ДОНЕЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Шишканова Ганна Анатоліївна

УДК 539.3

РОЗВ’ЯЗАННЯ ПРОСТОРОВИХ КОНТАКТНИХ ЗАДАЧ ДЛЯ НЕВІДОМИХ ДВОЗВ’ЯЗНИХ ОБЛАСТЕЙ КОНТАКТУ

01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Донецьк – 2006

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Дніпропетровському державному аграрному університеті, Міністерство аграрної політики України

Науковий керівник: доктор технічних наук, професор

Дирда Віталій Іларіонович,

Дніпропетровський державний аграрний університет,

завідувач кафедри „Надійність та ремонт машин”

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор

Пожуєв Володимир Іванович,

Запорізька державна інженерна академія,

ректор

доктор фізико-математичних наук, професор

Калоєров Стефан Олексійович

Донецький національний університет,

професор кафедри теорії пружності та

обчислювальної математики

Провідна установа: Київський національний університет імені Тараса Шевченка, кафедра теоретичної та прикладної механіки, Міністерство освіти і науки України (м. Київ)

Захист відбудеться “23” березня 2006 р. о 14.30 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К .051.05 при Донецькому національному університеті, за адресою: 83055, м. Донецьк, вул. Університетська, 24; головний корпус, математичний факультет, ауд. 603.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Донецького національного університету (83055, м. Донецьк, вул. Університетська, 24).

Автореферат розісланий “ 16 ” лютого 2006 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Ю. В. Мисовський

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. При експлуатації сучасної техніки в промисловості та будівництві присутня контактна взаємодія елементів конструкцій. Як правило, області контакту характеризуються високим рівнем концентрації напружень, що часто призводить до зниження ефективності роботи або руйнування механізмів та споруд. Вивчення напружено-деформованого стану елементів конструкцій в зонах контакту необхідно для підвищення точності розрахунків на міцність та довговічність, що сприяє активному розвитку механіки контактних взаємодій.

Дослідження в механіці контактних взаємодій пов’язані з необхідністю введення адекватних математичних моделей, які враховували б з достатньою точністю реальні механічні ефекти, та зі складністю математичного аналізу мішаних задач теорії пружності, які формулюються в рамках прийнятих моделей. Відомо, що поки ще не існує загального математичного апарату для розв’язання просторових задач з різними умовами та складною геометрією контакту, кожна постановка задачі потребує розробки свого методу розв’язку.

Аналіз публікацій показує, що математична теорія розв’язання задач контактної взаємодії досить добре розвинута для простих форм штампів, зокрема кругових, еліптичних та кільцевих в плані. Проте, в машинобудуванні в зв’язку з погрішностями технології виготовлення, в процесі різних умов роботи, під впливом агресивного середовища виникає зміна розмірів та форми елементів конструкцій, тому часто з’являється необхідність розв’язку задач з областями контакту, близькими до правильної форми. В багатьох практичних випадках конструкторами проектується складна геометрія контактуючих деталей машин. Таким чином, незважаючи на значні досягнення механіки контактної взаємодії, недостатньо дослідженими залишаються задачі з урахуванням реальної складної форми контактуючих тіл, зокрема, у відомих з літератури дослідженнях залишилися невирішеними проблеми побудови аналітичних розв’язків контактних задач для двозв’язної невідомої заздалегідь області контакту без тертя та при врахуванні сил тертя, що і обумовлює актуальність даної дисертаційної роботи.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційні дослідження виконувалися відповідно до наукових планів кафедри “Надійність та ремонт машин” Дніпропетровського державного аграрного університету, та науково-дослідницької теми кафедри прикладної математики Запорізького національного технічного університету “Розробка математичних моделей об’єктів та процесів. Створення методики наближеного розв’язування прикладних задач” №0105U006064 за 2003-2006 рр.

Мета і завдання дослідження. Метою дисертаційної роботи є одержання аналітичних та чисельно-аналітичних розв’язків просторових задач контактної взаємодії з двозв’язними (зокрема, однозв’язними) областями контакту у випадку гладких поверхонь та за умов врахування шорсткості і сил тертя.

Для досягнення означеної мети ставилися наступні завдання:– 

побудувати аналітичний розв’язок задачі про вдавлювання жорсткого неплоского двозв’язного штампа в гладкий пружний півпростір з невідомою на початку областю контакту, використовуючи його, розв’язати нові задачі про контакт пружних гладких тіл, що первісно торкаються у точці, та про штамп в формі неплоского еліптичного кільця;– 

розробити чисельно-аналітичний метод для порівняння результатів аналітичного розв’язку, а також можливості розв’язання задач з урахуванням різних законів деформування шорсткості пружного півпростору від тиску для двозв’язних (зокрема, однозв’язних) штампів довільної форми;– 

розв’язати аналітичним методом квазістатичну задачу про штамп у формі параболоїда обертання, враховуючи двочленний закон тертя, визначити невідому заздалегідь область контакту;– 

побудувати чисельно-аналітичний метод для розв’язання задач з урахуванням лінійного та нелінійного законів тертя;– 

розглянути конкретні чисельні задачі для двозв’язних, а також однозв’язних, штампів різної конфігурації з урахуванням шорсткості, тертя, дослідити вплив геометричної форми основи штампа та коефіцієнтів шорсткості, тертя на розподіл нормального тиску, величину заглиблення та кут нахилу штампа.

Об’єкт дослідження – просторові статичні та квазістатичні контактні задачі.

Предмет дослідження – розв’язання двомірних інтегральних рівнянь просторових задач контактної взаємодії, знаходження функцій розподілу нормального тиску, заглиблення, кутів нахилу штампа, форми і розмірів області контакту.

Методи дослідження. Дослідження просторових контактних задач призводить до інтегральних рівнянь, які містять інтеграли типу потенціалу простого шару. У випадку довільної двозв’язної області або наявності тертя задача не є осесиметричною. Обчислення потенціалу простого шару з неосесиметричним розподілом густини проводиться завдяки розвиненню за поліномами Лежандра. Для аналітичного розв’язку використовується метод розвинення потенціалу простого шару за малим параметром, який може мати фізичне або геометричне значення. До основного інтегрального рівняння застосовується також регуляризація. При чисельному розв’язку використовуються квадратурні, кубатурні формули і система інтегральних рівнянь зводиться до системи алгебраїчних, яку розв’язуємо методом послідовних наближень. Для усунення особливостей впроваджуємо різницю значень шуканої функції і наступну інтерполяцію доданків, де співпадають індекси точок.

Наукова новизна одержаних результатів.

1. Подальшого розвитку набув метод зведення задачі з двозв’язною областю контакту до послідовності задач для області в формі кругового кільця у випадку, коли площадка контакту заздалегідь невідома і обмежена неподібними лініями.

2. Вперше одержано аналітичний вираз для обчислення потенціалу простого шару для кільця з неосесиметричним розподілом густини.

3. Вперше одержано аналітичні розв’язки для наступних задач про вдавлювання: – 

двох пружних тіл, які первісно торкаються в точці, та можуть бути обмеженими не тільки поверхнями обертання;– 

неплоского штампа в формі еліптичного кільця в пружний півпростір;– 

параболічного штампа з урахуванням двочленного закону тертя.

4. Запропоновано чисельно-аналітичний та чисельний методи розв’язання задач з урахуванням різних законів деформування шорсткості пружного півпростору та законів тертя (лінійного, степеневого) для штампів довільної форми. З використанням цих методів вперше розв’язано задачі з урахуванням тертя та шорсткості для штампів з двозв’язними, а також однозв’язними, основами, які обмежені лініями еліпсів, лемніскат Бута, квадратів та інших багатокутників.

Обґрунтованість і достовірність наукових положень і висновків дисертаційної роботи підтверджується строгістю постановки задач та математичних перетворень, порівнянням з окремими відомими випадками, дослідженими іншими авторами, а також співставленням результатів аналітичних, чисельно-аналітичних та чисельних методів, які запропоновані в даній роботі. Одержані висновки і розрахункові матеріали відповідають сучасним уявленням про реальні процеси.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертації можуть бути застосовані в будівництві, гідротехніці, машинобудівельній і гірничодобувній промисловостях у роботі конструкторських відділів та науково-дослідних інститутах, які займаються проектуванням, для оцінки контактної міцності деталей машин та розрахунків основ і фундаментів різних споруд.

Розроблені в роботі методи розв’язання інтегральних рівнянь можуть бути використані і для розв’язку інших задач математичної фізики, зокрема, теорії руйнування, радіотехніці, томографії, математичної біології та медицини.

Апробація результатів дисертації. Основні результати, одержані в дисертаційній роботі, було представлено на I, II Міжнародних симпозіумах по механіці еластомерів (Севастополь, 1995; Дніпропетровськ, 1997), II науково-технічній конференції “Механика и новые технологии” (Севастополь, 1997), Міжнародній конференції “Моделювання і дослідження стійкості динамічних систем” DSMSI (Київ, 1999), Міжнародних конференціях ім. академіка М.Кравчука (Київ, 1998, 2004), Наукових конференціях “Сучасні проблеми науки та освіти” (Харків, 2001, 2003, 2004), Міжнародній конференції “Прикладные задачи математики и механики” (Севастополь, 2002), Міжнародних науково-технічних конференціях “Машиностроение и техносфера XXI века” (Севастополь, 2002, 2003, 2004, 2005), Науковій конференції “Нелінійні проблеми аналізу” (Івано-Франківськ, 2003), Науковій конференції “Шості Боголюбовські читання” (Чернівці, 2003), III Науковій конференції по теорії пружності (Росія, Ростов-на-Дону, 2003), Міжнародних конференціях “Механика” (Литва, Каунас, 2003, 2004), XXI Міжнародному конгресі з теоретичної та прикладної механіки ICTAM 2004 (Польща, Варшава, 2004), XIX Науково-технічній конференції КМН-2005 (Львів-ФМІ, 2005) – тези доповідей опубліковано. У цілому дисертація доповідалася і обговорювалася на науковому семінарі „Проблеми механіки” кафедри теоретичної та прикладної механіки Київського національного університету ім. Т.Г.Шевченка під керівництвом член-кореспондента НАН України А.Ф.Улітка, на наукових семінарах кафедри „Надійність та ремонт машин” Дніпропетровського державного аграрного університету та кафедри прикладної математики Запорізького національного технічного університету.

Публікації. Основні результати дисертації відображено в 18 публікаціях, перелік яких наведено в авторефераті, з них 14 без співавторів, в фахових виданнях, регламентованих ВАК з фізико-математичних наук (механіка) 6 – [1-6], (математичне моделювання і обчислювальні методи) 2 – [7-8], 7 з технічних наук [9-15].

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертаційної роботи одержані здобувачем самостійно. У роботі [9], яка написана у співавторстві з науковим керівником проф. Дирдою В.І., здобувачу належить розробка методу розв’язання задачі при двочленному законі тертя, виведення розрахункових формул. У спільних роботах з доц. Зайцевою Т.А. [12, ] здобувачу належать розробка методів розв’язання, одержання аналітичних і наближених розв’язків, проведення числових досліджень, кількісний та якісний аналіз результатів. У роботі зі студенткою Вороновою О.С. [4] – постановка задачі, метод обчислення потенціалів Ріса та основні математичні перетворення.

Структура та об’єм дисертації. Дисертація структурно складається зі вступу, шести розділів, висновків, списку використаних джерел та додатків. Загальний обсяг дисертації складає 179 сторінок, в тому числі 72 рисунка (7 окремих сторінок), 2 таблиці, 3 додатка (11 сторінок), список використаних джерел із 169 найменувань (15 сторінок).

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі зазначена актуальність роботи, формулюється її мета, розкривається наукова новизна, теоретичне та практичне значення отриманих результатів.

В першому розділі наведено огляд досліджень статичних та квазістатичних контактних задач теорії пружності. Перші задачі були розв’язані в кінці ХІХ і на початку ХХ століть в роботах Г.Герца, Ж.Буссинеска, С.А.Чаплигіна, О.М.Динніка та інших. Практична вагомість контактних задач привернула увагу багатьох вчених в другій половині ХХ століття. Вагомий внесок у розвиток методів розв’язування цих задач зробили В.М.Александров, О.Є.Андрейків, В.А.Бабешко, М.М.Бородачов, І.І.Ворович, Л.О.Галін, І.Г.Горячева, В.Т.Грінченко, Д.В.Гриліцький, В.С.Губенко, О.М.Гузь, К.Джонсон, В.І.Довнорович, С.О.Калоєров, М.О.Кільчевський, Г.С.Кіт, А.В.Ковура, М.Я.Леонов, А.І.Лур’є, В.І.Моссаковський, В.В.Панасюк, В.І.Пожуєв, Г.Я.Попов, В.С.Проценко, В.Л.Рвачов, В.Б.Рудницький, І.Снеддон, А.Ф.Улітко, Я.С.Уфлянд, В.П.Шевченко, І.Я.Штаєрман та інші.

Разом з тим, з огляду літератури випливає, що багато важливих проблем просторових контактних задач залишились невирішеними, аналіз яких дозволив сформулювати основні завдання дисертації. Зокрема, недостатньо розвинуті методи розв’язання задач для двозв’язних невідомих заздалегідь областей контакту без тертя та при врахуванні сил тертя. Розгляд цих питань є досить актуальним і потребує ширшого висвітлення та доповнення.

В другому розділі розвинуто алгоритм зведення контактної задачі з двозв’язною площадкою контакту, яка невідома і обмежена неподібними лініями, до послідовності задач для контактної області в формі кругового кільця за допомогою методу малого параметра. При цьому використовується відомий розв’язок задачі про круговий кільцевий штамп в формі подвійного нескінченого ряду, коефіцієнти якого визначаються з рекурентних співвідношень.

Розглядається вдавлення вертикальною силою в однорідний ізотропний пружний півпростір жорсткого штампа з неплоскою основою. Штамп первісно торкається вздовж замкненої лінії , рівняння якої залежить від малого параметра, тобто двозв’язна область контакту є невідомою на початку та обмеженою двома неподібними лініями і . Півпростір розташований під площиною xOy, . Функція , що характеризує розподіл тиску під штампом, наперед не задана – це основна невідома задачі. На решті поверхні півпростору напруження відсутні. Для неплоского штампа, поверхня якого не має кутових ліній, середовище плавно прилягає до його основи, тому в області контакту , причому рівність виконується лише на її контурах і .

Під дією навантаження штамп переміститься поступово і здійснить поворот. При контакті тіл з шорсткою поверхнею повні вертикальні переміщення штампа представлено, як суперпозиція переміщень точок пружного півпростору, що викликані прикладанням нормального тиску, вертикальних переміщень, зумовлених дією дотичної сили і додаткових деформацій, зумовлених шорсткістю поверхні, які мають локальний характер і тому залежать тільки від тиску, прикладеного в даній точці, що запропоновано І.Я.Штаєрманом. Таке представлення призводить до двовимірного інтегрального рівняння крайової умови для переміщень

(1)

де – полярні координати, – модуль пружності півпростору, – коефіцієнт Пуассона, , , , – функція, яка описує форму основи штампа, , – поступове переміщення, паралельне осі , , – проекції вектора малого повороту. Величини , наперед невідомі і визначаються за допомогою рівнянь рівноваги штампа. Функція характеризує залежність зміни локальних деформацій від тиску, зумовлених шорсткістю поверхні. Функція описує закон тертя. Умова вертикального переміщення точок області зводиться до двовимірного інтегрального рівняння першого роду за умов гладкого контакту при . При відсутності тертя – .

Для розв’язання несиметричних задач виникає необхідність обчислення потенціалів простого шару для кільця , коли густина не має кругової симетрії.

Одержано розвинення потенціалу простого шару, з несиметричною густиною, яка задовольняє умови розвинення в ряд Фур’є,

(2)

де

Для цього застосовано розвинення за поліномами Лежандра твірної функції, використане представлення для силової функції простого шару, розподіленого по круговому кільцю, коли точка, яку притягують, складає частку маси, що притягує. Доведення одержаного розкладу (2) зроблено методом математичної індукції. Показано збіжність розвинення потенціалу (2) і на межах.

Невідомі рівняння меж області контакту можна записати у вигляді функцій

(3)

Тут , , функції , – можуть бути представлені рядами

(4)

коефіцієнти, яких – неперервні функції на [0,2].

Природно, що і шуканий розподіл тиснень теж залежить від , тому розшукуємо розв’язок рівняння (1) у вигляді ряду за степенями , коефіцієнти якого в середині є неперервними функціями, що мають неперервні похідні:

(5)

Введемо нові змінні і , які пов’язані зі старими і залежностями:

(6)

Коли або із (6) одержуємо відповідні рівняння (3) меж області , яка у нових змінних перетворюється у кругове кільце : . Крім того, відповідно з представленнями (4) із (6) витікає, що при .

Для виконання умов на межах, де значення нормального тиску має дорівнювати нулеві у випадку штампа з неплоскою основою без кутових ліній, вираз (5) представимо у нових змінних:

Тут при

Штрих позначає похідну по .

Інтеграл, який входить до рівняння (1), представимо як ряд за степенями

(7)

Коефіцієнти ряду (7) є похідні за параметром подвійного інтеграла з слабкою особливістю, коли рівняння меж області інтегрування залежать від цього параметра. Через те, що підінтегральна функція в (7) у точці прямує до нескінченості, при визначенні похідних для розкладу (7) спочатку вирізаємо цю точку з області кругом малого радіусу , визначаємо похідні, а потім виконуємо граничний перехід при . Одержуємо наступне розвинення для потенціалу простого шару при відображенні двозв’язної області інтегрування на кругове кільце

(8)

Наведемо інтегро-диференціальні оператори для , які необхідні в перших наближеннях при розв’язанні задачі:

(9)

де – кругове кільце.

Невідомі , , та інтеграли, що входять до рівнянь рівноваги, також подамо у вигляді рядів за степенями . Одержуємо розвинення, що містять інтегральні оператори, подібні (9), які визначаються в кожному наближенні через відомий розв’язок, знайдений на попередньому кроці.

В результаті одержано послідовність аналогічних задач для кругового кільця для визначення функцій, що характеризують розподіл нормального тиску під штампом в формі некругового кільця, а також заглиблення, проекцій векторів повороту штампа та ліній, які обмежують область контакту.

В третьому розділі, на основі методів, розвинутих у розділі 2, запропоновано загальний підхід до розв’язання задач контактної взаємодії двох пружних тіл, що первісно торкаються у точці, без урахування тертя, вважаючи поверхні тіл абсолютно гладкими. Запропонований алгоритм вперше дозволяє одержати аналітичний розв’язок таких задач при відсутності кругової симетрії тіл.

Розв’язано конкретну задачу про стискання двох гладких пружних тіл, обмежених поверхнями еліптичного конуса та кругового параболоїда з рівняннями

(10)

де ексцентриситет еліпса

В даному випадку точка первісного дотику для поверхні одного з тіл є нерегулярною. Розв’язок основного двомірного інтегрального рівняння задачі, що містить інтеграли типу потенціалів простого шару з невідомою густиною та розповсюджені по невідомій на початку області контакту, шукається у вигляді розвинень за степенями ексцентриситету еліпса . Знайдено форму і розміри області контакту, зближення двох тіл та розподіл нормального тиску з точністю до включно (три наближення).

Рівняння межі області контакту з точністю до має наступний вигляд

Вираз для визначення тиску в точках променя , для якого на межі :

(11)

Чисельні дослідження проведено для безрозмірних параметрів. Вважалося, що

Для значення приведені поверхня розподілу по області контакту безрозмірної величини , яка характеризує тиск, (рис.1); графік в перерізі пунктирною лінією 1 (рис.2); чверть, в зв’язку симетрії, межі області контакту, також пунктирною лінією 1 (рис.3). Одержано, що розрахунки для з точністю до 0,001 можна проводити обмежуючись тільки другою степеню включно.

Встановлено, що тиск необмежено зростає, коли відстань до початкової точки торкання прямує до нуля. Залежність тиску (11) аналогічна, одержаній І.Я.Штаерманом для тіл, які обмежені поверхнями обертання, і на початку координат ці залежності мають однакові логарифмічні особливості.

Як тестовий приклад, проведено обчислення потенціалу диска з еліпсоїдним розподілом густини для розв’язання задач з еліптичною областю контакту. Одержаний вираз збігається з відомим, який був знайдений І.Я.Штаерманом.

В розділі 4 розглянуто задачу про вдавлювання неплоского гладкого штампа, поверхня якого має рівняння

тобто утворена параболою, вершина якої рухається вздовж еліпсу – лінії первісного дотику, з ексцентриситетом

Такі задачі не мали аналітичного розв’язку раніше. Задача ускладнюється тим, що форма і розміри області контакту заздалегідь невідомі.

Задача зведена до послідовності інтегральних рівнянь для кругового кільця. Розв’язок шукався у вигляді розвинень за парними степенями . В кожному наближенні знаходиться точний в рядах розв’язок системи інтегральних рівнянь. З точністю до включно (три наближення) знайдено форму і розміри області контакту, вертикальні переміщення штампа та функцію розподілу нормального тиску, яка має вигляд

На рис. 4 наведено розподіл по області контакту безрозмірної величини

яка характеризує тиск, для значень

і безрозмірне навантаження –

поверхню розподілу тиску (а) та криві рівного тиску (б), де бачимо зони з найбільшим тиском.

Більшій силі відповідають більша площадка контакту та величина заглиблення, більшому ексцентриситету – більше заглиблення (рис. 5, 6). На рис. графіки тиску побудовані при значенні 2,4673 в перерізі . Порівняно результати для кільцевого штампа з одержаними раніше, вони збігаються, що підтверджує справедливість розрахунків.

У попередніх розділах розглядалися задачі в класичній постановці, що базувалися на припущенні про ідеально гладкі поверхні. Більш близькими до реальності є моделі з урахуванням шорсткості поверхонь. Як було показано дослідженнями багатьох вчених, урахування шорсткості істотно змінює характер контактної взаємодії.

П’ятий розділ присвячений проблемі вдавлення штампа в шорсткий півпростір без тертя, основним інтегральним рівнянням якої є рівняння Фредгольма другого роду у випадку лінійної залежності деформації мікровиступів від тиску: , де – характеризує деформаційні властивості мікровиступів поверхні. По аналогії з роботами Л.О. Галіна та І.Г. Горячевої вводиться безрозмірний коефіцієнт шорсткості . Вважаємо, що нормальні переміщення штампа представлено у вигляді суми двох складових частин: зминання мікровиступів та переміщень півпростору. У лівій частині рівняння (1) їм відповідає перший доданок (характеризує шорсткість поверхні) та другий доданок (виражається через потенціал простого шару). Доказано існування та єдиність розв’язку задачі, зроблено оцінку похибки розв’язку. Запропоновано засоби, щоб погладшати або усунути особливості ядра інтегрального рівняння. Досліджено межі використання методу послідовних наближень, знайдено нижню границю коефіцієнта шорсткості для збіжності наближень до розв’язку. У випадку менших за цю границю значень коефіцієнта шорсткості, згідно рекомендаціям М.М. Боголюбова та М.М. Крилова застосовувати аналітичне продовження, тут пропонується найпростіший його варіант – заміна

При () рівняння другого роду (1) переходить в рівняння першого роду. Таким чином, розв’язок знаходиться для всіх можливих значень коефіцієнтів шорсткості.

Розвинуто чисельно-аналітичний метод розв’язку інтегральних рівнянь вдавлення некругових кільцевих штампів у пружний шорсткий півпростір на основі методу послідовних наближень, квадратурних формул, з використанням розвинень потенціалу простого шару та зведення розглядаємої задачі до послідовності задач для кругового кільця, наведеного в розділі 2.

При степеневій залежності переміщення за рахунок деформацій мікровиступів від тиску , окремим випадком якого є (лінійна залежність), основне інтегральне рівняння розв’язується зведенням до рівняння Гаммерштейна, причому для нелінійних законів шорсткості в одержаній послідовності в кожному наближенні, крім нульового, задачі зведено до лінійних. Графіки безрозмірної величини

яка характеризує нормальний тиск, для кільцевій області зображено на рис. 7 при степеневому законі деформування мікровиступів. Крива 1 побудована при наступних значеннях безрозмірних параметрів:

Інші лінії відрізняються від кривої 1 тільки одним параметром, а саме

відповідно для кривих 2, , , .

Розглянутий метод розв’язання контактних задач з урахуванням шорсткості півпростору можна розглядати як метод регуляризації, коли параметр регуляризації характеризує шорсткість. Розв’язок інтегрального рівняння першого роду з використанням методів регуляризації зводиться до розв’язку рівняння другого роду. Тобто, одержуємо наближений розв’язок задачі про гладкий контакт, для якої тиск в точках, що близькі до межі, необмежено зростає, а в точках межі має розрив другого роду. Розв’язок задачі з урахуванням шорсткості є розв’язком рівняння другого роду і він неперервний при даних умовах в області контакту, включаючи межу. Коли коефіцієнт шорсткості , тоді в малому околі точок меж плоских штампів тиск росте, наближуючись до розв’язку задачі без шорсткості, але відрізняється від нього, залишаючись скінченим.

Запропоновано також чисельний метод з використанням кубатурних формул знаходження розв’язку двомірних інтегральних рівнянь без переходу до одномірних. Для усунення особливостей впроваджено різниці значень шуканої функції і інтерполяція доданків, де співпадають індекси точок.

Проведено порівняння з точним розв’язком для кругового штампа, результати збігаються. Досліджено вплив шорсткості на контактні характеристики для плоских однозв’язних та двозв’язних штампів, обмежених в плані колами, еліпсами, лемніскатами Бута, квадратами, шестикутниками та восьмикутниками. Залежності безрозмірної величини

,

яка характеризує тиск, від значення, коефіцієнта шорсткості при , =0,5 для плоского штампа з основою в формі еліптичного кільця можна побачити з графіків на рис. 8. Криві перетинаються в малих околах двох точок. Тобто при довільній шорсткості півпростору та сталому навантаженню існують зони, які зберігають наближено один і той же тиск. Цей факт можна використовувати для відшукання зон з постійним тиском, а також при апроксимації розв’язку кривими такого сімейства.

На рис. 9 приведено поверхню розподілу тиску під двозв’язним плоским штампом в формі квадратного кільця при =2,512, , криві рівного тиску зображено в плоскості Oxy. Так як розподіл тиску під симетричним штампом при відсутності тертя симетричний, то на рис. 10 зображено чверті контактних областей з кривими рівного тиску під основами в формі багатокутників для значення =0,628. Біля меж області контакту лінії рівного тиску приймають вигляд подібних до меж і згущуються. На самих межах тиск приймає найбільші значення, скінчені завдяки шорсткості. Замикаються лінії рівного тиску навколо точок з найменшим тиском, які розташовані в центрі однозв’язних і в найбільш широких частинах двозв’язних штампів.

Розглянуто різні форми неплоского кільцевого штампу, обмеженого параболічною та циліндричною поверхнями. Областю контакту є кругове кільце, розміри якого зменшуються зі зменшенням шорсткості.

Запропонований чисельно-аналітичний метод дає можливість розв’язку нових контактних задач з невідомою областю контакту для двох шорстких тіл, з первісним дотиком в точці. Розглянуто стискання двох шорстких пружних тіл, обмежених поверхнями еліптичного конуса та кругового параболоїда з рівняннями (10). На рис. 2 наведено графіки розподілу нормального тиску в перерізі в залежності від відстані до початку координат при різних значеннях коефіцієнтів шорсткості. Коли , одержуємо наближений розв’язок задачі про контакт пружних тіл без урахування шорсткості, яка розглядалася в розділі 3 – лінія 1 для . Лінії 2-4 відповідають значенням коефіцієнта шорсткості

Завдяки симетричності межі області контакту показано в першій чверті на рис. 3, лініям 2-5 відповідають значення

З рис. 2, 3 бачимо, що при збільшенні шорсткості розподіл тиску вирівнюється по площадці контакту, розміри якої збільшуються. На рис.11 зображена поверхня розподілу нормального тиску для , під нею – криві рівного тиску.

З порівняння результатів, наведених тут для та в розділі 3 для гладких тіл, одержуємо їх добре погодження, проте для шорстких поверхонь тиск у первісній точці дотику має скінчене значення і зі зменшенням коефіцієнту шорсткості зростає, залишаючись скінченим, на відміну випадку відсутності шорсткості, коли тиск необмежено зростає при наближенні до точки первісного дотику.

В шостому розділі розглянуто квазістатичні задачі з урахуванням тертя, коли на штамп діє вертикальна сила Q і горизонтальна сила тяги T, яка прикладена на відстані d від основи штампа. Ці сили забезпечують штампу стан граничної рівноваги або рівномірного руху.

Розв’язана задача про рух штампа, обмеженого поверхнею обертання, по границі пружного півпростору, не враховуючи шорсткість поверхонь, коли на всій області контакту має місце двочленний закон тертя. Найчастіше використовується закон Кулона в формі?

де – коефіцієнт тертя. В дійсності, як показали роботи Ф.Боудена, Б.В.Дерягіна, І.В. Крагельского, у формуванні сил тертя важлива роль належить адгезії, урахування якої призводить до двочленного закону, який в найпростішому випадку має форму

де – коефіцієнт, який характеризує адгезійну складову тертя. В рівнянні (1) функція

, де .

При розв’язанні застосовується вираз (2) та розвинення потенціалу простого шару за малими параметрами –

площа області контакту без тертя. Розглянуто конкретний випадок, коли штамп обмежений поверхнею параболоїда обертання . Враховуючи члени з , у першій степені, функція розподілу нормального тиску в точках променя , який проходить крізь точку на межі, має вигляд

(12)

З (12) витікає, що тиск на площадці контакту при русі осесиметричного штампа розподілено несиметрично. Функції, які характеризують заглиблення , кут повороту штампа і рівняння межі області контакту, мають вигляд

Для трьох різних значень коефіцієнта

на рис. 12 приведено графіки розподілу безрозмірної величини , яка характеризує нормальний тиск, вздовж осі Ox (а) і області контакту (б). Зі зростанням коефіцієнта тертя збільшується деформація і зсув площадки контакту вздовж осі Ox.

Запропоновано чисельно-аналітичний та чисельний методи, аналогічні розвинутим в розділі 5, знаходження наближених розв’язків контактних задач з урахуванням лінійного і нелінійного законів тертя та шорсткості, де шорсткість може виступати як параметр регуляризації. Виконано числові розрахунки для плоских штампів різних за формою основи (таких як в розділі 5) при різних законах тертя. Взаємо порівняння наведених методів підтверджує їх достовірність.

На рис. 13 зображено поверхні розподілу тиску

під штампами з основами в формі еліптичного кільця (а) та еліпса (б) для наступних значень параметрів

Менші значення тиску під еліптичним штампом в порівнянні зі штампом в формі еліптичного кільця можна пояснити більшою контактною площею під однозв’язним штампом.

На рис. 14 зображено графіки зміни нормального тиску вздовж напрямку руху, під штампом, обмеженим лініями з рівняннями лемніскат Бута. Лінія 1 приведена для випадку, коли

Інші лінії відрізняються від кривої 1 тільки одним параметром, а саме

відповідно для кривих 2, , . З порівняння попарно лінії 1 та інших витікає, що зі збільшенням шорсткості півпростору розподіл тиску стає більш рівномірним по області контакту; при меншому ексцентриситеті тиск менший; при меншій ширині кільця тиск зростає. Несиметричність розподілу тиску (рис. 15) викликана силою тертя та рушійною силою T. Збільшення висоти прикладення сили T призводить до більшого повороту штампа. Знайдено значення величини, яка характеризує кут повороту штампа

для двозв’язного штампа, обмеженого шестикутниками в плані (рис. 15) при

У додатках містяться блок-схема обчислення характеристик контакту двох пружних тіл; завантажувальна форма програми, яка складена на Visual Basic, для чисельних досліджень контактних задач запропонованими методами; доведення збіжності розвинення потенціалу простого шару з несиметричною густиною; графіки розподілу тиску по області контакту штампа, що первісно торкається вздовж еліпса, для різних значень ексцентриситету та сили, яка притискує штамп.

ВИСНОВКИ

В даній роботі розвинуто загальний підхід до розв’язання задач при різних умовах контакту: плоскі та неплоскі, двозв’язні та однозв’язні основи штампа різної форми, без урахування та з урахуванням різних законів шорсткості, тертя.

Основні результати дисертаційної роботи наступні.

1. Вперше одержано аналітичний вираз обчислення потенціалу простого шару з неосесиметричним розподілом густини, використовуючи розвинення за поліномами Лежандра, для розв’язання інтегральних рівнянь у випадку близьких до кільця областей контакту та при врахуванні тертя.

2. Побудовано аналітичний розв’язок задачі про вдавлення жорсткого неплоского двозв’язного штампа в гладкий пружний півпростір з невідомою на початку областю контакту. Застосовано метод розвинення потенціалу простого шару за малим параметром. Розвинуто метод зведення задачі з невідомою двозв’язною площадкою контакту, яка обмежена неподібними лініями, до послідовності задач з контактною областю в формі кругового кільця, для якої є відомий розв’язок. Завдяки такому підходу в кожному наближенні можна одержати прості формули в замкненому вигляді, зручні для аналізу та інженерної практики.

3. З використанням запропонованого підходу вперше одержано аналітичні розв’язки наступних просторових контактних задач про вдавлення неплоского штампа в формі еліптичного кільця, про контакт двох гладких тіл без кругової симетрії, з первісним дотиком в точці, про рух штампа, обмеженого поверхнею обертання, з урахуванням двочленного закону тертя (квазістатична задача).

4. Розв’язано задачу про вдавлення кільцевого штампа в шорсткий пружний півпростір, основним інтегральним рівнянням якої є рівняння Фредгольма другого роду. Доказано існування та єдиність розв’язку задачі. Знайдено межі використання методу послідовних наближень. Дана оцінка похибки розв’язку. Наведено методи згладжування особливостей ядра інтегрального рівняння.

5. Запропоновано чисельно-аналітичний метод розв’язку інтегральних рівнянь вдавлення двозв’язних (зокрема, однозв’язних) штампів у пружний шорсткий півпростір з урахуванням та без урахування тертя на основі методу розвинення потенціалу простого шару і зведення інтегральних рівнянь до системи алгебраїчних з використанням квадратурних формул, та чисельний метод розв’язку з кубатурними формулами. Наведені методи можна розглядати як регуляризацію, параметр якої характеризує шорсткість, для наближеного розв’язку задачі про гладкий контакт.

6. Отримано добре узгодження результатів, одержаних автором різними наведеними методами, а також окремих відомих випадків, досліджених іншими авторами, що показує достовірність запропонованих методів.

7. Простоту та ефективність розвинутого підходу підтверджує значна кількість виконаних числових розрахунків для двозв’язних та однозв’язних штампів, обмежених в плані колами, еліпсами, лемніскатами Бута і багатокутниками, з урахуванням різних законів зміни шорсткості, тертя. Досліджено також стиснення шорстких тіл – еліптичного конуса і параболоїда.

Знайдено форму і розмір області контакту, розподіл нормального тиску, заглиблення, кути повороту штампа, зони найбільшого і найменшого тиску. Досліджено вплив форми основи штампа, навантаження, висоти прикладення горизонтальної сили, а також коефіцієнтів шорсткості та тертя.

На основі результатів чисельних досліджень установлено, що– 

зі збільшенням коефіцієнта шорсткості розподіл тиску стає більш рівномірним по площадці контакту, для неплоских штампів розміри області контакту збільшуються;– 

урахування шорсткості в контактних задачах призводить до того, що нормальний тиск в межах області контакту залишається скінченим навіть на самій межі плоских штампів та в нерегулярній точці первісного контакту;– 

для довільній шорсткості виявлено зони з наближено одним значенням тиску; – 

присутність тертя веде до несиметричності розподілу тиску, збільшення висоти прикладення горизонтальної сили призводить до більшого повороту штампа, що може призвести до відриву штампа від поверхні півпростору.

Результати дисертації можуть бути застосовані при розрахунках на міцність деталей машин, основ і фундаментів різних споруд, а також для розв’язку інших задач математичної фізики, зокрема дослідження дефектів типу тріщин.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Шишканова Г.А. До розв'язання інтегрального рівняння проблеми переміщення штампа у формі еліптичного параболоїда з врахуванням тертя // Вiсн. Запорiз. ун-ту. Фіз.-мат. науки. Біолог. науки.– 1998.– № .– С. 144-148.

2. Шишканова А.А. О решении контактной задачи с учетом трения и шероховатости для штампа в форме двусвязного квадрата в плане // Вісн. Донец. ун-ту. Серія А. Природн. науки.– 2004.– Вип. 1.– С. 95-102.

3. Шишканова А.А. К решению интегральных уравнений контактного взаимодействия для неизвестной области контакта // Теор. и прикладная механика.– 2004.– Вып. 39.– С. 26-35.

4. Воронова О.С, Шишканова Г.А. Обчислення деяких потенціалів Рiса для елiпсоїдних областей // Вiсн. Запорiз. ун-ту. Фіз.-мат. науки. Біолог. науки.– 1998.– № 2.– С.13-17.

5. Шишканова Г.А. До контактної взаємодії елементів, що первісно торкаються у точці // Вiсн. Запорiз. ун-ту. Фіз.-мат. науки. Біолог. науки. – 1999. – № 1.– С. 118-121.

6. Шишканова Г.А. Розв’язання рекурентної системи інтегральних рівнянь для неплоского штампу з двозв’язною областю контакту // Вісн. Запорiз. ун-ту. Фіз.-мат. науки. Біолог. науки.– 1999.– №2.– С. 158-162.

7. Шишканова А.А. Приближенное решение задачи о контакте кольцевого штампа с шероховатым полупространством с использованием разложения потенциала простого слоя // Проблеми обчислювальної механіки і міцності конструцій.– 2003.– Т.7.– С. 123-133.

8. Шишканова Г.А. Використання розвинення потенціалу простого шару при математичному моделюванні контактної взаємодії. // Вiсн. Запорiз. ун-ту. Фіз.-мат. науки. Біолог. науки.– 2003.– №1.– С. 94-99.

9. Дырда В.И., Шишканова А.А. Математическое моделирование подвижного эластостатического контакта при двучленном законе трения // Вестн. Севастоп. технич. ун-та. Механика, энергетика, экология.– 1997.– Вып.8. – C. 32-37.

10. Шишканова А.А. К использованию потенциалов простого слоя при математическом моделировании в технических системах // Прогрес. технологии и системы машиностроения.– 2002.– Вып. 22.– С. 189-194.

11. Шишканова А.А. О методе вычисления интегралов со слабой особенностью для пространственных контактных задач // Методи розв’язання прикладних задач механіки деформівного твердого тіла.– 2003.– Т.5.– С. 27-36.

12. Шишканова Г.А., Зайцева Т.А. Про розвинення потенціалу простого шару для некругового кільця та його використання // Вісн. Херсон. техн. ун-ту.– 2003.– №3 (19).– C. 462-466.

13. Зайцева Т.А., Шишканова А.А. Решение операторных уравнений первого рода с использованием методов теории потенциала // Питання прикладної математики та мат. моделювання.– Дніпропетровськ, 2004.– C. 72-88.

14. Шишканова А.А. Контактное взаимодействие с учетом трения и шероховатости // Прогрес. технологии и системы машиностроения.– 2004.– Вып. 27.– С. 300-310.

15. Шишканова А.А. Контактное взаимодействие штампов в форме многоугольников с учетом шероховатости, трения // Прогрес. технологии и системы машиностроения.– 2005.– Вып. 30.– С.255-262.

16. Shyshkanova G. Contact Problems with Influence of Friction and Roughness // Mechanika.– 2004.– №3(47).– P. 5-12.

17. Shyshkanova G. Solution for three-dimensional problem of punch motion taking into account forces of friction, adhesion // “Mechanika – 2003”: Proc. of Int. Conf., Kaunas, April 3-4, 2003. – Kaunas (Lithuania), 2003.– P. 311-316.

18. Shyshkanova G. Three-dimensional problem of the contact by doubly connected domain taking into account roughness and friction // 21 Int. Congress of Theoretical and Applied Mechanics: Proc., Warsaw, August 15-21, 2004.– Warsaw (Poland): IUTAM, IPPT PAN, 2004.– P. 222.

АНОТАЦІЇ

Шишканова Г.А. Розв’язання просторових контактних задач для невідомих двозв’язних областей контакту. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла. – Донецький національний університет, Донецьк, 2006.

Дисертаційна робота присвячена розв’язанню просторових задач механіки контактних взаємодій, які можуть бути описаними двомірними інтегральними рівняннями, що містять інтеграли типу потенціалів простого шару. Запропоновано аналітичний та чисельно-аналітичний методи розв’язання задач з невідомою областю контакту, основані на розвиненні за малим параметром потенціалу простого шару, розподіленого по двозв’язній області, відмінної від кругового кільця. Одержано представлення потенціалу простого шару, коли густина не має кругової симетрії.

Урахування шорсткості поверхні призводить до інтегральних рівнянь Фредгольма другого роду. Коефіцієнт, який характеризує деформаційні властивості шорсткості, може бути використаний як параметр регуляризації.

Розв’язано задачі про неплоский штамп в формі еліптичного кільця, контакт двох тіл, з первісним дотиком в точці, штамп в формі тіла обертання з урахуванням двочленного закону тертя, плоскі штампи з довільною формою основи з урахуванням різних законів шорсткості, тертя. Досліджено вплив конфігурації штампа, величини навантаження та коефіцієнтів шорсткості, тертя на одержані контактні характеристики.

Ключові слова: контактна задача, інтегральні рівняння, потенціал простого шару, малий параметр, двозв’язна область, тертя.

Шишканова А.А. Решение пространственных контактных задач для неизвестных двусвязных областей контакта. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 – механика деформируемого твердого тела. – Донецкий национальный университет, Донецк, 2006.

Диссертационная работа посвящена решению пространственных задач механики контактных взаимодействий. Эти задачи могут быть описаны двумерными интегральными уравнениями, содержащими интегралы со слабой