КИЇВСЬКИЙ УНІВЕРСИТЕТ імені ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

КЛЕН ІРИНА ВІКТОРІВНА

УДК 517.9:517.544

МЕТОД p-АНАЛІТИЧНИХ ФУНКЦІЙ

В КРАЙОВИХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ ЕЛІПТИЧНИХ СИСТЕМ

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ

01.01.02 — диференціальні рівняння

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

КИЇВ–1999

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі математичної фізики Київського університету імені Тараса Шевченка.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук,

професор ,

Київський університет імені Тараса Шевченка,

професор кафедри математичної фізики;

доктор фізико-математичних наук,

професор Глущенко Андрій Арсенович,

Київський університет імені Тараса Шевченка,

професор кафедри математичної фізики.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук,

професор Вірченко Ніна Опанасівна,

Національний технічний університет України “КПІ”,

професор кафедри вищої математики № 1;

кандидат фізико-математичних наук,

доцент Яковенко Василь Максимович,

Національний аграрний університет,

доцент кафедри вищої математики.

Провідна установа: Інститут математики НАН України, відділ математичної фізики і теорії нелінійних коливань (м. Київ).

Захист відбудеться “24” травня 1999 р. о 14.00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.37 при Київському університеті імені Тараса Шевченка (252127, м. Київ–127, пр-т Глушкова, 6, механіко-математичний факультет).

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Київського університету імені Тараса Шевченка за адресою: м. Київ, вул. Володимирська, 58.

Автореферат розісланий “6” квітня 1999 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Моклячук М.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА

Актуальність теми. Точні аналітичні розв’язки крайових задач для диференціальних рівнянь мають велике значення, даючи широку можливість для теоретичних досліджень, а також виступаючи як тестові, для оцінки якості наближених методів. Клас крайових задач, що мають точні розв’язки, для диференціальних рівнянь зі змінними коефіцієнтами досить вузький. Метод узагальнених аналітичних функцій, зокрема, p-аналітичних функцій, який є узагальненням методу скінченних інтегральних перетворень, дозволяє розширити цей клас.

Можливість зв’язати теорію аналітичних функцій з еліптичною системою рівнянь з частинними похідними була помічена Е. Пікаром ще в 1891 р. Інтерес до цієї ідеї виник лише в ХХ ст. Свідченням того є роботи І.Н.Векуа, Г.М.Положія, Л.Берса та А.Гельбарта.

Одне з узагальнень теорії аналітичних функцій комплексної змінної – це теорія p-аналітичних і (р, q)-аналітичних функцій, яка розроблена Г.М. Положієм і викладена в його монографіях. p-аналітичні та (р, q)-аналітичні функції знайшли широке застосування при розв’язанні задач механіки суцільних середовищ, вони пов’язані з такими важливими задачами фізики та механіки як задачі електростатики та магнітостатики, задачі теорії фільтрації, задачі гідромеханіки ідеальної та в’язкої нестисливої рідини, задачі про безмоментний напружений стан оболонок обертання, задачі про напружений стан кругової симетрії тіл, просторові невісесиметричні задачі теорії пружності, вісесиметричні задачі теорії потенціалу, задачі кручення тіл обертання та інш.

Якщо теорія узагальнених аналітичних функцій, зокрема, p-аналітичних функцій, в основному вже побудована, то методи розв’язання крайових задач для узагальнених аналітичних функцій, зокрема, p-аналітичних функцій для конкретних характеристик р=p(х) ще далекі від досконалості. Тому розробка нових ефективних методів ров’язання крайових задач узагальнених аналітичних функцій і, зокрема, р-аналітичних функцій становить важливу й актуальну проблему.

Одна з відомих методик розв’язання крайових задач р-аналітичних функцій базується на використанні інтегральних зображень цих функцій через відповідні аналітичні функції комплексної змінної. Таке інтегральне зображення для р-аналітичних функцій з характеристикою р=хk (k=const>0), відоме в літературі як основне інтегральне зображення хk-аналітичних функцій, встановлено Г.М. Положієм. Використання інтегральних зображень р-аналітичних функцій через аналітичні функції дозволяє зводити розв’язання крайових задач р-аналітичних функцій до розв’язання крайових задач аналітичних функцій, досить добре вже вивчених. Вказана методика для розв’язання крайових задач хk-аналітичних функцій запропонована Г.М. Положієм. Подальший розвиток вона одержала в роботах Г.М. Положія, О.О. Капшивого та їх учнів головним чином стосовно до крайових задач х-аналітичних функцій. Ця методика використовувалась при розв’язанні крайових задач х-аналітичних функцій, що відповідають вісесиметричним задачам теорії пружності та задачам гідромеханіки в’язкої нестисливої рідини, та крайових задач р-аналітичних функцій з іншими характеристиками.

Методи, які базуються на інтегральних зображеннях, що зв’язують вісесиметричні гармонічні функції з плоскими гармонічними функціями або з аналітичними функціями, використовувались при розв’язанні вісесиметричних задач теорії потенціалу і теорії пружності давно. Прикладом тому є роботи С. Вебера, Ф. Мелера, А.Я. Александрова, Ю.І. Солов’йова та Я.С. Уфлянда.

Аналіз результатів робіт по розв’язанню крайових задач р-аналітичних функцій, зокрема, вісесиметричних крайових задач теорії потенціалу та теорії пружності, шляхом зведення їх за допомогою інтегральних зображень до крайових задач аналітичних функцій показує, що ця методика ефективна, якщо крайову задачу вдається звести до такої крайової задачі аналітичних функцій, розв’язок якої не тільки записується в квадратурах, але й по можливості в найбільш простій формі. А через те, що це вдається зробити лише для простих областей (і то не завжди), то й ефективність методики не досить висока. Пошуки можливостей підвищення ефективності цієї методики показали, що цього можна досягти за рахунок проведення глибоких досліджень апаратних та якісних властивостей використовуваних інтегральних зображень. Початок систематичним дослідженням в цьому напрямку при розв’язанні крайових задач х-аналітичних функцій покладено в роботах Г.М. Положія та О.О. Капшивого, при розв’язанні крайових задач хk-aналітичних функцій – в роботах О.О. Капшивого та його учнів. Інтегральні зображення х-аналітичних функцій через граничні значення аналітичних функцій одержано в роботах О.О. Капшивого, а зображення хk-аналітичних функцій – в роботах О.О. Капшивого та автора. Цими роботами розвиток методики розв’язання крайових задач р-аналітичних функцій за допомогою їх інтегральних зображень через граничні значення аналітичних функцій піднято на якісно новий рівень.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертаційної роботи відноситься до планів наукових досліджень кафедри математичної фізики Київського університету імені Тараса Шевченка, а також пов’язана з науково-дослідною держбюджетною темою “Дослідження нелінійних крайових задач математичної фізики з застосуванням в актуальних областях механіки суцільного середовища і фізики” (№ 533, 1992–1993 рр.).

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є розробка нової ефективної методики розв’язання крайових задач для еліптичних систем диференціальних рівнянь на основі методу р-аналітичних функцій (p=хk, k=const>0), за допомогою інтегральних зображень цих функцій через граничні значення аналітичних функцій; розв’язання ряду крайових задач для різних типів областей з метою виявлення певних закономірностей, що мають місце при застосуванні вищеназваної методики; застосування розробленої методики до розв’язання просторових вісесиметричних задач механіки в’язкої нестисливої рідини.

Наукова новизна одержаних результатів. На основі дослідження апаратних та якісних властивостей основного інтегрального зображення хk-аналітичних функцій в дисертаційній роботі вперше одержано еквівалентні йому інтегральні зображення хk-аналітичних функцій через граничні значення аналітичних функцій. Розроблено нову ефективну методику розв’язання крайових задач для еліптичних систем диференціальних рівнянь на основі методу p-аналітичних функцій (p=хk, k=const>0), яка базується на використанні вказаних вище інтегральних зображень цих функцій через граничні значення аналітичних функцій. Вона характеризується такими моментами:

1) розв’язання крайових задач хk-аналітичних функцій не вимагає розв’язання крайових задач аналітичних функцій, а зводиться просто до визначення граничних значень аналітичних функцій;

2) можна проводити якісні дослідження одержаних розв’язків в окремих точках і, отже, діставати розв’язок задач з наперед заданою поведінкою в окремих точках границі області, тобто в різних класах функцій; існує можливість досить просто досліджувати питання існування та єдиності розв’язків крайових задач;

3) методика ефективно застосована, зокрема, при розв’язанні крайових задач для областей: півкруг, права півплощина з викинутим півкругом, права півплощина з розрізом по дузі кола;

4) розв’язки крайових задач, які отримуються за допомогою цієї методики, досить просто реалізуються на ЕОМ;

5) математичні ідеї, які використовуються в цій методиці при розв’язанні крайових задач хk-аналітичних функцій, можуть бути використанні й при розв’язанні крайових задач для інших класів р-аналітичних функцій.

Розроблена методика застосована до розв’язання просторової вісесиметричної задачі механіки в’язкої нестисливої рідини – задачі про обтікання вісесиметричним потоком в’язкої нестисливої рідини сферичного диска, що обертається навколо вісі симетрії з певною кутовою швидкістю.

Достовірність отриманих в роботі результатів забезпечується строгою постановкою крайових задач, застосуванням для їх розв’язання теоретично обгрунтованих точних методів, порівнянням в окремих випадках з результатами інших авторів.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертаційна робота має теоретичний характер і є вкладом в перспективний напрямок досліджень крайових задач для еліптичних систем диференціальних рівнянь, заснованому на розвитку методів узагальнених аналітичних функцій. Отримані в дисертації результати стосовно інтегральних зображень та методики розв’язання крайових задач р-аналітичних функцій (p=хk, k=const>0), тобто крайових задач для еліптичних систем диференціальних рівнянь, можуть бути використані при дослідженні та розв’язанні широкого класу задач математичної фізики, механіки суцільних середовищ, що зводяться до крайових задач для вищеназваних систем рівнянь. Точні розв’язки, отримані при розв’язанні крайових задач для еліптичних систем диференціальних рівнянь на основі методу р-аналітичних функцій (p=хk, k=const>0) для областей: півкруг, права півлощина з викинутим півкругом, права півплощина з розрізом, можуть бути використані, зокрема, як тестові для оцінки якості наближених методів. Результати, одержані при розв’язанні просторової вісесиметричної задачі механіки в’язкої нестисливої рідини – задачі про обтікання сферичного диска, що обертається, можуть бути використані також при дослідженні руху деформованих кров’яних тілець в фізіології, хімічній технології.

Особистий внесок здобувача. Всі наукові результати, включені в дисертаційну роботу, одержано здобувачем самостійно. В роботах, написаних у співавторстві з О.О.Капшивим, постановки задач та наукове керівництво належать доктору фізико-математичних наук, професору О.О.Капшивому, а одержання конкретних результатів та їх дослідження виконано особисто дисертанткою.

Апробація роботи. Основні результати, викладені в дисертації, доповідалися та обговорювалися на Республіканській науково-методичній конференції, присвячений 200-річчю з дня народження Лобачевського (Одеса, 1992 р.), на VI Міжнародній Науковій конференції ім. акад. М. Кравчука (Київ, 1997 р.), на семінарах кафедри математичної фізики Київського університету імені Тараса Шевченка, на міжвузівському семінарі “Диференціальні рівняння та їх застосування” в Національному технічному університеті України (Київ, 1997 р.), на семінарі відділу математичної фізики і теорії нелінійних коливань Інституту математики НАН України (Київ, 1998 р.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 7 наукових працях, з яких 4 написано без співавторів, а 5 надруковано у виданнях, що входять у перелік наукових видань, затверджених ВАК України.

Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається з вступу, трьох розділів, висновків, списку використаних джерел (109 найменувань). Загальний обсяг дисертації становить 129 сторінок, основний текст роботи (в т. ч. 9 рисунків) викладено на 116 сторінках.

Досліджені в дисертації задачі були поставлені першим науковим керівником Олексієм Олексійовичем Капшивим. Автор з глибокою вдячністю згадує співпрацю з ним. Автор також висловлює щиру подяку другому науковому керівникові Андрію Арсеновичу Глущенку за постійну увагу до роботи та підтримку на завершальному її етапі.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У вступі обгрунтовано актуальність теми та доцільність роботи, наведено огляд досліджень в області крайових задач узагальнених аналітичних функцій і, зокрема, р-аналітичних функцій, вказано мету роботи, наукову новизну та практичне значення одержаних результатів дисертації, стисло викладено зміст роботи за розділами.

В першому розділі наведено основні результати Г.М. Положія по вивченню основного інтегрального зображення p-аналітичних функцій з характеристикою p=хk (k=const>0) та формул його обернення, а також результати якісних досліджень поведінки хk-аналітичних функцій, визначених основним інтегральним зображенням, в окремих точках границі області, де підінтегральна функція має особливість степеневого характеру. Викладено нові результати: інтегральні зображення p-аналітичних функцій (p=хk, k=const>0) через граничні значення аналітичних функцій для довільного k=const>0 в скінченній області, в нескінченній області і для цілого непарного k>0 в області з розрізом. Сформульовано та доведено теореми, а також одержано ряд наслідків з цих теорем, в яких розглянуто теоретичні питання щодо нових інтегральних зображень.

Теорема 1. Нехай G – область у правій півплощині Re, обмежена відрізком уявної вісі та простим гладким контуром C, який з’єднує точки a і b; – аналітична в функція, яка задовольняє умову Im – xk-аналітична в G функція така, що , де P – оператор, визначений основним інтегральним зображенням xk-аналітичних функцій з початковою точкою контура інтегрування на відрізку L. Тоді

1) у випадку для функції в області G має місце зображення

(1)

,

за умови, що початковою точкою контура C є точка a, – однозначна вітка функції , arg, arg, а індекс “+” позначає граничне значення при підході до контура С;

2) у випадку для функції в області G має місце зображення

(2)

,

за умови, що початковою точкою контура С є точка а, а вітка , однозначна в площині з розрізом між точками – та z, фіксується умовою при , , ;

3) для граничного значення функції при підході до контура С мають місце зображення

, (3)

, (4)

за умови, що .

Теорема 2. Нехай G – область у правій півплощині , обмежена проміжками уявної вісі –,. a], [b, ) (a<b) і простим гладким контуром С, який з’єднує точки a і b (а – початкова точка контура С); – xk-аналітична в G функція, причому , де P – оператор, визначений основним інтегральним зображенням xk-аналітичних функцій з початковою точкою контура інтегрування на проміжку b, ; — аналітична в G і неперервна в функція, яка регулярна на нескінченності, має нуль не нижче k-го порядку та задовольняє умову

. (5)

Тоді

1) коли k – ціле непарне число й існує скінченна межа , для функції в облаcті G вірне зображення

, (6)

за умови, що ; індекс “–” позначає граничне значення функції при підході до контура С; D – дійсна стала, яка визначається рівністю

; (7)

2) коли k – неціле число і , для функції в області G справедливе зображення

(8)

за умови, що ; при цьому

; (9)

3) коли k – ціле парне число й існує скінченна межа , для функції в області G вірне зображення

, (10)

за умови, що однозначна в площині з розрізом між точками – та z вітка фіксується умовою при (розріз, яким визначається вітка , повинен перетинати уявну вісь вище точки b); при цьому

. (11)

4) для граничного значення функції при підході до контура С мають місце зображення

а) k – ціле непарне число

, (12)

, (13)

за умови, що , , а дійсна стала D визначається рівністю (7);

б) k – неціле число — зображення (12) та

(14)

,

за умови, що, ;

в) k – ціле парне число — зображення (12) та

, (15)

за умови, що

Теорема 3. Нехай G – область у правій півплощині з розрізом удовж гладкої кривої С, яка з’єднує точку a на уявній вісі з точкою b правої півплощини (a – початкова точка кривої С); – xk-аналітична в G функція, яка визначена основним інтегральним зображенням xk-аналітичних функцій за умови, що ; – аналітична в G і неперервна в функція, яка регулярна на нескінченності, має нуль не нижче k-го порядку і . Тоді

1) у випадку, коли k – ціле непарне число і виконується умова , для функції в області G справедливе зображення

, (16)

індекси “+” і “–” позначають граничні значення при підході до контура С зліва та справа;

2) має місце інтегральне зображення

(17)

та інтегральне зображення для стрибка функції удовж С

, (18)

за умови, що . При цьому функція в зображеннях (16), (17) визначається рівністю

. (19)

В другому розділі розроблено нову ефективну методику розв’язання крайових задач для еліптичних систем диференціальних рівнянь на основі методу p-аналітичних функцій (p=хk, k=const>0), яка базується на використанні побудованих в першому розділі інтегральних зображень цих функцій через граничні значення відповідних аналітичних функцій.

p-аналітичні функції комплексної змінної з характеристикою , відповідно до визначення, введеного Г.М.Положієм, задовольняють еліптичній системі диференціальних рівнянь з частинними похідними

(20)

Крайові задачі для еліптичних систем диференціальних рівнянь вигляду (20) при p=хk (k=const>0) еквівалентні крайовим задачам p-аналітичних функцій з характеристикою p=хk (k=const>0).

Розглянемо розв’язання з використанням нової методики однієї з задач для півкруга. Нехай область – півкруг у правій півплощині , обмежений дугою кола і відрізком уявної вісі. Визначити xk-аналітичну в G функцію , яка неперервно продовжується на границю області й задовольняє крайові умови

(21)

(22)

де – задана m раз неперервно діференційована функція.

Нехай . Розв’язок задачі знайдено у вигляді

(23)

,

де

(24)

,

1(), 2() – відомі функції,

, (25)

при . Зокрема, якщо k=2m+1 , то розв’язок задачі записано у вигляді

, (26)

де

, (27)

1(), 2() – відомі функції.

У випадку k=2m розв’язок задачі знайдено у вигляді

, (28)

де

, (29)

1()– відома функція,

За допомогою розробленої методики отримано ефективні розв’язки крайових задач хk-аналітичних функцій для областей:

1) півкруг;

2) права півплощина з викинутим півкругом;

3) права півплощина з розрізом по дузі кола.

Якщо методика розв’язання цих задач за допомогою основного інтегрального зображення хk-аналітичних функцій дозволяє звести їх розв’язання, як правило, до розв’язання задачі Рімана-Гільберта для аналітичних функцій, то розв’язок всіх розглянутих крайових задач хk-аналітичних функцій за допомогою нової методики знайдено винятково просто й зведено до визначення граничного значення відповідної аналітичної функції (як це має місце у випадку задач для півкруга, для правої півплощини з викинутим півкругом) або до визначення стрибка відповідної аналітичної функції уздовж розрізу (як це має місце у випадку задач для правої півплощини з розрізом по дузі кола). Для всіх трьох випадків областей розглянуто різні типи крайових умов, в тому числі й змішані крайові умови. Отримані розв’язки крайових задач хk-аналітичних функцій при k=1 співпадають з розв’язками, одержаними раніше О.О.Капшивим.

Розв’язання змішаних задач хk-аналітичних функцій для півкруга та для правої півплощини з викинутим півкругом зведено до розв’язання інтегральних рівнянь Фредгольма II роду. Вказано класи функцій, в яких розв’язки цих інтегральних рівнянь існують і єдині.

Розв’язки решти задач одержано в явному вигляді. Проведено дослідження поведінки одержаних розв’язків при підході до окремих точок границі області, до кінцевих точок розрізу.

Третій розділ присвячений застосуванню метода p-аналітичних функцій, зокрема, методики, розробленої в другому розділі, до розв’язання та дослідження просторових вісесиметричних задач механіки в’язкої нестисливої рідини. Розв’язано задачу про обтікання вісесиметричним потоком в’язкої нестисливої рідини V сферичного диска, що обертається навколо вісі симетрії y з кутовою швидкістю , при малих числах Рейнольдса (x, , y – циліндрична система координат, вісь y якої співпадає з віссю симетрії руху рідини). Ця задача розпадається на дві задачі: обертання та обтікання сферичного диска. Рух в’язкої нестисливої рідини, який викликаний обертанням сферичного диска, описано за допомогою однієї р-аналітичної функції з характеристикою p=x3 в області G меридіанного перерізу потоку, яка задовольняє крайові умови

(30)

де D – деяка невідома дійсна стала; G – права півплощина z=x+iy з розрізом по дузі кола (-/2; </2).

Після того, як функцію знайдено з використанням методики, викладеної в другому розділі, компонента вектора швидкості руху рідини в напрямку вісі і компоненти тензора напруг, які характеризують обертання, визначено за формулами

(31)

Обтікання сферичного диска описано двома р-аналітичними функціями (z) і 1(z) з характеристикою p=x в області G, які задовольняють крайові умови

(32)

де C – дуга кола (-/2; </2) в правій півплощині z=x+iy; G – права півплощина z=x+iy з розрізом по дузі C.

Після того, як за допомогою розробленої в другому розділі методики знайдено функції (z) і (z), компоненти вектора швидкості в напрямку вісей x i y і тиск визначено за формулами

(33)

Розв’язки задач отримано в явному вигляді. Проведено дослідження поведінки одержаних розв’язків при підході до окремих точок границі області. Встановлено, що при підході до кінцевих точок розрізу компоненти швидкості обмежені, а компоненти напруг прямують до нескінченності порядку 1/2. Для порівняння з результатами робіт інших авторів розглянуто окремий випадок, коли сферичний диск утворений обертанням дуги одиничного кола z=ei (–/20).

У висновках сформульовано основні результати роботи й вказані шляхи їх можливого узагальнення та застосування.

ВИСНОВКИ

Основні наукові результати дисертації:

1. Вперше одержано інтегральні зображення p-аналітичних функцій (p=хk, k=const>0) через граничні значення аналітичних функцій для деяких скінченних та нескінченних областей

2. Розроблено нову ефективну методику розв’язання крайових задач для еліптичних систем диференціальних рівнянь на основі методу p-аналітичних функцій (p=хk, k=const>0), яка базується на використанні побудованих інтегральних зображень цих функцій через граничні значення відповідних аналітичних функцій. За допомогою розробленої методики отримано ефективні розв’язки крайових задач хk-аналітичних функцій для областей:

1) півкруг;

2) права півплощина з викинутим півкругом;

3) права півплощина з розрізом по дузі кола.

Розв’язання змішаних задач хk-аналітичних функцій для півкруга та для правої півплощини з викинутим півкругом зведено до розв’язання інтегральних рівнянь Фредгольма II роду. Вказано класи функцій, в яких розв’язки цих інтегральних рівнянь існують і єдині.

Розв’язки решти вказаних вище задач одержано в явному вигляді. Проведено дослідження поведінки одержаних розв’язків при підході до окремих точок границі області. Отримані розв’язки крайових задач хk-аналітичних функцій при k=1 співпадають з розв’язками, одержаними раніше О.О.Капшивим. Результати, одержані в роботі, стосовно інтегральних зображень хk-аналітичних функцій через граничні значення відповідних аналітичних функцій та методики розв’язання крайових задач є узагальненням результатів О.О. Капшивого, отриманих для х-аналітичних функцій.

3. На основі запропонованої методики розв’язано та досліджено задачу про обтікання в’язкою нестисливою рідиною сферичного диска, що обертається навколо вісі симетрії зі сталою кутовою швидкістю. розв’язок задачі отримано в явному вигляді. В результаті якісних досліджень одержаного розв’язку встановлено: при підході до кінцевих точок розрізу компоненти швидкості обмежені, а компоненти напруг прямують до нескінченності порядку 1/2.

Для порівняння з результатами робіт інших авторів розглянуто окремий випадок, коли сферичний диск утворений обертанням дуги одиничного кола.

Результати, отримані в дисертаційній роботі, свідчать про те, що метод р-аналітичних функцій, зокрема, хk-аналітичних функцій є ефективним методом розв’язання та дослідження крайових задач для еліптичних систем диференціальних рівнянь, достатньо широкого класу задач математичної фізики, механіки, які зводяться до крайових задач хk-аналітичних функцій. Вони ставлять його в один ряд з іншими відомими сучасними аналітичними методами теорії еліптичних систем диференціальних рівнянь.

Результати дисертації можуть знайти застосування при розв’язанні конкретних прикладних задач математичної фізики, механіки суцільних середовищ, теорії потенціалу, теорії фільтрації, електростатики, магнітостатики, які зводяться до крайових задач р-аналітичних, зокрема, хk-аналітичних функцій, тобто до крайових задач для еліптичних систем диференціальних рівнянь. Результати, пов’язані з крайовими задачами для сферичного диска, можуть бути використані, зокрема, в фізіології (рух деформованих червоних кров’яних тілець), в хімічній технології тощо.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1.

1.

1.

1.

1.

1.

1.

Клен І.В. Метод p-аналітичних функцій в крайових задачах для еліптичних систем диференціальних рівнянь. Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 – диференціальні рівняння.– Київський університет імені Тараса Шевченка, Київ, 1999.

Дисертацію присвячено розробці нових ефективних методів розв’язання крайових задач для одного класу еліптичних систем диференціальних рівнянь з частинними похідними на основі методу р-аналітичних функцій (р=хk, k=const>0). Вперше одержано інтегральні зображення р-аналітичних функцій (р=хk, k=const>0) через граничні значення аналітичних функцій для деяких скінченних та нескінченних областей. На основі цих інтегральних зображень розроблено нову ефективну методику розв’язання крайових задач р-аналітичних функцій (р=хk, k=const>0) для областей: півкруг, права півплощина з викинутим півкругом, права півплощина з розрізом. Для всіх трьох областей розглянуто різні типи крайових умов. Розроблена методика застосована до розв’язання просторової вісесиметричної задачі обтікання в’язкою рідиною сферичного диска, що обертається.

Ключові слова: еліптична система диференціальних рівнянь, узагальнена аналітична функція, крайова задача, інтегральне зображення, граничне значення.

Клен И.В. Метод p-аналитических функций в краевых задачах для эллиптических систем дифференциальных уравнений. Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 – дифференциальные уравнения.– Киевский университет имени Тараса Шевченко, Киев, 1999.

Диссертация посвящена разработке новых эффективных методов решения краевых задач для одного класса эллиптических систем дифференциальных уравнений в частных производных на основе метода р-аналитических функций (р=хk, k=const>0). Впервые получены эквивалентные основному интегральному представлению p-аналитических функций с характеристикой р=хk, установленному Г.Н.Положим, интегральные представления p-аналитических функций (р=хk, k=const>0) через граничные значения аналитических функций для некоторых конечных и бесконечных областей. На основе этих интегральных представлений разработана новая эффективная методика решения краевых задач p-аналитических функций (р=хk, k=const>0) для областей: полукруг, правая полуплоскость с выброшенным полукругом, права полуплоскость с разрезом по дуге окружности. Для всех трех областей рассмотрены различные типы краевых условий. Решение краевых задач с помощью новой методики не требует решения краевой задачи Римана-Гильберта для аналитических функций, а находится исключительно просто и сводится только к определению граничного значения соответствующей аналитической функции (в случае задач для полукруга и для правой полуплоскости с выброшенным полукругом) или к определению скачка соответствующей аналитической функции вдоль разреза (в случае задач для полуплоскости с разрезом по дуге окружности). Решение смешанных задач для полукруга и для правой полуплоскости с выброшенным полукругом сведено к решению интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Решение остальных задач получено в явном виде. Разработанная методика применена к решению пространственной осесимметричной задачи обтекания вязкой жидкостью вращающегося сферического диска. Решение задачи сведено к нахождению p-аналитической функции с характеристикой р=х3, описывающей вращательные движения жидкости, и двух p-аналитических функций с характеристикой р=х, описывающих движение жидкости в области меридианного сечения потока. Решение задачи получено в явном виде. Как частный случай рассмотрен сферический диск, образованный вращением дуги единичного круга z=ei (–/20). Получены формулы для компонент вектора скорости и давления, характеризующих поведение течения при обтекании вращающегося сферического диска.

Ключевые слова: эллиптическая система дифференциальных уравнений, обобщенная аналитическая функция, краевая задача, интегральное представление, граничное значение.

Klen I.V. The method of p-analytic functions in boundary value problems for elliptic systems of differential equations. – Manuscript.

Thesis for the degree of candidate of physical and mathematical sciences, speciality 01.01.02 – differential equations. – Taras Shevchenko Kyiv University, Kyiv, 1999.

The thesis is devoted to elaboration of constructive efficient tools for solving of boundary value problems for one a class of elliptic systems of partial differential equations based on the method of p-analytic functions (р=хk, k=const>0). For the first time the integral representations of p-analytic functions (р=хk, k=const>0) via boundary values of analytic functions for some finite and infinite domains has been obtained. A new efficient technique for solving of boundary value problems of p-analytic functions (р=хk , k=const>0) in such domains as semi-circle, the right half-plane without the semi-circle, the right half-plane with a section, has been elaborated on the basis of these representations. Different types of boundary conditions were examined for all these three domain. The elaborated technique was applied to solving of the spatial axisymmetric problem of the flow of a rotating spherical disk by viscous fluid.

Key words: elliptic system of differential equations, generalized analytic function, boundary value problem, integral representation, boundary value.