НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

РЯБУХА Тетяна Вікторівна

УДК 517.9+531.19

НЕРІВНОВАЖНІ КЛАСТЕРНІ РОЗКЛАДИ

В ТЕОРІЇ НЕСКІНЧЕННИХ ДИНАМІЧНИХ СИСТЕМ

01.01.03 — математична фізика

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико–математичних наук

Київ — 2006

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Інституті математики НАН України

Науковий керівник доктор фізико-математичних наук,

старший науковий співробітник

ГЕРАСИМЕНКО Віктор Іванович,

Інститут математики НАН України, м. Київ,

провідний науковий співробітник

відділу математичних методів в статистичній механіці

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

САМОЙЛЕНКО Валерій Григорович,

Київський національний університет імені Тараса Шевченка,

завідувач кафедри математичної фізики

доктор фізико-математичних наук, доцент

ГОРДЕВСЬКИЙ Вячеслав Дмитрович,

Харківський національний університет ім. В. Н. Каразіна,

завідувач кафедри математичного аналізу

Провідна установа Інститут теоретичної фізики ім. М. М. Боголюбова НАН України, м. Київ

Захист відбудеться “ ” 2006 р. о год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.01 Інституту математики НАН України за адресою: 01601, м. Київ-4, вул. Терещенківська, 3

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики
НАН України

Автореферат розісланий “ ” 2006 р.

Учений секретар

спеціалізованої вченої ради РОМАНЮК А.С.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Дисертаційна робота належить до одного з напрямків сучасної математичної статистичної механіки — теорії еволюційних рівнянь систем нескінченного числа частинок. Такі динамічні системи є математичною моделлю, яка адекватно описує колективні (термодинамічні) властивості реальних систем частинок.

Відомо, що всі можливі стани систем частинок повністю описуються нескінченною послідовністю частинкових функцій розподілу, що задовольняють ланцюжок рівнянь Боголюбова (ієрархію рівнянь ББГКІ) — нескінченну систему інтегро-диференціальних рівнянь. Ланцюжок рівнянь Боголюбова з однієї точки зору описує рівноважні та нерівноважні стани нескінченночастинкових систем. Нерівноважні стани визначаються розв’язками початкової задачі для рівнянь Боголюбова, а рівноважні стани — розв’язками стаціонарних рівнянь Боголюбова. Рівняння Боголюбова є фундаментальними також і в тому сенсі, що з них у різних границях можна вивести феноменологічні рівняння руху статистичних систем, наприклад, кінетичні рівняння, рівняння гідродинаміки та рівняння дифузії. Існує також інший підхід до опису еволюції нескiнченних систем, який ґрунтується на дослідженні дуального (двоїстого) ланцюжка рівнянь Боголюбова, що визначає еволюцію спостережуваних величин системи.

Рівняння Боголюбова використовуються в різноманітних галузях математичної та теоретичної фізики. У зв’язку з розширенням сфери застосувань результатів математичної статистичної механіки, зокрема в математичній біології, математичній економіці, сучасних нанотехнологіях (наприклад, квантові кінетичні рівняння), спостерігається інтенсифікація досліджень математичної теорії цих рівнянь.

Перші роботи з математичної теорії рівнянь Боголюбова належать до початку 70-х років ХХ століття. Останнім часом у роботах київської школи математичної фізики розвинуто сучасні функціонально-аналітичні методи побудови розв’язків рівнянь Боголюбова для нескінченночастинкових систем. Внаслідок складних аналітичних проблем, які постають при побудові розв’язку початкової задачі для ланцюжка рівнянь Боголюбова, до сьогодні залишаються нез’ясованими ряд принципових математичних питань.

Враховуючи актуальність та сучасний етап розвитку математичної теорії еволюційних рівнянь, що описують багаточастинкові статистичні системи, дисертаційна робота присвячена дослідженню різних представлень розв’язків ланцюжків рівнянь Боголюбова на основі методу нерівноважних кластерних розкладів та доведенню існування розв’язків початкових задач у відповідних функціональних просторах.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертаційної роботи пов’язана з науковими дослідженнями відділу математичних методів в статистичній механіці Інституту математики НАН України. Основна частина результатів була отримана при виконанні державних науково-дослідних тем “Спектральні та ймовірнісні методи дослідження рівноважних та нерівноважних станів моделей статистичної механіки та квантової теорії поля” (номер державної реєстрації 0101U000594) та “Функціонально-аналітичні, групові та лінійно-алгебраїчні методи дослідження модельних нелінійних систем сучасної математичної фізики та математичної біології” (номер державної реєстрації 0102U000895). Робота частково виконана за підтримки гранту INTAS (Ref. № 00-0015) та гранту НАН України для молодих вчених (номер державної реєстрації 0105U005666).

Мета і завданя дослідження. Об’єктом дослідження є еволюція станів та спостережуваних нескінченних систем частинок. Предметом дослідження є нерівноважні кластерні розклади еволюційних операторів багаточастинкових систем, на основі яких визначаються розв’язки початкових задач для ланцюжка рівнянь Боголюбова та для дуального ланцюжка рівнянь. Мета й основні завдання дослідження полягали в такому:

? розвинути метод кластерних розкладів еволюційних операторів системи скінченного числа частинок для побудови розв’язку початкової задачі для ланцюжка рівнянь Боголюбова;

? дослідити в просторі послідовностей інтегровних функцій і в просторі послідовностей функцій, обмежених по конфігураційних змінних та експоненціально спадних по імпульсних змінних, структуру розкладу для розв’язку ланцюжка рівнянь Боголюбова, побудованого методом нерівноважних кластерних розкладів;

? довести теореми існування розв’язку в кумулянтному представленні початкової задачі для ланцюжка рівнянь Боголюбова в просторі послідовностей інтегровних і в просторі послідовностей обмежених функцій;

? розвинути метод дуальних кластерних розкладів еволюційних операторів системи скінченного числа частинок для побудови розв’язку початкової задачі для дуального ланцюжка рівнянь Боголюбова;

? довести теорему існування розв’язку в кумулянтному представленні початкової задачі для дуального ланцюжка рівнянь Боголюбова в просторі послідовностей обмежених функцій.

Методи дослідження. У дисертаційній роботі застосовуються функціонально-аналітичні методи, розроблені київською школою математичної фізики, методи сучасного функціонального аналізу, комбінаторні методи.

Наукова новизна одержаних результатів. На захист виносяться такі основні нові результати, отримані автором:

? розвинуто метод кластерних розкладів еволюційних операторів для побудови розв’язку початкової задачі для ланцюжка рівнянь Боголюбова класичних систем частинок. На основі цього методу побудовано кумулянтне представлення розв’язку ланцюжка рівнянь Боголюбова;

? у просторі послідовностей інтегровних функцій досліджено збіжність отриманого розкладу для розв’язку й доведено теорему існування розв’язку в кумулянтному представленні початкової задачі для ланцюжка рівнянь Боголюбова;

? розвинуто метод регуляризації кумулянтного представлення розв’язку початкової задачі для ланцюжка рівнянь Боголюбова нескінченночастинкових систем. Для одновимірної системи частинок, які взаємодіють через потенціал скінченного радіусу дії з твердою серцевиною, доведено теорему існування локального за часом слабкого розв’язку в просторі послідовностей функцій, обмежених по конфігураційних змінних та експоненціально спадних по імпульсних змінних;

? для еволюційних операторів систем скінченного числа частинок визначено дуальні кластерні розклади, на основі яких встановлено структуру кумулянтного представлення розв’язку початкової задачі для дуального ланцюжка рівнянь Боголюбова;

? доведено теорему існування розв’язку в кумулянтному представленні початкової задачі для дуального ланцюжка рівнянь Боголюбова в просторі послідовностей обмежених функцій. Доведено існування функціоналів для середніх значень спостережуваних.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертаційної роботи мають теоретичний характер. Вони можуть бути використані при дослідженні динамічних систем квантової статистичної механіки, при математичному моделюванні різноманітних кінетичних процесів, зокрема в галузі нанотехнологій, сучасної хімії та біології. Окремі частини дисертації використовуються в спецкурсах механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка, а також можуть бути використані при викладанні спецкурсів з сучасної математичної фізики на математичних і фізичних факультетах інших університетів.

Особистий внесок здобувача. За темою дисертації опубліковано п’ять робіт, у тому числі чотири — у співавторстві [1,2,3,5]. Робота [4] написана автором самостійно. У роботах [1,2,5] науковому керівнику В. І. Герасименку належить постановка задач, а також загальна методологія їх розв’язання. З сумісної роботи [3] до дисертації включено лише результати, отримані дисертантом разом з науковим керівником, причому їх внесок у спільні результати однаковий.

Апробація результатів дисертації. Результати роботи доповідалися автором на Українському математичному конгресі (Київ, 2001), на міжнародних наукових конференціях: “Нові підходи до розв’язування диференціальних рівнянь” (Дрогобич, 2001), “Теорія еволюційних рівнянь” (Кам’янець-Подільський, 2002), “Симетрія в нелінійній математичній фізиці” (Київ, 2003, 2005), “Новітні тенденції в кінетичній теорії та її застосування” (Київ, 2004), “Сучасні проблеми математичної та теоретичної фізики” (Київ, 2004), “Інтегральні рівняння та їх застосування” (Одеса, 2005), а також — на семінарах відділу математичних методів в статистичній механіці Інституту математики НАН України (керівник — член-кор. НАН України Д. Я. Петрина).

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковано в наукових статтях [1-5], надрукованих у провідних (чотирьох вітчизняних та одному іноземному) наукових виданнях. Опубліковано також тези доповідей [6-10], представлених на міжнародних наукових конференціях.

Структура та об’єм роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків і списку використаних джерел. Загальний обсяг дисертації складає 124 сторінки машинописного тексту, з яких список використаних джерел займає 14 сторінок і містить 112 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, вказано наукову новизну, теоретичне й практичне значення отриманих результатів. Зазначено особистий внесок здобувача, апробацію роботи та публікації автора, а також наведено структуру та зміст основних розділів дисертаційної роботи.

Перший розділ присвячено огляду наукових праць за тематикою дисертаційної роботи, викладено питання розвитку математичних досліджень з теорії еволюційних рівнянь нескінченночастинкових систем.

У другому розділі для початкової задачі ланцюжка рівнянь Боголюбова класичних систем частинок побудовано нове представлення для розв’язку методом нерівноважних кластерних розкладів еволюційних операторів.

У підрозділі 2.1 розвинуто метод нерівноважних кластерних розкладів еволюційних операторів систем скінченного числа частинок для побудови розв’язку ланцюжка рівнянь Боголюбова.

Розглядається класична система довільного числа тотожних частинок одиничної маси. Стан такої системи частинок описується послідовністю -частинкових функцій розподілу , які визначені на фазовому просторі системи частинок і задовольняють початкову задачу для ланцюжка рівнянь Боголюбова

(1)

(2)

де — функція Гамільтона (гамільтоніан); — дужка Пуассона; — парний потенціал взаємодії.

Розв’язок початкової задачі (1), (2) представляється таким розкладом (див. статтю Петрини Д. Я., Видибіди А. К. “Задача Коши для цепочки уравнений Боголюбова” // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова АН СCCР. – 1975. – 136. – C. 370-378.):

(3)

де еволюційний оператор визначається за виразом

(4)

Еволюційний оператор , , визначається за такою формулою:

(5)

де — розв’язок початкової задачі для рівнянь Гамільтона системи частинок з початковими даними , — одиничний оператор).

Метод нерівноважних кластерних розкладів полягає в тому, що в основу побудови розв’язку початкової задачі для ланцюжка рівнянь Боголюбова (1), (2) у формі розкладу (3) можна покласти рекурентні співвідношення, які цілком характеризують еволюційні оператори з формули (3) й описують їх як члени розкладу для заданого еволюційного оператора (5), що визначає еволюцію системи частинок.

Лема 2.1. Еволюційний оператор (4) є розв’язком такого рекурентного співвідношення:

(6)

У цьому ж підрозділі доведено: якщо задовольняє рекурентне співвідношення (6), то розклад (3) є розв’язком початкової задачі для ланцюжка рівнянь Боголюбова (1), (2) в просторі послідовностей інтегровних симетричних функцій з нормою

де — число.

У підрозділі 2.2 визначено кумулянти (семиінваріанти) еволюційного оператора скiнченних груп частинок, у термінах яких описується кластерний характер еволюції багаточастинкових систем.

Нехай тобто символ означає число елементів множини . Якщо підмножину множини трактувати як її елемент, подібний до елементів , то для такої множини вживається позначення .

Кумулянт (семиінваріант) еволюційного оператора скiнченних груп частинок визначається як розв’язок такого рекурентного співвідношення — кластерного розкладу еволюційних операторів (5):

(7)

де — сума за всіма можливими розбиттями множини на непорожніх підмножин що взаємно не перетинаються, , а множина належить до однієї з підмножин як її елемент. Підкреслимо, що порядок (нижній індекс) кумулянта визначається кількістю елементів, з яких складається система частинок множини

Лема 2.2. Розв’язок рекурентного співвідношення (7) визначається за виразом

(8)

де — сума за всіма можливими розбиттями множини на непорожніх підмножин що взаємно не перетинаються, а множина належить до однієї з підмножин .

У підрозділі 2.3, згідно з кластерним розкладом (8), розв’язок у кумулянтному представленні початкової задачі для ланцюжка рівнянь Боголюбова (1), (2) визначено за формулою

(9)

де використано позначення формули (8).

Лема 2.3. Якщо то має місце оцінка

(10)

Отже, згідно з оцінкою (10) справедлива така лема.

Лема 2.4. Якщо функція то за умови, що послідовність функцій розподілу , які визначаються розкладом (9), належить простору .

Через позначимо підпростір фінітних послідовностей неперервно диференційовних функцій з компактними носіями.

У підрозділі 2.4, згідно з лемою 2.3 та лемою 2.4, у випадку, коли — двічі неперервно диференційовна функція з компактним носієм, , доведено таке твердження.

Теоpема 2.1. Якщо , то за умови, що при початкова задача для ланцюжкa рівнянь Боголюбова (1), (2) має єдиний розв’язок , який визначається розкладом (9). Для цей розв’язок сильний, а для довільних початкових даних — слабкий.

У лемі 2.5 встановлено еквівалентність різних представлень розв’язку початкової задачі для ланцюжка рівнянь Боголюбова (1), (2).

Фактично твердження теореми 2.1 про існування розв’язку в кумулянтному представленні (9) початкової задачі для ланцюжка рівнянь Боголюбова (1), (2) в просторі є наслідком еквівалентності різних представлень розв’язку згідно з лемою 2.5.

Функціями з простору описуються системи скінченного числа частинок, тобто системи, середнє число частинок якої — скінченна величина, оскільки . Для того, щоб описати стани нескінченночастинкових систем потрібно будувати розв’язок початкової задачі для ланцюжка рівнянь Боголюбова в іншому просторі, відмінному від .

У третьому розділі побудовано розв’язок початкової задачі для ланцюжка рівнянь Боголюбова в просторі послiдовностей симетричних функцій, обмежених по конфігураційних змінних та експоненціально спадних по імпульсних змінних, елементами якого описуються стани нескінченночастинкових систем. В основу аналізу цієї задачі покладено побудоване в другому розділі кумулянтне представлення (9) для розв’язку, яке дозволило узагальнити метод області взаємодії, розвинутий Д. Я. Петриною.

У підрозділі 3.1 сформульовано метод регуляризації кумулянтного представлення розв’язку початкової задачі для ланцюжка рівнянь Боголюбова одновимірної системи тотожних частинок (відрізків довжиною , масою ), які взаємодіють між собою як абсолютно пружні кулі через парний потенціал взаємодії що задовольняє такі умови:

(11)

де — радіус дії сил між частинками. Для конфігурацій такої системи виконуються умови: . Множина визначає область заборонених конфігурацій у фазовому просторі системи частинок. Фазові траєкторії такої системи визначені не для всіх початкових даних , а майже скрізь на фазовому просторі , тобто поза певною множиною (їй належать потрійні і т.д. зіткнення частинок) нульової Лебегової міри.

Еволюція станів такої системи частинок описується послідовністю -частинкових функцій розподілу , що задовольняють початкову задачу для ланцюжка рівнянь Боголюбова

(12)

(13)

де — функція Гамільтона (гамільтоніан); — дужка Пуассона.

Нехай послідовність початкових даних (13) належить простору послідовностей обмежених функцій , визначених на фазовому просторі , які симетричні відносно перестановок аргументів та дорівнюють нулю на множині заборонених конфігурацій. Норма такого простору визначається за формулою

де — числа.

Згідно з теоремою 2.1 для розв’язок початкової задачі для ланцюжка рівнянь Боголюбова (12), (13) визначається таким розкладом

(14)

де — кумулянт (8) еволюційних операторів скінченних груп частинок системи, що розглядається.

Для початкових даних кожний член розкладу (14) для розв’язку початкової задачі ланцюжка рівнянь Боголюбова (12), (13) містить розбіжні інтеграли по конфігураційних змінних. Кумулянтна структура розкладу (14) для розв’язку фактично визначає члени розкладу (14) як суми доданків з розбіжними інтегралами, що взаємно компенсуються. Метод регуляризації розв’язку полягає в тому, щоб виразити кумулянти вищих порядкiв через кумулянти 1-го та 2-го порядків. Кумулянти 2-го порядку визначають найпростiшi вирази, якi взаємно компенсуються для початкових даних частинок поза певною скінченною областю інтегрування по конфігураційних змінних у розкладі (14).

Лема 3.1. Справедлива рівність

де — сума за всіма непорожніми підмножинами множини причому група з частинок еволюціонує як один елемент, — сума за всіма можливими розбиттями множини на непорожніх підмножин які взаємно не перетинаються, причому кожний кластер з частинок еволюціонує як один елемент.

Згiдно з лемою 3.1 та теоремою Ліувілля для розв’язок (14) набуває вигляду

(15)

де — сума за всіма непорожніми підмножинами множини причому група з частинок еволюціонує як один елемент.

У підрозділі 3.2 на основі узагальнення методу області взаємодії при умовах (11) на потенціал взаємодії область інтегрування по конфігураційних змінних у розкладі (15) визначається як множина початкових даних для частинок з кластера таких, що між ними та частинками з кластера може відбутися взаємодія за проміжок часу при заданих початкових даних для частинок з кластера . Область інтегрування за проміжок часу при фіксованих початкових даних з компакту має скiнченний об’єм , і для нього справедлива оцінка

(16)

Враховуючи нерівність (16), для підінтегральної функції з розкладу (15) встановлюємо таку оцінку.

Лема 3.2. Якщо то справедлива така оцінка

де — сума за всіма непорожніми підмножинами множини причому група з частинок еволюціонує як один елемент, — числа, а — ціла частина числа

У підрозділі 3.3 згідно з лемою 3.2 в просторі послідовностей симетричних функцій, обмежених по конфігураційних змінних і експоненціально спадних по імпульсних змінних, доведено теорему існування регуляризованого розв’язку (15) початкової задачі для ланцюжка рівнянь Боголюбова (12), (13).

Теоpема 3.1. Якщо то для де — ціла частина числа , за умови, що існує єдиний слабкий розв’язок початкової задачі для ланцюжка рівнянь Боголюбова (12), (13), який визначається розкладом (15).

У четвертому розділі досліджено початкову задачу для дуального (двоїстого) ланцюжка рівнянь Боголюбова в просторі послідовностей обмежених симетричних функцій. Визначено дуальні нерівноважні кластерні розклади, на основі яких побудовано кумулянтне (семиінваріантне) представлення розв’язку дуального ланцюжка рівнянь Боголюбова. Доведено існування функціоналів для середніх значень спостережуваних.

Для багаточастинкових систем, стани яких описуються розв’язками (3), (4) початкової задачі для ланцюжка рівнянь Боголюбова (1), (2), величина середнього значення (математичного сподівання) для довільної послідовності -частинкових спостережуваних де — число, визначається за формулою

(17а)

Дуальний (двоїстий) спосіб опису еволюції багаточастинкових систем полягає в тому, що середні значення можуть бути визначені ще в такий спосіб:

(17b)

де — послідовність так званих -частинкових спостережуваних .

У підрозділі 4.1 встановлено дуальні нерівноважні кластерні розклади еволюційного оператора скiнченних груп частинок для побудови розв’язку початкової задачі для дуального ланцюжка рівнянь Боголюбова.

Для класичної системи довільного числа тотожних частинок одиничної маси спостережувана описується послідовністю -частинкових функцій , визначених на фазовому просторі системи частинок і ці функції задовольняють початкову задачу для дуального ланцюжка рівнянь Боголюбова

(18)

(19)

де — функція Гамільтона (гамільтоніан); — дужки Пуассона; — парний потенціал взаємодії; — скалярний добуток. У рівнянні (18) і нижче символ означає, що -тий елемент вилучено, тобто .

Розв’язок початкової задачі для дуального ланцюжка рівнянь Боголюбова (18), (19) має вигляд

(20)

Дуальний еволюційний оператор у розкладі (20) визначається за виразом

(21)

де — еволюційний оператор рівняння Ліувілля для спостережуваних величин системи частинок ( — одиничний оператор), що є спряженим у сенсі білінійної форми (17a), (17b) до еволюційного оператора , який визначається формулою (5).

Метод нерівноважних дуальних кластерних розкладів полягає в тому, що в основу побудови розв’язку початкової задачі для дуального ланцюжка рівнянь Боголюбова (18), (19) у формі розкладу (20) можна покласти рекурентні співвідношення, які цілком характеризують дуальні еволюційні оператори з формули (20) і описують їх як члени розкладу для заданого еволюційного оператора (5), що визначає еволюцію системи частинок.

Лема 4.1. Дуальний еволюційний оператор (21) є розв’язком такого рекурентного співвідношення:

(22)

У підрозділі 4.2 методом дуальних кластерних розкладів встановлено, що розв’язок початкової задачі для дуального ланцюжка рівнянь Боголюбова (18), (19) представляється скінченними сумами по групах спадного числа частинок, еволюція яких описується дуальними кумулянтами.

Нехай і, отже, . Якщо підмножину множини трактувати як її елемент, подібний до елементів то для такої множини вживається позначення .

Дуальний кумулянт (семиінваріант) -го порядку еволюційного оператора (5) визначається як розв’язок рекурентного співвідношення — дуального кластерного розкладу еволюційних операторів (5) —

(23)

де — cума за всіма можливими розбиттями множини на непорожніх підмножин , що взаємно не перетинаються а множина належить до однієї з підмножин як її елемент. Підкреслимо, що порядок дуального кумулянта визначається кількістю елементів, з яких складається система частинок множини .

Лема 4.2. Розв’язок дуальних рекурентних співвідношень (23) визначається за виразом

(23)

де — cума за всіма можливими розбиттями множини на непорожніх підмножин , що взаємно не перетинаються, а множина належить до однієї з підмножин .

У підрозділі 4.3, згідно з розкладом (23), розв’язок у кумулянтному представленні початкової задачі для дуального ланцюжка рівнянь Боголюбова (18), (19) визначено за формулою

(24)

де і, отже, — сума за всіма можливими розбиттями множини на непорожніх підмножин що взаємно не перетинаються, а множина належить до однієї з підмножин .

У підрозділі 4.4 побудовано оцінку отриманого розкладу (24) для розв’язку початкової задачі для дуального ланцюжка рівнянь Боголюбова (18), (19) у просторі послідовностей обмежених симетричних функцій з нормою

де — число.

Лема 4.3. Якщо то за умови, що для послідовності функцій (24) справедлива така оцінка

(25)

Нехай — підпростір фінітних послідовностей неперервнo диференційовних функцій з компактними носіями. Тоді при , згідно з лемою .3, справедлива така теорема.

Теоpема 3.1. Якщо , то за умови, що при початкова задача для дуального ланцюжка рівнянь Боголюбова (18), (19) має єдиний розв’язок , який визначається розкладом (24), причому для цей розв’язок сильний, а для довільних початкових даних — слабкий.

У підрозділі 4.5 досліджено існування функціоналів для середніх значень спостережуваних величин.

Якщо та , то внаслідок оцінки (25) функціонал (17a), (17b) існує і за умови, що (або умови на щільність), справедлива оцінка

На основі функціонала (17b) встановлено, що представлення (24) та (20), (21) розв’язку дуального ланцюжка рівнянь Боголюбова є еквівалентними в тому сенсі, що їх середні значення збігаються.

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі досліджено початкову задачу для ланцюжка рівнянь Боголюбова в просторі послідовностей інтегровних функцій і в просторі послідовностей функцій, обмежених по конфігураційних змінних та експоненціально спадних по імпульсних змінних. На основі методу кластерних розкладів побудовано нове представлення для розв’язку початкової задачі ланцюжка рівнянь Боголюбова, а саме у формі розкладу по групах зростаючого числа частинок, еволюція яких описується кумулянтом (семиінваріантом) еволюційного оператора. Для початкових даних з простору досліджено характер розбіжних членів розкладу для розв’язку в кумулянтному представленні та сформульовано метод його регуляризації.

У дисертаційній роботі також досліджено початкову задачу для дуального ланцюжка рівнянь Боголюбова у просторі послідовностей обмежених функцій. На основі методу дуальних кластерних розкладів побудовано нове представлення для розв’язку початкової задачі для дуального ланцюжка рівнянь Боголюбова, а саме у формі розкладу по групах спадного числа частинок, еволюція яких описується дуальним кумулянтом (семиінваріантом) еволюційного оператора. Доведено існування функціоналів для середніх значень спостережуваних величин.

CПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ РОБІТ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Герасименко В. І., Рябуха Т. В. Кумулянтне зображення розв’язків ланцюжків рівнянь Боголюбова // Укр. мат. журн. – 2002. – , № 10. – C. 1313–1328.

2. Герасименко В. І., Рябуха Т. В. Дуальні нерівноважні кластерні розклади // Допов. НАН України. – 2003. – № 3. – C. 16-22.

3. Gerasimenko V. I., Ryabukha T. V., Stashenko M. O. On the structure of expansions for the BBGKY hierarchy solutions // J. Phys. A: Math. and Gen. – 2004. – , № 42. – P. 9861-9872.

4. Рябуха Т. В. Регуляризований кумулянтний розклад для розв’язку ланцюжка рівнянь Боголюбова // Наук. вісн. Волин. ун-ту ім. Лесі Українки. – 2005. – № 5. – C. 144-151.

5. Герасименко В. І., Рябуха Т. В. Початкова задача для дуального ланцюжка рівнянь Боголюбова // Праці Українського мат. конгресу-2001, сек. 5: Мат. Фіз. – Kиїв: Ін-т математики НАН України, 2002.– С. 19-27.

6. Gerasimenko V. I., Ryabukha T. V. Symmetrized representations of the BBGKY hierarchy solutions // Abstr. I Ukrainian Math. Congress, sect.5: Math. Phys. – Kyiv: Inst. Math. NAS Ukraine, 2001. – P. 9.

7. Герасименко В. І., Рябуха Т. В. Симетризовані представлення розв’язків ієрархій рівнянь Боголюбова // Нові підходи до розв’язування диференціальних рівнянь. Міжнар. конф.: Тези доп. – Київ: Ін-т математики НАН України, 2001. – C. 42.

8. Герасименко В. І., Рябуха Т. В. Дуальні нерівноважні кластерні розклади // Теорія еволюційних рівнянь. Міжнародна конференція. П’яті Боголюбівські читання: Тези доп. – Кам’янець-Подільський: Абетка-НОВА, 2002. – C. 43.

9. Ryabukha T. V. Estimates of divergent terms in expansions of the BBGKY hierarchy solutions // Recent Trends in Kinetic Theory and its Applications. International Conference: Book Absracts. – Kyiv: Inst. Math. NAS Ukraine, 2004. – P. 59.

10. Ryabukha T. V. On the nature of divergent terms in solution expansions of the Bogolyubov hierarchies // Modern Problems of Math. and Theor. Phys. Bogolyubov Kyiv Conference: Book Absracts. – Kyiv: Inst. Math. NAS Ukraine, 2004. – P. 54.

АНОТАЦІЇ

РЯБУХА Т. В. Нерівноважні кластерні розклади в теорії нескінченних динамічних систем. — Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук зa спеціальнiстю 01.01.03 — математична фізика. — Інститут математики НАН України, Київ, 2006.

Дисертація присвячена дослідженню початкової задачі для ланцюжка рівнянь Боголюбова нескінченних систем методом нерівноважних кластерних розкладів. Побудовано нові представлення для розв’язків у формі розкладів по групах зростаючого числа частинок, еволюція яких описується кумулянтом (семиінваріантом) еволюційного оператора рівняння Ліувілля. У просторі послідовностей інтегровних функцій доведено теорему існування розв’язку в кумулянтному представленні початкової задачі для ланцюжка рівнянь Боголюбова. Для початкових даних з простору послідовностей функцій, обмежених по конфігураційних змінних та експоненціально спадних по імпульсних змінних, встановлено природу розбіжних членів розкладу для розв’язку в кумулянтному представленні та запропоновано метод його регуляризації. Розвинуто метод дуальних кластерних розкладів, на основі якого побудовано нове представлення для розв’язку початкової задачі дуального ланцюжка рівнянь Боголюбова в просторі послідовностей обмежених функцій. Досліджено існування функціоналів для середніх значень спостережуваних величин, які визначаються побудованими розкладами по кумулянтах.

Ключові слова: ланцюжок рівнянь Боголюбова, нерівноважний кластерний розклад, кумулянт (семиінваріант), регуляризований розв’язок, дуальний ланцюжок рівнянь Боголюбова, дуальний кумулянт.

РЯБУХА Т. В. Неравновесные кластерные разложения в теории бесконечных динамических систем. — Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.03 — математическая физика. Институт математики НАН Украины, Киев, 2006.

Диссертация принадлежит к одному из направлений современной математической статистической механики — теории эволюционных уравнений систем бесконечного числа частиц — и посвящена исследованию задачи Коши для цепочки уравнений Боголюбова и задачи Коши для цепочки дуальных уравнений Боголюбова на основе неравновесных кластерных разложений. Работа состоит из четырёх разделов.

В первом разделе изложен обзор научных работ по тематике диссертации, связанных с развитием математических исследований по теории эволюционных уравнений систем бесконечного числа частиц.

Во втором разделе сформулирован метод кластерных разложений эволюционных операторов для построения решения задачи Коши для цепочки уравнений Боголюбова. Определены кумулянты (семиинварианты) эволюционного оператора конечных груп частиц, в терминах которых описуется кластерный характер эволюции многочастичных систем. На основе метода кластерных разложений построено новое кумулянтное представление решения цепочки уравнений Боголюбова. Для начальных данных из пространства последовательностей интегрируемых функций исследован вопрос сходимости полученного разложения для решения и доказана теорема существования решения задачи Коши для цепочки уравнений Боголюбова.

В третьем разделе построено регуляризированное кумулянтное разложение для решения задачи Коши цепочки уравнений Боголюбова одномерной системы частиц, которые взаимодействуют посредством парного потенциала конечного радиуса действия с твердым ядром. Исследованы условия сходимости ряда для решения в пространстве последовательностей функций, ограниченных по конфигурационным переменным и экспоненциально убывающих по импульсным переменным. В этом пространстве доказана теорема существования локального по времени слабого решения задачи Коши для цепочки уравнений Боголюбова.

В четвертом разделе сформулирован метод дуальных кластерных разложений для построения решения задачи Коши для дуальной цепочки уравнений Боголюбова. Определены дуальные кумулянты эволюционного оператора, в терминах которых описывается кластерный характер эволюции бесконечных систем. На основе метода дуальных кластерных разложений построено новое кумулянтное представление решения дуальной цепочки уравнений Боголюбова. В пространстве последовательностей ограниченных функций доказана теорема существования решения в кумулянтном представлении задачи Коши для дуальной цепочки уравнений Боголюбова. Исследовано существование функционалов для средних значений наблюдаемых величин, которые определяются построенными разложениями по кумулянтам.

Ключевые слова: цепочка уравнений Боголюбова, неравновесное кластерное разложение, кумулянт (семиинвариант), регуляризированное решение, дуальная цепочка уравнений Боголюбова, дуальный кумулянт.

RYABUKHA T.V. Non-equilibrium cluster expansions in theory of infinite dynamical systems. — Manuscript.

Dissertation for the candidate of physics and mathematics degree in speciality 01.01.03 — mathematical physics. — Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2006.

The thesis is devoted to the investigation of the initial value problem of the Bogolyubov chain of equations for infinite systems by the non-equilibrium cluster expansion method. We construct new representations of the solutions in the form of the expansions over the particle clusters, whose evolution is governed by the cumulant (semi-invariant) of the evolution operator of the Liouville equation. The existence theorem of the solution in the cumulant representation of the initial value problem for the Bogolyubov chain of equations in the space of sequences of integrable functions has been proved. For the initial data from the space of sequences of functions, bounded with respect to the configuration variables and exponentially decreasing with respect to the momentum variables, we establish the nature of divergent terms of the expansion for the solution in the cumulant representation and we suggest its regularization method. We develop a dual non-equilibrium cluster expansion method and on its basis we construct a new representation of the solution of the initial value problem for the dual Bogolyubov chain of equations in the space of sequences of bounded functions. We investigate the existence of functionals for the average values of observables determined by the constructed expansions over the cumulants.

Key words: Bogolyubov chain of equations, non-equilibrium cluster expansion, cumulant (semi-invariant), regularized solution, dual Bogolyubov chain of equations, dual cumulant.

Підписано до друку 10.03.2006. Формат 6084/16. Папір офс. Офс. друк.

Фіз. друк. арк. 1,5. Умов. друк. арк. 1,4.

Тираж 100 пр. Зам. 74. Безкоштовно.

Інститут математики НАН України,

01601, м. Київ-4, вул. Терещенківська, 3.