На правах рукопису

СУЩИК Костянтин Володимирович

УДК 621.586 + 519.673

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ПЕРВИННИХ ТЕРМОПЕРЕТВОРЮВАЧІВ НА ОСНОВІ БАЛАНСНОГО НАБЛИЖЕННЯ ЧЕБИШОВСЬКИМИ НЕЛІНІЙНИМИ СПЛАЙНАМИ

01.05.02 ? математичне моделювання та обчислювальні методи

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Львів – 2006

Дисертацією є рукопис

Робота виконана у Фізико-механічному інституті ім. Г.В. Карпенка НАН України

Наукові керівники:

доктор фізико-математичних наук, професор

Попов Богдан Олександрович ,

Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України,

завідувач відділу обчислювальних методів і систем перетворення інформації

доктор технічних наук, професор

Воробель Роман Антонович,

Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України,

завідувач відділу обчислювальних методів і систем перетворення інформації

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор

Слоньовський Роман Володимирович,

Національний університет “Львівська політехніка”,

професор кафедри прикладної математики

кандидат технічних наук, ст. н. с.

Кулинич Ярослав Петрович,

Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України,

ст. н. с. відділу фізико-математичних основ неруйнівного контролю та діагностики

Провідна установа:

Інститут проблем математичних машин і систем НАН України, відділ інтелектуальних систем автоматичного моделювання складних об’єктів і процесів, м. Київ

Захист відбудеться 10 березня 2006 р. о 16-й годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.052.05 у Національному університеті “Львівська політехніка” (79013, м. Львів, вул. С. Бандери, 12). З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Національного університету “Львівська політехніка” (Львів, вул. Професорська, 1)

Автореферат розісланий 9 лютого 2006 р.

Учений секретар

спеціалізованої вченої ради

доктор технічних наук, професор Бунь Р. А.

Актуальність теми. Температура відіграє важливу роль при контролі, автоматизації та управлінні технологічними процесами. Точністю збереження температурного режиму часто визначається не тільки якість, але і принципові можливості застосування продукції у певних цілях, наприклад при вирощуванні напівпровідникових монокристалів. Тому актуальною залишається задача прецизійного моделювання первинних термоперетворювачів з метою підвищення точності вимірювання температури. Математичні моделі первинних перетворювачів фізичних величин за їх функціями перетворення розглянуто у працях C.C.Варшави, А.Ф.Верланя, В.Б.Дудикевича, Б.М.Малиновського, Г.Є.Пухова, В.А.Романова, В.Б.Смолова, Б.І.Стадника, В.Д.Циделка та ін.

У випадку таблично заданої функції перетворення для її апроксимаційного представлення переважно використовують інтерполяційні методи, частковим випадком яких є поліноміальна та раціональна інтерполяція. Інший варіант апроксимації – середньоквадратичне наближення, яке полягає у мінімізації квадратів відхилень від табличних даних. У випадку коли функція перетворення задана складним аналітичним виразом, для наближення застосовують розклад у ряд Тейлора або Фур’є. Найбільшою перевагою інтерполювання та середньоквадратичних наближень є порівняно невелика обчислювальна складність, що сприяє їх поширенню у багатьох застосуваннях. Однак досить часто при обробці результатів вимірювань фізичних величин виникає необхідність побудови рівномірних наближень, які гарантують відхилення від представленої аналітичним виразом чи за допомогою таблиці функції на величину, що не перевищує заданого наперед значення.

З усіх існуючих методів наближень найменшу похибку на заданому інтервалі апроксимації забезпечує найкраще чебишовське наближення, яке шукається як розв’язок оптимізаційної задачі. Апроксимуючу функцію доцільно при цьому вибирати виходячи з властивостей наближуваної функції. Тоді параметри апроксимуючого виразу обчислюють з умови мінімізації максимальної похибки на проміжку наближення.

Як правило, для наближень експериментальних залежностей використовують многочлени та раціональні многочлени. Цій тематиці присвячені роботи В.Б.Дудикевича, О.І.Лаушник, Я.Б.Попова. Однак, використання поліноміального опису в практиці ускладнюється його обчислювальною громіздкістю, зумовленою високим порядком поліному. Але відомі цілі класи первинних термоперетворювачів (зокрема, арсенід-галієві та германієві термометри опору), градуювальні характеристики яких є нелінійними, що зумовило застосування нелінійних чебишовських наближень, які розглядаються в роботах Р.А.Воробеля, В.Б.Дудикевича, П.С.Малачівського, Б.О.Попова. Отже, для зазначених первинних перетворювачів оптимальними є наближуючі вирази, нелінійні відносно параметрів.

Питанням розробки теорії і методів чисельного наближення функціональних залежностей многочленами, раціональними, нелінійними виразами та сплайн-функціями, а також застосуванню цих методів при розв’язуванні технічних задач, присвячена значна кількість наукових праць Ю.С.Зав’ялова, М.П.Корнійчука, А.О. Лигуна, В.Н.Малоземова, Г.Мейнардуса, Дж. Ватсона, Є.Я.Ремеза, Б.О.Попова, Дж.Р.Райса, Г.С.Теслера та ін.

Для зменшення похибки моделювання первинних перетворювачів температури недоцільно збільшувати кількість параметрів наближуючого виразу, оскільки це призводить до збільшення обчислювальної похибки та величини розрядної сітки при обчисленнях. Більш доцільно використовувати сплайн-наближення з нескладними наближуючими виразами на кожній ланці. Однак, при використанні нелінійних чебишовських наближень знаходження вузлів сплайну вимагає великої кількості обчислень, що значно ускладнює отримання результату. В такому випадку доцільно використати підхід, запропонований Б.О. Поповим, що базується на понятті ядра наближення, за допомогою якого можна оцінити похибку чебишовського наближення без обчислення його параметрів.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалась в рамках держбюджетних тем Національної академії наук України:

1. “Теоретичні основи створення алгоритмічних засобів і обчислювальних систем для підвищення інформативності даних” (1999-2001, Постанова Бюро відділення ФТПМ НАН України № 10 від 08.06.1999, р.н. 0100U004857). Участь автора полягала у розробці методики застосування квадратурної формули чисельного інтегрування для підвищення точності та швидкості збіжності балансних чебишовських наближень, розробці апроксимаційних методів лінеаризації нелінійностей термоперетворювачів, програмних засобів для оптимальних за точністю і складністю чисельно-аналітичних методів апроксимації даних.

2. “Створення математичних моделей фізичних явищ на базі теорії апроксимації, покращання зображень та розпізнавання образів” (2002-2004, Постанова Бюро відділення ФТПМ НАН України № 10 від 11.06.2002, р.н. 0102U002668). Участь автора полягала у розробці чисельно-аналітичних методів оптимального апроксимаційного представлення нелінійними чебишовськими балансними сплайнами одновимірних функціональних залежностей, розробці методів побудови таких наближень при описі виду ланок сплайну сумою многочлена та експоненти, многочлена та степеневої функції, функції від раціонального многочлена, їх застосуванні при моделюванні термоперетворювачів та лінеаризації нелінійностей елементів вимірювальних систем, розробці пакетів програм апроксимації в системі комп’ютерної алгебри Maple.

3. “Створення інтелектуальних інформаційних технологій розпізнавання дефектності об’єктів та аналізу їх геометричних параметрів при технічній діагностиці” (2005-2006, Постанова Бюро відділення ФТПМ НАН України № 9 від 24.05.2005, р.н. 0105U004306). Участь автора полягала у розробці методів балансного наближення нелінійними чебишовськими сплайнами при наближенні однозначних функцій на нескінченних проміжках.

Об’єкт дослідження – первинні термоперетворювачі та їх градуювальні характеристики.

Предмет дослідження – математичні методи оптимального за точністю і складністю моделювання первинних термоперетворювачів та обчислювальні алгоритми для знаходження параметрів балансних наближень нелінійними чебишовськими сплайнами.

Методи досліджень. При виконанні досліджень використовувались методи теорії апроксимації, обчислювальної математики та чисельно-аналітичні методи.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є розробка теоретичних основ побудови ефективних методів, алгоритмів та програм моделювання первинних термоперетворювачів на основі представлення їх градуювальних характеристик балансним наближенням чебишовськими нелінійними сплайнами для створення оптимальних за точністю і алгоритмічною складністю цифрових коригуючих пристроїв.

Наукова новизна одержаних результатів полягає у тому, що для моделювання первинних термоперетворювачів за їх функціями перетворення розроблено апарат балансних наближень нелінійними чебишовськими сплайнами, який дозволяє оптимізувати наближення за точністю і складністю. При цьому отримано такі результати:

· розроблено загальну методику знаходження балансного наближення функціональних залежностей з заданою точністю чи кількістю ланок чебишовськими розривними сплайнами із ланками у вигляді ряду нелінійних виразів;

· розроблено алгоритм найкращого чебишовського наближення сумою полінома та нелінійної функції, у якому один з параметрів знаходиться як розв’язок трансцендентного рівняння, а інші обчислюються безпосередньо;

· доведено обмінну теорему для наближення монотонною функцією від раціонального многочлена, яка дозволяє отримувати розв’язок апроксимаційної задачі шляхом зведення до раціональної чебишовської апроксимації;

· запропоновано поліпшену ітераційну процедуру для знаходження границь ланок чебишовського сплайну, яка має вищий порядок збіжності ніж відомі, встановлено достатню умову збіжності цієї процедури;

· вперше розроблено методику знаходження балансного наближення функціональної залежності чебишовським розривним сплайном на безмежному проміжку, отримано оцінку точності такого наближення.

Практичне значення одержаних результатів. Запропонований у дисертаційній роботі підхід дозволив розв’язати складну задачу високоточного представлення градуювальних характеристик для більш ефективного їх використання при моделюванні та технічній реалізації лінеаризуючих пристроїв функціональних перетворювачів. Розроблені в системі комп’ютерної алгебри Maple пакети програм використовуються для апроксимаційного представлення функцій та градуювальних характеристик первинних термоперетворювачів на основі балансних наближень чебишовськими нелінійними сплайнами. Теоретичні і практичні результати, отримані в дисертаційній роботі, впроваджені в НВО “Термоприлад” при розробці термоперетворювачів опору, що дозволило спростити аналітичне представлення характеристики та побудувати більш прості лінеаризатори в порівнянні з існуючими при збереженні високої точності вимірювань у широкому діапазоні (від 3 K до 300 K). Наукові результати дисертації та програмне забезпечення успішно використовуються також і при проведенні досліджень у Фізико-механічному інституті ім. Г.В.Карпенка Національної академії наук України.

Публікації. Основний зміст дисертаційної роботи відображений у 16 друкованих працях, з яких 5 статей у фахових виданнях, що входять до Переліку, затвердженого ВАК України.

Особистий внесок здобувача. Результати дисертаційної роботи отримані автором самостійно. У публікаціях, написаних у співавторстві, автору належать: в [1,6,9] – побудова спрощеного алгоритму визначення параметрів найкращого чебишовського наближення сумою многочлена та нелінійної функції, в [3] – вдосконалення ітераційної процедури Мейнардуса для знаходження границь ланок сплайну та дослідження її збіжності, в [2,7] – формулювання та доведення обмінної теореми для найкращого чебишовського наближення функцією від раціонального многочлена, в [4,14,16] – аналіз апроксимаційних методів для оптимального представлення градуювальних характеристик термометрів опору, в [8, 11] – програмна реалізація нелінійної апроксимації чебишовськими сплайнами, в [12] – отримання ядер наближення нелінійними виразами.

Апробація результатів дисертації. Основні положення і результати дисертаційної роботи доповідались і обговорювались на:

·

·

·

·

·

·

Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається із вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел та додатків. Робота викладена на 133 сторінках, з них 130 сторінок основного тексту. Список використаних джерел налічує 118 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність проблем, що досліджуються у роботі, сформульовано мету та задачі досліджень, визначено наукову новизну роботи і практичне значення отриманих результатів.

У першому розділі дисертаційної роботи проведено огляд існуючих типів термоперетворювачів та методів їх моделювання шляхом апроксимації функції перетворення. Наведено існуючі методи апроксимаційного представлення однозначних функцій однієї змінної, проведено аналіз переваг та недоліків кожного з них. Обґрунтовано доцільність використання сплайн-наближень, які сприяють підвищенню точності при нескладних наближуючих виразах на кожній ланці. Показано, що з усіх існуючих методів наближень найменшу похибку на заданому інтервалі апроксимації забезпечує найкраще чебишовське наближення, яке шукається як розв’язок оптимізаційної задачі. Апроксимуючу функцію при цьому доцільно вибирати виходячи з властивостей наближуваної функції.

У другому розділі досліджено властивості та розроблено алгоритми знаходження параметрів та похибки балансного наближення із заданою точністю чебишовськими розривними сплайнами із ланками у вигляді суми многочлена та нелінійної функції вигляду

, (1)

де m, s та p цілі числа, A,v,ai – параметри наближення; або у вигляді функції від раціонального многочлена

, (2)

де g(x)?0, ц(x) – монотонна на [a,b),

, k,l,p,s– цілі числа.

Теорема 1. Нехай ц(x,v)С(m)[a,b]. Тоді достатньою умовою існування найкращого чебишовського наближення функції f(x) виразом

(3)

на множині X (X– відрізок або дискретна множина точок) є монотонність функції ц(m)( ч2,v)/ ц(m)( ч1,v) по v при v1<v<v2 для довільних ч1, ч2X, монотонність функцій ц(i)( x,v), i=1..m по x для довільних v1<v<v2, та виконання нерівності

,

де – довільні числа з множини X,zi<zi+1,i=0,…,m+1,

f1(zi,zi+2=f(zi+2)-f(zi)),

,

,

, k=l,l+1,…,

, i=1,2,…, N1=min(r1,r2), N2=max(r1,r2),

Наслідок 1. Функція ц( x,v)=exv при |v|<?,|x|<? задовольняє умовам теореми 1, оскільки вона монотонна разом з усіма похідними по x, та відношення похідних є монотонним по v. При цьому N1=0, N2=?.

Наслідок 2. Функція ц( x,v)=xv при |v|<?,|x|<? задовольняє умовам теореми 1, оскільки вона монотонна разом з усіма похідними по x, та відношення похідних є монотонним по v. При цьому N1=0, N2=?.

Ці два часткові випадки мають велике практичне значення, оскільки існування для них найкращого чебишовського наближення вигляду (3) гарантоване для досить широкого класу функцій. Можна навести багато прикладів інших функцій, що задовольняють умовам теореми, однак накладають обмеження на наближувану функцію f(x).

Попри усі переваги наближення градуювальних характеристик сумою многочлена та нелінійної функції наближаючий вираз (1) є недостатньо загальний і дає найкращий результат тільки для певного класу функції f(x).

Розглянемо задачу найкращого чебишовського наближення функції f(x) з вагою w(x) на проміжку [a,b] нелінійним виразом вигляду

Фm(x,A)=g(x) ц(F(A,x)) (4)

де функція ц(x)С1[a,b], ц(x) – монотонна на [a,b], g(x)С1[a,b], g(x)?0, A=(a0,…,am) – вектор параметрів. Припустимо, що алгоритм Ремеза для находження найкращого нелінійного наближення виразом (4) збігається для деякого початкового наближення до точок альтернансу. Запишемо систему рівнянь, яка виникає при черговій ітерації алгоритму Ремеза для знаходження найкращого чебишовського наближення виразом вигляду (4):

f(ti)- g(x) ц(F(A,x)=(-1)i м w(ti),i=0,…,m+1, (5)

де m=k+l, ti– наближення до точок альтернансу. Перепишемо рівняння (5) у вигляді

, i=0,…,m+1,

де ц –1 (u) – функція, обернена до ц(x).

Розкладаючи праву частину в ряд Тейлора в околі точки м =0 одержимо

F(A,ti)= ц –1(f(ti)/g(ti))- (-1)i мi)/g(ti) ц –1’(f(ti)/g(ti))+ м 2M, (6)

де м 2M – залишок ряду Тейлора , починаючи з м 2, ,i=0,…,m+1.

Нехтуючи величинами порядку O(м 2), з (6) отримуємо такі співвідношення:

ц –1 (f(ti)/g(ti))-F(A,ti)=(-1)i мi)/g(ti), i=0,…,m+1,. (7)

Система (7) – це система, яка виникає при знаходженні найкращого чебишовського наближення виразом F(A,x) на проміжку [a,b] функції ц –1f(x)/g(x)) з вагою w1(x)=ц –1’ (f(x)/g(x))w(x)/g(x).

Введемо позначення

r(x,A)=( f(x)- g(x) ц(F(A,x))/w(x),

с(x,A)=(ц –1 (f(x)/g(x))-F(A,x))/w1(x).

Теорема 2 (узагальнена обмінна теорема). Нехай на проміжку [a,b] існує єдине найкраще чебишовське наближення функції f(x) з вагою w(x), w(x)?0, x[a,b] виразом Фm(x,A)=g(x) ц(F(A,x)), де ц(x)С1[a,b], ц(x) – монотонна на [a,b], g(x)С1[a,b], g(x)?0 на [a,b].

Тоді на проміжку [a,b] існує єдине найкраще чебишовське наближення функції ц –1 (f(x)/g(x)) з вагою

w1(x)=ц –1’ (f(x)/g(x))w(x)/g(x).

функцією F(B,x).

Нехай – максимальна за модулем похибка наближення функції f(x) з вагою w(x) на проміжку [a,b] виразом Фm(x,B); – максимальна за модулем похибка наближення функції ц –1 (f(x)/g(x) з вагою

w1(x)=ц –1’ (f(x)/g(x))w(x)/g(x).

функцією F(B,x), тоді

|м-з|?N з2, де N>0 – стала.

Приклад 1. Знайти найкраще відносне чебишовське наближення функції Бесселя I1(x) на проміжку [0,8] функцією

,

де

,

при k=2,l=2.

Виберемо функцію g(x) з умов

,.

Маємо

,

.

При s>0 та не залежать від параметрів, причому

g(0)=0,g?(0)=1/2, звідки виберемо g(x)=x/2 .

Функція є непарною, тому для збереження непарності покладемо p=s=2.

При цьому максимальна відносна похибка м =0.00010876.

Найменша максимальна відносна похибка мR чебишовського наближення раціональним многочленом з такою ж кількістю параметрів досягається при k=3,l=1,p=2,s=1: мR=0.0002209.

Наближення виразом вигляду (2) зменшує похибку більш ніж у 20 разів у порівнянні з найкращим чебишовським наближенням раціональним многочленом. Графік функції похибки подано на рис. 1. Він має альтернансну властивість.

Рис. 1. Крива похибки відносного чебишовського наближення

функції Бесселя I1(x) на проміжку [0,8].

У третьому розділі розроблено теоретичні основи побудови балансних наближень градуювальних характеристик нелінійними чебишовськими сплайнами з заданою кількістю ланок та заданою похибкою. Проаналізовано відомі підходи до знаходження ядер наближень, що дозволило знайти ядра наближення для більш загального вигляду найкращого зваженого чебишовського нелінійного сплайн-наближення.

Теорема 3. Нехай f(x)С(m+1)[a,b]; ц(x)С1)[a,b]; ц(x) – монотонна на [a,b]; g(x)С1[a,b], g(x)?0 на [a,b]. ; m=k+l; найкраще чебишовське наближення функції f(x) виразом вигляду (2) існує та єдине. Нехай, крім того, існує єдине найкраще чебишовське наближення функції ц –1 (f(x)/g(x)) з вагою

w1(x)=ц –1’ (f(x)/g(x))w(x)/g(x)

раціональним многочленом Vk,l(x).

Тоді ядро наближення виразом (2) набуває вигляду

.

Вдосконалено ітераційну процедуру Мейнардуса для визначення границь ланок сплайну шляхом використання для інтегрування квадратурної формули більш високого порядку і доведено теорему про область збіжності цієї ітераційної процедури, що дозволило підвищити точність наближень.

Ітераційна формула при цьому має наступний вигляд:

(8)

де

,

з(f(x),F(A,x)) – ядро наближення функції f(x) виразом F(A,x); w(x)–вага наближення.

Отримано достатню умову збіжності:

ц(x) ц? (x) <0( або ц(x) ц? (x) >6 ц?2(x) /5. (9)

Зауважимо, що умова (9) охоплює ширший клас випадків, ніж відома умова збіжності ітераційної формули Мейнардуса ц(x) ц? (x) > ц?2(x).

Під час дослідження та моделювання різних фізичних явищ інколи необхідно наближати функції на нескінченному проміжку. Для розв’язання цієї проблеми пропонується використовувати наближення сплайнами з ланками різного вигляду на ланках скінченної та нескінченної довжини.

Шукаємо наближення до функції f(x) сплайном вигляду

(10)

F(A,x)=F(a0,…,am,x),

,

де g(x)?0 на [a,b], ц(x) монотонна на ,

, p,s– цілі числа.

Приклад 2. Знайти найкраще відносне чебишовське наближення функції Бесселя нульового порядку I0(x) на проміжку [0,?) сплайном вигляду (10) з кількістю ланок r=3. Функцію F виберемо у вигляді раціонального многочлена . Виходячи з асимптотичного представлення функції Бесселя I0(x) на нескінченості виберемо

При цьому отримуємо максимальну відносну похибку м=2.661*10-5. Похибки на ланках сплайну при цьому рівні м1=2.661*10-5 , м2=2.6241*10-5 , м3=2.6091*10-5.

На рис. 2 зображено криву похибки наближення. Вона має балансну властивість, що підтверджує правильність результату наближення.

Рис. 2. Крива похибки балансного наближення функції Бесселя I0(x).

На основі запропонованих вище методів чебишовського наближення у четвертому розділі розглянуто задачу оптимальної реалізації блоку функціонального перетворення для лінеаризації градуювальних характеристик цифрових вимірювальних приладів, що використовують нелінійні первинні перетворювачі.

Найбільш економічним і раціональним є вибір для лінеаризації методу безпосереднього обчислення функцій, які є обернені до функції перетворення первинного вимірювального перетворювача. Запропоновані чисельно-аналітичні методи знаходження балансних наближень нелінійними виразами та сплайнами реалізовано у системі комп’ютерної алгебри Maple. Розроблені алгоритми найкращого чебишовського наближення нелінійними виразами та балансного наближення чебишовськими нелінійними сплайнами неперервно заданої функції доцільно застосовувати для моделювання градуювальних характеристик, що задані у вигляді складних виразів. Для реалізації даних алгоритмів створено пакет програм NLAPPROX. У випадку таблично заданої градуювальної характеристики слід застосовувати відповідні алгоритми для чебишовського наближення табличних даних. Ці алгоритми реалізовані у пакеті TABNLAPPROX.

Приклад 3. Градуювальна характеристика напівпровідникового кремнієвого терморезистора задана у вигляді таб. 1. Знайти аналітичне представлення градуювальної характеристики у вигляді сплайну з двох ланок вигляду у діапазоні температур 3-300 К:

Максимальна відносна похибка наближення при цьому є м=0.0044. Апроксимуючи цю ж характеристику поліноміальним сплайном з такою ж кількістю параметрів отримуємо максимальну відносну похибку мr=.0482, тобто перевага по точності складає близько 11 разів. На рис. 3. наведено графік отриманого аналітичного представлення градуювальної характеристики.

Рис. 3. Графік градуювальної характеристики напівпровідникового кремнієвого

терморезистора DFS 04/46.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ РОБОТИ ТА ВИСНОВКИ

Для моделювання первинних перетворювачів фізичних величин за їх функціями перетворення розроблено апарат балансних наближень нелінійними чебишовськими сплайнами, який дозволяє оптимізувати наближення за точністю і складністю.

При цьому отримано такі результати:

1. Розроблено загальну методику знаходження балансного наближення функціональних залежностей з заданою точністю або кількістю ланок чебишовськими розривними сплайнами із ланками, що описуються нелінійними виразами різного виду, яка у випадку аналітично заданих функції перетворення не вимагає розв’язку чебишовської апроксимаційної задачі, а базується на використанні ядер наближень, чим підвищено ефективність обчислень.

2. Розроблено алгоритм найкращого чебишовського наближення сумою полінома та нелінійної функції, який дозволяє знаходити один з його параметрів через розв’язок трансцендентного рівняння, а інші обчислювати безпосередньо.

3. Доведено обмінну теорему для наближення монотонною функцією від раціонального многочлена, яка дозволяє звести задачу найкращого чебишовського нелінійного наближення до раціональної чебишовської апроксимації, що дозволило побудувати ряд алгоритмів безпосереднього знаходження параметрів нелінійних наближень однозначних функцій.

4. Запропоновано поліпшену ітераційну процедуру для знаходження границь ланок чебишовського сплайну, яку отримано з відомої ітераційної процедури Мейнардуса шляхом застосування для чисельного інтегрування квадратурної формули вищого порядку збіжності, та встановлено достатню умову її збіжності.

5. Вперше розроблено методику знаходження балансного наближення функціональної залежності чебишовським розривним сплайном на безмежному проміжку з використанням виразів різного вигляду на скінченних та нескінченних ланках сплайну, яка базується на використанні ядер наближень та дозволяє отримати оцінку точності такого наближення без чисельного розв’язування задачі найкращого чебишовського наближення на ланках сплайну.

6. Моделювання реальних градуювальних характеристик напівпровідникових первинних термоперетворювачів шляхом апроксимації їх оберненої функції перетворення підтверджує доцільність використання запропонованих апроксимаційних підходів для підвищення точності вимірювань при побудові цифрових лінеаризаторів через оптимальний вибір границь ланок сплайну.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Попов Б. О., Сущик К. В., Лаушник О. І. Наближення функції нелінійними сплайнами // Відбір і обробка інформації.– 1999.– № 13(89).– С. 168-172.

2. Попов Б. О., Сущик К. В. Точність наближення функцією від раціонального многочлена // Відбір і обробка інформації.– 2000.– № (90).– С. 137-141.

3. Попов Б. О., Сущик К. В. Дослідження збіжності ітераційної процедури для знаходження балансного наближення // Відбір і обробка інформації.– 2002.–  № 16(92).– С. 137-141.

4. Воробель Р.А., Гук О. П., Сущик К. В. Балансні наближення в оптимальному представленні характеристик термометрів опору. // Вісник Національного університету “Львівська політехніка”. Автоматика, вимірювання та керування.– 2004.– № 500.– C. 41-43.

5. Сущик К. В. Балансні наближення чебишовськими сплайнами на безмежному інтервалі // Відбір і обробка інформації.– 2004.– № 21.– С. 111-114.

6. Попов Б. О., Сущик К. В. Рівномірне наближення сплайнами з ланками у вигляді суми многочлена та степені // Вісник Львівського університету. Серія прикладна математика та інформатика.– 1999.– № 1.– С. 196-199.

7. Попов Б. О., Сущик К.В. Обмінна теорема для найкращого чебишовського нелінійного наближення // Волинський математичний вісник.– 2000.– № .–127-131.

8. Попов Б.О., Лаушник О.І., Сущик К.В. Нелінійні апроксимаційні моделі // Вісник Львівського університету. Серія прикладна математика та інформатика. – 2002.– № 5.– C. 32-38.

9. Попов Б. О., Сущик К.В. Рівномірне наближення сплайнами з ланками у вигляді суми многочлена та нелінійної функції / Шоста Всеукраїнська наукова конференція “Застосування обчислювальної техніки, математичного моделювання та математичних методів у наукових дослідженнях”: тези доп.– Львів: ЛНУ ім. І. Франка, 1999.– С. 56.

10. Сущик К.В. Алгоритми наближення нелінійними сплайнами / XV відкрита науково-технічна конференція молодих науковців і спеціалістів ФМІ ім. Г. В. Карпенка НАН України: матеріали.– Львів: ФМІ, 2000.– С. 118-119.

11. Попов Б.О., Сущик К.В., Іскерка І. Використання комп’ютерної алгебри для дослідження та побудови нелінійних наближень / Міжнародна конференція з автоматичного управління “Автоматика – 2000”: Праці в 7-ми томах.– Т. 1.– Львів: ДНДІ ІІ, 2000.– С. 201-205.

12. Popov B. O., Sushchyk K. V., Laushnyk O. I. Optimal Non-linear Approximation Using Computer Algebra and Kernel Expressions / Central European IV Conference “Numerical Methods and Computer Systems in Automatic Control and Engineering” (IV MSKAE’2001): Papers.– Czкstochowa, Poland, 2001.– P. 34-36.

13. Сущик К. В. Пакет програм для нелінійної апроксимації чебишовськими сплайнами. / XVII відкрита науково-технічна конференція молодих науковців і спеціалістів ФМІ ім. Г. В. Карпенка НАН України: матеріали.– Львів: ФМІ, 2003.– С. 176-179.

14. Воробель Р.А., Гук О.П., Сущик К.В. Балансні наближення в оптималь-ному представленні характеристик термометрів опору / VIII Міжнародна конференція “Температура – 2003”, Львів, 16-19 вересня 2003 р.: тези доп. Львів, 2003.– C. 87.

15. Сущик К.В. Застосування чебишовських сплайнів для представлення градуювальних характеристик термометрів опору / XVIII Відкрита науково–технічна конференція молодих науковців та спеціалістів Фізико–механічного інституту ім. Г.В.Карпенка НАН України: матеріали.– Львів: ФМІ, 2003.– С. 206-209.

16. Воробель Р.А., Сущик К. В. Оптимальне представлення характеристик германієвих термометрів опору за допомогою нелінійних чебишовських сплайнів / Міжнародна конференція “Питання оптимізації обчислень (ПОО – ХХХІI)”, Кацивелі, 18-23 вересня 2005 р.: праці –. Київ: ІК НАНУ.– 2005.– C. 52.

АНОТАЦІЇ

Сущик К.В. Математичне моделювання первинних термо-перетворювачів на основі балансного наближення чебишовськими нелінійними сплайнами. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.05.02 ? математичне моделювання та обчислювальні методи. – Національний університет “Львівська політехніка”, Львів, 2006.

Для моделювання первинних перетворювачів фізичних величин за їх функціями перетворення розроблено апарат балансних наближень нелінійними чебишовськими сплайнами, який дозволяє оптимізовувати наближення за точністю і складністю.

Досліджено властивості балансного наближення функцій чебишовськими розривними сплайнами із ланками у вигляді нелінійних виразів. Запропоновано методи та алгоритми знаходження параметрів таких балансних наближень із заданою точністю чи заданою кількістю ланок.

Побудовано поліпшену ітераційну процедуру для знаходження границь ланок чебишовського сплайну, яка має вищий порядок збіжності ніж відомі, встановлено достатню умову збіжності цієї процедури.

Вперше розроблено методику знаходження балансного наближення функціональної залежності чебишовським розривним сплайном на безмежному проміжку, отримано оцінку точності такого наближення.

Розроблені методи і алгоритми реалізовані у вигляді пакетів програм NLAPPROX та TABNLAPPROX у системі комп’ютерної алгебри Maple для наближення нелінійними чебишовськими сплайнами градуювальник характеристик термоперетворювачів, що задані аналітично або у табличному вигляді.

Ключові слова: моделювання, функція перетворення, первинний термоперетворювач, найкраще чебишовське наближення, балансне нелінійне наближення, чебишовський нелінійний сплайн.

Сущик К.В. Математическое моделирование первичных термо-преобразователей на основе балансного приближения чебышевскими нелинейными сплайнами. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 01.05.02 ? математическое моделирование и вычислительные методы. – Национальный университет “Львовская политехника”, Львов, 2006.

Для моделирования первичных преобразователей физических величин на основе их функций преобразования разработан аппарат балансных приближений нелинейными чебышевскими сплайнами, который позволяет оптимизировать приближение по точности и сложности.

Исследованы свойства балансного приближения функций чебышевскими разрывными сплайнами со звеньями в виде нелинейных выражений. Предложены методы и алгоритмы нахождения параметров таких балансных приближений с заданной точностью или заданным количеством звеньев.

Предложена улучшенная итерационная процедура для нахождения границ звеньев чебышевского сплайна, которая имеет более высокий порядок сходимости, чем известные, получено достаточное условие сходимости этой процедуры.

Впервые разработана методика нахождения балансного приближения функциональной зависимости чебышевским разрывным сплайном на бесконечном промежутке, получена оценка точности такого приближения.

Разработанные методы и алгоритмы реализованы в виде пакетов программ NLAPPROX и TABNLAPPROX в системе компьютерной алгебры Maple для приближения нелинейными чебышевскими сплайнами градуировочных характеристик, заданных аналитически или в виде таблицы.

Ключевые слова: моделирование, функция преобразования, первичный термопреобразователь, наилучшее чебышевское приближение, балансное нелинейное приближение, чебышевский нелинейный сплайн.

Sushchyk K.V. Mathematical simulation of primary thermal sensors based on balanced approximation with Chebyshev nonlinear splines. – Manuscript.

The thesis is presented for the Candidate of Technical Science degree by specialty 01.05.02 ? mathematical modeling and computing methods. – Lviv Polytechnic National University, Lviv, 2006.

The theoretical bases of balanced approximation with nonlinear Chebyshev splines for simulation of physical quantities sensors by approximation of their transfer functions that allow optimizing approximation by accuracy and complexity are derived.

Properties of balanced approximation with discontinued Chebyshev splines with links in form of different nonlinear expressions are considered. The methods of finding parameters for such balanced approximation with the given accuracy of number of links are proposed. Advanced iterative procedure for finding of links boundaries is built, sufficient convergence condition for this procedure is derived.

General technique for obtaining of balanced approximation of functional dependence with the given accuracy of number of links is proposed. Chebyshev discontinuous splines with nonlinear expressions on each spline link are used. Method of best Chebyshev approximation with sum of polynomial and nonlinear function was developed. It allows finding one of parameters by solving a transcendental equation while other parameters are obtained directly.

Exchange theorem for approximation by monotone function of rational polynomial, which allows transforming approximation problem to rational Chebyshev approximations, is proved.

Enhanced iterative procedure for finding of spline knots based on Meinardus procedure was derived by applying numerical integration formula of higher order. Sufficient conditions of convergence are derived.

For the first time technique for obtaining of balanced approximation of functional dependence on infinity interval using different expressions on finite and infinite spline links is developed. The technique makes use of kernel expressions that allow obtaining accuracy estimate on each spline link without performing approximation.

Simulation of semiconductor primary thermal sensors by approximation of their inverse transfer functions confirms advisability of applying proposed techniques for measurement accuracy enhancement by optimal choice of spline knots.

Developed methods and algorithms were implemented as packages NLAPPROX and TABNLAPPROX in computer algebra system Maple for approximation by nonlinear Chebyshev splines of function given analytically or in table form.

Keywords: simulation, transfer function, primary thermoelement, best Chebyshev approximation, balanced nonlinear approximation, nonlinear Chebyshev spline.