ФІЗИКО-ТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ НИЗЬКИХ ТЕМПЕРАТУР

ІМ. Б.I. ВЄРКІНА

НАЦІОНАЛЬНОЇ АКАДЕМІЇ НАУК УКРАЇНИ

На правах рукопису

СЛАВІН Віктор Валерійович

УДК 536.758, 538.22

Вплив колективних ефектів на термодинамічні і кінетичні властивості низьковимірних дискретних решіткових систем

(01.04.02 – теоретична фізика)

автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Харків-2006

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Фізико-технічному інституті низьких температур

ім. Б. І. Вєркіна НАН України, м. Харків

Офіційні опоненти:

Доктор фізико-математичних наук, професор,

член-кореспондент НАН України

Клепіков Вячеслав Федорович

(Інститут електрофізики і радіаційних технологій

НАН України, м. Харків, директор iнституту);

доктор фізико-математичних наук, професор

Пашкевич Юрій Георгiйович

(Донецький фізико-технічний інститут iм. О.О.Галкiна

НАН України, м. Донецьк, зав. відділом теорії

динамічних властивостей складних систем);

доктор фізико-математичних наук, с.н.с.

Фiль Дмитро Вячеславович

(Інститут монокристалів НАН України, м. Харків,

провідний науковий співробітник, вiддiл теорії

конденсованого стану).

Провідна установа: Національний науковий центр “Харківський фізико-

технічний інститут” НАН України, м. Харків,

Інститут теоретичної фізики iм. О.I.Ахiєзера

Захист відбудеться 03.10. 2006 р. о 10 годині на засіданні Спеціалізованої вченої ради Д 64.175.02 при Фізико-технічному інституті низьких температур ім. Б. І. Вєркіна НАН України (61103, м. Харків, пр. Леніна, 47).

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці ФТІНТ ім. Б. І. Вєркіна НАН України, 61103, м. Харків, пр. Леніна, 47.

Автореферат розісланий 22.08. 2006 р.

Вчений секретар Спеціалізованої вченої ради

доктор фізико-математичних наук, професор Ковальов О. С.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Великий інтерес, що виявляється сьогодні до досліджень фізичних систем із зниженою розмірністю, багато в чому обумовлений останніми досягненнями в галузі фізики високотемпературних надпровідників, фізики напівпровідників і квантової електроніки. Мініатюризація елементів обчислювальної техніки, збільшення їхньої швидкодії та об’ємів пам'яті стимулюють створення базових компонентів, які працюють на принципах, що якісно відрізняються від традиційних, і пошук нових механізмів передачі енергії. Важливо також відзначити, що застосування традиційних технологій, що використовуються в напівпровідниковій техніці, стає проблематичним навіть при нинішніх розмірах елементів через зростаючий вплив на їхні властивості ефектів квантових кореляцій. У той же час останні теоретичні й експериментальні роботи, присвячені вивченню властивостей низьковимірних решіткових систем із дальнодіючим потенціалом міжчасткового відштовхування при наявності точкових дефектів (роль яких грають різного роду домішки й пастки), дають підстави сподіватися, що електронні компоненти, побудовані на їхній основі, будуть вільні від зазначених недоліків, тому що принцип їхньої роботи базується саме на квантових ефектах. Безумовно, у цьому ж ряді знаходяться й роботи зі створення логічних вентилів для т.зв. квантового комп'ютера.

Необхідно відзначити, що домішки взагалі відіграють особливу роль у низьковимірних решіткових системах. Наприклад, при розгляді динамічних і кінетичних властивостей оптичних збуджень у діелектричних кристалах, домішки, у залежності від енергетичного спектра, можуть виступати як бар'єри або як пастки для оптичного збудження. Саме завдяки одновимірності транспорту оптичних збуджень обійти бар'єр чи пастку в цих системах вкрай складно. В системах із більшою розмірністю транспорту (двовимірних і особливо тривимірних) роль бар'єрів і пасток не настільки висока, оскільки завжди є можливість їх обійти, переміщуючись уздовж двох чи трьох напрямків. Якщо концентрація бар'єрів вища за концентрацію пасток, оптичні збудження у квазіодновимірному (q-1D) кристалі екрановані від пасток бар'єрами. Міграція екситонів носить при цьому фінітний характер. І якщо концентрація оптичних збуджень не занадто висока, кожен екситон є поміщений як би в одновимірну клітку - одновимірний мікрокристал. У розділі III показано, що захоплення оптичних збуджень на пастки (у ролі яких виступають домішки) істотно відбивається на кінетичних властивостях оптичних збуджень, тобто на формі кінетики загасання екситонного світіння. Але якщо екситон надійно заекранований бар'єрами, він не може бути захоплений пасткою, не може він і анігілювати з іншим екситоном. Іншими словами, кінетика загасання світіння залишиться саме такою, як якби цих пасток зовсім не було. Однак якщо концентрація пасток збільшується, роль бар'єрів у гасінні екситонної люмінесценції зменшується і захоплення екситонів стає більш істотним.

Точкові дефекти - домішки - відіграють важливу роль і у випадку двовимірних решіткових систем (вузькозонні провідники, системи типу вігнерівського кристала). Було показано, що введення таких домішок може якісно змінювати макроскопічні характеристики системи, наприклад, її провідність. Можна сподіватися знайти цьому застосування при створенні електричних вентилів нового типу. Дійсно, керуючи властивостями одного іона, можна змінювати провідність усієї системи на кілька порядків. Є підстави вважати, що експериментальні результати, які отримані, наприклад, групою М.Пепера, саме і свідчать про виявлення цього ефекту.

При вивченні двовимірних решіткових систем типу вігнерівського кристала звертає на себе увагу особлива роль, що грає дальнодія парного потенціалу міжчасткового відштовхування. Саме комбінації дискретності координат часток (тобто решітковому характеру) і дальнодії зобов'язано своїм походженням явище ефективного зниження розмірності, вперше виявленого теоретично. Суть цього явища полягає в тому, що термодинаміка широкого класу систем типу узагальненого вігнерівського кристала може бути описана в термінах точно розв'язуваної одновимірної моделі. Хотілося б відзначити, що багато експериментальних даних, що отримані при вивченні двовимірних шарів Cu2 високотемпературних надпровідників, свідчать про існування явища ефективного зниження розмірності, що було передвіщено авторами.

Зв'язок дисертаційної роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалася протягом 1995-2006 років у рамках тематичного плану інституту за темами: “Електронні взаємодії в провідних системах” (N державної реєстрації 0196U002952) і “Електронна фізика сучасних провідних систем” (N державної реєстрації 0100U006271).

Мета i задачi дослiдження. Основна мета дисертації полягає у виявленні нових закономірностей і особливостей, а також в узагальненні отриманих результатів, пов'язаних із впливом колективних ефектів на термодинамічні і кінетичні властивості низьковимірних дискретних решіткових систем. Робота підбиває підсумок дослідженням, проведеним автором безпосередньо у відділі теоретичної фізики, а також з його безпосередньою участю в відділі магнетизму з 1995 по 2005 рік у ФТIНТ НАН України. Всі представлені у роботі результати отримані вперше.

Об’єктом дослідження є одно- і двовимірні дискретні решіткові системи типу узагальненого вігнерівського кристалу, а також квазіодновимірні магніто-концентровані сполуки.

Предметом дослідження є низькоенергетичні збудження в низьковимірних системах, оптичні збудження у квазіодновимірних магнітоконцентрованих сполуках, топологічні солітони дискретного типу, “димери” хабардівського типу. Вивчення цих об’єктів складає основу задач дослідження.

Методи дослідження, використанні в роботі, включають комплекс аналітичних і обчислювальних підходів до розв’язання задач дослідження:

1.

2.

3.

Обґрунтування і достовірність результатів. При рішенні задач використову-вались добре апробовані методи теоретичної фізики. Результати теоретичних розрахунків і чисельних обчислень показали повну ідентичність. Ці результати знаходяться в згоді з експериментальними даними, отриманими іншими дослідницькими групами.

Наукова новизна визначається вперше отриманими результатами, що виносяться на захист:

1.

2.

3.

4.

Наукове i практичне значення здобутих результатiв. У дисертаційній роботі розвинуто новий науковий напрямок, який можна сформулювати таким чином: низьковимірні дискретні решіткові системи та вплив колективних ефектів на їх кінетичні та термодинамічні властивості.

Останнім часом швидко росте кількість електронних приладів, які створені на базі таких систем. Це, наприклад, гиіпервисокочастотні прилади, магнітооптичні носії інформації, нанотранзистори. Крім того, ряд експериментальних даних, отриманих останнім часом в галузі фізики наносистем та високотемпературних надпровідників, знаходять своє обґрунтування в рамках моделей, запропонованих в дисертаційній роботі. У цьому зв'язку практична цінність роботи не викликає сумнівів.

Результати дисертаційної роботи можуть бути використанні в Інституті теоретичної фізики НАНУ (м. Київ), Донецькому фізико-технічному інституті НАНУ (м. Донецьк), Інституті магнетизму НАНУ (м. Київ), Національному Науковому Центрі “Харківський фізико-технічний інститут” НАН України (м. Харків), в Інституті електрофізики і радіаційних технологій НАН України (м. Харків), Інституті монокристалів НАН України (м. Харків), Інституті радіофізики та електроніки НАН України (м. Харків).

Особистий внесок здобувача. Частина робіт, присвячених побудові низькотемпе-ратурної термодинаміки і вивченню спектра елементарних порушень одновимірних дискретних решіткових систем, виконана особисто автором [2-4,6,8-10]. У спільних експериментально-теоретичних роботах по вивченню кінетичних властивостей одно- і двовимірних дискретних решіткових систем [11-18] автору належать: постановка задачі досліджень, теоретичне обґрунтування використовуваних моделей, чисельне моделювання, теоретичний опис і інтерпретація отриманих результатів. У спільних теоретичних роботах по вивченню термодинамічних властивостей одновимірного узагальненого вігнерівського кристала [1,5,7], а також у роботах по вивченню структури основного стану і властивостей елементарних порушень у двовимірних дискретних решіткових системах [19,20] автор брав безпосередню участь у постановці задачі, їм виконувався теоретичний опис і інтерпретація отриманих результатів, а також чисельне моделювання.

Апробацiя результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідались на конференціях і школах з магнітооптики (Харків, 1991, 1994; Київ, 1993, Україна); міжнародних конференціях з багатоканальних систем реєстрації люмінесценції (Москва, Росія, 1992), фізики магнітних матеріалів (Пекін, Китай, 1992), динамічних процесів у твердих тілах (DPC'93, Бостон, США); міжнародних конференціях з магнетизму (Intermag-MMM'94, Нью-Мехіко, США, 1994, МММ’95, Філадельфія, США, ICM'94, Познань, Польща, 1994, EMMA’95, Відень, Австрія); міжнародних конференціях з екситонних процесів у конденсованих тілах (Дарвін, Австралія, 1994, ICL’96, Прага, Чехія); міжнародних конференціях з фізики конденсованих станів (GCCMD-14, Мадрид, Іспанія, 1994, EPS-15, Бавено-Стреза, Італія, 1996, ICTP, Трієст, Італія, 1997), ХI Національній конференції з росту кристалів (НКРК-2004, Москва, Росія).

Публікації. За темою дисертації опубліковано 46 наукових праць: 28 у реферованих вітчизняних і закордонних журналах, 16 у тезах доповiдей на мiжнародних наукових конференціях та 2 в електронних препринтах. Основні результати, що виносяться на захист, опубліковані в 20 статтях у спеціалізованих журналах, включених у список ВАК України (в тому числі 7 одноосібних робіт). Усі статті вийшли друком вчасно.

Дисертація складається з 4-х розділів, Вступу, Висновків і списку цитованої літератури. Повний обсяг дисертації складає 268 сторінок машинописного тексту. У дисертацію включено 55 рисунків. Список цитованої літератури складається з 260 найменувань і займає 34 сторінки.

Зміст роботи

У Вступі сформульовані мета й задачі дисертаційної роботи, приведені основні положення, що виносяться на захист, описана структура дисертації, представлено список опублікованих робіт за темою дисертації.

Перший розділ присвячений вивченню термодинаміки одновимірних решіткових систем із дальнодіючим потенціалом міжчасткового відштовхування. У вступі проаналізовано питання про вплив розмірності, властивостей парного потенціалу та динамічних характеристик систем, що досліджуються, на їхні термодинамічні властивості й структуру основного стану.

У першому параграфі запропонована модель, що описує систему, яка досліджується, та обговорюються межі її застосовності. Як відомо, однією з примітних особливостей вузькозонних провідників із дальнодіючим потенціалом міжелектронного відштовхування є специфічний макроскопічний локалізований електронний стан (заморожена електронна фаза), що відрізняється від стану вігнерівського кристала (ВК). Він виникає як комбінація дальнодіючого потенціалу міжелектронного відштовхування й дискретності вузькозонної електронної динаміки (тобто вузькозонні електрони переміщуються по провіднику, перестрибуючи між найближчими вузлами решіток з еквівалентними атомними орбіталями) і існує в широкому діапазоні параметрів, який визначається наступним критерієм: . Тут t - ширина зони, a0 - міжатомна відстань решітки-матриці (крок кристалічної підкладки), - середня відстань між електронами і - кулонівська енергія на електрон. du являє собою типову зміну енергії дальнодіючого потенціалу міжелектронного відштовхування при електронному стрибку. У такій ситуації відбувається повне руйнування Блохівських станів і електрони стають локалізованими в межах квантових пасток атомного розміру. У силу динамічної природи локалізації нагрів системи не приводить до делокалізації електронів, і, отже, заморожена електронна фаза, на відміну від ВК, не може перетворюватися у Фермі-рідину ні при якій температурі [1].

У даному параграфі розглядається випадок досить швидко спадного парного потенціалу, коли можна знехтувати взаємодіями між сусідами, що йдуть за найближчими. До цього класу відносяться системи з екранованим кулонівським потенціалом і з непрямою RKKY-взаємодією (адатомні системи). Гамільтоніан такої системи має вигляд:

, (1)

де lm - координата m-го електрона, що обмірюється в одиницях a0, N - загальне число електронів, u(x) - парний дальнодіючий потенціал міжчасткового відштовхування. Цей потенціал є усюди опуклою функцією неперервного аргументу x і убуває швидше, ніж x-1. В іншому u(x) - довільна функція. Для початку необхідно досліджувати особливості основного стану гамільтоніана (1). Така система вперше була вивчена Хабардом, який запропонував строгу процедуру побудови конфігурації основного стану, і яку він удало назвав “узагальненим вігнерівським кристалом”. Як було показано пізніше, алгоритм Хабарда може бути описаний простою формулою:

.

Тут ce=N/N0 - електронна щільність (фактор заповнення), N0 - загальне число вузлів решітки, […] означає цілу частину числа, f - довільна величина (початкова фаза). Далі ми будемо вивчати звичайну термодинамічну границю (тобто так, що концентрація ce залишається кінцевою).

Найбільш важливі властивості узагальненого ВК:

·

·

·

Як показано в [1]

, (2)

де

. (3)

Як буде видно з подальшого, найбільш зручними термодинамічними змінними для даного аналізу є не T і m, а T і тиск P. Залежність ce від P при T=0 також являє собою “чортові сходи”, що відрізняється від тільки шириною “сходинок” DP:

. (4)

Кінцеві точки цих “чортових сходів” є зміни енергії основного стану, що виникають, відповідно, при зменшенні чи збільшенні довжини системи N0 на один крок при фіксованому N (P вимірюється в енергетичних одиницях). Варто особливо виділити одну примітну властивість виразів (2) і (4): інтервали сходинок “чортових сходів” Dm і DP пропорційні величині Du (3), що визначається електрон-електронною взаємодією на відстанях більших або порядку q, незалежно від кількості електронів p на комірку. Таким чином, Dm і DP наближаються до нуля при як u’’(q). Отже, чим більш “ірраціональний” коефіцієнт p/q, тим менше довжини інтервалів (2), (4). Це наводить на припущення, що при кінцевих температурах усі просторові структури узагальненого ВК із періодом q, що задовольняють умові , лише злегка збурюються термічними флуктуаціями. І навпаки, якщо q задовольняє умові , то відповідні структури узагальненого ВК, власне кажучи, знищуються, згладжуючи інтервали “чортових сходів” DP(q) і Dm(q).

У другому параграфі розглянуто найбільш реалістичний випадок швидко спадного парного потенціалу, як, наприклад, екранований кулонівський потенціал [1]. Через швидкий спад взаємодії діапазон параметрів, описаний нерівностями

, (5)

має велике значення. Ці нерівності припускають, що можна зневажити взаємодіями між сусідами, що йдуть за найближчими і, як випливає з попереднього міркування, в діапазоні (5) тільки сходинки “чортових сходів”, що відповідають хабардівським структурам із p=1, можуть виживати при досить великих значеннях параметра P/T. Отже, будемо розглядати діапазон параметрів (5), приймаючи до уваги тільки взаємодію між найближчими частками. Це спрощення (для стислості - “NN-апроксимація”) дозволяє створити самоузгоджену теорію, що зберігає найбільш важливі термодинамічні особливості одновимірної системи, яка досліджується. Хотілося би відзначити, що якісно результати не чуттєві до конкретної форми парного потенціалу відштовхування так само, як і сам узагальнений ВК.

Третій параграф містить вивід термодинамічного потенціалу, обговорюється його структура й властивості. У NN-апроксимації термодинамічний потенціал одновимірної електронної системи може розглядатися як потенціал множини незалежних невзаємодіючих пар сусідніх електронів, що характеризуються міжелектронними відстанями l=1,2,…і енергією u(l) (будемо називати їх для стислості “l-парами”). Загальна енергія системи є сумою енергій усіх l-пар:

.

Тут {nl} символізує даний набір l-пар (n1, n2, …)... Підкреслимо, що множину l-пар ні в якому разі не можна розглядати як ідеальний газ “часток” (l-пара) із внутрішніми “квантовими числами” l і внутрішньою енергією u(l). Причина полягає в наявності сильних просторових кореляцій [1] між позиціями l-пар. Зсув даної l-пари (звичайно, ) на відстань у будь-якому напрямку неминуче приводить до приблизно ceDL зміщень у протилежному напрямку інших l-пар (на відстані порядку ce-1). Статистична вага станів із даним набором чисел l-пара задається виразом:

У результаті ми знаходимо, що термодинамічний потенціал (вільна енергія Гібса) має вид

. (6)

Тут і далі (крім розділу III) температура виміряється в енергетичних одиницях. Як і очікувалося, структура термодинамічного потенціалу (6) відмінна від такої для ідеальних газів. Цей факт приводить до незвичайної термодинамічної поведінки системи.

В Четвертому параграфі проведено вивчення рівнянь стану і фазових переходів у системі. Розглянуто питання про вплив електрон-електронних кореляцій на термодинамічні властивості системи, що досліджується. Саме наявність таких кореляцій приводить до неперервного фазового переходу від газоподібного стану до твердого через вузькі рідиноподібні проміжки. Докладно вивчено питання про вплив на фазову діаграму системи термодинамічних параметрів, таких як температура T і тиск P. Використовуючи термодинамічне відношення , отримуємо з (6) залежності електронної щільності ce і m від P, T:

, , . (7)

Рівняння стану (7) встановлюють зв'язок між ce, m, P, і T. Найбільш зручний вибір двох незалежних термодинамічних змінних визначається конкретною фізичною ситуацією.

Для повного опису нам потрібно доповнити рівняння стану визначенням середнього числа l-пар - Nl. Ця величина визначається співвідношенням:

. (8)

З (8) видно, що розподіл l-пар має больцманівський вид. Розподіл l-пар визначається поведінкою функції , що має цілочисленний аргумент l. При ця функція монотонно збільшується, а при в неї є мінімум. Через особливості парного потенціалу u(x) є тільки один мінімум при цілому l0=l0(P)>1, який знаходиться на відстані <1 від єдиного кореня рівняння

. (9)

Якщо , найбільш імовірна l-пара довжини l=1; у протилежному випадку довжина l=l0(P).

У граничному випадку P/T=g<<1 основний внесок суми (7) дають великі величини l~g-1 і, отже, можна просто записати у вигляді l. Границя дає класичне рівняння стану ідеального газу: PN0=NT. Розкладаючи суми (7) по ступенях параметра g, ми одержуємо аналог відомого термодинамічного віріального розкладання, перший терм якого дає ван-дер-ваальса-подібне рівняння стану: P(N0-B(T)N)=TN, де величина , власне кажучи, являє собою перший віріальний коефіцієнт, тобто ефективне зменшення об’єму системи через електрон-електронне відштовхування.

У протилежному граничному випадку (g>>1) термодинамічна поведінка системи залежить від того, чи має функція мінімум, чи ні. У першому випадку ( ), як правило, тільки один доданок із l=l0(P) дає основний внесок у суми (7), (8). Точніше, це відбувається при всіх тисках P, які знаходяться не занадто близько до точок виродження Pq, що обумовлені виразом ,

При цих значеннях P внески двох термів із l=[x0(Pq)]=q і l=[x0(Pq)+1]=q+1 збігаються (x0(P) - корінь рівняння (9)). Набір точок {Pq} поділяє P-вісь на ряд інтервалів {Pq+1, Pq}, які (у рамках NN-апроксимації) є не що інше, як інтервали “чортових сходів”, що відповідають p=1 (4). Ширина q-го інтервалу дорівнює:

.

У межах цих інтервалів величини ce не залежать від P з експоненційною точністю по параметру g і дорівнюють 1/q. Отже, система має періодичну структуру з періодом q. Саме в діапазоні, де g>>1, при P<PC сходинки “чортових сходів” у всій своїй повноті виявляють себе в основному стані (Рис. 1). Крім того, вивчено питання про просторову структуру елементарних збуджень і про природу переносу енергії у системах, що досліджуються.

Рис. 1. Залежність ce(P), розрахована за допомогою (16) і (17). Пунктирною лінією на цьому рисунку відображена аналогічна залежність, яка отримана у рамках NN-апроксимації (8). dce=1/(q-1) - 1/q

В П'ятому параграфі проведено вивчення ентропії і теплоємності системи. Показано, що ентропія як функція тиску з експоненційною точністю дорівнює нулю усередині інтервалів існування електронних “кристалів” і перетерплює дельта-подібні стрибки шириною порядку T поблизу точок плавлення Pq (точок переходу від одного “кристала” до іншого). У точках плавлення ентропія системи дорівнює ln(2). Цей результат є наслідком того факту, що в точках Pq система являє собою суміш рівної кількості l-пар із довжинами q і q+1.

У шостому параграфі розглянуто випадок систем із довільним законом убування парного потенціалу. За допомогою рекурентних співвідношень [2] запропоновано виведення термодинамічного потенціалу системи, що дозволяє враховувати взаємодії довільного числа координаційних сфер. Вивчається взаємозв'язок між характером убування парного потенціалу й властивостями рівняння стану. Показано, наприклад, що взаємодії сусідів, що йдуть за найближчими, приводять до появи нових деталей у залежності концентрації часток від тиску, які відповідають утворенню електронних “кристалів” із фактором заповнення виду 2/q, де q=3,5,7,…..

Таким чином, зміна тиску P при заданій величині параметра g=P/T>>1 приводить до послідовного утворення електронних “кристалів” з періодами q=1,2,…... Період q збільшується в міру зменшення P. Слід зазначити, що при фіксованому g>>1 ці “кристали” існують навіть при P, що наближається до нуля. У випадку низького тиску типова величина q визначається рівнянням u'(q)=-P. Урахування взаємодії між сусідами, що йдуть за найближчими, приводить до появи більш “тонких” деталей у залежності ce(P). Застосовуючи рекурентні співвідношення і вводячи часткову статистичну суму S(N, N0) одновимірної решіткової системи з N часток і N0 вузлів, у якій перший і останній вузли зайняті частками, одержуємо, що повна статистична сума системи Z(N, N0) дорівнює

. (10)

Розглянемо тепер статистичну суму одновимірної системи з N часток і N0+1 вузлів. Очевидно, що якщо доданий вузол не зайнятий часткою, то Z(N, N0+1)=Z(N, N0). Якщо ж одна з часток займе N0 вузол, то

.

Отже,

(11)

З іншого боку,

. (12)

Поєднуючи (11) із (12), одержуємо:

. (13)

Це і є кінцевий рекурентний вираз, що зв'язує часткову статистичну суму системи з N часток із статистичною сумою для системи з N+1 часток. Для обчислень необхідно доповнити (13) “початковою умовою” - виразом для S(K+1, i1, i2,…,iK)... Очевидно, що

. (14)

Тут E(i1, i2,…,iK) є сума парних енергій K часток з координатами i1,i2,…,iK...

Розглянемо окремо випадок K=1 і зробимо дискретне перетворення Лапласа, увівши параметр g =P/T. Тоді

.

Використовуючи теорему про перетворення Лапласа для згортки, одержуємо , де . Заміняючи в термодинамічній границі , маємо: .

Звідси

. (15)

Як і очікувалося, (15) збігається з виразом для термодинамічного потенціалу, який отримано у рамках NN-апроксимації (6). У випадку K=2 вираз (10) здобуває вид:

.

Тут S(N,j,i) - статистична сума системи з N часток та i вузлів, у якій останній (i-й) вузол зайнятий часткою, а передостання частка має координату j. У цьому випадку вираження (13) і (14) перетворяться до виду:

, (16)

. (17)

Розрахунок термодинамічного потенціалу F(N,N0,T) за допомогою (10), (13) і (14) проводився на комп'ютері при N, L>100. Виявилося, що таких значень довжини системи й числа часток досить, щоб ефекти, пов'язані з кінцевістю розмірів системи, стали нехтовно малі. Результати обчислення ce(P), які проведені для K=1 і K=2 за допомогою (10), (16) і (17), представлені на Рис. 2. Видно, що урахування взаємодії “через один” приводить до появи сходинок, які відповідають електронним “кристалам” із фактором заповнення виду ce=2/p. Важливо відзначити, що ширини цих сходинок пропорційні u''(p) і, отже, багато менше ширин сходинок, що відповідають електронним “кристалам” із близькими концентраціями, але приналежних класу ce=1/p. Таким чином, урахування дальнодії при кінцевій температурі приводить лише до слабкої модифікації залежностей ce(P) і ce(m). Це означає, що основну роль у формуванні термодинаміки системи, що досліджується, при g>>1 грають електронні “кристали” з ce=1/p. Можна зробити висновок, що саме комбінація сильних просторових кореляцій між позиціями l-пар у сукупності з адитивною структурою енергії E{nl} обумовлює досить специфічну термодинамічну поведінку системи. З одного боку, розподіл l-пар по l має больцманівський вид (8), але, з іншого боку, залежності ce(P) і ce(m) (6), (7) не мають нічого спільного з такими для ідеальних газів.

Рис.2 Залежність енергії щілини Еgap від оберненої концентрації часток l0.

Сьомий параграф цього розділу присвячено вивченню низькочастотної зони спектра при довільному значенні концентрації електронів ce [3]. Показано, що даний спектр має щілинний характер, а величина щілини Еgap являє собою осцилюючу функцію оберненої концентрації l0=1/ce (Рис. 2): вона наближається до нуля при ce=1/q (q=1,2,…), досягаючи максимальних значень при ce=2/(2q+1). Проведені оцінки показують, що при міжатомній відстані решітки-матриці a0 1A максимально можливе значення енергії щілини порядку 1eV. Іншими словами, у залежності від концентрації ce і міжатомній відстані a0 енергія щілини може змінюватися від нуля до ближньої інфрачервоної зони спектра електромагнітних хвиль. Також показано, що низькоенергетичний спектр системи, що досліджується, може бути описаний у термінах одновимірних структур, що є аналогами доменів в одновимірних спінових системах. Спектр згущується в міру збільшення довжини “доменів”і, як наслідок, низькотемпературна релаксація “доменів” відбувається шляхом послідовного відщеплення від них граничних “димерів”.

У другому розділі розглянута структура основного стану і термодинамічні властивості одновимірних виряджених електронних систем із дальнодіючим потенціалом міжчасткового відштовхування на розупорядкованій решітці.

В першому параграфі цього розділу запропонована модель вігнерівського скла на неупорядкованій решітці-матриці (ВСНРМ) [4], що використовується для опису даних систем.

У другому параграфі обговорюються структура й властивості модельного гамільтоніана системи, його подібність і відмінність від гамільтоніанів інших скляних систем. Нехтуючи тунелюванням носіїв заряду (для визначеності розглядаються електрони) між вузлами решітки-матриці, гамільтоніан системи, яка досліджується, може бути записаний у вигляді:

. (18)

Рис. 3. Приклади розупорядкованих 2D (рис. а) і 1D (рис. b) решіток-матриць. Значками позначені “ідеальні” позиції вігнерівського кристала. Кружками позначені вузли решітки-матриці; рис. c - деякі можливі конфігурації електронів на 1D решітці-матриці.

Тут xi є безрозмірними, хаотично розташованими координатами вузлів 1D решітки-матриці; незалежна змінна ni = 0, 1 є число електронів у i-м вузлі (число заповнення); підсумовування проводиться по всіх вузлах решітки-матриці. У гамільтоніані опущені спінові індекси, оскільки ce<<1 і, отже, ефекти, пов'язані з Фермі статистикою, виявляються зневажено малими. У низькотемпературному випадку термодинаміка системи визначається електронними конфігураціями, які є близькими до конфігурації основного стану [5,6]. При ce<<1 ці конфігурації такі, що відстань lm між сусідніми електронами з номерами m-1 і m слабко відрізняється від середньої міжелектронної відстані . Записуючи lm у вигляді , де - мала випадкова добавка ~a0, зручно ввести як нові незалежні змінні (замість чисел заповнення ni). Величини можна розглядати як довжини “диполів”, що починаються з “ідеальних” позицій ВК (m=1, 2,…, N) і закінчуються в одному з вузлів решітки-матриці, розташованих поблизу цих “ідеальних” позицій. Зручно розглядати диполь у даному вузлі як функцію незалежної змінної - “узагальненого спіна”, , визначеного умовою . Приклади двовимірних (2D) і одновимірних розупорядкованих решіток-матриць представлені на Рис. 3a і 3b, відповідно. Електрони можуть займати тільки позиції, які позначені кружком. Значками позначені “ідеальні” позиції ВК. Приймаючи до уваги малість , можна розкласти гамільтоніан (18) по ступенях , обмежуючись квадратичними доданками. В результаті:

, де є енергією ВК на електрон; Hd являє собою гамільтоніан дипольної системи, а , .

Символ позначає даний набір узагальнених спінів , що визначають макроскопічний стан системи. Таким чином, n=1 відповідає взаємодії між найближчими узагальненими спінами, n=2 - взаємодії через один узагальнений спін і т. д., а гамільтоніани H1>H2>H3…- суть енергії системи з урахуванням взаємодії між найближчими сусідами (H1), наступними сусідами (H2), і т.д. Величина являє собою енергію взаємодії узагальнених спінів, які розташовані у вузлах m і m+n.

У третьому параграфі міститься вивід термодинамічного потенціалу системи, який заснований на використанні модифікованого методу трансфер-матриць [7]. У цьому ж параграфі докладно описані властивості отриманого термодинамічного потенціалу. Статистична сума системи має вигляд:

. (19)

Рис. 4. Залежності s(T) при різних значеннях r і K=1.

Тут T - температура в енергетичних одиницях, підсумовування проводиться по всіх можливих nN мікроскопічних конфігураціях. Накладаючи періодичні граничні умови sk = sk + N (k = 1,2,…,N), у наближенні найближчих сусідів (K=1) можна записати (19) у вигляді:

. (20)

Символ Tr означає слід матриці. мають вигляд: .

Саме той факт, що (19) може бути записана через добуток матриць , дозволяє швидко обчислювати за допомогою комп'ютера термодинамічні функції системи, як, наприклад, потенціал Гібса, і ентропія системи (див. Рис. 4). Дійсно, час обчислення при такому підході tcalc ~ N, тоді як для виразу (20) цей час tcalc~nN.

Для урахування взаємодій між довільною кількістю сусідів зручно ввести допоміжні матриці , визначені таким способом: . являє собою трансфер-матрицю, що відповідає взаємодії між диполями, які розташовані в позиціях із номерами m і m+n. У наближенні найближчих сусідів (K=1) збігаються з У загальному випадку K=1,2,…сусідів величини є тензорами K+1-рангу і мають вигляд:

Статистична функція системи Z(N, T) може бути записана у вигляді:

,

. (21)

Тензорний добуток у (21) визначено в такий спосіб:

.

Наприклад, у наближенні найближчих сусідів (K=1) статистична сума (20) являє собою слід , a у наближенні, що враховує взаємодію найближчих і наступних за ними сусідів (K=2), тензори мають вигляд:

,

.

Вивчено граничний перехід “упорядкований стан - безладдя” і його вплив на температурну залежність ентропії системи.

В Четвертому параграфі проведено вивчення просторової структури основного стану системи, що розглядається. Описана запропонована теоретична модель, а також алгоритм прямого комп'ютерного моделювання, що дозволяє визначати структуру й властивості основного стану досліджуваних систем [8,9]. Показано, що структура основного стану містить малу, але кінцеву концентрацію фрустрацій навіть у випадку слабкого безладдя (див. Рис. 5). Вивчено структуру й властивості цих фрустрацій. Встановлено, що саме поява фрустрацій приводить до порушення дальнього порядку. Показано, що ентропія s(T) 1D ВСНРМ зберігає лінійний хід у низькотемпературному діапазоні при всіх значеннях параметра розупорядкування r (), що вказує на безщілинний характер спектра елементарних збуджень.

Рис. 5. Приклади конфігурацій основного стану 1D ВСНРМ, які відповідають ланцюжку, що містить 104 вузлів (рис. a - d) і 400 вузлів (рис. e), і різним значенням r; a - r = 0.25, b - r = 0.3, c -r = 0.4, d - r = 0.45, e - r = 1.

У п'ятому параграфі проведено порівняння термодинамічних властивостей 1D ВСНРМ і іншої випадкової системи - одновимірного спінового скла (1D CC), що незважаючи на “випадковість” є у певному розумінні точно розв'язуваною моделлю. Гамільтоніан цієї системи має вигляд

,

де sm = 1 - незалежні спінові змінні, а J(m) – випадкові обмінні інтеграли. Показано, що спектр збуджень 1D СС має безщілинний характер тільки при . У протилежному випадку s(T) загасає експоненційно швидко за температурою. Зокрема, активаційна залежність ентропії від T обов'язково має місце для слабко неупорядкованого 1D СС. Це істотно відрізняє 1D CC від 1D ВСНРМ, низькотемпературна термодинаміка якого характеризується лінійним убуванням ентропії за температурою в умовах як сильного, так і слабкого безладдя.

Заключний шостий параграф даного розділу присвячено застосуванню методу модифікованих трансфер-матриць при побудові низькотемпературної термодинаміки одновимірних решіткових електронних систем на цілком упорядкованій решітці-матриці (r=0), тобто систем типу узагальненого ВК [10]. У цьому випадку застосування даного методу дозволяє аналітично обчислювати багато термодинамічних характеристик системи, що досліджується.

У Третьому розділі на прикладі q-1D магнітоконцентрованої сполуки кристалу CsMnCl3•2H2O (CMC) із домішкою іонів міді (Cu2+) аналізується вплив дефектів на кінетичні й термодинамічні властивості оптичних збуджень. Детально розглянуто питання про механізм енергетичного транспорту (міграції) збуджень.

У першому параграфі розділу приведені основні кристалографічні, магнітні і спектральні характеристики q-1D антиферомагнітного (АФМ) двовісного орторомбічного кристала СМС. Його кристалічна структура являє собою ланцюжки октаедрів [Mn(H2O)2Cl4]2-, що простираються уздовж напрямку a кристала. Вісь другого порядку паралельна осі b кристала. Хімічна комірка СМС містить чотири формульні одиниці, розташовані в площині ac. Нижче температури тривимірного АФМ упорядкування ТN = 4.89К (у даному розділі для зручності порівняння результатів з експериментом використовується система одиниць, у якій температура вимірюється в градусах) елементарна комірка СМС подвоюється уздовж напрямку b завдяки АФМ упорядкуванню. Ступінь низьковимірності визначається відношенням обмінних інтегралів Ja, Jb і Jc. Параметр АФМ обмінної взаємодії уздовж кристалографічного напрямку a більш ніж у 300 разів перевищує