НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ
ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ
СЕРДЮК Анатолій Сергійович
УДК 517.5
ЕКСТРЕМАЛЬНІ ЗАДАЧІ ТЕОРІЇ НАБЛИЖЕННЯ
НА КЛАСАХ НЕСКІНЧЕННО ДИФЕРЕНЦІЙОВНИХ
ПЕРІОДИЧНИХ ФУНКЦІЙ
01.01.01 — математичний аналіз
Автореферат
дисертації на здобуття наукового ступеня
доктора фізико-математичних наук
Київ — 2006
Дисертацією є рукопис
Робота виконана в Інституті математики НАН України.
Науковий консультант
доктор фізико-математичних наук, професор,
член-кореспондент НАН України
СТЕПАНЕЦЬ Олександр Іванович,
Інститут математики НАН України,
заступник директора з наукової роботи.
Офіційні опоненти:
доктор фізико–математичних наук, професор,
член-кореспондент НАН України
ГОРБАЧУК Мирослав Львович,
Інститут математики НАН України, завідувач
відділу;
доктор фізико–математичних наук, професор
ЛИГУН Анатолій Олександрович,
Дніпродзержинський державний технічний
університет, професор;
доктор фізико-математичних наук, професор
ТІМАН Майор Пилипович,
Дніпропетровський державний аграрний
університет, завідувач кафедри.
Провідна установа
Дніпропетровський національний університет
МОН України.
Захист вiбудеться " 28 " лютого 2006 р. о 15 годинi на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.01 Інституту математики НАН України за адресою: 01601 Київ 4, вул. Терещенківська, 3.
З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України.
Автореферат розісланий " 25 " січня 2006 р.
Вчений секретар
спеціалізованої вченої ради Романюк А.С.
Загальна характеристика роботи
Робота присвячена дослідженню класичних екстремальних задач теорії наближення на класах періодичних функцій, заданих за допомогою згорток із фіксованими твірними ядрами.
Актуальність теми. Напрям, пов’язаний із дослідженням найкращих наближень 2?-періодичних функцій тригонометричними поліномами бере свій початок у роботах П.Л.Чебишева, який ще у 50-х роках XIX століття поставив задачу про знаходження полінома, який найменше відхиляється від заданої неперервної функції. Згодом цей напрям в теорії наближення набув подальшого розвитку завдяки роботам К.Вейєрштрасса, Д.Джексона, С.Н.Бернштейна, Валле Пуссена та ін. При цьому на перших етапах розвитку теорії наближення проводилось вивчення наближень окремих функцій. Починаючи з 30-х років XX століття завдяки працям А.М.Колмогорова, Ж.Фавара, Н.І.Ахієзера, М.Г.Крейна, Б.Надя, С.М.Нікольського основна увага в теорії наближень зміщується в бік вивчення найкращих наближень чи інших апроксимаційних характеристик для класів функцій, які мають певні диференціально–різницеві чи гладкісні властивості. Так, у 1936 році Ж.Фавар обчислив точні значення найкращих рівномірних наближень тригонометричними поліномами порядку не вищого ніж n-1 на класах Wr?, rN, (2-періодичних функцій f(x) у яких (r-1)-а похідна f(r-1)(x) локально абсолютно неперервна на [-,], а f(r)(x) майже скрізь задовольняє умову | f(r)(x)|?1), довівши, що
де — константи, відомі в математичній літературі як константи Фавара.
Питання отримання точних значень найкращих наближень в рівномірній та інтегральній метриках для різноманітних функціональних компактів знаходилось у полі зору багатьох видатних математиків XX століття: Н.І.Ахієзера, М.Г.Крейна, Б.Надя, С.М.Нікольського, В.К.Дзядика, С.Б.Стєчкіна, Сунь Юн Шена, М.П.Корнєйчука, В.Ф.Бабенка та ін.
У 1936 році А.М.Колмогоров поставив задачу про обчислення поперечників функціональних класів у лінійних нормованих просторах. Нехай X — лінійний нормований простір, N — центральносиметрична множина із X. -вимірним поперечником за Колмогоровим називають величину
де зовнішня точна нижня межа розглядається по усіх можливих лінійних підпросторах розмірності (, ).
Величина показує теоретично найкращу швидкість, з якою можна наблизити множину лінійними підпросторами розмірності у метриці простору X. Разом із величинами в теорії наближень з’являлися і активно досліджувались інші подібні характеристики, інші поперечники (лінійні, проекційні, тригонометричні, відносні, поперечники за Бернштейном, за Гельфандом тощо.). Сам А.М. Колмогоров знайшов точні значення поперечників класів Wr2 у просторі L2.
Особливий інтерес до поперечників функціональних класів став проявлятись, починаючи з 60–х років XX століття, коли В.М. Тихомиров, залучивши топологічні методи до задач про поперечники, обчислив точні значення колмогоровських поперечників для класів Соболєва Wr?, rN, в рівномірній метриці і показав, що величини d2n-1(Wr?,C) і d2n(Wr?,C), rN чисельно співпадають з величинами En(Wr?)C. З того часу задачі щодо обчислення точних значень поперечників для різних функціональних класів у різних метриках розв’язувались у роботах М.П. Корнєйчука, В.Ф. Бабенка, О.П. Буслаєва, О.К. Кушпеля, А.О. Лигуна, Ю.І. Маковоза, В.П. Моторного, Нгуен Тхи Тх’єо Хоа, А. Пінкуса, В.І. Рубана, Ю.М. Субботіна, Л.В. Тайкова, В.Т. Шевалдіна та багатьох інших.
Напрям, пов’язаний з вивченням наближень періодичних функцій за допомогою різноманітних лінійних методів підсумовування рядів Фур’є, одержав розвиток у численних роботах А.Лебега, Ш.Валле Пуссена, Л.Фейєра, А.М.Колмогорова, С.М.Нікольського і ряду інших математиків.
У 1935 році А.М. Колмогоров розглянув величину
де Sn-1(f) — частинні суми Фур’є порядку n-1 функції f, і показав, що
Наступний істотний крок у даному питанні належить С.М. Нікольському, який поширив ці результати на класи WrH функцій, у яких r-та дробова похідна за Вейлем належить класу Гельдера H і на більш загальні класи WrH функцій, що задаються мажорантою (t) модулів неперервності їх r-х похідних (f(r);t).
Результати А.М. Колмогорова і С.М. Нікольського поширювались на більш загальні класи функцій, а також на випадки, коли у ролі агрегату наближення виступали тригонометричні поліноми Un(f;x), що породжуються різноманітними лінійними методами підсумовування рядів Фур’є або тими чи іншими інтерполяційними процесами. Задача про знаходження асимптотичних рівностей для величин
де — фіксований клас 2-періодичних функцій, X — лінійний нормований простір, упродовж багатьох десятиріч була однією з найважливіших в теорії наближення функцій. Услід за О.І. Степанцем, цю задачу називатимемо задачею Колмогорова–Нікольського. Значний внесок у розвиток даної проблематики внесли О.В. Єфімов, В.К. Дзядик, М.П. Корнєйчук, В.П. Моторний, Б. Надь, В.Т. Пінкевич, О.І. Степанець, С.Б. Стєчкін, С.О. Теляковський, О.П. Тіман, М.П. Тіман, Р.М. Тригуб та інші.
У 80–90-х роках XX сторіччя О.І. Степанцем був розроблений новий підхід до класифікації періодичних функцій що базувався на поняттях -похідної та -інтеграла, який дозволив здійснювати досить тонку класифікацію надзвичайно широких множин періодичних функцій. За відносно невеликий проміжок часу для запроваджених О.І.Степанцем класів було отримано розв’язки цілого ряду задач теорії наближення функцій, які до цього були відомі для класів Вейля–Надя. При цьому результати, які отримано для вказаних класів з одного боку мають загальний характер, а з другого — виявляють цілу низку нових ефектів, які у шкалах раніше відомих класів навіть поміченими не можуть бути. У 2000 році О.І.Степанець ввів простори Sp елементів довільного лінійного комплексного простору X, що породжуються фіксованими зліченними системами його елементів, і започаткував систематичне вивчення апроксимаційних властивостей таких просторів. За останні роки О.І.Степанцем та його учнями для q-еліпсоїдів Uq у просторах Sp знайдено точні розв’язки цілої низки класичних екстремальних задач, які раніше ставились для функціональних класів лебегових просторів Lp. При цьому в переважній більшості випадків одержані результати виявились новими, навіть коли система є комплексною тригонометричною системою (в цьому випадку покладають Sp= Sp), а простір X є гільбертовим простором L2.
Отже, дослідження апроксимативних властивостей на введених О.І.Степанцем класах періодичних функцій: поперечників, найкращих наближень тригонометричними поліномами, наближення за допомогою лінійних методів підсумовування рядів Фур’є (зокрема, сум Фур’є, сум Валле Пуссена тощо) наближення інтерполяційними тригонометричними поліномами Лагранжа є важливими і актуальними.
Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана у відділі теорії функцій Інституту математики НАН України згідно з науково-дослідними темами: "Структурні та апроксимаційні властивості функціональних множин", номер державної реєстрації 0198 U 001990; "Апроксимаційні характеристики функціональних класів", номер державної реєстрації 0101 U 000046.
Мета i завдання дослідження. Метою роботи є одержання нових результатів про точні значення поперечників та найкращих наближень тригонометричними поліномами класів періодичних функцій високої гладкості в рівномірній та інтегральній метриках; знаходження асимптотично непокращуваних оцінок наближень класів періодичних функцій поліномами, що породжуються деякими важливими лінійними методами підсумовування їх рядів Фур’є чи певними інтерполяційними процесами, в метриках просторів C і Lp, а також встановлення прямих та обернених теорем теорії наближення функцій у введених О.І.Степанцем просторах Sp.
Об’єктом дослідження є апроксимаційні властивості введених О.І.Степанцем класів періодичних функцій, що задаються –інтегралами, а також властивості просторів Sp.
Предметом дослідження є швидкість наближення певних функціональних класів тими чи іншими апроксимаційними агрегатами в конкретних лінійних нормованих просторах. Основна увага у роботі зосереджується на встановленні точних значень найкращих наближень та поперечників деяких функціональних компактів у просторах C, L та Sp, а також на вивченні асимптотичної поведінки точних верхніх меж відхилень тригонометричних поліномів, які породжуються деякими важливими лінійними методами підсумовування рядів Фур’є чи інтерполяційними процесами, на класах згорток періодичних функцій дійсної змінної в рівномірній метриці та метриках просторів .
Задачі дослідження:
Знайти точні значення найкращих наближень та колмогоровських, бернштейновських та лінійних поперечників класів періодичних функцій високої гладкості, що задаються за допомогою згорток з фіксованими твірними ядрами, в метриках просторів C і L.
Встановити необхідні і достатні умови існування та єдиності інтерполяційних SK-сплайнів з рівномірним розподілом вузлів сплайнів та сталим зсувом вузлів інтерполяції.
Встановити асимптотично непокращувані нерівності типу Лебега на класах інтегралів Пуассона періодичних функцій. Узагальнити одержані результати на класи (,)-диференційовних функцій, які допускають аналітичне продовження у фіксовану смугу комплексної площини.
Встановити асимптотичні рівності для верхніх меж наближень частковими сумами Фур’є в метриках просторів C i Lp, 1?p??, на класах інтегралів Пуассона періодичних функцій, що належать одиничним кулям просторів Lp, 1?p??, і L1 відповідно. Отримані результати узагальнити на класи -диференційовних функцій, які допускають аналітичне продовження у фіксовану смугу комплексної площини.
Встановити асимптотично непокращувані інтерполяційні аналоги нерівностей типу Лебега на класах періодичних нескінченно диференційовних, аналітичних та цілих функцій CC, елементи яких допускають зображення у вигляді згорток із фіксованими твірними ядрами. Одержати асимптотичні рівності для верхніх меж наближень інтерполяційними тригонометричними поліномами на класах C,? та CH.
Одержати асимптотичні рівності для верхніх меж наближень інтерполяційними тригонометричними поліномами на класах періодичних нескінченно диференційовних, аналітичних та цілих функцій C,1 в метриці простору L.
Встановити асимптотичні рівності для верхніх меж наближень сумами Валле Пуссена в метриках просторів C i L на класах інтегралів Пуассона періодичних функцій, які належать одиничним кулям просторів L? і L1 відповідно.
Для класів періодичних функцій C,? i L,1 при високих показниках гладкості побудувати найкращий (в сенсі сильної асимптотики) лінійний метод наближення тригонометричними поліномами в просторах C i L відповідно.
Встановити прямі та обернені теореми теорії наближення функцій у просторах Sp. Обчислити точні значення колмогоровських, бернштейновських, лінійних та проекційних поперечників класів періодичних функцій, що задаються певними умовами на усереднені значення модулів неперервності їх -похідних з вагою .
Наукова новизна одержаних результатів. Результати роботи є новими і полягають в наступному:
1. Обчислено точні значення найкращих наближень класів періодичних функцій високої гладкості, які задаються за допомогою згорток з фіксованими твірними ядрами, в метриках просторів C і L.
2. Встановлено необхідні і достатні умови існування та єдиності інтерполяційних SK-сплайнів з рівномірним розподілом вузлів сплайнів та сталим зсувом вузлів інтерполяції.
3. Знайдено точні значення колмогоровських, бернштейновських і лінійних поперечників класів періодичних функцій високої гладкості, шо задаються за допомогою згорток з фіксованими твірними ядрами, в метриках просторів C і L.
4. Отримано асимптотично непокращувані нерівності типу Лебега на класах інтегралів Пуассона періодичних функцій. Одержані результати розповсюджено і на класи (,)-диференційовних функцій, які допускають аналітичне продовження у фіксовану смугу комплексної площини.
5. Встановлено асимптотичні рівності для верхніх меж наближень частковими сумами Фур’є в метриках просторів C i Lp, 1?p??, на класах інтегралів Пуассона періодичних функцій, що належать одиничним кулям просторів Lp, 1?p??, і L1 відповідно. Отримані результати узагальнено на класи (,)-диференційовних функцій, які допускають аналітичне продовження у фіксовану смугу комплексної площини.
6. Отримано асимптотично непокращувані інтерполяційні аналоги нерівностей типу Лебега на класах періодичних нескінченно диференційовних, аналітичних та цілих функцій CC, елементи яких допускають зображення у вигляді згорток із фіксованими твірними ядрами. Знайдено асимптотичні рівності для верхніх меж наближень інтерполяційними тригонометричними поліномами на класах C,? та CH.
7. Знайдено асимптотичні рівності для верхніх меж наближень інтерполяційними тригонометричними поліномами на класах періодичних нескінченно диференційовних, аналітичних та цілих функцій C,1 в метриці простору L.
8. Встановлено асимптотичні рівності для верхніх меж наближень сумами Валле Пуссена в метриках просторів C i L на класах інтегралів Пуассона періодичних функцій, які належать одиничним кулям просторів L? і L1 відповідно.
9. Для класів C,? i L,1 періодичних функцій при високих показниках гладкості побудовано найкращий (в сенсі сильної асимптотики) лінійний метод наближення тригонометричними поліномами в просторах C i L відповідно.
10. Встановлено прямі та обернені теореми теорії наближення функцій у просторах Sp. Обчислено точні значення колмогоровських, бернштейновських, лінійних та проекційних поперечників класів періодичних функцій, що задаються певними умовами на усереднені значення модулів неперервності їх -похідних з вагою .
Практичне значення одержаних результатів. Дисертаційна робота носить теоретичний характер. Результати роботи, а також запропоновані в ній методи та прийоми можуть бути використані при вивченні різноманітних питань математичного аналізу, теорії наближення функцій, теорії підсумовування рядів Фур’є, при розв’язанні деяких екстремальних задач тощо. Ряд одержаних в роботі результатів можуть знайти практичне застосування в обчислювальній математиці, а також при розв’язанні задач, що виникають при моделюванні фізичних, механічних, економічних та соціальних процесів. Результати роботи можуть бути використані у дослідженнях екстремальних задач теорії наближення, які проводяться в Інституті математики НАН України, Інституті прикладної математики і механіки НАН України, Київському, Дніпропетровському, Львівському, Донецькому, Одеському, Волинському, Кам’янець-Подільському, Слов’янському університетах і сприятимуть подальшому розвитку досліджень в галузі теорії наближень.
Особистий внесок здобувача. Визначення напрямку дослідження, а також постановка основних задач дослідження належать науковому консультанту — О.І.Степанцю. Результати підрозділів 3.1, 3.2, 5.2, 6.1 та 6.2 отримано спільно з науковим консультантом. Внесок обох авторів у результати, що містяться у зазначених підрозділах, є рівноцінним. Усі інші результати дисертаційної роботи отримано здобувачем самостійно.
Апробація результатів дисертації. Результати роботи доповідалися на: —
Вченій раді Інституту математики НАН України. —
Семінарах відділу теорії функцій (Інститут математики НАН України, керівник семінару: доктор фіз.-мат. наук, член-кореспондент НАН України О.І.Степанець).—
П’ятій міжнародній науковій конференції ім. академіка М.Кравчука, Київ, травень 1996 року. —
Міжнародній конференції "Теорія апроксимацій та чисельні методи", присвяченій 100–річчю з дня народження Є.Ремеза, Рівне, 19–21 червня 1996 року. —
ІІ школі "Ряди Фур’є: теорія і застосування", Кам’янець–Подільський, 30 червня–5 липня 1997 року. —
Міжнародній конференції з теорії наближення функцій та її застосувань, присвяченій пам’яті В.К.Дзядика, Київ, 26–31 травня 1999 року. —
Міжнародній науковій конференції присвяченій 100–річчю від дня народження М.О.Лаврентьєва, Київ, 31 жовтня–3 листопада 2000 року. —
Українському математичному конгресі — 2001, 10 секції "Теорія наближень та гармонічний аналіз", Київ, 21–23 серпня 2001 року. —
Міжнародній науковій конференції "Kolmogorov and contemporary mathematics", присвяченій 100–річчю від дня народження Андрія Миколайовича Колмогорова, Москва, 16–21 червня 2003 року. —
Міжнародній науковій конференції "Шості Боголюбовські читання", Чернівці, 26–30 серпня 2003 року. —
Третій Міжнародній конференції з аналітичної теорії чисел та просторових мозаїк, присвяченій пам’яті Г.Вороного, Київ, 22–28 вересня 2003 року. —
Міжнародній конференції, присвяченій 125 річниці від дня народження Ганса Гана, Чернівці, 27 червня–3 липня 2004 року. —
Міжнародній конференції пам’яті В.Я.Буняковського, Київ, 16–21 серпня 2004 року. —
Конференції "Функціональні методи в теорії наближень, теорії операторів, стохастичному аналізі і статистиці ІІ", присвяченій пам’яті А.Я.Дороговцева, Київ, 1–5 жовтня 2004 року. —
Міжнародній конференції "Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ", присвяченій 100-річчю академіка С.М.Нікольського, Москва, 23-29 травня 2005 року.
Публікації. Основні результати, які висвітлені в дисертації, опубліковані в роботах [1–36].
Структура та обсяг роботи. Дисертація складається з переліку умовних позначень, вступу, шести розділів, висновків та списку використаних джерел, що містить 211 найменувань. Повний обсяг роботи складає 339 сторінок машинописного тексту.
Основний зміст дисертації
Основні результати даної дисертаційної роботи стосуються введених О.І.Степанцем класів Сформулюємо спочатку деякі основні означення, які будуть необхідні для подальшого викладу.
Нехай =(k) і — довільні фіксовані послідовності дійсних чисел такі, що ряд
є рядом Фур’є деякої сумовної функції Тоді множину функцій f, для кожної з яких майже скрізь виконується рівність
позначають через . При цьому функцію називають -похідною функції f і позначають через а функцію f(x) — -інтегралом функції і позначають через Якщо і, крім того, де — деяка підмножина з L0= {f: fL, f1}, то записують, що Коли виконується тотожність k, то ядро позначають через , -похідна позначається через f(), а множини і — відповідно через L і . Крім того, вважають де U0p= {fLp: ||f||p?1, 1}, p[1,?].
Перший розділ дисертаційної роботи присвячено обчисленню точних значень найкращих наближень в рівномірній та інтегральній метриках класів -періодичних функцій, що зображуються за допомогою згорток з фіксованими твірними ядрами , коефіцієнти Фур’є яких спадають до нуля приблизно зі швидкістю геометричної прогресії.
У підрозділі 1.1. роботи розглядається задача про знаходження точних значень величин
які називають найкращими наближеннями на класах та у метриках C i L відповідно.
У рівномірній метриці, як зазначалось вище, задача про одержання точних значень найкращих наближень на класах Wr?, rN, які можна розглядати як класи згорток C,? з параметрами (k)=k-r, rN, =r, розв’язана у 1936 році Ж. Фаваром. Ці дослідження були продовжені Н.І. Ахієзером та М.Г. Крейном, Б. Надем, С.М. Нікольським, В.К. Дзядиком, С.Б. Стєчкіним та Сунь Юн-шеном. Остаточні результати по розв’язанню задачі про знаходження точних значень величин (8) і (9) у випадку (k)=k-r при довільних r>0 i k, R належать В.К. Дзядику. У випадку (k)=qk, 0<q<1, тобто, коли функціональні класи C,? та L,1 породжуються ядрами Пуассона Pq,(t) вигляду
точні значення величин (8) і (9) були обчислені М.Г. Крейном, С.М. Нікольським (метрики C i L відповідно, Z), А.В. Бушанським, В.Т. Шевалдіним (R). У випадку, коли класи C,? та L,1 породжуються парними ядрами 0(t) вигляду , (k)>0, коефіцієнти (k) яких тричі монотонно прямують до нуля або непарними ядрами 1(t) вигляду коефіцієнти (k) яких є опуклими і задовольняють умову , точні значення величин En(C,?)C були знайдені Б. Надем, а величин En(L,1)L — С.М. Нікольським. Величини (8) і (9) були обчислені також у ряді інших випадків .
Зазначимо, що усі відомі до цього часу точні значення величин (8) і (9) були одержані для класів, породжених ядрами, що задовольняють умову Нікольського A*n або навіть більш жорстку, ніж A*n , умову Надя N*n.
Означення Кажуть, що сумовна 2-періодична функція K(t), яка тотожно не дорівнює нулю, задовольняє умову A*n, nN (KA*n), якщо існують тригонометричний поліном T*n-1 порядку n-1 і додатне число /n таке, що для функції *(t)=sign(K(t)-T*n-1(t)) майже при усіх t виконується рівність
Означення Кажуть, що сумовна 2-періодична функція K(t), яка тотожно не дорівнює нулю, задовольняє умову N*n, nN (KN*n), якщо існують тригонометричний поліном T*n-1 порядку n-1 i точка [0,/n) такі, що різниця K(t)- T*n-1 змінює знак на [0,2) у точках tk=+k/n, k=0,1,…,2n-1, і тільки в них.
Із означень і безпосередньо випливає вкладення N*nA*n, n=1,2,….
У підрозділі 1.1 встановлено деякі нові достатні умови, що забезпечують належність ядер вигляду
до множини N*n (а отже, і до A*n) і на цій основі отримано точні значення величин найкращих наближень на класах згорток із ядрами, коефіцієнти (k) яких прямують до нуля приблизно як члени геометричної прогресії. Основним у підрозділі 1.1 є наступне твердження.
Теорема 1.1.1. Нехай послідовності (k)>0 i kR ядра вигляду (11), яке породжує класи i такі, що при заданому nN знайдеться число (0,1), для якого
Тоді для вказаного nN має місце включення та виконуються рівності
де i n є коренем рівняння
Наведемо декілька наслідків із теореми 1.1.1.
Теорема 1.1.2. Нехай послідовність (k) ядра вигляду (11) задовольняє умову
Тоді знайдеться номер n1, n1 n0 , такий, що якою б не була послідовність kR мають місце включення і виконуються рівності (14).
Виникає природне запитання: чи матиме місце теорема 2.1.2 при (1/3,1). Виявляється, що подібне твердження не має місця навіть у випадку, коли (k)=qk, (1/3,1).
Теорема 1.1.3. Нехай послідовність (k) ядра вигляду (11) задовольняє умову
тоді, яка б не була послідовність k дійсних чисел, для всіх натуральних n виконуються включення і мають місце рівності (14).
Теорема 1.1.6. Нехай послідовність коефіцієнтів (k) ядра вигляду
яке породжує класи C, i L,1, задовольняє умову Dq:
при q[0,1). Тоді знайдеться залежний від (k) номер n0 такий, що для будь-якого натурального числа n, більшого ніж n0, має місце включення і виконуються рівності (14), у яких k, R.
У підрозділі 1.2 у явному вигляді (в термінах коефіцієнтів Фур’є твірного ядра, що породжує клас згорток) вказано лінійний метод, що забезпечує на класах функцій i найкраще наближення в метриках просторів C i L відповідно.
Другий розділ дисертаційної роботи присвячено обчисленню точних значень колмогоровських, бернштейновських та лінійних поперечників класів 2-періодичних функцій, що зображуються за допомогою згорток з фіксованими твірними ядрами зі швидко спадними коефіцієнтами Фур’є в метриках просторів C i L.
У підрозділі 2.1, який носить допоміжний характер, досліджуються проблеми існування та єдиності розв’язку задачі SK-сплайн-інтерполяції у випадку рівномірного розподілу вузлів сплайнів та сталого зсуву вузлів інтерполяції. В подальшому основні результати підрозділу 2.1 використовуються для обчислення точних значень поперечників за Колмогоровим класів згорток періодичних функцій у рівномірній та інтегральній метриках.
Задача про обчислення поперечників як правило, розпадається на дві частини. Спочатку фіксується деякий простір розмірності MN (найчастіше, це підпростір тригонометричних поліномів чи сплайнів) і обчислюється величина
Очевидно, що Потім для поперечника отримують оцінку знизу.
Як зазначалось раніше, на класах Wr,p, p=1,, r>0, R, а також C, i L,1 при Z і деяких незначних додаткових обмеженнях на характер спадання до нуля послідовності (k) перша частина задачі по відшуканню точних значень поперечників фактично була розв’язана у роботах Ж.Фавара, Н.І.Ахієзера та М.Г.Крейна, Б.Надя, С.М.Нікольського, В.К.Дзядика, С.Б.Стєчкіна, Сунь Юн-шена та ін. Теореми 1.1.1–1.1.6 підрозділу 1.1 дозволяють записати необхідні оцінки зверху для колмогоровських поперечників класів , , C, i L,1 у нових, не досліджених раніше ситуаціях.
Щодо другої частини задачі (про оцінку колмогоровських поперечників знизу), то її розв’язання в ряді випадків стало можливим завдяки істотному залученню ідей із суміжних розділів математики. В.М.Тихомиров, вперше застосувавши топологічні методи до задач про поперечники (мається на увазі теорема Борсука про антиподи), довів відому теорему про поперечники кулі і знайшов точні оцінки знизу поперечників d2n-1(Wr,C), rN, а потім показав, що d2n-1(Wr,C)= d2n(Wr,C). Точні оцінки знизу для непарних поперечників d2n-1(Wr1,L), rN, отримали незалежно один від одного Ю.М.Субботін та Ю.І.Маковоз, а для парних поперечників d2n(Wr1,L) — В.І.Рубан.
Класи Wrp, rN, p1, є класами згорток із ядрами Бернуллі Br(t), які є так званими CVD-ядрами .
Означення 3. Періодичну функцію K() називають CVD-ядром (ядром, що не збільшує осциляції) і записують KCVD, якщо для довільної неперервної 2-періодичної функції f виконується нерівність v(K*f) v(f), де v(g) — число змін знака 2-періодичної функції g на періоді [0,2).
У 1979 році А.Пінкус, вважаючи CVD-ядро K() неперервною функцією, а систему функцій {K(-yi)}2n+1i=0 при довільних 0y0<y1<…<y2n+1<2 — лінійно незалежною, довів, що KN*n, і обчислив колмогоровські поперечники d2n-1(K*U0p,Lq) i d2n(K*U0p,Lq) при p=, 1q, а також при 1p, q=1, де
(для класів Wrp, rN, вказані результати незалежно і різними методами одержали також А.О.Лигун і Ю.І.Маковоз ).
Умова CVD є досить жорсткою, в міркуваннях вона фактично замінює теорему Ролля і багато відомих ядер її не задовольняють.
В середині 80 років XX століття О.К.Кушпель запропонував новий метод для знаходження точних оцінок знизу поперечників класів згорток, породжених ядрами, що можуть збільшувати осциляції. Цей метод істотно спирається на запроваджений О.К.Кушпелем апарат SK-сплайнів для класів згорток, породжених ядрами, що задовольняють так звану умову Cy,2n. Основні результати О.К. Кушпеля по даній тематиці охоплювали випадки, коли твірні ядра, що породжують класи згорток, є або парними, або непарними функціями. Подальший розвиток даної тематики пов’язаний із роботами В.Т. Шевалдіна, Нгуен Тхи Тх’єу Хоа, О.І. Степанця і автора. В них було одержано нові достатні умови на твірні ядра вигляду (16), що забезпечують включення Cy,2n (при цьому твірні ядра , що породжують функціональні класи, можуть бути ні парними ні непарними).
В кожному із перелічених випадків для класів функцій C, та L,1, породжених відповідними ядрами Cy,2n, було одержано оцінки знизу поперечників d2n(C,,C) та d2n-1(L,1,L), які співпали із найкращими наближеннями En(C,)C i En(L,1)1 на відповідних класах функцій. Тим самим вдалось одержати точні значення поперечників за Колмогоровим класів C, i L,1 в метриках просторів C i L.
При цьому виявилось, що багато ядер, які задовольняють умову Cy,2n, не є CVD-ядрами, і отже, для породжуваних ними класів згорток неможливо було б отримати точні значення поперечників dM(C,,C) та dM(L,1,L), користуючись тільки методами і підходами, розроблених А. Пінкусом.
Теорема 2.2.2. Нехай послідовність (k) ядра вигляду (11), що породжує класи i задовольняє умову
Тоді, якою б не була послідовність k дійсних чисел, для всіх натуральних n виконуються рівності
де i n є коренем рівняння (15).
Умова (18), що фігурує у формулюванні теореми 2.2.2 диктується особливостями використовуваного методу одержання оцінок знизу поперечників і, на нашу думку, не пов’язана з особливостями задачі.
Зауважимо, що при виконанні умов теореми 2.2.2 точні рівності, аналогічні до рівностей (19), мають місце також для лінійних поперечників та поперечників за Бернштейном.
Підрозділ 2.3 присвячено знаходженню оцінок знизу поперечників за Колмогоровим класів C, i L,1 у метриках C i L відповідно, коли послідовність (k), що визначає вказані функціональні компакти, може бути зображена у вигляді
де (k) — незростаюча додатна функція натурального аргументу.
Третій розділ дисертації присвячено дослідженню швидкості наближення частковими сумами Фур’є на класах -диференційовних функцій (-інтегралів) високої гладкості, і зокрема, на класах інтегралів Пуассона.
Інтегралом Пуассона функції L називають функцію f(x), що задається рівністю
де Pq,(t) — ядро Пуассона вигляду (10) з параметрами q(0,1) і R, а a0 — вільний член ряду Фур’є функції . Класи функцій породжені ядрами Пуассона Pq,(t) (тобто при (k)=qk, q(0,1)) будемо позначати відповідно через а відповідні (,)–похідні f() — через fq() i називати (q,) -похідними.
Одиничні кулі в Lp позначаємо через Up (Up={f : fLp, ||f||p1}), 1p. Величина — найкраще наближення f() у просторі Lp тригонометри-чними поліномами порядку не вищого за n-1.
Нехай, нарешті, fL, Sn(f;x) — частинна сума порядку n ряду Фур’є функції f і n(f;x)=f(x)-Sn(f;x).
Теорема 3.1.1. Нехай q(0,1), R і 1p. Тоді для довільної функції fLqLp справедлива нерівність
у якій — повний еліптичний інтеграл першого роду:
а O(1) — величина, рівномірно обмежена по параметрах q, , p, n і по fLqLp..
При p= нерівність (20) є асимптотично непокращуваною.
Основні результати підрозділу 3.2 отримано для класів у випадку, коли послідовності (k) належать до множини Dq при деякому q[0,1).
Важливим для подальшого прикладом ядер вигляду (11), коефіцієнти (k) яких задовольняють умову (17), є ядра
які при k є ядрами Пуассона Pq,() вигляду (10).
Класи породжувані ядрами (22), позначаються через а відповідні -інтеграли — через ; крім того, вважаємо, що
Через (t)=(f;t) і p(t)=p(f;t) позначимо відповідно модулі неперервності функцій fC і fLp, 1p< у просторах C і Lp:
Тоді, поклавши H={C, (;t)(t)}, де =(t) — заданий модуль неперервності, будемо розглядати ще і класи і
Основна ідея, на якій базуються результати підрозділу 3.2, полягає в тому, що залишки ядра вигляду (11) при Dq, 0<q<1, і n поводяться приблизно так само, як і залишки ядра Це дозволяє, зокрема, задачі про одержання асимптотичних рівностей для величин зводити до аналогічних задач для величин відповідно.
Теорема 3.2.2. Нехай 1p,s і Dq , (k)>0. Тоді при n
де n означена рівністю
a O(1) — величини, рівномірно обмежені відносно n, p, s, q, (k) і k .
Поєднання теореми 3.2.2 з результатами С.М. Нікольського та С.Б. Стєчкіна дозволило одержати таке твердження.
Теорема 3.2.3. Нехай класи C, і L,,1 породжені ядром (t) вигляду (16), для якого Dq, 0<q<1. Тоді при n мають місце асимптотичні рівності
у яких n означені рівністю (23), a O(1) — величини, рівномірно обмежені відносно параметрів n, і .
Умовам теореми 3.2.3 задовольняють зокрема бігармонічні ядра Пуассона а також ядра Неймана
Аналоги теорем 3.2.2 та 3.2.3 мають місце і для функцій з класів CH, що визначаються модулями неперервності (t).
У підрозділі 3.2 також доведено ряд тверджень, які встановлюють зв’язок між найкращими наближеннями в метриці простору Ls -інтегралів при Dq і найкращими наближеннями інтегралів при Lp.
Підрозділ 3.3 роботи присвячено дослідженню величин
з метою одержання для них асимптотичних рівностей за умови Dq,0<q<1. Центральним результатом підрозділу 3.3 є теорема 3.3.1, у якій знайдено асимптотичні формули для величин при довільних 1p.
Теорема 3.3.1. Нехай 1p, R , q(0,1) і nN . Тоді
де p’=p/(p-1),
а величина O(1) рівномірно обмежена по n , p, q i .
При p(1,] рівність (25) може бути записана у вигляді
При p=1, як безпосередньо випливає з (25),
При p= і тому із (25) випливає відомий результат С.М.Нікольського та С.Б.Стєчкіна. При p=2
Далі, отримані результати поширено на функціональні класи C, p , Dq, 0q<1.
Теорема 3.3.2. Нехай 1p, R, nN, a послідовності (k)>0, що породжують класи C,p , задовольняють умову Dq при 0<q<1. Тоді при n має місце асимптотична рівність
у якій p’=p/(p-1), характеристики n , s(p) i K(p’,q) означені формулами (23), (26) і (27) відповідно, а величина O(1) є рівномірно обмежена відносно n, p, q, i (k).
У підрозділі 3.3 знайдено також асимптотичні рівності величин у випадку, коли функціональні класи , 1p, породжуються послідовностями (k)>0, що задовольняють умову D0 (D0):
В цьому випадку елементи множин є звуженнями на дійсну вісь функцій, регулярних в усій комплексній площині.
Теорема 3.3.4. Нехай 1p, , kN, — довільна послідовність дійсних чисел, а послідовність (k)>0, kN, задовольняє умову (35). Тоді при n виконується асимптотична рівність
у якій p’=p/(p-1), а O(1) — величина, що рівномірно обмежена відносно усіх розглядуваних параметрів.
При p= теорема 3.3.4 із залишковим членом, записаним в іншій (більш точній) формі, була одержана С.О.Теляковським.
Підрозділ 3.4 присвячено знаходженню асимптотичних рівностей для величин за умови, що Dq, 0q<1. При цьому спочатку було знайдено асимптотичні формули для величин і встановлено істинність співвідношення
яке при p=1 було доведене С.М.Нікольським (тут і надалі під виразом розуміють виконання співвідношення limn?(A(n)/B(n))=1.)
У підрозділі 3.4 встановлюються також точні асимптотичні рівності для величин на класах L,1, породжених послідовностями (k)>0, які задовольняють умову Dq при 0<q<1. У підрозділі 3.4 також знайдено асимптотичні рівності величин у випадку, коли функціональні класи , породжуються додатними послідовностями (k), що задовольняють умову (28).
Розділ 4 роботи присвячено вивченню швидкості наближення в рівномірній та інтегральній метриках періодичних функцій деякими важливими лінійними методами підсумовування їх рядів Фур’є на класах C,? та L,1 відповідно.
Не зменшуючи загальності, послідовність (k), що визначає класи можна вважати слідом на множині натуральних чисел N деякої неперервної функції (v) неперервного аргументу v[1,?). Множину усіх опуклих донизу функцій (v), v[1,?), які задовольняють умову позначатимемо через .
Наслідуючи О.І. Степанця, кожній функції поставимо у відповідність характеристики
-1()— функція, обернена до (). Із множини , використовуючи характеристику (t), прийнято виділяти підмножини , і . До множини відносять усі функції , для яких існують додатні сталі K1 і K2 (взагалі кажучи, залежні від ) такі, що 0<K1(;t)K2<?, до множини — всі функції , для яких 0<(;t)K, де K — стала, яка може залежати від ; до множини — всі функції із , для яких (;t) монотонно і необмежено зростає: (;t)?. Із наведених означень випливає, що , тому далі покладають . Типовими представниками множиниє функції (t)=t-r, r>0; множини — функції (t)=ln-(t+e), >0; множини — функції >0, r>0.
Кожній функції f із класу поставимо у відповідність тригонометричний поліном U*n-1(f;x)= U*n-1(;;f;x) вигляду
де ak=ak(f), bk=bk(f), k=0,1,2,…, — коефіцієнти Фур’є функції f, а числа (n)k=(n)k (,) і v (n)k=v (n)k (,), k=0,1,…,n-1, nN, визначаються рівностями
У підрозділі 4.1 досліджуються питання про встановлення характеру асимптотичної поведінки величин
при n? в залежності від швидкості спадання до нуля послідовностей (k), за допомогою яких визначаються функціональні компакти C,? та L,1. Показано, що на вказаних класах функцій апроксимативні властивості поліномів U*n-1(f) не гірші (а у цілому ряді важливих випадків кращі) у порівнянні з відповідними властивостями сум Фур’є Sn-1(f) порядку n-1. Доведено, що для класів функцій високої гладкості величини (41) і (42) асимптотично співпадають з найкращими наближеннями і .
Спочатку у підрозділі 4.1 одержано асимптотичні рівності для величин (31) і (32) у випадку, коли і =0 та коли і R. Разом з тим доведено твердження.
Теорема 4.1.3. Нехай , R, і крім того, якщо 2l, lZ, виконується умова . Тоді
де величини O(1) рівномірно обмежені відносно всіх розглядуваних параметрів.
Теорема 3.1.4. Нехай . Тоді при n?
де (n)=(;n) і (n)= (;n) — характеристики, означені формулами (29), , а O(1) — величини, рівномірно обмежені по n, і .
У підрозділі 4.1 встановлюються також асимптотичні рівності для величин En(C,?)C i En(L,1)L на класах функцій, що визначаються швидко спадними послідовностями . При цьому виявилось, що у ряді важливих випадків виконуються асимптотичні рівності
В підрозділі 4.2 на класах Cq,? i Cq,1 інтегралів Пуассона знайдено асимптотичні рівності для верхніх меж наближень сумами Валле Пуссена в рівномірній та інтегральній метриках відповідно.
Нехай fL i її ряд Фур’є має вигляд (11). Поліноми вигляду
де називаються сумами Валле Пуссена функції f. При p=1 поліноми Vn,p(f;x) є звичайними частинними сумами Фур’є Sn-1(f;x) порядку n-1 функції f(x). В загальному ж випадку суми Валле Пуссена Vn,p(f) виражаються через частинні суми Фур’є Sk(f) за допомогою рівності Якщо p=n, суми Vn,p(f;x) перетворюються у відомі суми Фейєра n(f;x) порядку n-1
Перші оцінки величин ||f-Vn,p(f)||C було отримано у 1919 році Валле Пуссеном. Пізніше дослідження у тому напрямку, коли величини ||f-Vn,p(f)||C оцінюються через найкращі наближення тригонометричними поліномами, було продовжено у роботах С.М. Нікольського, С.Б. Стєчкіна, О.Д. Габісонії та ін.
Основна мета підрозділу 4.2 роботи полягала у знаходженні асимптотичних рівностей для величин
за умови n-p? при довільних значеннях параметрів pN, R та q(0,1).
Що стосується класів інтегралів Пуассона Cq,?, то асимптотичні рівності для величин було одержано В.І. Рукасовим та О.О. Новіковим за умови, що p? i n-p?.
Теорема 4.2.1. Нехай q(0,1), R, n,pN. Тоді при n-p? має місце асимптотична рівність
а O(1) — величина, рівномірно обмежена по n, q, p i .
При p=1 із теореми 4.2.1 випливає результат С.М.Нікольського для сум Фур’є. Щоб у цьому переконатись, досить помітити, що при p=1 s=s(p)=1 i При p? із теореми 4.2.1 можна одержати згаданий вище результат В.І.Рукасова і О.О.Новікова. У підрозділі 4.2 одержано також аналог рівності (35) для величин .
Розділ 5 дисертації присвячено знаходженню точних асимптотичних рівностей для верхніх меж наближень інтерполяційними тригонометричними поліномами на класах (,)-диференційовних функцій високої гладкості (нескінченно диференційовних, аналітичних та цілих).
Основні результати підрозділу 5.1 стосуються класів у випадку, коли , a в якості множин N розглядаються множини C, U0? або клас H .
Нехай fC, через будемо позначати тригонометричний поліном порядку n, що інтерполює f(x) у точках x(n)k=2k/(2n+1), k=0,1,…,2n, тобто такий, що
У підрозділі 5.1 досліджуються величини коли fCC, а також величини
з метою одержання для них асимптотичних рівностей, якщо R i (t)-t?, при t?.
Теорема 5.1.2. Нехай limt?((t)-t)=?, R і (t) — довільний модуль неперервності. Тоді для довільного xR при n? виконуються рівності
де en() означається рівністю
у якій [2/3,1], причому =1, якщо(t) — опуклий модуль неперервності; (t) означається рівністю (29), а O(1) — величина, рівномірно обмежена по x, n i .
У підрозділі 5.2 продовжується вивчення величин на множинах C, але тепер функції () задовольняють умову (17), тобто Dq.
Теорема 5.2.2. Нехай Dq, 0<q<1, (k)>0, R і (t) — довільний модуль неперервності. Тоді для будь-якого xR при n? виконуються рівності
де en() означено формулою (38), у якій [1/2,1], причому =1, якщо — опуклий модуль неперервності, і n — означено формулами (21) і (23), відповідно, а O(1) — величини, рівномірно обмежені по x, n, q i .
Доповненням до теореми 5.2.2 при є таке твердження.
Теорема 5.2.3. Нехай D0, (k)>0, R і (t) — довільний модуль неперервності. Тоді для будь-якого xR при n? справедливі асимптотичні рівності
де величина en() має той самий зміст, що і
