ХАРКІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
ІМЕНІ В. Н. КАРАЗІНА

Рвачова Тетяна Володимирівна

УДК 517

УЗАГАЛЬНЕНІ РЯДИ ТЕЙЛОРА ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ

01.01.01 – математичний аналіз

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Харків – 2006

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Харківському національному університеті імені В. Н. Каразіна

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор

Гандель Юрій Володимирович,

професор кафедри математичної фізики та

обчислювальної математики

Харківського національного університету

імені В. Н. Каразіна (м. Харків)

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

Гришин Анатолій Пилипович,

професор кафедри математичного аналізу

Харківського національного університету

імені В. Н. Каразіна (м. Харків)

кандидат фізико-математичних наук, доцент

Агранович Поліна Залманівна,

старший науковий співробітник відділу теорії функцій

Фізико-технічного інституту

низьких температур імені Б. І. Вєркіна

НАН України (м. Харків)

Провідна установа: Дніпропетровський національний університет,

кафедра теорії функцій.

Захист відбудеться 14.04.2006 р. о 15-30 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К64.051.11 Харківського національного університету
імені В. Н. Каразіна за адресою: 61077, м. Харків, площа Свободи, 4, ауд. 6-48.

З дисертацією можна ознайомитися в Центральній науковій бібліотеці Харківського національного університету імені В. Н. Каразіна, за адресою: 61077, м. Харків,
площа Свободи, 4.

Автореферат розісланий: 06.03.2006 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Скорик В. О.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Неквазіаналітичні класи нескінченно диференційовних функцій знаходять широке застосування в багатьох розділах математичного аналізу. Зокрема, вони виникають при дослідженні гіпоеліптичних рівнянь з частинними похідними, звичайних диференціальних рівнянь нескінченного порядку, функціонально-диференціальних рівнянь, а також у чисельних методах.

У зв’язку з цим актуальним є питання про можливість подання таких функцій у вигляді збіжних рядів, які виступали б аналогом рядів Тейлора для аналітичних функцій. У роботах В. О. Рвачова, продовжених пізніше його учнями І. І. Малицьким, Г. О. Старцем і В. М. Кузніченком, були запропоновані і досліджені узагальнені ряди Тейлора для класів нескінченно диференційовних функцій, де – клас функцій таких, що

.

Ці ряди були побудовані на основі функції – розв’язку з компактним носієм функціонально-диференціального рівняння

.

Базисні функції цього ряду являють собою лінійні комбінації зсувів функції .

Дисертація присвячена, насамперед, одержанню асимптотичних формул для базисних функцій узагальненого ряду Тейлора з великими номерами . Відзначимо, що рекурентні формули для знаходження цих функцій, наведені в роботах В. О. Рвачова, є досить громіздкими і незручними у використанні для великих У зв’язку з цим у 1986 році було поставлено задачу: дослідити поведінку базисних функцій узагальнених рядів Тейлора для великих , знайти зручні формули для їх обчислення. У дисертації одержано асимптотичні формули для , а отже, розв’язано першу частину цієї задачі. Крім того, одержані асимптотичні формули дають можливість наближено обчислювати базисні функції з великими номерами .

Актуальною проблемою є також дослідження зв’язку між коефіцієнтами та сумою узагальненого ряду Тейлора. У дисертації одержано результат, зміст якого коротко можна передати так: якщо нескінченно диференційовна на всьому відрізку функція задовольняє деякі („слабкі”) обмеження на похідні (які гарантують можливість розвинення функції в узагальнений ряд Тейлора) і в двійково-раціональних точках ця функція задовольняє деякі сильніші обмеження на похідні, то і всюди на відрізку похідні будуть задовольняти ці сильніші обмеження. Як наслідок цього результату були одержані достатні умови аналітичності і належності до класу Жеврея і А-простору Рум’є нескінченно диференційовної функції.

Крім того, в дисертації одержано достатні умови існування єдиного фінітного розв’язку функціонально-диференціального рівняння, подібного до рівняння для функції , але зі змінним коефіцієнтом, що в перспективі може бути використано для подальшого розвитку теорії узагальнених рядів Тейлора.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Напрямок досліджень дисертації передбачений тематичним планом наукової роботи Харківського національного університету імені В. Н. Каразіна за темою: “Розвиток конструктивного апарату теорії наближення функцій, квадратурні формули та їх застосування”, номер держрегістрації <КТФ> 01040002365.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є знаходження асимптотики базисних функцій узагальненого ряду Тейлора, одержання результатів про зв’язок між поведінкою коефіцієнтів узагальненого ряду Тейлора та його суми, а також одержання достатніх умов існування і єдиності розв’язків з компактним носієм деяких функціонально-диференціальних рівнянь, пов’язаних з теорією узагальнених рядів Тейлора.

Об’єктом дослідження є узагальнені ряди Тейлора.

Предметом дослідження є:

- базисні функції узагальненого ряду Тейлора,

- питання про існування зв’язку між коефіцієнтами та сумою цього ряду,

- розв’язки з компактним носієм деяких функціонально-диференціальних рівнянь, пов’язаних з теорією узагальнених рядів Тейлора.

Методи дослідження. У роботі було застосовано методи теорії функцій дійсної та комплексної змінних і теорії атомарних функцій.

Наукова новизна одержаних результатів.

1. Встановлений факт існування асимптотики базисних функцій узагальненого ряду Тейлора з великими номерами .

2. Вперше доведені теореми про асимптотику базисних функцій узагальненого ряду Тейлора та введені відповідні асимптотичні функції.

3. Вперше одержана теорема про зв’язок між коефіцієнтами та сумою узагальненого ряду Тейлора. Як наслідок, одержані достатні умови аналітичності та належності до класу Жеврея нескінченно диференційовної функції.

4. Вперше одержано достатні умови належності нескінченно диференційовної функції до А-просторів Рум’є.

5. Вперше доведені теореми про існування та єдиність розв’язків з компактним носієм деяких функціонально-диференціальних рівнянь з періодичними коефіцієнтами, пов’язаних з теорією узагальнених рядів Тейлора.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертаційної роботи мають теоретичний характер та сприяють подальшому розвитку теоріі атомарних функцій, узагальнених рядів Тейлора, функціонально-диференціальних рівнянь і чисельних методів. Одержані результати можуть бути використані для подальших досліджень різноманітних класів нескінченно диференційовних функцій, які проводяться в Інституті математики НАН України, Київському, Харківському, Дніпропетровському, Одеському університетах, Національному аерокосмічному університеті „ХАІ”.

Особистий внесок здобувача. Всі результати одержано автором самостійно.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи доповідались на X міжнародній науковій конференції ім. академіка М. Кравчука (Київ, 2004), на IX Всеукраїнській науковій конференції “Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики” (Львів, 2002), на міжнародній конференції “Колмогоров и современная математика” (Москва, 2003) , Харківському міському семінарі з теорії функцій (керівник професор А. П. Гришин), науковому семінарі кафедри вищої математики Національного аерокосмічного університету імені М. Є. Жуковського „ХАІ”, науковому семінарі з теорії функцій (Дніпропетровський національний університет, керівники семінару: член-кореспондент НАН України, професор В. П. Моторний, професор В. Ф. Бабенко), на науково-навчальному семінарі “Математичне моделювання методами дискретних особливостей у задачах математичної фізики” (керівник професор Ю. В. Гандель).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 7 статтях, які вміщені у виданнях з переліку ВАК України, і в 1 тезах доповідей.

Структура дисертації. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаних джерел. Загальний обсяг дисертації – 135 сторінок. Список використаних джерел займає 8 сторінок і включає 77 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтована актуальність теми, сформульовані мета і задачі дослідження, вказаний зв’язок роботи з науковими програмами, планами та темами, охарактеризована наукова новизна результатів, їх практичне значення, прокоментований особистий внесок здобувача у наукові праці та ступінь апробації результатів дисертації, описані основні результати роботи.

У першому розділі зібрані всі попередні результати про функцію і узагальнені ряди Тейлора, що використовуються протягом дисертації.

Нехай – клас функцій таких, що

,

де . Клас з у подальшому буде позначатися через .

Для класів на , узагальнений ряд Тейлора має вигляд

,

де , ,

а функції – базисні функції узагальненого ряду Тейлора, які однозначно визначаються з умов .

У дисертації розглядаються функції , що відрізняються від множниками :

.

Другий розділ дисертації присвячено знаходженню асимптотики базисних
функцій узагальненого ряду Тейлора.

Нехай

,

де є фінітним з носієм розв’язком функціонально-диференціального
рівняння

.

Введемо функцію комплексного змінного, яка є твірною функцією послідовності :

.

Зауважимо, що ця функція буде аналітичною і навіть цілою функцією, що випливає з відомих оцінок для .

Лема 2.2. Функція в крузі має єдиний корінь (кратності 1).

У роботі показано, що цей корінь – дійсний, і .

Визначимо функцію наступним чином. Нехай на проміжку

і для.

Лема 2.4. Функція є нескінченно диференційовною на дійсній осі .

Лема 2.7. Для будь-яких і

, де .

Лема 2.8. Для будь-якого і виконуються оцінки:

1) ;

2) .

Нехай

Тоді мають місце такі теореми:

Теорема 2.1. Функції і при рівномірно збігаються на проміжку відповідно до функцій і :

, .

Теорема 2.2. Для функцій і справедливі такі асимптотичні формули:

,

,

де і .

Введемо ще одне позначення для базисних функцій узагальненого ряду Тейлора, більш зручне для формулювання результатів про асимптотику , .

Нехай

і

Якщо , де дріб – нескоротний, то показано, що

і

Введемо функції:

Лема 2.9. Для будь-якого і , справедлива оцінка

.

Лема 2.10. Для будь-якого і , справедливі оцінки:

1) ;

2)

Лема 2.11. Для будь-якого

Інакше, справедлива така

Теорема 2.3. Функції і збігаються до функцій та відповідно за нормою для будь-якого .

Теорема 2.4. Функції та , де дріб – нескоротний, , при рівномірно на відрізку збігаються відповідно до
функцій і :

У термінах функцій ця теорема формулюється так:

Теорема 2.5. Нехай – фіксована двійково-раціональна точка відрізку , та нехай , де – непарне. Тоді функції , де , та , де , при рівномірно на відрізку збігаються відповідно до функцій і :

Теорема 2.6. Для базисних функцій узагальненого ряду Тейлора і , де дріб нескоротний, тобто , вірні такі асимптотичні формули:

, ,

де , і залишковий член задовольняє наступну нерівність

.

Лема 2.12. Справедлива наступна формула для -ї похідної функції при :

.

Лема 2.13. Функція є цілою функцією нульового порядку.

Лема 2.14. Функція може бути подана у вигляді нескінченного добутку

,

де – послідовність коренів цієї функції.

Нехай – дійсні та відмінні корені функції , , причому кратність кожного кореня дорівнює 1, та в крузі , , функція не має інших корнів.

Введемо у розгляд функції

Аналогічно до функцій і введемо функції і
наступним чином

Тоді справедлива наступна теорема про асимптотику:

Теорема 2.8. Нехай – дійсні та відмінні корені функції ,

причому кратність кожного кореня дорівнює одиниці та на множині функція не має інших коренів.

Тоді для базисних функцій узагальненого ряду Тейлора і справедливі наступні асимптотичні формули:

,

,

де , і для залишку справедлива оцінка:

Введемо у розгляд функції

де та .

Нехай

Теорема 2.9. Нехай виконуються умови теореми 2.8. Тоді для функцій і , де дріб нескоротний, справедливі наступні асимптотичні формули:

, ,

де і залежить від .

Третій розділ дисертації присвячений дослідженню зв’язку між коефіцієнтами і сумою узагальненого ряду Тейлора. У цьому розділі одержано достатні умови належності до просторів Рум’є функцій, які розвиваються в узагальнений ряд Тейлора.

Теорема 3.1. Нехай для функції виконуються такі умови:

1) Існує стала така, що

, де ;

2) .

Тоді знайдеться така стала , що

.

Наслідок 3.1. Нехай функція задовольняє умову 2) теореми та

.

Тоді функція є аналітичною на .

Нагадаємо, що класом Жеврея порядку називається клас нескінченно диференційовних функцій таких, що

.

Наслідок 3.2. Нехай функція задовольняє умову 2) теореми та і такі, що

.

Тоді функція належить до класу Жеврея порядку на .

Означення 3.1. Простором Рум’є називається банахів простір функцій таких, що

,

де , з нормою .

Означення 3.2. Назвемо простір Рум’є А-простором Рум’є, якщо послідовність задовольняє умови:

а) існує для будь-якого ;

б) існує .

Означення 3.2 належить автору.

Позначимо , .

Справедлива наступна теорема.

Теорема 3.2. Нехай функція задовольняє умови:

1) для будь-яких і існують точки такі, що , де задовольняє умови а), б) означення 3.2;

2) .

Тоді функція належить до А-простору Рум’є (який відповідає послідовності ).

У четвертому розділі дисертації одержано достатні умови існування і єдиності розв’язку з компактним носієм функціонально-диференціального рівняння, подібного до рівняння для функції , але зі змінним коефіцієнтом.

Нехай функція задовольняє умови:

(4.4)

тобто ,

, (4.5)

, (4.6)

а функція та задовольняє наступні умови:

, (4.9)

, (періодичність з періодом ) (4.10)

(4.11)

Теорема 4.3. Функціонально-диференціальне рівняння

,

де задовольняє (4.9)  (4.11) з , має єдиний ненульовий розв’язок, який задовольняє умови (4.4)  (4.6), якщо на функцію накласти умову: , де .

ВИСНОВКИ

Дисертація присвячена дослідженню деяких задач, пов’язаних із теорією узагальнених рядів Тейлора. Основні наукові результати дисертаційної роботи полягають у наступному:

1. Доведено існування асимптотики базисних функцій узагальненого ряду Тейлора; введено і досліджено відповідні асимптотичні функції. Встановлення
факту існування асимптотики стало можливим завдяки запропонованому в дисертації новому методу побудови базисних функцій . Саме для асимптотичні функції мають найбільш простий вигляд. На основі одержаної асимптотики для побудовані асимптотичні функції для базисних функцій , .

2. Доведено теорему, що встановлює зв’язок між коефіцієнтами та сумою узагальненого ряду Тейлора. Як наслідки цього результату одержано достатні умови аналітичності і належності до класу Жеврея нескінченно диференційовної функції.

3. Одержано достатні умови належності нескінченно диференційовної функції до А-простору Рум’є. Цей результат є узагальненням теореми про зв’язок між коефіцієнтами та сумою узагальненого ряду Тейлора.

4. Одержано достатні умови існування єдиного фінітного розв’язку функціонально-диференціального рівняння, подібного до рівняння для функції , але зі змінним коефіцієнтом.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

. Рвачова Т. В. Про розв’язки з компактним носієм деяких функціонально-диференціальних рівнянь // Доповіді Національної академії наук України. – 2000. – № 5. – С. – 33.

. Рвачова Т. В. Про зв’язок між коефіцієнтами і сумами узагальненого ряду Тейлора // Доповіді Національної академії наук України. – 2002. – № 7. – С. – 30.

. Рвачова Т. В. Про асимптотику базисних функцій узагальненого ряду Тейлора // Доповіді Національної академії наук України. – 2003. – № 5. – С.  – 41.

.T. V. On a relation between the coefficients and the sum of the generalized Taylor series. // Matematicheskaya fizika, analiz, geometriya. – Vol. 10, No . – P. – 268.

. Рвачева Т. В. Об асимптотике базисных функций обобщенного ряда Тейлора // Вісник Харківського національного університету. Серія „Математика, прикладна математика і механіка”. – 2003. – № 602, вып. 53. – С.  – 104.

. Рвачова Т. В. Достатні умови належності нескінченно диференційовної функції до А-простору Рум’є // Доповіді Національної академії наук України. – 2004. – №2. – С. – 37.

. Рвачова Т. В. Про застосування узагальненого ряду Тейлора до побудови квадратурних формул // Вісник Львівського університету. Серія „Прикладна математика та інформатика”. – 2003. – Вип. 7. – С. – 86.

. Рвачева Т. В. Одно свойство некоторых классов бесконечно дифференцируемых функций // Тезисы докладов Международной конференции “Колмогоров и современная математика”. – М.: МГУ. – 2003. – С. .

АНОТАЦІЯ

Рвачова Т. В. Узагальнені ряди Тейлора та їх застосування. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 – математичний аналіз. Харківський національний університет ім. В. Н. Каразіна, Харків, 2006.

Дисертація присвячена дослідженню різноманітних задач, пов’язаних з узагальненими рядами Тейлора. Ці ряди було введено в 1982 році як ряди для подання нескінченно диференційовних функції з деяких неквазіаналітичних класів.

В дисертації доведене існування асимптотики для базисних функцій узагальненого ряду Тейлора і одержані відповідні асимптотичні формули для великих номерів і фіксованої власної точки .

Доведено теорему про зв’язок між коефіцієнтами та сумою узагальнених рядів Тейлора; як наслідки, одержані достатні умови аналітичності та належності до класу Жеврея та А-простору Рум’є нескінченно диференційованої функції.

Доведені існування і єдиність розв’язків з компактним носієм деяких функціонально-диференціальних рівнянь, пов’язаних із теорією узагальнених рядів Тейлора. А саме, одержані достатні умови існування єдиного розв’язку з компактним носієм функціонально-диференціального рівняння, подібного до рівняння для , але зі змінним коефіцієнтом.

Ключові слова: узагальнений ряд Тейлора, асимптотика базисних функцій узагальненого ряду Тейлора, А-простір Рум’є, розв’язки з компактним носієм функціонально-диференціальних рівнянь.

АННОТАЦИЯ

Рвачёва Т. В. Обобщенные ряды Тейлора и их применение. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 – математический анализ. Харьковский национальный университет им. В. Н. Каразина, Харьков, 2006.

Диссертация посвящена исследованию различных задач, связанных с обобщенными рядами Тейлора. Обобщенные ряды Тейлора, рассмотренные в диссертации, были введены как ряды для представления бесконечно дифференцируемых функций из некоторых неквазианалитических классов. Эти ряды были построены на основе функции – финитного с носителем решения функционально-дифференциального уравнения

.

В диссертации доказано существование асимптотики для базисных функций обобщенного ряда Тейлора и получены соответствующие одночленные и многочленные асимптотические формулы. Асимптотические формулы получены для больших номеров в предположении, что собственная точка функции фиксирована. Тем самым решена задача, поставленная в 1986 году: исследовать поведение базисных функций обобщенного ряда Тейлора при больших , найти удобные формулы для их вычисления. При получении результатов об асимптотике были введены и исследованы некоторые новые функции, а именно: целая функция комплексного переменного , корни которой играют важную роль при построении асимптотических формул; бесконечно дифференцируемая на всей действительной оси функция , на которой основаны одночленные асимптотические формулы для , а также подобные ей функции , необходимые для построения более точных многочленных формул. Многочленные (-членные) асимптотические формулы получены в предположении, что функция имеет действительных и различных корней , , кратность каждого корня равна единице и на множестве , не имеет других корней. Тогда оценка остатка -членной асимптотической формулы для базисной функции имеет вид .

Доказана теорема о связи между коэффициентами и суммой обобщенного ряда Тейлора; как следствия, получены достаточные условия аналитичности и принадлежности к классу Жеврея и А-пространству Румье бесконечно дифференцируемой функции. Теорема о связи фактически утверждает следующее: если бесконечно дифференцируемая на отрезке функция удовлетворяет “слабым” ограничениям на рост производных всюду на , а именно , и при этом в двоично-рациональных точках на наложены некоторые более сильные ограничения, то и всюду на производные будут удовлетворять этим более сильным ограничениям. При этом “слабые” ограничения всюду гарантируют представимость функции обобщенным рядом Тейлора, а “сильные” ограничения в точках есть ограничения на коэффициенты этого ряда. На этом факте основано доказательство упомянутой выше теоремы. Результат этой теоремы является в некотором смысле неулучшаемым. Если в качестве “слабого” ограничения на рост производных взять условие , то утверждение теоремы не будет иметь места. В качестве контрпримера можно взять функцию . С другой стороны, если “сильные” ограничения на , наложить не на множестве , а на его собственном подмножестве , то контрпримером будет являться функция . Теорема, которая дает достаточные условия принадлежности бесконечно дифференцируемой функции А-пространству Румье, является, в сущности, обобщением предыдущей теоремы. В ней утверждается, что не обязательно требовать выполнения “сильных” ограничений именно в точках . Вместо них можно взять точки , “близкие” к , и при этом получить “сильные” ограничения на производные на всем отрезке . Теорема о связи между коэффициентами и суммой обобщенного ряда Тейлора решает задачу, поставленную 1986 году: доказать, что если функция удовлетворяет условию

для некоторого и

то либо функция является аналитической на , либо

.

Кроме того, в работе получены достаточные условия существования и единственности решений с компактным носителем некоторых функционально-дифференциальных уравнений, связанных с теорией обобщенных рядов Тейлора. А именно, рассмотрено функционально-дифференциальное уравнение

,

то есть уравнение, подобное уравнению для функции , но с переменным коэффициентом. В случае периодического (с периодом ) коэффициента , получены условия на этот коэффициент, при которых существует единственное финитное ненулевое решение этого уравнения, неотрицательное на своем носителе и имеющее нормировку . При получении этого результата был использован принцип Банаха сжимающих отображений для оператора

и выведены ограничения на , при которых оператор является сжимающим.

Ключевые слова: обобщенный ряд Тейлора, асимптотика базисных функций обобщенного ряда Тейлора, А-пространство Румье, решения с компактным носителем функционально-дифференциальных уравнений.

ABSTRACT

Rvachova T.V. The generalized Taylor series and their applications. – Manuscript.

Thesis for candidate degree in Physics and Mathematics speciality 01.01.01 – mathematical analysis. Karazin Kharkiv National University, Kharkiv, 2006.

The thesis is devoted to a research of the different problems connected with generalized Taylor series. These series were introduced in 1982 as the series for the representation of the infinitely differentiable functions from some non-quasianalytic classes.

In the thesis the existence of the asymptotics for basic functions of the generalized Taylor series is proved; the corresponding asymptotic formulas for the large numbers n and for the fixed characteristic point are obtained.

The theorem of the relation between the coefficients and the sum of the generalized Taylor series is proved; as corollaries, the sufficient conditions of the analyticity of the infinitely differentiable function and of its belonging to Gevrey class and A-space of Roumieu are obtained.

The existence and uniqueness of solutions with the compact support of some functional-differentiable equations connected with a theory of the generalized Taylor series are proved. Namely, the sufficient conditions of the existence and uniqueness of the solution with the compact support of the functional-differential equation similar to the one for the function , but with variable coefficient are obtained.

Key words: generalized Taylor series, asymptotics of the basic functions of the generalized Taylor series, A-space of Roumieu, solutions with compact support of the functional-differential equations.