Відповідна функція Гамільтона задається виразом де — так зване внутрішнє диференціювання вздовж векторного поля . Таке гамільтонове векторне поле будемо називати цілком інтегровним за Ліувіллем у квадратурах, якщо існує точно гладких функцій таких, що відповідні векторні поля , де , , утворюють скінченновимірну розв’язну алгебру Лі над , тобто існують такі числа , , що для всіх , і на підмноговиді розмірність алгебри Лі векторних полів є сталою і дорівнює .

Більше ніж сто п’ятдесять років тому, спочатку Е. де Бур, а потім Ж. Ліувілль, довели першу теорему про "інтегровність в квадратурах”, яку можна сформулювати таким чином.

Теорема 2.1.1. Нехай є канонічним симплектичним фазовим простором, на якому задана динамічна система з функцією Гамільтона , яка володіє пуассонівською алгеброю Лі n інваріантів , , таких, що і для всіх є константами на . Припустимо далі, що інтегральний многовид множини інваріантів при регулярному елементі , є добре визначеним гладким і зв’язним підмноговидом . Тоді, якщо:

(i) всі функції з є функціонально незалежними на ;

(ii) для всіх на ;

(iii) алгебра Лі є розв’язною,

то Гамільтонова система на є інтегровна в квадратурах.

У випадку, коли алгебра Лі є інволютивною на , тобто всі , , В. Арнольд довів, що інтегральний підмноговид за умови його компактності є дифеоморфним до тора половинної розмірності базового симплектичного многовиду, причому еволюція на цьому торі є його лінійною квазіперіодичною обмоткою з фіксованим набором частот. Отже, весь фазовий простір, тобто вихідний симплектичний многовид, є розшарований тороїдально-циліндричними областями, границями яких є так звані сепаратрисні многовиди, що пов’язують між собою особливі точки гіперболічного типу. Ця теорема отримала назву теореми про інтегровність за Ліувіллем–Арнольдом, а динамічна система, яка задовольняє умови цієї теореми, називається повністю або цілком інтегровною.

В 1978 році Міщенко та Фоменко довели таке важливе узагальнення теореми Ліувілля–Арнольда.

Теорема 2.1.4. Нехай на симплектичному просторі задано гладкі функції лінійна оболонка яких над охоплює алгебру Лі по відношенню до відповідних дужок Пуассона на Припустимо також, що множина з регулярним елементом є підмноговидом і на всі функції є функціонально незалежні. Припустимо, що алгебра Лі задовольняє таку числову умову:

(3)

Тоді підмноговид є -вимірним, , і інваріантним по відношенню до кожного векторного поля з . Якщо підмноговид є зв’язним і компактним, він є дифеоморфним до -вимірного тору , а рух векторного поля на ньому є квазіперіодичною функцією еволюційного параметра

З часу формулювання теореми де Бура–Ліувілля та тополого-аналітичних результатів В. Арнольда стосовно інтегровності гамільтонових систем в квадратурах, проблема вкладення відповідних інтегральних многовидів в фазовий простір залишається актуальною і досі нерозв’язаною остаточно задачею аналітичної теорії динамічних систем. Перші результати в цьому напрямку було отримано французькими математиками Галісо та Рібом, та пізніше Ж. Франсуазом, які вперше вказали на важливу роль так званих рівнянь Пікара–Фукса щодо глобальних параметрів вкладення інтегральних многовидів в фазовий простір. У випадку комутативної алгебри Лі інваріантів на симплектичному многовиді Prykarpatsky Y.A., Samoilenko A.M., Blackmore D.L. Embedding of integral submanifolds and associated adiabatic invariants of slowly perturbed integrable Hamiltonian systems // Reports on Math. Phys. 1999. –44, N1-2. – P. 171–182. вперше було запропоновано ідею побудови нових спеціальних рівнянь типу Пікара–Фукса в термінах сепарабельних координат вкладення Гамільтона–Якобі. Ці рівняння виявилися винятково ефективним засобом дослідження відображень вкладення інтегральних многовидів інтегровних гамільтонових систем та їх слабких і адіабатичних збурень, що є особливо важливими для багатьох застосувань.

В підрозділі 2.3 розглянуто випадок некомутативної алгебри Лі інваріантів на симплектичному многовиді. Нехай нам задано гамільтонове векторне поле на канонічному фазовому просторі разом із неабелевою алгеброю Лі функціональнонезалежних інваріантів, що задовольняють всі умови теореми Міщенка–Фоменка, зокрема (3). Тоді інтегральний підмноговид при регулярному елементі є -вимірним, , і дифеоморфним (якщо компактний і зв’язний) стандартному -вимірному тору. Природно виникає таке питання: як можна сконструювати відповідне відображення вкладення інтегрального підмноговиду

(6)

яке характеризувало б усі можливі орбіти динамічної системи ?

Користуючись побудовою вкладення у випадку абелевої теореми Ліувілля–Арнольда про інтегровність в квадратурах, вивчаємо інтегральний підмноговид за допомогою теорії Картана інтегровних ідеалів в алгебрі Грасмана.

Сформульовано і доведено аналог теореми Галісо–Ріса.

Теорема 2.3.1. Нехай алгебра Лі інваріантів на симплектичному просторі є неабелевою і задовольняє умову Міщенка–Фоменка (3). Для регулярного елемента на деякому відкритому околі інтегрального підмноговиду існують такі диференціальні 1-форми , і , що мають такі властивості:

(i) , де , є базисом підалгебри Картана (абелевої), і , , є інваріантами з доповнюючого простору

(ii) 1-форми , , і , , є точні на і задовольняють рівності: для всіх , і для всіх , і для всіх .

Наслідок 2.3.1. Припустимо, що неабелева алгебра Лі задовольняє умову Міщенка–Фоменка (3) і є її інтегральним підмноговидом (компактним і зв’язним) для регулярного елемента дифеоморфним стандартному тору Покладемо також, що дуальна повна абелева алгебра незалежних інваріантів, побудованих вище, є визначена глобально. Тоді її інтегральний підмноговид є дифеморфний стандартному тору і містить тор як прямий добуток з деяким повністю виродженим тором .

Таким чином, застосувавши схему алгебро-аналітичної характеризації інтегральних многовидів неабелевих інтегровних за Міщенком–Фоменком алгебр Лі інваріантів на канонічному симплектичному многовиді , можна будувати широкий клас точних розв’язків, що зображаються в квадратурах. При цьому необхідно зазначити, що повна абелева алгебра Лі (дуальна до ) інваріантів при регулярному була побудована тільки на деякому відкритому околі інтегрального підмноговиду. Глобальне існування алгебри інваріантів сильно залежить від можливості продовження цих інваріантів на весь многовид Цей аспект розглянуто у підрозділі 2.4. Відповідь подано у вигляді теореми про неабелеву алгебро-аналітичну інтегровність в квадратурах.

Теорема 2.4.1. Неабелева алгебра Лі інваріантів на симплектичному просторі , яка задовольняє умову Міщенка–Форменка (3), дозволяє алгебро-аналітичну інтегрувуння в квадратурах для знаходження відображення вкладення інтегрального підмноговиду , якщо відповідний комплексифікований інтегральний підмноговид диференціальної системи є келеровим многовидом стосовно стандартної майже комплексної структури , і невиродженої комплексної метрики, індукованої симплектичною структурою , тобто .

Теорема 2.4.1 показує, зокрема, що неабелева інтегровність в квадратурах за Ліувіллем–Арнольдом в загальному випадку не веде за собою a priori до інтегровності за абелевою теоремою Ліувілля–Арнольда; вона залежить від певних топологічних перешкод, асоційованих зі структурою алгебри Лі інваріантів на фазовому просторі .

У підрозділі 2.5 наведено приклади побудови відображень вкладень для абелевих і неабелевих цілком інтегровних за Ліувіллем–Арнольдом гамільтонових систем.

При дослідженні багатьох динамічних систем на канонічно-симплектичних многовидах, інваріантних відносно дії деякої групи симетрії, часто виникають додаткові структури, які при глибшому аналізі виявляються важливими для дальших досліджень. Зокрема, такою структурою є зв’язність на асоційованому головному розшаруванні, яка дає можливість більш детальніше вивчити властивості досліджуваної динамічної системи при її редукції на відповідні інваріантні підмноговиди та асоційовані з ними фактор-простори.

Питання, пов’язані з вивченням властивостей редукованих динамічних систем на симплектичних многовидах, були, зокрема, предметом досліджень Kummer M. On the construction of the reduced phase space of a Hamiltonian system with symmetry // Indiana Univ.Math.Journal. – 1980. – V. 30, 2. – P. 281–291., в яких зв’язок симплектичної структури на редукованому просторі з наявною зв’язністю на головному розшаруванні був сформульований в явному вигляді.

В підрозділі 2.6 проведено дослідження редукованих канонічних симплектичних структур на кодотичних многовидах головних розшарувань із групою симетрії. Проаналізовано зв’язність на головному розшаруванні та відповідні їй редукції симплектичних структур, а також їх застосування до дослідження тополого-геометричних властивостей динамічних систем із симетріями. Доведено теорему про симплектоморфізм між редукованим простором та прообразом кодотичного відображення проекції головного розшарування на прообразі відображення моменту.

Теорема 2.6.3. Нехай задано головне розшарування зі структурною підгрупою Лі групи Лі , зв’язністю та -інваріантним елементом . Тоді кожна така зв’язність породжує симплектоморфізм поміж редукованим простором і прообразом кодотичного відображення проекції головного розшарування на прообразі відображення моменту .

В підрозділі 2.7 вивчено диференціально-геометричні властивості гамільтонових зв’язностей на симплектичних многовидах для адіабатично-збуреної гамільтонової системи. Зокрема, сконструйовано асоційовану гамільтонову зв’язність на головному розшаруванні і дано її опис в термінах коваріантних похідних та форми кривини відповідної зв’язності.

Розглянемо симплектичний многовид , на якому задано гладку гамільтонову дію групи Лі . Продовжимо природним чином цю дію на многовид , де є так званим многовидом адіабатичних параметрів.

Оскільки многовид є тривіальним розшаруванням , на ньому можна визначити класичну зв’язність (так звану зв’язність Картана–Ересмана) за допомогою горизонтальних розподілів .

Нехай горизонтальний ліфт будь-якого векторного поля визначений за допомогою усереднення в такий спосіб:

(8)

де є відображенням вкладення, є такий елемент алгебри Лі групи Лі , що , а є гладким відображенням, індукованим дією групи Лі на многовиді , , , є стандартною інваріантною мірою Хаара на групі Лі , є усередненням за мірою Хаара, а групу Лі вважаємо компактною і зв’язною. Доведено таке твердження.

Твердження 2.7.1. Нехай групова дія є такою, що відповідне відображення момента задовольняє умову , де через позначено зовнішній диференціал відносно змінних , група Лі є компактною і зв’язною. Тоді на розшаруванні існує єдина гамільтонова зв’язність . Крім цього, на існує 1-форма така, що для будь-якого векторного поля горизонтальний ліфт задається виразом

(9)

де , причому , згідно з (8),

(10)

а функції існують завдяки гамільтоновості дії групи Лі на многовиді і визначаються з таких рівностей:

(11)

Відповідна коваріантна похідна вздовж горизонтального векторного поля (8) задається як

(12)

де є відповідними до симплектичної структури дужками Пуассона, а функція . Кривина зв’язності задається як

(13)

для будь-яких векторних полів і .

В третьому розділі запропоновано новий підхід до розв’язку проблеми стійкості інваріантного тору адіабатично-збуреної цілком інтегровної системи гамільтонової системи, відомої в літературі як проблеми Мельнікова–Самойленка, на основі спеціальної конструкції так званих "віртуальних" канонічних перетворень фазового простору в сепарабельних змінних Гамільтона–Якобі.

Серед гамільтонових систем на симплектичних многовидах особливу цікавість викликають системи, які є адіабатичними збуреннями осциляторного типу цілком інтегровних гамільтонових систем. Такі системи володіють інтегральними інваріантними многовидами, дифеоморфними у випадку компактності скінченновимірним торам. Проблема стійкості цих інваріантних торів при адіабатичному збуренні, була поставлена і частково розв’язана в 60 роках минулого століття працях В. Мельнікова та А. Самойленка, є дуже актуальною і була предметом дальших досліджень, в процесі яких розвивались аналітичні методи до її розв’язку, що грунтувались як на геометричній теорії Пуанкаре для збурень гіперболічних сепаратрисних многовидів, так і на теорії функцій Гріна та методі прискореної збіжності. Оскільки при розв’язку цієї проблеми залишалось ще багато відкритих питань, в останні роки ця проблема набула нового значення і аналізувалась активно як на підставі одного узагальнення класичного методу Ляпунова–Шмідта, так і симплектичної версії методу Пуанкаре. Іншим аспектом класичної проблеми стійкості Мельнікова–Самойленка є широке використання канонічних змінних дія-кут для вкладення незбуреного многовиду в фазовий простір, які не є a priori задані майже в усіх важливих для застосувань випадках інтегровних гамільтонових систем, і знаходження яких в загальному випадку на сьогоднішній день є фактично нерозв’язаною задачею. В зв’язку з цим актуальним є дальший розвиток симплектичного підходу до розв’язку адіабатичної проблеми стійкості Мельнікова–Самойленка, за допомогою якого можна вивчати структуру осциляторно-збуреного інваріантного многовиду та його стійкість в залежності від вихідних глобально заданих параметрів на фазовому просторі. В зв’язку з цим в цьому розділі розвивається новий підхід до розв’язку цієї проблеми на основі спеціальної конструкції так званих "віртуальних" канонічних перетворень фазового простору в сепарабельних змінних Гамільтона–Якобі, що конструюються за допомогою алгебраїчних розв’язків асоційованих рівнянь типу Пікара-Фукса. За допомогою цих перетворень вперше зведено вихідну адіабатично збурену гамільтонову систему осциляторного типу до еквівалентної системи Гамільтона в канонічній формі М.М. Боголюбова, до якої вже можна застосовувати стандартну схему КАМ-теорії на основі методу прискореної збіжності. Зокрема, встановлена стійкість інваріантного тору відповідної адіабатично-збуреної гамільтонової системи, що і розв’язує проблему Мельнікова–Самойленка.

Розглядається неавтономна гамільтонова система на розширеному кодотичному просторі до -вимірного многовиду , , із канонічною симплектичною структурою

(14)

де є малим параметром, є канонічною формою Ліувілля на в точці , є канонічна проекція, є відповідними дужками Пуассона на і є адіабатично збурена функція Гамільтона осциляторного типу

(15)

Тут є редукованою функцією Гамільтона на , частоти , , залежать адіабатично від повільно змінного параметра і від функції Гамільтона . Покладемо також, що редукована гамільтонова система на є цілком інтегровною за Ліувіллем–Арнольдом, володіє відповідними -вимірними компактними інтегральними многовидами , дифеоморфними торам . Породжуюча функція при задає канонічне перетворення симплектичної структури , яка в координатах фоліації в околі інтегрального многовиду має вигляд . Якщо ж тепер покладемо , то відповідний розширений лагранжевий многовид буде деформуватися в лагранжевий многовид . Позначивши відповідні координати на збуреному лагранжевому многовиді як , де многовид і є деякий його відкритий окіл, з умови канонічності підінтегральної -форми Пуанкаре–Картана, можна записати таку рівність:

(18)

де є відповідна породжуюча функція, а "віртуальний" тороїдний інтегральний многовид при є гладко деформованим в тороїдний многовид . Це канонічне перетворення (18) визначає нову так звану "віртуальну" функцію Гамільтона . Відповідні рівняння Гамільтона в околі віртуального тору мають вигляд

(20)

причому для всіх . В термінах неавтономних змінних "дія-кут" на віртуальному торі рівняння (20) набувають вигляду

(21)

для всіх . Таким чином, отримано зображення адіабатично-збуреної динамічної системи (14) в околі незбуреного тороїдального інтегрального многовиду за допомогою системи віртуальних координат на добутку , які в невиродженому випадку забезпечують зведення рівнянь при до слабко збуреного потоку на торі в канонічній формі М.М. Боголюбова. Динамічна система (21) має стандартну форму М.М. Боголюбова, для якої може бути застосований метод усереднення та прискореної збіжності канонічного перетворення до нових змінних на збуреному торі , в термінах яких еволюція динамічної системи (21) цілком розділяється для часу при , стаючи квазілінійною функцією з точністю , де . Як наслідок, метод нестаціонарних канонічних перетворень, розвинутий в рамках КАМ-теорії, дає можливість встановити стійкість інваріантного тору адіабатично збуреної цілком інтегровної системи. Отримано наступну теорему.

Теорема 3.3.1. Нехай задано неавтономну адіабатично збурену гамільтонову динамічну систему (14), яка є алгебраїчно інтегровною в сенсі Пікара–Фукса, тобто відповідні рівняння Пікара–Фукса є алгебраїчними і їх розв’язки задають канонічні перетворення до сепарабельних змінних Гамільтона–Якобі. Нехай також виконуються умови, що забезпечують невиродженість якобіану переходу. Тоді адіабатично-збурений тороїдальний многовид залишається при інваріантним, причому існує гладкий дифеоморфізм до інваріантного тору з довільною степінню точності, причому рух на ньому залишається квазілінійним із вектором частот для всіх .

З іншого боку, проблема стійкості інваріантного тору адіабатично-збуреної цілком інтегровної системи є тісно пов’язана із описом ергодичних мір на відповідних інваріантних підмноговидах, оскільки потік на них є ергодичним в загальному випадку, і для його вивчення в четвертому розділі розвивається якісно-аналітичний підхід, який дає, зокрема, дуальний опис ергодичних мір на осциляторно збурених інваріантних многовидах. Вивчаючи ергодичні міри, асоційовані з лагранжевими динамічними системами на дотичних просторах до конфігураційних замкнених многовидів, Дж. Мазер запропонував новий підхід до вивчення відповідних інваріантних ймовірнісних мір за допомогою спеціально сконтруйованої -функції на групі гомологій лагранжевого многовиду. Ця функція дає, крім того, можливість ефективно описати так звані гомології інваріантних ймовірнісних мір, що мінімізують відповідний лагранжевий функціонал дії. Як було недавно показано, підхід Дж. Мазера допускає нетривіальне узагальнення на випадок опису ергодичних мір, що природним чином пов’язані з заданою неавтономною періодичною гамільтоновою системою на замкненому симплектичному многовиді. В цьому розділі розвивається нова конструкція -функції Дж. Мазера, асоційованої з відповідним многовидом Лагранжа та його гомологічною структурою. Грунтуючись, зокрема, на варіанті еліптичної техніки М. Громова, в розділі конструюються скінченновимірні інваріантні підмноговиди петель, асоційованих з лагранжевим многовидом неавтономної гамільтонової системи, які є носіями відповідних інваріантних ергодичних мір. В підрозділах 4.1 та 4.2 дано загальні властивості ергодичних мір на симплектичних многовидах. В підрозділах 4.3–4.5 розглядаються властивості функціоналу

(23)

на просторі мір і розвивається аналог гомологічної техніки Дж. Мазера для лагранжевих мір для випадку редукованого гамільтонового -потоку на інваріантний компактний підмноговид . Будується так званий аналог -функції Дж. Мазера на групі гомологій , чиї лінійні області генерують власне ергодичні компоненти міри , які мінімізують функціонал (23). Встановлено такі твердження.

Лема 4.4.2. Нехай -форма , де є простором когомологій, — довільна. Тоді -функція типу Дж. Мазера

(24)

де, за визначенням,

(25)

задовольняє таку рівність:

(26)

для всіх .

Теорема 4.5.1. Нехай міра є мінімізуючою функціонал (25) і задовольняє умову . Тоді носій , а опукла оболонка гомологій , де — відповідні ергодичні компоненти міри , є лінійною областю -функції типу Мазера (24).

Теорема 4.5.2. Нехай є несучою областю -функції типу Мазера (24) і міра задовольняє умову . Тоді ця міра є мінімізуючою, якщо .

Сформульовані вище твердження дають зв’язки між мінімізуючої функціонал мірою та відповідними інваріантними ергодичними мірами на фазовому просторі, що може бути ефективно використано для вивчення багатьох неавтономно збурених, зокрема адіабатично, інтегровних гамільтонових потоків осциляторного типу та властивостей регулярності їх динаміки.

П’ятий розділ присвячено розвитку методу скінченновимірних редукцій нелінійних динамічних систем на функціональних многовидах. Розглядається нелінійна динамічна система (1) з еволюційним параметром на нескінченновимірному функціональному многовиді яка володіє двома додатковими інгредієнтами: однорідним та автономним законом збереження , і деякими однорідними автономними симетріями , , з відповідними еволюційними параметрами . Динамічна система (1), взагалі кажучи, не вважається гамільтоновою, і всі відображення вважаються гладкими та добре визначеними на . Введемо джет-многовид , локально ізоморфний до функціонального многовиду . Густину відповідного інваріантного функціоналу можемо записати в такій формі:

(27)

де є стандартним джет-відображенням і число є фіксованим. Крім цього, функціонал (27) вважатимемо невиродженим в тому сенсі, що гессіан відображення має ненульовий визначник. У даному розділі розглянуто побудову інваріантного функціоналу Лагранжа для випадків дискретного та функціонального підмноговидів, а також метод редукції на нелокальні лагранжеві підмноговиди для алгебраїчно-інтегровних нелінійних динамічних систем на функціональних многовидах.

В цьому розділі вивчено також властивості перетворень типу Беклунда для інтегровних за Лаксом нелінійних динамічних систем на розширених функціональних многовидах. Нехай на кодотичному просторі до алгебри Лі лінійних матричних псевдодиференціальних виразів задано динамічну систему у вигляді

(33)

де елемент , яка еквівалентна звичайному представленню типу Лакса, та сумісна система лінійних інтегро-диференціальних рівнянь на :

(34)

(35)

де є спектральним параметром і вектор-функція є елементом деякого матричного представлення алгебри Лі в деякому функціональному гільбертовому просторі .

Алгебраїчні властивості рівняння (33) дають можливість їх узагальнення разом з (34) до асоційованої динамічної системи на просторі приєднаних функцій (35), і розглядати їх як асоційовані еволюційні рівняння на розширеному просторі , які і є основним предметом вивчення.

Встановлено таку основну теорему.

Теорема 5.10.1. Динамічна система (33) на є гамільтоновою по відношенню до канонічних дужок Пуассона , і породжує еволюційні рівняння:

(36)

де є функціоналом Казиміра при , пов’язаним з виразом

(37)

які є еквівалентні системі (33), (34) і (35) через побудоване перетворенням Беклунда

(38)

За допомогою виразу (37) можна будувати гамільтонові еволюційні рівняння, які описують комутативні потоки на розширеному просторі для фіксованого елемента . При цьому вперше встановлено трилінійне комутативне зображення типу Лакса для певного класу (2+1)-вимірних нелінійних динамічних систем на функціональних многовидах.

Особливу увагу приділено диференціально-геометричним аспектам теорії інваріантних функціональних підмноговидів, асоційованих з багатовимірними диференціальними операторами типу Лакса та їх перетворенням Дельсарта–Ліонса. Перетворення Дельсарта–Ліонса диференціальних операторних виразів, що задані в функціональному просторі , де і , мають глибокий зв’язок з класичною теорією де Рама–Ходжа, розвинутою в середині минулого століття для множини комутуючих диференціальних операторних виразів, визначених, взагалі кажучи, на гладких компактних -вимірних метричних просторах .

Нехай — простір Гільберта, у якому задано лінійний замкнений оператор з щільною областю визначення Розглянемо звичайне квазіядерне оснащення Гельфанда гільбертового простору з додатним та від’ємним гільбертовими просторами.

Визначення 5.11.1 (Дельсарт, Ліонс). Нехай пара щільно визначених замкнених диференціальних операторів в гільбертовому просторі володіє парою замкнених підпросторів , пов’язаною з оснащеним ланцюжком гільбертових просторів. Тоді оборотні відповідно визначені оператори називаються перетвореннями Дельсарта–Ліонса, якщо виконуються умови:

· оператор та його обернений є неперервними;

· образи

· мають місце співвідношення

(39)

Як добре відомо, використання дискретних перетворень Дельсарта–Ліонса є в певному сенсі еквівалентним побудові скінченновимірних інваріантних функціональних підмноговидів як критичних точок гладких інваріантних функціоналів, асоційованих з відповідними еволюційними потоками на коефіцієнтному функціональному многовиді.

Розглядається пучок поліноміальних диференціальних операторів

(40)

де і є комплекснозначним параметром. Нехай разом з пучком задано ієрархію операторних виразів , , які комутують з пучком , тобто , . Потрібно знайти відповідні до (40) перетворення Дельсарта–Ліонса такі, що для деяких пучків поліноміальних диференціальних операторів справедливі такі трансмутаційні умови Дельсарта–Ліонса

(41)

для майже всіх Використання розвинутого у розділі класичного методу варіації функціонального параметра приводить до знаходження відповідного аналітичного представлення для перетворення Дельсарта–Ліонса. Використовуючи це, можна побудувати перетворений за Дельсартом–Ліонсом лінійний диференціальний пучок коефіцієнти якого пов’язані з коефіцієнтами пучка через деякі співвідношення типу Беклунда. Ці співвідношення, зокрема, корисні для застосувань в теорії солітонів. Побудуємо відповідні перетворені за Дельсартом–Ліонсом лінійні диференціально-операторні вирази та , , які, очевидно, теж задовольнятимуть умову комутативності

(44)

Ця умова може бути узагальнена до такої умови сумісності

(45)

де , , є деякими довільними сталими, і є фіксованим цілим числом. Співвідношення (45) буде еквівалентним набору деяких функціонально-алгебраїчних виразів на коефіцієнтні функції диференціально-операторних виразів та , . Ці вирази задають відповідні інваріантні функціональні підмноговиди простору коефіцієнтних функцій , асоційованих з операторним виразом . Враховуючи умову (44), відповідні векторні поля , породжені операторними виразами , , будуть комутативними між собою на , а отже, і на інваріантному функціональному підмноговиді . Це, зокрема, означає, що інваріантний підмноговид дозволяє вкладення у відповідний скінченновимірний джет-підмноговид . Як наслідок ми отримуємо набір скінченновимірних векторних полів , , на джет-підмноговиді , де через позначено число незалежних функціональних коефіцієнтних функцій операторного виразу . На основі узагальненої тотожності Лагранжа для диференціальних комплексів Ходжа побудовано генератор ізоморфізму між групами когомологій диференціальних комплексів Ходжа, з яким природним чином асоційовані перетворені за Дельсартом–Ліонсом диференціально-операторні вирази.

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі отримано нові результати та запропоновано ряд нових методів